多项式与矩阵
第四章 多项式与矩阵
计划课时: 24学时 (P 159-220).
§4.1 带余除法 多项式的整除性 (2学时)
教学目的及要求：理解多项式的定义及整除的定义，掌握带余除法及整除的性质 教学重点、难点： 带余除法及带余除法定理的证明
本节内容分以下四个问题讲授： 一．多项式的定义(P 159定义1)
n
n n n x
a x
a x a x a a +++++--1
12
210
注: 在讲多项式的定义时, 重点放在形式表达式上 注意区分零多项式和零次多项式. 二．消去律问题(P 161推论4.1.2)
0)(≠x f ,)()()()()()(x h x g x h x f x g x f =?=
在证这个结论时要强调指出,并不是在上式两端除去)(x f 而得结论, 因为这时我们还没讲多项式的除法.
三．带余除法(p 161定理4.1.3)
0)(,0)(),()()()(=≠+=x r x g x r x q x g x f , 或)(deg x r ＜)(deg x g
这里要强调指出,用多项式)(x g 去除)(x f 时要求0)(≠x g .
注意：带余除法定理的证明是本章的难点之一。先通过一个具体的例子来演示多项式的长除法。 四．整除的定义、性质以及整除的判定
)()()(x g x u x f =注意到这里定义整除时用的是多项式的乘法,不涉及多项式的除法, 因此由该定义就可得到:零多项式整除零多项式,0)(0?=x g , 所以0|0（而不能用记号0
0）.
作业：P 214，1，2，3，4，5.
§4.2 最大公因式 (4学时)
教学目的及要求：理解最大公因式、互素的定义和性质，掌握辗转相除法. 教学重点、难点：
1. 辗转相除法
2. 辗转相除法的证明
本节内容分以下三个问题讲授： 一．最大公因式的定义(P 164 –167).
注意：1.最大公因式的最大性是由整除来体现的. 2.最大公因式一定是存在的. 二．最大公因式的求法(P 166 –167). （1）辗转相除的过程.
（2）)()()()()(x v x g x u x f x d +=
注意: 辗转相除过程中最后一个不为零的余式)(x r s 是)()(x g x f 与的一个最大公因式,推下去,容易得到
)()()()()(x v x g x u x f x r s +=
但满足上式的)(),(x v x u 不唯一(可举例说明). 三． 多项式的互素(P 170)
注意:教材中讲的是多个多项式互素的问题.在讲授时,应详细讲解两个多项式互素问题:
)()(x g x f 与互素?
))(),((=x g x f .
另外, 补充三个性质:
(1)．1))(),((,1))(),((==x h x g x h x f ,则1))(),()((=x h x g x f . (2)．)(x h ∣)()(x g x f ,且1))(),((=x f x h ,则)(x h ∣)(x g .
(3)．)(x g ∣)(x f ,)(x h ∣)(x f ,且1))(),((=x h x g ,则)()(x h x g ∣)(x f . 注意下面两个结论的不同之处:
)()()()()()())(),((x d x v x g x u x f x d x g x f =+?=
1)()()()(1))(),((=+?=x v x g x u x f x g x f
作业：P 215 7，8，10，11，12，19.
§4.3 多项式的分解(4学时)
教学目的及要求：理解不可约多项式、k 重因式的定义，掌握它们的性质及因式分解唯一性定理 教学重点、难点：因式分解存在与唯一性定理
本节内容分为下面三个问题讲授： 一.不可约多项式的定义及性质(P 170-172)
(1).不可约多项式是针对次数大于零的多项式而谈的.换句话说,我们不讨论零多项式与零次多项式的可约性问题.
(2).不可约多项式)(x p 与任意多项式f(x)的关系是: 要么1))(),((=x f x p , 要么
)(|)(x f x p ,仅仅只有一个成立.
二. 多项式分解成不可约多项式的乘积与数域有关
若-
F F ,都是数域,且-
?F F ,}[)(x F x f ∈, 则)(x f 在][x F 中的不可约分解与)(x f 在
-
}[x F 中的不可约分解一般不同.
例 若4)(4-=x x f ,Q 是有理数域,R 是实数域.则在][x Q 中, )(x f 的不可约分解是
)2)(2()(2
2
+-=x x x f .
