平面的基本性质练习题
近年高中数学第1章立体几何初步第二节点、直线、面的位置关系1平面的基本性质及推论习题苏教版必修2(
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平面的基本性质及推论（答题时间:40分钟）＊1。
（福州检测）下列说法正确的是________。
①三点可以确定一个平面②一条直线和一个点可以确定一个平面 ③四边形是平面图形④两条相交直线可以确定一个平面*2.(扬州检测）经过空间任意三点可以作________个平面.＊＊3.（1）三条直线两两平行，但不共面，它们可以确定______个平面。
(2)共点的三条直线可以确定________个平面. ＊4。
（宿迁检测)空间中可以确定一个平面的条件是________.（填序号） ①两条直线；②一点和一直线；③一个三角形;④三个点 ＊＊5。
（梅州检测)如图所示的正方体中，P 、Q 、M 、N 分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是________。
（把正确图形的序号都填上）＊＊6。
（福建师大附中检测)三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有________条. **7。
证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.*＊8. 如图所示，已知四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ,H 分别是BC ，CD 上的点,且HCDHGC BG＝2。
平面的基本性质
三、平面的基本性质：
公理1 : 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条
直线上所有点都在这个平面内
A l, B l, A , B l
A•
•B
l
想一想：这个公理有什么作用？
1.检验物体的表面是否平整 2.判断一条直线是否在一个平面内
3.判断点是否在一个平面内
P l且P l
•A
B•
•C
想一想：哪些现象可以用来说明公理3？
1、三脚的板凳才能坐稳！ 2、两块合铁和一把锁才能固定门！ 3、照相机的支架是三条腿！
A, B, C不共线 A, B, C确定一平面
练习
1．正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平 面 A1C1 , A1B, BC1 ，分别记作、、 ，试用适当的符号填 空．
小结：
1、平面的概念及表示方法。
2、平面的基本性质（三个公理）及其作用。
作业：
预习公理的推论1、2、3
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敢咯 那 那时候别早咯 奴婢那就服侍您歇息吧 ”菊香の前半句话王爷还没什么在意 壹听到她那那后半句话 气得差点儿上去给她壹巴掌！自从他决定回怡然居之后 壹直在 搜肠刮肚地选择用啥啊样の委婉词语来与淑清告别 既别能太伤她の心 又能够安然脱身 结果还别等他想出法子来呢 那各可恶の菊香 竟然是哪壶别开提哪壶 直接就要来服侍 他歇息！真是要将他活生生气死！第壹卷 第899章 清白既然菊香已经红口白牙地提出来服侍他安歇就寝事宜 被逼到绝境之中没处躲没处藏の王爷只好硬着头皮开口道： “爷那壹遭被吵醒 也睡别着咯 打算回去看看书 您家主子还病着 爷看书会影响她养病 那 爷那就走咯 服侍您家主子好好休息 ”菊香唱咯壹晚上の独角戏 最终还是没能将 他留下 淑清本就是在病中 再见他竟是那般绝情 别禁悲从心来 壹晚上都没什么开口の她终于忍别住喊咯壹声：“爷！”然后她就再也说别出来壹句话 只是用壹双眼睛泪汪 汪地望向他 见病中の淑清如此楚楚可怜の样子 就那么走开实在是太过残忍 于是 狠别下心来の他只好又坐回床侧 替她掖咯掖被角 好言相劝道：“别哭咯 那还病着呢 又得 哭坏咯身子！就是有些风寒 没什么啥啊大碍 好好养着 按时喝药 另外 现在天凉咯 别总去院子里 有啥啊事情让菊香去做 爷要是过来 自会让秦顺儿传话 您那么去等 能等 来啥啊？还别是把身体弄坏咯？”“爷 妾身就是忍别住想去看看 都快壹各月没什么见到您咯 那心里实在是别踏实 ”“您の心思 爷自然晓得 只是……”只是啥啊呢？他别 想让淑清更伤心 没什么说出口 于是他就那么靠在床边 陪着淑清 而淑清因为本身就在病中 又喝咯药 经过壹晚上の折腾 终于体力渐渐别支 耗咯将近壹各时辰 也就渐渐地 睡咯下去 见淑清终于睡安稳咯 他才如释重负般地悄悄起身 出咯烟雨园 他犹豫咯壹下 回朗吟阁还是怡然居？回怡然居肯定是要搅咯水清の睡眠 她の睡眠壹直很差 睡眠别 好就导致精神差 所以身子才会那么赢弱 形成咯壹各恶性循环の老大难问题 可是回朗吟阁の话 他是跳进黄河也洗别清咯 他可以指天发誓 秦顺儿可以亲口作证 但是水清完 全可以别相信！她又没什么亲眼见到他在朗吟阁 她凭啥啊相信？他跟她打咯九年の交道 她有の时候极明事理 以壹各知书达礼大家闺秀の形象卓而别群 可是有些时候 她竟 然也会蛮别讲理 与壹般妇人别无两样 特别是对待他の那些诸人们の时候 在他用“燕子诗”向她真情告白时候 她竟然用“小檐日日燕飞来”嘲讽奚落他 让他陷入百口莫辩 の被动局面 虽然事后他别停地向她解释 啥啊“秋来只为壹人长” 啥啊“壹汀烟雨杏花寒” 水清统统壹概别予理会 最后将她逼急咯 竟然给他来咯壹各“息燕归檐静 飞花 落院闲” 彻底逃跑咯！任他再教上悠思上百句燕子诗 终是没什么挽回她の心 那各时候她还只是凭空想象他那些莫须有の“朝憎莺百啭、夜妒燕双栖”の罪名 就敢蛮别讲理 胡搅蛮缠 而现在 已经有咯菊香那各确凿の人证物证 他还怎么可能抵赖得掉？第壹卷 第900章 温暖 在打扰水清睡眠和证明自己清白那壹对矛盾问题の反复权衡之下 他终 于选择咯回怡然居 他怕她又从他の掌心逃跑咯 以前她の每壹次逃跑 都是他姑息纵容の结果 也是担心将她逼得太紧咯 原本他在水清心目中の形象就别佳 若是追她追得太紧 再在她印象中留下壹各无耻好色之徒の恶名 更是要弄巧成拙 导致两各人关系更加恶化 无可奈何之下 每壹次他都眼睁睁地看着她从他の掌心中溜走 任由她绝决地离去 却是 壹丁点儿都别敢对她用强 当然 除咯在香山 那壹次 他是真真地被她气着咯 第壹次对她动用咯武力 而现在 当他品尝到如此甜美の爱情之后 再也别想将风筝の线放得太长 他怕自己手中の那根线 禁别住狂风暴雨の袭击而折断 徒留追悔莫及 虽然只是短短の十三天 却让他有壹种前二十多年都白活咯の感觉 从前 诸人对他而言只是诸人 而现在 他既将水清当作自己の诸人 更将
2022-2021年《金版学案》数学·必修2(苏教版)练习：第1章1.2-1.2.1平面的基本性质
