2.多项式矩阵
第二章 矩阵的标准型
d1 d 2 求史密斯标准型的方法 ：A d r 0 0
2014年12月20日 沈阳理工大学 13
P32例4设A 为6 6阶 - 矩阵，RA 4, 初等因子组为
13， - 1， - 1 ，2，2， 1， 试求A 的不变因子，行列式因 子，史密斯标准型 . 解：不变因子： 行列式因子： 3 d 4 2 1 - 1 D1 d1 1 d 3 2 1 - 1 D2 d 2 D1 d 2 D3 d 3 D2 3 1 - 1 d1 1 4 2 5 D4 d 4 D3 1 - 1
注： (1) 矩阵A 的史密斯标准形 S ( )对角线
为A 的不变因子。
上的元素为A 的不变因子； (2)d k 1 d k , (k 2,3, r );
(3)求A 的史密斯标准形方法 2 : 不变因子法。
2014年12月20日 沈阳理工大学 12
相似矩阵
若A ∽B , 则
2
沈阳理工大学 7
练习1
1- 求A 1 2
2 - 的史密斯标准型 2 1 - 2
- - 2
2 1
练习2：P 中第一小题 541
2014年12月20日
2 1 2 1 1- 1 2 ~ 2 0 1 2 1 2 1 - 2 2 1 0 0 0 0 1 1 2 2 ~ 0 - - ~ 0 0 0 2 - 2 - 2 1 S 2 1
矩阵的相似变换(第一章)
10，A可相似对角化的充要条件为A有n个线性无关的特征向量。
11，如果n阶方阵A有那个不同的特征向量，则A可相似对角化。或ri重特征值有ri个不同的特征向量则A可相似对角化。
Jordan
1，Jordan块：Ji=
2，Jordan阵：J=
3，A的Jordan标准形，设 ，则A与一个Jordan标准形J相似即存在P ，有P-1AP=J。这个J除了Jordan块的排列次序外由A唯一确定，称J为A的Jordan标准形。
（3）A为正规阵，λ是A的特征值，x是对应特征向量，则 为AH的特征值，对应特征向量为xH。
（4）A为正规阵，不同的特征值对应的特征向量正交。
6,Hermite正定矩阵、半正定矩阵：
设A 是Hermite矩阵，若任意0≠x n都有xHAx＞0（或xHAx≥0），则称A是Hermite正定（半正定）矩阵。
（3）行列式因子法：设A（λ）的秩为r，m×n阶，1≤k≤n，则A（λ）的全部k阶子式的首一最大共因子式Dk（λ）称为A的k阶行列式因子。Dk（λ）=d1（λ）d2（λ）…dk（λ）。
第一步：求λI-A和λI-A的n个行列式因子Dk（λ）。
第二步：求dk（λ）（k=1，2，…，n）并并求出A的不变因子。
7，设A 是Hermite矩阵，则，下列条件等价：
（1）A是Hermite正定矩阵（2）A的特征值全为正实数（3）存在P ，使得A=PHP
（1）A是Hermite半正定矩阵（2）A的特征值全为非负实数（3）存在P ，使得A=PHP。
第一步：将A写成A（λ），即λI-A
第二步：用初等变换法将矩阵化为如下形式：（smith标准型）
其中di（λ）/di+1（λ）可整除
矩阵特征多项式求解技巧
矩阵特征多项式求解技巧矩阵的特征多项式是一个重要的数学概念，对于矩阵的各种性质和特点都有着重要的作用。
特征多项式的求解可以帮助我们判断矩阵的特征值和特征向量，从而进一步分析矩阵的性质和行为。
本文将介绍一些矩阵特征多项式求解的常见技巧。
一、特征多项式的定义和性质在介绍特征多项式求解方法之前，先来回顾一下特征多项式的定义和性质。
对于一个n阶方阵A，其特征多项式定义为：f(t) = det(A - tI)其中，det表示矩阵的行列式，t是一个未知数，I是n 阶单位矩阵。
特征多项式的性质有：1. 特征多项式的次数为n，即f(t)是一个n次多项式。
2. 特征多项式的根（零点）就是矩阵A的特征值。
3. 特征多项式的系数与特征值的关系为：f(t) = (-1)^n * (t^n - (a1 * t^(n-1) + a2 * t^(n-2) + ... + an))其中，a1, a2, ..., an是矩阵A的n个特征值。
二、求解特征多项式的技巧1. 代数余子式法代数余子式法是求解特征多项式的一种常用技巧。
具体步骤如下：（1）设A是一个n阶矩阵。
对于每一个特征值λ，构造矩阵B = A - λI。
（2）计算矩阵B的行列式det(B)。
（3）得到f(λ) = det(B)。
这种方法的优点是比较直接，但是对于高阶矩阵，计算行列式的时间复杂度较高。
2. 特征值推导法特征值推导法是求解特征多项式的另一种常用技巧。
具体步骤如下：（1）设A是一个n阶矩阵。
对于每一个特征值λ，设特征向量为x，即Ax = λx。
（2）将方程化简为(A - λI)x = 0，求解方程组。
（3）由于方程组有非零解，所以系数矩阵(A - λI)的行列式det(A - λI)必为0。
（4）得到特征多项式f(λ) = det(A - λI)。
这种方法的优点是对于高阶矩阵的计算相对较快，但需要注意方程组有非零解这一前提条件。
3. Cayley-Hamilton定理Cayley-Hamilton定理是求解特征多项式的另一个重要技巧。
多项式矩阵理论
7.11 既约性 7.12 史密斯形 7.13 波波夫形 7.14 矩阵束和克罗内克尔形 7.15 小结
7.11 既约形
1.列既约性和行既约性 2.既约性判据
3.非既约性的既约化
既约性
1 行既约（行化简）多项式矩阵 满足下列关系式的非奇异 m 阶多项式方阵 M(s) 是行既约多项式矩阵。
证：由于rankA S 0，所以A s 中一定存在非零元素。通过行或 列的对调，我们总可以假设a11 ( s ) 0. 由引理得，可经过有限次初 等变换得到一个与A S 等价的B s 满足b11(s)为首一非零多项式， b (s) 且b11(s)能整除B s 的所有元素。将B S 第一项分别乘以- i1 加 b11 ( s ) b1 j ( s ) 到第i行，i 2, 3 m, 再将B S 的第一列分别乘以加到j列， b11 ( s ) j 2, 3 n.
