《直线方程的一般形式》教案(公开课)
《直线的一般式方程》示范公开课教学PPT课件【高中数学】
斜率不存在
x 0 y x0 0
Ax By C 0
A,B不同时为0
x x0
探究新知
追问2
对于任意一个关于 x，y 的二元一次方程 Ax By C 0（其中 A，B 不同时为0） 是否都表示一条直线？
A，B不同时为0
y kx b
B0
y AxC BB
B0
A0
xC A
斜率为 A
2
在直线 l 的方程 x 2y 6 0中，令 y 0 ，得 x 6，
即直线在 x 轴上的截距是 6．
则直线 l 与 x 轴与 y 轴的交点分别为 A(6, 0)，B(0,3)．
过 A, B 两点作直线，就得到直线 l（如图所示）．
敬请各 位老 师提 出宝 贵意见 ！
y
（3）与x轴重合？（4）与y轴重合？ A、B 不同时为0
O
x
与y轴重合
斜率不存在 在x轴截距为0
A0
B 0, Ax C 0 x 0 B 0
C0
B 0 A0
探究新知
问题5
能否由直线的一般式方程的系数特征直接判断两条直线的位置关系？
答案： l1 : A1x B1 y C1 0，l2 : A2x B2 y C2 0 ( A1与B1,A2与B2不同时为0)
y 0 时x的值
直线与x轴交点横坐标
直线在x轴上截距
直线与两坐标轴的交点
经过两点绘制直线
知识应用
例2
把直线 l 的一般式方程 x 2y 6 0化为斜截式，求出直线 l 的斜率以及它在 x
轴上与 y 轴上的截距，并画出图形.
解：把直线
l
的一般式方程化为斜截式
y
1 2
x
直线方程的一般形式教案
直线方程的一般形式教案教学目标1．使学生经历一般式的发现过程，并掌握直线方程的一般形式，以及点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式的联系与转化．2．向学生渗透用分类讨论的数学思想解决问题．3．培养学生观察、归纳、猜想等合情推理的能力．教学重点与难点理解寻求直线方程的一般形式是重点，分类、讨论是难点．教学过程师：我们已研究过直线方程的4种形状，请叙述这4种直线方程，并各举一例，而且请指明它们的条件及应用范围．(学生回答，教师打出投影片．见表一)师：在平面内任意给定一条直线一定可以用以上4种形式之一来表示吗？(提出问题，再次突出4种直线方程的不足．)生：不一定．(引起学生的反思：研究了4种直线方程但并不能表示平面内任一条直线，是不是…．从而呼唤有一种直线方程能表示平面内的任一条直线．)附：表一师：是否有另一种直线方程能表示平面内任何一条直线？如果这样的直线方程存在，我们可以把它叫做……．(由学生取名，引出课题：直线方程的一般形式(？)板书课题．课题后画个问号表明：它是否存在还需等待探求的结果来最后验证．)师：根据我们已学过的直线方程的有关知识，结合所举的例子，请同学们通过观察、分析、猜测直线方程的一般形式．(若学生基础较差，教师可引导学生观察所举各例中都含有几个未知数，各是几次？学生容易发现含两个未知数，均是一次．因此直线方程是含两个未知数的一次方程，即二元一次方程．同时可以让学生对几种特殊形式化简整理成一边等于零的方程形式．)最后学生可以猜测出是一个二元一次方程．数学形式可以表示成Ax+By+C=0，其中A、 B、 C是常数．(马上提出一个问题，Ax+By+C=0总表示直线吗？引导学生对字母A、B、C 去讨论，从而也明确A、B的限定条件．)师：Ax+By+C=0总表示直线吗？若是，它又表示怎样的直线，我们该怎么去研究？生：根据A、B、C不同的取值来讨论．师：分类讨论都要有个分类的标准，此处以什么为标准来分类好呢？(学生讨论鉴别，最后总结．)生：根据直线斜率存在不存在两种情况来看，可以以B等不等于零来分类．师：好．请你做一做．生：1)若B≠0，方程Ax+By+C=0可以称项，然后两边同除以B2)当B=0时，方程Ax+By+C=0变为Ax+C=0．②若A=0，而此时就得看C了．i)若C≠0，方程即为O·x+0·y+C=0，矛盾方程，没有图象．ii)若C=0，方程即为O·x+0·y+0=0，……．师(追问)：此时Ax+By+C=0它表示什么图形？(升华，把学生的思维积极性调动起来，并且使学生对问题的把握不停留在表面，而是让学生积极挖掘一个看似简单知识的深刻内涵．)生1：……没想好．生2：0·x+0·y+0=0，对任意的x、y∈R都是成立的，因此它可表示平面内的任一点，也就是说这个方程此时可表示整个坐标平面．