18学年高中物理第二章匀速圆周运动第3节圆周运动的实例分析教学案教科版必修2

第3节圆周运动的实例分析1.汽车通过拱形桥的运动可看做竖直平面内的圆周运动，在拱形桥的最高点，汽车对桥的压力小于汽车的重力。

2．旋转秋千、火车转弯、鸟或飞机盘旋均可看做在水平面上的匀速圆周运动，其竖直方向合力为零，水平方向合力提供向心力。

3．当合外力提供的向心力消失或不足时，物体将沿圆周运动的切线方向飞出或远离圆心而去的运动叫做离心运动。

一、汽车过拱形桥二、“旋转秋千”“旋转秋千”运动可简化为圆锥摆模型，如图2­3­1所示。

图2­3­11．向心力来源物体做匀速圆周运动的向心力由物体所受的重力和悬线对它的拉力的合力提供。

2．动力学关系mg tan_α＝mω2r，又r＝l sin_α，则ω＝gl cos α，周期T＝2πl cos αg，所以cos α＝gω2l，由此可知，α角度与角速度ω和绳长l有关，在绳长l确定的情况下，角速度ω越大，α越大。

三、火车转弯1．运动特点火车转弯时实际是在做圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，所以需要很大的向心力。

2．向心力来源在修筑铁路时，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和支持力N的合力提供。

如图2­3­2所示。

图2­3­2四、离心运动1．定义物体沿圆周运动的切线方向飞出或远离圆心而去的运动。

2．原因合外力提供的向心力消失或不足。

3．应用(1)离心机械：利用离心运动的机械。

(2)应用：洗衣机的脱水筒；科研生产中的离心机。

1．自主思考——判一判(1)汽车行驶至凸形桥顶时，对桥面的压力等于车的重力。

(×)(2)汽车过凹形桥底部时，对桥面的压力一定大于车的重力。

(√)(3)汽车过凸形桥或凹形桥时，向心加速度的方向都是向上的。

(×)(4)“旋转秋千”的缆绳与中心轴的夹角与所乘坐人的体重无关。

(√)(5)做离心运动的物体一定不受外力作用。

(×)(6)做圆周运动的物体只有突然失去向心力时才做离心运动。

(×)2．合作探究——议一议(1)如果汽车过凸形桥桥顶的速度v＝gR，此后汽车做什么运动？汽车还能落在半圆柱形桥面上吗？提示：汽车过桥顶的速度达到v＝gR，汽车将做平抛运动，落到地面时s＝vt＝v 2R g＝2R＞R，故汽车不会落在半圆柱形桥面上。

(2)除了火车弯道具有内低外高的特点外，你还了解哪些道路具有这样的特点？提示：有些道路具有外高内低的特点是为了利用弯道的支持力与车辆重力的合力提供向心力，进而提高车辆的转弯速度，因此一些赛车项目的赛道的弯道要做得外高内低，比如汽车、摩托车、自行车赛道的弯道，高速公路的拐弯处等。

(3)雨天，当你旋转自己的雨伞时，会发现水滴沿着伞的边缘切线飞出，你能说出其中的原因吗？图2­3­3提示：旋转雨伞时，雨滴也随着运动起来，但伞面上的雨滴受到的力不足以提供其做圆周运动的向心力，雨滴由于惯性要保持其原来的速度方向而沿切线方向飞出。

1．转弯时的圆周平面火车做圆周运动的圆周平面是水平面，火车的向心加速度和向心力均是沿水平方向指向圆心。

2．规定速度大小设轨道间距为L ，两轨道高度差为h ，转弯半径为R ，火车质量为M 。

根据三角形知识可得，sin α＝h L ，由火车的受力情况可得：tan α＝F Mg。

因为α角很小，所以sin α≈tanα，故h L ＝F Mg ，所以向心力F ＝h L ·Mg 。

又因为F ＝Mv 02R ，所以车速v 0＝ghRL。

由于火车轨道建成后，h 、L 、R 各量是确定的，所以火车转弯时的车速应当是一个定值。

图2­3­43．当火车行驶速度v 与规定速度v 0不相等时，火车所需向心力不再仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘有挤压作用，具体情况如下：(1)当火车行驶速度v >v 0时，外轨道对轮缘有侧压力。

(2)当火车行驶速度v <v 0时，内轨道对轮缘有侧压力。

[典例] 有一列重为100 t 的火车，以72 km/h 的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m 。

(g 取10 m/s 2)(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值。

[思路点拨] 解答本题时应注意以下两个方面：(1)内外轨一样高时，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯的向心力。

(2)火车通过弯道所受侧向压力为零时，重力和铁轨对火车的支持力的合力提供火车转弯的向心力。

[解析] (1)外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有N ＝m v 2r＝105×202400N ＝105N 。

由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于105N 。

(2)火车的重力和铁轨对火车的弹力的合力提供向心力，如图所示，则mg tan θ＝m v 2r由此可得tan θ＝v 2rg＝0.1。

[答案] (1)105N (2)0.1火车转弯问题的两点注意(1)合外力的方向：火车转弯时，火车所受合外力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下。

因为火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的向心力即合外力应沿水平面指向圆心。

(2)规定速度的唯一性：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用。

速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力。

1．(多选)铁路转弯处的弯道半径r 是根据地形决定的。

弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h 的设计不仅与r 有关，还与火车在弯道上的行驶速率v 有关。

