5.2分式的基本性质(1)
九年级数学上人教版《 分式的基本性质》课堂笔记
《分式的基本性质》课堂笔记
一、分式的定义
分式是两个整式相除的商式，其中分子和分母都是整式，且分母中至少含有一个字母。
二、分式的基本性质
分式的基本性质是分式约分和通分的依据，也是解决分式问题的前提和基础。
分式的基本性质可以表述为：如果分式的分子和分母同时乘以（或除以）同
一个不等于零的整式，那么分式的值不变。
用式子表示为：（c≠0）
三、分式的约分
分式的约分是为了简化分式的形式，将分子和分母中的公因式约去的一种变形方法。
在进行分式的运算时，通常需要对分子和分母进行约分，使运算更加简便和准确。
四、分式的通分
通分是将几个异分母的分式转化为与原来的分式相等的同分母的分式的过程。
在进行分式的运算时，通常需要对不同分母的分式进行通分，使运算更加简便和准确。
五、注意点
1.分式的约分和通分都是针对分式的基本性质而言的，其目的是为了简化分
式的形式，使运算更加简便和准确。
2.在进行分式的约分和通分时，要注意分子和分母的公因式和最简公分母的
选择，以及运算的准确性和规范性。
3.分式的约分和通分是解决分式问题的基本技巧和方法，需要在平时的学习
中多加练习和巩固。
5.2分式的基本性质2.2分式的基本性质2
2. 方法归纳： 分解因式，约分
6、课后巩固
将课本第121页的作业题完成。
教学过程：
1、旧知尝试
1.分式的概念：表示两个整式相除，且除式中含有字母的代数式。
2.分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为 ＝ ， ＝ （其中M是不等于零的整式）
3.分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去叫做分式的约分。其中约分的结果是最简分式或整式.
1.已知x=2y，求分式 的值。
分析：直接代入计算，同时请学生用另一种方法试试看，并进行交流哪种方式比较简单。
2.已知3x－4y=0，求分式 的值。
分析：先变形成令一个未知数表示另一个未知数的代数式，同时请学生用另一种方法试试看，并进行交流哪种方式比较简单。
3.计算：
（1）（3ab2－2a2b）÷（2a－3b）
教学内容
分式的基本性质2
总课时2
第2课时
教学目标
1、进一步掌握分式的基本性质及其应用.
2、会在已知等式的情况下将分式化简或求值，体验等量替换、整体代换的数学思想和方法.
3、会运用分式的约分进行多项式除法.
教学重点、
难点
教学重点：
运用分式的约分进行多项式除法.
教学难点：在已知等式的情况下将分式化简或求值，常涉及所求式和已知式两方面的变形，需要有一定的思维灵活性.
（二）例3计算：
（1）（4x2－9）÷（3－2x）（2）（9a2＋6ab＋b2）÷（9a2b－b3）
1.分析：整式的除法主要包括以下内容：同底数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的除法，单项式除以单项式，多项式除以单项式，以及多项式除以多项式。
《分式的基本性质及约分》教案与反思
一、教案内容1.1 教学目标（1）让学生理解分式的概念，掌握分式的基本性质。
（1）培养学生运用分式解决实际问题的能力。
（1）提高学生的数学思维能力和团队协作能力。
1.2 教学重难点（1）分式的基本性质。
（1）分式的约分方法。
1.3 教学准备（1）教师准备PPT，包括分式的基本性质及约分的例题和练习题。
（1）学生准备笔记本，用于记录知识点和做练习题。
1.4 教学过程（1）导入：通过生活实例引入分式的概念，激发学生的学习兴趣。
（1）新课讲解：讲解分式的基本性质，如分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
讲解分式的约分方法，如先找到分子分母的公因式，进行约分。
（1）课堂练习：学生独立完成PPT上的练习题，教师巡回指导。
（1）总结：对本节课的内容进行总结，强调分式的基本性质和约分方法。
二、教学反思2.1 教学效果（1）学生能理解分式的概念，掌握分式的基本性质。
（1）学生能运用分式解决实际问题。
（1）学生的数学思维能力和团队协作能力得到提高。
2.2 教学改进（1）在讲解分式的基本性质时，可以多用生活中的例子进行解释，让学生更容易理解。
（1）在课堂练习环节，可以增加一些难度较高的练习题，提高学生的解题能力。
（1）在总结环节，可以让学生分享他们解决问题的过程，促进学生之间的交流。
三、教学评价3.1 学生评价（1）学生对分式的基本性质和约分方法的掌握程度。
（1）学生在解决实际问题时运用分式的能力。
（1）学生的数学思维能力和团队协作能力的提升。
3.2 教师评价（1）教师对学生的课堂表现进行评价，包括参与度、理解力和表达能力。
（1）教师对学生的作业完成情况进行评价，包括正确率和解题思路。
（1）教师对学生的团队协作能力进行评价，包括沟通协作和解决问题能力。
四、教学反馈4.1 学生反馈（1）学生对分式的基本性质和约分方法的理解程度。
（1）学生在解决实际问题时运用分式的困难程度。
（1）学生对课堂练习题的满意度。
5.2分式的基本性质
(1) 0.01x 0.5 0.3x 0.04
2a 3 b
(2)
2 2ab
3
当系数是小数时：一般情况下，分式的分子、分母都乘
以10的倍数。
当系数是分数时：分式的分子、分母都乘以每一项系数 的分母的最小公倍数；
分式基本性质应用（3）约分
4a3b2 (2a3bc)
9 x 2 2x 2 6x
(2)(9a2 6ab b2)
解：1原式= 4x2 9
3 2x
2x 32x 3
= 3 2x
(92a2原b 式b=3)9. a92 a26babb3 3a b2
=
b 3a b3a b
b2
2x 3
3a b 3a b
1把两个多项式相除表示成分式形式2把分子分母分别进行因式分解3约分用最简分式或整式表示所求的商
银湖中学 刘少丰
分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零 的整式，分式的值不变．
A AM , A AM B BM B BM
(M 是不等于0的整式)
分式基本性质应用（1）处理符号
x2 2xy
3x2 y2 40 y2
9
4 3
y
2
2
4 3
y
3
4 3
y
2
y2
40
y
3 16 y2 8 y2 93 3 16 y2 y2
9
39 y2 39
9
分式基本性质应用（5）多项式相除
课本P120 例3 计算：
(1)(4x2 9) (3 2x).