而在][x R 中,)(x f 的不可约分解是
)2)(2)(2()(2
++
-
=x x x x f .
三. 多项式的导数(P 174的定义3)
设
n
n n n x a x
a x a x a a x f +++++=--1
12
210)(
记)(x f 的导数为)('
x f ,则
1
2
121'
)1(2)(---+-+++=n n n n x
na x
a n x a a x f
这里导数的定义是纯粹形式上的. 不涉及函数、连续、极限等概念.
作业： P 215 13，14，15，16，17，18.
§4.4 最大公因式的求法（I ） （2学时）
教学目的及要求：理解矩阵的准等价、准初等变换、简单矩阵的定义，掌握用准初等变换将矩阵化
为简单矩阵的方法
教学重点、难点：
1. 用准初等变换求多项式系的最大公因式的方法
2. 定理4.4.7的证明
本节内容分下面三个问题讲授：
一. 多项式系矩阵A 的最大公因式（175P 定义1）
注：给定一个矩阵A,则A 一定能确定一个多项式系{},)(,),(),(21x f x f x f m 而这m 个多项式的最大公因式又叫矩阵A 的最大公因式. 二. 矩阵的准等价与矩阵的准初等变换(176P )
??B A A 与B 有相同的最大公因式.
注: 两个矩阵准等价时,行数不一定相等, 列数也不一定相等. 例如 ????
?
?
?---=22
01010
0101
A , ???
?
?
?--=11
303B . A 与B 准等价,A 是3行4列,B 是2行3列.
要注意到矩阵的准初等变换与矩阵的初等变换差别较大. 三. 准初等变换与矩阵最大公因式的关系(177P ) 定理4.4.5 准初等变换不改变矩阵的最大公因式.
(证明略).
该定理的证明比较长,但并不复杂.可由3个引理直接得到, 这样的证明简明扼要.
有了定理4.4.5, 定理4.4.6, 定理4.4.7, 便得到了求多个多项式最大公因式的矩阵求法.
例2给出了求8个多项式最大公因式的矩阵准初等变换法. 与辗转相除法比较, 该方法优越的多.
作业： P 215-216 20.
§4.5 最大公因式的矩阵求法(Ⅱ) (4
学时)
教学目的及要求：掌握用x-矩阵的行初等变换求多项式的最大公因式的方法 教学重点、难点：
1. 用x-矩阵的行初等变换求多项式的最大公因式的方法
2. 定理4.5.3的证明
本节内容分下面四个问题讲授： 一.方法(Ⅱ)与方法(I)的区别.
§4.4 的例2给出了求)(,),(),(821x f x f x f 最大公因式的矩阵准初等变换法. 它们的最大公因式是)1(-x . 因此一定有)(,),(),(821x u x u x u 使
1)()()()()()(882211-=+++x x u x f x u x f x u x f .
但方法(I)并没有告诉我们)(,),(),(821x u x u x u 如何求. 本节讲的方法(Ⅱ)就弥补了这一点. 二. x -矩阵与初等变换(182P )
⑴ 以][x F 中多项式为元素的矩阵称为F 上的x -矩阵, 根据这一定义, 以数为元素的矩阵是x -矩阵的特殊情形. 换句话说，以数域F 上的数为元素的矩阵也是F 上的x -矩阵. 此时矩阵中的
元素是零多项式或者零次多项式.
⑵ 由于以F 上的为元素的矩阵也是x -矩阵, 因此, 通常讲的矩阵的初等变换必是x -矩阵的初等变换的特殊情形. 三. n 个基本结论(184182-P )
引理4.5.1， 定理4.5.2, 定理4.5.3.
(证明略).
在上述几个结论的支持下,可得到求多项式)(,),(),(21x f x f x f s 最大公因式)(x d ,并同时可求出相应的)(,),(),(21x u x u x u s 使得
)()()()()()()(2211x d x u x f x u x f x u x f s s =+++
详细讲解例1(185P ).
作业： P 216 21（1），22.
