最新多项式
多项式2005
2005年研究生入学考试题—多项式
2005—001—1-<1>：复数域上的多项式33x x a -+没有重根的充要条件是：
2005—002—2： 证明：如果()|('')f x f x ，则()f x 的根只能是零或单位根。
2005—004—3 ： 设()f x 是一个整系数多项式。证明：如果存在一个偶数m 和一个奇数n
使得()f m 和()f n 都是奇数，则()f x 没有整数根。
2005—006—2： 如果α是'''()f x 的2重根，则α一定是多项式()f x 的5重根。
2005—006—6： 若三次实系数多项式()f x 恰有一个实根，?为()f x 的判别式，则
A .0?> B. 0?= C. 0?< D. R ??。
2005—006—18： 试在有理数域、实数域以及复数域上将987()1f x x x x x =+++
++分解
为不可约因式的乘积（结果用根式表示），并简述理由。
2005—007—3 设p(x),q(x)是数域F 上的不可约多项式,且p(x)≠q(x),证明:对F 上任一个
多项式f(x),则有(f(x),p(x))=1,或存在u(x),v(x),使得f(x)=u(x)p(x)+v(x)q(x).
2005---009—6 设'()((),())()f x f x f x g x =,且g(x)在复数域内只有二个根2,-3,又g(1)=-20,
试求g(x);若f(0)=1620,则f(x)能否被确定?
2005---009—8 设f(x),g(x)为数域F 上多项式,证明(f(x),g(x))=1的充分必要条件是
(f(x)+g(x),f(x)g(x))=1.
2005---011—1(1) 设f(x)是有理数域上的不可约多项式,α为在复数域内的一个根,则α的重数为_____.
2005---011---2 设f(x),g(x)是数域P 上的多项式,证明,在数域P 中,若33()|(),f x g x 则()|()f x g x .
2005－013－1(1)： 假设多项式(),(),()f x g x h x 满足：
2(1)()(1)()(2)()0x h x x f x x g x ++-+-=
2(1)()(1)()(2)()0x h x x f x x g x +++++=
判断()f x 是否能被21x +整除？
2005—015—2（1）： 设p 是奇素数，试证1p x px ++在有理数域上不可约。
2005—015—2（2）：判断2x =是5432()6112128f x x x x x x =-+--+的几重根。
2005—017—7： 试求7次多项式()f x ，使得()1f x +能被4(1)x -整除，而()1f x -能被4(1)x +整除。
2005—018—3： 设32()638f x x x px =+++，试确定p 的值使()f x 有重根，并求其根。 2005—021—1（1）：判断题：若α为'()f x 的k 重根，则α为f(x)的k+1重根（这里'()f x 表示多项式
f(x)的微商或导数）。
2005—022—1： 证明：如果(f(x),g(x))=1,那么(f(x)g(x)(f(x)+g(x)),f(x)+f(x)g(x))=1。
2005—025—1（1）：设249723699()(623)(362)
f x x x x x x =---+，则f(x)的展开式中各 项系数之和为多少？
2005—027—1（1）：试确定A ，B ，使得x —1是多项式1()1(1)n n f x Ax Bx n +=++>的二重因式。
第04讲 多项式定理及组合恒等式
沈晶
第4讲多项式定理及组合恒等式Pascal公式 二项式定理 多项式定理 牛顿二项式定理 组合恒等式证明
Pascal 公式 对于满足1≤k ≤n -1的所有整数k 和n 证法1：直接计算方法（略）证法2： 令S 是n 个元素的集合 任取一个元素用x 表示 S 的k -组合的集合可划分为不包含x 的k -组合和包含x 的k -组合 则?? ? ??--+??? ??-=??? ??111k n k n k n Blaise Pascal ??? ??k n ??? ??-k n 1? ? ? ??--11k n =+
第4讲多项式定理及组合恒等式Pascal公式 二项式定理 多项式定理 牛顿二项式定理 组合恒等式证明
设n 是正整数，对任意x , y 有 证法一：数学归纳法（略） 证法二： (x+y)n =(x+y)?(x+y)?…?(x+y) n 个x +y 相乘，每个x +y 在相乘时有两种选择，x 或y 由乘法法则可知，乘积中共有2n 项，并且每一项都可以写成x k y n-k 的形式，k = 0, 1, …, n 对于项x k y n-k ，是在k 个x +y 中选择了x ，其余n -k 个x +y 选择了y 而得到的，从n 个x +y 中选取k 个选择x 的选法数为C (n ,k )，所以该项系数为C (n ,k )。定理得证。 ()k n k n k n y x k n y x -=∑?? ? ??=+0二项式系数
推论1 推论2 () n k n k n x n n x n n x k n x ??? ??++??? ??+??? ??=??? ??=+∑= 1010 () ()()n n k n k k n x n n x n n x k n x 110110 -??? ??++??? ??-??? ??=??? ??-=-∑= 二项式定理 y=1 推论1 x = -x
第四章 最佳逼近
第四章最佳逼 近 学习目标：掌握最佳一致逼近和最佳平方逼近的基本理论和 方法、以及最小二乘法常用 的正交多项式以及正交多项 式的性质。重点为最佳一致 逼近和最佳平方逼近的特征 性质（如契比雪夫定理等） 以及最佳一致逼近和最佳平 方逼近多项式的计算方法。