A2(s ) P(s ) A1(s ) T(s )
(7 7)
【问题】为什么可以通过初等变换把多项式矩阵 化为Smith形且具有相关性质？
引理：设多项式矩阵 As =(aij (s))mn 的元素 a11 (s) 0，且A(s)中 至少有一个元素不能被它整除，则必存在一个与A(s) 等价的多项式矩阵B(S),其首行首列位置的素b (s) 0 ， 且次数比 a11 (s) 的次数低，并且b11 ( s)整除B(s)的所有元 素。
k
i 1
ci
3 deg det A(s) 3;
k
i 1
ri
4 deg det A( s) 3
即A(s)列既约的，但不是行既约的。 同理可得，B(s)既不是行既约的，也不是列既约的
多项式矩阵
多项式矩阵多项式矩阵是一种在线性代数中使用的特殊矩阵，可以表示多项式函数。
它们与普通矩阵非常相似，但它们的元素是多项式而不是实数。
它们可以用于多项式函数的求解，最小二乘法等数学操作。
多项式矩阵定义多项式矩阵可以定义为由多项式组成的方阵，其形状为m x n，其中m和n是行数和列数。
多项式矩阵的每个元素都是一个多项式，即一个带系数的多次式。
这些多项式可以是单变量多项式，也可以是多变量多项式，但最常用的是单变量多项式。
多项式矩阵的形式多项式矩阵可以以多种形式表示，其中最常见的是乘性标量乘积形式，即在一维空间中表示多项式矩阵。
例如，可以用下面的方程来表示2 3多项式矩阵：A = [a11a12a13a21a22a23]其中a11、a12、a13、a21、a22、a23是这个矩阵的元素。
多项式矩阵的运算多项式矩阵有一些特殊的运算符，如加法、乘法和幂指数。
它可以按照一般矩阵的乘法运算，将两个多项式矩阵相乘并得到一个新的多项式矩阵。
此外，多项式矩阵也可以按照一般矩阵的乘法运算，将一个多项式矩阵与一个标量乘积相乘，并得到一个新的多项式矩阵。
多项式矩阵的应用多项式矩阵可用于解决多项式函数的最小二乘法。
最小二乘法是一种最优线性回归技术，用于求解多项式函数的拟合参数。
使用多项式矩阵，可以轻松地求出多项式函数的函数系数。
多项式矩阵还可以用于解决矩阵函数的最优化问题，它可以用来求解一般矩阵函数的最小值。
例如，可以使用多项式矩阵来求解极小值问题，使用它可以更容易地求解极小值问题。
多项式矩阵在线性代数和数学分析领域中是一个重要的概念，可以用于解决各种数学模型，应用非常广泛。
它们可以用于多项式函数的求解，最小二乘法等数学操作，并且可以用于解决其他多项式函数或极小值问题。
多项式矩矩阵
多项式矩矩阵多项式矩阵（Polynomial Matrix）是一种特殊的矩阵形式，它的每个元素都是一个多项式。
多项式矩阵在数学和工程领域中有广泛的应用，特别是在信号处理、控制系统和密码学等领域。
我们来了解一下多项式的定义。
多项式是由常数和变量的乘积相加而得到的表达式，例如2x² + 3x + 1就是一个二次多项式。
而多项式矩阵则是将多项式作为矩阵的元素，构成的一个矩阵形式。
多项式矩阵的表示形式为：P = [P₁(x) P₂(x) ... Pₙ(x)]其中P₁(x)、P₂(x)、...、Pₙ(x)是多项式。
这个矩阵的元素可以是标量，也可以是多项式。
多项式矩阵的加法和乘法运算与普通矩阵类似，只是将加法和乘法运算定义在多项式集合上。
多项式矩阵的加法运算是对应元素相加，乘法运算是将每个元素与另一个矩阵的对应元素相乘后再相加。
多项式矩阵的加法可以表示为：[P] + [Q] = [P₁(x) + Q₁(x) P₂(x) + Q₂(x) ... Pₙ(x) + Qₙ(x)]多项式矩阵的乘法可以表示为：[P] · [Q] = [P₁(x)Q₁(x) + P₂(x)Q₃(x) + ... + Pₙ(x)Qₙ(x)]多项式矩阵的乘法运算满足结合律和分配律，但不满足交换律，即[P] · [Q] ≠ [Q] · [P]。
这是因为多项式乘法不满足交换律。
多项式矩阵还可以进行转置运算，转置运算是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
多项式矩阵的转置运算可以表示为：[P]ᵀ = [P₁(x)ᵀ P₂(x)ᵀ ... Pₙ(x)ᵀ]其中P₁(x)ᵀ、P₂(x)ᵀ、...、Pₙ(x)ᵀ分别表示P₁(x)、P₂(x)、...、Pₙ(x)的转置。
多项式矩阵的求逆运算是指对于一个可逆的多项式矩阵[P]，存在一个多项式矩阵[Q]，使得[P] · [Q] = [Q] · [P] = [I]，其中[I]是单位矩阵。
线性代数期末题库矩阵的特征多项式与最小多项式
线性代数期末题库矩阵的特征多项式与最小多项式矩阵的特征多项式和最小多项式是线性代数中重要的概念，它们在矩阵理论和应用中起到了关键的作用。
本文将深入探讨特征多项式和最小多项式的定义、性质以及它们之间的关系。
一、特征多项式在矩阵理论中，给定一个n阶矩阵A，特征多项式是通过将矩阵A 与单位矩阵I进行相减，然后求得行列式的方式得出的。
特征多项式的定义如下：特征多项式：f(λ) = |A - λI|,其中λ是一个未知数。
特征多项式的求解过程如下：1. 计算矩阵 A - λI；2. 求得行列式 |A - λI|；3. 将行列式表示成特征多项式f(λ) 的形式。
特征多项式的定义简单明了，它是一个关于λ的多项式函数。
特征多项式中的每个根都被称为特征值，这些特征值对应了矩阵A的特征向量。
特征多项式的性质：1. 特征多项式的次数等于矩阵的阶数；2. 特征多项式的根（特征值）是矩阵的特征向量的特征值；3. 特征多项式的系数是与矩阵A有关的。
二、最小多项式在矩阵理论中，最小多项式是指能够使得多项式取零的最低次数的多项式。
最小多项式的定义如下：最小多项式：m(λ) 是满足 m(A) = 0 的最低次数的多项式。
最小多项式的求解过程如下：1. 确定最小多项式的次数；2. 找到一个关于λ的多项式P(λ) ，使得 P(A) = 0；3. 通过找到P(λ) 的最低次数即为最小多项式。
最小多项式的性质：1. 最小多项式的次数小于等于矩阵的阶数；2. 最小多项式的根是矩阵的特征值。
特征多项式与最小多项式的关系：特征多项式和最小多项式有着密切的联系。
事实上，最小多项式可以通过特征多项式的因子分解得到。
具体而言，特征多项式的最高次幂的因子就是最小多项式。
特征多项式等于最小多项式乘以一系列的一次多项式。
总结：特征多项式和最小多项式是线性代数中重要的概念，它们能够描述矩阵的特征值、特征向量和特征空间等重要信息。
通过研究特征多项式和最小多项式，我们可以更好地理解和应用矩阵理论。
矩阵多项式
一、 矩阵的概念 数域的概念:如果数集 F 包含 0 和 1,并且 F 中任何
两个数的和,差,积,商(除数不为零)仍在 F 中,那么, 就称 F 是一个数域.. 例如,全体有理数之集 Q, 全体实数之集 R, 全体复数 之集 C 都是数域.分别称为有理数域, 实数域和复数 域.
a11, a22 , , ann 叫做 A 的主对角线元素.
几种特殊的 n 阶方阵:
(1)上(下)三角形矩阵: 主对角线下(上)方
元素全部为零的 n 阶方阵.
1
例如，
A
0
0
2 3 0
0 4 8
;
B
1 2 3 4
0 5 6 3
0 0 2 5
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
；
0
8
A 为上三角形矩阵，B 为下三角形矩阵
ann
, ann )
例如，
1 0 0
A
0
3
0
diag
(1,
3,
8);
0 0 8
1 0 0 0
B
0
0
0
0
diag
(1,
0,
2,
8) ;
0 0 2 0
0
0
0
8
1 0
C
0
2
diag
(1,
2)
均为对角形矩阵.