2015年春季新版浙教版七年级数学下学期5.2、分式的基本性质学案
浙江省衢州市巨化中学七年级数学下册《分式的基本性质》学案（1）浙教版一、 学习准备:1.① ()()20154343=⨯⨯= ②()()3224162416=÷÷= 2.分数的基本性质：分数的分子与分母都_____________,分数的值不变.3.分解因式：①x 2-2x=__________ ②a 2-9=__________ ③a 2-6a+9=____________二、 探究新知：1. 分式的基本性质：图（1）中长方形的长为x ，面积为s ，则宽为_______________图（2）中长方形的长为nx ，面积为ns ，则宽为_______________ 比较这两个宽的大小，你能发现什么规律呢？分式的基本性质：分式的分子与分母都乘．（或除以．．）同一个不等于零的整式分式的值不变．．．。
用式子表示：()的整式是其中______,M MB M A B A M B M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．请你补充下列分式变形中省略掉过程：（1）()()212==x x （2）()()2a ab a b ==（3）()21222+==++x x x 3．想一想：下列等式成立吗？为什么？b a b a =--； ba b a b a -=-=- 从上述等式中发现分式的变号法则： 分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中_____个，分式的值不变。
4．不改变分式的值，将下列分式中字母的系数化为整数：（1）y x y x -+2131 （2）b a b a -+7.05.02.0 分析：将分式的分子和分母都乘各项系数的最小公倍数解：（1）原式= （2）原式=5．不改变分式的值，将下列分式的分子与字母的最高次项的系数都化为正数：（1）112---x x （2）232+--x x6．分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。
最简分式：分子、分母没有公因式的式子叫做最简分式。
七年级下【四清导航】同步练习(含答案)
第5章分式5．2分式的基本性质第1课时分式的基本性质1．(3分)下列各式中，成立的是(xxA.＝2yy2D)xx＋axD.＝(a≠－1)yy＋ayD)xxyB.xx＋aC.2a2．(3分)若分式中a，b的值同时扩大到原来的20倍（a －b）2A.＝1（b－a）20.2a＋b2a＋bA.＝0.7a－＝0.2a －0.3b2a－3b)a－bC.＝－1b－3．(3分)－a－bB.＝－1a(0.5x－150.3x＋2的＋2x－2D.3x＋20A)5x－1A.3x＋2x2＋y2y，2，，，中，最简分式有(3xx－y22（x＋y）2x2个C．3个D．4个a＋b（7．(3分)填空：(1)＝aba2＋ab）；a2bx2＋xyx＋y(2)2＝.x（x）x2x8．(2分)将分式2约分得____．x＋1x＋xx2－99．(3分)约分：＝__x－3__．x＋3m＋4m2－1610．(3分)化简得____；当m＝－1时，原式的值为__1__．33m－122a2－2111．(3分)当a＝时，代数式－2的值为__1__.2a－112．(6分)不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项系数都是正数．－x2－2(1)；－x＋4x2＋2解：(1)x－4－x2－3x＋5(2).x－1x2＋3x－5(2)－x－113．(6分)不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数化为整数：0.2x＋y(1)；10.2x－y211x＋y34(2)11x－y232x＋10y解：(1)2x－5y4x＋3y(2)6x－4y14．(6分)约分：12xy2＋9xyz(1)；3x2y；m3－m(2).4m＋4B4y＋3z)m－m（mm2－n215．(4分)化简2m＋甲图中阴影部分面积16．(4分)如图，设＞2k＜2＜12k＜17．(4分)下列计算正确吗？如果不正确，请写出正确结果．a2－2a＋1(1)＝1－a(a≠1)，__正确__；1－a3x－4y141(2)(x≠y)，__不正确，－__．2＝32x8xy－6x2x18．(8分)用分式表示下列各式的商，并约分：(1)5x÷25x2；(2)(9ab2＋6abc)÷3a2b；(3)(9a2＋6ab＋b2)÷(3a＋b)；(4)(x2－36)÷(2x＋12)．1解：(1)5x3b＋2c(2) a(3)3a＋bx－x2－2xy＋y219．(8分)已知x（x－y）2x－y5－31解：原式＝＝，当x＝5＋3420．(8分)从三个代数式：①a2－2ab＋b2，②3a－3b，③a2－b2中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当a＝6，b＝3时该分式的值．3a－3b解：答案不唯一，选②与③构造出分式22，a－b原式＝3（a－b）331＝，当a＝6，b＝3时，原式＝＝（a＋b）（a－b）a＋b6＋3321．(14分)光明中学有两块边长为x米的正方形空地，现设想按两种方式种植草皮：方式一：如图①，在正方形空地上留两条宽为2m米的小路；方式二：如图②，在正方形空地四周各留一块边长为m米的正方形空地植树，其余种植草皮．学校准备两种方式各用5000元购进草皮．