§1 C[a ,b ]上的最佳一致逼近 不难验证，[a ,b ]上所有连续函数的全体构成一无限维线性空间， 简记为C[a,b]。为描述方便，引进符号函数 ，称为C[a,b] 上的一致范数或契比雪夫（Chebyshev ）范数，其定义为 ∞?],[] ,[,)(max b a b a x C f x f f ∈?=∈∞考虑所有n 次代数多项式的全体形成的集合 . 不难验证，P n 是C [a ,b ]上的n+1维线性子空间。 { }n n x x span P ,,,1 =
对给定的函数f (x )∈C [a ,b ]称量： ) ()(min ),(x p x f P f n P p n -=?∈为f (x )关于P n 的最佳一致逼近，简称最佳逼近，也称为契比雪夫逼近。满足上式的多项式p *(x )称为f (x )在[a ,b ]上的最佳逼近多项式，而线性空间 P n 也称为逼近子空间。 围绕这一问题，人们马上会问：最佳逼近多项式是否存在？是否唯一？如果存在，如何寻找或构造它？对这些问题的回答构成了最佳一致逼近研究的中心内容。
定理（契比雪夫定理） 对任意 是f 的最佳一致逼近多项式的充要条件是f - p 在[a ,b ]上存在的至少有n +2个点组成的交错点组。 n b a p p C f ∈∈,],[推论1 如果 ，那么在 中存在唯一的元素为f 的最佳一致逼近多项式 ],[b a C f ∈n p 推论 2 如果f 在[a ,b ]上有n +1阶导数，且 在 （a ,b ）上保号（恒正或恒负），那么契比雪夫交 错组唯一，且区间[a ,b ]的端点属于契比雪夫交错组。 )1(+n f
多项式乘多项式试卷试题附标准答案.doc
多项式乘多项式试题精选（二） 一．填空题（共13 小题） 1．如图，正方形卡片 A 类、 B 类和长方形卡片 则需要 C 类卡片_________张． C 类各若干张，如果要拼一个长为（2a+b），宽为（a+b）的长方形，2．（ x+3）与（2x﹣ m）的积中不含x 的一次项，则m=_________ ． 3．若（x+p）（ x+q）=x2+mx+24， p，q 为整数，则m的值等 于 _________ ． 4．如图，已知正方形卡片长方形，则需要 A 类卡片A 类、 B 类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼成一个长为（a+2b）、宽为（ _________ 张， B 类卡片_________张，C类卡片_________张． a+b）的大 5．计算： 2 3 （﹣ p）? （﹣ p）= _________ ；= _________ ；2xy?（_________ 2 ）=﹣ 6x yz ；（ 5﹣ a）（ 6+a）= _________ ． 6．计算（ x2﹣ 3x+1）（ mx+8）的结果中不含x2项，则常数m的值为_________． 7．如图是三种不同类型的地砖，若现有A 类4 块，B 类 2 块，C类 1 块，若要拼成一个正方形到还 需 B类地 砖 _________ 块． 8．若（ x+5）（ x﹣ 7） =x2 +mx+n，则 m= _________ ，n= _________ ． 9．（ x+a）（x+）的计算结果不含 x 项，则 a 的值是_________ ． 10．一块长 m米，宽 n 米的地毯，长、宽各裁掉 2 米后，恰好能铺盖一间房间地面，问房间地面的面积是_________ 平方米． 11．若（ x+m）（ x+n） =x2﹣ 7x+mn，则﹣ m﹣ n 的值为_________ ． 2 2 3 2 _________ ． 12．若（ x +mx+8）（ x ﹣ 3x+n）的展开式中不含x 和 x 项，则 mn的值是 2 2 3 的值为 _________ ． 13．已知 x、 y、 a 都是实数，且 |x|=1 ﹣ a， y =（ 1﹣ a）（a﹣ 1﹣ a ），则 x+y+a +1 二．解答题（共17 小题） 14．若（ x2+2nx+3）（ x2﹣ 5x+m）中不含奇次项，求m、 n 的值． 15．化简下列各式： （1）（ 3x+2y ）（ 9x 2﹣ 6xy+4y 2）； 2 （2）（ 2x﹣3）（ 4x +6xy+9）； （3）（ m﹣）（ m2+m+）；
10.连续函数的多项式一致逼近
附录一 Bernstein 多项式：连续函数的多项式逼近 连续函数可以由多项式一致逼近是分析中的重要定理，直接的证明方法就是用函数的Bernstein 多项式去逼近函数。通常的教材中的证明比较难于理解，我们选择前苏联数学家Korovkin 在1953年给出证明方法，解决了教学中的这一难点。 Weierstrass 第一逼近定理 设是闭区间[a , b ]上的连续函数，则存在多项式序列{在[a , b ] 上一致收敛于。也就是对任意给定的)(x f })(x P n )(x f 0>ε，存在多项式，使得 )(x P εM ∈t M t f ≤)(； 根据Cantor 定理，f 在[0, 1]上一致连续，于是对任意给定的0>ε，存在0>δ，
数学实验“Chebyshev多项式最佳一致逼近,最佳平方逼近”实验报告(内含matlab程序)
西京学院数学软件实验任务书
实验十八实验报告 一、实验名称：Chebyshev 多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。 二、实验目的：进一步熟悉Chebyshev 多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。 三、实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica 等其中一种语言完成程序设计。 四、实验原理： 1．Chebyshev 多项式最佳一致逼近： 当一个连续函数定义在区间[1,1]-上时，它可以展开成切比雪夫级数。即： 0()()n n n f x f T x ∞ ==∑ 其中()n T x 为n 次切比雪夫多项式，具体表达式可通过递推得出： 0111()1,(),()2()()n n n T x T x x T x xT x T x +-===- 它们之间满足如下正交关系： 1 0 n m n=m 02 n=m=0 π π-≠???=≠?????