§4.6 多项式的根 (4
学时)
教学目的及要求：理解多项式函数、k 重根的定义及相关理论，理解代数学基本定理及韦达定理，
掌握综合除法、有理根的筛选法 教学重点、难点：
1. 综合除法、多项式根的个数、有理根的筛选法
2. 定理4.6.9的证明
本节内容可分下面四个问题讲授： 一．从函数的观点看多项式(187P )
前面我们总是把多项式看做形式表达式. 本节我们将从函数的视角考察多项式. 设
011
1)(a x a x
a x
a x f n n n
n ++++=--
用F 中的数c 代替x , 得
011
1)(a c a c
a c
a c f n n n
n ++++=--
由于数域对加、减、乘, 除四种运算封闭. 所以 0111a c a c a c a n n n n ++++-- 是F 中一个数, 记这个数为)(c f . 这正符合映射的定义
:f →c 011
1a c a c
a c
a n n n
n ++++-- =)(c f .
这个映射就叫做由数域F 上多项式f(x)所确定的多项式函数. 二．多项式的根与综合除法(189188-P )
c 是)(x f 的根?)(c f =0. c 是的)(x f 根?)(c x -∣)(x f .
三．介绍几个基本结论(191189-P )
引理4.6.3, 定理4.6.4， 定理4.6.5, 定理4.6.6, 定理4.6.7. 四．本原多项式与有理根(193192-P )
定理 4.6.9给出求整系数多项式有理根的一种方法. 注意到, 定理给出的是)(x f 有有理根的一个必要条件而非充分条件. 也就是说，满足条件的许多有理数不是)(x f 的根.
作业： P 216 23，24，25，27，28，29，31.
*§4.7 X-矩阵的标准形
*§4.8 数字矩阵相似的充要条件
*§4.9 Cayley-Hamilton 定理 最小多项式
这三节内容不作讲述要求,供学生自学,也不作考试要求.需要说明的是这部分选学内容比前面的选学内容难一些, 读不懂也没关系, 有一个大概的了解即可.为什么要求安排这三节内容呢? 目
的是为了多项式理论的完整性. 同时，了解这些内容对一些后继课的学习和做研究工作都是有益的.
习题课(4学时)
例1(习题四ex.8)
例2(习题四ex.23)
例3(习题四ex.27)
例4(习题四ex.29)
例5(习题四ex.43)
作业：本章小结
矩阵的特征多项式与特征根
矩阵的特征多项式与特征根 定义3 设A =(a ij )是数域F 上的一个n 阶矩阵，行列式 nn n n n n A a a a a a a a a a A I f ---------=-=λλλλλ 212222111211 )(叫做矩阵A 的特征多项式．f A (λ)在C 内的根叫做矩阵A 的特征根． 设λ0∈C 是矩阵A 的特征根，而k 0∈C n 是一个非零的列向量，使Ax 0=λ0x 0,就是说，x 0是齐次线性方程组（λ0I-A ）X=0的一个非零解．我们称x 0是矩阵A 的属于特征根λ 0的特征向量． 例6 分别在实数域R 和复数域C 内求矩阵 ????? ??-----310425 2373 的特征根和相应的特征向量． 解)1)(1(3104252 373)(2+-=???? ? ??--+--=λλλλλλA f ))()(1(i i -+-=λλλ ① 在R 内，A 只有特征根1，A 的属于特征根1的特征向量为k （2，-1，-1），k ∈R ，k≠0． ② 在C 内，A 有特征根λ1＝1，λ2＝i, λ3＝-i.A 的属于特征根1的特征向量为k （2，-1，-1），k ∈C ，k≠0；A 的属于特征根i 的特征向量为k 1（-1+2i,1-i,2）, k 1∈C, k 1≠0 A 的属于特征根-i 的特征向量为k 2(-1-2i,1+I,2), k 2∈C, k 2≠0 注意：求A 的特征根时，要考虑给定的数域，若没有指定数域，就在C 内讨论；表示属于某个特征根的特征向量（关于基础解系）组合系数要取自指定的数域F （或C ），且不全为零．
矩阵特征值的意义
矩阵特征值的意义 数学里面的特征值和特征矩阵到底有什么用，它的物理意义在于什么？？ 矩阵的特征值要想说清楚还要从线性变换入手，把一个矩阵当作一个线性变换在某一组基下的矩阵，最简单的线性变换就是数乘变换，求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换，特征值就是这个数乘变换的变换比，这样的一些非零向量就是特征向量，其实我们更关心的是特征向量，希望能把原先的线性空间分解成一些和特征向量相关的子空间的直和，这样我们的研究就可以分别限定在这些子空间上来进行，这和物理中在研究运动的时候将运动分解成水平方向和垂直方向的做法是一个道理！ 特征值时针对方阵而言的。 两个向量只有维数相同时才能考虑相等的问题，才能有和、有差。 引入特征值与特征向量的概念 ? 引例 在一个n 输入n 输出的线性系统y=Ax 中，其中 ? 我们可发现系统A 对于某些输入x ，其输出y ? 恰巧是输入x 的 倍，即 ；对某些输入，其输出与输入就不存在这种按比例放大的关系。 ??????? ??=??????? ??=??????? ??=n n nn n n n n y y y y x x x x a a a a a a a a a A M M L L L L L L L 2121212222111211,,λx y λ=