第1章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质A组基础巩固1．下列有关平面的说法正确的是()A．平行四边形是一个平面B．任何一个平面图形都是一个平面C．安静的太平洋面就是一个平面D．圆和平行四边形都可以表示平面解析：我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，故A项不正确；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故B项不正确；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C项不正确；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面．答案：D2.如图所示，用符号语言可表示为()A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈a，m∩n＝AC．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD．α∩β＝m，n∈a，A∈m，A∈n解析：α与β交于m，n在α内，m与n交于A.答案：A3．下列说法正确的是()A．经过三点确定一个平面B．两条直线确定一个平面C．四边形确定一个平面D．不共面的四点可以确定4个平面解析：对于A，若三点共线，则错误；对于B项，若两条直线既不平行，也不相交，则错误；对于C项，空间四边形就不只确定一个平面．答案：D4．一条直线和直线外的三点所确定的平面有()A．1个或3个B．1个或4个C．1个，3个或4个D．1个，2个或4个解析：若三点在同始终线上，且与已知直线平行或相交，或该直线在由该三点确定的平面内，则均确定1个平面；若三点有两点连线和已知直线平行时可确定3个平面；若三点不共线，且该直线在由该三点确定的平面外，则可确定4个平面．答案：C5.如图所示，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过点________．解析：依据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．答案：C和D6．空间任意四点可以确定________个平面．解析：若四点共线，可确定很多个平面；若四点共面不共线，可确定一个平面；若四点不共面，可确定四个平面．答案：1个或4个或很多7．下列命题说法正确的是________(填序号)．①空间中两两相交的三条直线确定一个平面；②一条直线和一个点能确定一个平面；③梯形肯定是平面图形．解析：依据三个公理及推论知①②均不正确．答案：③8．下列各图的正方体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则使这四个点共面的图形是________(把正确图形的序号都填上)．解析：①中PS∥RQ，③中SR∥PQ，由推论3知四点共面．答案：①③9．点A在直线l上但不在平面α内，则l与α的公共点有__________个．答案：0或110．依据下列条件，画出图形：平面α∩平面β＝AB，直线CD⊂α，CD∥AB，E∈CD，直线EF∩β＝F，F∉AB.解：由题意画出图形如图所示．B级力量提升11．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E，则B，E，D1三点的关系是________________________．解析：连接AC、A1C1、AC1，(图略)则E为A1C与AC1的交点，故E为AC1的中点．又ABC1D1为平行四边形，所以B，E，D1三点共线．答案：共线12．下列叙述中，正确的是________(填序号)．①若点P在直线l上，点P在直线m上，点P在直线n上，则l，m，n共面；②若点P在直线l上，点P在直线m上，则l，m共面；③若点P不在直线l上，点P不在直线m上，点P不在直线n上，则l，m，n不共面；④若点P不在直线l上，点P不在直线m上，则l，m不共面；⑤若点P在直线l上，点P不在直线m上，则l，m不共面．解析：由于P∈l，P∈m，所以l∩m＝P.由推论2知，l，m共面．答案：②13.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．证明：由于MN∩EF＝Q，所以Q∈直线MN，Q∈直线EF.又由于M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以M，N⊂平面ABCD.所以MN⊂平面ABCD.所以Q∈平面ABCD.同理，可得EF⊂平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A1.又由于平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，所以Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．14．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，AB的中点，求证：D1E，CF，DA三线共点．证明：如图所示，连接EF，A1B，D1C，由于E，F为AA1，AB的中点，所以EF綊12A1B.又由于A1B綊D1C，所以EF綊12D1C.故直线D1E，CF在同一个平面内，且D1E，CF不平行，则D1E，CF必相交于一点，设该点为M.又由于M∈平面ABCD且M∈平面ADD1A1，所以M∈AD，即D1E、CF、DA三线共点．15.如图所示，在四周体ABCD中，E，G，H，F分别为BC，AB，AD，CD 上的点，EG∥HF，且HF<EG.求证：EF，GH，BD交于一点．证明：由于EG∥HF，所以E，F，H，G四点共面，又HF<EG，所以四边形EFHG是一个梯形．如图所示，延长GH和EF交于一点O，所以a，b，c，l四线共面．由于GH在平面ABD内，EF在平面BCD内，所以点O既在平面ABD内，又在平面BCD内．所以点O在这两个平面的交线上，而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条．所以点O在直线BD上．所以GH和EF的交点在BD上，即EF，GH，BD交于一点．16.已知：如图所示，a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c，l四线共面．证明：由于a∥b，所以a，b确定一个平面α.由于A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.所以AB⊂α，即l⊂α.同理，由b∥c，得b，c确定一个平面β，可证l⊂β.所以l，b⊂α，l，b⊂β.由于l∩b＝B，所以l，b只能确定一个平面．所以α与β重合．故c在平面α内．。
2014年职高数学第一轮复习 平面的概念及基本性质
三.异面直线所成的角
复习回顾 在平面内,两条直线相交成四 个角, 其中不大于90度的角称为它 们的夹角, 用以刻画两直线的错开 程度, 如图. 问题提出 在空间,如图所示, 正方体 ABCD－EFGH中, 异面直线AB
O
H E F
G
与HF的错开程度可以怎样来刻
画呢?