在实际应用中，可根据所需的精度来截取有限项数。切比雪夫级数中的系数由下式决定： 1 01 1 2n f f ππ --== ? ? 2．最佳平方逼近： 求定义在区间01[,]t t 上的已知函数最佳平方逼近多项式的算法如下。 设已知函数()f x 的最佳平方逼近多项式为 01()n n p x a a x a x =+++ ，由最佳平方逼近的定义有： 01(,,,) 0(0,1,2,,)n i F a a a i n a ?==? 其中1 20101(,,,)(())t n n n t F a a a f x a a x a x dx =----? 形成多项式()p x 系数的求解方程组Ca D =
标准CRC生成多项式如下表：
标准CRC生成多项式如下表： 名称生成多项式简记式* 标准引用 CRC-4 x4+x+1 3 ITU G.704 CRC-8 x8+x5+x4+1 0x31 CRC-8 x8+x2+x1+1 0x07 CRC-8 x8+x6+x4+x3+x2+x1 0x5E CRC-12 x12+x11+x3+x+1 80F CRC-16 x16+x15+x2+1 8005 IBM SDLC CRC16-CCITT x16+x12+x5+1 1021 ISO HDLC, ITU X.25, V.34/V.41/V.42, PPP-FCS CRC-32 x32+x26+x23+...+x2+x+1 04C11DB7 ZIP, RAR, IEEE 802 LAN/FDDI, IEEE 1394, PPP-FCS CRC-32c x32+x28+x27+...+x8+x6+1 1EDC6F41 SCTP 生成多项式的最高位固定的1，故在简记式中忽略最高位1了，如0x1021实际是0x11021。 I、基本算法（人工笔算）： 以CRC16-CCITT为例进行说明，CRC校验码为16位，生成多项式17位。假如数据流为4字节：BYTE[3]、BYTE[2]、BYTE[1]、BYTE[0]； 数据流左移16位，相当于扩大256×256倍，再除以生成多项式0x11021，做不借位的除法运算（相当于按位异或），所得的余数就是CRC校验码。 发送时的数据流为6字节：BYTE[3]、BYTE[2]、BYTE[1]、BYTE[0]、CRC[1]、CRC[0]； II、计算机算法1（比特型算法）： 1)将扩大后的数据流（6字节）高16位（BYTE[3]、BYTE[2]）放入一个长度为16的寄存器； 2)如果寄存器的首位为1，将寄存器左移1位(寄存器的最低位从下一个字节获得)，再与生成多项式的简记式异或； 否则仅将寄存器左移1位(寄存器的最低位从下一个字节获得)； 3)重复第2步，直到数据流（6字节）全部移入寄存器； 4)寄存器中的值则为CRC校验码CRC[1]、CRC[0]。
系统稳定性意义以及稳定性的几种定义
系统稳定性意义以及稳定性的几种定义 一、引言： 研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。 在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。 电路系统的稳定性是电路系统的一个重要问题，稳定是控制系统提出的基本要求，也保证电路工作的基本条件；不稳定系统不具备调节能力，也不能正常工作，稳定性是系统自身性之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。对于线性系统来说可以用几点分布来判断，也可以用劳斯稳定性判据分析。对于非线性系统的分析则比较复杂，劳斯稳定性判据和奈奎斯特稳定性判据受到一定的局限性。 二、稳定性定义： 1、是指系统受到扰动作用偏离平衡状态后，当扰动消失，系统经过自身调节能否以一定的准确度恢复到原平衡状态的性能。若当扰动消失后，系统能逐渐恢复到原来的平衡状态，则称系统是稳定的，否则称系统为不稳定。 稳定性又分为绝对稳定性和相对稳定性。 绝对稳定性。如果控制系统没有受到任何扰动，同时也没有输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，则控制系统处于平衡状态。 （1）如果线性系统在初始条件的作用下，其输出量最终返回它的平衡状态，那么这种系统是稳定的。 （2）如果线性系统的输出量呈现持续不断的等幅振荡过程，则称其为临界稳定。（临界稳定状态按李雅普洛夫的定义属于稳定的状态，但由于系统参数变化等原因，实际上等幅振荡不能维持，系统总会由于某些因素导致不稳定。因此从工程应用的角度来看，临界稳定属于不稳定系统，或称工程意义上的不稳定。） （3）如果系统在初始条件作用下，其输出量无限制地偏离其平衡状态，这称系统是不稳定的。 实际上，物理系统的输出量只能增大到一定范围，此后或者受到机械制动装置的限制，或者系统遭到破坏，也可以当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，从而使线性微分方程不再适用。因此，绝对稳定性是系统能够正常工作的前提。
-多项式的因式分解定理