(1)写出按图①、②两种方式购买草皮的单价；(2)当x＝14，m＝2时，求两种方式购买草皮的单价．解：(1)图①阴影部分面积为(x－2m)2，；图②购买草皮单价为2（x－2m）x－4m2(2)－b4a－2a1．(3分)计算·(－)·()的结果是(D)2a3b3bbA．－abB.abC．－4a4aD．－9b a－1a－12．(3分)化简÷2的结果是(B)aa1A.aB．aC．a－11D.a－1)3．(3分)下列各式计算正确的是(C1A.÷(a＋b)＝1a＋ba2－1a2＋aC.÷2＝a－1aaa－1B.2＝a＋1a－a23b2D．2ab÷＝3b22a)y2x2y4．(3分)计算－÷(－3)·2axn2m425．(3分)计算：①·，②·，③÷，．①③B．①④C16－a2a－4a＋26．(3分)化简2÷·，其结果是(A)a＋4a＋42a＋4a＋4A．－2B．22C．－（a＋2）22D.（a＋2）2y7．(3分)计算xy÷的结果是__x2__．x18．(3分)化简(1－)(m＋1)的结果是__m__．m＋19．(12分)计算：12xy2(1)÷8xy；5ax＋yx－y(2)·；x－yx＋yx2－1x－2(3)2÷(x－1)·2；x－4x＋4x＋x4x24xy2x(4)()÷·2÷(－)2.3yy4xy3解：(1)10ax(2)11(3)2x－2xy3(4)39xa2－2a＋110．(6分)化简：(a－a)÷.a－12a－1解：原式＝a(a－1)×＝a（a－1）2x－3x2－911．(8分)先化简，再求值：÷，其中x＝－5.2x－4x－2x－3x－21解：原式＝×＝，2（x－2）（x＋3）（x－3）2（x＋3）11当x＝－5时，原式＝＝－4第2/5页42×（－5＋3）1＋m212．(4分)计算1÷·(m－1)的结果是(B)1－．(4分)计算÷(÷)的结果为(B)aabA．14．(4分)神龙汽车公司某车间a个人b5．3分式的乘除15．(4分)一箱苹果售价为a元，箱子与苹果的总质量为m千克，箱子的质量为n千ax克，则买x千克苹果需付元．m－n81－a29－a116．(8分)先化简，再求值：2÷·，其中a＝3.a＋6a＋92a＋6a＋9（9－a）（9＋a）2（a＋3）121解：原式＝··＝，当a＝3时，原式＝2（a＋3）9－aa＋9a＋33 x2－4x＋4x2－2x17．(8分)先化简÷2＋1，再从0，1，2三个数中选一个合适的，代入求值2xx（x－2）2x－2x2x解：原式＝×＋1＝＋1＝，0，1，2三个数中只有1合适，2xx（x－2）221当x＝1时，原式＝25．3分式的乘除x2＋6x＋9x＋318．(8分)已知y＝2÷2－x＋3.试说明不论x为任何使该式子有意义的值，x－9x－3xy的值均不变．（x＋3）2x（x－3）解：原式＝×－x＋3＝x－x＋3＝3，（x＋3）（x－3）x＋3根据化简结果与x无关可以知道，不论x为任何使分式有意义的值，y的值均不变．99111119．(10分)观察下列各等式：4－2＝4÷2；2－3＝2÷3；(－2)－2＝(－2)÷2；……试回答下列问题：(1)以上各等式都有一个共同特征：某两个实数的____等于这两个实数的____；如果等号左边的第一个实数用x表示，第二个实数用y表示，那么这些等式的共同特征可用含x，y的等式表示为xx－y＝y(2)y2x(3)1616－4＝÷4(2x16．(3分)若x＝－1，y＝2，则2－的值等于(Dx－64y2x－8y1A．－171B.171C.161D.15A))531．(3分)分式－2与的公分母是(6xy4xyzA．12x2yz2．(3分)化简2A.2x－1B．12xyzC．24xyzB11－的结果是(x＋1x－12xC.2x－1AD．24x2yz)2xD．－2x－1)2B3．(3分)2x1－的结果是(x－3x＋a－1x＋12C.x－1D．－27．(3分)化简：(1－11)÷a＝__．a＋1a＋11a28．(3分)化简：－第3/5页a－1＝____a－1．a－12x2＋4x＋4x9．(6分)化简：(1)2－＝____x－2；x－4x－211x－1(2)＋＝____．xx（x－1）10．(12分)化简：13xx2x(2)(－)÷2112a(3)＋－a－a＋2）（a－2）a＋2a＋2a＋2a＋23＋2512．(4分)化简(A．2x＋11－2)·(x－3)的结果是(Bx－3x－12C.x－3x－4D.x－1))2B.x－11113．(4分)若x＋y＝xy，则＋的值为(BxyA．0B．1C．－1D2xy－y2x－ymx214．(4分)若22＝15．(6分)阅读下列解题过程：x－32－2x－11＋x＋1）（x－＝x－3－2(x－1)②＝x(1)x2－4x＋4117．(6分)先化简，再求值：(1－)÷2，其中x＝3.x－1x－1x－1－1（x＋1）（x－1）x＋13＋1解：原式＝×＝，当x＝3时，原式＝＝42x－1（x－2）x－23－2x＋8x＋3118．(6分)先化简：再求值：(2－)÷2，其中x2－4＝0.x－4x＋42－xx－2x2x解：原式＝，由x2－4＝0且x－2≠0，得x＝－2，当x＝－2时，原式＝1x－2x＋1x＋1x19．(6分)先化简，再求值：(2＋)÷2，其中x＝2.x－1x－1x－2x＋1x＋1＋x（x＋1）（x－1）2（x＋1）2（x－1）2解：原式＝×x＋1＝（x＋1）（x－1）×x＋1＝x－1，（x＋1）（x－1）当x【综合运用】20．(8分)甲、乙两地相距s千米，提速前火车从甲地到乙地需要t小时，提速后，行车时间减少了0.5小时，求提速后火车每小时比提速前多行进多少千米？