(3) n 阶单位阵:主对角线外的元素全部为零且 主对角线上的元素全部为 1 的 n 阶方阵( 即主对 角线上的元素全部为 1 的 n 阶对角形矩阵) 称为 n 阶单位阵,记作 En 或 In 或 E.
矩阵多项式的特征值
矩阵多项式的特征值矩阵多项式的特征值是在线性代数中的一个重要的概念，它与多项式的特征值是相关的，都在求解方程的解上有着重要的作用。
它和线性代数中的特征向量关系密切，它们之间的关系可以利用矩阵多项式特征值理论来描述。
本文将介绍矩阵多项式特征值的定义，它的性质，特征值分解与特征向量，以及矩阵多项式特征值的应用。
首先，矩阵多项式的特征值是一个n×n矩阵A的一个根，它是将矩阵A的n阶多项式的系数表示成0的根。
只要找到一个根，就能判断矩阵A的特征值。
一般来说，当多项式为二次多项式时，这种特征值的定义与传统的特征值定义一致。
矩阵多项式的特征值具有重要的性质：如果一个n×n矩阵A的特征值为λ，那么方程 det(A-λI)=0立；反之，如果det (A-λI)=0立，那么λ就是A的一个特征值。
矩阵多项式特征值分解是一种把矩阵多项式特征值理论应用到线性方程组上的方法，即把矩阵A拆分成两个矩阵：一个特征值矩阵D，其中D的对角元素等于A的特征值；另一个特征向量矩阵V，其中V中的列向量就是A的特征向量。
矩阵多项式特征值分解把矩阵A表示成VDV-1的形式，即可以把矩阵A表示为特征向量的外积。
有了矩阵多项式特征值理论，就可以利用它来求解线性方程组。
通常，如果方程组本身就是一个多项式方程，就可以使用矩阵多项式特征值分解来求解它。
这种方法同样适用于非多项式方程组，因为它可以将非多项式方程组转化为多项式方程组。
此外，矩阵多项式特征值还被用于解决求解矩阵的秩，最小二乘法求解多项式的拟合等问题。
特征值分解还可以用于相似变换，从而方便地求解以及矩阵的迹、特征值等问题。
综上所述，矩阵多项式特征值是一个重要的概念，它在线性代数中有着重要的应用，尤其是求解线性方程组的解，它是多项式方程组的解，也可以把非多项式方程组转化为多项式方程组来求解，还可以用于求解其他线性代数问题，因此矩阵多项式特征值理论对线性代数的研究具有重要的意义。
多项式矩阵
多项式矩阵多项式矩阵（polynomialmatrix）是指将多项式作为元素，构成矩阵的矩阵。
它是数学上的一种重要结构，可以用于复杂方面的多项式计算。
多项式矩阵的研究属于矩阵论（matrix theory）的范畴，主要涉及求解系统矩阵方程，求解极大值问题，求解微分方程等等。
定义：设有一个n阶矩阵A，它的元素均由单项式组成，则称A为多项式矩阵。
特别地，若A的元素均为实数项式，则称A为实数多项式矩阵；若A的元素均为复数项式，则称A为复数多项式矩阵。
多项式矩阵的基本性质包括：1、交换律：多项式矩阵间的加法满足交换律，即A+B=B+A，其中A，B为任意两个多项式矩阵。
2、结合律：多项式矩阵间的加法满足结合律，即（A+B）+C=A+(B+C)，其中A，B，C为任意三个多项式矩阵。
3、元素恒等律：多项式矩阵的加法满足元素恒等律，即若A+B=C，则A的第i行第j列元素与C的第i行第j列元素均相等，其中A，B，C为任意三个多项式矩阵。
4、可加性：若A+B=C，则A的所有元素可以借助B的元素得到C 的所有元素，其中A，B，C为任意三个多项式矩阵。
5、可积性：若A与B的任意一个元素相乘，其积仍然是多项式，则称A与B为可积多项式矩阵。
多项式矩阵的应用1、求解系统矩阵方程：利用多项式矩阵的可加性和可积性，可以用于求解系统矩阵方程，即（A+B）X=C，其中A，B，C为多项式矩阵。
2、求解极大值问题：多项式矩阵可以用来表示多项式极大值问题，即求解如何使多项式函数达到最大值，从而解决求极值问题。
3、求解微分方程：多项式矩阵可以用来表示多项式微分方程，通过解决多项式微分方程，可以求出曲线的极值，解决求根问题等。
4、应用于数字信号处理：多项式矩阵可以用于处理复杂的数字信号，如滤波、数字信号检测、声音分析、图像处理等。
多项式矩阵的研究多项式矩阵的研究是矩阵论的重要主题，它涉及的主要研究领域包括：1、多项式线性方程组的求解：多项式矩阵可以用来求解多项式线性方程组，即求解系数矩阵A及常数矩阵B满足AX=B的多项式矩阵X。
多项式矩阵
多项式矩阵多项式矩阵（polynomial matrix）是由多项式组成的矩阵。
它在数学和工程领域有着广泛的应用，尤其在控制论、信号处理和图像处理等领域中扮演着重要角色。
本文将介绍多项式矩阵的定义、基本性质和一些应用。
首先，我们来定义多项式矩阵。
一个m行n列的多项式矩阵可以写为：[P] = [P11, P12, ..., P1n;P21, P22, ..., P2n;...Pm1, Pm2, ..., Pmn]其中Pij是一个多项式，表示矩阵的第i行第j列的元素。
多项式可以是任意阶数的，可以包含常数项、线性项、二次项等。
这个定义与一般的实数矩阵相似，只是矩阵中的元素是多项式而不是实数。
接下来，我们将讨论多项式矩阵的一些基本性质。
首先，多项式矩阵的加法和减法与实数矩阵的加法和减法类似，只需对应位置上的多项式进行相加或相减。
例如，矩阵[P] + [Q]的第i行第j列的元素为Pij + Qij。
同样，矩阵[P] - [Q]的第i行第j列的元素为Pij - Qij。
多项式矩阵的乘法也有所不同。
在实数矩阵中，矩阵的乘法是通过将一行的元素与另一列的元素逐个相乘，然后求和得到的。
而在多项式矩阵中，我们需要使用多项式的乘法规则。
具体地说，矩阵[P]和[Q]的乘积[PQ]的第i行第j列的元素为多项式Pi1 * Q1j + Pi2 * Q2j + ... + Pin * Qnj。
注意，Pi1和Q1j是对应位置上的多项式，它们相乘后得到一个新的多项式。
多项式矩阵还有一个重要的性质是可逆性。
一个多项式矩阵[P]是可逆的，如果存在一个多项式矩阵[Q]，使得[PQ] = [QP] = [I]，其中[I]是单位矩阵。
这个性质类似于实数矩阵的可逆性。
当一个多项式矩阵可逆时，我们可以使用矩阵的逆矩阵来解线性方程组，计算行列式等。
多项式矩阵在控制论中有着广泛的应用。
在控制系统中，我们通常需要设计一个控制器来调节系统的行为。
多项式矩阵可以用来表示系统的状态空间方程和传输函数。
第九章__多项式矩阵
例3 ：求下列矩阵的最小多项式
(1)
3 2 2 B=1 8 2 −2 −14 −3
−1 −2 6 (3) C = −1 0 3 −1 −1 4
n
n −1
+ L + a1 A + a 0 I
−1= an (ຫໍສະໝຸດ PJP = P (an Jn
−1
) + a n −1 ( P J P
n −1
)
n −1
+
−1
L + a1 ( P J P = Pf (J )P
−1
) + a0I
n −1
+ a n −1 J
+ L + a1 J + a 0 I ) P
−1
di
例2 ：已知对角块矩阵 A = diag( A1 , A2 ,L , Ar ) ,而 而
m1 (λ ), m2 ( λ ),L , mr ( λ ) 分别为子块 A1 , A2 ,L , Ar
的最小多项式， 的最小多项式，则 A 的最小多项式为
[m1 ( λ ), m2 (λ ),L , mr (λ )] 的最小公倍数。 即为 m1 ( λ ), m2 ( λ ),L , mr ( λ ) 的最小公倍数。
3 0 (4) D = 0 0
1 0 0 3 0 0 0 3 0 0 0 5
解： （1）首先求出其 ）首先求出其Jordan标准形为 标准形为
−1 J =0 0 所以其最小多项式为
0 −1 1 0 −1 0
( λ + 1) 。
矩阵理论-第四讲 最小多项式
0
= ϕ ( A)
信息科学与工程学院
矩阵理论第4讲 - 13
Hamilton-Cayley定理的应用 – 化简矩阵多项式的计算：
