变化率问题 ppt课件
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5.1.1变化率问题课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
4.8
.
计算运动员在 0 t 48 这段时间里的平均速度，发现了什么？ 49
用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
运动员在 0 t 48 这段时间里的平均速度为 0. 显然，在这段时间内， 49
运动员并不处于静止状态. 因此，用平均速度不能准确反映运动员在这 一时间段里的运动状态.
1.瞬时速度的概念：
1.999999
x 0
x
k Δx 2
0.01
2.01
0.001
2.001
0.0001
2.0001
0.00001
2.00001
0.000001
2.000001
……
……
当 x 无限趋近于 0 时，即无论 x 从小于 1 的一边，还是从大于 1 的一边
无限趋近于 1 时，割线 P0 P 的斜率 k 都无限趋近于 2.
给出 t 更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度 v 的值. 当 t 无限趋近于 0 时，
即无论 t 从小于 1 的一边，还是从大于 1 的一边无限趋近于 1 时，平均速度 v 都无限
趋近于 5 .
由
v
h(1 Δt) h(1) (1 Δt) 1
4.9Δt
5
发现，当
t
无限趋近于
0
时，
4.9Δt
也无限趋近于
0，
所以 v 无限趋近于 5 ，这与前面得到的结论一致.
数学中，我们把
5
叫做“当
t
无限趋近于
0
时，
v
h(1
Δt) Δt
h(1)
的极限”，记为
h(1 Δt) h(1)
lim
5 .
课件1：5.1.1 变化率问题
∴ΔΔyx＝－ΔΔxx＋＋242，
∴k＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
－ΔxΔ＋x－242＝－44＝－1.
又 x＝2 时 y＝242＝1，
∴切线方程为 y－1＝－1×(x－2)，即 x＋y－3＝0.
【课堂小结】
1．函数 y＝f (x)在 x＝x0 处的切线斜率反映了函数在该点处的
瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．即：
【学以致用】
1．一物体的运动方程是 s＝3＋2t，则在[2，2.1]这段时间
内的平均速度是( )
A．0.4
B．2
C．0.3
D．0.2
B [ v ＝s22.1.1－－s22＝4.02－.1 4＝2.]
2．物体自由落体的运动方程为 s(t)＝12gt2，g＝9.8 m/s2，若 v
＝lim Δt→0
率及瞬时速度的概念．(易混点) 及数学运算的核心素养.
1．平均变化率
【新知初探】
对于函数 y＝f (x)，从 x1 到 x2 的平均变化率：
(1)自变量的改变量：Δx＝__x_2－__x_1_. (2)函数值的改变量：Δy＝__f_(_x_2_)－__f_(_x_1)__．
(3)平均变化率ΔΔyx＝
【例 2】 某物体的运动路程 s(单位：m)与时间 t(单位：s)的关
系可用函数 s(t)＝t2＋t＋1 表示，求物体在 t＝1 s 时的瞬时速度．
[解] ∵ΔΔst＝s1＋ΔΔtt－s1
＝1＋Δt2＋1＋ΔΔtt＋1－12＋1＋1＝3＋Δt，
∴lim Δt→0
ΔΔst ＝Δlitm→0
(3＋Δt)＝3.
5.1.1 变化率问题
学习目标
核心素养
【精品课件】3.1.1-2变化率问题与导数的概念
§1.1
1 2
变化率 谁创立了导数 与导数
导数是在怎样的背景之下产生的 呢
背景
十七与十八世纪的数学家们常把自己的数学活动跟各种 不同自然领域（物理、化学、力学、技术）中的研究活动联 系起来，并由实际需要提出了许多数学问题。历史上，导数
概念产生于以下两个实际问题的研究。第一：求曲线的切线
问题，这是一个非常古老的问题，可以追溯到希腊著名的科 学家阿基米德（Archimedes，287-212B．C）；第二：求非 均速运动的速度，它最早由开普勒(kepler:1571-1630)，伽 利略（Galileo:1564—1642），牛顿(Newton:1642-1727)等 提出来．
y
f (x2)
f f ( x2 ) f ( x1 ) 表示函数f(x) 的图像上 x x2 x1 的两点( x1 , f ( x1 )), ( x2 , f ( x2 ))连线的斜率.
f (x1)
x2 – x1 x1 x2
y = f (x)
f (x 2) – f (x1)
4）物体从3s到3 ts的平均速度 v s(3 t ) s(3) 30 5t (m / s)
(3 t ) 3
平均速度 v 近似地刻画了在某一时间段内物体运动的快慢. 如何精确地刻画物体在某一时刻的速度呢?
