最新《反比例函数》中考总复习ppt课件
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北师大中考数学总复习《反比例函数》课件
归 类 探 究
探究一 与反比例函数的概念 命题角度： 1. 反比例函数的概念； 2. 求反比例函数的解析式．
例 1 [2013·温州] 已知点 P(1，－3)在反比例函
k 数 y＝ (k≠0)的图象上，则 k 的值是( B ) x
A．3 1 C. 3
考点聚焦 归类探究
B．－3 1 D．－ 3
回归教材 中考预测
归类探究 回归教材 中考预测
考点聚焦
此类一次函数，反比例函数，二元一次方 程组，三角形面积等知识的综合运用，其关 键是理清解题思路，在直角坐标系中，求三 角形或四边形面积时，常常采用分割法，把 所求的图形分成几个三角形或四边形，分别 求出面积后再相加．
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
回 归 教 材
图13－2
考点聚焦 要注 意点的坐标与线段长之间的转化，并且利用 解析式和横坐标，求各点的纵坐标是求面积 的关键．
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
探究四
反比例函数的应用
命题角度： 1. 反比例函数在实际生活中的应用； 2. 反比例函数与一次函数的综合运用． 例 4 [2013·成都] 如图 13－3，一次函数 y1＝x＋1 的
k 图象与反比例函数 y2＝ (k 为常数，且 k≠0)的图象都经过点 x A(m，2)．
(1)求点 A 的坐标及反比例函数 的解析式； (2)结合图象直接比较：当 x＞0 时， y1 与 y2 的大小．
图13－3
考点聚焦 归类探究 回归教材 中考预测
解
(1)将点 A(m，2)的坐标代入一次函数 y1＝x＋1 得 2＝m＋1，解得 m＝1. 即点 A 的坐标为(1，2)． k 将点 A(1，2)的坐标代入反比例函数 y2＝ 得 2＝ x k ，即 k＝2. 1 2 ∴反比例函数的解析式为 y2＝ . x (2)当 0＜x＜1 时，y1＜y2；当 x＝1 时，y1＝y2； 当 x＞1 时，y1＞y2.
《反比例函数》中考总复习_课件
函数 解析式 图象形状
位置
反比例函数
y k 或y kx 1或xy k (k 0) x
双曲线 双曲线两分支分别在 第一、第三象限
k>0
增减性 在每一个象限内y随x的增大而减小； 位置
k<0
增减性
双曲线两分支分别在 第二、第四象限 在每一个象限内y随x的增大而增大
比一比
函数 表达式 正比例函数 反比例函数
另外：在正比例函数中k的绝对值越大,直线越靠近y轴，远离x轴。在反
比例函数中k的绝对值越大，双曲线越远离两坐标轴。
练习2：
1 1.函数 y 的图象位于第二、四 象限, 2x
在每一象限内,y的值随x的增大而 增大 , 当x＞0时,y ﹤ 0,这部分图象位于第 四 象限.
k 2.若点(-m，n)在反比例函数 y x
B
P(m,n) A
o
x
2 1.如图,点P是反比例函数 y 图象上 x 的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为
.
练习4：
1
1 1 |k| 2 1 2 2
yHale Waihona Puke k 2 S ΔPODo
P
D x
1 2、如图:A、C是函数 y 的图象上任意两点， x
过A作x轴的垂线, 垂足为B.过C作y轴的垂线, 垂足为D.记RtAOB的面积为S1 , RtOCD的面积为S 2 , 则 ___ C.
A.S = 1 C.S = 2
B.1<S<2 D.S>2
y
解:设P(m,n),则P(-m,-n). AP | 2m|，AP | 2n|； 1 S | AP AP| ΔPAP 2 1 | 2m|| 2n| 2 2|k|
位置
反比例函数
y k 或y kx 1或xy k (k 0) x
双曲线 双曲线两分支分别在 第一、第三象限
k>0
增减性 在每一个象限内y随x的增大而减小； 位置
k<0
增减性
双曲线两分支分别在 第二、第四象限 在每一个象限内y随x的增大而增大
比一比
函数 表达式 正比例函数 反比例函数
另外：在正比例函数中k的绝对值越大,直线越靠近y轴，远离x轴。在反
比例函数中k的绝对值越大，双曲线越远离两坐标轴。
练习2：
1 1.函数 y 的图象位于第二、四 象限, 2x
在每一象限内,y的值随x的增大而 增大 , 当x＞0时,y ﹤ 0,这部分图象位于第 四 象限.
k 2.若点(-m，n)在反比例函数 y x
B
P(m,n) A
o
x
2 1.如图,点P是反比例函数 y 图象上 x 的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为
.
练习4：
1
1 1 |k| 2 1 2 2
yHale Waihona Puke k 2 S ΔPODo
P
D x
1 2、如图:A、C是函数 y 的图象上任意两点， x
过A作x轴的垂线, 垂足为B.过C作y轴的垂线, 垂足为D.记RtAOB的面积为S1 , RtOCD的面积为S 2 , 则 ___ C.