• 当n阶方阵的矩阵多项式 f ( A) 中A的最高次幂超过n时，可用多项 式的带余除法，将此矩阵多项对应的多项式 f (λ ) 表示为 ϕ (λ ) =
那么根据Hamilton-Cayley定理
•
任一方阵都是它的特征多项式的根
– 证明：
n ∃P ∈ Cn ×n
P −1 AP = J
考察J：
λ1 1 λ1 O O 1 λ1 0 λ2 1 O 1 λ2 0 O O O 1 λi
Dr×1 ∈ F m×( n +1) ~ D( m −r )×1
矩阵理论第4讲 - 2
信息科学与工程学院
Hamilton-Cayley定理
•
任一方阵都是它的特征多项式的根
– Hamilton-Cayley定理 设 A∈ C nxn ，ϕ (λ ) = det(λI − A) ，则 ϕ ( A) = 0 – 证明： 由于
利用矩阵加法的定义 A + B ∆ ( aij + bij ) 将 B(λ ) 分解
信息科学与工程学院
矩阵理论第4讲 - 11
Hamilton-Cayley定理
B(λ ) = λn −1 Bn −1 + λn − 2 Bn −1 + L + B0 Bi ∈ C n×n (i = 1,L n − 1) 考察等式 B(λ )(λI − A) = det(λI − A) I 的右边：
其中： f ij* (λ ) 是 A(λ ) 的行列式的第i行第j列元素的代数余子式， 那么与常数矩阵类似：
矩阵多项式与多项式矩阵
§8矩阵多项式与多项式矩阵设A 是n 阶阵，则为矩阵A 的特征多项式 事实上，n n n n a a a A E f ++++=-=--λλλλλ111)( 因此有一、Hamilton -Cayley Th （哈密顿—开莱）Th 2.每个n 阶矩阵A ，都是其特征多项式的根，即0111=++++--E a A a A a A n n n n （矩阵）注：该定理旨在用于：当一个n 阶矩阵的多项式次数高于n 次时，则可用该定理将它化为次数小于n 的多项式来计算。
eg 1.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=010110201A 试计算E A A A A A 432)(2458-++-=ϕ解：A 的特征多项式为12)(23+-=-=λλλλA E f取多项式432)(2458-++-=λλλλλϕ)()()149542(235λλλλλλr f +⋅-+-+=余项103724)(2+-=λλλr 由上定理0)(=A f ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=+-==∴346106195026483103724)()(2E A A A r A ϕDf 2.一般地，设)(λϕ是多项式，A 为方阵，若0)(=A ϕ，则称)(λϕ是矩阵A 的零化多项式。
根据定义：每个矩阵都有其零化多项式，即A E f -=λλ)(Df 3.设A 是n 阶矩阵，则的首项系数为1的次数最小的零化多项式)(λm ，称为A 的最小多项式。
显然：①矩阵A 的零化多项式都被其最小多项式整除。
②矩阵A 的最小多项式是唯一的Th 3.矩阵A 的最小多项式的根必是A 的特征根；反之，A 的特征根也必是A 的最小多项式的根——特征多项式与最小多项式之间的关系。
由此可得，求最小多项式的一个方法：设n n C A ⨯∈，其所有不同的特征值为s λλλ,,,21 ，则其特征多项式为ks s k k A E f )()()()(2121λλλλλλλλ---=-=则A 的最小多项式必具有如下形式：ns s n n m )()()()(2121λλλλλλλ---=其中s i k n i i ,,2,1 =≤eg 2.求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=031251233A 的最小多项式)(λm 解：)4()2()(2--=-=λλλλA E fA ∴的最小多项式,只能是：)4)(2()(--=λλλm ,或2)2()(-=λλm ，)2()(-=λλm ,)4()(-=λλm 及)()(λλf m =经计算可知：)4)(2()(--=λλλm 是A 的最小多项式，由此可得：Th 4.若A 的特征多项式没有公因子，则特征多项式为最小多项式。
第二章多项式矩阵
第二章多项式矩阵本章主要讲授多项式矩阵的基本概念和理论, 包括多项式矩阵的余数定理、Smith标准型定理和多项式矩阵的理想、互质等。
多项式矩阵的理论也是讲授第三章的重要基础。
§2.1 多项式矩阵记号：实数域R ，复数域C 。
记[]m nR λ×为n m ×的实系数多项式矩阵全体，[]m nC λ×为n m ×的复系数多项式矩阵全体。
容易验证,[]m nC λ×和[]m nR λ×分别为域C 和R 上的线性空间，[][]nn nn R C ××λλ分别为域C 和R 上的线性代数。
[]nm C A ×∈∀λλ)(,有[]λλC a ij ∈)(N N ijij ijij a a a a λλλ)()1()0()(L ++=其中令[]{})(deg max λij a N =. 则有()NNA A A A A λλλλ++++=L 2210, 其中()mxnl ijl Ca A ∈=)(。
多项式矩阵)(λA 可以看成为系数矩阵的多项式, N 称为是)(λA 的次数, 记为()[]λA N deg =注意：如果0)(=λA 则称)(λA 没有次数定义1（正则）若[]nn NN C A A A A ×∈+++=λλλλ01)(L , 且[]0det ≠N A , 则称)(λA 是正则的。
()λA 正则⇒[]n N A ×=))(det(deg λ 其中, det[()]A λ的n N ×次项系数即)det(N A定理1若)()(),(λλλA C B A nn 且×∈正则, 则∃唯一的)(1λQ 和)(1λR , 使)()()()(11λλλλR A Q B += (*)且[][]0)()(deg )(deg 11=<λλλR A R 或, 同样, ∃唯一的)(2λQ 和)(2λR 使()())()(22λλλλR Q A B += (**)且[][]0)()(deg )(deg 22=<λλλR A R 或.证明： 若[][])(deg )(deg λλA B <, 则令01=Q , B R =1, 定理得证.若[][]N A B M =≥=)(deg )(deg λλ 记N M p −=, 然后令[]nn p p pp C QQQ Q ×−−∈+++=λλλλ)0(1)1()(1)(L由（*）式可以推出[][]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−=−−−−=−==−−+−−−−−−−−−)()()()(1111)1(1)1()()0(11)(1)1(1)(λλλλA Q B R A A Q A Q A Q B Q A A Q B QA B Q N N p N p p N p p M N N p M p N M p L L可以验证Q 1(λ)和R 1(λ)满足定理要求.唯一性：即只需证0)(0)(0)()()()(1111==⇒=+=λλλλλλR Q R A Q B 时 假设Q 1(λ)≠00)()(1)0(1)1(1)(11≠+++=L L L Q Q Q Q Q λλλLL +=++NL N L A QR A Q λλλλ)(111)()()(由[]00det )(1≠⇒≠N L N A Q A 此时)()()(11λλλR A Q +不可能=0⇒矛盾 同理可证(**)式 #定理 2 nn C A ×∈][)(λλ正则, []nm C B ×∈λλ)(,则∃唯一的[]nm C R Q ×∈λλλ)(),(11使（*）成立, 且[][]0)()(deg )(deg 11=<λλλR A R 或；m m C A ×∈][)(λλ正则, []n m C B ×∈λλ)(, 则∃唯一的[]n m C R Q ×∈λλλ)(),(22使（**）成立, 且[][]0)()(deg )(deg 22=<λλλR A R 或.