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
即如何求物体在t=3s的瞬时速度呢？
t 0
10t0
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
1 2
变化率 谁创立了导数 与导数
导数是在怎样的背景之下产生的 呢
背景
十七与十八世纪的数学家们常把自己的数学活动跟各种 不同自然领域（物理、化学、力学、技术）中的研究活动联 系起来，并由实际需要提出了许多数学问题。历史上，导数
概念产生于以下两个实际问题的研究。第一：求曲线的切线
问题，这是一个非常古老的问题，可以追溯到希腊著名的科 学家阿基米德（Archimedes，287-212B．C）；第二：求非 均速运动的速度，它最早由开普勒(kepler:1571-1630)，伽 利略（Galileo:1564—1642），牛顿(Newton:1642-1727)等 提出来．
y
f (x2)
f f ( x2 ) f ( x1 ) 表示函数f(x) 的图像上 x x2 x1 的两点( x1 , f ( x1 )), ( x2 , f ( x2 ))连线的斜率.
f (x1)
x2 – x1 x1 x2
y = f (x)
f (x 2) – f (x1)
4）物体从3s到3 ts的平均速度 v s(3 t ) s(3) 30 5t (m / s)
(3 t ) 3
平均速度 v 近似地刻画了在某一时间段内物体运动的快慢. 如何精确地刻画物体在某一时刻的速度呢?
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
即如何求物体在t=3s的瞬时速度呢？
t 0
10t0
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
变化率问题资料课件
详细描述
三角函数包括正弦函数、余弦函数等。它们的变化率具有周期性，即在每个周期内，变化率呈现单调性。例如， 正弦函数在每个周期内先增后减，余弦函数则先减后增。
04 变化率问题与导数的关系
导数的定义与性质
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化率 的重要工具，具有丰富的性质和定义方 式。
VS
详细描述
详细描述
在物理学中，变化率问题被广泛应用于各种 物理现象的分析，如速度、加速度、角速度 等物理量的变化率分析。通过对这些物理量 的变化率进行建模和分析，物理学家可以揭 示物理现象的内在规律和机制，为科学技术 的发展提供理论支持。
生物种群增长模型
总结词
生物种群增长模型是变化率问题在生物学领 域的应用，通过分析种群数量的变化率，可 以预测种群未来的发展趋势和生态平衡。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
瞬时变化率
总结词
描述某一特定点处函数值随自变量变 化的速度
详细描述
瞬时变化率是在某一特定点处，函数 值随自变量变化的速率。它通过求导 数来获得，用于描述函数在某一点的 切线斜率。
变化率的计算公式
总结词
提供计算变化率的数学公式
详细描述
平均变化率的计算公式为 [(末值 - 初值) / 时间跨度]。瞬时变化率则通过求导数 来获得，常用的导数公式包括链式法则、乘积法则、商的导数公式等。
要点二
详细描述
在经济学中，变化率问题常常被用来分析经济增长、通货 膨胀、就业率等经济指标的变化情况。通过对这些经济指 标的变化率进行建模和分析，经济学家可以预测未来的经 济走势和趋势，为企业和政府提供决策依据。
物理现象分析
总结词
物理现象分析是变化率问题的另一个重要应 用领域，通过分析物理量的变化率，可以揭 示物理现象的内在规律和机制。
三角函数包括正弦函数、余弦函数等。它们的变化率具有周期性，即在每个周期内，变化率呈现单调性。例如， 正弦函数在每个周期内先增后减，余弦函数则先减后增。
04 变化率问题与导数的关系
导数的定义与性质
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化率 的重要工具，具有丰富的性质和定义方 式。
VS
详细描述
详细描述
在物理学中，变化率问题被广泛应用于各种 物理现象的分析，如速度、加速度、角速度 等物理量的变化率分析。通过对这些物理量 的变化率进行建模和分析，物理学家可以揭 示物理现象的内在规律和机制，为科学技术 的发展提供理论支持。
生物种群增长模型
总结词
生物种群增长模型是变化率问题在生物学领 域的应用，通过分析种群数量的变化率，可 以预测种群未来的发展趋势和生态平衡。
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瞬时变化率
总结词
描述某一特定点处函数值随自变量变 化的速度
详细描述
瞬时变化率是在某一特定点处，函数 值随自变量变化的速率。它通过求导 数来获得，用于描述函数在某一点的 切线斜率。
变化率的计算公式
总结词
提供计算变化率的数学公式
详细描述
平均变化率的计算公式为 [(末值 - 初值) / 时间跨度]。瞬时变化率则通过求导数 来获得，常用的导数公式包括链式法则、乘积法则、商的导数公式等。
要点二
详细描述
在经济学中，变化率问题常常被用来分析经济增长、通货 膨胀、就业率等经济指标的变化情况。通过对这些经济指 标的变化率进行建模和分析，经济学家可以预测未来的经 济走势和趋势，为企业和政府提供决策依据。
物理现象分析
总结词
物理现象分析是变化率问题的另一个重要应 用领域，通过分析物理量的变化率，可以揭 示物理现象的内在规律和机制。
变化率问题 课件
解析：(1)∵Δt＝3，Δs＝s(3)－s(0)＝15， ∴该物体在0≤t≤3这段时间里的平均速度 v 1＝ΔΔst＝5(m/s)． (2)∵Δt＝3－2＝1，Δs＝s(3)－s(2)＝7， ∴该物体在2≤t≤3这段时间里的平均速度 v 2＝ΔΔst＝7(m/s)． (3)∵Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝(2t0＋2)·Δt＋(Δt)2， ∴该物体在t0≤t≤t0＋Δt这段时间里的平均速度 v ＝ΔΔst ＝2t0＋2＋ Δt.