师：解释得非常好．(以上的讨论过程可视学生的情况具体操作．)师：从上面的讨论过程看，Ax+By+C=0到底何时表示直线呢？(观察，总结．)1) B≠0， A≠0， 2) B≠0， A=0， 3) A≠0， B=0这3种情形下都表示直线．即 A或 B≠0，即 A、B中至少一个不为零．结论：当A、B不全为零时，Ax+By+C=0表示直线．并且它可以表示平面内的任一条直线．师：是否可以说直线方程的一般形式是Ax+By+C=0，其中A、B不全为零．它可以表示平面内的任一条直线？生们：还需证明．师生共同分析要证哪些方面：(1)平面直角坐标系内，任何直线的方程都可表示成Ax+By+C=0(A、B不全为零)的形式．(2)方程Ax+By+C=0(A、B不全为零)可表示平面直角坐标系内的任意一条直线．(证明过程可视学生的具体情况而适当给予分析引导，或可让学生课下自行证明．)生：证明： 1)平面内的所有直线都可分为两类：①倾斜角α≠90°，直线的斜率 k存在，故直线可表示为y=kx+b，即kx-y+b=0的形式，②倾斜角α=90°，直线的斜率k不存在，直线可表示为x=a，即x-a=0．由①②可知，平面直角坐标系中的任一直线的方程都可表示成Ax+By+C=0(A、B不全为零)的形式．故(1)得证．(2)已知方程Ax+By+C=0(A、B不全为零)，由以上的分析讨论可知：示平面直角坐标系内斜率存在的任意直线．2)当B=0时，由于A、B不同时为零，所以A≠0．此时Ax+By+C=0由1)、2)可知，方程Ax+By+C=0(A、B不全为零)可表示平面直角坐标系内的任意一条直线．师：经过同学们的共同探索，我们得到结论：直线方程的一般形式存在(去掉前面画的问号)，且是Ax+By+C=0(A、B不全为零)这样的二元一次方程．师：从上面的讨论、证明过程我们可以看到直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式与直线方程的一般式是相互联系的．直线方程的各种特殊形式都可化为一般式，而直线方程的一般式也可以化为某种特殊形式．般式；截距式．化成一般式，得3x-4y-12=0，例2 把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和在x轴与y轴上的截距，并画图．(以上两个例题可由学生自己完成，教师打出投影片，并提醒学生注意．)(1)要求直线的斜率和纵截距，应化成斜截式；要求直线的横截距和纵截距，应化成截距式或用分别令x=0和 y=0的方法来求．(2)在画一条直线时，通常是用直线与两个坐标轴的交点，这样较为方便．例3 直线方程Ax+By+C=0的系数A、B、C满足什么关系时，这条直线：(1)与坐标轴都相交；(2)只与x轴相交；(3)是x轴；(4)是一、三象限角平分线．(此例目的是加强学生对字母系数的各种可能情形的认识及培养学生数形结合解决问题的能力．)解(1)A≠0，B≠0时，与坐标轴都相交(画草图)．(2)B=0，A≠0时，只与x轴相交(画草图)．(3)当B≠0，A=C=0时，是x轴．(4)当A=-B，C=0时，是一、三象限角分线．例4把直线l的方程mx+2y-4=0化成点斜式，求出直线l的斜率，并指出对任意m值，直线l的共同特征．分析把mx+2y-4=0化成点斜式可以有很多种形式，但要指出l的特征，无论m取何值，l都有不受影响的特点，因此可以想到把mx移到等式的右边得2y-4=-mx，2(y-2)=-mx，所以 y-2=-解原方程 mx+2y-4=0，移项得 2y-4=-mx，点(0，2)．师：以后如何处理直线系过定点的问题，请同学们回去思考．小结(师生共同谈收获)(1)探求了直线方程的一般形式 Ax+By+C=0(A、B不全为零)．(2)更熟悉了分类讨论思想．(3)(生)教会我看问题更深入，更全面，平凡中孕育着神奇．如 Ax+By+C=0讨论到 0·x+0·y+0=0时，可表示整个坐标平面．作业：1．直线方程 Ax+By+C=0的系数A、 B、 C满足什么关系时，这条直线(1)只与 y轴相交；(2)是y轴；(3)是二、四象限的角平分线；(4)过一、三、四象限．2．求下列直线的斜率和在y轴上的截距，并画出图形．3．求下列直线的横、纵截距，并画出图形．4．将直线方程 mx-y+3m+2=0 化成点斜式，求该直线的斜率；并指出直线对任意m值，都经过哪个定点？[点斜式 y-2=m(x+3)，k=m，定点(-3，2)]设计说明这个教案实际可分为以下几大块：(1)提出问题，激发疑问，呼唤直线方程一般形式的出现．