证明：仿定理1 #以上两个定理可以叫作多项式矩阵的余数定理.定义2（多项式矩阵的秩）nm C A ×∈][)(λλ, r 称为A （λ）的秩并记)]([λA rank r =,系指)(λA 的任何k ≥ r +1阶子式均为C （λ）中的零, 而A (λ)至少存在一个r 阶子式是C [λ]中的非零多项式.例：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=112)(22λλλλA 非正则但r = 2 ⇒ 非奇异 {一般多项式矩阵}⊃{满行秩或满列秩多项式矩阵}⊃{非奇异多项式矩阵}⊃{正则多项式方阵}⊃{}A I n −λ§2.2 Smith 标准型定义3（单模态矩阵）mxmC M )()(λλ∈称为单模态的, 系指0)](det[≠∈=ααλCM 常数定义4（初等矩阵）mm C ×][λ中三类[][]mj i j i j i ij m i i i i e e e e e e e e K C e e e e e K L L L L L ,,,,,,,,0,,,,,,,)(11111111+−+−+−=≠∈=αααα[][]][)(,,)(,,,,)(11λλαλαλαC e e e e e e K m i j j i ij ∈+=−L L L对A (λ)左乘相当于作行初等变换, 右乘相当于作列初等变换, 其中第3类不同于mm C ×中的初等矩阵初等矩阵的性质： 1 它的逆仍为初等矩阵2初等矩阵与单模态矩阵的关系：初等矩阵是单模态矩阵, 多个初等矩阵之积也是单模态矩阵.定义5（等价）nm C B A ×∈][)(),(λλλ称为是等价的, 系指存在m m sC M M ×∈][,1λL , nn t C N N ×∈][,1λL 均初等矩阵, 使t s N N N A M M B L L 211)()(λλ=容易证明：1．反身性：任何A (λ)与自身等价2．对称性：B (λ)与A (λ)等价⇔ A (λ)与B (λ)等价3．传递性：C (λ)与B (λ)等价, B (λ)与A (λ)等价⇒ C (λ)与A (λ)等价.定义6（行列式因子）nm C A ×∈][)(λλ, []r A rank =)(λ, 则对自然数j ≤ r , A (λ)中必有非零j 阶子式, A (λ)中全部j 阶子式的（首一）最大公因式d j (λ)称为A (λ)的j 阶行列式因子.定理3nm C A ×∈][)(λλ, []r A rank =)(λ, 则其各阶行列式因子d j (λ), j ≤r 有 r j d d j j ≤−)()(1λλ其中1)(0=λd证明：A (λ)的j 阶子式可以写成j -1阶子式以多项式为系数的线性组合, 因此, )()(1λλA d j −任一j 阶子式)()(1λλj j d d −⇒#定义7（不变因子） nm C A ×∈][)(λλ, []r A rank =)(λ, 则称)(/)()(1λλλσ−=i i i d d , r i ≤为A (λ)的不变因子.定理4 在nm C ×][λ中)()(.λλB A ⎯→←, 以)(),(λλ∧k k d d 分别表示A （λ）和B （λ）的k 阶行列式因子, 则1 [][])()(λλB rank A rank =2 [])()()(λλλA rank r k d d k k =≤=∧3 )(λA 和)(λB 有相同的不变因子.证明：容易验证初等矩阵左乘和右乘均不改变)(λA 的行列式因子, 所以结论1、2、3易证. #下面来证上述定理的逆命题.引理 1 nm ijC A ×∈=][))(()(λλαλ, 若0)(11≠λα又)(11λα不能除尽某个)(λαij , 则)()(λλA B ↔∃且[][])(deg )(deg 1111λαλβ<证明：根据不能为)(11λα除尽的元)(λαij 所处位置分为三种情形. (1) 设)(1λαi 不能为)(11λα除尽, 则有 [])](deg[)(deg )()()()(11111λαλδλδλγλαλα<+=i考虑初等矩阵[])(1λγ−i k[]))(~()(~)()(1λαλλλγiji A A K ==−其中)()(~1λδλα=i令)(~)(1λλA K B i = 则)()(.λλA B ⎯→← 且)(11λδβ=即[][])(deg )(deg 1111λαλβ< (2)设)(1λαj 不能为)(11λα除尽,证明与(1)相仿. (3) 若)(1λαi 和)(1λαj 都可被)(11λα除尽, 其中n j mi ≤≤但kl α∃不能为)(11λα除尽, 令[])()(1)(~1λλγλA K A k −=,其中)(λγ是1k α除以11α的商, 即)()()(111λαλγλα=k .此时 )(~λA 元)(~λαij 有111~αα=k , )1(~1γααα−⋅+=l kl kl . 令))(()(~)(1λγλλij k A K C =⋅=于是11111~ααγ==k ,)1(~11γαααγ−⋅+==l kl kl l . 于是l 1γ不能为11γ除尽, ⇒（2） #引理2 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−−01)(001)(1212n n mm I N I M M L ML δδλγγλ 均为初等矩阵之积, 其中γi , δj 为多项式 证明：[][][])()()()(1331221λγλγλγλm m K K K M L =[][][])()()()(21211,11λδλδλδλK K K N n n n n L −−= [][][])()()(1313212λδλδλδn n K K K L = #引理3 nm C A ×∈][)(λλ,若 n j m i ij ≤≤αα11, 则有)(00)(.'11λαλA B B ⎯→←⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=, 且B’的元均能被11α除尽. 证明：因为 n j m i ij ≤≤αα11, 所以)()()(11λλαλC A ⋅=.记⎥⎦⎤⎢⎣⎡=D gf C T 1)(λ, 其中1)1(][)(×−∈m C g λλ,)1(1][)(−×∈n C f λλ,)1()1(][)(−×−∈n m C D λλ.令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−101)(m I g M λ, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−101)(n TI f N λ. 由引理2可知, M 、N 为初等矩阵之积.⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−='111100001)(B gf D MAN T αλα, 其中])[(11'Tgf D B −=λα, 且B ’的元均能被11α除尽. #定理5（Smith 标准型定理）nm C A ×∈)()(λλ,[]r A rank =)(λ 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡↔000)()(λλS A (Smith 标准形)其中[])(),(),()(21λσλσλσλr diag S L =, 且1),()(1−≤+r i i i λσλσ 证明：假设m ≥ n , 对A (λ)的列数n 用归纳法 (Ⅰ) n=1时,令[]Tm A )(),()(1λαλαλL =,则1 若m i i ≤≤2)()(1λαλα则由引理3[]TA 0,0,)(11.L αλ⎯→←2 若有i α不能为1α除尽,由引理1可知有[][])(deg )(deg )()(1111.