信号与系统概念公式总结
信号与系统-公式
r 2
C1k C0
k
j
Z域 尺度变换
z ak f k F , a z a a
k m f k z
f k k m
1,2 a jb
e j
k C cos k D sin k 或A k cos k , 其中Ae
z
1
km
Pm k Pm 1k
m r m
m 1
m 1
Pk P0 1
k Pm k Pm 1k
Pa
k
k
Pk P0 1
时域积分
f
1
t F 0
F j j
不等于特征根时 等于特征单根时
t
尺度变换
f at
1 a
F j
a
F j
1,2 j
C cos t D sin t 或A cos t , 其中Ae
j
C jD
时移特性
f t t0 e
jt0
r 重共轭复根
r 1 r 2 Ar 1t cos t r 1 Ar 2t cos t r 2
t A0t r 2 cos t 0 e
频移特性
f t e
j0 t
F j 0
微分方程 激励 f t
微分方程 特征根 单实根
不同特征根所对应的齐次解 齐次解
yh t
对称性
傅里叶变换的性质
时域f t F j 频域 F jt 2 f
信号与系统-公式总结
信号与系统-公式总结信号与系统是电子信息类专业中的一门核心课程，主要研究信号的产生、变换、传输和处理过程，以及系统对信号的响应和处理。
信号与系统的学习需要掌握大量的数学知识和公式，下面就是信号与系统中一些重要的公式总结。
1. 信号的分类和表示：- 狄拉克脉冲函数：δ(t)- 单位阶跃函数：u(t)- 奇函数和偶函数性质：x(t) = x(-t) 和 x(t) = -x(-t)- 周期信号的频率和周期关系：f = 1/T2. 傅里叶变换：- 连续时间傅里叶变换（CTFT）：X(jω)= ∫[−∞,∞]x(t)e^(-jωt)dt- 傅里叶反变换：x(t) = (1/2π) ∫[−∞,∞]X(jω)e^(jωt)dω- 周期信号的傅里叶级数展开：x(t) = ∑[k=−∞,∞]c(k)e^(jωk0t) - 频谱为实数的信号的性质：X(jω) = X*(−jω)3. 拉普拉斯变换：- 连续时间拉普拉斯变换（CTLT）：X(s) = ∫[−∞,∞]x(t)e^(-st)dt- 拉普拉斯反变换：x(t) = (1 / 2πj) ∫[σ-j∞,σ+j∞]X(s)e^(st)ds- 零极点的性质：如果x(t)的拉普拉斯变换X(s)的极点位于左半平面，那么系统是稳定的。
4. Z变换：- 离散时间Z变换（DTZT）：X(z) = ∑[n=−∞,∞]x(n)z^(-n) - Z反变换：x(n) = (1 / 2πj) ∮ X(z)z^(n-1)dz- 零极点的性质：如果X(z)的极点的模都小于1，则系统是稳定的。
5. 系统函数和频率响应：- 系统函数：H(s) = Y(s) / X(s) = L{h(t)}- 系统函数的零极点分解：H(s) = (s-z1)(s-z2)...(s-zn) / (s-p1)(s-p2)...(s-pm)- 频率响应：H(jω) = |H(jω)|e^(jφ(ω))6. 系统的时域响应和频域响应：- 系统的单位冲激响应：h(t) = L^{-1}{H(s)} 或 h(n) = Z^{-1}{H(z)}- 系统的频域响应：H(s) = ∫[−∞,∞]h(t)e^(-st)dt 或 H(z) =∑[n=−∞,∞]h(n)z^(-n)7. 信号的卷积运算：- 连续时间信号的卷积：y(t) = x(t) * h(t) = ∫[−∞,∞]x(t-τ)h(τ)dτ - 离散时间信号的卷积：y(n) = x(n) * h(n) = ∑[k=-∞,∞]x(k)h(n-k)8. 频域中的乘法和卷积：- 频域乘法：y(t) = x(t)h(t) = x(t) ⊗ h(t)- 频域卷积：y(t) = x(t) * h(t) = X(jω)H(jω)9. 系统的稳定性：- 连续时间系统的稳定性：系统零极点的实部都小于0时，系统是稳定的。
信号与系统概念公式总结
信号与系统概念，公式集：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。
（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。
第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。
常数形式的复数C=a+jb a 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。
（复平面）2.欧拉公式：wt j wt e jwtsin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f Fn =如果满足：ni K dt t f j i dt t f t f iT T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集 如果n i K i,2,11==，则称F 为标准正交函数集。
如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f ji dt t f t f iT T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。
2.正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴； 在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。
3.正交函数集完备的概念和物理意义： 如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。
如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dt t x ，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。