§1-5多项式的因式分解定理 多项式44-x 在有理数域、实数域、复数域上的因式分解 ][)2)(2)(2)(2(4][)2)(2)(2(4][)2)(2(4424224x C i x i x x x x x R x x x x x Q x x x +-+-=-++-=-+-=-（不能再分）（不能再分） 在不同的系数域上，具有不同形式的分解式 什么叫不能再分？ 平凡因式： 零次多项式（不等于零的常数）、多项式自身、前两个的乘积 Definition8：（不可约多项式）令][)(x P x f 是的一个次数大于零的多项式，如果][)(x P x f 在中只有平凡因式，就称f(x )为数域P 上（或在P[x]中）的不可约多项式.（p(x)在数域P 上不能表示成两个次数低的多项式的乘积） 若)(x f 除平凡因式外，在P[x]中还有其它因式，f(x )就说是在数域P 上（或在P[x]中）是可约的. 如果不是平凡因式)(,)()()(x g x h x g x f =， 的次数显然和则)()(x h x g 都小于)(x f 的次数. 反之，若)(x f 能写成两个这样多项式的乘积，那么)(x f 有
非平凡因式；如果P[x]的一个n 次多项式能够分解成P[x]中两个次数都 小于n 的多项式 的乘积和)()(x h x g 即 )()()(x h x g x f 那么)(x f 在P 上可约. 由不可约多项式的定义可知： 任何一次多项式都是不可约多项式的. 不可约多项式的重要性质： 一个多项式是否不可约是依赖于系数域； 1.如果多项式)(x f 不可约，那么P 中任意不为零的元素c 与)(x f 的乘积c )(x f 都不可约. 2.设)(x f 是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者)(x f 与P(x)互素，或者)(x f 整除P(x). 3.如果多项式)(x f 与)(x g 的乘积能被不可约多项式P(x)整除，那么至少有一个因式被P(x)整除. Theorem5.如果)(x p 是一个不可约多项式,P(x)整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积,那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个. 证明:对被除多项式的个数s 用数学归纳法 当s=1时,显然成立;
系统的稳定性以及稳定性的几种定义
系统的稳定性以及稳定性的几种定义 一、系统 研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。 中国学者钱学森认为：系统是由相互作用相互依赖的若干组成部分结合而成的，具有特定功能的有机整体，而且这个有机整体又是它从属的更大系统的组成部分。 二、系统的稳定性 一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(Bound Input Bound Output------ BIBO)稳定的系统，简称为稳定系统。即，若系统对所有的激励|f(·)|≤Mf ，其零状态响应|yzs(·)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。 三、连续（时间）系统与离散(时间)系统 连续系统：时间和各个组成部分的变量都具有连续变化形式的系统。系统的激励和响应均为连续信号。 离散系统：当系统各个物理量随时间变化的规律不能用连续函数描述时，而只在离散的瞬间给出数值，这种系统称为离散系统。系统的激励和响应均为离散信号。 四、因果系统 因果系统 (causal system) 是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。也就是说，因果系统的（响应）不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。即输入的响应不可能在此输入到达的时刻之前出现的系统；也就是说系统的输出仅与当前与过去的输入有关，而与将来的输入无关的系统。 判定方法 对于连续时间系统： t=t1的输出y(t1)只取决于t≤t1的输入x(t≤t1)时，则此系统为因果系统。 特殊的：当该系统为线性移不变系统时，系统的冲激响应函数h(t)，在t≤t1的条件下，h(t)=0，则此系统为因果系统； 对于离散时间系统： n=n1的输出y(n1)只取决于n≤n1的输入x(n≤n1)时，则此系统为因果系统，特殊的：当该系统为线性移不变系统时，系统的冲激响应函数h(n)，在n≤n1的条件下，h(n)=0，则此系统为因果系统。 举例说明 函数：1.y(t)=x(sin(t)) 不是因果系统，因为y(-π)=x(0), 表明y(t)在一段时间内可能取决于未来的x(t)。 2.y（t）=x（t）cos（t+1)是因果系统，cos（t+1)是时变函数，相当于一个已知的函数波形，所以x（t）的当前值影响了y（t）的当前值。 五、连续系统稳定性与离散系统稳定性的充分必要条件（证明见教材） （1）连续系统稳定的充分必要条件
多项式逼近定理的含参积分证法
2298 计算 *20ln cos cos 2,()x nxdx n N π ?∈?. 解 利用分部积分得 20 ln cos cos 2I x nxdx π=?? 220011sin 2sin ln cos sin 222cos nx x x nx dx n n x ππ?=?+? 201cos(21)cos(21)04cos n x n x dx n x π--+=+? 22001cos(21)1cos(21)4cos 4cos n x n x dx dx n x n x ππ-+=-?? 2122001sin(21)1sin(21)(1)(1)4sin 4sin x y n n n y n y dy dy n y n y π ππ=---+=---??