D A
B
C
解决问题
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题
已知： c， a，
b， a b O
求证：O c
c
O
证明：
a
b
O b，b ， O O a，a ， O
O在与的交线上，
O c 又 c，
练.判断下列命题是否正确： （1）经过三点确定一个平面。 （×） （2）经过同一点的三条直线确定一个平面。 （×） （3）若点A 直线a，点A 平面α，则a α. （×） （4）平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点。（×）
o
o
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位
置不同时, 这一角的大小是否改变?
练习3
下图长方体中 (1)说出以下各对线段的位置关系?
① EБайду номын сангаас ② BD ③BH
H E D A B F
G
和BH是 和FH是 和DC是
相交 平行 异面
直线 直线 直线
C
(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 4 条?
分别是 ：CG、HD、GF、HE
课后思考:
这个长方体的棱中共有多少对异面直线?
巩固： 1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
1.2.1平面的基本性质
例题讲解
例2、在长方体A C1中, P为棱BB1的中点, 画出 由A1 ,C1 ,P三点所确定的平面 与长方体 表面的交线.
D1 A1 D A B1 P B C C1
D1 A1 D A B1 P B
C1
C
例题讲解
例3、两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内 已知：AB∩AC=A， AB∩BC=B， AC∩BC=C
D A B C
D1
C1 B1
A1
3．根据下列符号表示的语句，说出有关 点、线、面的关系，并画出图形．
(1) A , B (2)l , m
(3) l
(4) P l , P , Q l , Q
4填空
点A在直线l上 点A在直线l外 点A在平面 内 点A在平面 外 直线l在平面 内 直线l在平面 外
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有 一个平面. B a 已知：点A a. A C
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。
a
β
b
C
数学语言表示:
直线a b C 有且只有一个平面， 使得a ，b .
推论2的证明
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 已知：直线a与b交与A 求证：经过直线a、b有且只有一个平面α。 【证明】（存在性）如图所示，在直线a,b上分别 取不同于点A的点C、B，得不在同一直线上的三 点A、B、C，过这三个点有且只有一个平面α(公 理2)。又 (公理1) 所以平面α是过相交直线a，b的平面。
B
A
C
求证：直线AB，BC，AC共面. 证法一： 因为AB∩AB=A 所以直线AB，AC确定一个平面.（推论2） 因为B∈AB，C∈AC，所以B∈，C∈， 故BC.（公理1） 因此直线AB，BC，CA共面.
平面的基本性质(二)
3条直线相交于一点时：
(1)3条直线共面时 (2)每2条直线确定 一平面时
三条直线相交于一点,用其中的两条 确定平面,最多可以确定3个。
4条直线相交于一点时： (3)每2条直线都 (1)4条直线 确定一平面时 全用其中的两条 确定平面,最多可以确定6个。
例3 .已知如图：E,F,G,H分别是空间四边 形ABCD的各边AB，AD，CB，CD上的 点，且直线EF和HG共面但不平行，求 证：EF，BD，GH三直线共点. 反思：证明空间三点 A 共线或三线共点的方 P F 法：只需证明这三个 E D 点都是两个平面的公 H 共点，则公共点必在 B 两平面的交线上，因 G C 此三点共线.
a、b确定平面α
l α
同理b、c确定平面β , 且lβ
而l、b α, l、b β,
∴a,b,c,l共面 α与β重合
例2： 如图△ABC在平面α外,AB交α于点P,BC 交α于点Q,AC交α于点R,求证:P、Q、R A 在同一直线上。
证明三点共线的常用方法： C B
方法1.选择其中两点确定一 条直线，然后证明另一点也 P 在其上。 R α Q 方法2.首先找出两个平面， 然后证明这三点都是这两个平面的公共点， 根据公理 3可知，这些点都在交线上。
l
B
C
A l
由公理3可得，不共线三点A、B、C确定一个平面α
即平面α是经过直线l和点A的平面
唯一性:
B, C l , l B, C A A, B, C
由公理3可得，经过不共线三点A、B、C的平面只有一个 ∴经过直线l和点A的平面只有一个
• 推论２：经过两条相交直线，有且只有一 个平面
公理1： 如果一条直线的两点在一个平面内，那 么这条直线上的所有点都在这个平面内。
三课时上课用时公理,及推论的证明题平面的基本性质(习题课)课件
a b M , a c N, a d P,b c Q,b d S,c d R
a bM a，b可确定一个平面
N a,Q b
N ,Q NQ 即 c
同理：ad， b，c，d共面.
变式2
如图2所示已知a，b，c，d是两两相交且 不共点的四条直线，求证：a，b，c，d共 面.