λαλβλλ<⎯→←A B若)(λB 满足条件1则结论成立, 否则又可有[][])(deg )(deg )()()(11)1(11..1λβλβλλλ<⎯→←⎯→←A B B这样重复下去, 就能有矩阵与A （λ）等价且满足条件1 所以, n =1时定理成立 (Ⅱ)假设n = l -1时定理成立 (Ⅲ)当n = l 时 1 若lj mi ij ≤≤αα11则由引理3有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎯→←'00)(11.B A αλ其中B ’的元均能被11α除尽, 由于B ’之列数l -1且[]1'−=r B rank , 按(Ⅱ)有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎯→←000'1.S B[][])1()1(321,,−×−∈=r r r C diag S λσσσL且1,2|1−=+r i i i L σσ显然2σ是B ’的一阶行列式因子, 而行列式因子对于等价矩阵是不变量, 这表明2σ是B '各元的最大公因子, 同此211|σα, 令111ασ=则定理得证.2 若存在ij α不能为11α除尽, 则由引理1可知,存在)()(.λλA B ⎯→←且[][]1111deg deg αβ<, 仿照n=1情形中条件2, 总能找到)()(~.λλA A ⎯→←使l j m i ij ≤≤,,~)(~11αλα.这就归结到条件1. #推论 1 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡000)(λS 是nm C A ×∈][)(λλ的Smith 标准形, 则)(),(),(21λσλσλσr L 是 A （λ）的不变因子, )()()(21λσλσλσk L 是A （λ）的k 阶行列式因子.推论2 对nm C A ×∈][)(λλ，则其Smith 标准形唯一. 推论 3 若n m C A ×∈][)(λλ和nm C B ×∈][)(λλ的行列式因子或不变因子相同，则)()(.λλB A ⎯→←定理6 在n n C ×][λ中下述提法等价1 mm C M ×∈][)(λλ是单模态2 m I M ↔&)(λ 3 M (λ)是初等矩阵之积4 []mm C M M ×−∈][)()(1λλλ和证明: 1°⇒2°: 由于[]m M rark =)(λ则有],,,[)(21.m diag M σσσλL ⎯→← 由det[M (λ)]为常数, []{}m diag σσσL ,,det 21=m σσσL 21为常数（非零）m σσσL ,,21⇒均非零常数（首一）⇒2°2°⇒3° 显然3°⇒4° 初等矩阵之逆仍为初等矩阵4°⇒1° [][]1)(det )(det 1=⋅−λλM M[]=⇒)(det λM 非零常数 #§2.3 多项式矩阵的理想与互质（自学） 定义8（理想） 设nn C M ×⊂][λ是nn C ×][λ的子空间, 又具性质nn C B M A MA B ×∈∈∀∈][)(,)()()(λλλλλ则称M是nn C ×][λ的一个左理想.若M 具性质nn C B M A MB A ×∈∈∀∈][)(,)()()(λλλλλ则称M 是nn C ×][λ的一个右理想例：{}nn LC B A B X X A ×∈∀==][)(),()()()())((λλλλλλλ（其中n n C A ×∈][)(λλ）是nn C ×][λ的一个左理想.{}nn R C B B A X X A ×∈∀==][)(),()()()())((λλλλλλλ是nn C ×][λ的一个右理想.其中A (λ)称为它们的生成元.定理7 若nn C M ×∈][)(λλ是单模态, 则1° n n LL C A A M A ×∈∀=][)())()(())((λλλλλ2° n n R R C A M A A ×∈∀=][)())()(())((λλλλλ证明：1°L L L A M A M M A A M L))()(())()()(())(())()((1λλλλλλλλ⊂=⊂− ()()L L A M A )()()(λλλ=⇒ 2° 同上可证 # 定理8 n n C M ×∈][)(λλ则M 是单模态当且仅当()()R L n n M M C )()(][λλλ==×证明：n n Rn L n C I I ×==][)()(λ 当：()L n n nM C I )(][λλ=∈×()()1)(det )(det )()(=⇒=∴λλλλM N M N I n())(det λM ⇒为非零常数)(λM ⇒单模态“仅当”：由定理7, 令n I A =)(λ即可 #定义9（多项式矩阵生成的理想）若,,][)(r i C A nn i≤∈×λλ则 ()()()L r L L A A A M )()()(21λλλ+++=L 称为r i A i ≤),(λ生成的左理想, 而()()()R r R R A A A N )()()(21λλλ+++=L 称为由r i A i ≤),(λ生成的右理想定义10（互质）r i A i ≤),(λ称为左互质, 是指()()()n n Rr R R C A A A ×=+++][)()()(21λλλλL而r i A i ≤),(λ称为右互质, 是指()()()n n Lr L L C A A A ×=+++][)()()(21λλλλL定理9 r i A i ≤),(λ左互质当且仅当多项式矩阵方程n r r I X A X A X A =+++)()()()()()(2211λλλλλλL 有解.右互质当且仅当n r r I A Y A Y A Y =+++)()()()()()(2211λλλλλλL 有解.证明：r i A i ≤),(λ左互质()()()R r R R n n A A A C )()()(][21λλλλ+++=⇔×L)()()()()()(2211λλλλλλr r n X A X A X A I +++=⇔L 有解同理可证右互质情形. #定理10 r i C A nn i ≤∈×][)(λλ, 则下面各条件等价1° r i A i ≤),(λ是左互质的2°若[]rnn r C A A A A ×∈=][)()(),()(21λλλλλL则[]C nA rank ∈∀=00)(λλ3°[][]0,0,)()(),(),(21L L n rI A A A A ⎯→←=⋅λλλλ 证明:1°⇒2°⇒3°⇒1°1°⇒2° 由定理9可知有n r r I X A X A X A =+++)()()()()()(2211λλλλλλL记⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=)()()()(21λλλλr X X X X 则有n i I X A =)()(λλn I X A C =∈∀)()(o o o λλλ2°⇒3° 由[]C n A rank ∈∀=o o λλ)([]0,0),()(L λλS A ⎯→←⇒⋅其中[])(),(),()(21λσλσλσλn diag S L = 且[]n S rank =)(0λn i i ≤⇒)(λσ均无任何根(在C 中))(λσi ⇒均为非零常数 ⇒考虑首一 n I S =)(λ3°⇒1° 存在单模态矩阵nn C M ×∈][)(λλ和rnrn C N ×∈][)(λλ, 使 [][]0,,0,)()()(),(),(21L L n r I M N A A A λλλλλ=记⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=)(,),()(,),()(,),()(1221111λλλλλλλrr r r r N N N N N N N L LL L nn ij C N ×∈][)(λλ则)()(),()(111111λλλλ−−==M N X M N X r r L 可使n r r I X A X A =++)()()()(11λλλλL#同理可以证明下面定理定理11 r i C A n n i ≤∈×][)(λλ,则下述条件等价:1 r i A i ≤),(λ是右互质的2 C n A rank A A A r ∈∀=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=00~1~)()()()(λλλλλM3 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎯→←00)(.