2019-2020年中考数学总复习：阅读理解型问题中考数学试卷分类汇编
2019-2020年中考数学复习第二部分题型研究题型四新定义与阅读理解题类型二新概念学习型针对演练
2019-2020年中考数学复习第二部分题型研究题型四新定义与阅读理解题类型二新概念学习型针对演练针对演练1. 若x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根，且|x 1|＋|x 2|＝2|k |(k 是整数)，则称方程x 2＋bx ＋c ＝0为“偶系二次方程”．如方程x 2－6x －27＝0，x 2－2x －8＝0，x 2＋3x －274＝0，x 2＋6x －27＝0, x 2＋4x ＋4＝0都是“偶系二次方程”.(1)判断方程x 2＋x －12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；(2)对于任意一个整数b ，是否存在实数c ，使得关于x 的方程x 2＋bx ＋c ＝0是“偶系二次方程”，并说明理由.2. 设二次函数y 1，y 2的图象的顶点分别为(a ，b )、(c ，d )，当a ＝－c ，b ＝2d ，且开口方向相同时，则称y 1是y 2的“反倍顶二次函数”．(1)请写出二次函数y ＝x 2＋x ＋1的一个“反倍顶二次函数”；(2)已知关于x 的二次函数y 1＝x 2＋nx 和二次函数y 2＝nx 2＋x ；函数y 1＋y 2恰是y 1－y 2的“反倍顶二次函数”，求n .3. 函数y ＝k x 和y ＝－k x (k ≠0)的图象关于y 轴对称，我们定义函数y ＝k x 和y ＝－k x(k ≠0)相互为“影像”函数：(1)请写出函数y ＝2x －3的“影像”函数：________；(2)函数________的“影像”函数是y ＝x 2－3x －5;(3)若一条直线与一对“影像”函数y ＝2x (x ＞0)和y ＝－2x(x ＜0)的图象分别交于点A 、B 、C (点A 、B 在第一象限)，如图，如果CB ∶BA ＝1∶2，点C 在函数y ＝－2x(x ＜0)的“影像”函数上的对应点的横坐标是1，求点B 的坐标．第3题图4. 如图，在平面直角坐标系中，已知点P 0的坐标为(1，0)，将线段OP 0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 0的2倍，得到线段OP 1，又将线段OP 1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2，如此下去，得到线段OP 3，OP 4…，OP n (为正整数)．(1)求点P 3的坐标；(2)我们规定：把点P n (x n ，y n )(n ＝0，1，2，3…)的横坐标x n 、纵坐标y n 都取绝对值后得到的新坐标(|x n |，|y n |)称为点P n 的“绝对坐标”，根据图中P n 的分布规律，求出点P n的“绝对坐标”．第4题图考向2) 几何类(杭州：2015.19；台州：2016.23，2015、2013.24；绍兴：2017.22，2013.22，2012.21)针对训练1. (2017绍兴)定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．(1)如图①，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°.①若AB＝CD＝1，AB∥CD，求对角线BD的长；②若AC⊥BD，求证：AD＝CD.(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点P是对角线BD上一点，且BP＝2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形．求AE的长．第1题图2. 阅读下面的材料：如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”，如图①，▱ABEF即为△ABC的“友好平行四边形”．请解决下列问题：(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好矩形”；(2)若△ABC是钝角三角形，则△ABC显然只有一个“友好矩形”，若△ABC是直角三角形，其“友好矩形”有______个；(3)若△ABC是锐角三角形，且AB＜AC＜BC，如图②，请画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的“友好矩形”，并说明理由．第2题图)3. (2017常州)如图①，在四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．(1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中，________一定是等角线四边形(填写图形名称)；②若M、N、P、Q分别是等角线四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点，当对角线AC、BD还需要满足________时，四边形MNPQ是正方形；(2)如图②，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D为平面内一点．①若四边形ABCD 是等角线四边形，且AD ＝BD ，则四边形ABCD 的面积是________； ②设点E 是以C 为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED 是等角线四边形，写出四边形ABED 面积的最大值，并说明理由．第3题图4. (2017黄石)在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为2∶1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”．在“标准矩形”ABCD 中，P 为DC 边上一定点，且CP ＝BC ，如下图所示．(1)如图①，求证：BA ＝BP ；(2)如图②，点Q 在DC 上，且DQ ＝CP ，若G 为BC 边上一动点，当△AGQ 的周长最小时，求CG GB的值；(3)如图③，已知AD ＝1，在(2)的条件下，连接AG 并延长交DC 的延长线于点F ，连接BF ，T 为BF 的中点，M 、N 分别为线段PF 与AB 上的动点，且始终保持PM ＝BN ，请证明：△MNT 的面积S 为定值，并求出这个定值．第4题图5. 对于一个四边形给出如下定义：如一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形，如图①中，∠B ＝∠D ，AB ＝AD ；如图②中，∠A ＝∠C ，AB ＝AD 则这样的四边形均为奇特四边形．(1)在图①中，若AB ＝AD ＝4，∠A ＝60°，∠C ＝120°，请求出四边形ABCD 的面积； (2)在图②中，若AB ＝AD ＝4，∠A ＝∠C ＝45°，请直接写出四边形ABCD 面积的最大值； (3)如图③，在正方形ABCD 中，E 为AB 边上一点，F 是AD 延长线上一点，且BE ＝DF ，连接EF ，取EF 的中点G ，连接CG 并延长交AD 于点H ，若EB ＋BC ＝m ，问四边形BCGE 的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值(用含m 的代数式表示)；如果不是，请说明理由．第5题图6. 类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．(1)如图①，在四边形ABCD 中，添加一个条件使得四边形A B CD 是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件；(2)小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由；(3)如图②，小红作了一个Rt △ABC ，其中∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，并将Rt △ABC 沿∠ABC 的平分线BB ′方向平移得到△A′B′C′，连接AA ′，BC ′.小红要使平移后的四边形ABC ′A′是“等邻边四边形”，应平移多少距离(即线段BB ′的长)?第6题图7. (2017江西)我们定义：如图①，在△ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到AB ′，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC ′，连接B′C′.当α＋β＝180°时，我们称△AB′C ′是△ABC 的“旋补三角形”，△AB ′C ′边B′C′上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”．特例感知 (1)在图②，图③中，△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中线”． ①如图②，当△ABC 为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD ＝____BC ； ②如图③，当∠BAC ＝90°，BC ＝8时，则AD 长为________． 猜想论证(2)在图①中，当△A B C 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明． 拓展应用 (3)如图④，在四边形ABCD 中，∠C ＝90°，∠D ＝150°，BC ＝12，CD ＝23，DA ＝6.在四边形内部是否存在点P ，使△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB 的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．第7题图 答案1. 解：(1)不是．理由如下：∵解方程x 2＋x －12＝0，得x 1＝－4，x 2＝3， ∴|x 1|＋|x 2|＝4＋3＝2×|3.5|， ∵3.5不是整数，∴方程x 2＋x －12＝0不是“偶系二次方程”； (2)存在．理由如下：∵方程x 2－6x －27＝0，x 2＋6x －27＝0是“偶系二次方程”，∴假设c ＝mb 2＋n ，当b ＝－6，c ＝－27时，有－27＝36m ＋n ， ∵x 2＝0是“偶系二次方程”，∴n ＝0，m ＝－34，∴c ＝－34b 2.又∵x 2＋3x －274＝0也是“偶系二次方程”，当b ＝3时，c ＝－274＝－34×32，∴可设c ＝－34b 2，对任意一个整数b ，当c ＝－34b 2时，b 2－4ac ＝b 2－4c ＝4b 2，∴x ＝－b±2|b|2，∴x 1＝－32b ，x 2＝12b ，∴|x 1|＋|x 2|＝32|b |＋12|b |＝2|b |.∵b 是整数，∴对于任意一个整数b ，存在实数c ，当且仅当c ＝－34b 2时，关于x 的方程，x 2＋bx ＋c＝0是“偶系二次方程”．2. 解：(1)∵y ＝x 2＋x ＋1，∴y ＝(x ＋12)2＋34，∴二次函数y ＝x 2＋x ＋1的顶点坐标为(－12，34)，∴二次函数y ＝x 2＋x ＋1的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为(12，32)，∴反倍顶二次函数的解析式为y ＝(x －12)2＋32＝x 2－x ＋74；(2)y 1＋y 2＝x 2＋nx ＋nx 2＋x ＝(n ＋1)x 2＋(n ＋1)x ＝(n ＋1)(x 2＋x )＝(n ＋1)(x ＋12)2－n ＋14， ∴顶点的坐标为(－12，－n ＋14)，y 1－y 2＝x 2＋nx －nx 2－x ＝(1－n )x 2＋(n －1)x ＝(1－n )(x 2－x)＝(1－n)(x －12)2－1－n4， ∴顶点的坐标为(12，－1－n4)，由于函数y 1＋y 2恰是y 1－y 2的“反倍顶二次函数”， 则－2×1－n 4＝－n ＋14， 解得n ＝13.3. 解：(1)y ＝－2x －3；【解法提示】令－x ＝x 得y ＝－2x －3.(2)y ＝x 2＋3x －5；【解法提示】令－x ＝x 得y ＝x 2＋3x －5.(3) 如解图，作CC ′⊥x 轴，BB ′⊥x 轴，AA ′⊥x 轴垂足分别为C′、B′、A′，第3题解图设点B (m ，2m )，A (n ，2n)，其中m ＞0，n ＞0， 由题意，将x ＝－1代入y ＝－2x中解得y ＝2，∴点C (－1，2)，∴CC ′＝2，BB ′＝ 2m ，AA ′＝2n，又∵A′B′＝n －m ，B ′C ′＝m ＋1，CC ′∥BB ′∥AA ′，CB ∶AB ＝1∶2, 则B′C′∶A′B′＝1∶2，则⎩⎪⎨⎪⎧n －m ＝2（m ＋1）2m －2n ＝23（2－2n ），消去n 化简得到3m 2－2m －3＝0,解得m ＝1＋103或1－103(舍弃)，∴2m ＝21＋103＝－2＋2103，∴点B 坐标为(1＋103，－2＋2103)．4. 解：(1)根据题意，得OP 3＝2OP 2＝4OP 1＝8OP 0＝8,根据等腰直角三角形的性质，得P 3(－42，42); (2)由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的角平分线上或x 轴或y 轴上， 但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数， 因此，各点的“绝对坐标”可分三种情况：①当P n 的n ＝0，4，8，12…，则点在x 轴上，则“绝对坐标”为(2n，0) ，②当P n 的n ＝2，6，10，14…，则点在y 轴上，则“绝对坐标”为(0，2n) ； ③当P n 的n ＝1，3，5，7，9…，则点在各象限的角平分线上，则“绝对坐标”为(2n －12，2n －12)．考向2 几何类针对演练1. 解：(1)①∵AB ＝CD ＝1，AB ∥CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， 又∵AB ＝BC ，∴▱ABCD 是菱形． 又∵∠ABC ＝90°，∴四边形ABCD 为正方形， ∴BD ＝2；②如解图①，连接AC ，BD ，第1题解图①∵AB ＝BC ，AC ⊥BD ， ∴∠ABD ＝∠CBD ， 又∵BD ＝BD ， ∴△ABD ≌△CBD ， ∴AD ＝CD ；(2)若EF 与BC 垂直，则AE ≠EF ，BF ≠EF ，∴四边形ABFE 不是等腰直角四边形，不符合条件； 若EF 与BC 不垂直，①当AE ＝AB 时，如解图②，此时四边形ABFE 是等腰直角四边形，第1题解图②∴AE ＝AB ＝5；②当BF ＝AB 时，如解图③，此时四边形ABFE 是等腰直角四边形，第1题解图③∴BF ＝AB ＝5. ∵DE ∥BF ，∴△PED ∽△PFB ，∴ED FB ＝PD PB ＝12， ∴DE ＝2.5，∴AE ＝9－2.5＝6.5.综上所述，AE 的长为5或6.5. 2. 解：(1)三角形的一边与矩形的一边重合，三角形这边所对的顶点在矩形这边的对边上；(2)2；【解法提示】如解图①的矩形BCAF 、矩形ABED 为Rt △ABC 的两个“友好矩形”；第2题解图(3)此时共有3个“友好矩形”，如解图②的矩形BCDE 、矩形CAFG 及矩形ABHK ，其中的矩形ABHK 的周长最小．理由如下： ∵矩形BCDE 、矩形CAFG 及矩形ABHK 均为△ABC 的“友好矩形”，∴这三个矩形的面积相等，令其为S ，设矩形BCDE ，矩形CAFG 及矩形ABHK 的周长分别为L 1，L 2，L 3，△ABC 的边长BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则L 1＝2S a ＋2a ，L 2＝2S b ＋2b ，L 3＝2S c＋2c ，∴L 1－L 2＝(2S a ＋2a )－(2S b ＋2b )＝2S ab (b －a )＋2(a －b )＝2(a －b)·ab －S ab，而ab ＞S ，a ＞b ，∴L 1－L 2＞0，即L 1＞L 2，同理可得，L 2＞L 3，∴L 3最小，即矩形ABHK 的周长最小． 3. 解：(1)①矩形；【解法提示】平行四边形和菱形的对角线不相等，矩形的对角线相等，故矩形一定是等角线四边形．②垂直；【解法提示】∵四边形ABCD 是等角线四边形，∴AC ＝BD ，∵M 、N 、P 、Q 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴MN ＝PQ ＝12AC ，PN ＝MQ ＝12BD ，∴MN ＝PQ ＝PN ＝MQ ，∴四边形MNPQ 是菱形，根据“有一个角是直角的菱形是正方形”可知需要四边形MNPQ 有一个角是直角，又易知MN ∥PQ ∥AC ，PN ∥QM ∥BD ，∴要使四边形MNPQ 是正方形需要AC ⊥BD .(2)①3＋221； ∵AD ＝BD ，∴D 在AB 的垂直平分线上，∵四边形ABCD 是等角线四边形， ∴AC ＝BD ，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3， ∴AC ＝5， ∴BD ＝5，如解图①，取AB 的中点为M ，则DM ⊥AB ，第3题解图①在Rt △ADM 中，AD ＝BD ＝5，AM ＝BM ＝2，由勾股定理得DM ＝21；∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB ·DM ＋12BC ·BM＝12×4×21＋12×3×2＝3＋221； ②四边形ABED 面积最大值为18，理由如下： 如解图②，设AE 与BD 交于点O ，夹角为α，则第3题解图②S 四边形ABED ＝S △AED ＋S △ABE ＝12AE ·ODsin α＋12AE ·OBsin α＝12AE ·BDsin α，∵AE ＝BD ，∴S 四边形ABED ＝12AE 2sin α，∴当AE 最大，且α＝90°时，四边形ABED 的面积最大， 此时延长AC 交圆C 于E ，则AE 最大为5＋1＝6， ∴四边形ABED 的最大面积为12×62＝18.4. (1)证明：如解图①所示，第4题解图①∵PC ＝BC ，∠BCP ＝90°， ∴BP ＝2BC ，又∵矩形ABCD 为“标准矩形”，∴AB ＝2BC ， ∴AB ＝BP ；(2)解：如解图②，作点Q 关于直线BC 对称的点F ，连接AF 交BC 于点E ，连接QE 、GF ，第4题解图②∵DQ ＝CP ，∴CQ ＝DP ＝CF 且AQ 为定值， ∴EQ ＝EF ，GQ ＝GF ，∵AQ 为定值，要使△AGQ 的周长最小时， ∴只需AG ＋GQ ＝AG ＋GF 最小，显然AG ＋GF ≥AF ＝AE ＋EF ＝AE ＋EQ ，即当点G 与点E 重合时，△AGQ 的周长最小， 此时CG GB ＝CE EB ＝CF AB ＝DPAB，∵DP AB ＝CD －CP AB ＝AB －BC AB ＝1－BC AB ＝1－22，∴当△AGQ 的周长最小时，CG GB ＝1－22； (3)证明：如解图③，MN 交AF 于点K ，连接KT ，第4题解图③由(2)可知，CF ＝DP ， ∴PF ＝AB 且PF∥AB ，∴四边形ABFP 为平行四边形， 又由PM ＝BN ， ∴MF ＝AN ，∴△MFK ≌△NAK ，∴点K 为AF 与MN 的中点， 又∵点T 为BF 的中点， ∴KT 为△FAB 的中位线， ∴S △FKT ＝S △TMK ＝S △TKN ，∴S △MNT ＝2S △FKT ＝12S △FAB ＝14S 平行四边形ABFP ＝14×2＝24，∴△MNT 的面积S 为定值，这个定值为24. 5. 解：(1)如解图①，设AC 与BD 交于点O ；第5题解图①∵AB ＝AD ，∠A ＝60°， ∴△ABD 是等边三角形，∴AB ＝AD ＝BD ＝4, ∠ABD ＝∠ADB ＝60°， ∵∠ABC ＝∠ADC ， ∴∠CBD ＝∠CDB ， ∵∠BCD ＝120°，∴∠CBD ＝∠CDB ＝30°， ∴CB ＝CD ， ∵AB ＝AD ， ∴AC ⊥BD ，∴BO ＝OD ＝2，OA ＝AB ·sin60°＝23，OC ＝OB ·tan30°＝233，∴S 四边形ABCD ＝12·BD ·OA ＋12·BD ·OC ＝12·BD ·(OA ＋OC )＝1633；(2)2；【解法提示】如解图②，作DH ⊥AB 于H ，过点B 、D 、C 作圆，连接BD ，第5题解图②∵∠C ′＝∠C ＝45°， ∴当C′B ＝C′D 时，△BDC ′的面积最大，此时四边形ABC ′D 的面积最大， 易证四边形ABC′D 是菱形， 在Rt △AHD 中，∵∠A ＝45 °，∠AHD ＝90°，AD ＝4， ∴AH ＝HD ＝22，∴四边形ABC′D 的面积＝AB·DH ＝82， ∴四边形ABCD 的面积的最大值为8 2. (3)四边形BCGE 的面积是定值，理由如下： 如解图③，连接EC 、CF ，作FM ⊥BC 于M .第5题解图③在△BCE 和△DCF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DF ∠EBC ＝∠FDC，BC ＝DC∴△BCE ≌△DCF (SAS)， ∴CE ＝CF ， ∵EG ＝GF ， ∴S △ECG ＝S △FCG ，∵四边形CDFM 是矩形，∴BC ＝DC ＝MF ，DF ＝BE ＝CM ， ∴BM ＝m ，BE ＋FM ＝m ，∴△FCM ，△DCF ，△BCE 的面积相等， ∴S 四边形BCGE ＝12·S 四边形BEFM ＝12·12·m ·m ＝14m 2.6. 解：(1)AB ＝BC 或BC ＝CD 或CD ＝AD 或AD ＝AB ； (2)解：小红的结论正确． 理由如下：∵四边形的对角线互相平分， ∴这个四边形是平行四边形， ∵四边形是“等邻边四边形”， ∴这个四边形有一组邻边相等， ∴这个“等邻边四边形”是菱形；(3)由∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，得：AC ＝5， ∵将Rt △ABC 平移得到Rt △A ′B ′C ′，∴BB ′＝AA′，A′B′∥AB，A ′B ′＝AB ＝2，B ′C ′＝BC ＝1，A ′C ′＝AC ＝5， (Ⅰ)如解图①，当AA′＝AB 时，BB ′＝AA′＝AB ＝2；第6题解图①(Ⅱ)如解图②，当AA′＝A′C′时，BB ′＝AA′＝A′C′ ＝5；第6题解图②(Ⅲ)当A′C′＝BC′＝5时，如解图③，延长C′B′交AB 与点D ，则C′B ′⊥AB ，第6题解图③∵BB ′平分∠ABC ，∴∠ABB ′＝12∠ABC ＝45°，∴∠BB ′D ＝∠ABB′＝45°， ∴B ′D ＝BD ，设B′D＝BD ＝x ，则C′D ＝x ＋1，BB ′＝2x ，∵根据在Rt △BC ′D 中，BC ′2＝C′D 2＋BD 2即x 2＋(x ＋1)2＝5， 解得：x ＝1或x ＝－2(不合题意，舍去)， ∴BB ′＝2x ＝2；第6题解图④(Ⅳ)当 BC′＝AB ＝2时，如解图④，与(Ⅲ)方法同理可得： x ＝－1＋72或x ＝－1－72(舍去)，∴BB ′＝2x ＝－2＋142.故应平移2或5或2或－2＋142的距离．7. 解：(1)①12，②4；【解法提示】①如解图①中，第7题解图①∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝AB′＝AC′， ∵DB ′＝DC′， ∴A D ⊥B ′C ′，∵∠BAC ＝60°，∠BAC ＋∠B′AC ′＝180°， ∴∠B ′AC ′＝120°， ∴∠B ′＝∠C′＝30°， ∴AD ＝12AB ′＝12BC .②如解图②中，第7题解图②∵∠BAC ＝90°，∠BAC ＋∠B′AC′＝180°， ∴∠B ′AC ′＝∠BAC ＝90°， ∵AB ＝AB′，AC ＝AC′， ∴△BAC ≌△B ′AC ′， ∴BC ＝B′C ′， ∵B ′D ＝DC′，∴AD ＝12B ′C ′＝12BC ＝4；(2)猜想：AD ＝12BC .理由：如解图③中，延长AD 到M ，使得AD ＝DM ，连接B′M，C ′M ，第7题解图③∵B ′D ＝DC ′，AD ＝DM ，∴四边形AC′MB′是平行四边形， ∴AC ′＝B′M＝AC ，∵∠BAC ＋∠B′AC′＝180°， ∠B ′AC ′＋∠AB′M ＝180°， ∴∠BAC ＝∠MB ′A, ∵AB ＝AB ′，∴△BAC ≌△AB ′M ， ∴BC ＝AM ， ∴AD ＝12BC ；(3)存在．理由：如解图④中，延长AD 交BC 的延长线于M ，作BE ⊥AD 于E ，作线段BC 的垂直平分线交BE 于P ，交BC 于F ，连接PA 、PD 、PC ，作△PCD 的中线PN ，连接DF 交PC 于O ，第7题解图④∵∠ADC ＝150°， ∴∠MDC ＝30°， ∴在Rt △DCM 中，∵CD ＝23，∠DCM ＝90°，∠MDC ＝30°， ∴CM ＝2，DM ＝4，∠M ＝60°， 在Rt △BEM 中，∵∠BEM ＝90°，BM ＝BC ＋CM ＝14，∠MBE ＝30°， ∴EM ＝12BM ＝7，∴DE ＝EM －DM ＝3， ∵AD ＝6， ∴AE ＝DE , ∵BE ⊥AD ，∴PA ＝PD ，PB ＝PC ， 在Rt △CDF 中，∵CD ＝23，CF ＝6， ∴∠CDF ＝∠CPE ＝60°， 易证△FCP ≌△CFD ， ∴CD ＝PF ，∵CD ∥PF ， ∴四边形CDPF 是矩形， ∴∠CDP ＝90°，∴∠ADP ＝∠ADC－∠CDP ＝60°， ∴△ADP 是等边三角形， ∴∠APD ＝60°，∵∠BPF＝∠CPF＝60°，∴∠BPC＝120°，∴∠APD＋∠BPC＝180°，∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”，在Rt△PDN中，∵∠PDN＝90°，PD＝AD＝6，DN＝3，∴PN＝DN2＋PD2＝（3）2＋62＝39.。
