平面曲线运动

d 2
1
O
t+dt t
d t+dt 1 2 t
O


引入了角位置，角位移，角速度，角加速度， 它们与位矢，位移, 速度，加速度一一对应。 线量 角量

d dt,
0
a r r v

t
匀变速率圆周运动中：
（E）若物体的加速度 a 为恒矢量，它一定作匀变
v dv a an at n0 t0 R dt
2
课 堂 练 习 解：
以初速度 v0 20ms 从地面抛出一小球,抛出 方向与水平面成 60 的夹角，则小球落地处 的轨道曲率半径为 m（不计空气 2 阻力，取 g 10ms ）

）

t 含义：反映一段时间内角速度变化快慢。
2 1


t

2 1 t+t
O



B）瞬时角加速度（

定义：
单位： rad / s 2
方向： 的极限方向
d lim t 0 t dt

）


§1-3 平面曲线运动
平面曲线运动: 质点的运动轨迹在同一个平面内的运动， 它可以分解成两个直线运动的叠加。
一. 匀变速直线运动
质点作匀变速直线运动, 其加速度
为恒矢量, a
dv adt
0 t
有
dv a C dt
积分可得
初始条件


v
v0
v v0 at
初始条件
x x0
dx 再由 v dt
v lim t 0 t t 0 t 2 vdl v v l lim t 0 R t Rdt R
v
v2
v v

1
v a an n0 R
2
3. 变速率圆周运动 — 质点在圆周上各点处速度 的大小和方向都随时间变化.
v2
an v

O

x
R
an
v , at
数量关系：
v R at R 2 an R v
角量与线量的关系
标量式
v R
at R
an R v
2
v R at R an v
( v R)
2
S+
OR

an
S
a at
dv d at R R ….(4) dt dt 2 2 4 2 2 2 a an at R R
O’
R
4 2
…..(5)
2）角量和线量之间的矢量关系
v R at R

vx
5. 圆周运动的角量描述 1）角位置 （角坐标）（先要规定参考方向Ox）
——角位置是圆心到质 x 点所在位置的连线与参 O 考方向之间的夹角. 注意： a) 一般规定逆时针转动为正角位置； b）角位置的单位：弧度（ rad）； c）当质点在圆周上转动时， 为时间的函数 ………(1) (t ) (1)式为用角量描述圆周运动的运动方程.
an
ag
1
a
答案：R 80m
10 cos 60 5 v2 an , v v0 R 2 v0 400 R an 5
80(m)
an a cos
y
v0 y
v0
60
vy
vx
v
an
o
v0 x
d0
x a vy a v
常数， t 0时， 0 , 0
d dt,
0
0 t
1 2 0 0t t 2
d dt,
d (
0

t
0
0
t )dt,
6. 角量和线量的关系
1）角量、线量之间的数量关系 设质点作圆周运动 规定参考方向沿Ox轴 以参考方向与轨迹交点O’ 作为自然坐标系的原点
4
n t0 0
s
o
R
P
2 / 2b (2) t v0 / b时， a | at | b, s v0t bt2 / 2 v0
例2. 已知质点在水平面内运动，运动方程为：
2 r 5t i (15t 5t ) j
求 t=1s 时的法向加速度、切向加速度和轨道曲率半径。 2 解：由 r 5t i (15t 5t ) j , 得 dv dr v 5i (15 10t ) j , a 10 j dt dt dv 10(3 2t ) 2 v 25 (15 10t ) , at dt 1 (3 2t ) 2
2
F v n
D
v1
C
v dv 总加速度： a an at n0 t0 R dt
大小
a
a a
2 n 2 t
v 2 dv 2 ( ) ( ) R dt
2
2 v dv 对于一般平面曲线运动，a an at n0 t0 R dt
最大射程：什么发射角，射程最大？ 2 dR 2v0 求极值： cos 2 0 d g 2 最大射程 Rm v0 g
g 2 y x tan 2 2 x 是一条抛物线 2v0 cos
π 4
由于空气阻力，实际射程小于最大射程.
y
实际路径
真空中路径
o
R'
x
R
三. 圆周运动

d lim t 0 t dt
注意 ：
ⅰ)
定义：
O
O


是矢量, 其方向与转动方向成右手螺旋关系

ii）单位： 弧度/秒 (rad / s)
iii）有时角速度用转数n来表示，单位：转/分。
二者关系：
4）角加速度



2n 60
A）平均角加速度（ 定义：

n0
t0
思考题
2. 判断下列说法的正、误：
a. 加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。 例如：物体做抛体运动，加速度恒定，而速度方 向改变。 b. 平均速率等于平均速度的大小。 依据 平均速率 平均速度的大小
v s / t
v r / t
c. 不论加速度如何，平均速率的表达式总可以写成
积分可得
dx (v0 at)dt
0
t
1 2 x x0 v0t at 2
二. 抛体运动（斜抛、平抛、上抛、下抛）
当子弹从枪口射出时，椰子刚好从树上 由静止自由下落. 试说明为什么子弹总可以 射中椰子 ?
y
v0 y
v0

vy
v
vx
R
vx
vy
o
v0 x
vt
E
v
D
F Δv n
v1
C
vn lim an t 0 t
an v R dv dt
2
vt lim at t 0 t
v2
v t
E
方向：指向圆心 法向加速度(方向改变) Fra bibliotekv at
方向：该点的切线方向 切向加速度(大小改变)
n0
t0
R1
R2
n0
t0
圆周运动和直线运动是曲线运动的两个特例
讨论: 下列情况时，质点各作什么运动：
at 等于0, an等于0, 质点做什么运动？ at 等于0, an为常数 , 质点做什么运动？ at 不等于0, an等于0 , 质点做什么运动？ at 不等于0, an不等于0 , 质点做什么运动？
v (v1 v2 ) / 2 ,其中 v1是初速度， v2 是末速度。
d. 运动物体的速率不变时，速度可以变化。
例1. 一质点沿半径为R的圆周按规律 s v0t bt 2 / 2 运 动，v0、b 都是正的常量。求： (1) t 时刻质点的总加速度的大小； (2) t 为何值时，总加速度的大小为b ； (3) 当总加速度大小为b 时，质点沿圆周运行了多少圈. 解: 先作图如右, t = 0 时, 质点位于s = 0 的 p 点处. 在 t 时
vx
vy
o
v0 x
初始条件： t 0 时
v x0 0, v0 x v0 cosα,
y0 0, v0 y v0 sin α
x
运动方程：
1 2 x x0 v0 x t a x t v0 cos t 2
1 2 1 2 y y0 v0 y t a y t v0 sin t gt 2 2
1 2 运动方程： x v0 cosα t, y v0 sin α t gt 2
轨迹方程: 从运动方程中消去参数 t ，便得轨迹方程
g 2 射程：相应于 y = 0. 令 x tan 2 x 0 2 2v0 cos 2 2 2v0 v0 R xm sin α cosα sin 2α 与发射角有关 g g
刻, 质点运动到位置 s 处. ds dv (1) v v0 bt , at b, dt dt
v (v0 bt) (v0 bt) 2 2 2 an , a at an b R2 R R
2 2
2 v0 s (3) 圈数 N 2R 4bR