ss解：提速前火车的速度为千米/小时，提速后火车的速度为千米/小时，tt－0.5sss提速后火车每小时比提速前多行进－＝千米．t－0.5tt（2t－1）分式方程的解法124x－51－xyy－1421．(3分)下列关于x，y的方程：＝，＝，－＝－1，＝.其中xx23abx－1y＋3分式方程有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个212．(3分)把分式方程＝转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以(D)x＋4xA．xB．2xC．x＋4D．x(x ＋4)2x33．(3分)将分式方程1－＝去分母，得到正确的整式方程是(B第4/5页)x－1x－1A．1－2x＝3B．x－1－2x＝3C．1＋2x＝3D．x－1＋2x＝321－＝0的根是(D)x－2xC．x＝2D4．(3分)B．x5．(3分)2x1＝1＋的解是(B)x－1x－1B．x＝0C．x＝1D．x±1D．无分式方程的解法分式方程的解法分式方程的解法分式方程的解法欢迎共阅5．5分式方程第1课时分式方程的解法。
分式的基本性质ppt课件
【知识技能类作业】
选做题：
0.4x＋2
5.不改变分式的值，把分式
中分子、分母各项的系数化成
4x＋20
0.5x－1
整数为_5__x_－__1_0_．
课堂练习
x 2－8x y＋16y2
6.分式
约分后的结果为( B )
x 2－16y 2
x ＋4y
x－4y
x ＋4y
A．
B．
C．
D．－8x y
x －4y
x＋4y
4y
课堂练习
【综合实践类作业】
7.先化简，再求值：
（1）x
2
- 4xy 4 (x -2y)3
y2，其中x=
-2
，y
=
3
.
（2）a2 ab
-93bb22，其中a=
-4
，b=
2.
课堂练习
【综合实践类作业】
解：（1）x2
- 4xy 4y (x - 2y)3
2
(x - 2y)2 (x - 2y)3
1， x - 2y
（2） x
2
x2 -9 6x
9
解：（1）-1255aa2bb2cc3
- 5abc 5ac2 5abc 3b
- 5ac2 3b
（2） x
2
x2 -9 6x
9
(x 3)(x -3) (x 3)2
x -3 x 3
新知讲解
【总结归纳】 分式的约分的一般方法： （1）若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公 因式，即分子、分母系数的最大公约数和分子、分母中的相同字母的 最低次幂的乘积； （2）若分式的分子或分母含有多项式，应先分解因式，再确定公因 式并约去.
分式的基本性质课件
目录
• 分式的定义与分类 • 分式的基本性质 • 分式的约分与通分 • 分式的运算性质 • 分式在实际生活中的应用
01 分式的定义与分类
分式的定义
分数形式的表示
分式是形如A/B（其中A和B都是 整式，并且B中含有字母）的数学 表达式，表示为分数形式。
分数形式的特性
分式具有分数形式的特性，如分 子、分母、分数线等。
04 分式的运算性质
分式的加减法运算
相同分母分式的加减法
相同分母的分式可以直接进行加减运 算，分母不变，分子进行相应的加减 运算。
不同分母分式的加减法
不同分母的分式需要先通分，再进行 加减运算。通分后，分母变为两个分 母的最小公倍数，分子进行相应的加 减运算。
分式的乘除法运算
分式的乘法
两个分式相乘，直接将分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母。
分子分母同号性质
分子分母同号，分式值为正
如果分子和分母同为正数或同为负数，则分式的值为正。
分子分母异号，分式值为负
如果分子和分母异号，则分式的值为负。
分子分母异号性质
分式值为负
当分子和分母异号时，分式的值一定是负数。
分子分母同号时，分式值为正
当分子和分母同号时，分式的值一定是正数。
分子分母同倍性质
05 分式在实际生活中的应用
分数在生活中的应用
日常生活中的分数
在日常生活中，我们经常遇到与 分数有关的问题。例如，在食品 包装上，我们经常看到分数的标 注，表示食品的营养成分或成分
比例。
金融领域中的分数
在金融领域中，分数的应用也非 常广泛。例如，在股票交易中， 我们经常听到“五五开”的说法 ，这实际上就是将股票分成五份
5.2 分式的基本性质(1) 课件 浙教版数学七年级下册
例1 化简下列分式：
（１） 8ab2c 12a 2b
（２） a 2 4a 4 a2 4
解（１）
8ab 2 c 12a 2b
4ab (2bc) 4ab (3a)
2bc 3a
（根据什么？）
（ 2 ） a2 4a 4
a2 4
(a 2)2 (a2 4)
(a 2)2
(a 2)(a 2)
a2 a2
像这样把一个分式的分子与分母的公因式约去， 叫做分式的约分.
例题分析
例1 化简下列分式：
（１） 8ab2c 12a 2b
（２） a 2 4a 4 a2 4
解（１）
8ab 2 c 12a 2b
4ab (2bc) 4ab (3a)
2bc 3a
（根据什么？）
Байду номын сангаас
（ 2 ） a2 4a 4
小结
1﹑分式的基本性质. 2﹑分式基本性质的应用. 3﹑化简分式,通常要使结果成为最简分 式或者整式.
谢谢大家！
再见
1 x3
想一想
下列等式成立吗？为什么？
a a; b b
a a a. b b b
练一练
1.不改变分式的值，把下列分式的分子与分母 中各项的系数都化为正数.