2019-2020年中考数学试题真题含考点分类汇编详解
2019-2020年中考数学试题真题含考点分类汇编详解参考公式：二次函数)0(2≠++=a c bc ax y 图象的顶点坐标是（ab2-，a b ac 442-）一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. -2的倒数是A. 21-B. 21C. -2D. 2 2. 下图是由四个相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是3. 下列计算正确的是A. ab b a 22=+B. 22)(a a =- C. 326a a a =÷ D. 623a a a =⋅4. 据调查，某班20位女同学所穿鞋子的尺码如下表所示，则鞋子尺码的众数和中位数分别是A. 35码，35码B. 35码，36码C. 36码，35码D. 36码，36码5. 如图，AB ∥CD ，∠A=70°，∠C=40°，则∠E 等于A. 30°B. 40°C. 60°D. 70° 6. 二元一次方程组⎩⎨⎧-=-=+236y x y x 的解是A. ⎩⎨⎧==15y x B.⎩⎨⎧==24y x C. ⎩⎨⎧-=-=15y x D. ⎩⎨⎧-=-=24y x7. 下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P 作已知直线的垂线。
则对应作法错误．．的是A. ①B. ②C. ③D. ④8. 如图，在直角坐标系中，点A 在函数)0(4>=x xy 的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与函数)0(4>=x xy 的图象交于点D 。
连结AC ，CB ，BD ，DA ，则四边形ACBD 的面积等于A. 2B. 32C. 4D. 34 9. 如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=6，将△ABC 沿AC 折叠，使点B 落在点E 处，CE 交AD 于点F ，则DF 的长等于A. 53B. 35C. 37D.4510. 运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB 是⊙O 的直径，CD ，EF 是⊙O 的弦，且AB ∥CD ∥EF ，AB=10，CD=6，EF=8。
中考数学复习专题9：阅读理解型问题(含详细参考答案)
中考数学复习专题九：阅读理解型问题一、中考专题诠释阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.二、解题策略与解法精讲解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.三、中考考点精讲 考点一： 阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题例1 （•十堰）阅读材料：例：说明代数式221(3)4x x ++-+的几何意义，并求它的最小值．解：221(3)4x x ++-+=222(0)1(3)2x x -++-+，如图，建立平面直角坐标系，点P （x ，0）是x 轴上一点，则2(0)1x -+可以看成点P 与点A （0，1）的距离， 22(3)2x -+可以看成点P 与点B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA+PB 的最小值．设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB 的最小值，只需求PA′+PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，所以PA′+PB 的最小值为线段A′B 的长度．为此，构造直角三角形A′CB ，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=32，即原式的最小值为32．根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）代数式22(1)1(2)9x x -++-+的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （1，1）、点B 的距离之和．（填写点B 的坐标）（2）代数式22491237x x x ++-+的最小值为 ．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．专题：探究型．解析：（1）先把原式化为222(1)1(2)3x x -++-+的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论；（2）先把原式化为222(0)7(6)1x x -++-+的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （0，7）、点B （6，1）的距离之和，再根据在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．解答：解：（1）∵原式化为222(1)1(2)3x x -++-+的形式， ∴代数式222(1)1(2)3x x -++-+的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （1，1）、点B （2，3）的距离之和，故答案为（2，3）；（2）∵原式化为222(0)7(6)1x x -++-+的形式， ∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （0，7）、点B （6，1）的距离之和， 如图所示：设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA=P A′，∴PA+PB 的最小值，只需求PA′+PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，∴PA′+PB 的最小值为线段A′B 的长度，∵A （0，7），B （6，1）∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8，∴A′B=222268A C BC '+=+=10，故答案为：10．点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是根据题中所给给的材料画出图形，再利用数形结合求解．考点二、阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法例2 （•赤峰）阅读材料：（1）对于任意两个数a 、b 的大小比较，有下面的方法：当a-b ＞0时，一定有a ＞b ；当a-b=0时，一定有a=b ；当a-b ＜0时，一定有a ＜b ．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．（2）对于比较两个正数a 、b 的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：∵a 2-b 2=（a+b ）（a-b ），a+b ＞0∴（a 2-b 2）与（a-b ）的符号相同当a 2-b 2＞0时，a-b ＞0，得a ＞b当a 2-b 2=0时，a-b=0，得a=b当a 2-b 2＜0时，a-b ＜0，得a ＜b解决下列实际问题：（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x ，每张B5纸的面积为y ，且x ＞y ，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：①W1= （用x、y的式子表示）W2= （用x、y的式子表示）②请你分析谁用的纸面积最大．（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，现设计两种方案：方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1=AB+AP．方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2=AP+BP．①在方案一中，a1= km（用含x的式子表示）；②在方案二中，a2= km（用含x的式子表示）；③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．考点：轴对称-最短路线问题；整式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）①根据题意得出3x+7y和2x+8y，即得出答案；②求出W1-W2=x-y，根据x和y的大小比较即可；（2）①把AB和AP的值代入即可；②过B作BM⊥AC于M，求出AM，根据勾股定理求出BM．再根据勾股定理求出BA′，即可得出答案；③求出a12-a22=6x-39，分别求出6x-39＞0，6x-39=0，6x-39＜0，即可得出答案．解答：（1）解：①W1=3x+7y，W2=2x+8y，故答案为：3x+7y，2x+8y．②解：W1-W2=（3x+7y）-（2x+8y）=x-y，∵x＞y，∴x-y＞0，∴W1-W2＞0，得W1＞W2，所以张丽同学用纸的总面积大．（2）①解：a1=AB+AP=x+3，故答案为：x+3．②解：过B 作BM ⊥AC 于M ，则AM=4-3=1，在△ABM 中，由勾股定理得：BM 2=AB 2-12=x 2-1，在△A′MB 中，由勾股定理得：AP+BP=A′B=22248A M BM x '+=+，故答案为：248x +．③解：a 12-a 22=（x+3）2-（248x +）2=x 2+6x+9-（x 2+48）=6x-39，当a 12-a 22＞0（即a 1-a 2＞0，a 1＞a 2）时，6x-39＞0，解得x ＞6.5，当a 12-a 22=0（即a 1-a 2=0，a 1=a 2）时，6x-39=0，解得x=6.5，当a 12-a 22＜0（即a 1-a 2＜0，a 1＜a 2）时，6x-39＜0，解得x ＜6.5，综上所述当x ＞6.5时，选择方案二，输气管道较短，当x=6.5时，两种方案一样，当0＜x ＜6.5时，选择方案一，输气管道较短．点评：本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题，整式的运算等知识点的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和阅读能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．考点三、阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论例3 （•凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．如图（1），要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A 、B 两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l 上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l 看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l 上找一点P ，使AP 与BP 的和最小．他的做法是这样的：①作点B 关于直线l 的对称点B′．②连接AB′交直线l 于点P ，则点P 为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，BC=6，BC 边上的高为4，请你在BC 边上确定一点P ，使△PDE 得周长最小．（1）在图中作出点P （保留作图痕迹，不写作法）．（2）请直接写出△PDE 周长的最小值： ．考点：轴对称-最短路线问题．分析：（1）根据提供材料DE 不变，只要求出DP+PE 的最小值即可，作D 点关于BC 的对称点D′，连接D′E ，与BC 交于点P ，P 点即为所求；（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E 的值，即可得出答案．解答：解：（1）如图，作D 点关于BC 的对称点D′，连接D′E ，与BC 交于点P ，P 点即为所求；（2）∵点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，∴DE 为△ABC 中位线，∵BC=6，BC 边上的高为4，∴DE=3，DD′=4，∴D′E=222234DE DD '+=+=5，∴△PDE 周长的最小值为：DE+D′E=3+5=8，故答案为：8．点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求△PDE 周长的最小值，求出DP+PE 的最小值即可是解题关键．考点四、阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题例4 （•重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E 为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；直角梯形．专题：代数几何综合题．分析：（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长；（2）首先利用△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案；（3）分别从当0≤t≤43时，当43＜t≤2时，当2＜t≤103时，当103＜t≤4时去分析求解即可求得答案．解答：解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x，∵AB=3，BC=6，∴AG=AB-BG=3-x，∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC，∴AG GF AB BC=，即336x x -=，解得：x=2，即BE=2；（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，∴CE=83，∴t=BB′=BC-B′E-EC=6-2-83=43，∵ME=2-12t，∴FM=12t，当0≤t≤43时，S=S△FMN=12×t×12t=14t2，②如图④，当G在AC上时，t=2，∵EK=EC•tan∠DCB=EC•DHCH=34（4-t）=3-34t，∴FK=2-EK=34t-1，∵NL=23AD=43，∴FL=t-43，∴当43＜t≤2时，S=S△FMN-S△FKL=14t2-12（t-43）（34t-1）=-18t2+t-23；③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，即B′C：4=2：3，解得：B′C=83，∴EC=4-t=B′C-2=23，∴t=103，∵B′N=12B′C=12（6-t）=3-12t，∵GN=GB′-B′N=12t-1，∴当2＜t≤103时，S=S梯形GNMF-S△FKL=12×2×（12t-1+12t）-12（t-43）（34t-1）=-38t2+2t-53，④如图⑥，当103＜t≤4时，∵B′L=34B′C=34（6-t），EK=34EC=34（4-t），B′N=12B′C=12（6-t）EM=12EC=12（4-t），S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL-S梯形B′EMN=-12t+52．综上所述：当0≤t≤43时，S=14t2，当43＜t≤2时，S=-18t2+t-23；当2＜t≤103时，S=-38t2+2t-53，当103＜t≤4时，S=-12t+52．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法．四、中考真题演练1．（•宁波）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形．（1）判断与推理：①邻边长分别为2和3的平行四边形是阶准菱形；②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把▱ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形．（2）操作、探究与计算：①已知▱ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出▱ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；②已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=6b+r，b=5r，请写出▱ABCD是几阶准菱形．考点：图形的剪拼；平行四边形的性质；菱形的性质；作图—应用与设计作图．分析：（1）①根据邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作即可得出所剩四边形是菱形，即可得出答案；②根据平行四边形的性质得出AE∥BF，进而得出AE=BF，即可得出答案；（2）①利用3阶准菱形的定义，即可得出答案；②根据a=6b+r，b=5r，用r表示出各边长，进而利用图形得出▱ABCD是几阶准菱形．解答：解：（1）①利用邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形；故答案为：2；②由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF，∴∠AEB=∠FBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，∴AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴四边形ABFE是菱形；（2）①如图所示：，②∵a=6b+r，b=5r，∴a=6×5r+r=31r；如图所示：故▱ABCD是10阶准菱形．点评：此题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知n阶准菱形定义正确将平行四边形分割是解题关键．2．（•淮安）阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题；规律型．分析：（1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B=2∠C；（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C；（3）利用（2）的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是88°、88°．解答：解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，∴∠B=∠AA1B1；又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠A1B1C=∠C；∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），∴∠B=2∠C；故答案是：是；（2）∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C 重合，则∠BAC是△ABC的好角．证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2，∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1 B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；（3）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∴∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角，∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．点评：本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大．3．（•南京）下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m 的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得x•2x=288．解这个方程，得x1=-12（不合题意，舍去），x2=12所以温室的长为2×12+3+1=28（m），宽为12+1+1=14（m）答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．结果为何正确呢？（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程： 变化一下会怎样…（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD 的内部，AB ∥A′B′，AD ∥A′D′，且AD ：AB=2：1，设AB 与A′B′、BC 与B′C′、CD 与C′D′、DA 与D′A′之间的距离分别为a 、b 、c 、d ，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD ，a 、b 、c 、d 应满足什么条件？