? 例如，对系统 ，若输入 ? 则 ? ? 若输入 ，则 ? 所以，给定一个线性系统A ，到底对哪些输入，能使其输出按比例放大，放大倍数 等于多少？这显然是控制论中感兴趣的问题。 基于此给出特征值与特征向量的概念： ? 定义 设A 是一个n 阶方阵，若存在着一个数 和一个非零n 维向量x ，使得 则称 是方阵A 的特征值，非零向量x 称为A 对应于特征值 的特征向量，或简称为A 的特征向量 ???? ??=4312A ? ?? ? ??=31x x Ax y 5315155314312=???? ??=???? ??=???? ?????? ??==???? ??=52x x Ax y λ≠???? ??=???? ?????? ??==269524312λx Ax λ=λλ
一种多项式矩阵列既约分析方法
一种多项式矩阵列既约分析方法 一、目的与用途 在多项式矩阵分析中，矩阵的既约性是一个很重要的问题，本文介绍了针对pXp 阶多项式矩阵M(s) 的分析方法，并给出了确定其是否列既约的计算机程序。经过输入处理也可实现行既约的分析。 二、数学原理 给定一个pXp 的非奇异多项式矩阵M(s)称为是列既约的，如果满足下述条件 ∑== p i ci s M s M 1 )()(det deg δ 用程序实现时，要先定义一二维数组W[x][x]存放多项式矩阵，矩阵元素为一维整型数组类型，存放多项式的系数和首项次数。通过键盘输入多项式，对所输入的多项式进行分析处理，得到二维数组w[x][x]，每个多项式对应一个一维数组。根据每个多项式对应的一维数组，得到该多项式的最高指数。通过对二维数组w[x][x]的搜索，得到每一列最高指数的 最大值。然后对所得到的最高指数的最大值分别按列进行累加, 得到 ∑=p i ci s M 1 )(δ 。 其次，求出二维数组w[x][x]所对应的多项式矩阵的行列式的值，即 )(det s M ，npn p p p p i a a a a a s M ...)1()(det 4433221 1∑-= ，其中p1p2p3p4…pn 为从1到n 所有整数的某 种排列结果，i 为p1p2p3p4…pn 的逆序数。找出该多项式的最高指数 )(det deg s M ，然 后与前面所得到的 ∑=p i ci s M 1 )(δ 进行比较，从而确定多项式矩阵M(s)的列既约性。
三、程序流程图 四、使用说明 1.运行程序project1.exe； 2.按初始化键，输入多项式矩阵的行数和列数； 3.点击输入窗口可输入相应多项式。输入多项式的格式如下所示： s^6+7s^5+3s^2-4s-125 其中s的最高次数不能超过99，输入时次数由高到低排列；4.进行列既约分析；输出结果将显示在屏幕上；
特征多项式
特征多项式 特征多项式是多项式的左手边特征方程 (1) 在哪里是一个方阵和是单位矩阵相同的维度。萨缪尔森的公式允许特征多项式计算递归没有分歧。一个矩阵的特征多项式可以计算的吗Wolfram语言作为CharacteristicPolynomial[m x]。 a的特征多项式矩阵 (2)在特别好的形式可以改写 (3)在哪里是矩阵的迹的和是它的行列式. 同样,a的特征多项式矩阵是 (4)在哪里爱因斯坦总结已经使用,也可以书面明确的痕迹 (5)一般来说,特征多项式的形式 (6)在哪里是矩阵的迹矩阵的和和的总和吗划船对角矩阵的未成年人雅各布森(1974,p . 109)。 勒威耶计算图的特征多项式的算法(Balasubramanian Trinajsti?1984;1988;Ivanciuc Balaban 2000,p . 89)可以作为线性系统的解决方案制定 (7)在哪里 (8) , . 由于Balasubramanian计算算法使用方程 (9)在哪里 (10) Balasubramanian(1985、1985、1991;Ivanciuc Balaban 2000 p。90;错误纠正)和 . a的特征多项式图的特征多项式的定义是邻接矩阵并且可以计算的Wolfram语言使用CharacteristicPolynomial[AdjacencyMatrix[g],x]。一个命名图的预先计算的特征多项式的一个变量还可以获得使用吗GraphData[图,“CharacteristicPolynomial”][x]。