A.S = 1 C.S = 2
B.1<S<2 D.S>2
y
解:设P(m,n),则P(-m,-n). AP | 2m|，AP | 2n|； 1 S | AP AP| ΔPAP 2 1 | 2m|| 2n| 2 2|k|
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—反比例函数的图象、性质及应用
其中，两个变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【详解】解：由函数图象可知，这两个变量之间成反比例函数关系，
①矩形的面积= ⋅ ，因此矩形的面积一定时，一边长y与它的邻边x可以用形如 = ≠ 0 的式子表
示，即满足所给的函数图象；
②耕地面积= ⋅ ，因此耕地面积一定时，该村人均耕地面积S与全村总人口n可以用形如 =
这个函数图象上的点是（
）A． 1,6
1
B． − 2 , 12 ，
C． −2, −3
2
D．
3
,4
2
6
【对点训练1】（2019·吉林长春·中考模拟）如图，函数y＝（x＞0）、y＝（x＞0）的图象将第一象限分成了A、
B、C三个部分．下列各点中，在B部分的是（ ）
即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称.
反比例 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：
函数解
析式的
确定方
法
k
1）设反比例函数的解析式为y = （k为常数，k≠0）；
x
2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
3）解方程求出待定系数k；
4）将所求的k值代入所设解析式中.
【例3】（2022上·山东枣庄·九年级校考期末）已知函数 = ( + 1)
是
【详解】∵函数 = ( + 1)
．
2 −5
2 −5
是关于的反比例函数，则的值
是关于的反比例函数，
∴ + 1 ≠ 0，2 − 5 = −1，
∴ = ±2，
人教版九年级中考数学总复习课件第19课时 反比例函数(共21张PPT)
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/142021/9/14Tuesday, September 14, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/142021/9/142021/9/149/14/2021 4:28:50 AM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/142021/9/142021/9/14Sep-2114-Sep-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/142021/9/142021/9/14Tuesday, September 14, 2021
坐标与线段长之间的关系.
考点 3:反比例函数的实际应用
①设反比例函数解析式为
y
k x
步骤 ②求出函数解析式(转化为函数问题)
③运用函数知识解决问题
7.[教材原题]密闭容器内有一定质量的二氧化碳,当
容 器 的 体 积 V ( 单 位 : m3 ) 变 化 时 , 气 体 的 密 度
(单位: kg / m3 )随之变化.已知密度 与体积 V
1.[教材原题]点(1,3)在反比例函数
y
k x
的图象上,
则 k 3 ,在图象的每一支上, y 随 x 的增大
而 减小 .
2.[2017 天津中考]若点 A(1,y1),B(1,y2),
C(3,y3)在反比例函数
y
3 x
的图象上,
则 y1,y2,y3 的大小关系是( B )
A. y1 y2 y3
药后,血液中的药物浓度 y(g/ml)随用药后的时间 x(h)
中考数学考点总复习课件第13节反比例函数(共48张PPT(完整版)9
1．(2017·郴州)已知反比例函数y＝
k x
的图象过点A(1，－2)，则k的值为
（C ）
A．1 B．2 C．－2 D．－1 2．(2017·广东)如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝k1x(k1≠0)与双曲线
y＝
k2 x
(k2≠0)相交于A，B两点，已知点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标为
(1)根据表中的数据，求出平均速度v(千米/小时)关于行驶时间t(小时)的 函数解析式； (2)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请 说明理由； (3)若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围 ． 【思路引导】由表中的信息可知，v与t的乘积为定值300，所以，此函数为 反比例函数．
(2)(2017·眉山)已知反比例函数y＝
2 x
，当x＜－1时，y的取值范围为
__－__2_＜__y_＜__0____．
6．(2017·枣庄)如图，反比例函数y＝ 2x 的图象经过矩形OABC的边AB的中 点D，则矩形OABC的面积为___4__．
7．(2017·连云港)设函数y＝
3 x
与y＝－2x－6的图象的交点坐标为(a，b)，
a－b ＝ax＋b和y＝ x 分布的象限作出选择．(2)点A(－1，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)
不在同一象限．(3)因为直线y＝kx(k>0)和双曲线y＝
6 x
都是关于原点对称的图
形，所以它们的交点关于原点对称，所以x1＝－x2，y1＝－y2，再由x1y1＝x2y2
＝6可求．
方法归纳 解决这类题，要运用数形结合的思想，紧紧抓住比例系数k的正负 以及相应的函数图象，而且反比例函数增减性要分象限讨论．
专题 反比例函数-2023年中考数学第一轮总复习课件(全国通用)全
解，然后在作答中说明.
典例精讲
反比例函数与几何图形的综合
知识点四
【例4】(2020·T18)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90º,顶点A,B都在反比例函
k
数 y = ( x > 0)的图象上,直线AC⊥x轴,垂足为D,连结OA,OC,并延长OC交AB
x
OA = 2 2.
于点E,当AB=2OA时,点E恰为AB的中点,若∠AOD=45º，
(0,1),顶点C在第一象限,若函数y=k/x(x＞0)的图象经过点C,则k=___.
6
13.如图,已知矩形OABC的面积为100/3,它的对角线OB与双曲线y=k/x相交
12
于点D,且OB∶OD=5∶3,则k=____.