请说明理由．考点：相似多边形的性质；一元二次方程的应用．分析：（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为xm ，则长为2xm ，然后由题意得方程23124112y y y y ---=--- =2，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1，再利用小明的解法求解即可；（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD ，利用相似多边形的性质，可得A D ADA B AB''=''，即 ()2()1AD a c AB b d -+=-+，然后利用比例的性质，即可求得答案．解答：解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由． 在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm ，则长为2xm ．”前补充以下过程： 设温室的宽为ym ，则长为2ym ．则矩形蔬菜种植区域的宽为（y-1-1）m ，长为（2y-3-1）m ． ∵23124112y y y y ---=--- =2，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1；（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD ， 就要A D ADA B AB''=''，即()2()1AD a c AB b d -+=-+， 即2()2()1AB a c AB b d -+=-+，即a cb d++=2． 点评：此题考查了相似多边形的性质．此题属于阅读性题目，注意理解题意，读懂题目是解此题的关键．4．（•鸡西）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2-7x+12=0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．（1）求A、B两点的坐标．（2）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．（3）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题；解一元二次方程-因式分解法；平行四边形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）解一元二次方程，求出OA、OB的长度，从而得到A、B点的坐标；（2）△APQ与△AOB相似时，存在两种情况，需要分类讨论，不要遗漏，如图（2）所示；（3）本问关键是找齐平行四边形的各种位置与性质，如图（3）所示．在求M1，M2坐标时，注意到M1，M2与Q点坐标的对应关系，则容易求解；在求M3坐标时，可以利用全等三角形，得到线段之间关系．解答：解：（1）解方程x2-7x+12=0，得x1=3，x2=4，∵OA＜OB，∴OA=3，OB=4．∴A（0，3），B（4，0）．（2）在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，∴AB=5，∴AP=t，QB=2t，AQ=5-2t．△APQ与△AOB相似，可能有两种情况：（I）△APQ∽△AOB，如图（2）a所示．则有AP AQAO AB=，即5235t t-=，解得t=1511．此时OP=OA-AP=1811，PQ=AP•tanA=2011，∴Q（2011，1811）；（II）△APQ∽△ABO，如图（2）b所示．则有AP AQAB AO=，即5253t t-=，解得t=2513．此时AQ=2513，AH=AQ•cosA=913，HQ=AQ•sinA=1213，OH=OA-AH=3013，∴Q（1213，3013）．综上所述，当t=1511秒或t=2513秒时，△APQ与△AOB相似，所对应的Q点坐标分别为（2011，1811）或（1213，3013）．（3）结论：存在．如图（3）所示．∵t=2，∴AP=2，AQ=1，OP=1．过Q点作QE⊥y轴于点E，则QE=AQ•sin∠QAP=45，AE=AQ•cos∠QAP=35，∴OE=OA-AE=125，∴Q（45，125）．∵▱APQM1，∴QM1⊥x轴，且QM1=AP=2，∴M1（45，25）；∵▱APQM2，∴QM2⊥x轴，且QM2=AP=2，∴M2（45，225）；如图（3），过M3点作M3F⊥y轴于点F，∵▱AQPM3，∴M3P=AQ，∠QAE=∠M3PF，∴∠PM3F=∠AQE；在△M3PF与△QAE中，∵∠QAE=∠M3PF，M3P=AQ，∠PM3F=∠AQE，∴△M3PF≌△QAE，∴M3F=QE=45，PF=AE=35，∴OF=OP+PF=85，∴M3（-45，85）．∴当t=2时，在坐标平面内，存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形．点M的坐标为：M1（45，25），M2（45，225），M3（-45，85）．点评：本题是动点型压轴题，综合考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程、平行四边形等知识点．本题难点在于分类讨论思想的应用，第（2）（3）问中，均涉及到多种情况，需要逐一分析不能遗漏；另外注意解答中求动点时刻t和点的坐标的过程中，全等三角形、相似三角形、三角函数等知识发挥了重要作用，这是解答压轴题的常见技巧，需要熟练掌握．5．（•长春）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8cm ，BC=4cm ．D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，连接DE ．点P 从点A 出发，沿折线AD-DE-EB 运动，到点B 停止．点P 在线段AD 上以5cm/s 的速度运动，在折线DE-EB 上以1cm/s 的速度运动．当点P 与点A 不重合时，过点P 作PQ ⊥AC 于点Q ，以PQ 为边作正方形PQMN ，使点M 在线段AQ 上．设点P 的运动时间为t （s ）．（1）当点P 在线段DE 上运动时，线段DP 的长为 cm （用含t 的代数式表示）． （2）当点N 落在AB 边上时，求t 的值．（3）当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式．（4）连接CD ，当点N 与点D 重合时，有一点H 从点M 出发，在线段MN 上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M 连续做往返运动，直至点P 与点E 重合时，点H 停止往返运动；当点P 在线段EB 上运动时，点H 始终在线段MN 的中点处，直接写出在点P 的整个运动过程中，点H 落在线段CD 上时t 的取值范围．考点：相似形综合题．分析：（1）点P 在AD 段的运动时间为2s ，则DP 的长度为（t-2）cm ；（2）当点N 落在AB 边上时，有两种情况，如图（2）所示．利用运动线段之间的数量关系求出时间t 的值；（3）当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如图（3）所示．分别用时间t 表示各相关运动线段的长度，然后利用“S=S 梯形AQPD -S △AMF =12（PG+AC ）•PC -12AM•FM”求出面积S 的表达式；（4）本问涉及双点的运动，首先需要正确理解题意，然后弄清点H 、点P 的运动过程：当4＜t ＜6时，此时点P 在线段DE 上运动，如图（4）a 所示．此时点H 将两次落在线段CD 上；当6≤t≤8时，此时点P 在线段EB 上运动，如图（4）b 所示．此时MN 与CD 的交点始终是线段MN 的中点，即点H ．解答：解：（1）∵在Rt △ABC 中，AC=8cm ，BC=4cm ， ∴AB=22228445AC BC +=+=，D 为AB 中点，∴AD=25，∴点P 在AD 段的运动时间为255=2s ． 当点P 在线段DE 上运动时，DP 段的运动时间为（t-2）s ， ∵DE 段运动速度为1cm/s ，∴DP=（t-2）cm ．（2）当点N 落在AB 边上时，有两种情况，如下图所示：①如图（2）a，此时点D与点N重合，P位于线段DE上．由三角形中位线定理可知，DM=12BC=2，∴DP=DM=2．由（1）知，DP=t-2，∴t-2=2，∴t=4；②如图（2）b，此时点P位于线段EB上．∵DE=12AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s，∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4．∵PN∥AC，∴PN：PB=AC：BC=2，∴PN=2PB=16-2t．由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=203．所以，当点N落在AB边上时，t=4或t=203．（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如下图所示：①当2＜t＜4时，如图（3）a所示．DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t．∵MN∥BC，∴FM：AM=BC：AC=1：2，∴FM=12AM=12t．S=S梯形AQPD-S△AMF=12（DP+AQ）•PQ-12AM•FM=12[（t-2）+（2+t）]×2-12t•12t=-14t2+2t；②当203＜t＜8时，如图（3）b所示．PE=t-6，∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t，∴FM=12AM=6-12t，PG=2PB=16-2t，S=S梯形AQPD-S△AMF=12（PG+AC）•PC-12AM•FM=12[（16-2t）+8]×（t-4）-12（12-t）•（6-12t）=-54t2+22t-84．综上所述，S与t的关系式为：S=2212(24)45202284(8)43t t tt t t⎧-+<<⎪⎪⎨⎪-+-<<⎪⎩。
2019年中考数学《阅读理解专题训练》 附答案
所以可将代数式 的值看作点 到点 的距离．
利用材料一，解关于x的方程： ，其中 ；
利用材料二，求代数式 的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范图；
将 所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入 中解出x，直接写出x的值．
2．规定：求若干个相同的有理数（不等于0）的除法运算叫做除方，如 ， 等．类比有理数的乘方， 记作 ④，读作“ 的圈4次方”，一般地，我们把 （ ）记作 ⓝ，读作“a的圈n次方”．
① __________（用含有k,n的代数式表示）；
②若 4420，求 的值。
4．阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为： 其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．
①把 拆成两个分子为1的正的真分数之差，即 _______；
②把 拆成两个分子为1的正的真分数之和，即 _______；
深入探究
定义“ ”是一种新的运算，若 ， ， ，则 计算的结果是_________。
拓展延伸
第一次用一条直径将圆周分成两个半圆（如图），在每个分点标上质数k，记2个数的和为 ；第二次将两个半圆都分成 圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的 ，记4个数的和为 ；第三次将四个 圆都分成 圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的 ，记8个数的和为 ；第四次将八个 圆都分成 圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的 ，记16个数的和为 ；……，如此进行了n次。
②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；
2019中考数学试题分类解析汇编专题17阅读理解型问题解析版
2019-2020 年中考数学试题分类分析汇编专题17 阅读理解型问题（分析版）1.（2014年江苏泰州3 分）假如三角形知足一个角是另一个角的 3 倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．以下各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是【】A．1，2，3B．1，1，2C．1，1，3D．1，2，32.（2014年江苏南通 3 分）如图，一个半径为r 的圆形纸片在边长为a（a 2 3r ）的等边三角形内随意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不可以接触到的部分”的面积是【】3 3A.r 2B.r 2C. 3 3r 2D.r 233【答案】 C．1.（2014年江江 2 分）取表格中的信息，解决.n=1a1 2 23b132c1122n=2 a 2=b 1+2c1 b 2=c 1+2a1 c 2=a1+2b1n=3 a 3=b 2+2c2 b 3=c 2+2a2c=a 2 +2b2⋯⋯⋯⋯足anbn c n201432的 n 可以取得的最小整数是▲．321【答案】 7．【考点】 1. 探究律（数字的化）； 2.二次根式化；3. 不等式的用．【剖析】由 a1b1c1 2 23 3 212233 2 1 ，a2b2c2323 2 1 ，a3b3c333 2 1，3⋯2. （2014 年江云港m1y 随x的增大而增大，3 分）若函数y的象在同一象限内，xm 的能够是▲( 写出一个即可 )3.（2014年江淮安 3 分）若一个三角形三分2， 3， x，x 的能够▲（只要填一个整数）【答案】 4（答案不独一）.【考点】 1. 开放型； 2.三角形三关系．【剖析】依据三角形的三关系：三角形两之和大于第三，可得：三角形的两差小于第三3 2＜ x＜ 3+2，即： 1＜ x＜ 5.∴x的能够 2， 3， 4（答案不独一） .4.（ 2014 年江淮安 3 分）如，在四形 ABCD中， AB∥ CD，要使得四形 ABCD是平行四形，增添的条件是▲（只填写一个条件，不使用形之外的字母和段）．1.（ 2014 年江苏镇江 6 分）在一只不透明的布袋中装有红球、黄球各若干个，这些球除颜色外都同样，平均摇匀 .（1）若布袋中有 3 个红球， 1 个黄球．从布袋中一次摸出 2 个球，计算“摸出的球正是一红一黄”的概率（用“画树状图”或“列表”的方法写出计算过程）；（2）若布袋中有 3 个红球， x 个黄球．请写出一个x 的值▲，使得事件“从布袋中一次摸出 4 个球，都是黄球”是不行能的事件；（3）若布袋中有 3 个红球， 4 个黄球．我们知道：“从袋中一次摸出4 个球，起码有一个黄球”为必定事件．请你模仿这个表述，设计一个必定事件：▲．【答案】解：（ 1）设三个红球分别是123，黄球为4，列表得：12341（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）∵共有 12 种等可能结果，摸出的球正是一红一黄”状况有 6 种，∴摸出的球正是一红一黄”的概率P= 61.122（2） 1（答案不独一）.2. （ 2014 年江苏扬州10 分）对 x，y 定义一种新运算 T，规定：T(x, y)ax by（此中 a，2x yb 均为非零常数），这里等式右侧是往常的四则运算，比如：a0 b 1T(0,1)20b .1（1）已知T(1, 1)2,T(4,2) 1①求 a， b 的值；②若对于 m的不等式组T 2m, 54m4p 的取值范围；T m, 3 2m恰巧有 3 个整数解，务实数> p（2）若T(x,y) T(y,x)对随意实数x，y 都建立（这里T(x,y)，T(y,x)都存心义），则a，b应知足如何的关系式？3.（2014年江苏徐州8 分）几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360 元购置门票．下边是两个小伙伴的对话：依据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数．4.（ 2014 年江苏无锡 8 分）（ 1）如图 1，Rt △ ABC中，∠ B=90°， AB=2BC，现以 C 为圆心、CB 长为半径画弧交边AC 于 D，再以 A 为圆心、 AD 为半径画弧交边AB 于 E．求证：AE 5 1．（这个比值 5 1AB22叫做 AE与 AB的黄金比．）（2）假如一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图 2 中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC．（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保存作图印迹，并对作图中波及到的点用字母进行标明）．【考点】 1. 新定义； 2. 作图（应用与设计作图）； 3. 勾股定理； 4. 等腰三角形的性质；5.待定系数法的应用．【剖析】（ 1）利用地点数表示出AB， AC， BC的长，从而得出 AE的长，从而得出答案.（2）依据底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，绘图即可．5.（ 2014 年江苏连云港 10 分）如图 1，在一个不透明的袋子中装有四个球，分别标有字母A、 B、 C、D，这些球除了字母外完整同样，别的，有一面白色、另一面黑色、大小同样的四张正方形卡片，每张卡片两面的字母同样，分别标有字母A、 B、 C、 D.最先，摆成如图 2 的样子，A、D是黑色，B、C是白色 .操作：①从袋中随意取一个球；②将与拿出的小球字母同样的卡片反过来；③将拿出的球放回袋中.两次操作后察看卡片的颜色. （如：第一次拿出A、第二次拿出B，此时卡片的颜色变成）（1）取四张卡片变为同样颜色的概率；（2）求四张卡片变为两黑两白、并恰巧形成各自颜色的矩形的概率.【答案】解：（ 1）画树状图得：6.（2014年江苏连云港10 分）在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达雪描实验. 如图，表盘是△ABC，此中AB=AC，∠ BAC=120°，在点 A 处有一束红外光芒AP，从AB 开始，绕点A 逆时针匀速旋转，每秒钟旋转15°，抵达AC后立刻以同样的旋转速度返回A、 B，抵达后立刻重复上述旋转过程. 小明经过实验发现，光芒从AB 处开始旋转计时，旋转1秒，光阴线 AP 交BC于点M，BM的长为（20320 ）cm.（1）求AB的长；（2）从AB处旋转开始计时，若旋转6 秒，此时AP与BC边交点在什么地点？若旋转2014秒，此时AP与 BC边交点在什么地点？并说明原因.旋转 14s 的过程是B→C： 8s，C→Q： 6s，803 ，所以 CQ=BN=3∵AB=AC，∠ BAC=120°，∴BC2ABcos30 2 40340 3. 2∴BQ BC CQ40 380340 3.33∴光芒 AP旋转 2014 秒后，与BC的交点 Q在距点403 cm处．37. （ 2014 年江苏常州 6 分）我们用a表示不大于a的最大整数，比如：2， 3 3 ，3 ；用a表示大于 a 的最小整数，比如：3，4 5，1.解决以下问题：（1） =▲,， =▲；（2）若x=2，则x的取值范围是▲；若 y =－1，则y的取值范围是▲；3x 2 y3（3）已知x，y知足方程组x y ，求 x ，y的取值范围.36。
2019年中考数学材料阅读题分类专题
2019年材料阅读题专题一．方程类1．阅读下面的内容用换元法求解方程组的解题目：已知方程组①的解是，求方程组②的解．解：方程组②可以变形为：方程组③设2x＝m，3y＝n，则方程组③可化为④比较方程组④与方程组①可得，即所以方程组②的解为参考上述方法，解决下列问题：（1）若方程组的解是，则方程组的解为；（2）若方程组①的解是，求方程组②的解．2．阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程x2﹣6x﹣k﹣1＝0与x2﹣kx﹣7＝0有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下：解：设相同根为m，根据题意，得①﹣②，得（k﹣6）m＝k﹣6 ③显然，当k＝6时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根﹣1和7；当k≠6时，由③得m＝1，代入②式，得k＝﹣6，此时两个方程有一相同根x＝1．∴当k＝﹣6时，有一相同根x＝1；当k＝6时，有两个相同根是﹣1和7聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程x2+kx﹣1＝0与x2+x+k﹣2＝0有相同的实根．3．阅读材料：材料1、若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．材料2、已知实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求的值．解：由题知m、n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn＝﹣1∴＝根据上述材料解决下面问题；（1）一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）已知实数m、n满足2m2﹣2m﹣1＝0，2n2﹣2n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）已知实数p、q满足p2＝3p+2，2q2＝3q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值．4．相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三级幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．（1）如图2也是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，则x的值为；（2）由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的幻方称为基本三阶幻方，在此基础上各数再加或减一个相同的数，可组成新三阶幻方，新三阶幻方的幻和也随之变化．如图3，是由基本三阶幻方中各数加上m后生成的新三阶幻方，该新三阶幻方的幻和为a3的4倍，且a5﹣a3＝3，求a7的值；（3）由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的基本三阶幻方中每个数都乘以或除以一个不为0的数也可组成一个新三阶幻方，如图4，是由基本三阶幻方中各数乘以p再减2后生成的新三阶幻方，其中n8为9个数中的最大数，且满足n1﹣2n6＝2，n82﹣n62＝2448，求p及n9的值．5．