(3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1，则Δy ＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
(4)在平均变化率中，当x1取定值后，Δx取不同的数值时，函数的 平均变化率不一定相同；当Δx取定值后，x1取不同的数值时，函数的 平均变化率也不一定相同．
点评：求平均变化率的步骤： 通常用“两步”法，一作差，二作商，即： ①先求出Δx＝x2－x1，再计算Δy＝f(x2)－f(x1)； ②对所求得的差作商，即得 ΔΔxy＝fxx22－－xf1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1.
考点二 求平均速度 例2 已知某物体的运动方程为s＝t2＋2t(s的单位：m，t的单位： s)．求： (1)该物体在0≤t≤3这段时间里的平均速度； (2)该物体在2≤t≤3这段时间里的平均速度； (3)该物体在t0≤t≤t0＋Δt这段时间里的平均速度．
π 2
附近的平均变化率．
解析：函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 fxx0＋ 0＋ΔΔxx－ －fxx00＝[3x0＋Δx2＋Δx2]－3x20＋2 ＝6x0·ΔxΔ＋x3Δx2＝6x0＋3Δx. 当x0＝2，Δx＝0.1时， 函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为 6×2＋3×0.1＝12.3.
变化率问题PPT优秀课件
并思考下面的问题:
49
h(65) h(0) 10 v h 0
49
t
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映 他在这段时间里运动状态.
平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f ( x1) 表示 x2 x1
h(t)4.9t26.5t10 v
如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运 动状态, 那么:
在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, vh(0.5)h(0)4.0(5 m)/;s
0.50
在1≤ t ≤2这段时间里, vh(2)h(1)8.2(m)/;s
21
探 究:
计算运动员在 0 t 65 这段时间里的平均速度,
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2
同样Δf=Δy=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
理解：
1，式子中△x 、△ f 的值可正、可负，但△x
(单位:dm)之间的函数关系是
V (r) 4 r3
3
在改变？变 量的变化情
如果将半径r表示为体积V的函数, 况？
那么 r (V ) 3 3V 4
我们来分析一下:
r (V ) 3 3V 4
当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1 )r(0 )0 .6 2 (d m ) 气球的平均膨胀率为 r(1)r(0)0.62(dm/L)
变化率问题通用课件
变化率问题解析方法
导数与微分解析法
总结词 详细描述
差分解析法
总结词 详细描述
近似解析法
总结词
近似解析法是通过建立近似函数来研究变化率问题的方法。
详细描述
当函数过于复杂或难以直接求解时，可以采用近似解析法，通过近似函数的性质和结论来研究原函数的变化率问 题。常用的近似解析法包括泰勒级数展开、幂级数展开等。
数值解析法
总结词
详细描述
变化率问题应用实例
经济领域应用
总结词
经济领域中变化率问题应用广泛，涉及 经济增长、通货膨胀、利率变化等方面。
VS
详细描述
在经济学中，变化率问题广泛应用于分析 经济增长、通货膨胀、利率变化等现象。 例如，研究国内生产总值的变化率可以了 解经济增速；分析通货膨胀率的变化有助 于制定货币政策和财政政策；研究利率变 化率则对投资和储蓄决策具有指导意义。
MATLAB具有友好的用户界面和图形化编程方式，使得用户可以更加便捷地进行数值计算和数据处理。
Python软件介绍
Python是一种解释型、高级编程语言，具有简单易学、语法简洁、可读 性强等特点。
Python拥有丰富的第三方库和框架，如NumPy、Pandas、SciPy等，可 以进行科学计算、数据分析、机器学习等多种任务。
工程领域应用
总结词
详细描述
生物领域应用
总结词 详细描述
物理领域应用
总结词
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变化率问题求解软件介绍
MATLAB软件介绍
MATLAB是一款由MathWorks公司开发的商业数学软件，广泛应用于算法开发、数据可视化、数据分 析以及数值计算等领域。
MATLAB提供了丰富的函数库和工具箱，支持多种编程语言和脚本语言，方便用户进行算法设计和数据 分析。
变化率问题 课件
rV 3
3V
4
.（气2）球当的空平气均容膨积胀率V从1L增加到2L时
（1）当空气容积V从0增加到1 L时, 气球半径显增然加了
r1 r0 0.62cm,
气球的平均膨胀率为
r
1
1
r0
0
0.62>0.16
0.62dm / L.