， 由 sin(21)12cos 2...2cos 2(1)sin n y y n y y -=+++-, sin(21)12cos 2...2cos 2sin n y y ny y +=+++, 得 2 0s i n (21)s i n 2 n y dy y ππ-=?, 20sin(21)sin 2 n y dy y ππ+=?; 故2 0ln cos cos 2I x nxdx π=??1(1)4n n π-=- 。 Weierstrass 逼近定理的含参变量积分证法 按照下列步骤给出Weierstrass 逼近定理的另一个证明： （1）1 211((1))n n C x dx --=-?, 证明：n C < （2）设f 是[0,1]上的连续函数，并且(0)(1)0f f ==，当[0,1]x ?时，定义()0f x =， 记2()(1)n n n Q x C x =- . 证明：1 1()()()n n P x f x t Q t dt -=+?是一个多项式, 而且lim ()()n n P x f x →∞ =在[0,1]上一致地成立； （3）当(0)(1)0f f ==的条件不成立时，证明 Weierstrass 逼近定理。
用多项式逼近连续函数
教案 用多项式逼近连续函数 教学内容 介绍前苏联数学家Korovkin关于用多项式逼近连续函数的定理（Weierstrass第一逼近定理）的一种证明。 指导思想 用多项式逼近连续函数，是经典分析学中重要的结果，以往教材中介绍的证明都比较艰深，学生难以理解。我们发现了前苏联数学家Korovkin的一种证明，思想新颖，方法简单，且通过对多项式逼近连续函数的学习，可以使学生进一步理解一致收敛的概念。 教学安排 先给出多项式一致逼近连续函数的定义： 定义10.5.1设函数f (x)在闭区间[a, b] 上有定义，如果存在多项式序列｛P n (x)｝在[a, b] 上一致收敛于f (x)，则称f (x)在这闭区间上可以用多项式一致逼近。 应用分析语言，“f (x)在[a, b] 上可以用多项式一致逼近”可等价表述为：对任意给定的ε＞0，存在多项式P(x)，使得 ｜P(x) - f (x)｜＜ε 对一切x∈[a, b] 成立。 这一定理的证法很多，我们则介绍前苏联数学家Korovkin在1953年给出的证明。 定理10.5.1(Weierstrass第一逼近定理) 设f (x)是闭区间[a, b] 上的连续函数，则对任意给定的ε＞0，存在多项式P(x)，使 ｜P(x) - f (x)｜＜ε 对一切x∈[a, b] 成立。 证不失一般性，我们设[a, b] 为[0, 1] 。 设X是[0, 1] 上连续函数全体构成的集合，Y是多项式全体构成的集合，现定义映射 B n : X →Y f (t) B n (f , x) = ∑ = -- n k k n k k n x x n k f ) 1( C ) (， 这里B n (f , x) 表示f ∈X在映射B n 作用下的像，它是以x为变量的n次多项式，称为Bernstein多项式。 关于映射B n，直接从定义出发，可证明它具有下述基本性质与基本关系式： (1) B n是线性映射，即对于任意f , g ∈X及α,β∈R，成立 B n (αf +βg, x) = αB n (f , x) +βB n (g, x)； (2) B n 具有单调性，即对于任意f , g ∈X，若f (t)≥g(t) （t∈[a, b]）成立，
单项式乘多项式练习题(含标准答案)
. .. . . 单项式乘多项式练习题 一．解答题（共18小题） 1．先化简，再求值：2（a2b+ab2）﹣2（a2b﹣1）﹣ab2﹣2，其中a=﹣2，b=2． 2．计算： （1）6x2?3xy（2）（4a﹣b2）（﹣2b） 3．（3x2y﹣2x+1）（﹣2xy） 4．计算： （1）（﹣12a2b2c）?（﹣abc2）2=_________； （2）（3a2b﹣4ab2﹣5ab﹣1）?（﹣2ab2）=_________． 5．计算：﹣6a?（﹣﹣a+2）6．﹣3x?（2x2﹣x+4） 7．先化简，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a=﹣28．（﹣a2b）（b2﹣a+） 9．一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽aM，下底宽（a+2b）M，坝高M． （1）求防洪堤坝的横断面积； （2）如果防洪堤坝长100M，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方M？ 10．2ab（5ab+3a2b）11．计算：． 12．计算：2x（x2﹣x+3）13．（﹣4a3+12a2b﹣7a3b3）（﹣4a2）=_________． 14．计算：xy2（3x2y﹣xy2+y）15．（﹣2ab）（3a2﹣2ab﹣4b2） 16．计算：（﹣2a2b）3（3b2﹣4a+6） 17．某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时，因抄错运算符号，算成了加上﹣3x2，得到的结果是x2﹣4x+1，那么正确的计算结果是多少？ 18．对任意有理数x、y定义运算如下：x△y=ax+by+cxy，这里a、b、c是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当a=1，b=2，c=3时，l△3=1×l+2×3+3×1×3=16，现已知所定义的新运算满足条件，1△2=3，2△3=4，并且有一个不为零的数d使得对任意有理数x△d=x，求a、b、c、d的值． 参考答案与试卷解读 一．解答题（共18小题） 1．先化简，再求值：2（a2b+ab2）﹣2（a2b﹣1）﹣ab2﹣2，其中a=﹣2，b=2． 考点：整式的加减—化简求值；整式的加减；单项式乘多项式． 分析：先根据整式相乘的法则进行计算，然后合并同类项，最后将字母的值代入求出原代数式的值．