特征多项式不诊断图的同构,即,两个nonisomorphic图表可能共享相同的特征多项式。这样的例子发生上述两图5节点上,这两个特征多项式。不同的简单无向图的特征多项式的数量,2,…节点1、2、4,11日,33岁,151年,988年,11453年……(OEIS A082104),给复制的数量特征多项式为0,0,0,0,1,5,56岁,893年,27311年,.... 下表总结了特征多项式的一些简单的图形。 完全图 完全图 完全图 循环图 循环图 循环图 轮图 轮图 参见:
矩阵最小多项式与特征多项式相等的性质及应用
中图分类号： O151.2 本科生毕业论文（设计） （申请学士学位） 论文题目矩阵最小多项式与特征多项式相等的性质及应用 作者姓名 专业名称数学与应用数学 指导教师 2011年5月1日
学号： 论文答辩日期：年月日 指导教师：（签字）
滁州学院本科毕业设计（论文）原创性声明 本人郑重声明：所呈交的设计（论文）是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 年月日
目录 摘要 (1) Abstract (1) 绪论................................................................................................................ 错误！未定义书签。1矩阵最小多项式与特征多项式................................................................. 错误！未定义书签。 1.1相关符合及定义................................................................................ 错误！未定义书签。 1.2矩阵最小多项式................................................................................ 错误！未定义书签。 1.2.1最小多项式的定义 ................................................................ 错误！未定义书签。 1.2.2有关定理及推论 .................................................................... 错误！未定义书签。 1.3矩阵特征多项式 (5) 1.3.1特征多项式定义 (5) 1.3.2特征多项式性质 (6) 1.4特征多项式解最小多项式的一种方法 (6) 1.5Frobenius块和若当块的最小多项式与特征多项式 (9) 1.5.1Frobenius块 (9) 1.5.2若挡块 (10) 2矩阵最小多项式与特征多项式相等情形下的等价命题 (11) 3定理应用 (13) 3.1相等情形下的三个推论.............................................................. 错误！未定义书签。 3.2定理与推论的应用....................................................................... 错误！未定义书签。参考文献......................................................................................................... 错误！未定义书签。致谢. (18)
判断矩阵的最大特征值
项目六 矩阵的特征值与特征向量 实验1 求矩阵的特征值与特征向量 实验目的 学习利用Mathematica(4.0以上版本)命令求方阵的特征值和特征向量;能利用软件计算方 阵的特征值和特征向量及求二次型的标准形. 求方阵的特征值与特征向量. 例1.1 (教材 例1.1) 求矩阵.031121201??? ?? ??--=A 的特征值与特值向量. (1) 求矩阵A 的特征值. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigenvalues[A] 则输出A 的特征值 {-1,1,1} (2) 求矩阵A 的特征向量. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigenvectors[A] 则输出 {{-3,1,0},{1,0,1},{0,0,0}} 即A 的特征向量为.101,013??? ? ? ??????? ??- (3) 利用命令Eigensystem 同时矩阵A 的所有特征值与特征向量. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigensystem[A] 则输出矩阵A 的特征值及其对应的特征向量. 例1.2 求矩阵??? ? ? ??=654543432A 的特征值与特征向量.