C
A1 D1
A
D
∴由推论 3 可知， AA1 与 CC1 可确定平面 AC1 ，
AA CC ∴ 与 在同一平面内
1
1
新疆 王新敞
奎屯
口答
B1 C1
A1 D1
点 B，C1，D是否在同一平面内？
B
A
C
D
解：∵ 点 B C1D 不共线，
由公理
可知，点
B,,C 1
D
可确定平面
BC 1
D
，
B,C , D ∴点
❖ 例4、空间三个点能确定几个平面？ 空间四个点能确定几个平面？
❖ 例5、 空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？ 空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？
❖ 例6、两个平面可以把空间分成________部分， 三个平面呢?_________________。
三条直线相交于一点，可以确定几个平面？
2个平面分空间有两种情况：
（1）两平面没有公共点时
（2）两平面有公共点时
两个平面把空间分成3或4个部分。
3个平面把空间分成4，6，7或8个部分。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
14.1平面及其基本性质（1）
❖ 课时小结 ❖ 1、数学知识：
（1）平面的定义 （2）平面的表示方法 （3）平面的基本性质 ❖ 2、数学思想方法：
平面基本性质习题
平⾯基本性质习题平⾯的基本性质年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____⼀、选择题(共18题，题分合计90分)1.公理1⽤符号表⽰，正确的是A.A ∈a ,B ∈a ,且A ∈α,B ∈α,则a ∈αB.A ∈a ,B ∈a ,且A ∈α,B ∈α,则a ?αC.A ∈a ,B ∈a ,则a ?αD.A ∈α,B ∈α,则a ?α2.设有如下三个命题:甲:相交的直线l ,m 都在平⾯α内,并且都不在平⾯β内; ⼄:直线l ,m 中⾄少有⼀条与平⾯β相交;丙:平⾯α与平⾯β相交. 当甲成⽴时A.⼄是丙的充分⽽不必要条件B.⼄是丙的必要⽽不充分条件C.⼄是丙的充分且必要条件D.⼄既不是丙的充分条件⼜不是丙的必要条件3.已知平⾯α与平⾯β相交,a 是α内的⼀条直线,则A.在β内必存在与a 平⾏的直线B.在β内必存在与a 垂直的直线 C.在β内必不存在与a 平⾏的直线 D.在β内不⼀定存在与a 垂直的直线4."三条直线a，b，c两两相交于不同三点A?B?C"是"这三条直线a，b，c共⾯"的A.充分⽽不必要条件B.必要⽽不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在空间中,下列命题正确的是A.三点确定⼀个平⾯B.四边形⼀定是平⾯图形C.三条平⾏的直线共⾯D.梯形是平⾯图形6.a,b,c是空间三条直线，有下⾯4个命题：①如果a⊥b,b⊥c,则a∥c;②如果a、b是异⾯直线，b、c是异⾯直线，则a、c也是异⾯直线；③如果a和b相交,b和c相交，则a与c也相交；④如果a和b共⾯，b和c共⾯，则a与c也共⾯.其中正确命题的个数是A.3B.2C.1D.07.有三点不在⼀条直线上的四个点，能确定平⾯的最多个数是A.⼀个B.四个C.六个D.⽆穷多个8.任意三点不在⼀条直线上的四个点，能确定平⾯的最多个数是A.⼀个B.四个C.六个D.⽆穷多个9.空间四点A、B、C、D共⾯但不共线，则下⾯结论成⽴的是A.四点中必有三点共线B.四点中必有三点不共线C.AB、BC、CD、DA四条直线中总有两条直线平⾏D.直线AB与CD必相交10.给出下列四个命题：①空间四点共⾯，则其中必有三点共线②空间四点不共⾯，则其中任何三点不共线③空间四点中存在三点共线，则此四点共⾯④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共⾯其中正确的有()A.②和③B.①②③C.①和②D.②③④11.空间三个平⾯两两相交，那么A.不可能有且只有两条交线B.必相交于⼀点C.必相交于⼀条直线D.必相交于三条平⾏直线12.直线a、b、c两两平⾏，但不共⾯，经过其中2条直线的平⾯的个数为A.1个B.3个C.0个D.6个13.下⾯四个命题中，真命题的个数为①如果两个平⾯有三个公共点，那么这两个平⾯重合②两条直线可以确定⼀个平⾯③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l④空间中，相交于同⼀点的三直线在同⼀平⾯内A.1B.2C.3D.414.下列推理错误的是A.A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?βB.M∈α，M∈β，Ｎ∈α，Ｎ∈β?A∩β＝直线MNC.l?α，A∈l?A?αD.A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共线?α与β重合α内，那么与此命题不等价的命题是15.已知命题，直线l上两点A、B在平⾯A.l?αB.平⾯α通过直线lC.直线l上只有这两个点在α内D.直线l上所有点都在α内16.根据下列条件,画出图形(1)平⾯α∩平⾯β=l,直线AB?α,AB∥l,E∈AB,直线EF∩β=F,F?l(2)平⾯α∩平⾯β=a,△ABC的三个顶点满⾜条件,A∈a,B∈α,B?a,C∈β,C?a.17.下⾯的三个命题:①四边相等的四边形是菱形②两组对边分别相等的四边形是平⾏四边形③若四边形有⼀组对⾓都是直⾓,则这四边形是圆的内接四边形其中正确的个数是A.1个B.2个C.3个D.⼀个也不正确18.如图，ABCD-A1B1C1D1是长⽅体，O是B1D1的中点，直线A1C交平⾯AB1D1于点M，则下列结论错误的是A.A、M、O三点共线B.A、M、O、A1四点共⾯C.A、O、C、M四点共⾯D.B、B1、O、M四点共⾯⼆、填空题(共6题，题分合计24分)1.经过三点的平⾯的个数为___________个.β，点E∈AB，点F∈BC，点G∈CD，点H∈DA，若直线EH∩直线FG＝2.直线AB、AD ?α，直线CB、CD?M，则点M在______上.3.两两平⾏的三条直线，最多可以确定________个平⾯，⽽两两相交的三条直线最多可以确定_______个平⾯.4.已知α∩β＝l,m?α，n?β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系⽤相应的符号表⽰为________.5.顺次连结空间四边形的各边中点所得四边形是_________.6.⼀个平⾯把空间分成______部分，两个平⾯把空间分成____或____部分，三个平⾯把空间分成_____或_____或_____或_____部分.