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，（1）方程x2﹣x﹣2＝0（填“是”或“不是”）倍根方程；（2）若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则求代数式4m2+5mn+n2值；（3）若点（p，q）在反比例函数y＝的图象上，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程吗？6．阅读理解：若p、q、m为整数，且三次方程x3+px2+qx+m＝0有整数解c，则将c代入方程得：c3+pc2+qc+m＝0，移项得：m＝﹣c3﹣pc2﹣qc，即有：m＝c×（﹣c2﹣pc﹣q），由于﹣c2﹣pc﹣q与c及m都是整数，所以c是m的因数．上述过程说明：整数系数方程x3+px2+qx+m ＝0的整数解只可能是m的因数．例如：方程x3+4x2+3x﹣2＝0中﹣2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程x3+4x2+3x﹣2＝0进行验证得：x＝﹣2是该方程的整数解，﹣1，1，2不是方程的整数解．解决问题：（1）根据上面的学习，请你确定方程x3+x2+5x+7＝0的整数解只可能是哪几个整数？（2）方程x3﹣2x2﹣4x+3＝0是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由．7．阅读材料材料1：“上海自来水来自海上”是耳熟能详的回文对联，数学世界里有一些整数你无论从左往右看，还是从右往左看，数字都是完全一样的，例如：22、131、1991、123321、…，像这样的数我们叫它“回文数”．材料2：如果一个三位数，满足a+b+c＝8，我们就称这个三位数为“吉利数”．（1）请直接写出既是“回文数”又是“吉利数”的所有三位数；（2）三位数①是大于500的“回文数”；②的各位数字之和等于k是一个完全平方数；求这个三位数（请写出必要的推理过程）．8．进位数是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进制．现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0～9进行记数，特点是逢十进一，对于任意一个用n（n≤10）进制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字0～（n﹣1）进行记数，特点是逢n进一，我们可以通过以下方式把它转化为十进制：例如：五进制数（234）5＝2×52+3×5+4＝69，记作（234）5＝69，七进制数（136）7＝1×72+3×7+6＝76，记作（136）7＝76（1）请将以下两个数转化为十进制：（331）5＝，（46）7＝（2）若一个正数可以用七进制表示为（），也可以用五进制表示为，请求出这个数并用十进制表示．9．进制也就是进位制，是人们利用符号进行计数的科学方法．对于任何一种进制X进制，就表示某一位置上的数运算时逢X进一位，如十进制数123＝1×102+2×101+3×100，记作123（10）；七进制123＝1×72+2×71+3×70，记作123（7）．各进制之间可进行转化，如：将七进制转化为十进制：123（7）＝1×72+2×7+3×70＝66，即123（7）＝66（10），将十进制转化为七进制：（因为72＜66＜73，所以做除法从72开始）66÷72＝1…17，17÷71＝2…3，即66（10）＝123（7）（1）根据以上信息，若将八进制转化为十进制：15（8）＝1×81+5×80＝13，即15（8）＝；若将十进制转化为九进制：98÷92＝1…17，17÷91＝1…8，即98（10）＝（9）（10）（2）若将一个十进制两位数转换成九进制和八进制数后，得到一个九进制两位数和一个八进制两位数，首位分别2，3，个位分别为x，y．①若x＝7，则y＝．②请求出满足上述条件的所有十进制两位数．10．请阅读下列材料：问题：已知方程x2+15x﹣1＝0，求一个一元二次方程，是它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程根为y，则y＝2x，所以，把带人已知方程，得，化简得y2+30y﹣4＝0．故所求的方程为y2+30y﹣4＝0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的换根法求新方程（要求把方程化为一般形式）：（1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程．是它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为：．（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不等于零的实根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．11．函数[x]称为高斯函数，它表示不超过x的最大整数，例如[5.3]＝5，[﹣2.4]＝﹣3，[4]＝4．对任意的实数x，x﹣1＜[x]≤x．（1）证明：对于任意实数x，有[x]+[x+]＝[2x]；（2）解方程：[]＝．12．仔细阅读下列材料．“分数均可化为有限小数或无限循环小数”．反之，“有限小数或无限循环小数均可化为分数”例如：＝1÷4＝0.25，1＝1+＝1+0.6＝1.6或1＝＝8÷5＝1.6，＝1÷3＝0.，反之，0.25＝＝，1.6＝1+0.6＝1+＝1或1.6＝＝，那么0.怎么化为呢？解：∵0.×10＝3.＝3+0.∴不妨设0.＝x，则上式变为10x＝3+x，解得x＝即0.＝根据以上材料，回答下列问题．（1）将“分数化为小数”：＝；＝．（2）将“小数化为分数”：0.＝；1.5＝．（3）将小数1.化为分数，需写出推理过程．13．我们知道≈1.414，于是我们说：“的整数部分为1，小数部分则可记为﹣1”．则：（1）﹣3的整数部分为，小数部分则可记为；（2）已知3+的小数部分为a，7﹣的小数部分为b，那么a+b的值是；（3）已知x是的整数部分，y是的小数部分，求的平方根．14．“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的x，y二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a＝a1•a2，把y2项系数c分解成两个因数，c1，c2的积，即c＝c1•c2，并使a1•c2+a2•c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2＝（a1x+c1y）（a2x+c2y）例：分解因式：x2﹣2xy﹣8y2解：如右图，其中1＝1×1，﹣8＝（﹣4）×2，而﹣2＝1×（﹣4）+1×2∴x2﹣2xy﹣8y2＝（x﹣4y）（x+2y）而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图1，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np＝b，pk+qj＝e，mk+nj＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式＝（mx+py+j）（nx+qy+k）；例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2解：如图2，其中1＝1×1，﹣3＝（﹣1）×3，2＝1×2；而2＝1×3+1×（﹣1），1＝（﹣1）×2+3×1，3＝1×2+1×1；∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2＝（x﹣y+1）（x+3y+2）请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：6x2﹣7xy+2y2＝x2﹣6xy+8y2﹣5x+14y+6＝（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．（3）已知x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+4y＝﹣1，求x，y．二、不等式类15．求不等式（2x﹣1）（x+3）＞0的解集．解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①或②．解①得x＞；解②得x＜﹣3．∴不等式的解集为x＞或x＜﹣3．请你仿照上述方法解决下列问题：（1）求不等式（2x﹣3）（x+1）＜0的解集．（2）求不等式≥0的解集．16．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．即：当n为非负整数时，如果n﹣，则＜x＞＝n．反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则n﹣，例如：＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.49＞＝1，＜2＞＝2，＜3.5＞＝＜4.12＞＝4．试解决下列问题：（1）填空：①＜π＞＝（π为圆周率）；②如果＜x﹣1＞＝3，则实数x的取值范围为．（2）①若关于x的不等式组的整数解恰有3个，则a的取值范围是．②若关于x的方程+x﹣2＝﹣有正整数解，求m的取值范围．（3）求满足＜x+1＞＝x的所有非负整数x的值．17．对于实数x，y我们定义一种新运算L（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为L（x，y），其中x，y叫做线性数的一个数对．若实数x，y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x，y叫做正格线性数的正格数对．（1）若L（x，y）＝x+3y，则L（2，1）＝，L（，）＝；（2）已知L（1，﹣2）＝﹣1，L（，）＝2．①a＝，b＝；②若正格线性数L（m，m﹣2），求满足50＜L（m，m﹣2）＜100的正格数对有多少个；③若正格线性数L（x，y）＝76，满足这样的正格数对有多少个；在这些正格数对中，有满足问题②的数对吗？若有，请找出；若没有，请说明理由．18．阅读下面材料：小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3．计算|x1|，，，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|＝2，＝，＝，所以数列2，﹣1，3的价值为．小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值．如数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1；…．经过研究，小丁发现，对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为．根据以上材料，回答下列问题：（1）数列﹣4，﹣3，2的价值为；（2）将“﹣4，﹣3，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为，取得价值最小值的数列为（写出一个即可）；（3）将2，﹣9，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，则a的值为．19．阅读解答题：有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题．例：若x＝123456789×123456786，y＝123456788×123456787，试比较x、y的大小．解：设123456788＝a，那么x＝（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2，y＝a（a﹣1）＝a2﹣a ∵x＝y＝（a2﹣a﹣2）﹣（a2﹣a）＝﹣2＜0∴x＜y看完后，你学到了这种方法吗？再亲自试一试吧，你准行！问题：（1）x＝98760×98765﹣98761×98764，y＝98761×98764﹣98762×98763，试比较x、y 的大小；（2）计算：1.345×0.345×2.69﹣1.3453﹣1.345×0.3452．三、函数类20．平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记为「P」，即「P」＝|x|+|y|．（其中的“+”是四则运算中的加法）例如：如果A（﹣1，3），那么「A」＝|﹣1|+|3|＝4．（1）点M在反比例函数y＝的图象上，且「M」＝4，求点M的坐标；（2）求满足条件「N」＝3的所有点N围成的图形的面积．21．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1，1），（﹣2，﹣2），（，），…，都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．（1）若点P（m，5）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）一次函数y＝2kx﹣1（k为常数，k≠0）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b为常数，a≠0）的图象上有且只有一个“梦之点”A（c，c），令t＝b2+4a，当﹣2＜b＜2时，求t的取值范围．22．新定义：若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“共性二次函数”．（1）请写出两个为“共性二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣4nx+2n2+1和y2＝ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“共性二次函数”，求函数y2的表达式．23．阅读材料，解答问题．知识迁移：当a＞0且x＞0时，因为（）2≥0，所以x﹣2+≥0，从而x+（当x＝时取等号），记函数y＝x+（a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x＝时，该函数有最小值为2．直接应用：已知函数y1＝x（x＞0）与函数y2＝（x＞0），则当x＝时，y1+y2取得最小值为．变形应用：已知函数y1＝x+2（x＞﹣2）与函数y2＝（x+2）2+9（x＞﹣2），求的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．实际应用：建造一个容积为8立方米，深2米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，设池长为x米，水池总造价为y（元），求当x为多少时，水池总造价y最低？最低是多少？24．小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求y＝﹣2x2+5x﹣3函数的“旋转函数”．小明是这样思考的：由y＝﹣2x2+5x﹣3函数可知，a1＝﹣2，b1＝5，c1＝﹣3，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面的问题：（1）写出函数y＝﹣2x2+5x﹣3的“旋转函数”；（2）若函数y1＝x2+x﹣n与y2＝﹣x2﹣mx﹣2互为“旋转函数”，求（m+n）2019的值；（3）已知函数y＝（x﹣2）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试证明经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y＝（x﹣2）（x+3）互为“旋转函数”．25．问题背景：若矩形的周长为1，则可求出该矩形面积的最大值．我们可以设矩形的一边长为x，面积为s，则s与x的函数关系式为：（x＞0），利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值．提出新问题：若矩形的面积为1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？分析问题：若设该矩形的一边长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为：（x＞0），问题就转化为研究该函数的最大（小）值了．解决问题：借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数（x＞0）的最大（小）值．（1）实践操作：填写下表，并用描点法画出函数（x＞0）的图象：（2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想当x＝时，函数（x＞0）有最值（填“大”或“小”），是．（3）推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数（x＞0）的最大值，请你尝试通过配方求函数（x＞0）的最大（小）值，以证明你的猜想．〔提示：当x＞0时，〕26．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y ≤M，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）若函数y＝﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（2）将函数y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位长度，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？27．在平面直角坐标系xOy中，当图形W上的点P的横坐标和纵坐标相等时，则称点P为图形W的“梦之点”．（1）已知⊙O的半径为1．①在点E（1，1），F（﹣，﹣），M（﹣2，﹣2）中，⊙O的“梦之点”为；②若点P位于⊙O内部，且为双曲线y＝（k≠0）的“梦之点”，求k的取值范围．（2）已知点C的坐标为（1，t），⊙C的半径为，若在⊙C上存在“梦之点”P，直接写出t的取值范围．（3）若二次函数y＝ax2﹣ax+1的图象上存在两个“梦之点”A（x1，y1），B（x2，y2），且|x1﹣x2|＝2，求二次函数图象的顶点坐标．28．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”阅读下列两则材料，回答问题材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，如：a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么＝|a±b|，那么如何将双重二次根式（a＞0，b＞0，a±2＞0）化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得（2+（）2＝a即m+n＝a，且使即m•n＝b，那么a±2＝（）2+（）2±2＝（2∴＝＝|，双重二次根式得以化简：例如化简：；∵3＝1+2且2＝1×2，∴3+2＝（）2+（）2+2∴＝＝1+材料二：在直角坐标系xoy中，对于点P（x，y）和点Q（x，y′）出如下定义：若y′＝，则称点Q为点P的“横负纵变点”例如，点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2）点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）问题：（1）请直接写出点（﹣3，﹣2）的“横负纵变点”为；化简，＝；（2）点M为一次函数y＝﹣x+1图象上的点，M′为点M的横负纵变点，已知N（1，1），若M′N＝，求点M的坐标．（3）已知b为常数且1≤b≤2，点P在函数y＝﹣x2+16（+）（﹣7≤x≤a）的图象上，其“横负纵变点”的纵坐标y′的取值范围是﹣32＜y′≤32，若a 为偶数，求a的值．29．对于三个数a、b、c，M|a，b，c|表示这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a、b、c 这三个数中最小的数，如：M|﹣1，2，3|＝＝，min{﹣1，2，3}＝﹣1；M|﹣1，2，a|＝＝，min{﹣1，2，a}＝解决下列问题：（1）填空：M|，，|＝；min{﹣3，，﹣π}＝；（2）若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，求x的取值范围；（3）若M|2，x+1，2x|＝min{2，x+1，2x}，求x的值；（4）如图，在同一平面直角坐标系中，画出了函数y＝x+1，y＝（x﹣1）2，y＝2﹣x的图象，则min{x+1，（x﹣1）2，2﹣x}的最大值为．30．定义：如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是y与x的“反比例平移函数”．例如：y＝+1的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y＝的图象，则y＝+1是y与x的“反比例平移函数”．（1）若矩形的两边分别是2cm、3cm，当这两边分别增加x（cm）、y（cm）后，得到的新矩形的面积为8cm2，求y与x的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”．（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D是OA的中点，连接OB、CD交于点E，“反比例平移函数”y ＝的图象经过B、E两点．①求这个“反比例平移函数”的表达式；②这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请直接写出这个反比例函数的表达式．31．请阅读下述材料，并解答问题例：说明代数式+的几何意义，并求它的最小值．解：在平面直角坐标系中，已知两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）则这两点间的距离公式为：P1P2＝所以原式＝+如图建立直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P 与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段P A与PB的长度之和，它的最小值就是P A+PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则P A＝P A′，因此，求P A+PB的最小值，只需求P A′+PB的最小值，由两点之间，线段最短可得，P A′+PB的最小值为线段A′B的长度．为求A′B我们可以构造直角三角形A′CB，因为A′C＝3，CB＝3，所以A′B＝3，即原式的最小值为3解答问题：（1）代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B的距离之和（填写点B的坐标）；（2）代数式+的最小值为．32．“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y＝的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB＝∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：（1）设P（a，）、R（b，），求直线OM对应的函数表达式（用含a，b的代数式表示）；（2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB＝∠AOB；（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．