输入 A=Table[i+j,{i,3},{j,3}] MatrixForm[A] (1) 计算矩阵A 的全部（准确解）特征值, 输入 Eigenvalues[A] 则输出 {0, 426-,426+} (2) 计算矩阵A 的全部（数值解）特征值, 输入 Eigenvalues[N[A]] 则输出 {12.4807, -0.480741, -1.34831610-?} (3) 计算矩阵A 的全部(准确解)特征向量, 输入 Eigenvectors[A]//MatrixForm 则输出 (4) 计算矩阵A 的全部(数值解)特征向量, 输入 Eigenvectors[N[A]]//MatrixForm 则输出 (5) 同时计算矩阵A 的全部(准确解)特征值和特征向量, 输入 OutputForm[Eigensystem[A]] 则输出所求结果 (6) 计算同时矩阵A 的零空间, 输入 NullSpace[A] 则输出 {{1,-2,1}} (7) 调入程序包< §8矩阵多项式与多项式矩阵 设A 是n 阶阵，则为矩阵A 的特征多项式 事实上，n n n n a a a A E f ++++=-=--λλλλλ111)( 因此有 一、Hamilton -Cayley Th （哈密顿—开莱） Th 2.每个n 阶矩阵A ，都是其特征多项式的根，即 0111=++++--E a A a A a A n n n n （矩阵） 注：该定理旨在用于：当一个n 阶矩阵的多项式次数高于n 次时，则可用该定理将它化为次数小于n 的多项式来计算。 eg 1.设???? ? ??-=010110201A 试计算E A A A A A 432)(2458-++-=? 解：A 的特征多项式为 12)(23+-=-=λλλλA E f 取多项式432)(2 458-++-=λλλλλ? )()()149542(235λλλλλλr f +?-+-+= 余项103724)(2+-=λλλr 由上定理0)(=A f ???? ? ??----=+-==∴346106195026483103724)()(2E A A A r A ? Df 2.一般地，设)(λ?是多项式，A 为方阵，若0)(=A ?，则称)(λ?是矩阵A 的零化多项式。 根据定义：每个矩阵都有其零化多项式，即A E f -=λλ)( Df 3.设A 是n 阶矩阵，则的首项系数为1的次数最小的零化多项式)(λm ，称为A 的最小多项式。 显然：①矩阵A 的零化多项式都被其最小多项式整除。 ②矩阵A 的最小多项式是唯一的 Th 3.矩阵A 的最小多项式的根必是A 的特征根；反之，A 的特征根也必是A 的最小多项式的根——特征多项式与最小多项式之间的关系。 由此可得，求最小多项式的一个方法： 设n n C A ?∈，其所有不同的特征值为s λλλ,,,21 ，则其特征多项式为ks s k k A E f )()()()(2121λλλλλλλλ---=-= 矩阵多项式的逆矩阵求法 李春来 （玉溪师范学院理学院数学系 2008级2班 2008011215 ） 指导教师：张丰硕 摘 要 矩阵多项式的知识在很多线性代数教材中的都有所涉及，但是对于矩阵多项式的逆矩阵的计算都没有给出一般的计算方法，本文结合多项式的最大公因式理论与矩阵的相关知识，得到了求解一般的矩阵多项式逆矩阵的方法。 关键词 矩阵；多项式；逆矩阵 一、引言 矩阵多项式的定义：设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 是关于未知数x 的 n 次多项式，A 是方阵，E 是A 的同阶单位矩阵，则称 E a A a A a A a A f n n n n ++++=--1110)( 为由多项式 n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 形成的矩阵A 的多项式，记作)(A f 。 例如523)(23++-=x x x x f ，??? ? ??=1011A , 则???? ??-=++-=5015523)(2 3E A A A A f ，)(A f 就是矩阵A 的多项式。 当然矩阵多项式也是矩阵。 