14.如图,已知A,B两点分别在反比例函数y=9/x和y=k/x第一象限的图象上.
O
心:__)
典例精讲
反比例函数的图象与性质
知识点一
2
【例1-1】已知点P(a,m),Q(b,n)都在反比例函数 y 的图象上,且a＜0＜
x
b,则下列结论一定正确的是( D )
A.m+n＜0
B.m+n＞0
C.m＜n
D.m＞n
【变式】若点A(a,m)和B(b,n)在反比例函数y=7/x的图象上,且a＜b,则( D )
-3
查漏补缺
当堂训练
反比例函数
查漏补缺
7.如图,点M为x轴上一点,过点M的直线l∥y轴分别与双曲
-20
线y=8/x和y=k/x的图象交于P,Q两点,若S△POQ=14,则k=____.
8.在平面直角坐标系中,若一条平行于x轴的直线l分别交
双曲线y=-8/x和y=2/x于A,B两点,P是x轴上的任意一点,则
典例精讲
反比例函数与几何图形的综合
知识点四
【例4】(2020·T18)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90º,顶点A,B都在反比例函
k
数 y = ( x > 0)的图象上,直线AC⊥x轴,垂足为D,连结OA,OC,并延长OC交AB
x
OA = 2 2.
于点E,当AB=2OA时,点E恰为AB的中点,若∠AOD=45º，
(0,1),顶点C在第一象限,若函数y=k/x(x＞0)的图象经过点C,则k=___.
6
13.如图,已知矩形OABC的面积为100/3,它的对角线OB与双曲线y=k/x相交
12
于点D,且OB∶OD=5∶3,则k=____.
14.如图,已知A,B两点分别在反比例函数y=9/x和y=k/x第一象限的图象上.
O
心:__)
典例精讲
反比例函数的图象与性质
知识点一
2
【例1-1】已知点P(a,m),Q(b,n)都在反比例函数 y 的图象上,且a＜0＜
x
b,则下列结论一定正确的是( D )
A.m+n＜0
B.m+n＞0
C.m＜n
D.m＞n
【变式】若点A(a,m)和B(b,n)在反比例函数y=7/x的图象上,且a＜b,则( D )
-3
查漏补缺
当堂训练
反比例函数
查漏补缺
7.如图,点M为x轴上一点,过点M的直线l∥y轴分别与双曲
-20
线y=8/x和y=k/x的图象交于P,Q两点,若S△POQ=14,则k=____.
8.在平面直角坐标系中,若一条平行于x轴的直线l分别交
双曲线y=-8/x和y=2/x于A,B两点,P是x轴上的任意一点,则
最新浙教版初中数学中考复习反比例函数 (共38张PPT)教育课件
30
解析：
31
考点三：一次函数与反比例函数的综合应用
32
解析：
• 【解析】(1)如图，过点A作AD⊥OC于点D．
•
∵AC＝AO，
•
∴CD＝DO.
•
∴S△ADO＝S△ACO＝6，
•
∴k＝－12.•源自(2)x＜－2或0＜x＜2.
33
考点三：一次函数与反比例函数的综合应用
34
解析：
35
方法归纳： • 1．求两个函数图象的交点坐标的方法是把两个函数图象的表达
2
考点一：反比例函数的图象与性质
3
考点一：反比例函数的图象与性质
原点
双曲线 y＝±x
4
考点一：反比例函数的图象与性质
函数
图象
k>0
k<0
所在象限
性质
第 一、三 象限(x， 在每个象限内，y随x
y同号)
的增大而 减小
第 二、四 象限(x，y 在每个象限内，y随x
异号)
的增大而 增大
5
考点一：反比例函数的图象与性质
•
•
学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。
解析：
31
考点三：一次函数与反比例函数的综合应用
32
解析：
• 【解析】(1)如图，过点A作AD⊥OC于点D．
•
∵AC＝AO，
•
∴CD＝DO.
•
∴S△ADO＝S△ACO＝6，
•
∴k＝－12.•源自(2)x＜－2或0＜x＜2.
33
考点三：一次函数与反比例函数的综合应用
34
解析：
35
方法归纳： • 1．求两个函数图象的交点坐标的方法是把两个函数图象的表达
2
考点一：反比例函数的图象与性质
3
考点一：反比例函数的图象与性质
原点
双曲线 y＝±x
4
考点一：反比例函数的图象与性质
函数
图象
k>0
k<0
所在象限
性质
第 一、三 象限(x， 在每个象限内，y随x
y同号)
的增大而 减小
第 二、四 象限(x，y 在每个象限内，y随x
异号)
的增大而 增大
5
考点一：反比例函数的图象与性质
•
•
学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。
中考复习：反比例函数 复习课件(共33张PPT)
都在反比例函数
4 y x
则y1与y2的大小关系为
y1 ＞ y2
的图象上, .
变式1.已知点A(-2,y1),B(-1,y 2) 4
x
y k 都在反比例函数 y x(k＜0) 的图象上,
则y1与y2的大小关系为
y2 ＞ y1 .