信号与系统公式大全
信号与系统公式大全1.傅里叶变换公式：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dtf(t)=∫F(ω)e^(jωt)dω2.傅里叶级数公式：f(t) = a_0/2 + ∑[a_n*cos(nωt) + b_n*sin(nωt)] a_n = (2/T)∫[f(t)*cos(nωt)]dtb_n = (2/T)∫[f(t)*sin(nωt)]dt3.傅里叶变换与傅里叶级数之间的关系：F(ω)=2π∑[a_n*δ(ω-nω_0)+b_n*δ(ω+nω_0)]a_n=f(nT)/Tb_n=04.系统均方根误差公式：E = √(∫[y(t)-x(t)]^2dt)5.窄带系统的频率响应公式：H(ω)=，H(0)，*e^(jφ)φ=∠H(ω)-∠H(0)6.线性时不变系统的冲激响应公式：h(t)=L^{-1}[H(ω)]7.卷积公式：y(t)=h(t)*x(t)=∫h(τ)x(t-τ)dτ8.卷积定理：F_y(ω)=H(ω)F_x(ω)9.线性时不变系统的输入-输出关系公式：y(t)=x(t)*h(t)10.系统频率响应的幅度与相位关系：H(ω)=，H(ω)，*e^(j∠H(ω))11.奇谐信号的频谱：F(ω)=∑[C_k*δ(ω-2kπ/T)]C_k = (2/T)∫[f(t)*sin(kωt)]dt12.偶谐信号的频谱：F(ω)=∑[C_k*δ(ω-2kπ/T)]C_k = (2/T)∫[f(t)*cos(kωt)]dt13.系统频率响应的单位脉冲响应关系：H(ω) = ∫h(t)e^(-jωt)dt以上是信号与系统中的一些重要公式，这些公式是理解和分析信号与系统的基础。
在学习时，我们可以通过掌握这些公式，理解它们的意义和用途，以便更好地应用在实际问题中。
同时，信号与系统还涉及到很多其他的公式和定理，如采样定理、拉普拉斯变换、Z变换等，这些内容超过1200字无法一一列举。
如果对这些公式有更进一步的了解，推荐阅读相关的教材和参考资料，以便更好地理解信号与系统的知识。
信号与系统7_梅森公式的证明及应用
梅森公式的推导
• 定理7 设Aij是行列式|A|中aij 余因式，则当 ij时，Aij= Pk△k 式中Pk是从节点i到j的第K条路的传输。△k 是不接触从i到j的第K条路的图行列式。他 是在图G中取掉Pk的所有节点和这些节点所 关联的支路后按（1-42）式算出的图行列 式。 表示所有可能的从节点i到j的路求和。
梅森公式注意事项
注意：
梅森公式只能求系统的总增益，即输出对输入的增益。而输出 对混合节点（中间变量）的增益就不能直接应用梅森公式。也 就是说对混合节点，不能简单地通过引出一条增益为一的支路， 而把非输入节点变成输入节点。对此问题有两种方法求其传递 函数：
一、把该混合节点的所有输入支路去掉，然后再用梅森公式。
•梅森公式的推导
定义下列矩阵
• 分支矩阵B
B是一个节点-支路关联矩阵。行对应于节点，列
对应于支路。
B=[bij]，bij={ 1，若支路j的起点是i }
0，
否则
因为每条支路只能有一个起点，故每列只能有一 个元素为1。
• 汇总矩阵S
S也是一个节点-支路关联矩阵。行对应于节点，
列对应于支路。
S=[sij]，sij={ 1，若支路j的起点是节点i }
二、分别用梅森公式求取输出节点及该节点对输入节点的传递 函数，然后把它们的结果相比，即可得到输出对该混合节点的 传递函数。
mk e
于是传递函数为
(s) C(s) 2
bde f (1 m dl) bg
R(s) R 1 (m dl ke h gkl) mh dlh mke
分析上式可以看到，传递函数的分子和分母取决于方 程组的系数行列式，而系数行列式又和信号流图的拓扑结 构有着密切的关系。从拓扑结构的观点，信号流图的主要 特点取决于回路的类型和数量。而信号流图所含回路的主 要类型有两种：单独的回路和互不接触回路。
信号与系统重点概念公式总结
信号与系统重点概念公式总结一、信号的基本概念：1.离散信号：在离散时间点上取值的信号，用x[n]表示。
2.连续信号：在连续时间上取值的信号，用x(t)表示。
3.周期信号：在一定时间内重复出现的信号。
4.能量信号：能量信号的能量有限，用E表示。
5.功率信号：功率信号的能量无限，用P表示。
二、时域分析：1. 时域表示：x(t) = X(t)eiωt，其中X(t)是振幅函数，ω是角频率。
2.常用信号的时域表示：- 矩形脉冲信号：rect(t/T)- 三角函数信号：acos(ωt + φ)-单位跳跃信号：u(t)-单位斜坡信号：r(t)3.信号的分解与合成：线性时不变系统能够将一个信号分解为若干个基础信号的线性组合。
4.性质：-时域平移性：如果x(t)的拉普拉斯变换是X(s)，那么x(t-t0)的拉普拉斯变换是e^(-t0s)X(s)。
-线性性：设输入信号的拉普拉斯变换为X(s)，系统的拉普拉斯变换表达式为H(s)，那么输出为Y(s)=X(s)H(s)。
-倍乘性：设输入信号拉普拉斯变换为X(s)，输出信号的拉普拉斯变换为Y(s)，那么输出信号的拉普拉斯变换为cX(s)，即输出信号的幅度放大为c倍。
-时间反转性：x(-t)的拉普拉斯变换是X(-s)。
-时间抽取性：设输入信号的拉普拉斯变换为X(s)，那么调整时间尺度为t/T的信号的拉普拉斯变换为X(s/T)。
三、频域分析：1.傅里叶级数：将周期信号表示为一系列谐波的和。
2.离散傅里叶变换（DFT）：将离散信号从时域变换到频域的过程。
3.傅里叶变换：将连续信号从时域变换到频域的过程。
4.频域表示：- 矩形函数：sinc(ωt) = sin(πωt)/(πωt)- 高斯函数：ft(x) = e^(-πx^2)5.频域滤波：系统的传输函数是H(ω)，那么输出信号的频率表示为Y(ω)=X(ω)H(ω)。
四、信号与系统的系统分析：1.系统稳定性：-意义：系统稳定指的是当输入有界时，输出有界。
信号与线性系统分析总结