(完整版)单项式乘多项式练习题(含标准答案)(可编辑修改word版)
﹣ 一．解答题（共 18 小题） 单项式乘多项式练习题 1．先化简，再求值：2（a 2b+ab 2）﹣2（a 2b ﹣1）﹣ab 2﹣2，其中 a=﹣2，b=2． 2．计算： （1）6x 2?3xy （2）（4a ﹣b 2）（﹣2b ） 3．（3x 2y ﹣2x+1）（﹣2xy ） 4．计算： （1）（﹣12a 2b 2c ）?（﹣ abc 2）2= ； （2）（3a 2b ﹣4ab 2﹣5ab ﹣1）?（﹣2ab 2）= ． 5．计算：﹣6a ?（﹣ a+2）6．﹣3x ?（2x 2﹣x+4） 7．先化简，再求值 3a （2a 2﹣4a+3）﹣2a 2（3a+4），其中 a=﹣28．（﹣a 2b ）（b 2﹣a+ ） 9．一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽 aM ，下底宽（a+2b ）M ，坝高 M ． （1） 求防洪堤坝的横断面积； （2） 如果防洪堤坝长 100M ，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方 M ？ 10．2ab （5ab+3a 2b ）11．计算： ． 12．计算：2x （x 2﹣x+3）13．（﹣4a 3+12a 2b ﹣7a 3b 3）（﹣4a 2）= ． 14．计算：xy 2（3x 2y ﹣xy 2+y ）15．（﹣2ab ）（3a 2﹣2ab ﹣4b 2） 16．计算：（﹣2a 2b ）3（3b 2﹣4a+6） 17. 某同学在计算一个多项式乘以﹣3x 2 时，因抄错运算符号，算成了加上﹣3x 2，得到的结果是 x 2﹣4x+1，那么正确的 计算结果是多少？ 18. 对任意有理数 x 、y 定义运算如下：x △y=ax+by+cxy ，这里 a 、b 、c 是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘 法运算，如当 a=1，b=2，c=3 时，l △3=1×l+2×3+3×1×3=16，现已知所定义的新运算满足条件，1△2=3，2△3=4，并
最佳一致逼近多项式
§3最佳一致逼近多项式 2-1 最佳一致逼近多项式的存在性 切比雪夫从另一观点研究一致逼近问题，他不让多项式次数n 趋于无穷，而是固定n ，记次数小于等于n 的多项式集合为n H ，显然],[b a C H n ?。记{1,,,}n n H span x x =L , n x x ,,,1L 是],[b a 上一组线性无关的函数组，是n H 中的一组基。n H 中的元素)(x P n 可表示为 01()n n n P x a a x a x =+++L ， 其中n a a a ,,,10L 为任意实数。要在n H 中求)(*x P n 逼近],[)(b a C x f ∈，使其误差 )()(max min )()(max *x P x f x P x f n b x a H P n b x a n n ?=?≤≤∈≤≤ 这就是通常所谓最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题。为了说明这一概念，先给出以下定义。 定义1 ],[)(,)(b a C x f H x P n n ∈∈，称 )()(max ),(x P x f P f P f n b x a n n ?=?=?≤≤∞ 为)(x f 与)(x P n 在],[b a 上的偏差。 显然),(,0),(n n P f P f ?≥?的全体组成一个集合，记为)},({n P f ?，它有下界0。若记集合的下确界为 ,)()(max inf )},({inf x P x f P f E n b x a H P n H P n n n n n ?=?=≤≤∈∈ 则称之为)(x f 在],[b a 上最小偏差。 定义2 假定],[)(b a C x f ∈，若存在n n H x P ∈)(* ， n n E P f =?),(*， 则称)(*x P n 是)(x f 在],[b a 上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式，简称最佳逼近多项式。 注意，定义并未说明最佳逼近多项式是否存在，但可证明下面的存在定理。 定理2 若],[)(b a C x f ∈，则总存在n n H x P ∈)(*，使 n n E x P x f =?∞)()(*. 证明略。 2-2 切比雪夫定理 这一节我们要研究最佳逼近多项式的特性，为此先引进偏差点定义。 https://www.360docs.net/doc/4c7700122.html, https://www.360docs.net/doc/4c7700122.html,
多项式练习题及标准答案