A(x1,y1),B(x2,y )且x ＜0＜x 2 1 变式2.已知点A(-2,y ),B(-1,y 1 2) 2 4
k y (x＞0) 经 2.如图，已知双曲线 x 过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E， 且四边形OEBF的面积为2，则k的值是 ____。 y
C E B F O A
x
变式
x
例4.有一个Rt△ABC,∠A=900,∠B=600,AB=1,
将它放在直角坐标系中,使斜边BC在x轴上，直 角顶点A在反比例函数 y 3的图象上,且点A x 在第一象限.求:点C的坐标．
k y y (k＜0) 的图象上, 都在反比例函数 x x
则y1与y2的大小关系为
y
A
y1 ＞0＞y .2
o x2
y1 y2 B
x
1
x
A(-2,y1),B(-1,y ),C(4,y ) 2 3 变式3.已知点A(-2,y ),B(-1,y 1 2) 4
k y y (k>0) 的图象上, 都在反比例函数 x x
为 1 .
y P (m,n) o D x
y
P2(1,6)
k 6 yy x x
y
P(m,n)
y
A P(m,n)
o
P1(3,2) P(m,n)
x
o
A
x
o
x
4 y x
则y1与y2的大小关系为
y1 ＞ y2
的图象上, .
变式1.已知点A(-2,y1),B(-1,y 2) 4
x
y k 都在反比例函数 y x(k＜0) 的图象上,
则y1与y2的大小关系为
y2 ＞ y1 .
A(x1,y1),B(x2,y )且x ＜0＜x 2 1 变式2.已知点A(-2,y ),B(-1,y 1 2) 2 4
k y (x＞0) 经 2.如图，已知双曲线 x 过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E， 且四边形OEBF的面积为2，则k的值是 ____。 y
C E B F O A
x
变式
x
例4.有一个Rt△ABC,∠A=900,∠B=600,AB=1,
将它放在直角坐标系中,使斜边BC在x轴上，直 角顶点A在反比例函数 y 3的图象上,且点A x 在第一象限.求:点C的坐标．
k y y (k＜0) 的图象上, 都在反比例函数 x x
则y1与y2的大小关系为
y
A
y1 ＞0＞y .2
o x2
y1 y2 B
x
1
x
A(-2,y1),B(-1,y ),C(4,y ) 2 3 变式3.已知点A(-2,y ),B(-1,y 1 2) 4
k y y (k>0) 的图象上, 都在反比例函数 x x
为 1 .
y P (m,n) o D x
y
P2(1,6)
k 6 yy x x
y
P(m,n)
y
A P(m,n)
o
P1(3,2) P(m,n)
x
o
A
x
o
x
微专题4 反比例函数的综合应用++课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)
+=+
①当AC,BO为对角线时,AC,BO的中点重合,∴
,
+4=0+0
=
解得
,
= −
经检验,t=4,k=-16符合题意,
此时点C的坐标为(4,-4);
25
②当CB,AO为对角线时,CB,AO的中点重合,
+=+
∴
,
+0=4+0
= −
解得
,
= −
经检验,t=-4,k=-16符合题意,
所以S△AOB=S△AOM+S△BOM= ×2×3+ ×2×1=4.
因为正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形,且坐标原点是对称中
心,
所以点B和点C关于点O成中心对称,所以BO=CO,所以S△ABC=2S△AOB=8.
17
类型2
求特殊三角形或特殊四边形
【思维切入】
1.动点三角形的形状问题:
∵点A(m,4)在y=2x+2上,
∴2m+2=4,∴m=1,
∴点A的坐标为(1,4),
∵点A(1,4)在y= 上,∴4= ,∴k2=4,∴y= .
8
(2)如图,连接DE,过点B作BF垂直于y轴,垂足为F,
联立
= +
=
= 1 = −2
,解得
,
,
= 4 = −2
3.动点四边形的问题转化为动点三角形问题:
动点菱形问题转化为动点等腰三角形问题;
动点矩形问题转化为动点直角三角形问题.
①当AC,BO为对角线时,AC,BO的中点重合,∴
,
+4=0+0
=
解得
,
= −
经检验,t=4,k=-16符合题意,
此时点C的坐标为(4,-4);
25
②当CB,AO为对角线时,CB,AO的中点重合,
+=+
∴
,
+0=4+0
= −
解得
,
= −
经检验,t=-4,k=-16符合题意,
所以S△AOB=S△AOM+S△BOM= ×2×3+ ×2×1=4.
因为正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形,且坐标原点是对称中
心,
所以点B和点C关于点O成中心对称,所以BO=CO,所以S△ABC=2S△AOB=8.
17
类型2
求特殊三角形或特殊四边形
【思维切入】
1.动点三角形的形状问题:
∵点A(m,4)在y=2x+2上,
∴2m+2=4,∴m=1,
∴点A的坐标为(1,4),
∵点A(1,4)在y= 上,∴4= ,∴k2=4,∴y= .
8
(2)如图,连接DE,过点B作BF垂直于y轴,垂足为F,
联立
= +
=
= 1 = −2
,解得
,
,
= 4 = −2
3.动点四边形的问题转化为动点三角形问题:
动点菱形问题转化为动点等腰三角形问题;
动点矩形问题转化为动点直角三角形问题.