三、解答题(共21题，题分合计168分)1.正⽅体ABCD-A1B1C1D1的棱长为8cm，M、N、P分别是AB、A1D1、BB1的中点，(1)画出过M、N、P三点的平⾯与平⾯A1B1C1D1的交线，以及与平⾯BB1C1C的交线.(2)设过M、N、P三点的平⾯与B1C1交于点Q，求PQ的长.2.求证空间四边形各中点的连线共⾯.3.如图，α∩β＝BC，A∈α，D∈β，E、F、G、H分别是AB、AC、DB、CD上的点，若EF∩GH＝P，则P点必在直线BC上.4.过直线l 外⼀点P 引两条直线P A 、PB 和直线l 分别相交于A 、B 两点，求证：三条直线P A 、PB 、l 共⾯.5.已知空间四点A 、B 、C 、D 不在同⼀平⾯内，求证：直线AB 和CD 既不相交也不平⾏.6.已知直线a 、b 、c 两两相交且不共⾯，求证：a 、b 、c 相交于⼀点.7.已知α∩β=a ,直线m ?α,n ?β,且a ∩m =M ,a ∩n =N ,M ?N 不重合,问m 与n 能否平⾏?证明你的结论? 8.如图,AD ∩平⾯α=B ,AE ∩平⾯α=C ,请画出直线DE 与平⾯α的交点P ,并指出点P 与直线BC 的位置关系.9.已知直线l 经过平⾯α外⼀点A ,求证:直线l 不在平⾯α内.10.空间四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 、DA 上各有⼀点P 、Q 、R 、S ，且直线PS 与QR 交于K ，求证：B 、D 、K 共线.11.已知ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点且32==CD CG CB CF ，求证：EF 、GH 、CA 共点.12.⼀条直线与三条平⾏直线都相交，求证：这四条直线共⾯.13.如图，△ABC 在平⾯α外，它的三边所在的直线分别交平⾯α于P 、Q 、R ，求证：P 、Ｑ、R 三点共线14.三个平⾯α、β、γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c ，β∩γ＝A ，γ∩α＝b ，已知直线a 和b 不平⾏.求证：a 、b 、c 三条直线必过同⼀点.15.已知四条直线a 、b 、c 、d 两两相交，但四线不共点，求证：a 、b 、c 、d 共⾯.16.已知三个平⾯两两相交，有三条交线，求证：这三条交线交于⼀点或互相平⾏.17.如图，在棱长为a的正⽅体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是AA1，D1C1的中点，过D、M、N三点的平⾯与正⽅体的下底⾯相交于直线l.(1)画出l的位置.(2)设l∩A1B1＝P，求PB1的长.(3)求D1到l的距离.18.如图，H是锐⾓△ABC的垂⼼，PH⊥平⾯ABC，若∠BPC＝90°.求证：∠BP A＝90°，∠APC＝90°19.PD垂直于□ABCD所在平⾯，PB⊥AC，且P A⊥AB.求证：(1)ABCD是正⽅形；(2)PC⊥BC.20.n条直线中的任意三条直线均共⾯，求证：这n条直线均在同⼀个平⾯内.21.如图，正⽅体的棱长为4cm，M、N分别是A1B1和CC1的中点.(1)画出过点D、M、N的平⾯与平⾯BB1C1C及平⾯AA1B1B的两条交线;(2)设过D、M、N三点的平⾯与B1C1交于P，求PM＋PN的值.平⾯的基本性质答案⼀、选择题(共18题，合计90分)1.6168答案：B2.5610答案：C3.5629答案：B4.5715答案：A5.5800答案：D6.5806答案：D7.6148答案：B8.6151答案：B9.6155答案：B10.6164答案：A11.6165答案：A12.6172答案：B13.6185答案：A14.6187答案：C15.6190答案：C16.6428答案：17.6489答案：D18.6169答案：D⼆、填空题(共6题，合计24分)1.6157答案：⼀或⽆数2.6173答案：BD3.6191答案：3,34.6195答案：P ∈l5.6488答案：平⾏四边形6.6194答案：2 3 4 4 6 7 8三、解答题(共21题，合计168分)1.6437答案：PQ ＝10342121=+Q B P B （cm ）2.6160答案：见注释3.6161答案：见注释4.6198答案：见注释5.6211答案：见注释6.6425答案：见注释7.6429答案：不平⾏8.6434答案：见注释9.6436答案：见注释 10.6176答案：见注释 11.6182答案：见注释 12.6199答案：见注释 13.6202答案：见注释 14.6203答案：见注释 15.6205答案：见注释 16.6208答案：见注释17.6212答案：(2)PB 1＝a －4a ＝a43.(3)D 1到l 的距离为17172a .18.6215答案：见注释 19.6216答案：见注释 20.6179答案：见注释21.6183答案：PM +PN =313210+。
14.1 平面及其基本性质
二、典型习题
（一）概念的辨析 1．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
(1)可画一个平面，使它的长为4cm，宽为2cm。（ ）
(2)一条直线把它所在的平面分成两部分， 一个平面把空间分成两部分．
（）
(3)一个平面的面积为20 cm2．
（）
(4) 一条直线和任意一点确定一个平面
（）
2、在下列命题正确的是（
• 2、习题14.1A组1 习题14.1B组1，2
• 3、画一个正方体
2．根据下列符号表示的语句，说出有关 点、线、面的关系，并画出图形．
(2)l , m A
(3) l
思考题：
几位同学一次野炊活动，带去一张折叠方桌， 不小心弄坏了桌脚，有一生提议可将几根一样长的 木棍，在等高处用绳捆扎一下作桌脚（如图所示），
类比思考：
如果两个不重合的平面有公共点，其公共点有多少个？
如图，把三角板的一个角立 在课桌面上，三角板所在的 平面与桌面所在的平面是否 只相交于一点B？为什么？
BB
两相交平面的公共部分的特点：有无穷多点， 而且是直线。
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么 它们有且只有一条经过这个点的公共直线．
P l, Pl
同理,P∈平面CBD. ∴P在平面ABD与平面CBD的交线BD上, 即B、D、P三点在同一条直线上.
题型： 证明多线共面
【例3】求证:两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.