（2）类似地,当空气容量从1 L增加到2 L时, 气球半径
增加了r2 r1 0.16dm,
问题4：用怎样的数学模型刻画函数 值变化的快慢程度？
比值称为函数在某一区间上的平均变化率
思考1：你能给出函数 f (x) 从x1到x2的平均变
化率的定义吗？
函数 f (x) 从x1到x2的平均变化率为
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
❖ 习惯上：Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
运动员的运动状态有什 h 么问题吗？
h( 65) h(0)
v 49 65 0 49
0(s / m)
O
t 65 98
65 49
t
练一练
一运动质点的位移S与时间t满足S(t)=t2,分别计算S(t)
在下列区间上的平均变化率.(位移单位为m,时间单位为s)
（1）[1, 3];
4
（2）[1, 2];
这4年我国人均GDP“猛增”？ 比值反映了在某一时间段内我国人均GDP变化的
快慢程度？
某小区近十年来的房价变化如下图所示
y y元/m2
11000
((1132,,1111000000))
情境2 8000
5500
(121,8000) (101,5500)
2400 (1,2400)
变化率问题 课件
【解题探究】1.函数平均变化率计算式子中，Δx,Δy分别表 示什么？ 2.求函数平均变化率的关键是什么？ 探究提示： 1.Δx是自变量的改变量，即Δx=x2-x1.Δy是函数值的改变 量，即Δy=f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1). 2.关键是求函数值的改变量与自变量的改变量之比, 即 y.
x0
2x
x0
2x
均为函数f(x)在x=a处的导数的表达式.
【类题试解】(2013·杭州高二检测)已知函数y=f(x)在区间
(a,b)内可导，且x0∈(a,b)，则 lim f (x0 h) f (x0 h)
h0
h
的值为( )
A.f′(x0) C.-2f′(x0)
B.2f′(x0) D.0
【解析】选B.方法一：由题意，得
2
2.一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？并说明 它的意义(重力加速度为9.8 m/s2).
【解题探究】1.运动物体的平均速度与瞬时速度有什么关系? 2.题2中“下落3秒时的速度”的含义是什么？ 探究提示： 1.运动物体在某一时刻的瞬时速度是这一时刻平均速度的极 限. 2.其含义是求此小球在下落3秒时的瞬时速度.
变化率问题 导数的概念
一、函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
1.定义式: y = f (x2 ) f (x1) .
x
x2 x1
2.实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比.
3.意义:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.
思考:(1)函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的大小与曲 线y=f(x)在区间[x1,x2]上的“陡峭”程度有什么关系? 提示:平均变化率的绝对值越大,曲线y=f(x)在区间[x1,x2]上越 “陡峭”,否则相反. (2)平均变化率可以是零吗?举例说明. 提示:可以为零,如常数函数f(x)=a(a为常数).
人教A版高中数学选修2-2课件变化率问题.pptx
观察：某城市3月18日——4月20日的温度T（ ℃）相对于
时间t（天）的变化情况，用曲线图表示为：
T (℃)
C (34, 33.4)
30
思考
2（0 注： 3月18日
为第一天）
10 A (1, 3.5)
2
02
10
B (32, 18.6)
20
30 34t(天)
你能从图中观察出各时间段的温度变化情况吗？ 温度快慢的变化情况怎么刻画？
h
65 计算运动员在0 t 这段时间
49
里的平均速度, 并思考下面的问题o :
t
1 运动员在这段时间里是静止的吗? 2你认为用平均速 度描述 运动员运动
状态有什么问题吗?
四．课堂小结
三个实际变 化率问题
函数的平均变化率
代数表示
意义（实际、
几何）
思想方法
从特殊到一般
平均速度
瞬时速度
如何求瞬时速度， 课下你怎么去做？
空白演示
在此输入您的封面副标题
引言
我们这一章研究的内容是导数及其应用， 导数研究的问题就是变化率问题， 即研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢情况．
在我们的日常生活中丰富多彩的变化 率问题是随处可见的，我们就从现实中的 三个问题出发, 开始变化率与导数学习!
1.1.1 变化率问题
问题一 温度变化率问题
相对于水面的高度h与起跳后的时间t
存在的函数关系：
h(t) 4.9t2 6.5t 10
实践操作
h(t) 4.9t2 6.5t 10
计算
在0 t 0.5这段时间里, v h 0.5 h 0 4.05m / s
0.5 0
在1 t 2这段时间里,
5.1.1变化率问题 课件
趋近于
0
时，Δs趋 Δt
近于的常数，就是物体在该时刻的瞬时速度．
练习巩固
练习1. 火箭发射t(s)后,其高度(单位: m)为h(t) 0.9t2.求:
(1)在1 t 2这段时间里,火箭爬高的平均速度; (2)发射后第10s时, 火箭爬高的瞬时速度.
练习巩固
解: (1) v h(2) h(1) 2.7
[解] (1)－v ＝st2t2－－ts1t1＝3×2－22－23×0－02＝22＝1. 所以在 t＝0 到 t＝2 时的平均其位移 s 与时间 t 的关系是 s(t)＝3t－t2.
