数学建模太阳影子定位

西安邮电大学

(理学院)

数学建模报告

题目：太阳影子定位问题

班级：信息工程1403班

学号：03144079

姓名：侯思航

成绩：

2016年6月30日

一、摘要

本文针对太阳影子定位技术，通过太阳与地球相对运动的规律，建立杆长、影长、经纬度、时间、日期的关系，建立模型。综合分析了不同地点，不同的时间，不同的季节时影子长度的形成规律及变化趋势，运用了软件进行分析，得出不同地区影子变化的模型。最后将具体情况运用到建立的模型中，对实际问题进行可行性分析，根据条件的改变完善对模型的应用和实用性检验。第一问中，我们通过两种太阳高度角的表示方法建立等式关系，根据控制变量法，分析出影子长度分别与经、纬度、杆长、时间、日期的关系。然后，根据时差计算关系，当北京时间在9:00-15:00时，天安门广场的时间，并应用建立的模型。第二问中，首先根据影子坐标求出影子的长度，拟合北京时间与影子长度的函数，找出影子长度的最低的点，从而根据时间求出当地经度，由于误差的存在，我们将经度、杆长、纬度给定一定范围，根据第一问公式进行搜索，从而确定可能的地点。

关键字：（宋体小四号）真太阳时平太阳时赤纬角太阳高度角熵值法

二、问题提出

如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。

1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。

2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。

3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。

4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。

三、问题分析

第一问：根据物体在太阳光照射下将产生影子的自然现象,研究物体影子的形成原理, 通过分析太阳光线照射物体的角度的日变化和年变化，引起物体影子的长度和朝向有规律地变化来建立数学模型。利用Matlab软件绘出影子长短随时间变化的图像。将问题中所给参数带入，解决问题。由于太阳光线照射物体的角度的日变化和年变化，引起物体影子的长度和朝向有规律地变化。

第二问：通过对附件所给的影子坐标的数据，求出影子的长度，然后通过第一问的相关公式，对影长和时间的关系进行拟合，得到一个二次方程，得出影长的最低值，从而可知正午时间，再算出经度。

四、建模过程

第一问

1．模型假设

（1）：假设单一光源（太阳光）照射

（2）：直杆严格垂直于水平地面

（3）：被照射直杆的形状不会影响影子的长度

（4）：将整个天空视为一个天体圆

（5）：不考虑大气折射

（6）：问题中给出的数据可靠

2．定义符号说明

符号含义符号含义

α 偏磁角（赤纬角） e 时差

ε: 太阳高度角ε 入射角

β 经度 γ 纬度

t 北京时间 A 太阳方位角

N 自1月1日算起的第几天L 影子长度

ω 时角:H 杆长

3．模型建立：以杆影在阳光下产生影子端点移动的轨迹，代替太阳运行轨迹。运用相对运动原理，将地球自转及绕太阳公转的运动简化为地球不动，太阳绕地球转动。

（1）计算磁偏角（赤纬角）全年之中，每一天太阳和地球的运转与天体圆赤道之间所形成的夹角，也就是所谓的磁偏角α都不同，会在+23.45与-23.45之间变化，其计算公式为：

α=23.45sin[2π(28+4N) ]/365 (1)

（2）由北京时间计算当地时间：按太阳运行位置，世界采取了时差制度并且遵循此制度，各国时间历法都以此制度为基础。按太阳运行位置，划分时区，每个时区相差15 （每个时区相差1个小时）。当地时间s的计算公式：

S=t-(120-R)/ 60*15 (2)

当所得值为负数时，加上24小时。

（3）计算时角因为地球自转一周约为24小时，所以，太阳每小时大约自东向西移动15

（即360/24 ），故时角w的计算公式为： w=15(12-s) (3)

w为正表示偏东，w为负表示偏西。注意：计算中将其划为弧度制。

（4）计算太阳高度角太阳高度角简称太阳高度(其实是角度)。太阳高度是决定地球表面获得太阳热能数量的最重要的因素，它在数值上等于太阳在地球地平坐标系中的地平高度。太阳高度角ε的计算公式为： ρ=αρχnsin(sincoscoscosarcw) (4)

（5）利用太阳高度角、杆长及影长列出函数式

如图所示，由立竿见影的测量方式，得出影长L公式为：L=H/tan P

4，模型求解：

由有几何学原理，已知tan p 在0

（2）关于北京影长问题的探索

利用Matlab绘出影子的变化规律图。

第一问需要求解的题目中给出一下参数：:

N：自1月1日算起的第295天。

t：北京时间9:00-15:00。

β：东经116度23分29秒。

γ：北纬39度54分26秒。

H 3米。

注意：计算中将经、纬度划弧度制。

将参数带入Matlab中，绘出影子长度变化曲线，如二所示：