四、因式分解类33．阅读下列材料1637年笛卡儿（R．Descartes，1596﹣1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法将4次方程分解为两个2次方程求解，并最早给出因式分解定理．他认为，若一个高于二次的关于x的多项式能被（x﹣a）整除，则其一定可以分解为（x ﹣a）与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为0时，x＝a是关于x的这个方程的一个根．例如：多项式x2+9x﹣10可以分解为（x﹣1）与另外一个整式M的乘积，即x2+9x﹣10＝（x﹣1）M，令x2+9x﹣10＝0时，可知x＝1为该方程的一个根．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：分解因式：x3+2x2﹣3．观察知，显然x＝1时，原式＝0，因此原式可分解为（x﹣1）与另一个整式的积．令：x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（x2+bx+c），而（x﹣1）（x2+bx+c）＝x3+（b﹣1）x2+（c﹣b）x﹣c，因等式两边x同次幂的系数相等，则有：，得，从而x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（x2+3x+3）．此时，不难发现x＝1是方程x3+2x2﹣3＝0的一个根．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：（1）若x+1是多项式x3+ax+1的因式，求a的值并将多项式x3+ax+1分解因式．（2）若多项式3x4+ax3+bx﹣34含有因式x+1及x﹣2，求a+b的值．（3）若多项式6x2﹣xy﹣2y2+5x﹣8y+a可以分解为两个一次因式之积，求a的值将该多项式分解因式．34．阅读理解：若一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“平和数”，例如5是“平和数”，因为5＝22+1，再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整数），我们称（1）请你写一个小于5的“平和数”，并判断34是否为“平和数”．（2）已知S＝x2+9y2+6x﹣6y+k（x，y是整数，k是常数，要使S为“平和数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．（3）如果数m，n都是“平和数”，试说明也是“平和数”．35．阅读下列材料解决问题两个多位数整数，若它们各数位上的数字之和相等，则称这两个多位数互为“调和数”，例如37和82，它们各数位上的数字之和分别为3+7和8+2，显然3+7＝8+2＝10故37（1）下列说法错误的是A.123和51互为调和数”B.345和513互为“调和数C.2018和8120互为“调和数”D．两位数和互为“调和数”（2）若A、B是两个不等的两位数，A＝，B＝，A和B互为“调和数”，且A与B 之和是B与A之差的3倍，求满足条件的两位数A．36．请阅读以下材料，并解决相应的问题：材料一：换元法是数学中的重要方法，利用换元法可以从形式上简化式子，在解某些特殊方程时，使用换元法常常可以达到转化与化归的目的，例如在求解一元四次方程x4﹣2x2+1＝0时，令x2＝t，则原方程可变为t2﹣2t+1＝0，解得t＝1，从而得到原方程的解为x＝±1．村料二：杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．它呈现了某些特定系数在三角形中的一种有规律的几何排列．如图为杨辉三角形：（1）利用换元法解方程：（x2+3x﹣1）2+2（x2+3x﹣1）＝3（2）在杨辉三角形中，按照由上至下、从左到右的顺序观察，设a n是第n行的第2个数（其中n≥4），b n是第n行的第3个数，c n是第（n﹣1）行的第3个数．请利用换元法因式分解：4（b n﹣a n）•c n+137．材料一：一个大于1的正整数，若被N除余1，被（N﹣1）除余1，被（N﹣2）除余1…，被3除余1，被2除余1，那么称这个正整数为“明N礼”数（N取最大），例如：73（被5除余3）被4除余1，被3除余1，被2除余1，那么73为“明四礼”数．材料二：设N，（N﹣1），（N﹣2），…3，2的最小公倍数为k，那么“明N礼”数可以表示为kn+1，（n为正整数），例如：6，5，4，3，2的最小公倍数为60，那么“明六礼”数可以表示为60n+1．（n为正整数）（1）17“明三礼”数（填“是”或“不是”）；721是“明礼”数；（2）求出最小的三位“明三礼”数；（3）一个“明三礼”数与“明四礼”数的和为32，求出这两个数．38．阅读下列材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；再例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝．（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．（3）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断此三角形的形状．39．任意三个正整数a、b、c，若满足a+b2﹣2c＝2，我们称这三个数组成的一组数为和谐数组，记为（a，b，c）．对每一和谐数组，我们用F（a，b，c）表示它的和谐度，规定：F（a，b，c）＝abc．例如：∵6+22﹣2×4＝2，∴（6，2，4）是和谐数组，F（6，2，4）＝6×2×4＝48．（1）（a，b，c）是和谐数组，求和谐度F（a，b，c）的最小值．（2）（a，b，c）是和谐数组，且a，b、c满足3a2﹣8b+c＝0．求和谐度F（a，b，c）的最小值．40．若在一个两位正整数N的个位数与十位数字之间添上数字5，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“至善数”，如34的“至善数”为354；若将一个两位正整数M加5后得到一个新数，我们称这个新数为M的“明德数”，如34的“明德数”为39．（1）26的“至善数”是，“明德数”是．（2）求证：对任意一个两位正整数A，其“至善数”与“明德数”之差能被45整除；（2）若一个两位正整数B的“明德数”的各位数字之和是B的“至善数”各位数字之和的一半，求B的值．。
2019-2020年中考数学考试试卷专题十年分类汇编(VII).docx
2019-2020 年中考数学考试试卷专题十年分类汇编(VII)一、选择题1. （江苏省无锡市2003年 3 分）三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有【】A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】 B。
【考点】三角形三边关系。
【分析】根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长小于 13，则其中的任何一边不能超过 5，因此画树状图如下：可知，满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的三个数有三组：2，3，4；2，4，5；3， 4， 5。
则这样的三角形共有三个。
故选B。
2. （江苏省无锡市2004 年 3 分）如图中的图象（折线ABCDE ）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120 千米；②汽车在行驶途中停留了0.5 小时；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为80 千米/时；④汽车自出发后3 小时至 4.5 3小时之间行驶的速度在逐渐减少.其中正确的说法共有【】A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个【答案】 A 。
【考点】函数的图象。
【分析】根据图象上的特殊点的实际意义即可作出判断：由图象可知，汽车走到距离出发点 120 千米的地方后又返回出发点，所以汽车共行驶了240 千米，故①错；从 1.5 时开始到 2 时结束，时间在增多，而路程没有变化，说明此时汽车在停留，停留了 2－1.5=0.5 小时，故②对；汽车用 4.5 小时走了240 千米，平均速度为：240÷4.5=1603 千米 /时，故③错；汽车自出发后 3 小时至 4.5 小时，图象是直线形式，说明是在匀速前进，故④错。
所以， 4 个说法中，正确的说法只有 1 个。
故选 A 。
3.（江苏省无锡市 2005 年 3 分）如图是一个正四面体，它的四个面都是正三角形，现沿它的三条棱 AC 、 BC、 CD 剪开展成平面图形，则所得的展开图是【】A 、B 、C、D、【答案】 B。
2019-中考数学试题分类汇编解析阅读理解、图表信息题
2019-2020 年中考数学试题分类汇编解析阅读理解、图表信息题一、选择题1. （ 2014?山东潍坊，第 12 题 3 分）如图，已知正方形ABCD ，极点 A(1 ，3)、B(1,1)、C(3,1)．规定“把正方形A BCD 先沿 x 轴翻折，再向左平移 1 个单位”为一次变换．这样这样，连续经过2014 次变换后，正方形ABCD 的对角线交点M 的坐标变为 ()A ． (— 2012,2)B．（一 2012，一 2） C. (— 2013,— 2) D. ( — 2013,2)考点：坐标与图形变化－对称；坐标与图形变化－平移．专题：规律型．解析：第一求出正方形对角线交点坐标分别是（ 2， 2），尔后依照题意求得第 1 次、 2 次、 3 次变换后的点 M 的对应点的坐标，即可得规律．解答：∵正方形 ABCD ，点 A(1， 3)、 B(1,1)、 C(3,1)．∴ M 的坐标变为 (2,2) ∴依照题意得：第 1 次变换后的点 M 的对应点的坐标为（ 2－ 1，－2），即（ 1，－2），第2 次变换后的点 M 的对应点的坐标为：（ 2－2，2），即（ 0， 2），第3 次变换后的点 M 的对应点的坐标为（ 2－ 3，－2），即（－1，－2），第 2014 次变换后的点 M 的对应点的为坐标为（2－2014 ， 2），即（－2012， 2）故答案为A．谈论：此题观察了对称与平移的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意获取规律：第n 次变换后的点M 的对应点的坐标为：当n 为奇数时为（2－ n，－ 2），当 n 为偶数时为（ 2－n， 2）是解此题的要点．2.（ 2014 山东济南，第14 题， 3 分）现定义一种变换：关于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可获取一个新序列．比方序列S0：（4，2，3，4， 2），经过变换可获取新序列S1：（2，2，1，2，2）．若 S0能够为任意序列，则下面的序列能够作为 S1的是A．（ 1， 2， 1， 2， 2）B．（ 2，2， 2， 3，3）C．（ 1，1， 2， 2， 3）D．（ 1，2， 1， 1， 2）【解析】由于序列S0含5个数，于是新序列中不能够有 3 个 2，因此 A ， B 中所给序列不能够作为 S1；又若是S1中有3，则S1中应有3个3，因此C中所给序列也不能够作为S1，应选D．二、填空题1．（ 2014?四川宜宾，第16 题， 3 分）规定： sin（﹣ x）=﹣ sinx，cos（﹣ x）=cosx，sin（ x+y）=sinx?cosy+cosx?siny．据此判断以低等式建立的是②③④（写出所有正确的序号）①cos（﹣ 60°）=﹣；② sin75°=；③sin2x=2 sinx?cosx；④sin（ x﹣ y） =sinx?cosy﹣ cosx?siny．考点：锐角三角函数的定义；特别角的三角函数值．专题：新定义．解析：依照已知中的定义以及特别角的三角函数值即可判断．解答：解：① cos（﹣ 60°） =cos60°=，命题错误；② sin75°=sin（ 30°+45°）=sin30°?cos45°+cos30°?sin45°=× + × =+ =，命题正确；③ sin2x=sinx?cosx+cosx?sinx═2sinx?cosx，故命题正确；④ sin（ x﹣ y）=sinx?cos（﹣ y）+cosx?sin（﹣ y）=sinx?cosy﹣ cosx?siny，命题正确．故答案是：②③④．谈论：此题观察锐角三角函数以及特别角的三角函数值，正确理解题目中的定义是关键．三、解答题1. （ 2014?四川巴中，第 22 题 5 分）定义新运算：关于任意实数a，b 都有 a△ b=ab﹣ a﹣b+1，等式右边是平时的加法、减法及乘法运算，比方： 2△4=2×4﹣ 2﹣ 4+1=8 ﹣6+1=3 ，请依照上述知识解决问题：若 3△ x 的值大于 5 而小于 9，求 x 的取值范围．考点：新定义．解析：第一依照运算的定义化简3△x，则能够获取关于x 的不等式组，即可求解．解答： 3△ x=3 x﹣ 3﹣ x+1=2 x﹣ 2，依照题意得：，解得：＜x＜．谈论：此题观察了一元一次不等式组的解法，正确理解运算的定义是要点．2.（ 2014?湖南张家界，第 23 题， 8 分）阅读资料：解分式不等式＜ 0解：依照实数的除法法规：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转变为：①或②解①得：无解，解②得：﹣ 2＜ x ＜ 1 因此原不等式的解集是﹣2＜ x ＜ 1请模拟上述方法解以下分式不等式：（ 1）≤0（ 2）＞ 0．考点：一元一次不等式组的应用． 专题：新定义．解析：先把不等式转变为不等式组，尔后经过解不等式组来求分式不等式．解答：解：（ 1）依照实数的除法法规：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转变为：①或②解①得：无解， 解②得：﹣＜ x ≤4因此原不等式的解集是：﹣＜ x ≤4；（ 2）依照实数的除法法规：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转变为： ①或②解①得： x ＞ 3， 解②得： x ＜﹣ 2． 因此原不等式的解集是：x ＞ 3 或 x ＜﹣ 2．谈论：此题观察了一元一次不等式组的应用．此题经过资料解析，先求出不等式组中每个不等式的解集，再求其公共部分即可．3. （2014?江西抚州，第 24 题， 10 分）【试题背景】已知：∥m ∥ n ∥，平行线与 m 、 m 与 n 、 n 与之间的距离分别为 d 1、 d 2、d ，且 d1 = d 3= 1 ， d2= 2 . 我们把四个极点分别在、m 、 n 、这四条平行线上的四边3形称为“格线四边形”.【研究 1】⑴如图 1，正方形ABCD为“格线四边形” ，BE l 于点E,BE的反向延长线交直线于点 F .求正方形ABCD 的边长.【研究 2】⑵矩形ABCD为“格线四边形” ，其长：宽= 2：1，则矩形ABCD的宽为37或 13 . (直接写出结果即可) 2【研究3】⑶ 如图2ABCD为“格线四边形”且∠ADC =60°，△ AEF 是等边，菱形三角形， AE k于点E ，∠ AFD =90°，直线 DF 分别交直线、于点G、M .求证： EC DF .【拓展】⑷如图 3，∥，等边三角形ABC的极点A、B分别落在直线、上，AB k 于点 B ，且 AB =4，∠ACD=90°，直线CD分别交直线、于点G、 M ，点 D 、 E 分别是线段GM、 BM 上的动点，且向来保持AD = AE ，DH l 于点H.猜想： DH 在什么范围内，BC∥ DE ？并说明此时BC ∥DE的原由.解析： (1)如图1，∵ BE⊥l , l ∥k,∴∠ AEB=∠ BFC=90° ,又四边形 ABCD是正方形，∴∠ 1+∠ 2=90°，AB=BC,∵∠2+∠3=90° , ∴ ∠ 1=∠3,∴⊿ ABE≌⊿ BCF(AAS),1222∴ AE=BF=1 , ∵ BE=d+d =3 ,∴ AB= 3110 ,∴正方形的边长是10 .(2)如图 2,3 ，⊿ABE∽⊿ BCF,BF BC2∴AB1或AEBF BC1AE AB2∵ BF=d3=1 ,1或 AE2∴ AE=2∴ AB=321237或22AB=322213∴矩形 ABCD的宽为3713 .或2(注意：要分 2 种情况谈论）(3)如图4，连接 AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC,又∠ ADC=60° ,∴⊿ ADC是等边三角形，∴ AD=AC，∵ AE⊥ k ,∠AFD=90°,∴∠ AEC=∠ AFD=90°，∵⊿ AEF是等边三角形，∴AF=AE,∴⊿ AFD≌⊿ AEC(HL),∴EC=DF.(4)如图5，当2＜ DH＜ 4 时， BC∥ DE .原由以下：连接 AM,∵ AB⊥k , ∠ACD=90°,∴∠ ABE=∠ ACD=90° ,∵⊿ ABC是等边三角形，∴AB=AC ,已知 AE=AD,∴⊿ ABE≌⊿ ACD(HL)，∴ BE=CD；在Rt ⊿ABM和 Rt⊿ ACM中，AB AC，∴ Rt ⊿ ABM≌ Rt ⊿ ACM(HL),AM AM∴BM=CM ；∴ME=MD,ME MD∴MB MC,∴ ED∥BC.4. （ 2014?浙江杭州，第23 题， 12 分）复习课中，教师给出关于x 的函数y=2kx 2﹣（ 4kx+1 ）x﹣ k+1 （k 是实数）．教师：请独立思虑，并把研究发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生思虑后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：①存在函数，其图象经过（1， 0）点；② 函数图象与坐标轴总有三个不同样的交点；③当 x＞1 时，不是y 随 x 的增大而增大就是y 随 x 的增大而减小；④ 若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数．教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出原由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．考点 ：二次函数 合解析： ① 将（ 1，0）点代入函数，解出k 的 即可作出判断；② 第一考 ，函数 一次函数的情况，从而可判断 假； ③ 依照二次函数的增减性，即可作出判断；④ 当 k=0 ，函数 一次函数，无最大之和最小 ，当 k ≠0 ，函数 抛物 ，求出点的 坐 表达式，即可作出判断．解答：解： ① 真，将（ 1，0）代入可得：2k （ 4k+1 ） k+1=0 ，解得： k=0． 运用方程思想；② 假，反例： k=0 ，只有两个交点．运用 反例的方法；③ 假，如 k=1 ，=，当 x ＞ 1 ，先减后增；运用 反例的方法；④ 真，当 k=0 ，函数无最大、最小 ；k ≠0 ， y 最 ==，∴ 当 k ＞0 ，有最小 ，最小 ；当 k ＜ 0 ，有最大 ，最大 正．运用分 思想．点 ：本 考 了二次函数的 合，立意新 ， 合观察了数学解 程中 常用到的几种解 方法，同学 注意思虑、理解， 度一般．5. ( ( 2014 年河南 )21.10 分）某商店 售 10 台 A 型和 20 台 B 型 的利4000 元，售 20 台 A 型和 10 台 B 型 的利 3500 元．（ 1)求每台 A 型 和 B 型 的 售利 ；（ 2） 商店 划一次 两种型号的 共100 台，其中 B 型 的 量不超A 型的 2 倍。
中考数学复习《阅读理解问题》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《阅读理解问题》经典题型及测试题（含答案）阅读与理解阅读理解问题是通过阅读材料，理解其实质，揭示其方法规律从而解决新问题．既考查学生的阅读能力、自学能力，又考查学生的解题能力和数学应用能力．这类题目能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程，符合学生的认知规律．该类问题一般是提供一定的材料或介绍一个概念或给出一种解法等，让考生在理解材料的基础上，获得探索解决问题的途径，用于解决后面的问题．基本思路是“阅读→分析→理解→解决问题”．类型一新概念学习型新概念学习型是指在题目中先构建一个新数学概念(或定义)，然后再根据新概念提出要解决的相关问题．主要目的是考查学生的自学能力和对新知识的理解与运用能力．解决这类问题：要求学生准确理解题目中所构建的新概念，将学习的新概念和已有的知识相结合，并进行运用．例1 (2017·枣庄) 我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p ×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．【分析】（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．【自主解答】解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），∵|n﹣n|=0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，∵t是“吉祥数”，∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，∴y=x+4，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；（3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，∵＞＞＞＞，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．变式训练1．(2016·常德)平面直角坐标系中有两点M(a，b)，N(c，d)，规定(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)，则称点Q(a＋c，b＋d)为M，N的“和点”．若以坐标原点O 与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”．现有点A(2，5)，B(－1，3)，若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是 ______________2．(2016·荆州) 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？解：（1）∵点D（m，n），∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）点D有一条特征线是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1∵抛物线解析式为，∴y=（x﹣m）2+m+1，∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），∴B（2m，2m），∴（2m﹣m）2+n=2m，将n=m+1带入得到m=2，n=3；∴D（2，3），∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+3（3）如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时，根据题意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，∴MN==，∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=．