(1)求 t＝0 到 t＝2 时的平均速度；
(2)求此物体在 t＝2 时的瞬时速度．
练习巩固
练习2：求抛物线 f (x) x2 1在点(0,1)处的切线方程 .
解:
则，k0
lim
x0
f
(0 x) f (0) (0 x) 0
lim (x)2 11 lim x
x0
x
x0
0
抛物线f (x) x2 1在点(0,1)处的切线方程为
y 1 0
练习巩固
练习3：求抛物线 f (x) x2 1在点(2,5)处的切线斜率 .
fx－f1
1＋Δx2－1
x－1
1＋Δx－1
Δx＋2
k＝ 01 ____________＝ 02 ____________＝ 03 _________.
我们发现，当Δx 无限趋近于 0 时，即无论 x 从小于 1 的一边，还是从
大于 1 的一边无限趋近于 1 时，割线 P0P 的斜率 k 都无限趋近于 2.
2 1
解: (2)
v h(10 t) h(10) 0.9 (10 t)2 0.9102
5.1.1变化率问题课件(人教版)
2 1
h(t ) h(t1 )
在t1 t t 2这段时间里, v 2
4.9(t1 t 2 ) 4.8(m / s )
t 2 t1
48
思考3：计算运动员在0≤t≤ 秒内的平均速度？你发现了什么？
49
48
运动员在这段时间里并
h
(
)
h
(
0
)
48
在0 t 49
这段时间里, v 4948
选修第二册
《第五章 一元函数的导数及其应用》
5.1 导数的概念及其意义
本章介绍
为描述现实世界中的运动、变化规律，在数学中引入了函数；
在对函数的深入研究中，数学家创建了微积分(微分学和积分学)。
微积分的创建主要与四类问题的处理相关:
已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；
0(m / s ) 不处于静止状态.
49 1
即用平均速度不能准确地描述运动员在某一时间段里的运动状态.
瞬时速度
问题1.高台跳水运动员的速度
思考4：瞬时速度与平均速度有什么联系与区分？
你能否利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度？
瞬时速度是某一时刻的速度；
平均速度是某一时间段内的速度.
设运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度是ഥ
h(1 t ) h(1)
lim
lim (4.9t 5) 5
t 0
t 0
(1 t ) 1
t 0时, 在[1,1 t ]内 :
h(1 t ) h(1)
v
4.9t 5
(1 t ) 1
问题1.高台跳水运动员的速度
h(t ) h(t1 )
在t1 t t 2这段时间里, v 2
4.9(t1 t 2 ) 4.8(m / s )
t 2 t1
48
思考3：计算运动员在0≤t≤ 秒内的平均速度？你发现了什么？
49
48
运动员在这段时间里并
h
(
)
h
(
0
)
48
在0 t 49
这段时间里, v 4948
选修第二册
《第五章 一元函数的导数及其应用》
5.1 导数的概念及其意义
本章介绍
为描述现实世界中的运动、变化规律，在数学中引入了函数；
在对函数的深入研究中，数学家创建了微积分(微分学和积分学)。
微积分的创建主要与四类问题的处理相关:
已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；
0(m / s ) 不处于静止状态.
49 1
即用平均速度不能准确地描述运动员在某一时间段里的运动状态.
瞬时速度
问题1.高台跳水运动员的速度
思考4：瞬时速度与平均速度有什么联系与区分？
你能否利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度？
瞬时速度是某一时刻的速度；
平均速度是某一时间段内的速度.
设运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度是ഥ
h(1 t ) h(1)
lim
lim (4.9t 5) 5
t 0
t 0
(1 t ) 1
t 0时, 在[1,1 t ]内 :
h(1 t ) h(1)
v
4.9t 5
(1 t ) 1
问题1.高台跳水运动员的速度
5.1.1变化率问题课件(人教版)
(1)设 P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲线 y＝f (x)上任意不同两点，
则平均变化率fx－fx0＝fx0＋Δx－fx0为割线
x－x0
Δx
P0P
的__斜__率_．
(2)当 P 点逐渐靠近 P0 点，即Δx 逐渐变小，当Δx→0 时，瞬时变
化率
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0就 是 Δx
的瞬时速度，这就需要用到我们数学中的“极限”思想，意思就是让Δt无限
趋近于0.
ht0＋Δt－ht0
lim
Δt→0
Δt
思考：在点P0(1,1)的附近任取一点P(x，x2)，考察抛物线f(x)＝x2的割线 P0P有什么变化趋势？
提示 当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置.
曲线的切线斜率
5.1.1 变化率问题
学习目标
1.通过实例，了解平均速度与瞬时速度. 2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系. 3.会求曲线在某一点处的切线方程.