矩阵多项式的逆矩阵的定义：设A 是数域P 上的一个n 阶方阵，)(A f 是矩 阵A 的多项式，如果存在矩阵多项式][)(x P A g ∈，使得()()()()f A g A g A f A = E =，则称矩阵多项式)(A f 是可逆的，又称矩阵多项式)(A g 为矩阵多项式)(A f 的逆矩阵。 当矩阵多项式)(A f 可逆时，逆矩阵)(A g 由矩阵多项式)(A f 唯一确定，记 为1)]([-A f 。 多项式的矩阵表示 前言 本文探讨多项式的矩阵表示，并应用于计算多项的和，差与积运算，进而导出除法中商式与余式的表达公式，以及给出用矩阵去判断多项式整除的方法。 另一方面，本文实际上是用矩阵方法证明了多项式求和求积运算的合理性。我们使用等效矩阵的概念，把通常教材中的多项式的和，乘积的定义进行了规范化处理，弥补教材中的不足。 本文的方法与文献[4]中提供的形式上不同，但在求积上本质相同。 预备知识 设F 是一个给定的数域，Z + 为正整数集，Z n m +∈,，以F n m ?表示F 上 n m ?型矩阵全体构成的集合。[]x F 表示F 上关于未定元x 的一元多项式环。 设A F A t n m ,?∈表示A 的转置。 定义 1 设()F a a A n n ?∈=11,, ，()11,,m m b b B F ?=∈若B A ,满足 下列条件之一 （1）当n m =时，B A = （2）当n m >时，n i b a b b i n m i n m ,,1,,01 =====+-- （3）当n m <时，m i b a a a i i m n m n ,,1,,01 =====+-- 则称A 与B 等效，记为.B A ≈ 引理1 设,11 F U S n n ?∞ ==则S 中元素的等效关系是等价关系。 证明 任取S A ∈，则有Z n + ∈，适合F A n ?∈1，由定义1中的（1）， 可知A A ≈ 若S B A ∈,有B A ≈，不访设,,11F B F A m n ??∈∈则由定义1的（1） 推出A B = ，而由定义1的（2）应用定义1中的（3）推出A B ≈。类似， 若定义1的（3）成立，应用（2）推出A B ≈ 。故总有A B ≈。 对于S C B A ∈,,，若A B ≈，C B ≈，当B A =或C B =时，总有C A ≈。如果, ,11F B F A m n ??∈∈F C l ?∈1有l m n ,,彼此不等的情况， 可以分出6种情形讨论。 （1）l m n >> （2）m l n >> （3）m n l >> （4）l n m >> （5）n l m >> （6）n m l >> XX大学 毕业论文 多项式的矩阵表示 院系名称： 专业： 学生姓名： 学号： 指导老师： XX大学制 二〇一年月日 前言 本文探讨多项式的矩阵表示，并应用于计算多项的和，差与积运算，进而导出除法中商式与余式的表达公式，以及给出用矩阵去判断多项式整除的方法。 另一方面，本文实际上是用矩阵方法证明了多项式求和求积运算的合理性。我们使用等效矩阵的概念，把通常教材中的多项式的和，乘积的定义进行了规范化处理，弥补教材中的不足。 本文的方法与文献[4]中提供的形式上不同，但在求积上本质相同。 预备知识 设F 是一个给定的数域，Z + 为正整数集，Z n m + ∈,，以F n m ?表示F 上 n m ?型矩阵全体构成的集合。[]x F 表示F 上关于未定元x 的一元多项式环。 设A F A t n m ,?∈表示A 的转置。 定义 1 设()F a a A n n ?∈=11,, ，()11,,m m b b B F ?=∈ 若B A ,满足 下列条件之一 （1）当n m =时，B A = （2）当n m >时，n i b a b b i n m i n m ,,1,,01 =====+-- （3）当n m <时，m i b a a a i i m n m n ,,1,,01 =====+-- 则称A 与B 等效，记为.B A ≈ 引理1 设,11 F U S n n ?∞ ==则S 中元素的等效关系是等价关系。 证明 任取S A ∈，则有Z n + ∈，适合F A n ?∈1，由定义1中的（1）， 可知A A ≈ 若S B A ∈,有B A ≈，不访设,,11F B F A m n ??∈∈则由定义1的（1） 推出A B = ，而由定义1的（2）应用定义1中的（3）推出A B ≈。