•两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其 和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。
总结
➢ 能量信号与功率信号
将信号f (t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功率为| f (t) |2， 在区间(–∞ , ∞)的能量和平均功率定义为
-2 -1 0 1 2 3 ki
总结
例2 f1(k) ={0， 2 ， 1 ， 5，0} ↑k=1
f2(k) ={0， 3 ， 4，0，6，0} ↑k=0
解:
3 ， 4， 0， 6
×—————2 ，——1 ，—5 15 ，20， 0， 30
3 ， 4， 0， 6 6 ，8， 0， 12 + ———————————— 6 ，11，19，32，6，30
总结
第二章 连续系统的时域分析
➢系统的时域求解，冲激响应，阶跃响应。
➢时域卷积： f1 (t) * f2 (t) f1 ( ) f2 (t )d
图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积 值时还是比较方便的。确定积分的上下限是关
f1(-τ)
键。
f 1( τt )
2
f1(2-τ)
f1(t)、 f2(t)如图所示，已知f(t) = f2(t)* f1(t)，求f(2) =？
*
d
n f 2 (t dtn
)
t
t
t
[
f1
(
)
*
f 2 ( )]d
[
f1 ( ) d ] *
f 2 (t)
f1 (t) *[
信号与系统公式大全
t
i(t)dt
C
u(t) 1 i(t) pC
UC (t) 1 IC (t) jC
UC
(s)
1 Cs
IC
(s)
1 s
uC
(0
)
IC (s) CsUC (s) CuC (0)
电 感
u(t) L d i(t) dt
u(t) pL i(t)
UC (t) jL
IC (t)
UL(s) LsIL(s) LiL (0 )
IL
(s)
1 Ls
UL
(s)
1 s
iL
(0
)
五.连续时间系统时域分析
系统 建立微分方程 建立算子方程： D( p)y(t) N( p) f (t) 系统的特征方程： D() D( p) p 0
求特征根 零输入响应方程 D( p) yx (t) 0
泛函定义: f (t) '(t)dt [ d f (t)] f '(0) 说明：1. '(t) 量纲是 s2
dt
t 0
3. '(t) 是奇函数
2.强度 A 的单位是Vs2
筛选特性
取样特性 展缩特性
f (t) '(t t0 ) f (t0) '(t t0 ) f '(t0) (t t0 )
1 ( p a)n
b ( p a)2 b2
pa ( p a)2 b2
a (t) au(t) eatu(t) tn1 eatu(t)
(n 1)!
eat sin(bt)u(t) eat cos(bt)u(t)
信号与系统知识点总结
信号与系统知识点总结一、信号与系统概念1. 信号的基本概念信号是指传输信息的载体，可以是任意形式的能量，例如声音、图像、视频等。
信号分为连续信号和离散信号两种类型。
连续信号是指在任意时间范围内都有定义的信号，离散信号是指只在某些离散点上有定义的信号。
2. 系统的概念系统是指对输入信号进行处理并产生输出信号的过程。
系统分为线性系统和非线性系统两种类型。
线性系统满足叠加原理和齐次性质，而非线性系统不满足这两个性质。
3. 信号与系统的分类信号与系统可以按照不同的分类方式进行划分。
例如，按时间域和频率域可以将信号和系统分为时域信号和系统以及频域信号和系统。
二、时域分析1. 时域中的基本概念在时域中，信号经常被表示为在时间轴上的波形。
对信号进行时域分析，可以揭示信号的变化规律和特征。
例如，信号的幅度、频率、相位等特征。
2. 时域信号的表示时域信号可以分为连续信号和离散信号两种类型。
连续信号通常可以由函数来表示，而离散信号则可以用序列或数组来表示。
3. 线性时不变系统线性时不变系统是指系统具有线性和时不变两个性质。
线性性质意味着系统满足叠加原理和齐次性质，时不变性质意味着系统的响应与输入信号的时移无关。
三、频域分析1. 傅里叶变换傅里叶变换是将信号在时域中的表示转换为频域中的表示的数学工具。
它可以将信号转换为频谱，揭示信号的频率成分和能量分布。
傅里叶变换分为连续傅里叶变换和离散傅里叶变换两种。
2. 滤波器的频域特性滤波器可以用来对信号进行频域处理。
常见的滤波器包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器。
滤波器对不同频率成分的信号有不同的响应，能够用来滤除不需要的频率分量，或者突出需要的频率分量。
3. 抽样定理抽样定理是指在进行模拟信号的离散化表示时，需要保证抽样率足够高，以避免混叠失真。
根据抽样定理，模拟信号进行离散化表示的采样频率需要大于信号最高频率的两倍。
四、系统响应分析1. 系统的时域响应系统的时域响应是指系统对输入信号的时域响应。
信号与系统公式总结
信号与系统公式总结在信号与系统的学习过程中，公式总结是非常重要的，它可以帮助我们更好地理解和掌握知识。
下面将对信号与系统中常见的公式进行总结，希望能够对大家的学习有所帮助。
一、基本概念公式总结。
1. 信号的分类：连续时间信号，x(t)。
离散时间信号，x[n]2. 基本信号：单位冲激函数，δ(t)或δ[n]阶跃函数，u(t)或u[n]3. 基本性质：奇偶性，x(t) = x(-t)，x[n] = x[-n]周期性，x(t) = x(t+T)，x[n] = x[n+N]二、时域分析公式总结。
1. 基本运算：时移性质，x(t-t0)或x[n-n0]反褶性质，x(-t)或x[-n]放大缩小，Ax(t)或Ax[n]2. 基本运算公式：加法，x1(t) + x2(t)或x1[n] + x2[n]乘法，x1(t)x2(t)或x1[n]x2[n]三、频域分析公式总结。
