高中数学必修五1.2应用举例

解斜三角形在实际中应用的一般步骤： 解斜三角形在实际中应用的一般步骤：
分析转化
实际问题
校 验
数学问题 画出图形） （画出图形）
结论
解斜三角形
解：在∆ABC中，∠BCA=900 +β , ∠ABC = 900 -α , ∠BAC=α − β , ∠BAD = α .
BC sin(90 +β ) BC cos β 根据正弦定理，AB= = . sin(α − β ) sin(α − β ) 解Rt∆ABD, BC cos β sin α 得BD=ABsin∠BAD = . sin(α − β )
a sin β 在∆ACD中，AC= , sin(α − β ) AB=AE+h
=ACsinα +h a sin α sin β = + h. sin(α − β )
问题二： 问题二：测量高度问题
（2）：底部可以到达 ）：底部可以到达
例 、 图在 顶 4 如 , 山 铁 上 处 得 塔 B 测 地 面 一 A的 角 上 点 俯 0 α = 54 40' , 在塔底 C处 得 处 俯 测 A 的 0 角 = 50 1'. 知 已 铁 β 塔 部 的 为 BC 分 高 27.3m, 求 山 C 出 高 D(精 到 m). 确 1
o
第4小题A变更为A=150o呢？ 无解 小题A变更为A=150
问题一： 问题一：测量距离问题
例、 图设 , B两 在 的 岸要 量 点 间 距 . 点 河 两 , 测 两 之 的 离 1 如 , A 测 者 A 同 , 所 的 岸 选 一 C,测 AC的 量 在 的 侧在 在 河 边 定 点 出 A 距 是 m, ∠BAC = 510, ∠ACB = 750,求 , B两 间 距 离 55 点 的 离 (精 到 m). 确 0.1
o
中已知什么， 在△ABC中已知什么， 中已知什么 要求什么？ 要求什么？
抽象数学模型
C
1.40m
600
A
1.95m
60 20′
D B
已知∆ABC的两边AB = 1.95, AC = 1.40, 夹角A = 66 20′, 求第三边的长.
0
练习讲解 已知△ 的两边AB＝ 已知△ABC的两边 ＝1.95m，AC＝1.40m， 的两边 ， ＝ ， 夹角A＝ ° ， 夹角 ＝66°20′，求BC． ． 由余弦定理， 解：由余弦定理，得 C
下列解△ABC问题 分别属于那种类型？ 问题, 下列解△ABC问题, 分别属于那种类型？根据哪 个定理可以先求什么元素？ 个定理可以先求什么元素？
(1)a = 2 3, b = 6, c = 3 + 3 (2)b = 1, c = 2, A = 105
o o o
(3)A = 45 , B = 60 , a = 10 (4)a = 2 3, b = 6, A = 30
AB = AC + BC − 2AC × BC cosα
2 2
问题 1:什么叫仰角与俯角?
仰角：目标视线在水平线上方的叫仰角; 俯角：目标视线在水平线下方的叫俯角.
练习讲解 2．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设 ．如图，自动卸货汽车采用液压机构， 计时需要计算油泵顶杆BC的长度（如图）．已 计时需要计算油泵顶杆 的长度（如图）．已 的长度 ）． 知车厢的最大仰角为60° 油泵顶点B与车厢支 知车厢的最大仰角为 °，油泵顶点 与车厢支 之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的 点A之间的距离为 之间的距离为 ， 与水平线之间的 长为1.40m，计算 的长 夹角为 6 20′ ，AC长为 长为 ，计算BC的长 保留三个有效数字）． （保留三个有效数字）． 什么是最大仰角？ （1）什么是最大仰角？ （2）例题中涉及一个怎样 最大角度 的三角形？ 的三角形？
应用举例
复习
a b c = = = 2R 正弦定理： 正弦定理： sin A sin B sin C
பைடு நூலகம்
a = b + c − 2bc cos A 2 2 余弦定理： 2 余弦定理： b = a + c − 2ac cos B 2 2 2 c = a + b − 2ab cos C
2 2 2
余弦定理推论： 余弦定理推论：
（1）：底部不可以到达 ）：底部不可以到达
例 、AB是底部B不可到达的一个建筑物 A 3 , 为建筑物的 最高点设计一种测量建筑物高度AB . 的方法 .