乳头，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，∵顶点落在OP上，∴A′与D重合，∴A′（2，3），设P（4，c）（c＞0），由折叠有，PD=PA，∴=c，∴c=，∴P（4，）∴直线OP解析式为y=，∴N（2，），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=，即：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．类型二新公式应用型新公式应用型是指通过对所给材料的阅读，从中获取新的数学公式、定理、运算法则或解题思路等，进而运用这些知识和已有知识解决题目中提出的数学问题．解决这类问题，一是要所运用的思想方法、数学公式、性质、运算法则或解题思路与阅读材料保持一致；二是要创造条件，准确、规范、灵活地解答．例2（2017•日照）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．例如：求点P解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．∴点P根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P（3，4）到直线y=﹣x+的距离为 4 ；1问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S的最大值和最小值．△ABP【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．（3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．（3，4）到直线3x+4y﹣5=0的距离d=【自主解答】解：（1）点P1=4，故答案为4．（2）∵⊙C与直线y=﹣x+b相切，⊙C的半径为1，∴C（2，1）到直线3x+4y﹣4b=0的距离d=1，∴=1， 解得b=或．（3）点C （2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d==3， ∴⊙C 上点P 到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，∴S △ABP 的最大值=×2×4=4，S △ABP 的最小值=×2×2=2．变式训练3．一般地，如果在一次实验中，结果落在区域D 中每一个点都是等可能的，用A 表示“实验结果落在D 中的某个小区域M 中”这个事件，那么事件A 发生的概率P(A)＝ .如图，现在等边△ABC 内射入一个点，则该点落在△ABC 内切圆中的概率是____ ．4．(2016·随州)如图1，PT 与⊙O 1相切于点T ，PB 与⊙O 1相交于A ，B 两点，可证明△PTA ∽△PBT ，从而有PT 2＝PA ·PB ．请应用以上结论解决下列问题：如图2，PAB ，PCD 分别与⊙O 2相交于A ，B ，C ，D 四点，已知PA ＝2，PB ＝7，PC＝3，则CD ＝______.类型三 新方法应用型新方法应用型是指通过对所给材料的阅读，从中获取新的思想、方法或解题途径，进而运用这些知识和已有的知识解决题目中提出的问题．例3 (2017·毕节)D M 93 35）观察下列运算过程：计算：1+2+22+ (210)解：设S=1+2+22+…+210，①①×2得2S=2+22+23+…+211，②②﹣①得S=211﹣1．所以，1+2+22+…+210=211﹣1运用上面的计算方法计算：1+3+32+…+32017= ．【分析】令s=1+3+32+33+…+32017，然后在等式的两边同时乘以3，接下来，依据材料中的方程进行计算即可．【自主解答】解：令s=1+3+32+33+…+32017等式两边同时乘以3得：3s=3+32+33+…+32018两式相减得：2s=32018﹣1，∴s=，故答案为：．变式训练5、仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．设另一个因式为（x+n），得x2-4x+m=（x+3）（x+n），则x2-4x+m=x2+（n+3）x+3n ∴n+3=-4m=3n 解得：n=-7，m=-21∴另一个因式为（x-7），m的值为-21．问题：（1）若二次三项式x2-5x+6可分解为（x-2）（x+a），则a=______；（2）若二次三项式2x2+bx-5可分解为（2x-1）（x+5），则b=______；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x-k有一个因式是（2x-3），求另一个因式以及k的值．解：（1）∵（x-2）（x+a）=x2+（a-2）x-2a=x2-5x+6，∴a-2=-5，解得：a=-3；（2）∵（2x-1）（x+5）=2x2+9x-5=2x2+bx-5，∴b=9；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x-k=（2x-3）（x+n）=2x2+（2n-3）x-3n，则2n-3=5，k=3n，解得：n=4，k=12，故另一个因式为（x+4），k 的值为12．故答案为：（1）-3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一个因式是x+4，k=12（6分）． 6、（2015遂宁）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：11111111111111(1)()(1)()23423452345234---⨯+++-----⨯++． 令111234t ++=，则 原式=11(1)()(1)55t t t t -+--- =22114555t t t t t +---+ =15 问题：（1）计算1111111111111111111(1...)(...)(1...)(...)2342014234520152345201420152342014-----⨯+++++--------⨯++++。
【通用版】2020年中考数学总复习 第二轮 中考题型专题 专题复习(三)阅读理解题试题
专题复习(三) 阅读理解题1．(2016·湖州)定义：若点P(a ，b)在函数y ＝1x 的图象上，将以a 为二次项系数，b 为一次项系数构造的二次函数y ＝ax 2＋bx 称为函数y ＝1x 的一个“派生函数”．例如：点(2，12)在函数y ＝1x 的图象上，则函数y ＝2x 2＋12x 称为函数y ＝1x的一个“派生函数”．现给出以下两个命题：(1)存在函数y ＝1x 的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y 轴的右侧；(2)函数y ＝1x 的所有“派生函数”的图象都经过同一点．下列判断正确的是(C)A ．命题(1)与命题(2)都是真命题B ．命题(1)与命题(2)都是假命题C ．命题(1)是假命题，命题(2)是真命题D ．命题(1)是真命题，命题(2)是假命题 提示：(1)∵P(a，b)在y ＝1x 上，∴a 和b 同号．∴对称轴在y 轴左侧．∴存在函数y ＝1x 的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y 轴的右侧，是假命题；(2)∵函数y ＝1x 的所有“派生函数”为y ＝ax 2＋bx ，∴x ＝0时，y ＝0.∴所有“派生函数”的图象都经过原点．∴函数y ＝1x的所有“派生函数”的图象都经过同一点，是真命题．故选C.2．(2016·永州)我们根据指数运算，得出了一种新的运算，下表是两种运算对应关系的一组实例：27 3根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216＝4；②log 525＝5；③log 212＝－1.其中正确的是(B)A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③3．(2016·益阳)我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数y ＝－3x 的图象上有一些整点，请写出其中一个整点的坐标答案不唯一，如：(1，－3)．4．(2016·雅安)P 为正整数，现规定P ！＝P(P －1)(P －2)×…×2×1，若m ！＝24，则正整数m ＝4． 5．(2016·凉山)阅读下列材料并回答问题：材料：如果一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记p ＝a ＋b ＋c2，那么三角形的面积为S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ）.①古希腊几何学家海伦(Heron ，约公元50年)，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．他在《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称海伦公式．我国南宋数学家秦九韶(约1202—约1261)，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：S ＝下面我们对公式②进行变形： 14[a 2b 2－（a 2＋b 2－c 22）2] ＝（12ab ）2－（a 2＋b 2－c 24）2 ＝（12ab ＋a 2＋b 2－c 24）（12ab －a 2＋b 2－c 24） ＝2ab ＋a 2＋b 2－c 24·2ab －a 2－b 2＋c24＝（a ＋b ）2－c 24·c 2－（a －b ）24＝a ＋b ＋c 2·a ＋b －c 2·a ＋c －b 2·b ＋c －a 2＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ）.这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称①为海伦—秦九韶公式．问题：如图，在△ABC 中，AB ＝13，B C ＝12，AC ＝7，⊙O 内切于△ABC，切点分别是D 、E 、F.(1)求△ABC 的面积； (2)求⊙O 的半径．解：(1)∵AB＝13，BC ＝12，AC ＝7， ∴p ＝13＋12＋72＝16.∴S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ）＝16×（16－12）×（16－7）×（16－13） ＝24 3.(2)连接OE 、OF 、OD 、OB 、OC 、OA.设⊙O 的半径为r. ∵BC 切⊙O 于E 点，∴OE ⊥BC. ∴S △OBC ＝12BC·OE＝12ar.同理：S △OAC ＝12br ，S △OAB ＝12cr.∴S △ABC ＝S △OBC ＋S △OAC ＋S △OAB ＝12r(a ＋b ＋c)．∴12r(12＋7＋13)＝243，解得r ＝332.6．(2016·重庆)我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p×q(p，q 是正整数，且p≤q)，在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的最佳分解．并规定：F(n)＝pq .例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1＞6－2＞4－3，所有3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝34.(1)如果一个正整数a 是另外一个正整数b 的平方，我们称正整数a 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m ，总有F(m)＝1；(2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y(1≤x≤y≤9，x ，y 为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t 为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F(t)的最大值．解：(1)证明：对任意一个完全平方数m ，设m ＝n 2(n 为正整数)， ∵|n －n|＝0，∴n ×n 是m 的最佳分解． ∴对任意一个完全平方数m ，总有F(m)＝nn＝1.(2)设交换t 的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y ＋x ， ∵t 为“吉祥数”，∴t ′－t ＝(10y ＋x)－(10x ＋y)＝9(y －x)＝18. ∴y －x ＝2，即y ＝x ＋2.∵1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数，∴“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79. ∴F(13)＝113，F(24)＝46＝23，F(35)＝57，F(46)＝223，F(57)＝319，F(68)＝417，F(79)＝179. ∵57＞23＞417＞319＞223＞113＞179， ∴所有“吉祥数”中，F(t)的最大值是57.7．(2015·遂宁改编)阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 计算：(1－12－13－14)×(12＋13＋14＋15)－(1－12－13－14－15)×(12＋13＋14)．令12＋13＋14＝t ，则 原式＝(1－t)×(t＋15)－(1－t －15)×t＝t ＋15－t 2－15t －t ＋t 2＋15t＝15. 问题：(1)计算：(1－12－13－14－…－12 015)×(12＋13＋14＋…＋12 016)－(1－12－13－14－…－12 016)×(12＋13＋14＋…＋12 015)； (2)解方程：(x 2＋5x ＋1)(x 2＋5x ＋7)＝7. 解：(1)令12＋13＋14…＋12 015＝t ，则原式＝(1－t )×(t＋12 016)－(1－t －12 016)×t＝t ＋12 016－t 2－12 016t －t ＋t 2＋12 016t＝12 016. (2)令x 2＋5x ＝t ，则原方程化为(t ＋1)(t ＋7)＝7.整理，得t 2＋8t ＝0，解得t ＝0或t ＝－8.①当t ＝0时，x 2＋5x ＝0，解得x ＝0或x ＝－5；②当t ＝－8时，x 2＋5x ＝－8，即x 2＋5x ＋8＝0.∵Δ＝b 2－4ac ＝52－4×1×8＝－7<0， ∴此方程无解．因此原方程的解是x ＝0或x ＝－5.8．(2016·郴州)设a 、b 是任意两个实数，规定a 与b 之间的一种运算“⊕”为：a⊕b＝⎩⎪⎨⎪⎧b a （a ＞0），a －b （a≤0），例如：1⊕(－3)＝－31＝－3，(－3)⊕2＝(－3)－2＝－5，(x 2＋1)⊕(x－1)＝x －1x 2＋1(因为x 2＋1＞0)．参照上面材料，解答下列问题： (1)2⊕4＝2，(－2)⊕4＝－6；(2)若x ＞12，且满足(2x －1)⊕(4x 2－1)＝(－4)⊕(1－4x)，求x 的值．解：∵x＞12，∴2x －1＞0.∴(2x －1)⊕(4x 2－1)＝4x 2－12x －1＝（2x ＋1）（2x －1）2x －1＝2x ＋1.∵－4＜0，∴(－4)⊕(1－4x)＝－4－(1－4x)＝－4－1＋4x ＝－5＋4x.∴2x ＋1＝－5＋4x ，解得x ＝3.9．(2016·咸宁)阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形．设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把1sin α的值叫做这个平行四边形的变形度．(1)若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是1203猜想证明：(2)若矩形的面积为S 1，其变形后的平行四边形面积为S 2，试猜想S 1，S 2，1sin α之间的数量关系，并说明理由；拓展探究：(3)如图2，在矩形ABCD 中，E 是AD 边上的一点，且AB 2＝AE·AD，这个矩形发生变形后为平行四边形A 1B 1C 1D 1，E 1为E 的对应点，连接B 1E 1，B 1D 1，若矩形ABCD 的面积为4m(m ＞0)，平行四边形A 1B 1C 1D 1的面积为2m(m ＞0)，试求∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1的度数．图1 图2 图3解：(2)猜想：1sin α＝S 1S 2.理由如下：如图3，设矩形的长和宽分别为a ，b ，其变形后的平行四边形的高为h. 则S 1＝ab ，S 2＝ah ，sin α＝hb.∴S 1S 2＝ab ah ＝b h ，1sin α＝b h .∴1sin α＝S 1S 2. (3)由AB 2＝AE·AD，可得A 1B 21＝A 1E 1·A 1D 1，即A 1B 1A 1D 1＝A 1E 1A 1B 1.又∵∠B 1A 1E 1＝∠D 1A 1B 1，∴△B 1A 1E 1∽△D 1A 1B 1.∴∠A 1B 1E 1＝∠A 1D 1B 1. ∵A 1D 1∥B 1C 1，∴∠A 1E 1B 1＝∠C 1B 1E 1.∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1＝∠C 1B 1E 1＋∠A 1B 1E 1＝∠A 1B 1C 1. 由(2)中1sin α＝S 1S 2，可知1sin ∠A 1B 1C 1＝4m2m ＝2.∴sin ∠A 1B 1C 1＝12.∴∠A 1B 1C 1＝30°.∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1＝30°.10．(2016·邵阳)尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF ，BE 是△ABC 的中线，且AF⊥BE，垂足为P ，设BC ＝a ，A C ＝b ，AB ＝c.求证：a 2＋b 2＝5c 2. 该同学仔细分析后，得到如下解题思路：先连接EF ，利用EF 为△ABC 的中位线得到△EPF∽△BPA，故EP BP ＝PF PA ＝EF BA ＝12，设PF ＝m ，PE ＝n ，用m ，n 把PA ，PB分别表示出来，再在Rt △APE ，Rt △BPF 中利用勾股定理计算，消去m ，n 即可得证． (1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程； (2)利用题中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形ABCD 中，O 为对角线AC ，BD 的交点，E ，F 分别为线段AO ，DO 的中点，连接BE ，CF 并延长交于点M ，BM ，CM 分别交AD 于点G ，H ，如图2所示，求MG 2＋MH 2的值．解：(1)连接EF ，设PF ＝m ，PE ＝n. ∵AF ，BE 是△ABC 的中线，∴EF 为△ABC 的中位线，AE ＝12b ，BF ＝12a.∴EF ∥AB ，EF ＝12c.∴△EPF ∽△BPA. ∴EP BP ＝PF PA ＝EF BA ＝12，即n PB ＝m PA ＝12. ∴PB ＝2n ，PA ＝2m.在Rt △AEP 中，∵PE 2＋PA 2＝AE 2， ∴n 2＋4m 2＝14b 2.①在Rt △BFP 中，∵PF 2＋PB 2＝BF 2， ∴m 2＋4n 2＝14a 2.②①＋②，得5(n 2＋m 2)＝14(a 2＋b 2)．在Rt △EFP 中，∵PE 2＋PF 2＝EF 2， ∴n 2＋m 2＝14c 2.∴5·14c 2＝14(a 2＋b 2)，即a 2＋b 2＝5c 2.(2)连接EF.∵四边形ABCD 为菱形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，BD ⊥AC.∵E ，F 分别为线段AO ，DO 的中点， ∴EF ∥AD ，EF ＝12AD.∴EF ∥BC ，EF ＝12BC.∴E ，F 分别是BM ，CM 的中点．由(1)的结论得MB 2＋MC 2＝5BC 2＝5×32＝45. ∵AG ∥BC ，∴△AEG ∽△CEB. ∴AG BC ＝AE CE ＝13.∴AG＝1. 同理可得DH ＝1.∴GH ＝AD －AG －DH ＝1. 又∵GH∥BC，∴MG MB ＝MH MC ＝GH BC ＝13.∴MB ＝3GM ，MC ＝3MH.∴9MG 2＋9MH 2＝45，即MG 2＋MH 2＝5.11．(2016·永州)问题探究： 1．新知学习若把将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“面线”，其“面线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“面径”(例如圆的直径就是圆的“面径”)． 2．解决问题已知等边△ABC 的边长为2.(1)如图1，若AD⊥BC，垂足为D ，试说明AD 是△ABC 的一条面径，并求AD 的长； (2)如图2，若M E∥BC，且ME 是△ABC 的一条面径，求面径ME 的长；(3)如图3，已知D 为BC 的中点，连接AD ，M 为AB 上的一点(0＜AM ＜1)，E 是DC 上的一点，连接ME ，ME 与AD 交于点O ，且S △MOA ＝S △DOE .①求证：ME 是△ABC 的面径； ②连接AE ，求证：MD∥AE；(4)请你猜测等边三角形ABC 的面径长l 的取值范围(直接写出结果)．提示：x 2＋y 2≥2xy. 解：(1)∵AB＝AC ＝BC ＝2，AD ⊥BC ， ∴BD ＝DC ＝1，∴S △ABD ＝S △ACD . ∴线段AD 是△ABC 的面径． 又∵∠B＝60°，∴AD ＝B D·tanB ＝ 3.(2)∵ME∥BC，且ME 是△ABC 的一条面径， ∴△AME ∽△ABC ，S △AME S △ABC ＝12.∴ME BC ＝12.(3)①证明：∵D 为BC 的中点，∴S △ABD ＝S △ACD . ∴S 四边形BDOM ＋S △MOA ＝S 四边形ACEO ＋S △DOE . 又S △MOA ＝S △DOE ，∴S 四边形BDOM ＋S △DOE ＝S 四边形ACEO ＋S △MOA ， 即S △BME ＝S 四边形ACEM . ∴ME 是△ABC 的面径．②作MN⊥AE 于N ，DF ⊥AE 于F ， 则MN∥DF. ∵S △MOA ＝S △DOE ，∴S △MOA ＋S △AOE ＝S △DOE ＋S △AOE ， 即S △AEM ＝S △AED .∴12AE·MN＝12AE·DF.∴MN＝DF. 又∵MN∥DF，∴四边形MNFD 是平行四边形． ∴DM ∥AE.(4)作MH⊥BC 于H ，设BM ＝x ，BE ＝y ， ∵DM ∥AE ，∴BM BA ＝BD BE .∴x 2＝1y.∴xy＝2.在Rt △MBH 中，∵∠MHB ＝90°，∠B ＝60°，BM ＝x ， ∴BH ＝12x ，MH ＝32x.∴ME ＝MH 2＋EH 2＝（32x ）2＋（y －12x ）2＝x 2＋y 2－xy ≥2xy －xy ， 即ME≥ 2.∵ME 、AD 都是等边△ABC 的面径，∴等边△ABC 的面径长l 的取值范围是2≤l≤ 3.。
【2019-2020】中考数学试题分项版解析汇编第05期专题14阅读理解问题含解析
应用，当 时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.