~M n I A λ定义11 (公因子) n n C A ×∈][)(λλ,若存在nn C C B ×∈][)(),(λλλ,使)()()(λλλC B A =,则B (λ)称为A (λ)的一个左因子, C (λ)称为A (λ)的一个右因子.若B (λ)同为A i (λ)r i ≤的左因子, 则B (λ)称为A i (λ)r i ≤的左公因子. 若F(λ)为A i (λ)r i ≤的左公因子且A i (λ)的任意左公因子都是F (λ)的左因子, 则F (λ)称为)(λi A 的最大左公因子.相似的可以有右公因子和最大右公因子的概念.定理12 n n i C A ×∈][)(λλr i ≤为左互质当且仅当其最大左公因子是单模态矩阵,而右互质当且仅当其最大右公因子是单模态矩阵.证明：左互质情形“当”：设D(λ)是单模态矩阵且为A i (λ),r i ≤的最大左公因子, 则有r i C B n n i ≤∈×][)(λλ使)()()(λλλi i B D A =令[]rn n r C A A A ×∈=][)(),()(1λλλλL 则[]n A rank ≤)(λ无妨记A(λ)的Smith 标准形为[]0,0),(L λS , 于是有单模态矩阵n n C M ×∈][)(λλ和rn rn C N ×∈][)(λλ, 使[])(0,0),()()(λλλλN S M A L =.记⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=rr r r r r N N N N N N N N N N L L L 212221211211)(λ,则有()()r r N N N MS A A A 1121121,,,,L L =⇒MS 是)(λi A 的左公因子⇒n n C F ×∈∃][)(λλ使MSF=D因为 det(D )为非零常数所以 det(S(λ))也为非零常数n I S ⎯→←⇒⋅)(λ [][]0,0,)(),(1L L n rI A A ⎯→←⋅λλ 由定理10 )(λi A ⇒左互质“仅当”：由n n iC A ×∈][)(λλr i ≤为左互质 可以推出 r i C X nn i ≤∈∃×][)(λλ使n r r I X A X A X A =++L 2211设D 是)(λi A 的最大左公因子, A i =DB i则上式变成[][]1det ))(det(1111=++⋅=++r r nr r X B X B D I X B X B DL L λ())(det λD ⇒为非零常数)(λD ⇒单模态.类似地可证右互质情形.#作业：1．求⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−20012021λλλλ和的不变因子和Smith 标准形。
多项式矩阵
rank
D(s) N (s)
rankU
(s)
D(s) N (s)
rank
R(s)
0
rankR(s)
所以,当条件(2.7)成立时,必有 rankR(s)= p,即 R(s)为非奇异.性质2.2知 所有gcrd都是非奇异的.
性质2.4 设 R(s)是p p和q p 的多项式矩阵 D(s)和N(s)
(2.6)
将(2.5)代入(2.6),即得
R(s) [U11(s)D1(s) U12 (s)N1(s)]R1(s) W (s)R1(s) 其中W (s)为多项式矩阵， R1(s)为R(s)的右乘因子
R(s)为D(s)和N (s)一个右公因子
例2.1 求多项式矩阵
D(s)
s 1
3s 1 S2 s 2, N(s) [1
N (s)和D(s) ,使得 N (s) N (s)R(s), D(s) D(s)R(s)
则称多项式方阵 R(s)是N (s)和D(s) 的右公因子.
易得：N(s)和D(s) 有相同的列数.行数可以不同. 定义2.4 若多项式方阵 R(s)是N (s)和D(s) 的右公因子 ,并且是
N (s)和D(s) 的任一右公因子 R1(s)的左倍式（即R(s) W (s)R1(s)）
有U
(s)
D(s) N (s)
U11(s) U21(s)
U12 U 22
(s) (s)
D(s) N(s)
R(s)
0
(2.4)
则 p×p的多项式矩阵 R(s)是D(s)和N (s) 的一个gcrd.
证 1)先证 R(s)是D(s)和N (s) 的一个gcrd 令
V
(s)
U
多项式矩阵的初等变换
多项式矩阵的初等变换多项式矩阵是指矩阵的元素是多项式的矩阵。
初等变换是矩阵运算中常用的一种方式，可以通过对矩阵进行一系列基本操作来改变其性质。
本文将介绍多项式矩阵的初等变换方法及其应用。
1.行交换：通过交换矩阵的两行来改变行的顺序。
例如，将第一行与第二行交换，可以写作R1<->R2。
2.行倍乘：将矩阵的某一行的所有元素乘以一个非零常数。
例如，将第一行的元素都乘以2，可以写作2R1。
3.行加减：将某一行的所有元素与另一行的对应元素相加或相减，然后替换该行。
例如，将第一行的元素分别加到第二行上，可以写作R2=R2+R1。
在实际问题中，多项式矩阵的初等变换被广泛应用。
以下是一些常见的应用场景：1.线性方程组的求解：通过初等变换，可以将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，从而求解出未知数的值。
2.矩阵的秩计算：通过初等变换，可以将矩阵转化为行阶梯形矩阵，进而计算出矩阵的秩。
3.矩阵的相似性判定：通过初等变换，可以将矩阵转化为标准型，从而判断两个矩阵是否相似。
4.多项式插值：通过初等变换，可以将多项式插值问题转化为线性方程组求解问题，从而得到多项式的系数。
多项式矩阵的初等变换是一种常用的矩阵运算方法，通过行交换、行倍乘和行加减操作，可以改变矩阵的性质以及解决实际问题。
在实际应用中，初等变换广泛用于线性方程组求解、矩阵的秩计算、矩阵相似性判定和多项式插值等领域。
熟练掌握多项式矩阵的初等变换方法对于数学问题的解决具有重要意义。
1.张广福，陈皓，袁启土.数学分析[M].高等教育出版社，2013.2.蒋继宗.线性代数与几何[J].高等教育出版社，2018.。
求矩阵的特征多项式
求矩阵的特征多项式矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
而矩阵的特征多项式则是矩阵的一个重要性质，它可以帮助我们求解矩阵的特征值和特征向量，从而更好地理解矩阵的本质。
本文将从定义、性质和求解方法三个方面来介绍矩阵的特征多项式。
一、定义矩阵的特征多项式是一个关于变量λ的多项式，它的系数是矩阵的元素。
具体来说，对于一个n阶矩阵A，它的特征多项式定义为：p(λ) = det(λI - A)其中，I是n阶单位矩阵，det表示行列式。