情境导入 在高台跳水中， 运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间存在函数关 系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10， 根据上述探究，你能求该运 动员在0≤t≤0.5,1≤t≤2, 0≤t≤6459内的平均速度吗？
例 1 某物体的运动路程 s(单位：m)与时间 t(单位：s)的关系可 用函数 s(t)＝t2＋t＋1 表示，求物体在 t＝1 s 时的瞬时速度．
[解] ∵ΔΔst＝s1＋ΔΔtt－s1
＝1＋Δt2＋1＋ΔΔtt＋1－12＋1＋1＝3＋Δt，
∴lim Δt→0
ΔΔst ＝Δlitm→0
(3＋Δt)＝3.
提示 0≤t≤0.5 时， v ＝h00.5.5－ －h00＝4.05(m/s)；1≤t≤2 时， v ＝ h22－ －h11＝－8.2(m/s)；0≤t≤6459时， v ＝h46649559－－h00＝0(m/s)；
一元二次方程变化率问题-课件
二次增长后的值为
a •(1 x)n
依次类推n次增长后的值为
设基数为a，平均降低率为x，则一次降低后的值为 a •(1 x) 二次降低后的值为 a •( 1 x )2
依次类推n次降低后的值为 a •( 1 x )n
小结归纳
这节课你有哪些收获？
列方程解应用题的一般步骤
关于两次平均增长(降低)率问题的一 般关系:
学习目标
第一次 a
分析
ax
：
第二次 a+ax=
a（1+x）
a（1+x）x
第三次 a(1+x)+ a(1+x) x
=a（1+x）2
50(1+x)2=72
1 x2 .2
但x 2.2不合题意，舍去
x 0.2 20%
答：二月、三月平均每月的增长率是20%
解：设原价为1个单位，每次降价的百分 率为 x.根据题意，得
27（1-x）2=9 解这个方程，得
x1≈0.42, x2≈1.58(不合题意，舍去) 答：两次降价的平均降价率为42%.
变化率规律小结
（1）增长率问题
设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后
的值为
a •(1 x)
a •(1 x)2
a(1±x)2=A(其中a表示基数,x表表示 增长(或降低)率,A表示新数)
布置作业
a •(1 x)n
依次类推n次增长后的值为
设基数为a，平均降低率为x，则一次降低后的值为 a •(1 x) 二次降低后的值为 a •( 1 x )2
依次类推n次降低后的值为 a •( 1 x )n
小结归纳
这节课你有哪些收获？
列方程解应用题的一般步骤
关于两次平均增长(降低)率问题的一 般关系:
学习目标
第一次 a
分析
ax
：
第二次 a+ax=
a（1+x）
a（1+x）x
第三次 a(1+x)+ a(1+x) x
=a（1+x）2
50(1+x)2=72
1 x2 .2
但x 2.2不合题意，舍去
x 0.2 20%
答：二月、三月平均每月的增长率是20%
解：设原价为1个单位，每次降价的百分 率为 x.根据题意，得
27（1-x）2=9 解这个方程，得
x1≈0.42, x2≈1.58(不合题意，舍去) 答：两次降价的平均降价率为42%.
变化率规律小结
（1）增长率问题
设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后
的值为
a •(1 x)
a •(1 x)2
a(1±x)2=A(其中a表示基数,x表表示 增长(或降低)率,A表示新数)
布置作业
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称为函数 y f(x) 从x 1到 x 2 的平均变化率。其中
令 ， xx2x1 ， yf(x2)f(x1) 则
f(x2)f(x1) y
x2 x1
x
说
明 ：
1.式子中的
x , y 值可正可负，但是 x
值不可以为0， y 值可为0.
2.计算步骤一般是先求函数值的增量再求比 值.
3.变式：
yf(x2)f(x1)f(x1 x)f(x1)
莱布尼茨(1646--1716)德国 数学家、哲学家， 和牛顿同为微积分的创始人.
3.本章我们将要学习的导数是微积分的核心概念之一. 打个比喻如果微积分是万丈高楼，那么平均变化
率就是地基. 那么我们这一节课就相当于是“地基”.
现在我们就开始“打造地基”
新课讲解
导数研究的问题
变化率问题
研究某个变量相对于另一个变量 变化的快慢程度．
v h(t2)h(t1) t2 t1
在现实生活中还有许多平均变化率的问 题如气球膨胀率，那么我们接着“夯实 地基”.
问题二 气球膨胀率
1. 我们大都吹过气球，同学回想在吹气球的过程 中，随着气球内空气容量的增加我们看到的现 象是？
2.看到的现象是： 随着气球内空气容量的增加，气球的
半径增加的越来越慢.
变化率问题
武威六中 王兴年
通过阅读引言我们知道： 1.随着对函数的深入研究产生了微积分,它是数学发展史
上的一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史 上的里程碑.
2.微积分的创立者是牛顿和莱布尼茨.他们都
是著名的科学家，我们应该认识一下.
