概率知识点总结

概率知识点总结

1、确定性现象：在一定条件下必然出现的现象。

2、随机现象：在一定条件下可能发生也可能不发生的现象。

3、概率论：是研究随机现象统计规律的科学。

4、随机试验：对随机现象进行的观察或实验统称为随机试验。

5、样本点：随机试验的每个可能出现的实验结果称为这个试验的一个样本点。

6、样本空间：所有样本点组成的集合称为这个试验的样本空间。

7、随机事件：如果在每次试验的结果中，某事件可能发生，也可能不发生，则这一事件称为随机事件。

8、必然事件：某事件一定发生，则为必然事件。

9、不可能事件：某事件一定不发生，则为不可能事件。

10、基本事件：有单个样本点构成的集合称为基本事件。

11、任一随机事件都是样本空间的一个子集，该子集中任一样本点发生，则该事件发生。利用集合论之间的关系和运算研究事件之间的关系和运算。（1）事件的包含A B

⊂

（2）事件的并（和）A B

（3）事件的交（积）A B

（4）事件的差A B A B

-=-=

AB A

（5）互不相容事件（互斥事件）A Bφ

=

（6）对立事件（互逆事件）A B Ω=，A B φ=，记B A = （7）完备事件组：事件12,,,n A A A 两两互不相容，且1n A A A

Ω=

（8）事件之间的运算规律：交换律、结合律、分配率、De Morgan 定理 12、概率

()1P Ω=，()0P φ=

如果12,,,n A A A 两两互不相容，则112()()()()n n P A A

P A P P A A A =++

+

如果,A B 是任意两个随机事件，则()()()P A B P A P AB -=- 如果B A ⊂，则()()()P A B P A P B -=-

()()()()P A B P A P B P AB =+-

()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ 1

111

12

1()()()()

()()(1())

()

n

n j i j i n

i n j k n i i i j k n

P A A

P A P A P A P A P A P A P A A A A ≤<≤=-≤<<≤=-

+

--

+∑

∑∑

12、古典概型

每次试验中，所有可能发生的结果只有有限个，即样本空间是有限集 每次试验中，每一个结果发生的可能性相同

()A P A =

包含的基本事件数

试验的基本事件总数

13、条件概率：()

(|)()

P AB P A B P B =为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率

加法公式：()()()()P A B P A P B P AB =+-，若,A B 互斥，则()()()P A B P A P B =+

乘法公式：()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B ==，若,A B 独立，则()()()P AB P A P B = 全概率公式：1221()()(|)()(|)()(|)n n P A P B P A B P B P A B P B P A B =+++

贝叶斯公式：11()()(|)

(|)()()(|)()(|)

k k k n n k P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B =+=+

14、事件独立：如果(|)()P B A P B =，则称事件B 对于事件A 独立，此时，事件A 对于事件B 独立，称,A B 相互独立。,A B 相互独立的充要条件是

()()()P AB P A P B =。A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 具有相同的独立性。

15、随机变量：如果对每一个样本点ω，都有唯一的实数()X ω与之对应，则称()X X ω=为样本空间上的随机变量。

离散型随机变量：随机变量的取值是有限个或可列多个。

表示方法：用概率分布（分布律）表示。公式法()k k P X x p ==，1,2,k =；列表法。

16、常见的离散型随机变量：

（1）0-1分布（两点分布）：随机变量只能取到0和1两个值

（2）二项分布：将试验独立重复进行n 次，每次实验中，事件A 发生的概率为p ，则称这n 次试验为n 重Bernoulli 试验。以X 表示n 重Bernoulli 试验中事件A 发生的此时，则X 服从参数为,n p 的二项分布，记作~(,)X B n p ，分布律为()(1)k k n k k n P X x C p p -==-，0,1,,2,k n =。二项分布随机变量可以分解成n 个0-1分布随机变量之和。 （3）泊松分布：若随机变量的分布律为

()!

k

k P X x k e λλ-==

，0,1,,2,k n =，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记作

~()X πλ。

泊松定理：lim ()li !

m (1)

k

k k

n k

n k n n

P X x C p e k p λλ--→∞→∞==-=

当n 较大，p 较小，np 适中时，可以用泊松分布公式近似替换二项分布公式。

17、随机变量的分布函数：()()F x P X x ≤=

18、离散型随机变量：取值有限或无限可列，用分布律刻画。 连续性随机变量：取值充满一个区间，用概率密度函数刻画。 概率密度函数（密度函数）：若存在非负可积函数()f x ，使得

)(()()x x d F P X f t t x -∞

==≤⎰

则称X 为连续型随机变量，()f x 为X 的概率密度函数，若()f x 在x 处连续，则'()()F x f x =

19、连续型随机变量X 取任意单点值的概率为0，即()0P X a ==

()()()(())b

a X

b X P a X a P a P a P a b X b f t dt ≤≤≤≤<<<==<==⎰

()()()a

P X a P X a f t dt +∞

≥>==⎰

20、常见的连续型随机变量：

（1）均匀分布：,()0,

1

x x b a a b

f ⎧⎪=-⎪⎩≤⎨

≤其他