分析 由题知，四条直线两两相交且不共点，故有两种情况：一种是三条交 于一点，另一种是任何三条都不共点，故分两种情况证明. 要证明四线共面，先根据公理2的推论证两条直线共面，然后再证第三条直 线在这个平面内，同理第四条直线也在这个平面内，故四线共面.
平面的基本性质(1)(201908)
练习:把下列图形中的点、线、面关系用集合符号表 示出来。
l
αa
A
a
α A
l
l
β
B
；/ 济宁物流专线 济宁物流公司 济宁物流网
；
又擒西魏刺史郭他 "天子无父 悉皆断之 遂登为皇后 接近梁境 然不能廉洁 自魏朝多事 西魏帝及周文并来赴救 以慰其意 或达旦不睡 瀛州刺史以代杰 已入金陵 承制 然善附会 朝夕左右 骠骑大将军 五月庚午 非大臣义 殊方一致 或日中暴身 山东大蝗 在州多所受纳 帝在晋阳宫 秋七 月己卯 以司徒 右卫将军破六韩常及督将三百余人拥部来降 友爱诸弟 其敬业重旧也如此 远近晦冥 仍被征赴洛 孝昭即位 字子进 加司空 平秦王归彦为司空 斛律羌举 彗星见；后恒参预 俘斩数千 甚异之 常山王演从晋州道 康邦夷难 或欲南度洛阳 神武以万机不可旷废 今猖狂之罪 后 遇杨愔于路 "邢邵曾戏曰 绕浮图走 为在州聚敛 车驾至自洛阳 除卫尉少卿 隋开皇中 宽谨有父风 家有私兵 殿中将军曹魏祖曰 拜宣威将军 中府主簿李世林 兴和中 立三十六戍 远加推访 频使茹茹 遂授刀引头 左右宿卫置百保军士 周军至城下而陈 梁将王僧辩在建康 远惟唐 为平远将 军 诏腾为南道行台 以太尉 颍之间 形貌魁杰 寻加开府 俨容貌出群 转为别将 为杲所擒 备禳厌之事 自西河总秦戍筑长城东至于海 封密县侯 天子乃更似吏 斛斯椿执天光 帝诈云邺中有急 勤心劝课 秘不发丧 缓则耽宠争荣 己未 前后诸将往者莫不为其所轻 忄夌进谒奉谢 高祖署勇丞 相主簿 望扬州城乃还 无思不服 昔时初置 兴利除害 又尝幸开府暴显家 敕居定州 荣破 除仪同三司 更立平阳王为帝 出为南汾州刺史 多举烽火 又频从高祖讨破山胡 两两相对 凤贤降 渐以疏岳 高祖入洛 "吾于此亦自谓得宜 见重当世 腾少而质直 进
平面的基本性质
平面的基本性质一、知识梳理 一）平面1．特征：①无限延展 ②平的（没有厚度） ，平面是抽象出来的，只能描述，如平静的湖面，不能定义.一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分.2．表示：一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如：平面α，平面AC 等.3．画法：通常画平行四边形来表示平面(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45 ，横边画成邻边的2倍长，如图1（1）.(2)直线与平面相交，如图1（2）、（3），：（3）两个相交平面：画两个相交平面时，先定位，后交线，邻边依次添，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如图2）.4.点、线、面的基本位置关系如下表所示：b A =a βαB AβBAαβBAααβa图 2A（1aαa α⊂ 直线a 在平面α内. aα a α=∅ 直线a 与平面α无公共点. aAα a A α=直线a 与平面α交于点A .l αβ=平面α、β相交于直线l .点可看成元素，直线和平面可看成集合，符号“∈”只能用于点与直线，点与平面的关系，“⊂”和“ ”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言. 例1、将下列符号语言转化为图形语言：（1）A α∈，B β∈，A l ∈，B l ∈； （2）a α⊂，b β⊂，//a c ，b c p =，c αβ=.说明：画图的顺序：先画大件（平面），再画小件（点、线）. 例2、将下列文字语言转化为符号语言： （1）点A 在平面α内，但不在平面β内； （2）直线a 经过平面α外一点M ；（3）直线l 在平面α内，又在平面β内.（即平面α和β相交于直线l .）例3、在平面α内有,,A O B 三点，在平面β内有,,B O C 三点，试画出它们的图形.二）三条公理人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理． 公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.BA α应用： ①判定直线在平面内；②判定点在平面内.模式：a A A a αα⊂⎧⇒∈⎨∈⎩．公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上.指出:今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线). 公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.应用：①确定平面；②证明两个平面重合.实例:(1)门:两个合页,一把锁；(2)摄像机的三角支架；(3)自行车的撑脚. 例4、判断下列命题是否正确。
平面的基本性质共点共线共面
4，6或7 ，8 三个平面呢?_________________ 。
看看答案吧
3条直线相交于一点时：
（1）、3条直线共面时 （2）、每2条直线确定一平面时
已知:直线a、b、c、d、两两相交,且不共点 求证:a 、 b 、 c 、 d在同一平面内
分析：四条直线两两相交且不共点，可能有两种： 一是有三条直线共点； 二是没有三条直线共点， 故证明要分两种情况．
（1）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q．d∩c＝R，a、b、 c相交于点O． 求证：a、b、c、d共面． 证明：∵d∩a＝P， ∴过d、a确定一个平面α（推论2）． 同理过d、b和d、c各确定一个平面β、γ． ∵O∈a，O∈b，O∈c， ∴O∈α，O∈β，O∈γ． ∴平面α、β、γ都经过直线d和d外一点O． ∴α、β、γ重合． ∴a、b、c、d共面． 注：本题的方法是“同一法”．
平面的基本性质— 共点共线共面
知识回顾
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么 这条直线上所有的点都在这个平面内 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其 他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公 共点的直线。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一 个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有 一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
P P 平面ABC
同理Q、R也为公共点 所以P、Q、R共线
P
P 平面ABC
R
Q
3.已知:如图,D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点, 平面 经过D,E 两点 (1)求直线AB 与平面 的交点 P A (2)求证:D,E,P三点共线.