牛顿（Isacc Newton,1642 - 1727) 是英国数学家、天文学家和物理学家 是世界上出类拔萃的科学家。
直线AB的斜 率
f(x1)
O
B f(x2)-f(x1)=△y
A
x
x1 x2 x2-x1=△x
例题分析
例1: 已知函f(数 x)x2 x的图像上的一点
A(1，2)及附近一 B(点 1x，2y)，则
y
.
x
例2 求yx2在xx0附 近的 平均. 变 化率
例4：经 过 曲 f(x)线 x21上A、B两 点 作
3.从数学的角度,如何描述这一现象呢?
问题二 气球膨胀率
我们知道，气球的体积v（单位：L）与半径 r（单位:dm）
之间的函数关系是
v(r) 4 r3
3
如果将半径表示为体积的函数，那么 3 r (v) 3v 4
现象也就是：随着气球体积的增大,当气球体积 增加量相同时,相应半径的增加量越来越小.
也就是(半径的增加量 ) 和 ( 体积的增加量 ) 的比值越来越小.
（3）过曲线 y f (x) x3上两点P(1,1)和 Q(1x， 1y)，做曲线的割线，当求出 x 0.1时割线的斜. 率
小结
1.我们这节课讲了什么问 题
2.用了几个实例 3.得到一个什么数学定义
平均变化率问题
高台跳水
气球膨胀
4.求函数平均变化率的步 骤：
（1）求函数值的变化量 （2）求比值
这个比值就是气球的平均膨胀率
用数值来说话
分别计算空气容量从0到1,从1到2的半径增加量和气 球的平均膨胀率
当空气容量从0增加到1时，气球半径增加了
r(1)r(0)0.6(2 d)m
气球的平均膨胀率为 r(1)r(0)0.6(2dm L) 10
类似地，当空气容量从1增加到2时，气球的平均膨 . 线 的 斜 率
(1)xA 1，xB 2; (2)xA 1，xB 1.5; (3)xA 1，xB 1.1.
（1） 质 点 运 动 规s 律t2为 3， 则 在 时 间
• 练习： (3，3t)中 相 应 的 而 平 均 速 度. 为
（2） 物 体s(t按 )3t2 t 4的 规 律 作 直 线 运 动 ， 求在 4s附近的平均.变化率
（h(t)=-4.9t2+6.5t+10）
面两个时间段里的平均速度
0t0.5
1t2
v h(00 .5 .5 ) 0 h(0)4.0m 5s v h(22 ) 1 h(1)8.2ms
平均速度反映物体在某时间段里速度的平均变化情况.
思考：运动员从t1到t2时间段里的平均速度的计算式？
问题一
问题一 高台跳水
这两幅图是锁定了运动员比赛的瞬间。
人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高 度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数v 关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10 提问：在物理学习中,我们常用什么描述物体的运动状态?
问 答：速度。
题
一
1.计算高台跳水运动员在下
x x2x1
x
练一练
1.甲用5年时间挣到10万元，乙用6个月时间挣到2万元， 如何比较和评价甲乙两人的经营成果？
2.已知函数f(x)=2x，计算f(x)在区间 3,2上的平均
变化率
思考?
观察函数f(x)的图象
平均变化率
y x
f(x2) f (x1) x2 表x1示什么?
y
Y=f(x)
f(x2)
yf(x2)f(x1)
y
x
函数平均 变化率定 义
y f(x2)f(x1) x x2x1
作业
1.课本第10页第一题。
2.用今天讲的内容各小组自编1-2个 生活中的平均变化率问题（例如 平均每年增长的房价，平均每分 钟股指下跌的点数等）。
3.小组写一篇变化率在生活中的应用 短文。
4.探究
在问题一高台跳水中，计算运动员在0 t 65
问题二 从上面的数值，可以看出，随着气球
体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小, 解决了问题.
思考？ 当空气容量从V1增加到 V2时，气球的平均膨胀
率是多少？ r(V2 ) r(V1) V2 V1
气球的平均膨胀率，反映了气球半径增加 的快慢程度.
函数的平均变化率的定义
一般地,函数 y f (x) 中，式子 f (x2) f (x1) x2 x1
这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：
49
（1）运动员在这段时间里是静止的吗？
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问 题？
令 ， xx2x1 ， yf(x2)f(x1) 则
f(x2)f(x1) y
x2 x1
x
说
明 ：
1.式子中的
x , y 值可正可负，但是 x
值不可以为0， y 值可为0.
2.计算步骤一般是先求函数值的增量再求比 值.
3.变式：
yf(x2)f(x1)f(x1 x)f(x1)
莱布尼茨(1646--1716)德国 数学家、哲学家， 和牛顿同为微积分的创始人.
3.本章我们将要学习的导数是微积分的核心概念之一. 打个比喻如果微积分是万丈高楼，那么平均变化
率就是地基. 那么我们这一节课就相当于是“地基”.
现在我们就开始“打造地基”
新课讲解
导数研究的问题
变化率问题
研究某个变量相对于另一个变量 变化的快慢程度．
v h(t2)h(t1) t2 t1
在现实生活中还有许多平均变化率的问 题如气球膨胀率，那么我们接着“夯实 地基”.