（1） 2x 1. x 1
（2） 3 x . x2 2
练一练
2.不改变分式的值，把下列分式的分子与分母 中各项的系数都化为整数.
例题分析
分分式数的基本性质 分分式数的分子与分 母都乘以(或除以)同一个不等于零的 整数式 , 分分式数的值不变.
用式子表示是：
A ＝ A M , B BM
A AM
＝
B BM
（其中M是不等于零的整式）
浙教版2019年七年级数学下册第5章分式5.2第1课时分式的基本性质练习(含答案)
第5章 分式5．2 分式的基本性质 第1课时 分式的基本性质知识点1 分式的基本性质分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．A B ＝A ×M B ×M ，A B ＝A ÷M B ÷M(其中M 是不等于零的整式)． 1．下列分式的变形正确的是( )A.a b ＝a 2abB.a ＋1a －1＝a 2＋2a ＋1a 2－1C.a b ＝ab b2 D.b ＋1a ＝ab ＋1a2 知识点2 分式的约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分．约分要约去分子、分母所有的公因式．分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．约分方法：(1)系数：约去分子、分母中各项系数的最大公约数； (2)字母：约去分子、分母中相同字母的最低次幂； (3)若分子与分母是多项式，应先分解因式再约分．2．化简：(1)10a 3b4ab ＝________；(2)x 2－1x －1＝________；(3)a 2－4a 2＋4a ＋4＝________． 3．在下列分式中，表示最简分式的是( ) A .a 2－a a 2－1 B .a 2＋a a 2－1 C .a 2＋1a 2－1 D .a 2－a a 2＋a一 尝试把非整数系数化为整数系数教材做一做第1题变式题不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数，且使分子与分母不含公因式．(1)12a ＋13b 23a －14b ； (2)45x ＋0.25y 12x －0.6y .二 尝试把最高次项的系数化为正数教材做一做第2题变式题不改变分式的值，使分式的分子、分母中最高次项的系数化为正数． (1)1＋x ＋x 21＋x －x 2； (2)－1＋a －a 2－1－a 2－a 3.三 综合运用所学知识，进行分式的约分教材例1变式题把下列各式约分：(1)－16x 2y 320xy 4； (2)27a n ＋3b 26a n b 3；(3)－6x （a －x ）2－24（x －a ）3y ； (4)a 2＋6a ＋9a 2－9.[归纳总结] 分式的约分就是约去分子与分母中的公因式．找公因式的方法：(1)若分子与分母的系数都是整数，取分子与分母中各项系数的最大公约数；(2)取分子与分母中相同字母的最低次幂；(3)如果分子与分母是多项式，应先分解因式，再找公因式．注意约分的最后结果应是整式或最简分式．[反思] 约分：(1)6y 24xy ；(2)15n （m －n ）2－25（n －m ）.解：(1)6y 24xy ＝6y4x；(2)15n （m －n ）2－25（n －m ）＝5（n －m ）·3n（n －m ）5（n －m ）·（－5）＝3n （n －m ）－5＝－3n 2－3mn 5. 上面两道题的约分是否正确？如果不正确，错在哪里？怎样改正？一、选择题1．下列各式中，成立的是( ) A .x y ＝x 2y 2 B .x y ＝xy x ＋yC .x y ＝x ＋a y ＋a D .x y ＝x ＋axy ＋ay(a≠－1)2．若分式2a a ＋b中a ，b 的值同时扩大为原来的10倍，则此分式的值( )A ．是原来的20倍B ．是原来的10倍C ．是原来的110D ．不变3．计算x 2－9x －3的结果是( )A ．x －3B ．x ＋3C .x －93 D .x ＋3x4.不改变分式0.5x －10.3x ＋2的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，则所得的结果为( )A .5x －13x ＋2B .5x －103x ＋20 C .2x －13x ＋2 D .x －23x ＋205．有下列分式：12x 2y 3x ，x －y x 2－y 2，x 2＋y 22（x ＋y ），y －2x 2x －y ，a 2－2a ＋11－a2，其中最简分式有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题6．填空：(1)1a ＋1＝a ＋1；(2)a 2－4a 2＋4a ＋4＝a －2. 7．2016·南充计算：xy2xy ＝________．8．2016·无锡化简2x ＋6x －9得________．9．化简：()x ＋22－()x －22x＝________．三、解答题10．下列各式正确吗？如果不正确，请写出正确结果． (1)a 2－2a ＋11－a ＝1－a(a≠1)；(2)3x －4y 8xy －6x 2＝12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x≠0且x≠43y .11．约分：(1)15xy 225y 3z ； (2)12xy 2＋9xyz 3x 2y ；(3)m 3－m 4m ＋4； (4)9a 2＋24ab ＋16b 23a ＋4b .12．2016·广州已知A ＝（a ＋b ）2－4abab （a －b ）2(a≠0，b ≠0且a≠b)，化简A.13.今年某厂的生产总值逐月增长，每月的增长率都为p.求今年3月该厂的生产总值与1，2月份这两个月生产总值之和的比．若p ＝5%，这个比值是多少？综合运用光明中学有两块边长为x米的正方形空地，现设想按两种方式种植草皮，方式一：如图5－2－1①，在正方形空地上留两条宽为2m米的路；方式二：如图②，在正方形空地四周各留一块边长为m米的正方形空地植树，其余种植草皮．学校准备两种方式各用5000元购进草皮．