(2)猜测一般式的结构．(3)讨论、完善．(4)证明．(5)应用．为什么这么设计呢？是基于：(1)直线方程的一般式是在学生学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式后的第5种形式．前4种形式都有其各自的优点，那么为什么还要学习一般式呢？实际上直线方程的一般式有其他4种形式无法实现的一个优点，它能表示平面内的任意一条直线．针对这个特点就想到先让学生寻找4种形式的不完备之处，那就是它们都有一定的应用范围，进而提出问题：平面内任意给定一条直线一定可以用以上4种形式之一来表示吗？再一次突出了4种直线方程的不完备之处，从而引起学生的疑惑与反思．由此引起学生的联想：是否有另一种直线方程能够表示平面内的任何一条直线？从而激发起学生学习研究的兴趣．这就是通过引导学生发现现有知识的不完备，使学生产生不完备的地方能否给予改进、提高的想法，从而使学生发现探求新知识的必要．这样新知识的出现就不是老师“塞”给学生的，“今天我们学习……”．而是知识研究的必然．它的出现就像清泉般慢慢地却极自然地流进学生的心田．(2)知识出现的台阶已铺垫好了，“唱戏”的主角应该还是学生．根据学生已学知识，引导学生去观察、归纳，让他们猜想直线方程一般式的结构．为什么不是老师抛给学生呢？首先数学学习本质上就是一种思维活动．如果所学知识是在老师今天抛，明天塞的，必将使学生的思维产生一种惰性，不利于学生思维素质的提高．其次现在倡导创新能力，要创新首先应是思维上的创新、发现．这种创新能力在学生的学习过程中就应致力于培养．据报道，在中国孩子放学回家后，家长常问：今天学了什么知识．而在美国，家长常问：今天你在学校问了些什么问题．从这里就反映出中、美两国家庭教育的侧重点不一样．中国的家长观念陈旧，关心的只是老师讲的孩子是否都学会了；而美国的家长更侧重于孩子的思维创造、发现能力．由此看来，要想促进家庭教育观念的转变，首先我们教师自身就先要转变．我们平时的教学过程、教学设计就应为学生营造积极思维活动空间，创设有利于学生思维去创造、发现的问题情境，以此来逐步培养学生思维的创新能力．(3)在学生猜想得出直线方程的一般式是 Ax+By+C=0(A、B、C是常数)后，这个由特殊推导到一般的结论是否有一定的合理性？这个方程是否一定表示直线？这些可以引导学生去验证．通过对字母A、B、C的各种可能情形的讨论，不仅由一般再返回到特殊，巩固了旧知识，而且也更深层次地认识到 Ax+By+C=0 和直线的对应关系．如讨论到 A=B=0，C≠0时，方程 Ax+By+C=0不成立，显然不能表示任何图形，这使学生初步认识到A、B不能同时为零．讨论再往前进一步：当A=B=C=0时，追问学生方程 Ax+By+C=0表示什么？让学生的思维动起来：x、y取任意实数，方程0·x+0·y+0=0总成立，因此它表示整个平面．讨论到此就使学生对 Ax+By+C=0 的各种情形有了一个全面、深刻地认识，并且再次发现A、B不能同时为零．讨论完毕，学生也得到了直线方程一般式 Ax+By+C=0应附加的条件：A、B不同时为零．这不也是学生自己发现的吗？(4)数学是一门实验性的归纳科学，同时它也是一门系统的演绎科学．因此教学过程中应注重既教猜想又教证明，这样才能培养学生既有发现、创新能力，又有检验、辨别能力．在学生猜想、验证了直线方程的一般形式是 Ax+By+C=0(A、B不全为零)后，还要学生给出严格的证明．如果学生程度比较好可以让他们自己分析；如果学生程度较差可以在教师的引导下分析要证明什么，怎么去证．实际上学生总结出的结论就对应着两个方面．其一：直线方程的一般形式是Ax+By+C=0(A、B不全为零)就对应要证平面直角坐标系中任一直线的方程都可表示成 Ax+By+C=0(A、B不全为零)的形式．其二：Ax+By+C=0(A、B不全为零)可表示平面内的任何一条直线，就对应要证二元一次方程 Ax+By+C=0(A、B不全为零)的图象是一条直线．证明过程中再次用到分类讨论思想．不仅再次强调了出现斜率就应讨论存在、不存在两种情形，同时也反映了数学证明的严谨，来不得半点纸漏．这样也加深了学生对分类讨论的数学思想的认识．(5)应用这一部分主要是想培养学生对直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式的联系与转化的认识．明确怎么转化，往哪儿转化．并使学生明确，虽然 Ax+By+C=0中有A、B、C3个字母，但并不是需要3个条件才能确定这条直线，而是通过变形：总之，教师在教学设计中，要刻苦钻研教材，分析学生的认识结构，寻找教材知识与学生认知的最佳结合途径．积极创设有利于学生思维活动的问题情境．教学设计中应以学生为主体去设计．一切活动应围绕有利于学生的思维发展而进行．提倡学生大胆创新、发现，首先我们教师在教学设计和教学中就应大胆创新、发现，不要沉囿于传统的教材体系、教育模式．只有大胆创新才能推陈出新；才能真正做到教材为我所用，为我所写；才能有利于教学中培养学生的创新能力．。