问题二 气球膨胀率
1. 我们大都吹过气球，同学回想在吹气球的过程 中，随着气球内空气容量的增加我们看到的现 象是？
2.看到的现象是： 随着气球内空气容量的增加，气球的
半径增加的越来越慢.
变化率问题
武威六中 王兴年
通过阅读引言我们知道： 1.随着对函数的深入研究产生了微积分,它是数学发展史
上的一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史 上的里程碑.
2.微积分的创立者是牛顿和莱布尼茨.他们都
是著名的科学家，我们应该认识一下.
牛顿（Isacc Newton,1642 - 1727) 是英国数学家、天文学家和物理学家 是世界上出类拔萃的科学家。
直线AB的斜 率
f(x1)
O
B f(x2)-f(x1)=△y
A
x
x1 x2 x2-x1=△x
例题分析
例1: 已知函f(数 x)x2 x的图像上的一点
A(1，2)及附近一 B(点 1x，2y)，则
y
.
x
例2 求yx2在xx0附 近的 平均. 变 化率
例4：经 过 曲 f(x)线 x21上A、B两 点 作
3.从数学的角度,如何描述这一现象呢?
问题二 气球膨胀率
我们知道，气球的体积v（单位：L）与半径 r（单位:dm）
之间的函数关系是
v(r) 4 r3
3
如果将半径表示为体积的函数，那么 3 r (v) 3v 4
现象也就是：随着气球体积的增大,当气球体积 增加量相同时,相应半径的增加量越来越小.
也就是(半径的增加量 ) 和 ( 体积的增加量 ) 的比值越来越小.
（3）过曲线 y f (x) x3上两点P(1,1)和 Q(1x， 1y)，做曲线的割线，当求出 x 0.1时割线的斜. 率
小结
1.我们这节课讲了什么问 题
2.用了几个实例 3.得到一个什么数学定义
平均变化率问题
高台跳水
气球膨胀
4.求函数平均变化率的步 骤：
（1）求函数值的变化量 （2）求比值
这个比值就是气球的平均膨胀率
用数值来说话
分别计算空气容量从0到1,从1到2的半径增加量和气 球的平均膨胀率
当空气容量从0增加到1时，气球半径增加了
r(1)r(0)0.6(2 d)m
气球的平均膨胀率为 r(1)r(0)0.6(2dm L) 10
类似地，当空气容量从1增加到2时，气球的平均膨 . 线 的 斜 率
(1)xA 1，xB 2; (2)xA 1，xB 1.5; (3)xA 1，xB 1.1.
（1） 质 点 运 动 规s 律t2为 3， 则 在 时 间
• 练习： (3，3t)中 相 应 的 而 平 均 速 度. 为
（2） 物 体s(t按 )3t2 t 4的 规 律 作 直 线 运 动 ， 求在 4s附近的平均.变化率
（h(t)=-4.9t2+6.5t+10）
面两个时间段里的平均速度
0t0.5
1t2
v h(00 .5 .5 ) 0 h(0)4.0m 5s v h(22 ) 1 h(1)8.2ms
平均速度反映物体在某时间段里速度的平均变化情况.
思考：运动员从t1到t2时间段里的平均速度的计算式？
问题一
问题一 高台跳水
这两幅图是锁定了运动员比赛的瞬间。
人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高 度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数v 关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10 提问：在物理学习中,我们常用什么描述物体的运动状态?
问 答：速度。
题
一
1.计算高台跳水运动员在下
x x2x1
x
练一练
1.甲用5年时间挣到10万元，乙用6个月时间挣到2万元， 如何比较和评价甲乙两人的经营成果？
2.已知函数f(x)=2x，计算f(x)在区间 3,2上的平均
变化率
思考?
观察函数f(x)的图象
平均变化率
y x
f(x2) f (x1) x2 表x1示什么?
y
Y=f(x)
f(x2)
yf(x2)f(x1)
y
x
函数平均 变化率定 义
y f(x2)f(x1) x x2x1
作业
1.课本第10页第一题。
2.用今天讲的内容各小组自编1-2个 生活中的平均变化率问题（例如 平均每年增长的房价，平均每分 钟股指下跌的点数等）。
3.小组写一篇变化率在生活中的应用 短文。
4.探究
在问题一高台跳水中，计算运动员在0 t 65
问题二 从上面的数值，可以看出，随着气球
体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小, 解决了问题.
思考？ 当空气容量从V1增加到 V2时，气球的平均膨胀
率是多少？ r(V2 ) r(V1) V2 V1
气球的平均膨胀率，反映了气球半径增加 的快慢程度.
函数的平均变化率的定义
一般地,函数 y f (x) 中，式子 f (x2) f (x1) x2 x1
这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：
49
（1）运动员在这段时间里是静止的吗？
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问 题？