数学论文 多项式的矩阵表示

多项式的矩阵表示

前言

本文探讨多项式的矩阵表示，并应用于计算多项的和，差与积运算，进而导出除法中商式与余式的表达公式，以及给出用矩阵去判断多项式整除的方法。

另一方面，本文实际上是用矩阵方法证明了多项式求和求积运算的合理性。我们使用等效矩阵的概念，把通常教材中的多项式的和，乘积的定义进行了规范化处理，弥补教材中的不足。

本文的方法与文献[4]中提供的形式上不同，但在求积上本质相同。

预备知识

设F 是一个给定的数域，Z +

为正整数集，Z n m +∈,，以F

n

m ⨯表示F 上

n m ⨯型矩阵全体构成的集合。[]x F 表示F 上关于未定元x 的一元多项式环。

设A F

A t

n

m ,⨯∈表示A 的转置。

定义 1 设()F a a A n

n ⨯∈=11,, ，()11,,m

m b b B F

⨯=∈若B A ,满足

下列条件之一

（1）当n m =时，B A =

（2）当n m >时，n i b a b b i n m i n m ,,1,,01 =====+-- （3）当n m <时，m i b a a a i i m n m n ,,1,,01 =====+-- 则称A 与B 等效，记为.B A ≈ 引理1 设,11

F

U

S n

n ⨯∞

==则S 中元素的等效关系是等价关系。

证明 任取S A ∈，则有Z n +

∈，适合F A n

⨯∈1，由定义1中的（1），

可知A A ≈

若S B A ∈,有B A ≈，不访设,,11F

B F A m

n

⨯⨯∈∈则由定义1的（1）

推出A B =

，而由定义1的（2）应用定义1中的（3）推出A B ≈。类似，

若定义1的（3）成立，应用（2）推出A B ≈

。故总有A B ≈。

对于S C B A ∈,,，若A B ≈，C B ≈，当B A =或C B =时，总有C A ≈。如果,

,11F

B F

A m

n

⨯⨯∈∈F

C

l

⨯∈1有l m n ,,彼此不等的情况，

可以分出6种情形讨论。

（1）l m n >> （2）m l n >> （3）m n l >> （4）l n m >> （5）n l m >> （6）n m l >>

例如当（5）成立时，可设),0(),,0(C B A B ==，从而),0(A C =即C A ≈其他情形同理可证。证毕。

定义2 设()0,,11≠∈=⨯F a a A n

n 则有},,,1{n i ∈使i j a a j i <=≠,0,0，

我们称

()a a n

i

,, 为A 的底，记()a a A n

i

,, =-

-

引理2 规定零向量的底为F 1

1)0(⨯∈设F

U S i

i ⨯∞==11

则S

A A A ∈∀≈-

-,且

底唯一，进而,,S A B A B A B --

--

∀∈≈⇔=

证明 由定义2

,A A -

-≈若S

B ∈也为

A

的底，则

B

A ≈，推出

A B -

-≈，由B 与A --

的（1，1）位置元均非零，由等效定义B

A =-

-。

另外，B B A A -

--

-≈≈,，由.A B

A B A B --

--

--

--

≈⇒≈⇒=证毕。

由[1,ch,8]，矩阵元素可以是[]x F 中元素。于是，我们有如下命题，证明是显而易见的。

命题1 设()[]x F x f a x a x a n n n

∈+++=-10 ，则

()()()()()()t

n n n

t

n

n a a

a x x x x

a a x f ,,,,,,,,,,1

011

-==

称()a a n

A ,,0

=

为()x f 的系数矩阵。

记()1,,,x x X n

t

n =

，不难指出下列命题成立

命题2 设()

()

,,,.1111F

B F

A Z n m n m +⨯+⨯+

∈∈∈则

⇔

=X

B X

A n

m

B A ≈

证明 设()(),,,,,,00b b B a a A n

m

==则有()()[]x F x g x f ∈,适合

()()()()X B X A n m x g x f ==,

即

()()b x b x b a x a x a n n n

m m m

x g x f +++=+++=--1010,

从而

()()x g x f X

B X

A n

m

=⇔=