变化率问题 ppt课件

（3）过曲线 y f (x) x3上两点P(1,1)和 Q(1x， 1y)，做曲线的割线，当求出 x 0.1时割线的斜. 率
小结
1.我们这节课讲了什么问 题
2.用了几个实例 3.得到一个什么数学定义
平均变化率问题
高台跳水
气球膨胀
4.求函数平均变化率的步 骤：
（1）求函数值的变化量 （2）求比值
这个比值就是气球的平均膨胀率
用数值来说话
分别计算空气容量从0到1,从1到2的半径增加量和气 球的平均膨胀率
当空气容量从0增加到1时，气球半径增加了
r(1)r(0)0.6(2 d)m
气球的平均膨胀率为 r(1)r(0)0.6(2dm L) 10
类似地，当空气容量从1增加到2时，气球的平均膨胀率 约为0.16（dm/L）
3.从数学的角度,如何描述这一现象呢?
问题二 气球膨胀率
我们知道，气球的体积v（单位：L）与半径 r（单位:dm）
之间的函数关系是
v(r) 4 r3
3
如果将半径表示为体积的函数，那么 3 r (v) 3v 4
现象也就是：随着气球体积的增大,当气球体积 增加量相同时,相应半径的增加量越来越小.
也就是(半径的增加量 ) 和 ( 体积的增加量 ) 的比值越来越小.
v h(t2)h(t1) t2 t1
在现实生活中还有许多平均变化率的问 题如气球膨胀率，那么我们接着“夯实 地基”.
问题二 气球膨胀率
1. 我们大都吹过气球，同学回想在吹气球的过程 中，随着气球内空气容量的增加我们看到的现 象是？
2.看到的现象是： 随着气球内空气容量的增加，气球的
半径增加的越来越慢.
yf(x2)f(x1)
y
x
函数平均 变化率定 义
y f(x2)f(x1) x x2x1
作业
1.课本第10页第一题。
2.用今天讲的内容各小组自编1-2个 生活中的平均变化率问题（例如 平均每年增长的房价，平均每分 钟股指下跌的点数等）。
3.小组写一篇变化率在生活中的应用 短文。
4.探究
在问题一高台跳水中，计算运动员在0 t 65
x x2x1
x
练一练
1.甲用5年时间挣到10万元，乙用6个月时间挣到2万元， 如何比较和评价甲乙两人的经营成果？
2.已知函数f(x)=2x，计算f(x)在区间 3,2上的平均
变化率
思考?
观察函数f(x)的图象
平均变化率
y x
f(x2) f (x1) x2 表x1示什么?
y
Y=f(x)
f(x2)
称为函数 y f(x) 从x 1到 x 2 的平均变化率。其中
令 ， xx2x1 ， yf(x2)f(x1) 则
f(x2)f(x1) y
x2 x1
x
说
明 ：
1.式子中的
Fra Baidu bibliotek
x , y 值可正可负，但是 x
值不可以为0， y 值可为0.
2.计算步骤一般是先求函数值的增量再求比 值.
3.变式：
yf(x2)f(x1)f(x1 x)f(x1)
莱布尼茨(1646--1716)德国 数学家、哲学家， 和牛顿同为微积分的创始人.
3.本章我们将要学习的导数是微积分的核心概念之一. 打个比喻如果微积分是万丈高楼，那么平均变化
率就是地基. 那么我们这一节课就相当于是“地基”.
现在我们就开始“打造地基”
新课讲解
导数研究的问题
变化率问题
研究某个变量相对于另一个变量 变化的快慢程度．
（h(t)=-4.9t2+6.5t+10）
面两个时间段里的平均速度
0t0.5
1t2
v h(00 .5 .5 ) 0 h(0)4.0m 5s v h(22 ) 1 h(1)8.2ms
平均速度反映物体在某时间段里速度的平均变化情况.
思考：运动员从t1到t2时间段里的平均速度的计算式？
问题一
割 线 ， 求 割 . 线 的 斜 率
(1)xA 1，xB 2; (2)xA 1，xB 1.5; (3)xA 1，xB 1.1.
（1） 质 点 运 动 规s 律t2为 3， 则 在 时 间
• 练习： (3，3t)中 相 应 的 而 平 均 速 度. 为
（2） 物 体s(t按 )3t2 t 4的 规 律 作 直 线 运 动 ， 求在 4s附近的平均.变化率
这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：
49
（1）运动员在这段时间里是静止的吗？
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问 题？
变化率问题
武威六中 王兴年
通过阅读引言我们知道： 1.随着对函数的深入研究产生了微积分,它是数学发展史
上的一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史 上的里程碑.
2.微积分的创立者是牛顿和莱布尼茨.他们都
是著名的科学家，我们应该认识一下.
牛顿（Isacc Newton,1642 - 1727) 是英国数学家、天文学家和物理学家 是世界上出类拔萃的科学家。
问题二 从上面的数值，可以看出，随着气球
体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小, 解决了问题.
思考？ 当空气容量从V1增加到 V2时，气球的平均膨胀
率是多少？ r(V2 ) r(V1) V2 V1
气球的平均膨胀率，反映了气球半径增加 的快慢程度.
函数的平均变化率的定义
一般地,函数 y f (x) 中，式子 f (x2) f (x1) x2 x1
直线AB的斜 率
f(x1)
O
B f(x2)-f(x1)=△y
A
x
x1 x2 x2-x1=△x
例题分析
例1: 已知函f(数 x)x2 x的图像上的一点
A(1，2)及附近一 B(点 1x，2y)，则
y
.
x
例2 求yx2在xx0附 近的 平均. 变 化率
例4：经 过 曲 f(x)线 x21上A、B两 点 作
问题一 高台跳水
这两幅图是锁定了运动员比赛的瞬间。
人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高 度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数v 关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10 提问：在物理学习中,我们常用什么描述物体的运动状态?
问 答：速度。
题
一
1.计算高台跳水运动员在下