数学物理方程复习精品

数学物理方程复习

一．三类方程及定解问题（一）方程

1.波动方程（双曲型）

U tt = a2U xx +f; 00

U(0,t)= Φ1（t）;

U(l,t)= Φ2（t）;

U(x,0)= Ψ1（x）;

U t(x,0)=Ψ2（x）。

2.热传导方程（抛物型）

U t = a2U xx +f; 00

U(0,t)= Φ1（t）;

U(l,t)= Φ2（t）;

U(x,0)= Ψ1（x）.

3.稳态方程（椭圆型）

U xx +U yy =f; 00.

U(0,x)= Φ1（x）;

U(b,x)= Φ2（x）;

U(y,0)= Ψ1（y）;

U t(y,a)=Ψ2（y）。

（二）解题的步骤

1.建立数学模型，写出方程及定解条件

2.解方程

3.解的实定性问题（检验）

（三）写方程的定解条件

1.微元法：物理定理

2.定解条件：初始条件及边界条件

（四）解方程的方法

1.分离变量法（有界区域内）

2.行波法（针对波动方程，无界区域内）

3.积分变换法（Fourier变换Laplace变换）

Fourier变换:针对整个空间奇：正弦变换偶：余弦变换

Laplace变换：针对半空间

4.Green函数及基本解法

5.Bessel函数及Legendre函数法

例一：在弦的横震动问题中，若弦受到一与速度成正比的阻尼，试导出弦阻尼振动方程。

解：建立如图所示的直角坐标系，设位移函数为U（x,t）,取任意一小段△x进行受力分析，由题设，单位弦所受阻力为b U t（b为常数），在振动过程中有△x所受纵向力为：（T2COSa2-T1COSa1）横向力为：（T2SINa2-T1SINa1-b U t(x+n△x））(0

T2COSa2-T1COSa1=0，T2SINa2-T1SINa1-b(x+n△x)U t=p U tt(x+n△x)△x 在小的振动下SINa1≈TANa1=U x(x,t), SINa2≈TANa2=U x(x+△x,t), COSa2≈COSa1≈1,T=T1=T2.(ρ是密度)

即(T/ρ)[ U x(x+△x,t)- U x(x,t)]/ △x-(b/ρ) U t(x+n△x，t) 即令△x→0时有：U tt+ aU t=a2U xx

例二：设扩散物质的源强（即单位时间内单位体积所产生的扩散物质）为F（x,y,z,t），试导出扩散方程。

解：设U（x,y,z,t）为粒子的浓度（单位体积内的粒子数），在空间内画出一个立方体，体积△V=△X△Y△Z,考虑在△t内△V内的粒子流动情况。

由扩散定律知：

流入X方向的流粒子数为：[q x(x,t)- q x(x+△x,t)] △t△y△z, 流入Y方向的流粒子数为: [q Y(y,t)- q Y(y+△y,t)] △t△x△z, 流入Z方向的流粒子数为: [q z(z,t)- q z(z+△z,t)] △t△x△y. 而源强产生的粒子数为：F（x,y,z,t）△t△x△y△z.

由质量守恒定律为：

[q x(x,t)- q x(x+△x,t)] △t△y△z+[q Y(y,t)- q Y(y+△y,t)] △t△x△z+[q z(z,t)- q z(z+△z,t)] △t△x△y+ F(x,y,z,t）△t△x△y△z= [U（x,y,z,t+△t）- U（x,y,z,t）]△t△x△y△z.

令△t△x△y△z→0时有：（＠是求偏导）

-＠q x/＠x-＠q y/＠y-＠q z/＠z+ F（x,y,z,t）= U t

由自由扩展定律得：

＠(D＠u/＠x）/＠x+＠（D＠u/＠y）/＠y+＠（D＠u/＠z）/＠z+F= U t 若扩散粒子是均匀的：

U t= a2△U.

二．线性偏微分方程

（一）二阶线性偏微分方程

LU=a11U xx+2a12U xy+a22U yy+b1U x+b2U y+c+f

1.主要部分：a11U xx+2a12U xy+a22U yy

2.判别式△= a212- a11a22

△>0 双曲线方程

△=0 抛物型方程

△<0 椭圆方程

3.特征方程

a11（-dy/dx）2-2a12（-dy/dx）+a22=0

特征根：dy/dx=（a12±△1/2）/ a11

特征曲线：y=[（a12+△1/2）/ a11]x+C1

y=[（a12-△1/2）/ a11]x+C2

新旧变量关系：ζ=y+λ1x，η= y+λ2x

令Q=省略

例一：把方程x2U xx+2xyU xy-3y2U yy-2xU x+4yU y+16x4U=0改成标准形式，并判断类型。

例二：x2U xx+2xyU xy+y2U yy=0

例三：化简2aU xx+2aU xy+aU yy+2bU x+2cU y+U=0,并判断类型。a≠0

（二）线性偏微分方程的基本性质

1.线性迭加原理

设L为线性偏微分算子，即LU=f

若u1u2u3……u n是LU=f i的解，则u=∑C i U i是LU=∑C i f i的解。

若u1是LU=0的通解，u2是LU=f的特解，则u= u1+u2是LU=f的一般解。

2.齐次化原理（冲量原理）

原理1：设W是方程W tt= a2W xx W|t=τ=0 W t|t=τ=f（x,t;τ）的解，则u=∫0t W（x,t;τ）dτ是方程U tt= a2U xx+ f（x,t） U|t=0=0 U t |t=0 =0的解。

原理2：W是方程W t= a2W xx W|t=τ=0 W t|t=τ=f（x,t;τ）的解，则u=∫0t W（x,t;τ）dτ是U t= a2U xx+ f（x,t） U|t=0=0 的解。

3.特征值函数δ

δ（x-x0）={0 x≠0∞ x=x0

∫δ（x-x0）dx=1

性质：Φ（x）是连续函数，则∫δ（x-x0）Φ（x）=Φ（x0）