1. 傅里叶变换：连续时间信号，X(ω) = ∫x(t)e^(-jωt)dt。
离散时间信号，X(e^jω) = Σx[n]e^(-jωn)。
2. 傅里叶变换性质：线性性质，aX1(ω) + bX2(ω)。
时移性质，x(t-t0)对应X(ω)e^(-jωt0)。
频移性质，x(t)e^(jω0t)对应X(ω-ω0)。
四、系统分析公式总结。
1. 系统性质：线性性，y(t) = ax1(t) + bx2(t)。
时不变性，y(t) = x(t-t0)对应h(t-t0)。
2. 系统时域分析：离散卷积，y[n] = Σx[k]h[n-k]连续卷积，y(t) = ∫x(τ)h(t-τ)dτ。
3. 系统频域分析：系统函数，H(ω) = Y(ω)/X(ω)。
五、采样定理公式总结。
1. 采样定理：连续信号采样，x(t)对应x[n]，x[n] = x(nT)。
重建滤波器，h(t) = Tsinc(πt/T)。
六、傅里叶级数公式总结。
1. 傅里叶级数：周期信号的傅里叶级数展开。
信号与系统总结
信号与系统第一章总结1、信号的分类（1）周期信号和非周期信号两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。
（2）连续信号和离散信号连续时间信号：信号存在的时间范围内，任意时刻都有定义。
用t 表示连续时间变量。
离散时间信号：在时间上是离散的，只在某些不连续的规定瞬时给出函数值，用n 表示。
（3）模拟信号，抽样信号，数字信号 模拟信号：时间和幅值均为连续的信号。
抽样信号：时间离散，幅值连续的信号。
数字信号：时间和幅值均为离散的信号。
（4）按照信号能量特点分类：能量受限信号：若信号f (t)的能量有界，即E<∞ ,则称其为能量有限信号，简称能量信号，此时P = 0。
功率受限信号：若信号f(t)的功率有界，即P<∞ ,则称为功率有限信号，简称功率信号，此时E = ∞。
PS ：时限信号为能量信号；周期信号属于功率信号。
2、典型的确定性信号（1）指数信号： ， α=0 直流（常数）；α<0 指数衰减；α>0指数增长。
通常把称为指数信号的时间常数，记作τ,代表信号衰减速度，具有时间的量纲。
对时间的微分和积分仍然是指数形式（2）正弦信号：，振幅K ，周期T=ωπ2 ,初相衰减正弦信号：对时间的微分和积分仍然是同频率的正弦信号 （3）复指数信号：α1θdt t f E 2)(⎰∞∞-∆=⎰-∞→=222|)(|1lim T TT dt t f T P t K t f αe )(=)sin()(θω+=t K t f ()000sin e)(>⎩⎨⎧<≥=-αωαt t t K t f t()()t K t K t K t f t t stωωσσsin e j cos e )( e )(+=∞<<-∞=为复数，称为复频率j ωσ+=s rad/s的量纲为 ，/s 1 的量纲为 ωσ振荡衰减增幅等幅⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≠<≠>≠= 0 ,0 0 ,0 0 ,0ωσωσωσ⎪⎩⎪⎨⎧=<=>==衰减指数信号升指数信号直流 0 ,0 0 ,0 0 ,0ωσωσωσ（4）抽样信号（重点）： 性质：1. 偶函数2. 3. 4.5. 6.（5）钟形信号（高斯函数）：3、信号的平移，反褶，展缩（1）平移：左加右减（注意符号）（2）反褶：关于y 轴对称（3）展缩：f(t)到f(at)，图形变换(1/a)倍变换方法： 1. 先展缩：a>1，压缩a 倍； a<1，扩展1/a 倍 2. 后平移：+，左移b/a 单位；－，右移b/a 单位 3. 加上倒置：4、阶跃信号和冲激信号（1）单位阶跃信号（通常以u （t ）表示）门函数：符号函数：ttt sin )Sa(=)Sa(lim ，即1)Sa(,00===→t t t t 3,2,1π,0)Sa(=±==n n t t ，⎰⎰∞∞-∞==πd sin ,2πd sin 0t t t t t t 0)Sa(lim=±∞→t t ()()t t t ππsin )sinc(=2e )(⎪⎭⎫ ⎝⎛-=τt E tf ()()()[]()0 >±=±→a a b t a f b at f t f 设()()[]a b t a f b at f -=±-()[(/)]f t f a t b a →±()()f t f at →210 0100)(点无定义或⎩⎨⎧><=t t t u ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22ττt u t u t f ⎩⎨⎧<->=0101)sgn(t t t（2）单位冲激信号：①定义：狄拉克函数 只在t=0时，函数值不为0；积分面积为1；t =0 时，为无界函数。
信号与系统公式大全
1 f (k ) = 2π
jθ
)e jθk dθ
af1 (t ) + bf 2 (t ) ↔ aF1 ( jω ) + bF2 ( jω ) f (t ± t 0 ) ↔ e ± jωt0 F ( jω )
af1 (k ) + bf 2 (k ) ↔ aF1 (e jθ ) + bF2 (e jθ ) f (k ± m) ↔ e± jθm F (e jθ ) e ± jkθ 0 f (k ) ↔ F (e j (θ θ 0 ) ) f ( k / n) f ( n ) (k ) = ↔ F (e jnθ ) 0 f ( − k ) ↔ F ( e − jθ ) f1 (k ) * f 2 (k ) ↔ F1 (e jθ ) F2 (e jθ ) f1 (k ) f 2 (k ) ↔ 1 2π
a k sin( βk )ε (k )
az sin β z 2 − 2az cos β + a 2
sgn(t )
1
β3
1 2β 3
[ βt − sin( βt )]ε (t )
a k cosh( βk )ε (k )
a k sinh( βk )ε (k )