直线的一般式方程(教案)
.3.2.3 直线的一般式方程（教案）教学目标：1、知识与能力：⑴掌握直线方程的一般式Ax+By+C=0的特征（A、B不同时为 0）⑵能将直线方程的五种形式进行转化，并明确各种形式中的一些几何量（斜率、截距等）；2、过程与方法：⑴主动参与探究直线和二元一次方程关系的数学活动，通过观察、推理、探究获得直线方程的一般式。
⑵学会分类讨论及掌握讨论的分界点；3、情感、态度与价值观：体验数学发现和探索的历程，发展创新意识教学重点：直线方程一般式 Ax+By+C=0 （A 、 B 不同时为 0）的理解教学难点：⑴直线方程一般式 Ax+By+C=0 （A 、B 不同时为 0）与二元一次方程关系的深入理解⑵直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的应用。
教学方法：引导探究法、讨论法.教学过程：创设情境，引入新课：1、复习：写出前面学过的直线方程的各种不同形式，并指出其局限性：名几何条件方程称点斜点 P(x0 ,y0)和斜率 k式y-y 0=k(x-x 0 )斜截斜率 k,y 轴上的截距 by=kx+b式两点 P1(x 1 ,y1),P2(x2 ,y2)y y1x x1式y2y1x2x1截在 x 轴上的截距a,在 y距x y轴上的截距 ba 1式b局限性斜率存在的直线斜率存在的直线不垂直于 x、y 轴的直线不垂直于x、y 轴的直线，不过原点的直线过点 (x0 ,y0)与 x 轴垂直的直线可表示成x=x 0，过点 (x0 ,y0)与 y 轴垂直的直线可表示成y=y 0。
2、问题：上述四种直线方程的表示形式都有其局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？提示：上述四种形式的直线方程有何共同特征？能否整理成统一形式？（这些方程都是关于 x、y 的二元一次方程）猜测：直线和二元一次方程有着一定的关系。
新课探究：问题：（1）．过点 (2,1)，斜率为 2的直线的方程是 y-1=2(x-2),（2）．过点 (2,1)，斜率为 0的直线方程是 y=1,（3）．过点 (2,1)，斜率不存在的直线的方程是 x=2,思考 1 ：以上方程是否都可以用Ax+By+C=0表示？任意一条直线是否都可以用二元一次方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）来表示？答： 2x-y-3=0y-1=0x-2=0在平面直角坐标系中，每一条直线有斜率k 存在和 k 不存在两种情况下，直线方程可分别写为y kx b 和 x x1两种形式，它们又都可以变形为Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的形式，即：直线 Ax+By+C=0（A、B不同时为0）【结论：】在平面直角坐标系中，任意一条直线都可以用二元一次方程 Ax+By+C=0（A、B不同时为0）来表示。
直线的一般式方程公开课
直线的一般式方程公开课引言直线是几何学中的基本概念之一，在数学、工程学以及物理学等领域中都有广泛应用。
理解直线的一般式方程是解决与直线相关问题的关键之一。
本公开课将介绍直线的一般式方程的定义、推导过程以及应用案例，帮助学习者深入理解直线的性质和特点。
一、直线的一般式方程定义直线的一般式方程是指二维平面上的直线方程，通常表示为Ax + By + C = 0，其中A、B和C为常数。
该方程形式简洁，能够统一表示不同直线的方程。
接下来将详细讨论如何得到直线的一般式方程。
二、直线的一般式方程的推导过程直线的一般式方程可以通过以下步骤进行推导：步骤1：确定直线上的两个点为了得到直线的一般式方程，首先需要确定直线上的两个点。
这两个点可以是直线上的任意两点，我们选择两个点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)。