单项式乘多项式练习题 一．解答题（共18小题） 1．先化简，再求值：2（a2b+ab2）﹣2（a2b﹣1）﹣ab2﹣2，其中a=﹣2，b=2． 2．计算： （1）6x2?3xy （2）（4a﹣b2）（﹣2b） 3．（3x2y﹣2x+1）（﹣2xy） 4．计算： （1）（﹣12a2b2c）?（﹣abc2）2= _________ ； （2）（3a2b﹣4ab2﹣5ab﹣1）?（﹣2ab2）= _________ ． 5．计算：﹣6a?（﹣﹣a+2）6．﹣3x?（2x2﹣x+4） 7．先化简，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a=﹣2 8．（﹣a2b）（b2﹣a+） 9．一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽（a+2b）米，坝高米． （1）求防洪堤坝的横断面积； （2）如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？ 10．2ab（5ab+3a2b）11．计算：． 12．计算：2x（x2﹣x+3）13．（﹣4a3+12a2b﹣7a3b3）（﹣4a2）= _________ ．14．计算：xy2（3x2y﹣xy2+y）15．（﹣2ab）（3a2﹣2ab﹣4b2） 16．计算：（﹣2a2b）3（3b2﹣4a+6）
17．某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时，因抄错运算符号，算成了加上﹣3x2，得到的结果是x2﹣4x+1，那么正确的计算结果是多少？ 18．对任意有理数x、y定义运算如下：x△y=ax+by+cxy，这里a、b、c是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当a=1，b=2，c=3时，l△3=1×l+2×3+3×1×3=16，现已知所定义的新运算满足条件，1△2=3，2△3=4，并且有一个不为零的数d使得对任意有理数x△d=x，求a、b、c、d的值．
系统稳定性
第5章系统稳定性 稳定性: 受扰偏离平衡点, 依自身特性回到平衡点. 对SISO稳定性判别：特征值法、Hurwitz法等；对NL稳定性判别: 李雅普诺夫第一, 二法等. § 5.1 输入-输出稳定性 1. 线性单变量系统的输入-输出稳定(BIBO)及判定定义5.1若线性因果系统对任何有界(bound)输入
()10()|()|,[,)u t u t k t t ≤?∈+∞ 系统的输出()y t 也有界(bound), 即 20|()|,[,)y t k t t ≤?∈+∞, 则称系统是输入-输出稳定的, 简称为BIBO 稳定. 稳定性分析(线性,因果,初时松驰,单变量) 设系统在≥0()t τ时刻对()t δτ-的响应为 (,)g t τ, 则由线性性, 对0(),u t t t ≥, 有
()(,)()d t t y t g t u τττ=? (5.1) 注：这也是一种描述线性系统的方法. 定理5.1 系统(5.1)为BIBO 稳定的 0k ??>, 使 0|(,)|d , [,)t t g t k t t ττ≤∈+∞?, (5.2) 2 τ 1τ1()d u ττ 2()d u ττ () u t t O t O 11(,)()d g t u τττ 22(,)()d g t u τττ 系统 线性
证 充分性 设 10(),|()|,[,)u t u t k t t ≤?∈+∞, 则 0[,)t t ?∈+∞, 有 11|()||(,)||()|d |(,)|d t t t t y t g t u k g t k k τττττ≤≤≤??, 故 ()y t 有界, 充分性得证. 必要性 反证法.若(5.2)不成立, 则对0K ?>,0t t >总有, 使 |(,)|d t t g t K ττ >?, 取
多项式的分解式
多项式的标准分解式在求最大公因式中的应用 *** (吉首大学数学与计算机科学学院 ，湖南吉首，416000) 摘要:由于一个多项式可以分解成若干个不可约多项式的乘积,若已 知两个多项式的标准分解式,那么就很容易得到两个多项式的最大公因式. 关键词:最大公因式；标准分解式 The application of the standard polynomial in greatest common factor *** (College of mathematics and computer science, Jishou University,Jishou Hunan 416000) Abstract : Because of a polynomial can be decomposed into a number of irreducible polynomials of the product, if the two polynomials are known to the standard decomposition of type, then it is easy to obtain the greatest common factor of two polynomials. Keywords : g reatest common factor, the standard factorization 正文 1引言： 由高等代数与解析几何书中，我们可以看到多项式的最大公因式的另一种表示方法：.设f(x),g(x)∈K[x],且在数域K 上有以下分解式： f(x)=c 1)()(2 121x p x p r r …)(x p s r s ,r i ≥0,i=12…s. g (x)=c 2)()(2121x p x p t t …)(x p s t s ,t i ≥0,i=12…s.