az sinh β z 2 − 2az cosh β + a 2
∞ f (t ) ↔ F (η )dη s t
∫
f (k ) ↔ zm k+m
F (η )
f (0) = lim F ( z ) , f (1) = lim [ zF ( z ) − zf (0)]
z →∞
F ( jt ) ↔ 2πf (−ω )
∞
f (0 + ) = lim sF ( s ), F ( s ) 为真分式
信号与系统-公式总结
4复频域微分
5复频域积分
※6时域卷积
※4. 拉普拉斯反变换 ⑴部分分式展开法
复频域，
⑵留数法 留数法是将拉普拉斯反变换的积分运算转换为求被积函数各极点上留 数的运算，即
其中 （为一阶极点） 或 （为阶极点）
第四章 Z变换
1. Z变换定义
正变换： 双边：
单边：
2. Z变换收敛域ROC：满足的所有z值
★ ROC内不包含任何极点（以极点为边界）； ★ 右边序列的ROC为 的圆外； ★ 左边序列的ROC为 的圆内； ★ 双边序列的ROC为 的圆环。 ★ 有限长序列的ROC为整个 z 平面 （可能除去z = 0 和z = ）；
冲激 脉冲
※※
直流 函数 ※ 冲激 序列
第三章 拉普拉斯变换
1 定义 双边拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换 单边变换收敛条件：
拉普拉斯反变换 称为收敛域。
2 常见函数的拉普拉斯变换
公式序号
原函数，
※1
※2
※※3
像函数
频谱图
※※4 ※5 ※6
3 拉普拉斯的基本性质
性质
时域
※※1时间平 移
※2频率频移
※3时域微分
1 差分方程的一般形式
前向差分： 后向差分： 2 卷积法 （1）零输入响应 ：激励时初始状态引起的响应 Step1 特征方程，特征根； Step2 解形式或 ；
Step3 初始条件代入，确定系统； （12）零状态响应 ：初始状态为零时外加激励引起的响应 方法1：时域分析法 方法2：变换域分析法
Step1: 差分方程两边Z变换（注意初始状态为零）； 左移位性质
第六章 第七章 第八章 连续系统时域、频域和复频 域分析
1 线性和非线性、时变和非时变系统判别 （1）线性和非线性 先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算
信号与系统常用公式
信号与系统常用公式信号与系统是现代电子信息工程学科中的重要基础课程，它涉及到了信号的产生、传输和处理等方面的知识。
在学习和应用信号与系统的过程中，我们经常会使用到一些公式和定理。
本文将为大家介绍一些信号与系统中常用的公式和定理，希望能对大家的学习和工作有所帮助。
一、信号的基本性质：1.基本信号及其性质：矩形信号：rect(t/T) =1，-T/2≤t≤T/20，其他三角信号：tri(t/T) =1-，t/T，-T≤t≤T0，其他正弦信号：sin(ωt) = （e^jωt - e^(-jωt))/(2j)余弦信号：cos(ωt) = （e^jωt + e^(-jωt))/22.对称性：奇对称信号：如果s(t)=-s(-t)，则s(t)是奇对称信号。
偶对称信号：如果s(t)=s(-t)，则s(t)是偶对称信号。
3.平均功率：平均功率：P = lim(T→∞)1/T ∫_(T/2)^(T/2) ，s(t)，^2 dt4.交流分量：交流分量：s_AC=1/2*[s(t)-s_DC]二、线性时不变系统的基本性质：1.线性时不变系统的定义：线性性：s_1(t)+s_2(t)—>LTI—>s_1(t)+s_2(t)时不变性：s(t-t_0)—>LTI—>s(t-t_0)2.系统的冲激响应：系统的冲激响应：h(t) = d(s(t))/dt，其中d是微分算子。
3.系统的单位阶跃响应：系统的单位阶跃响应：H(t)=∫_(-∞)^th(τ)dτ4.线性卷积定理：线性卷积定理：s_1(t)*s_2(t)—>LTI—>S_1(ω)*S_2(ω)三、频域分析：1.傅里叶级数：傅里叶级数：s(t)=∑_(n=-∞)^∞C_n*e^(jω_nt)，其中C_n是频谱系数，ω_n是频率。
2.傅里叶变换：傅里叶变换：S(ω) = ∫_(-∞)^∞ s(t) * e^(-jωt) dt3.周期信号的频谱：周期性信号的频谱：S(ω)=∑_(k=-∞)^∞(1/T)*S(kω_0)*δ(ω-kω_0)，其中S(kω_0)是周期频谱系数。
信号与系统复习总结
由时不变性： δ(t -τ)
h(t -τ)
由齐次性： f (τ)δ(t -τ)
f (τ) h(t -τ)
由叠加性：
f
()(t
)
d
f
()h(t
)d
‖
‖
f (t)
yf(t)
yf (t)
f()h(t)d卷积积分，要理解
第2-16页
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连续时间信号与系统的频域分析
信号与系统 电子教案
4.4 傅里叶变换
非周期信号的频谱—傅里叶变换
一、傅里叶变换
非周期信号f(t)可看成是周期T→∞时的周期信号。 前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔趋 近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率 分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之 间仍有差别。 为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的 概念。令
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信号与系统 电子教案 • 幅度调制的例子
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信号与系统 电子教案
4.5 傅里叶变换的性质
四.能量定理（帕斯瓦尔关系）
(Parseval’s Relation for Aperiodic Signals)