步骤2：计算直线的斜率直线的斜率（k）可以通过两个点的坐标差值计算得出，公式为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
步骤3：使用斜截式方程得到直线的方程斜截式方程表示为y = kx + b，其中k为直线斜率，b为直线在y轴上的截距。
将步骤2中计算得到的斜率代入公式，即可得到直线的方程。
步骤4：化简直线方程为了得到直线的一般式方程，需要将直线方程进行化简。
一般可以通过以下步骤化简：首先将直线方程两边同时乘以一个因子，使方程中的系数为整数；然后通过移项等操作将方程化为形如Ax + By + C = 0的形式。
三、直线的一般式方程的应用案例直线的一般式方程在现实生活和各种学科中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用案例：1. 几何学中的直线问题直线的一般式方程可以帮助解决几何学中的直线问题，如确定两条直线是否平行、垂直或相交等。
通过将两条直线的一般式方程进行比较，可以得到它们的关系。
2. 工程学中的直线问题在工程学中，直线的一般式方程可以用于建筑、道路、轨道等的设计和测量。
通过将实际场景中的直线问题抽象为数学模型，可以利用一般式方程计算相关参数。
直线方程的一般式教案
直线方程的一般式教学目标：1、知识目标：⑴掌握直线方程的一般式Ax+By+C=0的特征（A、B不同时为0）⑵理解直线方程五种形式之间的内在联系，掌握直线方程几种形式的互化，从整体上把握直线方程；2、能力目标：⑴通过直线方程一般式的教学培养学生全面、系统、周密地分析问题、讨论问题的能力。
⑵学会分类讨论思想解决数学问题。
3、情感目标：(1) 通过直线方程几种形式互化的教学，培养学生灵活的思维品质和辩证唯物主义观点(2)体验数学发现和探索的历程，培养创新意识教学重点、难点：1、重点：(1)掌握直线方程的一般形式，以及点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式的联系与转化;(2)让学生明白直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线;2、难点：(1)对直线方程一般式的理解与应用,进一步体会解析几何学科的特点。
(2)理解直线方程几种形式之间的内在联系，能从整体上把握直线的方程．教学方法引导探究法、讨论法教学用具实物投影仪，多媒体软件，电脑。
教学过程一、创设情境，引入新课练习：由下列条件，写出直线的方程：（1）经过点A （8,2），斜率是-2 Y-2=-2(x-8) ⇒ 2x+y-18=0 （2）经过点B （0,-2），倾角为4π； y=x-2 ⇒x-y-2=0 （3）经过点P 1（3,2），P 2（5,4） 242353--=--y x ⇒x-y-1=0 （4）在x 轴，y 轴上的截距分别为 2， 3.132=+yx ⇒2x+3y-6=0 师生活动：通过解题和讨论，总结前面学过的直线方程的几种特殊形式的条件、方程和使用范围如下：[设计意图]：由实例得出：直线方程的这几种特殊形式都具有局限性，我们需要找到一种形式的直线方程，能够表示坐标平面内的所有直线。
复习旧知识，为新知识的引入做好铺垫。
问题：上述四种直线方程的表示形式都有其局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？提示：上述四种形式的直线方程有何共同特征？能否整理成统一形式？ （这些方程都是关于x 、y 的二元一次方程） 猜测：直线和二元一次方程有着一定的关系。
直线的一般式方程优秀教案
直线的一般式方程优秀教案一、教学目标•理解什么是直线的一般式方程。
•学会通过给定的两点确定直线的一般式方程。
•掌握将直线的一般式方程转化为斜截式方程或截距式方程。
•学会通过直线的一般式方程求直线的斜率和截距。
二、教学重点•理解直线的一般式方程的概念和意义。
•学会通过给定的两点确定直线的一般式方程。
•掌握将直线的一般式方程转化为斜截式方程或截距式方程。
三、教学内容1. 直线的一般式方程的概念•直线的一般式方程是指形如Ax + By + C = 0的方程，其中A、B、C是常数，且A和B不同时为0。
这样的方程描述着平面上的一条直线。