中考数学总复习第一部分基础知识复习函数及其图象反比例函数PPT
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★知识点3 ★知识点3 ★考点3 ★知识点3 ★知识点3 ★考点3 ★考点3 ★考点3 ★知识点3 ★考点3 ★知识点3 ★考点3 ★考点3 ★考点3 ★知识点3
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初三反比例函数ppt课件
揭示本质
从函数形式上，我们可以将反比例函 数表示为y=k/x，其中k为常数，且 k≠0。这表明函数的输出y与输入x成 反比关系。
反比例函数的表达形式基本源自式y=k/x，其中k为常数，且k≠0。
变形形式
当k>0时，函数图像位于第一、三象限，y随x的增大而减小；当k<0时，函数图 像位于第二、四象限，y随x的增大而增大。
交点与函数图像的关系
01
当两个函数有交点时，交点的横 纵坐标分别对应两个函数在某一 点处的函数值。
02
通过交点，可以观察两个函数在 某一点处的相互关系及其变化趋 势。
利用交点解决实际问题
路程问题
01
在两个物体以不同速度相对运动的问题中，交点的横坐标表示
相遇的时间，纵坐标表示相遇的地点。
工程问题
02
满足奇偶性定义
由于反比例函数满足奇函数的定义 ，即$f( - x) = - f(x)$，因此它是奇 函数。
反比例函数的凹凸性
二阶导数判定
通过求二阶导数判断函数的凹凸 性。如果二阶导数大于0，则函 数是凹函数；如果二阶导数小于 0，则函数是凸函数。对于反比 例函数，可以通过求导再求二阶
导数来判断凹凸性。
在工程进度问题中，交点的横坐标表示完成工程所需的总时间
，纵坐标表示完成工程量。
经济问题
03
在投入产出问题中，交点的横坐标表示投资额，纵坐标表示产
值。
06
CATALOGUE
复习与巩固
反比例函数的概念与性质复习
总结词：掌握基础
详细描述：通过图表和实例，复习反 比例函数的概念和性质，包括定义、 表达式、图像等。
凹函数
通过计算二阶导数发现，反比例 函数是凹函数。这意味着函数图
从函数形式上，我们可以将反比例函 数表示为y=k/x，其中k为常数，且 k≠0。这表明函数的输出y与输入x成 反比关系。
反比例函数的表达形式基本源自式y=k/x，其中k为常数，且k≠0。
变形形式
当k>0时，函数图像位于第一、三象限，y随x的增大而减小；当k<0时，函数图 像位于第二、四象限，y随x的增大而增大。
交点与函数图像的关系
01
当两个函数有交点时，交点的横 纵坐标分别对应两个函数在某一 点处的函数值。
02
通过交点，可以观察两个函数在 某一点处的相互关系及其变化趋 势。
利用交点解决实际问题
路程问题
01
在两个物体以不同速度相对运动的问题中，交点的横坐标表示
相遇的时间，纵坐标表示相遇的地点。
工程问题
02
满足奇偶性定义
由于反比例函数满足奇函数的定义 ，即$f( - x) = - f(x)$，因此它是奇 函数。
反比例函数的凹凸性
二阶导数判定
通过求二阶导数判断函数的凹凸 性。如果二阶导数大于0，则函 数是凹函数；如果二阶导数小于 0，则函数是凸函数。对于反比 例函数，可以通过求导再求二阶
导数来判断凹凸性。
在工程进度问题中，交点的横坐标表示完成工程所需的总时间
，纵坐标表示完成工程量。
经济问题
03
在投入产出问题中，交点的横坐标表示投资额，纵坐标表示产
值。
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复习与巩固
反比例函数的概念与性质复习
总结词：掌握基础
详细描述：通过图表和实例，复习反 比例函数的概念和性质，包括定义、 表达式、图像等。
凹函数
通过计算二阶导数发现，反比例 函数是凹函数。这意味着函数图
中考数学专题《反比例函数》复习课件(共15张PPT)优选全文
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路ห้องสมุดไป่ตู้……
图象大致是（ C ）
A．
B．
C
D．
知识回顾：
3.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点
B在y轴上，点C在反比例函数y= k 的图象上，则k的值 -6
为．
x
3题图
4题图
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比
例函数 y
2 x
的图象有一个交点A（m，2）．
（1）求m的值；
垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PM×PN=
y • x xy
yk,xyk,Sk x
完善整合：
完善整合：
谢谢！！
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2024年11月20日星期三2024/11/202024/11/202024/11/20 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2024年11月2024/11/202024/11/202024/11/2011/20/2024 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2024/11/202024/11/20November 20, 2024 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2024/11/202024/11/202024/11/202024/11/20
例函数的解析式也可以写成或xy=k的形式。自变量x的取值范
围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分
You made my day!