F(j)T l i m 1F /T n T l i m FnT (单位频率上的频谱）
称F(jω)为频谱密度函数。
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信号与系统 电子教案
• 对密度的理解例子 • 设粉笔的质量为M，均匀地分布在体积V上，将体
积V分成许多体积为ΔV的小单元，每个小单元质 量为ΔM，当ΔV→0时，ΔM→0.于是定义密度
《信号与系统》知识点归纳
《信号与系统》知识点总结北京交通大学电子信息工程学院程轶平2009.60. 前言本文的目的是帮助《信号与系统》课程学习者整理知识。
它适合于对《信号与系统》已经建立起一定的框架，但可能对某些问题感到模糊或困惑的人阅读。
本文也试图对一些类型的计算题给出机械的标准化的解法。
过于容易，或不太可能被考试题考察的知识点在此省略。
知识点基本上按照章来组织和编号。
但是如果不同的章有相类似的知识点，我将把它们合并成一个，然后用字母M (mixed)开头编号。
另外大家要注意将本文和教材结合起来看。
它的目的是整理思路，因此不能对它期望过多。
符号*表示卷积，而不是乘法。
1. 第1章1.1 能量信号和功率信号请阅读教材第4页。
1.2 系统的线性和非线性，时不变和时变，因果和非因果请阅读教材相关内容。
这里，我对系统的线性和非线性给出我的一点个人看法。
严格地说来，系统是否线性指的是系统的输出对输入满足齐次性和叠加性。
按照这个标准，如果系统的输出和某个系统的“初始状态”有关，即其不能视为一个线性系统。
但是，很多教材都从实用的角度出发，将线性的定义放宽为允许将初始状态看做一种特殊的输入，因而很多按照原来定义不是线性的系统成为了线性系统。
在第3章我还要对此问题作进一步的阐述。
2. 第2章2.1 冲激信号的性质筛选特性、抽样特性、展缩特性，即教材中公式（2-21），（2-22），（2-23）必须在理解的基础上记忆。
冲激信号δ（t）不是一般意义上的信号，而是一种理想化的“信号”，在数学上它是一广义函数。
我们无法离开冲激信号因为它为我们的推导和思维提供了很多方便。
冲激信号虽然在物理上不存在，但如果一个物理信号取到非0值的时间集中在某个瞬时，就可用冲激信号近似。
不过要注意脉冲信号δ[k]却是完完全全的一般意义上的信号。
2.2 信号的尺度变换、翻转与时移图示解题方法对这种类型的题目。
针对信号是连续或离散应采用不同的解题步骤。
对于连续信号，大家应仔细阅读教材中的例子，特别是例2-6。
信号与系统常用公式汇总_
信号与系统常用公式汇总_1.傅里叶级数公式：信号x(t)的周期为T时，它的傅里叶级数展开式为：x(t) = a0 + Σ(an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t))，其中n为整数，ω0 = 2π/T，an和bn为傅里叶系数。
2.傅里叶变换公式：连续时间信号x(t)的傅里叶变换为：X(ω) = ∫( -∞到+∞ ) x(t)*e^(-jωt)dt。
3.逆傅里叶变换公式：连续频率信号X(ω)的逆傅里叶变换为：x(t)=(1/2π)*∫(-∞到+∞)X(ω)*e^(jωt)dω。
4.傅里叶变换对称性：X(-ω)=X(ω)*，即傅里叶变换对称于原点。
5.卷积定理：连续时间卷积的傅里叶变换等于信号的傅里叶变换之积，即：x(t)*h(t)的傅里叶变换为X(ω)*H(ω)。
6.系统频率响应：系统的频率响应H(ω)是指系统对频率为ω的输入信号的增益和相位的影响。
7.系统单位冲激响应：系统对单位冲激信号δ(t)的响应称为系统的单位冲激响应h(t)。
8.系统的冲激响应和频率响应的关系：系统的冲激响应h(t)和频率响应H(ω)满足傅里叶变换的关系：H(ω) = ∫( -∞到+∞ ) h(t)*e^(-jωt)dt。
9.系统的传递函数：系统的传递函数H(ω)是频率响应H(ω)的傅里叶变换。
10.系统的单位阶跃响应：系统对单位阶跃信号u(t)的响应称为系统的单位阶跃响应s(t)。
11.傅里叶变换的线性性质：对于信号x(t)和y(t)和常数a和b，有以下性质：a*x(t)+b*y(t)的傅里叶变换为a*X(ω)+b*Y(ω)。
12.傅里叶变换的时移性质：对于信号x(t)，有以下性质：x(t-t0)的傅里叶变换为e^(-jωt0)*X(ω)。
13.周期信号的傅里叶变换：周期信号x(t)的傅里叶变换可以通过傅里叶级数的频谱乘以δ函数的序列得到。
14.采样定理：若连续时间信号x(t)的带宽为BHz，则它的采样频率应大于2BHz，以避免采样失真。
信号与系统公式总结
信号与系统公式总结信号与系统是电子信息类专业中非常重要的一门课程，它是基于数学和工程学原理的理论与实践的结合。
信号与系统公式总结作为这门课程的核心内容，在学习和应用中起着重要的作用。
下面将对信号与系统中的常用公式进行总结，以供参考。
一、信号及其表示公式1. 常数信号: x(t) = A (常数值 A)2. 常函数信号: x(t) = A, t∈[t1, t2]，否则 x(t)=0，其中 t1<t<t23. 正弦信号: x(t) = A*sin(ωt+θ)，其中A为振幅，ω为角频率，θ为初相位4. 余弦信号: x(t) = A*cos(ωt+θ)，其中A为振幅，ω为角频率，θ为初相位5. 单位阶跃信号: u(t) = 1，t≥0，否则 u(t) = 06. 单位冲激信号: δ(t) = 0，t≠0，否则δ(t) = ∞二、信号运算公式1. 平移公式: y(t) = x(t-T) (平移单位为 T，右移 T 为正，左移 T 为负)2. 缩放公式: y(t) = A*x(a*t) (缩放比例为 a，若 a>1，信号变化幅度增大；若0<a<1，信号变化幅度减小)3. 均值公式: RMS = sqrt((1/T)*∫(x(t)^2)dt) (T为时间区间，x(t)为信号函数)4. 线性运算公式: y(t) = a*x(t) + b*y(t) (y(t)表示输出信号，x(t)表示输入信号，a和b为常数)5. 卷积公式: y(t) = ∫[x(τ)*h(t-τ)]dτ (卷积公式是时间域中输入信号和系统响应的乘积积分，表示系统的输出)三、系统性质与稳定性公式1. 线性性质: L(a*x1(t)+b*x2(t)) = a*L(x1(t)) + b*L(x2(t)) (x1(t)和x2(t)为输入信号，a和b为常数，L()表示对信号进行线性处理)2. 时不变性质: 若输入信号延时 T 后输出信号也延时 T，即 y(t) = L{x(t)}，则 y(t-T) = L{x(t-T)}3. 稳定性性质: 若输入信号 x(t) 有界，输出信号 y(t) 也有界，则系统是稳定的。