2. 给定两点确定直线的一般式方程•设直线上有两个不同的点P(x₁, y₁)和Q(x₂, y₂)，则直线的一般式方程可以通过以下步骤确定：–计算直线的斜率k：k = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)；–计算直线方程的截距b：b = y₁ - kx₁；–根据斜率k和截距b得到直线的一般式方程：Ax + By + C = 0，其中A = -k, B = 1, C = -b。
3. 将一般式方程转化为斜截式或截距式方程•已知直线的一般式方程Ax + By + C = 0，可以通过以下步骤将其转化为斜截式或截距式方程：–斜截式方程：y = kx + b，其中斜率k = - A/B，截距b = - C/B；–截距式方程：x/a + y/b = 1，其中截距a = - C/A，截距b = - C/B。
4. 求直线的斜率和截距•已知直线的一般式方程Ax + By + C = 0，可以通过以下步骤求直线的斜率和截距：–斜率k = - A/B；–截距b = - C/B。
四、教学步骤1.引入直线的一般式方程的概念，讲解其定义和意义。
2.通过例题演示如何通过给定两点确定直线的一般式方程，并让学生进行跟随计算。
3.引导学生讨论如何将直线的一般式方程转化为斜截式方程或截距式方程，并通过例题进行演示。
直线的一般式方程公开课教案
学习好资料欢迎下载
《3.2.3 直线的一般式方程》
年级：高一新人教A版必修 2 新疆且末县中学：仇怀英时间：2015-5-25 一、教学内容分析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学2》（人教A版）第三章直线方程第二
节的第三课时。
直线方程一般式是在学生学习直线方程的点斜式与两点式的基础上，进一步研究直线
方程.我们知道直线方程的点斜式与两点式是有限制条件的．此外直线方程一般式要涉及二
元一次方程．由于这一节是直线方程的结尾部分，也是检验学生是否真正掌握所学知识点
的一个很好的课题．通过公式的选择与互换，可以培养学生分析问题、解决问题的能力．
二、学生学习情况分析
本节课学生很容易在以下两个地方产生错误：
1. 直线方程一般式的形式不规范;
2. 直线方程一般式的讨论不清晰.
三、教学目标
1、知识与技能
（1）明确直线方程一般式的形式特征；
（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；
（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
2、过程与方法
学会用分类讨论的思想方法解决问题。
3、情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；
（2）用联系的观点看问题。
四、教学重点，难点
重点：直线方程的一般式。
难点：对直线方程一般式的理解与应用．
五、教学过程以及设想
问题设计意图师生活动
一、展示学习目标
二、设置情境引入新课
问题1:学过的直线方程有几种形式？
问题2、上述四种方程，能否写使学生知道本
节课要干什么
复习旧知提问，纠正。
名师教学设计《直线方程的一般式》完整教学教案
教学设计
课题名称
直线的一般式方程
学科年级
高一年级
教材版本
43;By+C=0的特征（A、B不同时为0）
⑵能将直线方程的五种形式进行转化，并明确各种形式中的一些几何量（斜率、截距等）；
2、过程与方法：
⑴ 主动参与探究直线和二元一次方程关系的数学活动，通过观察、推理、探究获得直线方程的一般式。?
(2)两点式
一般式
（3）截距式
一般式
例二、将直线方程化为斜截式：y=-3/5 x+3
斜率为-3/5,在Y轴上的纵截距为3.
使学生学会用求直线方程；并了解方程中几种形式的互化。
作业：习题A组 第2、3、4题
信息技术掌握的不熟练，课上用的PPT要提前练习好，要保证有好的播放效果；
九、教学反思
一.初步培养了学生平面解析几何的思想和一般方法。在初中，学生熟知一次函数y=kx+b的图象是一条直线，但反过来任意画一条，要同学们写出方程表达式，学生刚开始会无从下手，从而激发学生学习的兴趣。随着教学的展开，让学生逐步形成平面解析几何的方法，如建立坐标，设点，建立关系式，得出方程等等，初步培养学生的平面解析几何思维，为后面学习圆、椭圆和相关圆锥曲线打下良好的基础。
（2）通过直线方程几种形式的学习,初步体会知识发生、发展和运用的过程,培养学生多向思维的能力.