我们，还在路ห้องสมุดไป่ตู้……
图象大致是（ C ）
A．
B．
C
D．
知识回顾：
3.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点
B在y轴上，点C在反比例函数y= k 的图象上，则k的值 -6
为．
x
3题图
4题图
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比
例函数 y
2 x
的图象有一个交点A（m，2）．
（1）求m的值；
垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PM×PN=
y • x xy
yk,xyk,Sk x
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•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2024年11月20日星期三2024/11/202024/11/202024/11/20 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2024年11月2024/11/202024/11/202024/11/2011/20/2024 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2024/11/202024/11/20November 20, 2024 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2024/11/202024/11/202024/11/202024/11/20
例函数的解析式也可以写成或xy=k的形式。自变量x的取值范
围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分
学习_中考数学复习专题18反比例函数(共38张PPT)初中数学九年级
结合的思想，通过比较两个函数图象的位置高低得出不等式的解
集的方法请同学们一定要掌握好．
例2：（2013湖南益阳）我市某蔬菜生产基地在气
温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然
光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如
图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内
温度y（℃）随时间x 中B
等用出以解法应后式数不及析【个代解【【，形等解点式数 入题思这结式解题．A的 求，维样合的题思坐独解先根模的的解路思标立．要不思集式据】路，等想．条当明】O不】式，件解确求先C能初通＝析解（函（求把中过式析一数61两出B）阶 比中式般解个Cm段 较的中来析根的函的两学待待讲式据数关值个生定定，一的反系函没，系系最般解比及数有数数直采可析例图办点只的用接得式象法函有个待的B代双的解在一数定条数入曲位．个系件，双直解置因线时数是再接曲析高此的法点，从解线式低要，的代已不得利用坐入知待标已中定知得）系条到，数件相最 上后可会以得求到一出个点一B元的一坐次标方，程再；用当解待析定式系中数的法待定求系一数为两个或两 次个函以数上解时，析代式入．独立条件后会得到方程组．（2）中涉及利用数形
考点6 反比例函数与几何图形的综合（考查频率： ★★☆☆☆） 命题方向：（1）反比例函数与等边三角形结合的问题； （2）反比例函数与平行四边形的综合问题．
C
C
考点7 反比例函数与一次函数的综合问题 （考查频率：★★☆☆☆）
命题方向：（1）两个函数值的大小比较； （2）反比例函数与一次函数的交点问题．
（小时）变化的函y数 k图象，其 的一部分．（1）恒x温系统在
这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？
（2）求k的值；
（3）当x＝16时，大棚内的温度约为多少度？
集的方法请同学们一定要掌握好．
例2：（2013湖南益阳）我市某蔬菜生产基地在气
温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然
光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如
图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内
温度y（℃）随时间x 中B
等用出以解法应后式数不及析【个代解【【，形等解点式数 入题思这结式解题．A的 求，维样合的题思坐独解先根模的的解路思标立．要不思集式据】路，等想．条当明】O不】式，件解确求先C能初通＝析解（函（求把中过式析一数61两出B）阶 比中式般解个Cm段 较的中来析根的函的两学待待讲式据数关值个生定定，一的反系函没，系系最般解比及数有数数直采可析例图办点只的用接得式象法函有个待的B代双的解在一数定条数入曲位．个系件，双直解置因线时数是再接曲析高此的法点，从解线式低要，的代已不得利用坐入知待标已中定知得）系条到，数件相最 上后可会以得求到一出个点一B元的一坐次标方，程再；用当解待析定式系中数的法待定求系一数为两个或两 次个函以数上解时，析代式入．独立条件后会得到方程组．（2）中涉及利用数形
考点6 反比例函数与几何图形的综合（考查频率： ★★☆☆☆） 命题方向：（1）反比例函数与等边三角形结合的问题； （2）反比例函数与平行四边形的综合问题．
C
C
考点7 反比例函数与一次函数的综合问题 （考查频率：★★☆☆☆）
命题方向：（1）两个函数值的大小比较； （2）反比例函数与一次函数的交点问题．
（小时）变化的函y数 k图象，其 的一部分．（1）恒x温系统在
这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？
（2）求k的值；
（3）当x＝16时，大棚内的温度约为多少度？
第二十六章反比例函数章末复习 课件(共25张PPT) 2024-2025学年人教版九年级数学下册
例4
如图，两个反比例函数
y
1 x
和y
2 x
的图象
分别是 l1 和 l2．设点 P 在 l1 上，PC⊥x 轴，垂足为 C，
交 l2 于点 A；PD⊥y 轴，垂足为 D，交 l2 于点 B，则△PAB 的面积为
y
l2
l1
x0，x10
（ C ）.
BDP
A．3 B．4 C．9 D．5 2
OC x A
关系？ 关于原点成中心对称.
②本章知识结构框图
现实世界中的 反比例关系
归纳 抽象
反比例函数 y k x
实际应用
y k 的图象和性质 x
典例精析
考点1 反比例函数的概念
例1 下列函数中是反比例函数的有
．
（√1）y
5 x
（5）y
x π
（2）y=5-x
（6）y
6 x2
（3）y x 2
（√4）xy=2
在每个象限内， y 都随 x 的增 大而增大
c.怎样求反比例函数的解析式？ 一般采用待定系数法，设y k .
x
d.如图，过 y k 的图象上任意一点 P 作两坐 x
标轴的平行线与两坐标轴所围成的矩形的面积
为__| _k_|__.
e.如果反比例函数 y k 与正比例函数y = mx x
有两个交点，那么这两个交点坐标之间有什么
考点2 反比例函数的性质
例3 在函数 y a2 1（a 为常数）的图象上有
x 三个点（-1，y1），（
1
， 4
y2），（
，12 y3）
则 y1，y2，y3 的大小关系是（ D ）.
