2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目影子定位

2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）

A题太阳影子定位

如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。

1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。

2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。

3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。

4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。

如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？

太阳影子定位

摘要

本文通过分析物体的太阳影子变化，利用太阳影子定位技术建立确定视频拍摄的地点和日期的模型。

针对问题一，首先通过分析知影子长度的变化主要影响参数为：当地的经度λ、纬度ϕ、时刻t、直杆长度l、季节J（日期N)等，引入地理学参数：太阳

赤纬δ、时角α及太阳高度角h 0，建立一个能够刻画影子长度变化和各个参数

间关系的模型：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡⋅⋅-+-=h l h l t 000tan

)cos cos sin sin sin arccos(300151δϕδϕλ；其次以实例对模

型进行检验，在误差可允许的范围内，认为模型正确；进而对模型采用控制变量法分析影子长度关于各个参数的变化规律；然后求解出满足条件影子长度12时15分是最短，大约3.674米（表3）。影子长度的变化曲线（图5），9时至12时15分影子长度呈现下降趋势，12时15分之15时影子长度呈现上升趋势；最后考虑太阳照射中发生折射现象的推广。 针对问题二，

关键词 一、问题重述：

如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。

1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。

2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。

3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。

4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。

如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？

二、问题分析：

针对问题一，首先通过分析知影子长度的变化主要影响参数为：当地的经度

λ、纬度ϕ、时刻t 、直杆长度l 、季节J （日期N )等，引入地理学参数：太阳赤纬δ、时角α及太阳高度角h 0，建立一个能够刻画影子长度变化和各个参数 间关系的模型；其次以实例对模型进行检验，在误差可允许的范围内，认为模型正确；进而根据所建模型分析影子长度关于各个参数的变化规律；然后做出影子长度的变化曲线；最后考虑太阳照射中发生折射现象的推广。

针对问题二，

三、模型假设：

1、求解此问题时忽略地球的自转

2、不考虑太阳光线在穿过大气层时的折射、太阳的视面角、高山阻挡、海拔高度等因素。

3、认为照射到地球上的太阳光可以看成是平行光线，地球上某地的水平地面是地球球面上过该地的切面。

四、符号说明：

δ：太阳赤纬 α：太阳时角

ϕ：表示某地的地理纬度

λ：表示某地的地理经度

h

：太阳高度角

五、问题一的模型建立与求解

5.1影响影子长度参数的确定 1、太阳赤纬

太阳赤纬是地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角且以年为周期，在周年运动中任何时刻的赤纬值δ都是严格已知的，可用下式计算：

）

（13cos 0201.02cos 3656.0cos 758.03sin 1712.02sin 1149.0sin 2567.233723.0θ

θθθθθδ++--++=

式中θ称为日角，即2422.365/2t πθ=，这里0N N t -=,式中N 为积日，就

是日期在年内的顺序号（例如1月1日其积日为1，平年1212月31日的积日为365，闰年则为366等）。

)4/9851-((-1985-2422.06764.790）年份）（年份INT N ⨯+=

（式中INT 表示取整数部分）

故如果已知某日期的年、月、日，代入式（1），即可求得此日期的太阳赤纬值δ。

2、时角

时角表示一天体是否通过了当地的子午圈，其数值表示该天体与当地子午圈的角距离，并借用时间的单位以小时来计量，其中当地时间12

点时的时角为零，令上午的时角为正，下午为负。

某地t 0的时角α计算式如下：

故若给定某地时刻t 0的值，代入式（2），即可求出此时的时角值α

3、太阳高度角

太阳高度角,是指太阳光线与地平面的夹角。应用球面三角形余弦公式

A c b c b a cos sin sin cos cos cos +=，结合图形,可以推出任意时刻太阳高度角h 0的

计算公式为：

）

（3cos )sin()

sin()cos()cos()cos(90909090900α

ϕδϕδ--

+--=-

h