这个多项式的根就是矩阵A的特征值，而对应每个特征值的特征向量则可以通过解线性方程组来求得。
二、性质矩阵的特征多项式有以下几个性质：1. 特征多项式的次数等于矩阵的阶数。
2. 特征多项式的常数项等于矩阵的行列式。
3. 特征多项式的系数都是整数。
4. 如果两个矩阵A和B相似，它们的特征多项式相同。
这些性质为我们理解矩阵的特征多项式提供了重要的线索，也为我们求解特征多项式提供了便利。
三、求解方法求解矩阵的特征多项式有多种方法，下面介绍两种常用的方法。
1. 利用定义式求解根据定义式，我们可以直接计算出特征多项式。
例如，对于一个2阶矩阵A：A = [a11 a12][a21 a22]它的特征多项式为：p(λ) = det(λI - A) = det([λ-a11 -a12][-a21 λ-a22])展开行列式，得到：p(λ) = λ^2 - (a11+a22)λ + (a11a22-a12a21)这样，我们就求得了矩阵A的特征多项式。
2. 利用特征值和特征向量求解另一种方法是先求解矩阵的特征值和特征向量，然后利用它们的性质来求解特征多项式。
具体来说，我们可以先通过解方程组求解出矩阵A的特征值λ1、λ2、...、λn，然后对于每个特征值λi，求解出对应的特征向量vi。
根据特征向量的定义，我们有：Avi = λivi将上式两边同时乘以λi，得到：A(λivi) = λi(λivi)也就是说，矩阵A可以看作是一个线性变换，它将特征向量vi变换为λivi。
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1
d 2 ( ) d r ( ) 0
0
称它为A(λ)的Smith标准型，其中r≥1，di(λ)(i=1,2,…,r)是首项 系数为1的多项式，且 di(λ)|di+1(λ)(i=1,2,…,r-1)。其中，主对角 线上的非零元素d1(λ),…dr(λ) 称为λ-矩阵A(λ)的不变因子。 例：用初等变换化多项式矩阵为Smith标准型
①矩阵的两行（列）互换； ②矩阵的某一行（列）乘以非零的常数k； ③矩阵的某一行（列）乘以多项式 f ( ) 后加到另一行（列）。
4.多项式矩阵的秩
如果多项式矩阵A（λ）有一个r阶子式不为零，而所有的r+1 阶子式全为零，则称A（λ）的秩为r，零矩阵的秩规定为零。
5.多项式矩阵的逆矩阵 设A（λ）是n阶λ-矩阵，如果存在n阶λ-矩阵B（λ），使A（λ） B（λ）= B（λ）A（λ）=I，则称A（λ）可逆，并称B（λ）是 A（λ）的逆矩阵，且逆矩阵唯一。
2
2
0
2 3 2 0
2
2 2 0 0
2
0 1 3 3 3 1 2
0
0
0 3
最后所得的矩阵为A(λ)的Smith标准型，
d1(λ)=1,d2(λ)=λ,d3(λ)=λ3+λ为A(λ)的不变因子。
2.Jordan标准型
形如
i Ji 1
i
1
1 i m m i i
D k ( ) d 1 ( ) d 2 ( ) d k ( ), k 1, 2, r
2.不变因子：( ) dk
D k ( ) D k 1 ( )
( D 0 ( ) 1)
A(λ)的所有不变因子称为A(λ)的不变因子组
经过初等变换不改变多项式矩阵的秩和行列式因子，有相 同的行列式因子或不变因子是A(λ)与B(λ)等价的充要条件
谢谢
d11（λ)= λ2 (λ+i)2 (λ-i)2 (λ+1)
类似地，剩下的次数最高的初等因子相乘，并继续下去
d10(λ)= λ (λ+i)(λ-i) ，d9(λ)= λ
由于初等因子已用完，剩下的不变因子都是1，
d8(λ)=•••=d1(λ)=1
三、多项式矩阵的标准型
1.Smith标准型 任意一个非零的多项式矩阵都等价于下列形式的矩阵（经过矩 阵的初等变换实现） d ( )
6.多项式矩阵的等价
设 A ， B F
mn
,如 果 A 经 有 限 次 初 等 变 换 化 为 B ,
则 称 A 与 B 等 价 ， 记 为 A B
二、多项式矩阵的行列式因子
1.定义：设A(λ)矩阵的秩为r,对于正整数k, 1≤k≤r,A(λ) 中必 有非零的k级子式， A(λ) 中全部k级子式的首项系数为1的 最大公因式Dk(λ) 称为A(λ) 的k阶行列式因子.
2 1
2
2
1
2
2
1
0
1 3 1 2 1 0
2 1
2
2
0
1 1 0 2 2 1 3 1 0 1 0 3 2 0
多项式矩阵
一 、多项式矩阵的定义
1.设aij(i,j=1,2,…n)是以λ为未定量的数域上的多项式，由aij为元 素构成的矩阵叫做多项式矩阵或λ-矩阵。
a 11 ( ) a 12 ( ) a ( ) a 22 ( ) 21 A( ) ... ... a n1 ( ) a n2 ( ) ... a 1n ( ) ... a 2n ( ) ... ... ... a nn ( )
k ij
(kij>0)为A的初等因子。A的所有初等因子（重复的按重数计 算）称为A的初等因子组。
由定义知，初等因子是被不变因子确定的。
例：设12阶矩阵A的不变因子组是
1,1, ,1
9个1
，(λ-1)2，(λ-1)2(λ+1)，(λ-1)2(λ+1)(λ2+i)2.
由初等因子的定义，得A的初等因子组是 (λ-1)2 ， (λ-1)2 ， (λ-1)2 ，λ+1， λ+1， (λ+i)2 ，(λ-i)2 所有初等因子的次数的和等于该矩阵的阶数
例：已知矩阵A的初等因子组为
λ ，λ，λ2，λ+i，λ-i，(λ+i)2，(λ-i)2，λ+1 求A的不变因子组
解：由初等因子组的次数之和为11，从而A是11阶矩阵先求 最高次不变因子d11(λ)，不变因子应是不同的初等因子的乘 积，最高次不变因子是其余不变因子的倍式，所以它是次 数最高的不同初等因子的乘积，从而
或写成A（λ）=A0λm+A1λm-1+•••+Am-1λ+Am；其中Ai（i=0，1， •••，m）为n阶常数矩阵。
2.运算注解： ①多项式矩阵的加法、数乘及乘法与一般矩阵的运算规则一样， 只是在运算过程中将数的运算换成多项式的运算即可。 ②多项式矩阵也可以像数字矩阵一样定义行列式，并且多项式 矩阵行列式的性质与数字矩阵的行列式的性质相同。 3.多项式矩阵的初等变换
例：求
解：D1(λ)=1, D2(λ)=λ, D3(λ)=λ3+λ d1(λ)=1
d 2 ( ) D 2 ( ) D1 ( ) ,
d 3 ( ) D3 ( ) D 2 ( ) 1
2
1 2 1 2 2 2 2 1 1
的方阵称为mi阶Jordan块，其中λi可以是实数，也可以是复数，由若 干个Jordan块组成的分块对角阵
J1
r
J2
Jr
其中Ji(i=1,2,…,r)为 mi阶Jordan块，当 m i =n时，称为n阶Jordan标 i 1 准型，记为J。
四、多项式矩阵的应用
1 2 1 1 0 1 3 1
2 1
2
2
1
2 1
3 1 2
1 2 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0
1.矩阵理论在计算机方面的应用，如矩阵的奇异值分解的应用， QR分解在网络方面的应用，还有在三维图形图像方面的应用。 2.多项式矩阵理论在网络分析中的应用，基于回路矩阵B、基 本割集矩阵Q和支路伏安特矩阵[Y(s) Z(s)]列写出线性时不变 有源网络的网络矩阵P(s)，借助多项式矩阵理论中有关解耦零 点的概念和理论，研究网络的复杂度和稳定性。 3.多项式矩阵理论知识，在建立和完善线性控制系统理论过程 中具有基础作用，应用广泛。
的行列式因子及不变因子
3.初等因子 设矩阵A(λ) 的不变因子是d1(λ),…di(λ) ，di(λ)(i=1,2,…r)的 标准分解式是
d i 1
ki1
2
ki 2
j
k ij
则称 d i 的标准分解式中的一次因式的方幂 j