图5－2－1(1)写出按图①，②两种方式购买草皮的单价；(2)当x＝14，m＝2时，求按两种方式购买草皮的单价各是多少．(结果均保留整数)详解详析【预习效果检测】1．C [解析] 发现题目中隐含的条件是解本题的关键.a b成立已隐含着条件b ≠0，当分子、分母同乘a ，必须附加条件a ≠0，因此A 项不一定成立，而C 项成立.a ＋1a －1中隐含着a －1≠0，但等号右边的式子中分子、分母同乘(a ＋1)，若要等式成立，则必须附加条件a ＋1≠0.D 项中分子应为ab ＋a .故选C.2．(1)5a 22b (2)x ＋1 (3)a －2a ＋2[解析] (1)原式＝2ab ·5a 22ab ·2b ＝5a 22b .(2)原式＝()x ＋1（x －1）x －1＝x ＋1. (3)原式＝()a ＋2（a －2）()a ＋22＝a －2a ＋2.3．C【重难互动探究】例1 解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋13b ×12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3－14b ×12＝6a ＋4b 8a －3b .(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ＋0.25y ×20⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －0.6y ×20＝16x ＋5y 10x －12y .例2 解：(1)1＋x ＋x 21＋x －x 2＝1＋x ＋x 2－（x 2－x －1）＝－1＋x ＋x2x 2－x －1. (2)－1＋a －a 2－1－a 2－a 3＝－（1－a ＋a 2）－（1＋a 2＋a 3）＝1－a ＋a21＋a 2＋a 3. 例3 解：(1)原式＝－4xy 3·4x 4xy 3·5y ＝－4x5y .(2)原式＝3a n b 2·9a 33a n b 2·2b ＝9a32b.(3)原式＝6（x －a ）2·x 6（x －a ）2·4y （x －a ）＝x4y （x －a ）. (4)原式＝（a ＋3）2（a ＋3）（a －3）＝a ＋3a －3.【课堂总结反思】[反思] 两个都不正确．(1)约分不彻底；(2)最后一步符号错误． 改正：(1)6y 24xy ＝2y·3y 2y·2x ＝3y2x.(2)15n （m －n ）2－25（n －m ）＝5（n －m ）·3n（n －m ）5（n －m ）·（－5）＝3n （n －m ）－5＝3mn －3n 25. 【作业高效训练】 [课堂达标] 1．D 2.D3．[解析] B x 2－9x －3＝（x ＋3）（x －3）x －3＝x ＋3.4．B 5.A6．[答案] (1)a 2＋2a ＋1或(a ＋1)2(2)a ＋2[解析] 根据分式的基本性质求解．比较等式两边分子和分母的变化，再将待填的分母或分子作相应的变形即可．(1)中分子由1到a ＋1，显然是由1乘(a ＋1)得到的，相应地，分母a ＋1也应乘(a ＋1)，得(a ＋1)(a ＋1)＝a 2＋2a ＋1，故填a 2＋2a ＋1；(2)中分子a 2－4＝(a ＋2)(a －2)，分子由(a ＋2)(a －2)到a －2，显然是除以了(a ＋2)，相应地，分母也应除以(a ＋2)，故填a ＋2.7．[答案] y8．[答案]2x －39．[答案] 8[解析] 根据完全平方公式，可得原式＝x 2＋4x ＋4－x 2＋4x －4x ＝8xx ＝8.10．解：(1)正确．(2)不正确，正确的结果为3x －4y 8xy －6x 2＝－12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x≠0且x≠43y . 11．解：(1)15xy 225y 3z ＝5y 2·3x 5y 2·5yz ＝3x5yz .(2)12xy 2＋9xyz 3x 2y ＝3xy （4y ＋3z ）3xy·x ＝4y ＋3z x . (3)m 3－m 4m ＋4＝m （m ＋1）（m －1）4（m ＋1）＝m （m －1）4.(4)9a 2＋24ab ＋16b 23a ＋4b ＝（3a ＋4b ）23a ＋4b＝3a ＋4b.[点评] 分式约分的关键是找出分子与分母的公因式．如果分式的分子、分母是几个因式的积的形式，要约去系数的最大公约数及相同因式的最低次幂；如果分子、分母是多项式，要先对分子、分母进行因式分解，然后再约分．12．解：A ＝a 2－2ab ＋b 2ab （a －b ）2＝1ab. 13．解： 设1月份的生产总值为a ，则2月份的生产总值a(1＋p)，3月份的生产总值为a(1＋p)2. 故今年3月份该厂的生产总值与1，2月份这两个月生产总值之和的比为a （1＋p ）2a ＋a （1＋p ）＝（1＋p ）22＋p .当p ＝5%时，（1＋p ）22＋p ＝441820.[数学活动]解：(1)图①种植草皮的面积为(x －2m)2，图②种植草皮的面积为x 2－4m 2.按图①方式购买草皮的单价为5000（x －2m ）2元/米2；图②方式购买草皮的单价为5000x 2－4m2元/米2.(2)12x ＝14，m ＝2时，按方式一购买草皮的单价是50元/米2，按方式二购买草皮的单价是28元/米2.。
浙江省浦江县第四中学七年级数学下册 5.2 分式的基本性质课件 (新版)浙教版
不改变分式的值，使下列分式的 分子与分母都不含“－”号。
a 1 2b 3x 2 2y x 3 2a
2
做一做
1.不改变分式的值，把下列各式的分 子与分母中各项的系数都化为整数：
（1）
1 x y 3 ; 1 x y 2
（2）
0.2a 0.5b 0.7a b
做一做
x 4 ( x 2)( x 3)
2
2 3
10 与 15
16 8 ； 与 42 21
是否相等?依据是什么?
分数的基本性质
分数的分子与分母都乘以或除以 同一个不等于零的数，分数的值 不变。
x 1 你认为分式 与 相等吗? 2x 2 b ab 与 2 呢? a a
分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或 除以)同一个不等于零的整式, 分式的值不变.