3、情感、态度与价值观：
《直线方程的一般形式》教案(公开课)
《直线方程的一般形式》教案一、教学目标(一)知识教学点掌握直线方程的一般形式，能用定比分点公式设点后求定比．(二)能力训练点通过研究直线的一般方程与直线之间的对应关系，进一步强化学生的对应概念；通过对几个典型例题的研究，培养学生灵活运用知识、简化运算的能力．(三)学科渗透点通过对直线方程的几种形式的特点的分析，培养学生看问题一分为二的辩证唯物主义观点．二、教材分析1．重点：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，教学中要讲清直线与二元一次方程的对应关系．2．难点：与重点相同．3．疑点：直线与二元一次方程是一对多的关系．同条直线对应的多个二元一次方程是同解方程．三、活动设计分析、启发、讲练结合．四、教学过程(一)引入新课点斜式、斜截式不能表示与x轴垂直的直线；两点式不能表示与坐标轴平行的直线；截距式既不能表示与坐标轴平行的直线，又不能表示过原点的直线．与x轴垂直的直线可表示成x=x0，与x轴平行的直线可表示成y=y0。
它们都是二元一次方程．我们问：直线的方程都可以写成二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线吗？(二)直线方程的一般形式我们知道，在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α．当α≠90°时，直线有斜率，方程可写成下面的形式：y=kx+b当α=90°时，它的方程可以写成x=x0的形式．由于是在坐标平面上讨论问题，上面两种情形得到的方程均可以看成是二元一次方程．这样，对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程，就是说，直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程．反过来，对于x、y的一次方程的一般形式Ax+By+C=0．(1)其中A、B不同时为零．(1)当B≠0时，方程(1)可化为这里，我们借用了前一课y=kx+b表示直线的结论，不弄清这一点，会感到上面的论证不知所云．(2)当B=0时，由于A、B不同时为零，必有A≠0，方程(1)可化为它表示一条与y轴平行的直线．这样，我们又有：关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．引导学生思考：直线与二元一次方程的对应是什么样的对应？直线与二元一次方程是一对多的，同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程．(三)例题解：直线的点斜式是化成一般式得4x+3y-12=0．把常数次移到等号右边，再把方程两边都除以12，就得到截距式讲解这个例题时，要顺便解决好下面几个问题：(1)直线的点斜式、两点式方程由于给出的点可以是直线上的任意点，因此是不唯一的，一般不作为最后结果保留，须进一步化简；(2)直线方程的一般式也是不唯一的，因为方程的两边同乘以一个非零常数后得到的方程与原方程同解，一般方程可作为最终结果保留，但须化为各系数既无公约数也不是分数；(3)直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的，如无特别要求，可作为最终结果保留．例2 把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和在x轴与y轴上的截距，并画图．解：将原方程移项，得2y=x+6，两边除以2得斜截式：x=-6根据直线过点A(-6，0)、B(0，3)，在平面内作出这两点连直线就是所要作的图形(图1-28)．本例题由学生完成，老师讲清下面的问题：二元一次方程的图形是直线，一条直线可由其方向和它上面的一点确定，也可由直线上的两点确定，利用前一点作图比较麻烦，通常我们是找出直线在两轴上的截距，然后在两轴上找出相应的点连线．例3 证明：三点A(1，3)、B(5，7)、C(10，12)在同一条直线上．证法一直线AB的方程是：化简得 y=x+2．将点C的坐标代入上面的方程，等式成立．∴A、B、C三点共线．∴A、B、C三点共线．∵|AB|+|BC|=|AC|，∴A、C、C三点共线．讲解本例题可开拓学生思路，培养学生灵活运用知识解决问题的能力．例4 直线x+2y-10=0与过A(1，3)、 B(5，2)的直线相交于C，此题按常规解题思路可先用两点式求出AB的方程，然后解方程组得到点C 的坐标，再求点C分AB所成的定比，计算量大了一些．如果先用定比分点公式设出点C的坐标(即满足点C在直线AB上)，然后代入已知的直线方程求λ，则计算量要小得多．代入x+2y-10=0有：解之得λ=-3．(四)课后小结(1)归纳直线方程的五种形式及其特点．(2)例4一般化：求过两点的直线与已知直线(或由线)的交点分以这两点为端点的有向线段所成定比时，可用定比分点公式设出交点的坐标，代入已知直线(或曲线)求得．五、布置作业1．(1．6练习第1题)由下列条件，写出直线的方程，并化成一般式：(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；(5)经过两点P1(3，-2)、P2(5，-4)；(6)x轴上的截距是-7，倾斜角是45°．解：(1)x+2y-4=0； (2)y-2=0； (3)2x+1=0；(4)2x-y-3=0； (5)x+y-1=0； (6)x-y+7=0．3．(习题二第8题)一条直线和y轴相交于点P(0，2)，它的倾斜角4．(习题二第十三题)求过点P(2，3)，并且在两轴上的截距相等的直线方程．5．(习题二第16题)设点P(x0，y0)在直线As+By+C=0上，求证：这条直线的方程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0．证明：将点P(x0，y0)的坐标代入有C=-Ax0-By0，将C代入Ax+By+C=0即有A(x-x0)+B(y-y0)=0．6．过A(x1，y1)、B(x2，y2)的直线交直线l：Ax+By+C=0于C，六、板书设计。
