实验一 离散时间信号与系统响应

班 级 学号 姓 名 同组人 实验日期 室温 大气压 成 绩实验题目： 实验一 离散时间信号与系统响应 一、实验目的1.观察离散系统的频率响应和单位脉冲响应并学会其应用。

2.掌握用MATLAB 实现线性卷积的方法及差分方程的求解方法。

3.了解数字信号采样率转换过程中的频谱特征。

4.通过观察采样信号的混叠现象，进一步理解奈奎斯特采样频率的意义。

二、实验仪器计算机一台 MATLAB7.0软件三、实验原理在数字信号处理中，离散时间信号通常用序列{x(n)}表示。

离散时间系统在数学上定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算，亦即将一个序列变换成另一个序列的系统。

记为y(n)=T[x(n)],通常将上式表示成图()()[]x n y n T −−−→∙−−−→所示的框图。

算子T[∙]表示变换，对T[∙]加上种种约束条件，就可以定义出各类离散时间系统。

1.频率响应：在工程上进行时域分析和轨迹分析用频率响应法，它是分析和设计系统的一中有效经典的方法。

线性时不变系统输入输出关系y(n)=x(n)*h(n)。

H(ejw)是频率响应，离散时间系统的线性卷积，由理论学习我们可知，对于线性时不变离散系统，任意的输入信号()()()...(1)(1)(0)()(1)(1)...k x n x k n k x n n x n x n δδδδ∞=-∞=-=+-+++-+∑x （n ）可以用δ（n ）及其位移的线性组合来表示，即，当输入δ（n ）时，系统的输出y(n)=h(n)。

2.卷积：y=conv(h,x),计算向量h 和x 的卷积，结果放在y 中。

由系统的线性移不变性质可以得到系统对x(n)的响应y(n)为()()()k y n x k h n k ∞=-∞=-∑，称为离散系统的线性卷积，简记为y(n)=x(n)*h(n),也就是说，通过系统的冲激响应，可以将输入信号与系统的冲激响应进行卷积运算，可求得系统的响应。

MATLAB 提供了进行卷积预运算的conv 子函数。

求解两个序列的卷积，很重要的问题在于卷积结果的时宽区间如何确定。

在MATLAB 中，卷积的子函数conv 默认两个信号的时间序列从n=0开始，y 对应的时间序号也从n=0开始。

模拟系统通常用微分方程描述，而离散系统则是用差分方程来描述。

对于离散系统来说，输入序列x(n)和输出序列y(n)将满足下列N 阶常系数差分方程0()()NMi i biy n i aix n i ==-=-∑∑，一般来说，这类系统不必是因果的。

应用此差分方程式描述系统时，如果没有附加的制约条件看，则它不能唯一地确定一个系统的输入和输出关系。

可以利用MATLAB 求差分方程的解，此时调用函数filter ，y=filter(a,b,x),参数x 为输入向量（序列），a,b 分别为上式中的差分方程系数ai 、bi 构成的向量，y 为输出结果。

3.单位脉冲响应：系统对单位脉冲输入的响应。

也称作记忆函数。

脉冲响应确定一个线性系统的特性，包含有与频率域中的传输函数相同的信息，而传输函数是脉冲响应的傅立叶变换。

线性系统的输出由系统的输入与它的脉冲响应的卷积给出。

单位脉冲响应是指一个无穷大的瞬时冲激，并且由于其在时间轴上的积分为1，而t 又趋向于零，所以单位脉冲响应的大小应该是无穷大，但是要知道的是，无穷大量也有大小比较，所以单位脉冲响应可以用一个系数对之进行量度。

四、实验内容1、给定一因果系统1212()(1)/(10.670.92)H z z z z ----=++-+,求出并绘制H(z)的幅频响应与相频响应。

（1）实验程序： a=[1 sqrt(2) 1];b=[1 -0.67 0.9]; w=0:2*pi/100:2*pi; h=freqz(a,b,w); subplot(3,1,1); plot(w/pi,abs(h)); grid on;title('系统函数H(z)的幅度谱'); xlabel('w/\pi'); ylabel('幅度');subplot(3,1,2);plot(w/pi,angle(h)); grid on;title('系统函数H(z)的相位谱'); xlabel('w/\pi'); ylabel('相位/rad'); subplot(3,1,3); zplane(a,b); xlabel('Re[z]'); ylabel('jIm[z]');title('系统函数H(z)的零极点分布图'); grid on;2、计算系列{8 -2 -1 2 3}和序列{2 3 -1 -3}的离散卷积，并作图表示卷积结果。