为什么所乘的整式不能为零呢?
分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或 除以)同一个不等于零的整式, 分式的值不变.
A AM B BM
A AM B B M
(其中M是不等于零的整式)
动脑筋
想一想
下列等式成立吗?为什么？
分式的符号法则：
a a ; b b
a a a b b b
随堂练习
随堂练习
P119 1.2.3
接纠错练习
1.分式的基本性质。
2.分式的约分。
3.你在这节课的学习中体会最深刻的问 题是什么？
作业
P171
1.2.3.4.（必做） 5.6.（选做）
2.不改变分式的值，把下列分式的分子 与分母的最高次项的系数都化为正数：
（1）
2x 1 ; x 1
（2）
分式的基本性质
5.2分式的基本性质【教学目标】1、通过类比分数的基本性质，说出分式的基本性质，并能用字母表示。
2、理解并掌握分式的基本性质和符号法则。
3、能运用分式的基本性质和符号法则对分式进行变性和约分。
【教学重点】分式的基本性制及利用基本性质进行约分【教学难点】对符号法则的理解和应用及当分子、分母是多项式时的约分。
【教学过程】（一）类比引入，探求新知下面这些式子成立吗？依据是什么？23 ＝2×53×5 ＝1015 1642 ＝16÷242÷2 ＝821待学生讲出分数的基本性质后，再让学生讲出分数的基本性质的内容。
类似地，分式也有以下基本性质：（板书）分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
（并举例对性质中的关键词：都、同一个、不等于0的整式加以理解）设计说明：分式与分数有许多相似之处，通过类比几个浅显的例子，直观易懂，让学生经历分式的基本性质的得来过程；对几个关键词的理解，目的是让学生更好的掌握和应用性质。
用式子表示为A B ＝A ×M B ×M ，A B ＝A ÷M B ÷M（其中M 是不等于零的整式） （二）应用新知，巩固新知想一想：下列等式成立吗？为什么？-a -b ＝a b -a b ＝a -b ＝－a b先让学生讨论，待学生回答后，教师引导学生得出结论：（板书）分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
做一做：（课内练习）1、不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中的各项子数都化为整数。
（1）x+13 y 12 x-y （2）0.2a ＋0.5b 0.7a-b 2、不改变分式的值，把下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数。
（1）-2x-1x-1 （2）232x x --+ 练一练：课内练习： 1、2 设计说明：目的是应用和巩固分式的基本性质及符号法则。
做一做：例3：化简下列各式：（1）-8ab 2c -12a 2b （2）a 2+4a+4-a 2+4教学建议：教师可以先写出一个能约分的分数，让学生化简，并指出化简的实质：是约分（学生应该能讲出的）。
分式的基本性质是什么
分式的基本性质是什么
分式的基本性质是分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。
分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母。
一、分式的基本性质
1、分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。
2、分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除数，分母为除数，分数线起除号（或括号）的作用。
3、分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母。
4、在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。
这里，分母是指除式而言。
而不是只就分母中某一个字母来说的。
二、分式条件
1、分式有意义条件：分母不为0。
2、分式值为0条件：分子为0且分母不为0。
3、分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。
4、分式值为1的条件：分子=分母≠0。
5、分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。
三、代数式分类
整式和分式统称为有理式。
带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。
无理式和有理式统称代数式。
北师大版八年级数学下册同步精品5.2 分式的乘除法(课件)
2
6
计算:(1)3xy2÷ ;
解:(1)原式=3xy · 2=
2
6
−1
2 −1
(2) 2
÷
.
−4+4 2 −4
2
2·
1 2
= x.
2
6
2
-1
(2)原式= 2-4 +4·
2 -4
( -1)( 2 -4)
( -1)( +2)( -2)
+2
2 -1=(a2 -4 +4)( 2 -1)=( -2)2( -1)( +1)=( -2)( +1).
归纳总结
分式的除法运算
(1)除号变乘号（把除式的分子和分母位置颠倒过来）
(2)① 分子分母是单项式，能约分和约分；
②分子或分母是多项式，能分解因式的先分解因式；
(3)运用分式乘法法则计算，结果应化为最简分式或整式.
探究新知
核心知识点二： 分式的乘方
a n an
（ b） 与
有什么关系？与大家交流一下.
a c ac
A.
b d bd
x y yx
C.
x+ y y x
D )
2a 2
4a 2
B.(
) 2
a b
a b2
m 4 n4
m
D. 5 ． 3
n m
n
随堂练习
6.计算.