下列说法正确的是( )A ．v 一定时，r 越小则要求h 越大B ．v 一定时，r 越大则要求h 越大C ．r 一定时，v 越小则要求h 越大D ．r 一定时，v 越大则要求h 越大解析：选AD 设轨道平面与水平方向的夹角为θ，由mg tan θ＝m v 2r ，得tan θ＝v 2gr ；又因为tan θ≈sin θ＝h L ，所以h L ＝v 2gr。

可见v 一定时，r 越大，h 越小，故A 正确，B 错误；当r 一定时，v 越大，h 越大，故C 错误，D 正确。

2．随着我国综合国力的提高，近几年来我国的公路网发展迅猛。

在公路转弯处，常采用外高内低的斜面式弯道，这就可以使车辆经过弯道时不必大幅减速，从而提高通行能力且节约燃料。

若某处有这样的弯道，其半径r ＝100 m ，路面倾角为θ，且tan θ＝0.4，g 取10 m/s 2。

(1)求汽车的最佳通过速度，即不出现侧向摩擦力时的速度；(2)若弯道处侧向动摩擦因数μ＝0.5，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求汽车的最大速度。

解析：(1)如图甲所示，当汽车通过弯道时，在水平面内做圆周运动，不出现侧向摩擦力时，汽车受到重力G 和路面的支持力N ′两个力作用，两力的合力提供汽车做圆周运动的向心力，则有mg tan θ＝m v 02r所以v 0＝gr tan θ＝20 m/s(2)当汽车以最大速度通过弯道时的受力分析如图乙所示。

将支持力N 和摩擦力f 进行正交分解，有水平方向f cos θ＋N sin θ＝m v 2r①竖直方向f sin θ＋mg ＝N cos θ② 且f ＝μN ③由以上三式可解得m v 2r ＝tan θ＋μ1－μtan θ·mg代入数据得v ＝15 5 m/s 答案：(1)20 m/s (2)15 5 m/s1．离心运动的实质离心运动是物体逐渐远离圆心的一种物理现象，它的本质是物体惯性的表现。

做圆周运动的物体，总是有沿着圆周切线方向飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力作用的缘故。

从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切线方向拉到圆周上来。

一旦作为向心力的合外力突然消失，物体就会沿切线方向飞出去。

2．离心运动的受力特点物体做离心运动并不是物体受到离心力作用，而是由于合外力不能提供足够的向心力。

所谓“离心力”实际并不存在。

3．合外力与向心力的关系(1)若F 合＝mr ω2或F 合＝mv 2r，物体做匀速圆周运动，即“供等于求”。

(2)若F 合＞mr ω2或F 合＞mv 2r，物体做半径变小的近心运动，即“供过于求”。

(3)若F 合＜mr ω2或F 合＜mv 2r，则外力不足以将物体拉回到原轨道上，而做离心运动，即“供不应求”。

(4)若F 合＝0，即“断供”，则物体沿圆周的切线方向做直线运动。

图2­3­5[典例] 如图2­3­6所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，则两个物体的运动情况是( )图2­3­6A．两物体均沿切线方向滑动B．两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远C．两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动D．物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体A发生滑动，离圆盘圆心越来越远[思路点拨] 根据题图可知：(1)两物体角速度相同，r A>r B，当圆盘转速逐渐增加时，A物体先达到最大静摩擦力，然后细线上开始出现张力。

(2)当两物体刚好不发生滑动时，A、B间的细线有张力，且A、B两物体所受摩擦力均达到最大静摩擦力。

[解析] A、B受力情况如图所示。

A、B两物体刚好还未发生滑动时，物体A需要的向心力F A＝f max＋T＝mω2r A，物体B需要的向心力F B＝f max－T＝mω2r B，因此F A＞F B，烧断细线后，细线上拉力T消失，对A有f max＜mω2r A，物体A做离心运动；对B有f max＞mω2r B，物体B随盘一起转动，选项D正确。

[答案] D(1)在离心现象中并不存在离心力，是外力不足以提供物体做圆周运动所需的向心力而引起的，是惯性的一种表现形式。

(2)物体的质量越大，速度越大(或角速度越大)，半径越小时，圆周运动所需要的向心力越大，物体就越容易发生离心现象。

(3)做离心运动的物体，并不是沿半径方向向外远离圆心。

1. (多选)如图2­3­7所示，洗衣机的脱水筒采用带动衣物旋转的方式脱水，下列说法中正确的是( )图2­3­7A ．脱水过程中，衣物是紧贴筒壁的B ．水会从桶中甩出是因为水滴受到向心力很大的缘故C ．加快脱水筒转动角速度，脱水效果会更好D ．靠近中心的衣物脱水效果比四周的衣物脱水效果好解析：选AC 脱水过程中，衣物做离心运动而甩向桶壁，故A 正确；水滴依附的附着力是一定的，当水滴因做圆周运动所需的向心力大于该附着力时，水滴被甩掉，故B 错误；F ＝ma ＝m ω2R ，ω增大会使向心力F 增大，而转筒有洞，不能提供足够大的向心力，水滴就会被甩出去，增大向心力，会使更多水滴被甩出去，故C 正确；中心的衣服，R 比较小，角速度ω一样，所以向心力小，脱水效果差，故D 错误。