【答案】直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4
Ⅱ、当b=5时，即m=5，代入 ①③得，a=12，c=13，
Ⅲ、当c=5时， （m2+1）=5，解得：m=±3，
∵m＞0，
∴m=3，代入①②得，a=4，b=3，
综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12， 13或3，4．
连接DF交PC于O．
∵∠ADC=150°，
∴∠MDC=30°，
在Rt△DCM中，∵CD=2 ，∠DCM=90°，∠MDC=30°，
∴CM=2，DM=4，∠M=60°，
在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=14，∠MBE=30°，
∴EM= BM=7，
∴DE=EM﹣DM=3，
∵AD=6，
∴AE=DE ，∵BE⊥AD，
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
考点：1、解一元二次方程﹣因式分解法；2、实数大小比较；3、函数的图象
4.（20xx年湖南省××市第8题）已知点 在函数 （ ）的图象上，点 在直线 （ 为常数，且 ）上，若 ， 两点关于原点对称，则称点 ， 为函数 ， 图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为
②如图3中，
∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°，
∴∠B′AC′=∠BAC=90°，
∵AB=AB′，AC=AC′，
∴△BAC≌△B′AC′，
∴BC=B′C′，
∵B′D=DC′，
∴AD= B′C′= BC=4，
故答案为4．
（3）存在．
理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．
中考数学复习阅读理解专题试题
阅读理解专题阅读理解型问题一般文字表达较长，信息量较大，各种关系错综复杂，往往是先给一个材料，或者介绍一个新的知识点，或者给出针对某一种题目的解法，然后再给合条件出题.解决这类题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含的数学知识、结论，或者提醒的数学规律，或者暗示的解题方法，然后展开联想，如何从题目给定的材料获得新信息、新知识、新方法进展迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.一、新定义型例1 对于实数a ，b ，定义运算“*〞：a*b ＝22()().a ab a b ab b a b ⎧-⎪⎨-⎪⎩≥，＜例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42－4×2＝8．假设x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，那么x 1*x 2＝_________________．分析：用公式法或者因式分解法求出方程的两个根，然后利用新定义解之.解：可以用公式法求出方程x 2－5x ＋6＝0的两个根是2和3，可能是x 1=2，x 2=3，也可能是x 1=3，x 2=2，根据所给定义运算可知原题有两个答案3或者－3．.此题容易无视讨论思想，会少一种情况.评注：此题需要学生先通过阅读掌握新定义公式，再利用类似方法解决问题．考察了学生观察问题，分析问题，解决问题的才能． 跟踪训练：1.假设定义：f(a,b)=(-a,b)，g(m,n)=(m,-n)，例如(1,2)(1,2)f =-，(4,5)(4,5)g --=-，那么((2,3))g f -等于〔 〕A ．〔2，-3〕B ．〔-2，3〕C ．〔2，3〕D ．〔-2，-3〕2．对于实数x,我们规定【x 】表示不大于x 的最大整数，例如[]12.1=，[]33=，[]35.2-=-，假设5104=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x ，那么x 的值可以是〔 〕 A ．40 B ．45 C ．51 D ．56二、类比型例2 阅读下面材料后，解答问题.分母中含有未知数的不等式叫分式不等式.如：01-x 3x 2 01x 2-x ＜，＞++等 .那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法那么可知，两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为：〔1〕假设a ＞0 ，b ＞0 ，那么b a ＞0，假设a ＜0 ，b ＜0，那么b a＞0； 〔2〕假设a ＞0 ，b ＜0 ，那么b a ＜0 ，假设a ＜0，b ＞0 ，那么ba＜0.反之，〔1〕假设b a＞0，那么⎩⎨⎧⎩⎨⎧；＜，＜或，＞，＞0b 0a 0b 0a 〔2〕假设ba＜0 ，那么__________或者_____________． 根据上述规律，求不等式 ﹙A ﹚ ，＞012x +-x ﹙B ﹚2x 2-3x+2021＜2021的解集. 分析：对于〔2〕，根据两数相除，异号得负解答；先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后解一元一次不等式组即可．对于〔A 〕，据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可；对于〔B 〕，将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可. 解：〔2〕假设＜0，那么或者故答案为或者；由上述规律可知，不等式﹙A ﹚转化为或者所以x ＞2或者x ＜﹣1．不等式﹙B ﹚即为2x 2-3x+1＜0.∵2x 2-3x+1=﹙x －1﹚〔2x-1〕，∴2x 2-3x+1＜0可化为﹙x －1﹚〔2x-1〕＜0.由上述规律可知①10230x x ->⎧⎨-<⎩或者②10230x x -<⎧⎨->⎩解不等式组①，无解， 解不等式组②，得21<x<1. ∴不等式2x 2-3x+2021＜2021的解集为21<x<1． 评注：此题本质是一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解不等式转化为不等式组的方法是解题关键．例4 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin 〔α±β〕=sinαcosβ±cosαsinβ；tan 〔α±β〕=tan tan 1tan tan αβαβ± .利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值． 例：tan15°=tan〔45°-30°〕=tan 45-tan 301tan 45tan 30︒︒+︒︒=1==根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题 〔1〕计算：sin15°；〔2〕一铁塔是标志性建筑物之一〔图1〕，小草想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小草站在与塔底A 相距7米的C 处，测得塔顶的仰角为75°，小草的眼睛离地面的间隔DC ，〕．分析：〔1〕把15°化为〔45°-30°〕以后，再利用公式sin 〔α±β〕=sinαcosβ±cosαsinβ计算，即可求出sin15°的值；〔2〕先根据锐角三角函数的定义求出BE 的长，再根据AB=AE+BE 即可得出结论． 解：﹙1﹚sin15°=sin〔45°-30°〕=sin45°cos30°-232162622-==〔2〕在Rt △BDE 中，∵∠BED=90°，∠BDE=75°，DE=AC=7米， ∴BE=DEtan ∠BDE=DEtan75°． ∵tan75°=tan〔45°+30°〕=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒=31(33)(33)126333(33)(33)1+++==+--3∴BE=7〔333≈27.7〔米〕． 答：乌蒙铁塔的高度约为．评注：此题考察了特殊角的三角函数值和仰角的知识，此题难度中等，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想的应用.例5阅读材料：小艳在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=〔1+〕2．擅长考虑的小艳进展了以下探究：设a+b=〔m+n〕2〔其中a，b，m，n均为正整数〕，那么有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小艳就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小艳的方法探究并解决以下问题：〔1〕当a，b，m，n均为正整数时，假设a+b=，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a= ，b= ；〔2〕利用所探究的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： + =〔 + 〕2；〔3〕假设a+4=，且a，m，n均为正整数，求a的值.分析:〔1〕根据完全平方公式的运算法那么，即可得出a，b的表达式；〔2〕首先确定m，n的正整数值，然后根据〔1〕的结论即可求出a，b的值；〔3〕根据题意，4=2mn，首先确定m，n的值，通过分析m=2，n=1或者者m=1，n=2，然后即可确定a的值．解：〔1〕∵a+b=，∴a+b=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn．故答案为m2+3n2，2mn．〔2〕设m=1，n=1，∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．故答案为4，2，1，1．〔3〕由题意，得a=m2+3n2，b=2mn.∵4=2mn，且m，n为正整数，∴m=2，n=1或者者m=1，n=2.∴a=22+3×12=7，或者a=12+3×22=13．评注：此题主要考察二次根式的混合运算，完全平方公式，关键在于纯熟运算完全平方公式和二次根式的运算法那么．例6 阅读：大家知道，在数轴上，x=1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x=1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x-y+1=0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y=2x+1的图象，它也是一条直线，如图3-①.观察图①可以得出，直线x=1与直线y=2x+1的交点P 的坐标(1,3)就是方程组⎩⎨⎧=+-=012,1y x x 的解，所以这个方程组的解为⎩⎨⎧==.3,1y x 在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x=1以及它的左侧局部，如图3-②. y≤2x+1也表示一个平面区域，即直线y=2x+1以及它下方的局部，如图3-③.(5) 图3答复以下问题：(1)在如图3-④所示直角坐标系中，用作图象的方法求出方程组⎩⎨⎧+-=-=22,2x y x 的解；(2)用阴影表示不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥0,22,2y x y x 所围成的区域.分析：通过阅读材料可知，要解决第(1)小题，只要画出函数x=-2和y=-2x+2的图象，找出它们的交点坐标即可；第(2)小题，该不等式组表示的区域就是直线x=-2及其右侧的局部，直线y=-2x+2及其下方的局部和y=0及其上方的局部所围成的公一共区域.解：〔1〕如图3-⑤所示，在坐标系中分别作出直线x=-2和直线y=-2x+2，观察图象可知，这两条直线的交点是P(-2,6). 所以⎩⎨⎧=-=6,2y x 是方程组⎩⎨⎧+-=-=22,2x y x 的解. 〔2〕如图3-⑤所示.评注：此题给出了一个全新的知识情景，通过阅读材料，可知材料中给出一种解决问题的方法，即方程组的解就是两个函数图象的交点坐标；不等式或者不等式组的解集可以用坐标系中图形区域直观地表示出来，不仅要掌握这种方法，还能在原解答的根底上，用这种方法解决类似的问题.解答这类问题的关键是弄清解题原理，详细分析解题思路，梳理前后的因果关系以及每一步变形的理论根据，然后给出问题的解答.通过该题的解答，我们理解了用函数的图象来解方程组或者不等式组，是解方程组或者不等式组的一种特殊方法. 跟踪训练：3.先阅读理解下面的例题，再按要求解答以下问题：解一元二次不等式x 2-4＞0. 解：不等式x 2-4＞0可化为 〔x+2〕〔x-2〕＞0，由有理数的乘法法那么“两数相乘，同号得正〞，得 ①2020x x +>⎧⎨->⎩②2020x x +<⎧⎨-<⎩解不等式组①，得x ＞2，解不等式组②，得x ＜-2.∴〔x+2〕〔x-2〕＞0的解集为x ＞2或者x ＜-2，即一元二次不等式x 2-4＞0的解集为x ＞2或者x ＜-2．〔1〕一元二次不等式x 2-16＞0的解集为 ； 〔2〕分式不等式103x x ->-的解集为 ；材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为23326A =⨯=.一般地，从n 个不同的元素中选取m 个元素的排列数记作mn A .(1)(2)(3)(1)m n A n n n n n m =---⋅⋅⋅-+ 〔m ≤n 〕.材料2：从三张不同的卡片中选取两张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的组合，组合数为2332321C ⨯==⨯. 例：从6个不同的元素选3个元素的组合数为3665420321C ⨯⨯==⨯⨯.阅读后答复以下问题：〔1〕从5张不同的卡片中选出3张排成一列，有几种不同的排法？ 〔2〕从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有多少种不同的选法？ 答案：1. 解：由题意，得f(2，－3)=(－2，－3)，所以g(f(2，－3))=g(－2，－3)=(－2，3)，应选B ． 2 .C3.解：〔1〕不等式x 2-16＞0可化为 〔x+4〕〔x-4〕＞0，由有理数的乘法法那么“两数相乘，同号得正〞，得①4040x x +>⎧⎨->⎩或者②4040x x +<⎧⎨-<⎩解不等式组①，得x＞4，解不等式组②，得x＜-4.∴〔x+4〕〔x-4〕＞0的解集为x＞4或者x＜-4，即一元二次不等式x2-16＞0的解集为x＞4或者x＜-4．〔2〕∵13xx->-，∴1030xx->⎧⎨->⎩或者1030xx-<⎧⎨-<⎩解得x＞3或者x＜1.4.解：〔1〕3554360A=⨯⨯=；〔2〕3887656 321C⨯⨯==⨯⨯.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第一期)专题41阅读理解、图表信息(含解析)
2019年全国各地中考数学试题分类汇编（第一期）专题阅读理解、图表信息（包括新定义，新运算）（含解析）一.选择题1.（2019?胡北武汉？3 分）观察等式：2+22= 23—2; 2+22+23=24—2; 2+22+23+24= 25 - 2--已知按一定规律排列的一组数：250、251.252.…、2992100,若250 = a,用含a的式子表示这组数的和是（）A. 2a2- 2aB. 2a2- 2a - 2C. 2a2-aD. 2a2+a【分析】由等式：2+22 = 2^ - 2 ; 2+22+2^= 2^ - 2; 2+22+2^+2^= 2^ - 2,得出规律：2+22+23+…+2n=2n+1- 2,那么250+251+252+…+299+2100= （2+22+23+…+210°）-（2+22+23+…+249）,将规律代入计算即可.【解答】解：2+22=23— 2;2+22+23= 24 - 2;2+22+23+24=25- 2;2+22+23+--- +2n= 2n+1 - 2,,250+251+252+ +299+2100=(2+22+23+--+2100) - ( 2+22+23+ (249)=(2101 - 2) - ( 250- 2)=2101 - 250,250= a,••-2101= ( 250) 2?2=2a2,「.原式=2a2- a.【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题.解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n=2n+1 - 2.2.（2019?湖南岳阳？3分）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a,我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点X1,X2,且X1V1VX2, 则c的取值范围是（）■ c r c 八 1 r ，A.cv - 3B.cv - 2C. c<—D. c< 14【分析】由函数的不动点概念得出X1.X2是方程x2+2x+c= x的两个实数根，由X1V1VX2fl-4c>0知一，解之可得.（l+l+c<0【解答】解：由题意知二次函数y= X2+2X+C有两个相异的不动点X1.X2是方程X2+2x+C=X的两个实数根，且X1V 1 < x2,整理，得：x2+x+c=0,l+l+c<0解得c< - 2,故选：B.【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c的不等式.3.（2019?胡南邵阳？3分）学校举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生.在这次义卖活动中，某班级售书情况如表：A .该班级所售图书的总收入是226元B.在该班级所售图书价格组成的一组数据中，中位数是 4C.在该班级所售图书价格组成的一纽数据中，众数是15D.在该班级所售图书价格组成的一组数据中，方差是2【分析】把所有数据相加可对A进行判断；利用中位数和众数的定义对 B.C进行判断；利用方差的计算公式计算出这组数据的方差，从而可对D进行判断（当然前面三个判断了可直接对D进行判断）.【解答】解：A.该班级所售图书的总收入为3X 14+4 X 11+5X 10+6X 15=226,所以A选项正确；B.第25个数为4,第26个数为5,所以这组数据的中位数为 4.5,所以B选项错误;C.这组数据的众数为4,所以C选项错误；D.这组数据的平均数为= ?至=4.52,所以这组数据的方差S2=X[14 (3-4.52) 2+1150 50(4- 4.52) 2+10 (5- 4.52) 2+15 (6- 4.52) 2]=1.4,所以D 选项错误.故选：A .【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，X1, X2,…xn的平均数为，则方差S2=—[ (x1-)2+(X2-) 2+--- + (Xn-)2],也考查了中位数和众数.n4.(2019?胡南株洲？3分)从-1, 1, 2, 4四个数中任取两个不同的数(记作ak, b。
2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第二期)专题41阅读理解、图表信息(含解析)