a=[8 -2 -1 2 3]; b=[2 3 -1 -3]; c=conv(a,b);m=length(c)-1;n=0:1:m;stem(n,c);grid on;xlabel('n');ylabel('幅度');title(' 离散卷积的结果');3、求以下差分方程所描述系统的单位脉冲响应h(n),0≤n<50 y(n)+0.1y(n-1)-0.06y(n-2)=x(n)-2x(n-1).a=[1 0.1 -0.06];b=[1 -2];x=zeros(1,49);n=[0:49];x(1)=1;h=filter(b,a,x);stem(h);grid on;title('Impulse Response');xlabel('n');ylabel('h(n)');4、一信号是三个正弦信号的和，正弦信号的频率为50Hz、500Hz、1000Hz,该信号以800Hz 采样。

用适当数量的样本画出该信号，并讨论信号的混叠状况。

clear all;n=0:99;x=sin(0.0625*2*pi*n)+sin(0.625*2*pi*n)+sin(1.25*2*pi*n);y=x(1:100);subplot(2,1,1);stem(n,y);grid on;title('抽样后的图像');xlabel('n');ylabel('幅值');[h,w]=freqz(x);subplot(2,1,2);plot(w(1:314),abs(h(1:314)));grid on;title('幅频响应图像');xlabel('ω');ylabel('幅度');五、实验总结因为上学期已经学过了matlab软件，但有些matlab语言有些生疏了。

通过查阅matlab书本的相关知识，使我对这次实验有了更进一步的了解。

通过实验我掌握了用MATLAB实验线性卷积的方法，即调用子函数conv，c=conv(a,b)，及差分方程的求解方法，即调用函数filter，y=filter(a,b,x),参数x为输入向量（序列），a,b分别为上式中的差分方程系数ai、bi构成的向量，y为输出结果。

观察到了离散系统的频率响应。

另外通过实验我还了解了数字信号采样率转换过程中的频谱特征。

五:实验原理:1． 脉冲响应不变法用数字滤波器的单位脉冲响应序列)(n h 模仿模拟滤波器的冲激响应)(t h a ,让)(n h 正好等于)(t h a 的采样值，即)()(nT h n h a =，其中T 为采样间隔，如果以)(s H a 及)(z H 分别表示)(t h a 的拉式变换及)(n h 的Z 变换，则)2(1)(m Tjs H Tz H m a ez sT∑∞-∞==+=π2．双线性变换法S 平面与z 平面之间满足以下映射关系：);(,2121,11211ωωσj re z j s sT sT z zzT s =+=-+=+-⋅=--s 平面的虚轴单值地映射于z 平面的单位圆上，s 平面的左半平面完全映射到z 平面的单位圆内。

双线性变换不存在混叠问题：双线性变换是一种非线性变换，这种非线性引起的幅频特性畸变可通过预畸而得到校正。

IIR 低通、高通、带通数字滤波器设计采用双线性原型变换公式：：1.确定数字滤波器的性能指标：通带临界频率c f 、阻带临界频率r f 、通带波动δ、阻带内的最小衰减At 、采样周期T 、采样频率s f ；2.确定相应的数字角频率 T f c c πω2=；T f r r πω2=；3.计算经过预畸的相应模拟低通原型的频率)2(2cc tg Tω=Ω，)2(2rr tg Tω=Ω；4. 根据Ωc 和Ωr 计算模拟低通原型滤波器的阶数N ，并求得低通原型的传递函数)(s H a ；5. 用上面的双线性变换公式代入)(s H a ，求出所设计的传递函数)(z H ；6. 分析滤波器特性，检查其指标是否满足要求。

六：实验思考题1.双线性变换法中Ω和ω之间的关系是非线性的，在实验中你注意到这种非线性关系了吗？从哪几种数字滤波器的幅频特性曲线中可以观察到这种非线性关系？答：在双线性变化法中，模拟频率与数字频率不再是线性关系，所以一个线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器不再保持原有的线性相位了，在每一幅使用了双线性变换的图中，可以看到在采样频率一半处，幅度为零，这显然不是线性变换能够产生的，这是由于双线性变换将模拟域中的无穷远点映射到了改点处。

2. 能否利用公式完成脉冲响应不变法的数字滤波器设计？为什么？答：IIR 数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数,k k a b ，它是数学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则）去逼近系统的特性。

如果在S 平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如果在z 平面上去逼近，就得到数字滤波器。

但是它的缺点是，存在频率混叠效应，故只适用于阻带的模拟滤波器。