A．y2＜y3＜y1 C．y1＜y2＜y3
反比例函数中考总复习原创课件
解：（1） （2）图略，x≥2或x<0
【考点2】一次函数与反比例函数
【例2】已知一次函数与反比例函数的图象交于点P(－3，m)，Q(2，－3)．(1)求这两个函数的函数关系式；(2)在给定的平面直角坐标系(如图)中，画出这两个函数的大致图象；(3)当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
2．如图，A，C是函数 的图象上的任意两点，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，过点C作y轴的垂线，垂足为点D，连接OA，OC，设Rt△AOB的面积为S1，Rt△COD的面积为S2，则( ) A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．S1和S2的大小关系不能确定
③④
C
3．函数 的图象与直线y＝x没有交点，那么k的取值范围是( ) A．k＞1 B．k＜1 C．k＞－1 D．k＜－1
A
4．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(0，1)和点B (a，－3a), a＜0，且点B在反比例函数 的图象上． (1)求a的值和一次函数的解析式． (2)如果P(m, y1)，Q(m＋1, y2)是这个一次函数图象上的两点， 试比较y1与y2的大小．
解：（1） （2）x<－4
6．如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数 (x＞0)的图象经过点B.(1)求k的值；(2)将正方形OABC分别沿直线AB，BC翻折，得到正方形MABC′，NA′BC.设线段MC′，NA′分别与函数 (x＞0)的图象交于点E，F，求线段EF所在直线的解析式．
解：（1）如图，作CE⊥AB，垂足为E. ∵AC＝BC，AB＝4，∴AE＝BE＝2. 在Rt△BCE中，BC＝ ，BE＝2， ∴CE＝ .∵OA＝4， ∴点C的坐标为 ． ∵点C在 的图象上， ∴k＝5.
解：（1）a=－1, y=－2x+1 （2）y1>y2
【考点2】一次函数与反比例函数
【例2】已知一次函数与反比例函数的图象交于点P(－3，m)，Q(2，－3)．(1)求这两个函数的函数关系式；(2)在给定的平面直角坐标系(如图)中，画出这两个函数的大致图象；(3)当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
2．如图，A，C是函数 的图象上的任意两点，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，过点C作y轴的垂线，垂足为点D，连接OA，OC，设Rt△AOB的面积为S1，Rt△COD的面积为S2，则( ) A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．S1和S2的大小关系不能确定
③④
C
3．函数 的图象与直线y＝x没有交点，那么k的取值范围是( ) A．k＞1 B．k＜1 C．k＞－1 D．k＜－1
A
4．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(0，1)和点B (a，－3a), a＜0，且点B在反比例函数 的图象上． (1)求a的值和一次函数的解析式． (2)如果P(m, y1)，Q(m＋1, y2)是这个一次函数图象上的两点， 试比较y1与y2的大小．
解：（1） （2）x<－4
6．如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数 (x＞0)的图象经过点B.(1)求k的值；(2)将正方形OABC分别沿直线AB，BC翻折，得到正方形MABC′，NA′BC.设线段MC′，NA′分别与函数 (x＞0)的图象交于点E，F，求线段EF所在直线的解析式．
解：（1）如图，作CE⊥AB，垂足为E. ∵AC＝BC，AB＝4，∴AE＝BE＝2. 在Rt△BCE中，BC＝ ，BE＝2， ∴CE＝ .∵OA＝4， ∴点C的坐标为 ． ∵点C在 的图象上， ∴k＝5.
解：（1）a=－1, y=－2x+1 （2）y1>y2
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有两条对称轴：直线y=x和 y=-x；对称中心为：原点 y y = —kx
y=-x
y=x
0
12
x
练习3：
1、如图，过原点的一条直线与反比例函数
y
k
x
(k≠0)的图象分别交于A、B两点，若点A的坐标(a,b)，
则点B的坐标为（
）
A. (b,a)
B. (-a,b)
C. (-b,-a)
D D. (-a,-b)
(2)当x<-2时,y的取值范围是-1<y<0 ;
(3)当y≥-1时,x的取值范围是 x>0或x≤-2.
9、如下图是三个反比例函数 y k1 y k 2 y k 3
x
x
x
在x轴上方的图象，由此观察得到的k1，k2，k3大小
关系为， ( B )
A. k1 k2 k3
B. k3 k2 k1 C. k2 k3 k1
当k>0时，y随x的增大而增大; 在每一个象限内: 当k>0时，y随x的增大而减小;
当k<0时，y随x的增大而减小. 当k<0时，y随x的增大而增大.