数值分析第6章习题
数值分析第六章整合版（黑组） 一、填空题 1、已知 ()01 P x =，()1P x x =， () () 2 2312 x P x -= ，根据勒让德多项式的递推关系，则 求()3P x =（3532x x - ） 解：勒让德多项式的递推关系为()()()()()11121n n n n P x n xP x nP x +-+=+-，n=1，2……. 将()1P x x =，()() 2 2312 x P x -= 代入上式即可求出()3P x =3532 x x - 2、若)(x P 是],[)(b a C x f ∈的最佳3次逼近多项式，则)(x P 在],[b a 上存在5 个交替为 正、负偏差点。（考点：切比雪夫定理） 3、切比雪夫正交多项式可表示为(x)cos(narcosx)n T =，(x)n T 是最高次幂系数为12n - 的n 次多项式。（考点：切比雪夫多项式性质） 4、最佳一致问题同时存在正偏差点和负偏差点 （考点：最佳一致逼近定理3） 二、选择题 1、求函数3)1()(+=x x f 在区间[0,1]，],[,21b a x x ∈上的一次最佳一致逼近多项式（D ） A x +4358.0 B x 34358.0+ C x 54358.0+ D x 74358.0+ 2、设 的2-其中 为定义在[a,b]上的（A ） A 权函数 B 反函数 C 幂函数 D 函数 3、x e =）（x f ，-1≤x ≤1，且设= p(x)x a a 1 +，求a a 1 , 0使得)(x p 为)(x f 于[] 1,0上的最佳平方逼近多项式（A ） A:() 1021--=e e a ,311e a -= B:() e a e a e 111 03 1,2---== ) (x ρ],[)(b a C x f ∈()f x
单项式乘多项式练习题(含标准答案)
单项式乘多项式练习题 一.解答题(共18小题) 2 2 2 2 1 先化简，再求值： 2 (a b+ab ) - 2 (a b - 1)- ab - 2,其中 a=- 2, b=2. 2. 计算： 2 2 (1) 6x ?3xy (2) ( 4a- b ) (- 2b ) 2 3. (3x y - 2x+1) (- 2xy ) 4. 计算： 2 2 1 2 2 (1) (- 12a b C ) ? (- — abc )= ; 4 2 2 2 (2) (3a b - 4ab - 5ab - 1) ? (- 2ab ) = _______________ . 5. 计算：-6a?(-_「- a+2) 6.- 3x? ( 2χ2-x+4) 2 3 7.先化简，再求值 3a ( 2a 2- 4a+3)- 2a 2 (3a+4),其中 a=- 28.(-丄 a 2b ) (2 b 2-丄 a+丄) Ξ 3 3 4 (2)如果防洪堤坝长 100M ,那么这段防洪堤坝的体积是多少立方 M ? (-￡/)2 (3xy- 4xy 2+l) 2 3 2 3 3 2 12.计算：2x (x 2- x+3) 13. (- 4a 3+12a 2b - 7a.3) (- 4a 2) = ____________________ . 2 2 2 2 2 14.计算：Xy (3x y - Xy +y ) 15. (- 2ab ) ( 3a - 2ab - 4b ) 2 3 2 16. 计算：(-2a 2b ) 3 (3b 2- 4a+6) 2 2 2 17. 某同学在计算一个多项式乘以- 3x 时，因抄错运算符号，算成了加上- 3x ,得 到的结果是X - 4x+1 ,那么正 确的计算结果是多少？ 18. 对任意有理数 x 、y 定义运算如下：X △ y=ax+by+cxy ,这里a 、b 、C 是给定的数，等式右边是通常数的加法及 乘法运算，如当 a=1, b=2, c=3时，I △ 3=1 ×+2 ×3+3×1 X3=16 ,现已知所定义的新运算满足条件， 2=3, 2△ 3=4 , 并且有一个不为零的数 d 使得对任意有理数 X △ d=x ,求a 、b 、c 、d 的值. 2 10. 2ab ( 5ab+3a b ) 11.计算: 9. 一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽 (1)求防洪堤坝的横断面积； aM ,下底宽(a+2b ) M ,坝高 I M .
最佳一致逼近
构造C[0，1]上W=&(1，x，…，x9)到f(x)=e x上 的最佳逼近 学院：数学与计算机科学学院
班级：2011级数学与应用数学 姓名： 学号： 指导教师： 日期：2012.06.20 构造C[0，1]上W=&(1，x，…，x9)到f(x)=e x上的最佳逼近 （西北民族大学数学与应用数学专业，兰州730124） 指导教师 摘要：本文通过对最佳逼近的研究，着重分析其构造方法，从而使得对知识的掌握更加连贯及牢固。通过对它的研究，我们对其有了更深的了解。 关键词：最佳逼近，正射影，傅里叶系数 最佳平方逼近 一般而言，在[a, b]上对给定的函数求它的一致逼近函数比较困难，下面我们介绍在[a, b]上较易计算的另一种逼近方法――最佳平方逼近。 一、预备知识
1．函数系的线性关系 定义1 若函数)(,),(),(10x x x n ??? ，在区间[a , b ]上连续，如果 关系式 0)()()()(221100=++++x a x a x a x a n n ???? 当且仅当0210=====n a a a a 时才成立，则称函数 )(,),(),(10x x x n ??? 在[a , b ]上是线性无关的，否则称线性相关。 如果函数系{?k (x )}(k = 0, 1, 2, …)中的任何有限个函数线性无 关，则称函数系{?k (x )}为线性无关函数系，例如{1, x , …, x n , …}就是在区间[a , b ]上的线性无关函数系。 设)(,),(),(10x x x n ??? 是[a , b ]上线性无关的连续函数a 0, a 1, …, a n 是任意实数，则 )()()()(1100x a x a x a x S n n ???+++= 的全体是C [a , b ]的一个子集，记为 },,,{S pan 10n ??? =Φ 并称)(,),(),(10x x x n ??? 是生成集合的一个基底。 例如 P n = Span {1, x , x 2, …, x n }表示由基底1, x , …, x n , 生成的多项式集合。 下面给出判断函数系{?k (x )}(k = 0, 1, 2, …n )线性无关的一个充要条件。 定理1 连续函数)(,),(),(10x x x n ??? 在[a , b ]上线性无关的充分必要条件是它们的克莱姆(Gram)行列式G n ≠ 0，其中