2.多项式矩阵

的行列式因子及不变因子
3.初等因子 设矩阵A(λ) 的不变因子是d1(λ),…di(λ) ，di(λ)(i=1,2,…r)的 标准分解式是
d i 1
ki1

2
ki 2
j
k ij
则称 d i 的标准分解式中的一次因式的方幂 j
1.矩阵理论在计算机方面的应用，如矩阵的奇异值分解的应用， QR分解在网络方面的应用，还有在三维图形图像方面的应用。 2.多项式矩阵理论在网络分析中的应用，基于回路矩阵B、基 本割集矩阵Q和支路伏安特矩阵[Y(s) Z(s)]列写出线性时不变 有源网络的网络矩阵P(s)，借助多项式矩阵理论中有关解耦零 点的概念和理论，研究网络的复杂度和稳定性。 3.多项式矩阵理论知识，在建立和完善线性控制系统理论过程 中具有基础作用，应用广泛。
①矩阵的两行（列）互换； ②矩阵的某一行（列）乘以非零的常数k； ③矩阵的某一行（列）乘以多项式 f ( ) 后加到另一行（列）。
4.多项式矩阵的秩
如果多项式矩阵A（λ）有一个r阶子式不为零，而所有的r+1 阶子式全为零，则称A（λ）的秩为r，零矩阵的秩规定为零。
5.多项式矩阵的逆矩阵 设A（λ）是n阶λ-矩阵，如果存在n阶λ-矩阵B（λ），使A（λ） B（λ）= B（λ）A（λ）=I，则称A（λ）可逆，并称B（λ）是 A（λ）的逆矩阵，且逆矩阵唯一。
例：求
解：D1(λ)=1, D2(λ)=λ, D3(λ)=λ3+λ d1(λ)=1
d 2 ( ) D 2 ( ) D1 ( ) ,
d 3 ( ) D3 ( ) D 2 ( ) 1
2
1 2 1 2 2 2 2 1 1
或写成A（λ）=A0λm+A1λm-1+•••+Am-1λ+Am；其中Ai（i=0，1， •••，m）为n阶常数矩阵。
2.运算注解： ①多项式矩阵的加法、数乘及乘法与一般矩阵的运算规则一样， 只是在运算过程中将数的运算换成多项式的运算即可。 ②多项式矩阵也可以像数字矩阵一样定义行列式，并且多项式 矩阵行列式的性质与数字矩阵的行列式的性质相同。 3.多项式矩阵的初等变换

2
2

0
2 3 2 0

2
2 2 0 0

2
0 1 3 3 3 1 2
0

1
d 2 ( ) d r ( ) 0
0
称它为A(λ)的Smith标准型，其中r≥1，di(λ)(i=1,2,…,r)是首项 系数为1的多项式，且 di(λ)|di+1(λ)(i=1,2,…,r-1)。其中，主对角 线上的非零元素d1(λ),…dr(λ) 称为λ-矩阵A(λ)的不变因子。 例：用初等变换化多项式矩阵为Smith标准型
多项式矩阵
一 、多项式矩阵的定义
1.设aij(i,j=1,2,…n)是以λ为未定量的数域上的多项式，由aij为元 素构成的矩阵叫做多项式矩阵或λ-矩阵。
a 11 ( ) a 12 ( ) a ( ) a 22 ( ) 21 A( ) ... ... a n1 ( ) a n2 ( ) ... a 1n ( ) ... a 2n ( ) ... ... ... a nn ( )
2 1

2
2
1
2 1
1 0 1
Βιβλιοθήκη Baidu
2
2
1
0
1 3 1 2 1 0
2 1

2
2

0
1 1 0 2 2 1 3 1 0 1 0 3 2 0
d11（λ)= λ2 (λ+i)2 (λ-i)2 (λ+1)
类似地，剩下的次数最高的初等因子相乘，并继续下去
d10(λ)= λ (λ+i)(λ-i) ，d9(λ)= λ
由于初等因子已用完，剩下的不变因子都是1，
d8(λ)=•••=d1(λ)=1
三、多项式矩阵的标准型
1.Smith标准型 任意一个非零的多项式矩阵都等价于下列形式的矩阵（经过矩 阵的初等变换实现） d ( )
6.多项式矩阵的等价
设 A ， B F

mn
,如 果 A 经 有 限 次 初 等 变 换 化 为 B ,
则 称 A 与 B 等 价 ， 记 为 A B
二、多项式矩阵的行列式因子
1.定义：设A(λ)矩阵的秩为r,对于正整数k, 1≤k≤r,A(λ) 中必 有非零的k级子式， A(λ) 中全部k级子式的首项系数为1的 最大公因式Dk(λ) 称为A(λ) 的k阶行列式因子.
D k ( ) d 1 ( ) d 2 ( ) d k ( ), k 1, 2, r
2.不变因子：( ) dk
D k ( ) D k 1 ( )
( D 0 ( ) 1)
A(λ)的所有不变因子称为A(λ)的不变因子组
经过初等变换不改变多项式矩阵的秩和行列式因子，有相 同的行列式因子或不变因子是A(λ)与B(λ)等价的充要条件


k ij
(kij>0)为A的初等因子。A的所有初等因子（重复的按重数计 算）称为A的初等因子组。
由定义知，初等因子是被不变因子确定的。
例：设12阶矩阵A的不变因子组是
1,1, ,1
9个1
，(λ-1)2，(λ-1)2(λ+1)，(λ-1)2(λ+1)(λ2+i)2.
由初等因子的定义，得A的初等因子组是 (λ-1)2 ， (λ-1)2 ， (λ-1)2 ，λ+1， λ+1， (λ+i)2 ，(λ-i)2 所有初等因子的次数的和等于该矩阵的阶数
的方阵称为mi阶Jordan块，其中λi可以是实数，也可以是复数，由若 干个Jordan块组成的分块对角阵
J1
r
J2
Jr
其中Ji(i=1,2,…,r)为 mi阶Jordan块，当 m i =n时，称为n阶Jordan标 i 1 准型，记为J。
四、多项式矩阵的应用
例：已知矩阵A的初等因子组为
λ ，λ，λ2，λ+i，λ-i，(λ+i)2，(λ-i)2，λ+1 求A的不变因子组
解：由初等因子组的次数之和为11，从而A是11阶矩阵先求 最高次不变因子d11(λ)，不变因子应是不同的初等因子的乘 积，最高次不变因子是其余不变因子的倍式，所以它是次 数最高的不同初等因子的乘积，从而

0
0 3
最后所得的矩阵为A(λ)的Smith标准型，
d1(λ)=1,d2(λ)=λ,d3(λ)=λ3+λ为A(λ)的不变因子。
2.Jordan标准型
形如
i Ji 1
i
1
1 i m m i i
谢谢
1 2 1 1 0 1 3 1
2 1

2
2
1
2 1
3 1 2
1 2 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0