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信号与系统概念，公式集：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。
（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。
第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。
常数形式的复数C=a+jb a 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。
（复平面）2.欧拉公式：wt j wt e jwtsin cos +=（前加-，后变减）第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f Fn =如果满足：ni K dt t f j i dt t f t f iT T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集如果n i K i,2,11==，则称F 为标准正交函数集。
如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f j i dt t f t f iT T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。
2.正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴；在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。
3.正交函数集完备的概念和物理意义：如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。
如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dt t x ，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。
一个信号所含有的功率恒等于此信号在完备正交函数集中各分量的功率总和，如果正交函数集不完备，那么信号在正交函数集中各分量的总和不等于信号本身的功率，也就是说，完备性保证了信号能量不变的物理本质。
4.均方误差准则进行信号分解：设正交函数集F 为)}(),(),({21t f t f t f Fn =，信号为)(t f 所谓正交函数集上的分解就是找到一组系数n a a a ,,21，使均方误差212)()(∑=-=∆ni ii t f a t f 最小。
2∆的定义为：⎰∑=--=∆2112122)]()([1T T n i i i dt t f a t f T T 如果F 中的函数为实函数则有：iT T i T T i i T T i iK dt t f t f dtt f t f dt t f t f a ⎰⎰⎰==212121)()()()()()(如果F 中的函数为复函数则有：iT T i T T i i T T i iK dt t f t f dtt f t f dt t f t f a ⎰⎰⎰==212121)()()()()()(***第四章：连续周期信号的傅里叶级数1.物理意义：付里叶级数是将信号在正交三角函数集上进行分解（投影），如果将指标系列类比为一个正交集，则指标上值的大小可类比为性能在这一指标集上的分解，或投影；分解的目的是为了更好地分析事物的特征，正交集中的每一元素代表一种成分，而分解后对应该元素的系数表征包含该成分的多少2.三角函数形式：)(t f 可以表示成：∑∞=++=+++++++++=111011211112110)]sin()cos([)sin()2sin()sin()cos()2cos()cos()(n n n n n t nw b t nw a a t nw b t w b t w b t nw a t w a t w a a t f 其中，0a 被称为直流分量)sin()cos(11t nw b t nw a n n +被称为n次谐波分量。
dtt f T K dtt f a T T T T ⎰⎰--==2/2/12/2/01111)(1)(dtt nw t f T Ka dt t nw t f a T T nT T n⎰⎰--==2/2/112/2/11111)cos()(2)cos()(dtt nw t f T Kb dt t nw t f b T T nT T n⎰⎰--==2/2/112/2/11111)sin()(2)sin()(3.一般形式：∑∞=+=0)cos()(n n nnwt ct f ϕ或者：∑∞=+=)sin()(n n nnwt dt f θ000a d c ==22nn n n b a d c +==)(n n n a b arctg -=ϕ，)(nn n b a arctg =θ4.指数形式：∑∞-∞==n tjnw ne F tf 1)(dte tf T F T T t jnw n ⎰--=2/2/1111)(1第五章：连续信号的傅里叶变换1.连续非周期信号的傅里叶变换及性质：dte tf w F jwt ⎰+∞∞--=)()(dwe w F tf jwt ⎰∞+∞-=)(21)(π性质：1.对称性：若)]([)(t f f w F =，)]([t f f表示对)(t f 做付里叶变换，则：)(2)]([w f t F f -=π2.线性：若),2,1()()]([n i w F t f f i i==，则∑∑===ni iini i i w F a t f a f 11)(])([ 3．奇偶虚实性：若)(t f 为实函数，则)(w F 的实部)(w R 为偶函数，虚部)(w X 为奇函数；其幅度谱)(w F 为偶函数,相位谱)(w ϕ为奇函数：若)(t f 为实偶函数,则)(w F 为实偶函数若)(t f 为实奇函数,则)(w F 为虚奇函数4．尺度变换：若)()]([w F t f f =，则)(1)]([aw F a at f f = 其中a 为非零的实常数。