解：选择一条水平基线HG , 使H , G, B三点在同一条直线上。
由在H , G, 两点用测角仪测得A的仰角分别是
α，β，CD = a, 测角仪器的高是h.
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 ⋅ AB ⋅ AC ⋅ cos A = 1.95 2 + 1.40 2 − 2 × 1.95 × 1.40 × cos 66o 20′ A = 3.751
∴ BC ≈ 1.89( m )
答：BC长约 BC长约1.89m。 长约 。
B
问题二： 问题二：测量高度问题
asin(γ +δ ) asin(γ +δ ) AC = = o sin[180 − (β + γ +δ )] sin(β + γ +δ )
asinγ asinγ = BC = o sin[180 − (α + β + γ )] sin(α + β + γ )
计算出AC和 后 再在⊿ 计算出 和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦 中 定理计算出AB两点间的距离 定理计算出 两点间的距离
0
BC cos β sin α CD=BD-BC= = − BC. sin(α − β ) 把测量数据代人，CD ≈ 150 m). （
答：山的高度约为150米.
问题三： 问题三：测量角度问题
例 如 , 艘 轮 A 发 沿 偏 750的 向 6、 图一 海 从 出 , 北 东 方 航 67.5nmile后 达 岛 ,然 从B 发 沿 偏 行 到 海 B 后 出 , 北 东 0的 向 行 32 方 航 54.0nmile后 达 岛C.如 下 到 海 果 次 航 直 从 出 到 C,此 应 沿 样 方 行 接 A 发 达 船 该 怎 的 向 航 , 要 行 少 离角 精 到 0, 距 精 行需 航 多 距 ( 度 确 0.1 离 确 0.01nmile). 到
分析：用例 的方法 的方法， 分析：用例1的方法，可以计算出河的 这一岸的一点C到对岸两点的距离 到对岸两点的距离， 这一岸的一点 到对岸两点的距离，再 测出∠ 的大小， 测出∠BCA的大小，借助于余弦定理 的大小 可以计算出A、 两点间的距离 两点间的距离。 可以计算出 、B两点间的距离。
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得 测量者可以在河岸边选定两点 、 ， CD=a,并且在 、D两点分别测得∠BCA=α, 并且在C、 两点分别测得 两点分别测得∠ 并且在 ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在⊿ADC和 在 和 ⊿BDC中，应用正弦定理得 中
两点间的距离为65.7米。 答：A,B两点间的距离为 两点间的距离为 米
问题一： 问题一：测量距离问题
例 、如图 A, B两点都在河的对岸 不可到 2 , ( 达), 设计一种测量A, B两点间距离的方法 .
两点都在河的对岸（ 例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达）， 、 、 两点都在河的对岸 不可到达）， 设计一种测量两点间的距离的方法。 设计一种测量两点间的距离的方法。
根据正弦定理， 解：根据正弦定理，得
AB AC = sin ∠ACB sin∠ABC
ACsin∠ACB 55sin ∠ACB AB = = sin∠ABC sin∠ABC 55sin75o 55sin75o = = ≈ 65.7(m) o o o o sin(180 − 51 − 75 ) sin54
b +c −a cos A = , 2bc 2 2 2 c + a −b cos B = , 2ac 2 2 2 a +b −c cos C = . 2ab
2 2 2
四类解三角形问题： 四类解三角形问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角； ）已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （ 2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边 ）已知两边和其中一边的对角， 和角。 和角。 （3）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他 ）已知两边和它们的夹角， 两个角； 两个角； （4）已知三边，求三个角。 ）已知三边，求三个角。