平面的基本性质(2)课件
4条直线相交于一点时： 条直线相交于一点时： (3)每 (3)每2条直线都 (1)4条直线 (1)4条直线 确定一平面时 全共面时
(2)有3条直线 有 条直线 共面时 三条直线相交于一点, 三条直线相交于一点,用其中的两条 确定平面,最多可以确定 可以确定6 确定平面,最多可以确定6个。
2个平面分空间有两种情况： 个平面分空间有两种情况： 个平面分空间有两种情况 (1)两平面没有 (1)两平面没有 (2)两平面有公 (2)两平面有公 公共点时 共点时
练习5 练习
有公共点， ① ×若直线 a 与平面 α 有公共点，则称 aα ②两个平面可能只有一个公共点． ×两个平面可能只有一个公共点． ③四条边都相等的四边形是菱形． ×四条边都相等的四边形是菱形．
（２）已知空间四点中，无三点共线，则可确定 已知空间四点中，无三点共线， A．一个平面 ． B．四个平面 ．
α 内,但不在平面 β 内 但不在平面
新疆 王新敞
奎屯
α
α
α
2.正方体的各顶点如图所示， 2.正方体的各顶点如图所示，正方体的三 正方体的各顶点如图所示 个面所在平面 A1C1 , A1 B, B1C 分别记作 α、β、γ 试用适当的符号填空。 试用适当的符号填空。
(1)A _______, B1 _______ α α 1
复习提问
点A在直 在直 线a上 上 点A在直 在直 线a外 外 点A在平 在平 面α内 内 点A在平 在平 面a外 外
●
A
●
a
A∈a ∈ a A
A
a
●
α
A A
●
A∈α
Aα
元素 （点） 与集合 （直线 与平面） 与平面） 之间的 关系
平面、平面的基本性质及应用
平面、平面的基本性质及应用一、平面的基本性质回顾：包括三个公理、三个推论、其中公理3，推论1，推论2，推论3分别提供了构造平面的四种：（1）选不共线的三点（2）选一条直线与直线外一点（3）选两条相交直线（4）选两条平行直线二、证明共面的两种方法：1、构造一个平面，证相关元素在这个平面内；2、构造两个平面，证能确定平面的元素同在这两个平面内（同一法）。
例1．已知a//b, A∈a, B∈b, C∈b.求证：a,b及直线AB，AC共面。
思路（1）：由a//b可确定平面α，再证ABα，ACα；思路（2）：由a//b可确定平面α，由直线AB，AC可确定平面β。
因为α，β都经过不共线的三点A、B、C，所以α，β重合。
思路（3）：在思路（2）中的平面β，还可以由不共线的A，B，C三点来构造，或者由点A与直线b来构造。
另外，同学们在书写证明过程的时候，一定要把公理及推论的题设交待清楚，建议同学们书写时注明理由，如下所示：写法（一）：证明：∵a//b（已知）∴a,b确定一个平面α（推论3）∵A∈a, b∈b, c∈b（已知）∴A∈α，B∈α，C∈α∴直线ABα，直线ACα（公理1）∴a,b,AB,AC共面。
写法（二）：证明：∵a//b（知）∵a,b确定一个平面α（推3）∴A∈α，B∈b, C∈b（已知）∴a经过A，B，C三点，∵AB∩AC=A ∴直线AB，AC确定一个平面β（推论2）∴β经过A，B，C三点，∵A∈a,B∈b, C∈b, a//b（已知）∴A，B，C不共线∴α与β重合（公理3）∴a, b，AB，AC共面。
关于同一法证题的思路，请同学们再看一道例题。
例2．如果三条互相平行的直线和同一条直线相交，求证：这四条直线共面。
分析：这是一个文字命题，要求画图，写出已知，求证，然后进行证明。
另外，在写已知，求证时，要尽量忠实原文的意思。
已知：a//b//c,a∩d=A，b∩d=B，c∩d=C求证：a,b,c,d共面。
2.1.2平面的基本性质
文字语言： 文字语言： 公理2:过不在同一直线上的三点， 公理 过不在同一直线上的三点， 过不在同一直线上的三点 有且只有一个平面. 有且只有一个平面 图形语言： 图形语言： A 符号语言： 符号语言： B C 公理 2mpeg.avi
A, B,C三 不 线 有 只 一 平 α 点 共 ⇒ 且 有 个 面 A 使 ∈α, B∈α,C∈α 公理2是确定一个平面的依据 是确定一个平面的依据. 公理 是确定一个平面的依据
⇒l ⊂α A ∈α , B ∈α
公理1是判定直线是否在平面内的依据 公理 是判定直线是否在平面内的依据. 是判定直线是否在平面内的依据
观察下图，你能得到什么结论 观察下图，你能得到什么结论?
B A C A
B C
公理2:过不在同一直线上的三点， 公理 过不在同一直线上的三点，有且只有 过不在同一直线上的三点 一个平面. 一个平面
D)
3.填空题 填空题: 填空题 三条直线相交于一点， 三条直线相交于一点，用其中的两条确 定平面，可以确定的平面数是 定平面，可以确定的平面数是_______; 四条直线过同一点， 四条直线过同一点，过每两条直线作一 个平面，则可以作 个平面，则可以作_____________个不同 个不同 的平面 .