3a 2y2
（1） 2
4y 3a
a+2
1
（2）
2
a-2 a 2a
3a 2y2
解： 2
4y 3a
14
分式（一）分式的基本性质
分式（一）分式的基本性质【知识要点】1．用A ，B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成A B 的形式，如果B 中含有字母，式子AB就叫做分式。
对分式的概念要注意以下两点：①分母中应含有字母；②分母的值不能为零，若为零，则该分式就没有意义。
2．整式和分式统称为有理式。
3．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示是,A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷（其中M 是不等于零的整式）。
4．分式的符号变换法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
【典型例题】例1 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？（1）1a ； （2）1x x +； （3）1()3x y +； （4）2212x y -； （5）x y x y +-；（6）5a ； （7）xπ； （8）0.3732a x y ++； （9）1323y x +-； （10）5(3)x y m x +-例2 x 取何值时，下列分式有意义？（1）132x x ++ （2）(1)(5)(1)(2)x x x x +--- （3）15x - （4）213x x -+例3 x 取何值时，下列分式没有意义？ （1）261x x +； （2）2(2)(3)9x x x ---； （3）2111x-例4 x 取何值时，下列分式的值为零？ （1）31x x + （2）55x x -+ （3）211x x +-例5 x为何值时，分式532xx-+的值为正？例6 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中的各项系数化为整数。
（1）0.030.20.080.5x yx y-+；（2）22110.32310.25x yx xy+++；（3）13225m nm n+-例7 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含有“－”号。
（1）23xy---；（2）2nm-（3）25ba-（4）21()nxy+---例8 不改变分式243422231253x x x xx x y xy x y+--+-++-的值，使分子与分母中的最高次项的系数为正数。
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2x , 5y
2x 5y
2x , 5 y
2x 5y
2x 5 y
2x 5y
例1 不改变分式的值，把这个分式的分 子与分母中最高次项的系数都化为正数：
(1)
2x 1 x2 1
(2)
2x 1
1 x2
(2x 1) x2 1
2x x2
1 1
一个负号任你放
的
4
3
6
。老大、老二觉得自己很吃亏，于是三人就大
吵起12来。刚好阿凡提路过，问了争吵的原因后，哈哈地
笑起来，然后耐心地给他们讲了几句话，三兄弟就停止
争吵了。
12 4
==
3 6 12
这是根据 什么呢？
分数的基本性质：
分数的分子与分母都乘以或除以同 一个不等于零的数，分数的值不变．
那么分式有没有类似的性质？
2、有哪些分式是相等的？请说出你的想法？
(1)
a b
(2) b改 和a 变分了母号(3)分的子符ba
改变了a分子 改变a了分母 和(4分) 母号b的符 (5和) 分 的b式 符本 号身
分式的符号规律：
=
==
分子的符号、分母的符号、分式本身的符 号 ,改变其中任意两个，分式的值不变。
口诀：一个负号任你放， 两个负号都去掉。
2、
2x2 10 x x2 10 x 25
3、
a2 6a 9 a2 9
用分式表示下列各式的商，并约分：
1、 4m3n2 (2m3nl) 2、(3x2 x) (x2 x)
3、(x2 9) (2x2 6x)
1、分式的基本性质。
2、分式的约分。
3、你在这节课的学习中体会最深刻的 问题是什么？
样解的：
x3 16x
解：原式
（2 x 4) x(x 4)( x
4)
x2
2 4x
,
当x
4时，原式
42
2 4
4
1 16
你认为小红的解答对吗？如果不正确，请说明理由，并给出 正确的解答。
5.2 分式的基本性质（1）
(1)当 a≠0
x2 (2)当 3
1 时，分式 a 有意义;
x 时，分式 3x 2 无意义;
(3)当
x2
时，分式
1 x 4x 8
有意义；
(4)当 x 1 时，分式
x 1 的值为零。 x 1
你知道阿凡提为什 么会笑吗？
有位老爷爷把一块地分给三个儿子。老大分到了这
块地 1 ，老二分到了这块地的 2 ，老三分到这块地
(_2_x_y__) x2 y2
,
3x x y
15x(x y) (_5_(x_+_y_)_2)
x x2
y y2
(__1___) x y
你能写出多少个与分式 b 的值相
2a
等的分式?请试试。
探究活动
口诀：一个负号任你放，
1、观察下列各分式，两你认个为负分号式的都符去号掉有哪。几个地方可以放置？
8ab2c (1)
12a 2b
(2)
a
2 4a a2
4
4
4ab (2bc) 2bc 解: ⑴ 原式= 4ab (3a) = 3a
（2） 原式=
(a 2)2 (a 2)(a 2)
=
a2 a2
把一个分式的分子和分母的公因 式约去,这种变形叫做分式的约分.
约分的依据是什么？
分式的基本性质
(2
例2 不改变分式的值，把下列各式的分
子与分母中各项的系数都化为整数：
x1 y
(1)
1
x
3 2
y
2
(2) 0.2a 0.5b 0.7a b
a1b (3) 3
2 a 2b 5
(4) 0.03a 0.2b 0.08a 0.5b
例3: 化简下列分式
分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以(或除以)同 一个不等于零的整式,分式的值不变.
用式子表示：
A AM , A AM B BM B BM
（其中M是不等于零的整式）
为什么所乘的整式M不能为零呢?
填
比 比 谁 准确
一 a
填
ab
ab ab
a2 ab
a2b
a2bc ab3
ac
b2
a
ab
填空
2 xy
2x 1 x2 1
(2x 1) (x2 1)
2x 1 x2 1
两个负号都去掉
练一练
不改变分式的值,把下列分式的分子与分母的最高 次项的系数都化为正数：
2x 1
3 x
（1）
x 1 ; （2） x 2 2
解:⑴ 原式= (2x 1) 2x 1
x 1
x 1
(2)
原式=
x3 x2 2
练一练：
1、如果把分式
x (x 0, y 0) x y
中的字母x，y扩大为原来的2倍，则分
c 式的值（ ） 1
A、缩小为原来的 C、不变
2
B、扩大到原来2倍
D、缩小为原来的
x
x
1 4
2、如果把上题分式 x y 改为 xy
那么答案又是什么呢？（ A ）
有一道题目：当X＝4时，求分式 2x 8 的值。小红是这
在化简(1)时同学甲和同学乙出现了分歧
同学甲 同学乙
5xy 5x 20 x2 y 20 x2
5xy 20 x2 y
5xy 4x 5xy
1 4x
分式约分之后分子与分母不再有公因式，此时的分式就
叫做最简分式。
注意：约分一定要把公因式约完，约分的结果应是最简 分式或整式。
约分：
1、
2x3y 4x2 y2