类似， 若定义1的（3）成立，应用（2）推出A B ≈ 。故总有A B ≈。 对于S C B A ∈,,，若A B ≈，C B ≈，当B A =或C B =时，总有C A ≈。如果, ,11F B F A m n ??∈∈F C l ?∈1有l m n ,,彼此不等的情况， 可以分出6种情形讨论。 （1）l m n >> （2）m l n >> （3）m n l >> （4）l n m >> （5）n l m >> （6）n m l >> 例如当（5）成立时，可设),0(),,0(C B A B ==，从而),0(A C =即C A ≈其 一种多项式矩阵列既约分析方法 一、目的与用途 在多项式矩阵分析中，矩阵的既约性是一个很重要的问题，本文介绍了针对pXp 阶多项式矩阵M(s) 的分析方法，并给出了确定其是否列既约的计算机程序。经过输入处理也可实现行既约的分析。 二、数学原理 给定一个pXp的非奇异多项式矩阵M(s)称为是列既约的，如果满足下述条件 p degdetM(s)=∑δi=1ciM(s) 用程序实现时，要先定义一二维数组W[x][x]存放多项式矩阵，矩阵元素为一维整型数组类型，存放多项式的系数和首项次数。通过键盘输入多项式，对所输入的多项式进行分析处理，得到二维数组w[x][x]，每个多项式对应一个一维数组。根据每个多项式对应的一维数组，得到该多项式的最高指数。通过对二维数组 w[x][x]的搜索，得到每一列最高指数的 p 最大值。然后对所得到的最高指数的最大值分别按列进行累加, 得到 ∑δi=1ciM(s)。 其次，求出二维数组w[x][x]所对应的多项式矩阵的行列式的值，即 detM(s)，detM(s)=∑(-1)ai 1p1a2p2a3p3a4p4...anpn，其中p1p2p3p4…pn为从1到n所有整数的某 detM(s)，然种排列结果，i为p1p2p3p4…pn的逆序数。找出该多项式的最高指数deg p 后与前面所得到的∑δi=1ciM(s) 进行比较，从而确定多项式矩阵M(s)的列既约性。 三、程序流程图 四、使用说明 1. 运行程序project1.exe； 2. 按初始化键，输入多项式矩阵的行数和列数； 3. 点击输入窗口可输入相应多项式。输入多项式的格式如下所示： s^6+7s^5+3s^2-4s-125 其中s的最高次数不能超过99，输入时次数由高到低排列； 4. 进行列既约分析；输出结果将显示在屏幕上； 第四章 多项式与矩阵 计划课时: 24学时 (P 159-220). §4.1 带余除法 多项式的整除性 (2学时) 教学目的及要求：理解多项式的定义及整除的定义，掌握带余除法及整除的性质 教学重点、难点： 带余除法及带余除法定理的证明 本节内容分以下四个问题讲授： 一．多项式的定义(P 159定义1) n n n n x a x a x a x a a +++++--1 12 210 注: 在讲多项式的定义时, 重点放在形式表达式上 注意区分零多项式和零次多项式. 二．消去律问题(P 161推论4.1.2) 0)(≠x f ,)()()()()()(x h x g x h x f x g x f =?= 在证这个结论时要强调指出,并不是在上式两端除去)(x f 而得结论, 因为这时我们还没讲多项式的除法. 三．带余除法(p 161定理4.1.3) 0)(,0)(),()()()(=≠+=x r x g x r x q x g x f , 或)(deg x r ＜)(deg x g 这里要强调指出,用多项式)(x g 去除)(x f 时要求0)(≠x g . 注意：带余除法定理的证明是本章的难点之一。先通过一个具体的例子来演示多项式的长除法。 四．整除的定义、性质以及整除的判定 )()()(x g x u x f =注意到这里定义整除时用的是多项式的乘法,不涉及多项式的除法, 因此由该定义就可得到:零多项式整除零多项式,0)(0?=x g , 所以0|0（而不能用记号0 0）. 作业：P 214，1，2，3，4，5. §4.2 最大公因式 (4学时) 教学目的及要求：理解最大公因式、互素的定义和性质，掌握辗转相除法. 教学重点、难点：矩阵多项式与多项式矩阵
矩阵多项式的逆矩阵求法
数学论文 多项式的矩阵表示
数学论文 多项式的矩阵表示
一种多项式矩阵列既约分析方法汇总
多项式与矩阵