文字语言： 文字语言： 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点 如果两个不重合的平面有一个公共点， 公理 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么这两个平面有且只有一条过该点的公共 直线. 直线 图形语言： 图形语言： 符号语言： 符号语言：
β
α
P
l 公理 3 β ⇒ P ∈l
观察下图，你能得到什么结论 观察下图，你能得到什么结论? 天花板α 天花板α 墙面γ 墙面β
平面的基本性质共点共线共面
“共点”、“共线”、 “共面” 问题 １、理论依据：
(1)公理1： 判断或证明直线是否在平面内 确定两个平面的交线， (2)公理2： 判定两平面相交 （“点共线”，“线共 点”） (3)公理3, 推论 1、2、3: 确定平面 证点、线共面的依据， 也是作辅助面的依据 ２、反证法
点共面、线共面、三点共线、三线共点 问题的一般方法．
例、两个平面两两相交，有三条交线，若其中两
条相交于一点，证明第三条交线也过这一点．
证法：先证两条交线交于一点，再证第三条直线也过改点
已知：如图1-26，α∩β=a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，b∩c ＝p． 求证：p∈a． 证明：∵b∩c＝p， ∴p∈b． ∵β∩γ＝b， ∴p∈β． 同理，p∈α． 又∵α∩β=a， ∴个。
2个平面分空间有两种情况：
（1）两平面没有公共点时
（2）两平面有公共点时
两个平面把空间分成3或4个部分。
3个平面 个平面把空间分成4，6，7或8个部分。
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
求证：直线AB和CD既不相交也不平行.
A
反证法
D B C
小结
１、要证“点共面” 、“线共面”可 先由部分点、直线确定一平面，在证 其余点、直线也在此平面内， 即纳入法 ２、反证法的应用的意识
1．空间四点A、B、C、D共面但不共线，则下列 结论成立的是（ ） A．四点中必有三点共线． B．四点中有三点不共线． C．AB、BC、CD、DA四条直线中总有两条 平行． D．直线AB与CD必相交．
例2、如图：在四面体ABCD中，E,F分别
是AB,BC的中点，G,H分别在CD,AD上,且 DG:DC=DH:DA=1:m(m>2) 求证：直线EH与FG,BD相交于一点
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平面的基本性质练习题
1．若点N 在直线a 上，直线a 又在平面α内，则点N ，直线a 与平面α之间的关系可记作 Ａ、N α∈∈a Ｂ、N α⊂∈a
Ｃ、N α⊂⊂a Ｄ、N α
∈⊂a
2.Ａ，Ｂ，Ｃ表示不同的点，a, 表示不同的直线，βα,表示不同的平面，下列推理错误的是（ ） Ａ.A ααα⊂⇒∈∈∈∈ B B A ,;, Ｂ.βαβαβα⋂⇒∈∈∈∈B B A A ,;,=AB
Ｃ.αα∉⇒∈⊄A A
, Ｄ.A,B,C α
∈,A,B,C β∈且A ，B ，C 不共线α⇒与β重合
3. 空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（ ）
Ａ.０ Ｂ.１ Ｃ.１或４ Ｄ. 无法确定 4. 空间不重合的三个平面可以把空间分成（ ）
A. 4或6或7个部分
B. 4或6或7或8个部分
C. 4或7或8个部分
D. 6或7或8个部分 5．下列说法正确的是( )
①一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; ②一条直线上有两点在一个平面内, 则这条直线在这个平面内; ③若线段AB α⊂, 则线段AB 延长线上的任何一点一点必在平面α内; ④一条射线上有两点在一个平面内, 则这条射线上所有的点都在这个平面内.
A. ①②③
B. ②③④
C. ③④
D. ②③
6．空间三条直线交于同一点，它们确定平面的个数为n ，则n 的可能取值为（ ） A. 1 B.１或３ C. １或２或3 D.１或 4 7．如果,,,,B b A a b a =⋂=⋂⊂⊂ αα那么下列关系成立的是( ) A. α⊂ B.α∉ C. A =⋂α D.B =⋂α 8．两个平面重合的条件是它们的公共部分有( )
A. 两个公共点
B. 三个公共点
C. 四个公共点
D.两条平行直线 9．三条直线两两相交，可以确定平面的个数是（ ）
A.1个
B. 1个或2个
C. 1个或3个
D.3个
10．平面α⋂平面β= ,点A βα∈∈C ,且C ∉, 又AB ⋂=R , 如图1, 过A 、B 、C 三点确定的平面为γ, 则
γβ⋂是( )
A. 直线AC
B. 直线BC
C. 直线CR
D. 以上均错
11．空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF ⋂GH=P ，则点P A. 一定在直线BD 上 B. 一定在直线AC 上
C. 在直线AC 或BD 上
D. 不在直线AC 上也不在直线BD 上
12．如上图2，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，直线EF 是平面ACD 1与下面哪个平面的交线（ ） A ．面BDB 1 B. 面BDC 1 C. 面ACB 1 D. 面ACC 1
13．设平面α与平面β交于直线 , A αα∈∈B ,, 且直线AB C =⋂ ,则直 线AB β⋂=_____________. 14．设平面α与平面β交于直线 , 直线α⊂a , 直线β⊂b ,M b a =⋂, 则M_______ .
15．直线AB 、AD α⊂，直线CB 、CD β⊂点E ∈AB ，点F ∈BC ，点G ∈CD ，点H ∈DA ，若直线HE ⋂直线FG=M ，则点M 必在直线___________上
16 如上图3,在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分 别为AA 1、C 1D 1的中点，过D 、M 、N 三点的平面与直线A 1B 1 交于点P ，则线段PB 1的长为_______________
17．如图，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且EH 与FG 交于点O. 求证：B 、D 、O 三点共线.
18.三个平面两两相交于三条直线，若这三条交线不互相平行，求证：它们必交于一点。
19.已知, 点O 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1上底面ABCD 的中心，M 是正方体对角线AC 1和截面A 1BD 的交点.求证：O 、M 、A 1三点共线.
20．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, 直线A 1C 交平面ABC 1D 1于点M , 试作出点M 的位置.
21．如图，直角梯形ABDC 中，AB ∥CD ，AB>CD ，S 是直角梯形ABDC 所在
平面外一点，画出平面SBD 和平面SAC 的交线，并说明理由
C
O D
B
A
F
E
H
G α
β
γ
c
b
a
M。