阅读理解、图表信息（包括新定义，新运算）.选择题1. （2019?甘肃省庆阳市?3分）如图①，在矩形ABCD中，AB V AD，对角线AC, BD相交于点0,动点P由点A出发，沿AB T BC~CD向点D运动.设点P的运动路程为x,A AOP 的面积为y, y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）① ②A . 3B . 4 C. 5 D. 6【分析】当P点在AB上运动时，△ A0P面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△ A0P面积最大为3，得到AB与BC的积为12;当P点在BC上运动时，△ A0P 面积逐渐减小，当P点到达C点时，△ A0P面积为0,此时结合图象可知P点运动路径长为7,得到AB与BC的和为7,构造关于AB的一元二方程可求解.【解答】解：当P点在AB上运动时，△ A0P面积逐渐增大，当P点到达B点时，△ A0P 面积最大为3.•••丄AB?- BC= 3,即卩AB?BC = 12.2 2当P点在BC上运动时，△ A0P面积逐渐减小，当P点到达C点时，△ A0P面积为0, 此时结合图象可知P点运动路径长为7,• AB+BC= 7.2贝U BC = 7- AB，代入AB?BC= 12,得AB2- 7AB+12= 0,解得AB = 4 或3,因为AB V AD,即卩AB V BC,所以AB = 3, BC= 4.故选：B.【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值.二.填空题1. （2019?浙江湖州?4分）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为东方魔板”.由边长为4「的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合,点P在边EH上），则拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是_4 -E H【分析】如图2中，连接EG , GM丄EN交EN的延长线于M，禾U用勾股定理解决问题即可.【解答】解：如图2中，连接EG,作GM丄EN交EN的延长线于M .在Rt A EMG 中，•/ GM = 4, EM = 2+2+4+4 = 12 ,••• EG=J 专：厂一丄=4 . II,••• EH = 1'； = 4 7,V2故答案为4二.F H【点评】本题考查正方形的性质，七巧板，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.2. （2019?甘肃省庆阳市?3分）如图①，在矩形ABCD中，AB v AD，对角线AC, BD相交于点0,动点P由点A出发，沿AB T BC~CD向点D运动.设点P的运动路程为x,A AOP 的面积为y, y 与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）① ②A. 3B. 4C. 5D. 6【分析】当P点在AB上运动时，△ AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△ AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12;当P点在BC上运动时，△ AOP 面积逐渐减小，当P点到达C点时，△ AOP面积为0,此时结合图象可知P点运动路径长为7,得到AB与BC 的和为7,构造关于AB的一元二方程可求解.【解答】解：当P点在AB上运动时，△ AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△ AOP 面积最大为3.••• 1 AB? BC= 3,即卩AB7BC = 12.2 2当P点在BC上运动时，△ AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△ AOP面积为0, 此时结合图象可知P点运动路径长为7,• AB+BC= 7.贝U BC = 7- AB，代入AB?BC= 12,得AB2- 7AB+12= 0,解得AB = 4 或3,因为AB v AD,即卩AB V BC,所以AB = 3, BC= 4.故选：B.【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值.3. （2019?广西北部湾经济区?3分）如图，AB为O O的直径，BC.CD是O O的切线，切点分别为点B.D，点E为线段OB上的一个动点，连接OD, CE , DE,已知AB=2 , , BC=2 ,当CE+DE的值最小时，则——的值为（）解：延长CB到F使得BC=CF，则C与F关于0B对称，连接DF与0B相交于点E,此时CE+DE=DF 值最小，连接OC , BD ，两线相交于点 G ,过D 作DH 丄0B 于H ,则0C 丄BD , 0C= J —絆=订嘗匚八 •/ OB?BC=OC^BG ,••• BD=2BG= ",,3•••OD 2-OH 2=DH 2=BD 2-BH 2,S L:.BH= ,g•/ DH // BF ,EF BF 2 !）CE 9…,DE KJ故选：A .延长CB 到F 使得BC=CF ,则C 与F 关于OB 对称，连接 DF 与OB 相交于点E ,此时 CE+DE=DF 值最小，连接 OC , BD ,两线相交于点 G ,过D 作DH 丄0B 于H ,先求得BG ,rr np再求BH ,进而DH ,运用相似三角形得，便可得解.DE DJI本题是圆的综合题, 主要考查了切线长定理， 切线的性质，相似三角形的性质与判定， 勾股定理，将军饮马问题，问题较复杂，作的辅助线较多，正确作辅助线是解决问题的关键. 三.解答题1. （2019?盐城）【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金A...B.-C.-D.—【答案】A 【解析】额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如：第一次（1）完成上表；（2）计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价. （均价=总金额十总质量）【数学思考】设甲每次买质量为m千克的菜，乙每次买金额为n元的菜，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含有m、n、a、b的式子，分别表示出甲、乙两次买菜的均价丁三、，比较丁三、一的大小，并说明理由.【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次•在没有水流时，船的速度为V,所需时间为ti ;如果水流速度为p时（p v V）,船顺水航行速度为（V+P）,逆水航行速度为（V-P）,所需时间为t2•请借鉴上面的研究经验，比较t i、t2的大小，并说明理由.【分析】（1 ）禾9用均价=总金额十总质量可求；（2）利用均价=总金额十总质量可求甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价；【数学思考】分别表示出〒、J,然后求差，把分子配方，禾U用偶次方的非负性可得答案；【知识迁移】分别表示出〒、丁一，然后求差，判断分式的值总小于等于0,从而得结论.【解答】解：（1） 2 X 1 = 2 （元）,3 -2= 1.5 （元/千克） 故答案为2; 1.5.（2）甲两次买菜的均价为：（3+2）- 2= 2.5 （元/千克） 乙两次买菜的均价为： (3+3)-( 1+1.5)= 2.4 (元 /千克)•••甲两次买菜的均价为 2.5 （元/千克），乙两次买菜的均价为 2.4 （元/千克）. ------------ == a+b = 2 耳b丁—「=二，丁 = •. =a b— --- ----- : __ ■■- _= U ! _ > 0丁 ―工 =「r 0• >• •:卡一丁.■/ 0 v p v v• t [ - t 2 V 0•- t 1 V t 2.【点评】 本题主要考查了均价=总金额十总质量的基本计算方法，以及分式加减运算和 完全平方公式在计算中的应用，本题计算量较大.2201720182. （2019?四川自贡?10分）阅读下列材料：小明为了计算 1+2+2 +…+2 +2 的值，采用以下方法：设 S = 1+2+2 2+…+22017+22°18①则 2S = 2+22+…+22018+22019②2019②-①得 2S - S = S = 2- 12201720182019 彳..S = 1+2+2 +•• •+ 2 +2= 2 - 1请仿照小明的方法解决以下问题： (1) 1+2+22+- +29= 210- 1Q 1 1 I(2) 3+32+…+310 =_ =（3）求1+a+a 2 + ・・・+a n 的和（a > 0, n 是正整数，请写出计算过程）【数学思考】 【知识迁移】t 1=二, t 2 = ——+ ：：Wp v-p2mv~ 2 v -p2辭=【分析】（1）利用题中的方法设S= 1+2+22+...+29,两边乘以2得到2S= 2+22+ (29)然后把两式相减计算出S即可；（2）利用题中的方法设S = 1+3+32+33+3°+…+310，两边乘以3得到3S =2 3 4 5 113+32+33+34+35+…+311，然后把两式相减计算出S即可；(3)利用(2)的方法计算.2 9【解答】解：(1)设S= 1+2+2 +...+2① 则2S= 2+22+ (210)②-①得2S- S= S= 210- 12 9 10S= 1+2+2 + …+2 = 2 - 1 ;故答案为：210- 1(2)设S= 1+3+32+33+3°+…+3” ①，则3S= 3+32+3S+34+35+- +311②，11②-①得2S= 3 - 1,所以S=——-22 3 4 10 ■:'-I即1+3+3 +3 +3 + …+3 = ------------ -2O 1 1 _1故答案为：_12(3)设S= 1+a+a2+a3+a4+..+a n①，则aS= a+a2+a3+ a°+..+ a n+ a n+1②，②-①得：（a- 1）S= a n+1- 1,n+1所以s=：—a-1n+1 12 3 4 n -即1+a+a +a +a +..+ a ----------- :—a-1【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法.。
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2019-2020年中考数学总复习：阅读理解型问题中考数学试卷分类汇编一、选择题1．对于非零的两个实数a，b，规定a⊕b＝1b－1a.若2⊕(2x－1)＝1，则x的值为(A)A.56 B.54C.32D．－16【解析】由2⊕(2x－1)＝1，得12x－1－12＝1，解得x＝56.2．用min{a，b}表示a，b两数中的最小数，若函数y＝min{x2－1，1－x2}，则y的图象为(A)【解析】当x<－1时，y＝1－x2；当－1≤x≤1时，y＝x2－1；当x>1时，y＝1－x2.3．在平面直角坐标系中，设点P到原点O的距离为ρ，OP与x轴正方向的夹角为α(取逆时针方向)，则用[ρ，α]表示点P的极坐标，显然，点P的极坐标与它的坐标存在一一对应关系．例如：点P的坐标为(1，1)，则其极坐标为[2，45°]．若点Q的极坐标为[4，60°]，则点Q的坐标为(A)A．(2，23) B．(2，－23)C．(23，2) D．(2，2)【解析】由题目的叙述可知极坐标中第一个数表示点到原点的距离，而第二个数表示这一点与原点的连线与x轴的夹角，极坐标Q[4，60°]，这一点在第一象限，则在平面直角坐标系中的横坐标是4·cos 60°＝2，纵坐标是4·sin 60°＝23，于是极坐标Q[4，60°]的坐标为(2，23)．4．若自然数n使得三个数的加法运算“n＋(n＋1)＋(n＋2)”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如：2不是“连加进位数”，因为2＋3＋4＝9不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为4＋5＋6＝15产生进位现象；51是“连加进位数”，因为51＋52＋53＝156产生进位现象．如果从0，1，2，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是(A) A．0.88 B．0.89C．0.90 D．0.91【解析】由题意，得0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32都不是“连加进位数”，其余各数都是“连加进位数”，∴在这100个数中“连加进位数”有88个，其概率为88100＝0.88.5．为了确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然数(见表格)，当明文中的字母对应的序号为β时，将β＋10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c.字母 a b c d e f g h i j k l m 序号0123456789101112 字母n o p q r s t u v w x y z 序号13141516171819202122232425 按上述规定，将明文“maths”译成密文后是(A)A．w kdrc B．w khtcC．eqdjc D．eqhjc【解析】m对应的数字是12，12＋10＝22，除以26的余数仍是22，因此对应字母w；a对应的数字是0，0＋10＝10，除以26的余数仍是10，因此对应字母k；t对应的数字是19，19＋10＝29，除以26的余数是3，因此对应字母d，同样推理得h对应r，∴译成密文后是w kdrc6．给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：①直线y＝0是抛物线y＝14x2的切线；②直线x＝－2与抛物线y＝14x2相切于点(－2，1)；③若直线y ＝x ＋b 与抛物线y ＝14x 2相切，则相切于点(2，1)；④若直线y ＝kx －2与抛物线y ＝14x 2相切，则实数k ＝ 2.其中正确命题的序号是(B )A ．①②④B ．①③C ．②③D ．①③④【解析】 ①∵直线y ＝0是x 轴，抛物线y ＝14x 2的顶点在x 轴上，∴直线y ＝0是抛物线y ＝14x 2的切线，故命题①正确；②∵直线x ＝－2与抛物线y ＝14x 2的对称轴(y 轴)平行，∴不符合定义，故命题②错误；③∵直线y ＝x ＋b 与抛物线y ＝14x 2相切，∴14x 2－x －b ＝0，∴Δ＝1＋b ＝0，解得b ＝－1.把b ＝－1代入14x 2－x －b ＝0，得x ＝2.把x ＝2代入抛物线表达式，得y ＝1，∴直线y ＝x ＋1与抛物线y ＝14x 2相切，且相切于点(2，1)，故命题③正确；④∵直线y ＝kx －2与抛物线y ＝14x 2相切，∴14x 2＝kx －2，即14x 2－kx ＋2＝0，Δ＝k 2－2＝0，解得k ＝±2，故命题④错误．综上所述，正确命题的序号是①③ .故选B.二、填空题7．阅读材料：设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a .根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两个实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为10． 【解析】 ∵x 1，x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两个实数根，∴x 1＋x 2＝－6，x 1x 2＝3，x 2x 1＋x 1x 2＝x 22＋x 12x 1x 2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＝36－63＝10. 8．我们定义一种新的运算“！”，即对非0自然数n ，有n ！＝n ×(n －1)×…×3×2×1，如3！＝3×2×1，4！＝4×3×2×1，则2015！2014！＝2015． 9．规定用符号[m ]表示一个实数m 的整数部分，例如：⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝0，[3.14]＝3.按此规定[10＋1]的值为4．【解析】 ∵32＜10＜42，∴3＜10＜4，∴4＜10＋1＜5，∴[10＋1]＝4.(第10题)10．如图，平面中两条直线l 1和l 2交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p ，q 分别是点M 到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”．根据上述定义，有以下几个结论：①“距离坐标”是(0，1)的点有1个；②“距离坐标”是(5，6)的点有4个；③“距离坐标”是(a ，a )(a 为非负实数)的点有4个． 其中正确的是②(填序号)．【解析】 ①距离坐标是(0，1)的点有2个，在直线l 1上关于点O 对称；②正确；③若a ＝0，则只有1个点．三、解答题11．先阅读下列材料，然后解答问题：材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为A 32＝3×2＝6.一般地，从n 个不同的元素中选取m 个元素的排列数记做A n m .A n m ＝n (n －1)(n －2)(n －3)…(n －m ＋1)(m ≤n )．例：从5个不同的元素中选取3个元素排成一列的排列数为A 53＝5×4×3＝60.材料2：从三张不同的卡片中选取两张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数为C 32＝3×22×1＝3.一般地，从n 个不同的元素中选取m 个元素的组合数记做C n m .C n m ＝n （n －1）（n －2）（n －3）…（n －m ＋1）m ·（m －1）（m －2）…×2×1(m ≤n )． 例：从6个不同的元素中选取3个元素排成一列的组合数为C 63＝6×5×43×2×1＝20.(1)从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有多少种不同的选法？(2)从7个人中选取4人，排成一列，有多少种不同的排法？【解析】 (1)C 83＝8×7×63×2×1＝56(种)． (2)A 74＝7×6×5×4＝840(种)．(第12题)12．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A ，B ，C ，D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D 的坐标为(0，－3)，AB 为半圆的直径，半圆圆心M 的坐标为(1，0)，半圆半径为2.(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的表达式，并写出自变量的取值范围．(2)你能求出经过点C 的“蛋圆”切线的表达式吗？试试看．(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D 的“蛋圆”切线的表达式．【解析】 (1)根据题意，得点A (－1，0)，B (3，0)，则可设抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －3)(a ≠0)．又∵点D (0，－3)在抛物线上，∴a (0＋1)(0－3)＝－3，解得a ＝1.∴y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3.自变量的取值范围是－1≤x ≤3.(2)设经过点C 的“蛋圆”的切线CE 交x 轴于点E ，连结CM .在Rt △MOC 中，∵OM ＝1，CM ＝2，∴∠CMO ＝60°，OC ＝ 3.在Rt △MCE 中，∵MC ＝2，∠CMO ＝60°，∴ME ＝4.∴点C ，E 的坐标分别为(0，3)，(－3，0)，∴切线CE 的表达式为y ＝33x ＋ 3.(3)设切线为y ＝kx －3，联立⎩⎨⎧y ＝kx －3，y ＝x 2－2x －3，则x 2－2x －3＝kx －3，x 2－(2＋k )x ＝0，令Δ＝0，则(2＋k )2＝0，解得k ＝－2，∴过点D 的“蛋圆”切线的表达式为y ＝－2x －3.13．如图①，在△ABC 中，沿∠BAC 的平分线AB 1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B 1A 1C 的平分线A 1B 2折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿∠B n A n C 的平分线A n B n ＋1折叠，点B n 与点C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则称∠BAC 是△ABC 的好角．(第13题)小丽展示了确定∠BAC 是△ABC 的好角的两种情形．情形一：如图②，沿等腰三角形ABC 顶角∠BAC 的平分线AB 1折叠，点B 与点C 重合；情形二：如图③，沿∠BAC 的平分线AB 1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B 1A 1C 的平分线A 1B 2折叠，此时点B 1与点C 重合．探究发现：(1)在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，经过两次折叠，∠BAC 是不是△ABC 的好角？答：________(填“是”或“不是”)．(2)小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C(不妨设∠B＞∠C)之间的等量关系为________．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C(不妨设∠B＞∠C)之间的等量关系为________．应用提升：(3)小丽找到一个三角形，三个角分别为15°，60°，105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．【解析】(1)是[由折叠的性质知，∠B＝∠AA1B1.∵∠AA1B1＝∠A1B1C＋∠C，而∠B＝2∠C，∴∠A1B1C＝∠C，就是说第二次折叠后∠A1B1C与∠C重合，因此∠BAC 是△ABC的好角]．(2)∠B＝3∠C，∠B＝n∠C[∵经过三次折叠∠BAC是△ABC的好角，∴第三次折叠的∠A2B2C＝∠C，如解图所示．(第13题解)∵∠ABB1＝∠AA1B1，∠AA1B1＝∠A1B1C＋∠C，又∵∠A1B1C＝∠A1A2B2，∠A1A2B2＝∠A2B2C＋∠C，∴∠ABB1＝∠A1B1C ＋∠C＝∠A2B2C＋∠C＋∠C＝3∠C.由上面的探索发现，若∠BAC是△ABC的好角，折叠一次重合，有∠B＝∠C；折叠二次重合，有∠B＝2∠C；折叠三次重合，有∠B＝3∠C；…；由此可猜想若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B＝n∠C.](3)∵最小角4°是△ABC的好角，不妨设∠A＝4°，∠B＝x°，∠C＝y°，则x ＝my，y＝4n(m，n均为正整数)．由∠A＋∠B＋∠C＝180°，得4＋4mn＋4n＝180，即n(m＋1)＝44.可得符合条件的正整数解有⎩⎨⎧m ＝43，n ＝1；⎩⎨⎧m ＝21，n ＝2；⎩⎨⎧m ＝10，n ＝4；⎩⎨⎧m ＝3，n ＝11；⎩⎨⎧m ＝1，n ＝22. ∴此三角形三个角的度数分别为①4°，172°，4°；②4°，168°，8°；③4°，160°，16°；④4°，132°，44°；⑤4°，88°，88°.。