另外：在正比例函数中k的绝对值越大,直线越靠近y轴，远离x轴。在反
比例函数中k的绝对值越大，双曲线越远离两坐标轴。
练习2：
1.函数 y
1
的图象位于第
y = 2x2 ③
y=
1 x④
y
=
2x 3
⑤ y = 3x
⑥ y=
1 x
⑦
y=
1 3x
⑧
xy=-2
比一比
函数 表达式
正比例函数
反比例函数
y=kx(k≠0)( 特殊的一次函数) yk x或y k x 1或 xy k(k 0)
y
y
y
y
图象 及象限
ox k>0
ox k<0
0x k>0
0x k<0
性质
大小关系是
。
2）将x1>x2 >0变为x1>x2，则y1与y2 的大小关
系是
。
3）若图象上有三点（x1，y1）、（x2，y2）、
（x3，y3）,且y1>0>y2 > y3,则x1、x2 、 x3的大
小关系是
。
八年级 数 学
期末总复习
8.考察函数 y 2 的图象,
x
(1)当x=-2时,y= -1 ,
四、与面积有关的问题：
设P(m,n)是双曲y线 k(k0)上任意,一点 x
过P作x轴的垂 ,垂 线足A为 ,则
1
S OAP
OA AP 2
1 | m | • | n | 1 mn 1 | k |
2
2
2
面积性质（一）：
y
P(m,n)
oA
x
想一想
y P(m,n)
oA x
若将此题改为过P点 作y轴的垂线段,其结
2x
象二限、,四
在每一象限内,y的值随x的增大而 增大,
当x＞0时,y ﹤0,这部分图象位于第 象四限.
2.若点(-m，n)在反比例函数y
k x
的图象上，
那么下列各点中一定也在此图象上的点是( C)
A. (m，n) B. (-m，-n)
C. (m，-n) D. (-n，-m)
3.若反比例函数的图象过点(-1,2),则其解析式
1 （②图中BS△）PAO =
▏k▕ ,与点A的位置无关。
2
A. 12
B. 6
y
C. 4
D. 3
A
P0
x
(2)过 P分别作 x轴, y轴的垂线 , 垂足分别为 A, B,
则 S 矩 O形 ＝ A O • P A A B m P • n m k n
y
面积性质（二）
B
P(m,n)
oA
x
练习4：
y k1 x
y
y k2 x
O
y k3 x
x
D. k3 k1 k2
10、如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数 的图象，观察图象写出y1﹥y2时， y
y2
m x
x 的取值范围 X>3或-2<x<0
-2
0
3
x
提示： 利用图像比较大小简单明了。
三、反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心
对称图形。
论成立吗?
y A P(m,n)
o
x
S O A 1 2 P O A A 1 2 P |n |• |m | 1 2 m 1 2 n |k |
（归个①纳定3任）：值意已（,一1知）组即点两变xA个量y是=定（k反.值或比图例象函上任数一点y 的- 1x坐2 标上）的的乘点积，是一
过点A作 AP⊥ x轴于点p，则△AOP的面积为
y A
B
0
x
2、如图,已知双曲线 y k
与直线y=k/x交于A、B
x
两点,点A在第二象限,
若点A的横坐标为m,
则点B的坐标可表示为
__(_-m__,-_k_/m_)_或__(-_m_,_-__m_k __)____.
y
A
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x
B
（2）直利线y用=k反x(比k>例0)与函双数曲的线图y像的对4x 交称于性两。点A(x1,y1), B(x2,y2)，则2x1y2-7x2y1=___2_0___.
Rt OCD 的面积为 S 2 , 则 __C_ .
y
A.S1>S2 B.S1<S2
o S1 A
C.S1 = S2
S2
B
x
D.S1和S2的大小关系不能确定.
-4
A
6y
4
2
-5
O
-2
-4
C
5x 5x
-5 -5
O
-2 -4
B
6y
4 2
O
-2 -4
D
5x
方法：先假设某个 函数图象已经画好， 再确定另外的是否 符合条件.
5x
7:增减性
1、在反比例函数
y
k2 1 x
的图象上有两点
（x1，y1）、（x2，y2）,若x1>x2 >0,则y1与y2 的
大小关系是
。
变：1）将x1>x2 >0变为x1 >0 >x2，则y1与y2 的
为y
2 x.
4.如果反比例函数 y 1的3m图象位于第二、
x
四象限，那么m的范围为
.
m＞
1 3
由1－3m＜0 得－3m＜－ 1
∴
m＞
1 3
5、表示下面四个关系式的图像有
6、如图，函数
和y=－kx+1(k≠0)在同一坐
标系内的图象大致是 （ D ）
6y
6y
以前做过这
4
4
样的题目吗？
2
2
-5
Oபைடு நூலகம்
-2
1.如图,点P是反比例函数 y 图2 象上的 x
一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为 .
1
y
k2 11
SΔPOD2|k|221
P
oD
x
2、如图:A、C是函数
y
1 x
的图象上任意两点，
过 A 作 x轴的垂线 , 垂足为 B .过 C 作 y轴的垂线 ,
垂足为 D .记 Rt AOB 的面积为 S 1 ,
2012年《反比例函数》中考 总复习
一、有关概念：
1.什么叫反比例函数？
反比形例如函y数。kx (k为常数，k≠0) 的函数称为
其中x是自变量，y是x的函数。
2.反比例函数有哪些等价形式？
y
k x
y=kx-1
xy=k
(k为常数， k≠0)
练习1：
1、下列函数中哪些是反比例函数?
① y = 3x-1 ②