5．时移：若)()]([w F t f f =，则)()]([0jwt e w F t t f f -=-6．频移：若)()]([w F t f f =，则)(])([00w w F et f f tjw -=即:)(]}sin ))[cos(({000w w F t w j t w t f f -=+）（7．微分：若)()]([w F t f f =，则)(])([w jwF dtt df f = )()(])([w F jw dtt f d f n nn = 8．积分：若)()]([w F t f f =，则)()0()(])([w F jww F d f f t δπττ+=⎰∞- 2.连续周期信号的傅里叶变换：∑∞-∞=-==n nnww F t f f w F )(2)]([)(1δπdte tf T F T T t jnw n ⎰--=2/2/1111)(13．特殊信号的傅里叶变换：1.直流信号1)(=t f ，其付里叶变换得到的频谱即为)(2w πδ2.)(t U 的付里叶变换为jww 1)(+πδ3.单边指数：0,)(≥=-t et f atjwa w F +=1)(幅度谱：22/1)(wa w F +=相位谱：)/()(a w arctg w -=ϕ4.双边指数：||)(t a e t f -=222)(w a a w F +=幅度谱：)/(2)(22w a a w F +=相位谱：0)(=w ϕ5.矩形脉冲信号：F （w ）ww E )2/sin(2τ=6.钟形信号：2)/()(τt Eet f -=22)2/()/(cos )(τττπw t eE dt wt Eew F -+∞∞--⋅==⎰7.符号函数：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=010001)(t t t t f jww F 2)(=幅度谱ww F 2)(=相位谱⎪⎩⎪⎨⎧<>-=0202)(w w w ππϕ第七章：连续时间系统及卷积1.连续线性系统：设某系统，如果该系统对输入)(),(21t f t f 有输出)(),(21t s t s ，则该系统对输入)()(2211t f C t f C ⋅+⋅，有输出)()(2211t s C t s C ⋅+⋅。
该系统为线性系统。
2.连续时不变系统：设某系统，如该系统对输入)(t f 有输出)(t s ，则该系统对输入)(T t f -有输出)(T t s -。
该系统为时不变系统。
3.连续因果系统：如果某系统在0t 时刻的输出)(0t s 仅于0t 时刻前的输入0)(t t t f ≤有关，而与0t 时刻以后的输入0)(t t t f >无关，则该系统为因果系统。
4.连续稳定系统：对有界输入信号的响应还是有界信号的系统是稳定系统。
5.卷积公式：τττd t h f t s )()()(-=⎰+∞∞-即为卷积公式，表示为：)()()(t h t f t s ⊗=物理意义：将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应h （t ），求解系统对任意激励信号的状态响应。
6.连续系统冲激响应、卷积及其物理意义：卷积：)()()()(t s t t s t s i i o =⊗=δ，称为恒等系统。
物理意义：指冲激信号)(t δ经过系统的响应。
换句话说，系统函数)(t h 就是输入信号为)(t δ时系统的输出信号。
7.连续互连系统的冲激响应：级联：h(t)=h1(t)⊗h2(t)并联：h(t)=h1(t)+h2(t)8.连续系统卷积的时域及频域的性质及对应关系：)()()(t h t f t s ⊗=，则：)()()(w H w F w S =)()()(t l t f t s ⋅=，则：)]()([21)(w L w F w S ⊗=π时域卷积等价与频域乘积的物理意义：从广义上看，任何一个系统（h(t)）都可以看成是一个滤波器。
因为它们均实现了一定的频率选择性。
第八章：离散信号的傅里叶变换：1.离散周期信号的傅里叶变换：∑-==10)/2()(N k nN jk ke an x π∑-=-=10)/2()(1N n nN jk k e n x Na π2.离散时间付里叶变换及性质：∑+∞-∞=Ω-=Ωn nj e n x X )()(ΩΩ=⎰Ωd e X n x n j ππ20)(21)(性质：1.线性2.时移：若)(n x 的付里叶变换为)(ΩX 则：)(0n n x -的付里叶变换为0)(n j e X Ω-Ω3.频移：若)(n x 的付里叶变换为)(ΩX 则：)(0n x e n j Ω的付里叶变换为)(0Ω-ΩX 4.差分5.频域微分：若)(n x 的付里叶变换为)(ΩX 则：)(n nx 的付里叶变换为ΩΩd dX j)(3.离散傅里叶变换：∑-=-=102)()(N n n Nkjen x k X π1,,1,0-=N k ∑-==102)(1)(N k n Nkjek X Nn x π物理含义：对原信号做周期拓展可使其变成周期信号，DFT 实际上是该周期信号的离散时间付里叶变换DTFT ，不过只取了一个周期。