高二数学《直线方程的一般形式》教案
高二数学《直线方程的一般形式》教案
高二数学《直线方程的一般形式》教案
教学要求：掌握直线方程的一般形式，能熟练地从直线方程的一般式中求斜率、倾斜角和截距。
教学重点：熟练运用一般式。
一、讲授新课：
1.教学直线方程的一般形式：
①讨论：是否所有直线都可写成＝x＋b的形式？α＝90°时直线方程是怎样的'？两种形式与Ax＋B＋C＝0有何联系？
结论：直线的方程都是二元一次方程。
②讨论：Ax＋B＋C＝0能否都化成＝x＋b的形式？B＝0时表示什么图形？
结论：二元一次方程都表示一条直线。
③定义直线一般式方程：Ax＋B＋C＝0 (A、B不全为0)
2.教学例题：
①已知直线L过点A(-6,4)，斜率为，求直线的点斜式、一般式、截距式方程。
②学生讲各步解答，教师板演→小结：…
③练习：求直线x－2＋6＝0的斜率和在坐标轴上的截距。
二、巩固练习：（可只分析思路）
1.二次方程x －x－6 +3x＋11－4=0表示两条直线，则两条直线方程分别是。
解法：分解因式→每个因式为零即直线一般式方程。
2.直线ax－＋2＝0与直线3x－－b＝0关于直线＝x对称，则a ＝，b＝。
解法：利用反函数的图像性质。
3.已知a＋2b＝1,则直线ax＋b＋3＝0一定经过定点的坐标是。
4.直线L ：4x＋＋6＝0。
L ：3x－5－6＝0，L截L 、L 两直线所得线段的中点恰好是坐标原点，求直线L的方程。
5.课堂作业：书P44 1题， 7题。
《直线的一般式方程》教案
《直线的一般式方程》教学目标1、知识与技能：(1)掌握直线方程的一般式Ax +By +C =0的特征(A 、B 不同时为0)；(2)能将直线方程的五种形式进行转化，并明确各种形式中的一些几何量(斜率、截距等)；2、过程与方法：(1)主动参与探究直线和二元一次方程关系的数学活动，通过观察、推理、探究获得直线方程的一般式.(2)学会分类讨论及掌握讨论的分界点； 3、情感、态度与价值观：体验数学发现和探索的历程，发展创新意识.教学重难点教学重点：直线方程一般式Ax +By +C =0(A 、B 不同时为0)的理解. 教学难点：(1)直线方程一般式Ax +By +C =0(A 、B 不同时为0)与二元一次方程关系的深入理解； (2)直线方程一般式Ax +By +C =0(A 、B 不同时为0)的应用.教学设计一、复习直线方程的四种形式:1、点斜式:当直线斜率存在时，过点),(000y x P ，斜率为k 的直线方程为)(00x x k y y -=-2、斜截式：当直线斜率存在时，设在y 轴上的截距为b ，则直线方程为y =kx +b .3、两点式：过点111222(,),(,)P x y P x y 其中1212(,)x x y y ≠≠的直线方程为1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--4、截距式：当直线在x 轴、y 轴上的截距存在(分别为a 、b )且不为零时，直线方程为1x ya b+= 二、探究直线的一般式方程 1．探究：直线的一般式方程的推导问题一：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x 、y 的二元一次方程表示吗？设计意图：使学生理解直线和二元一次方程的关系.引导学生对字母A 、B 、C 去讨论，从而也明确A、B的限定条件.追问：每一个关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A，B不同时为0)都表示一条直线吗？设计意图：给出定义：把关于x、y的二元一次方程Ax+By+c=0(A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.说明：任何一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示；同时，任何一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线.2.得出：直线的一般式方程的定义我们关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.例：课本P98探究变式训练：已知直线l的方程是Ax＋By＋C=0(A，B不同时为零)，填表：说明：一般式与其他形式的直线方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线；而点斜式、斜截式、两点式方程都可以和一般式互化.应用1例1：课本P98例5例2：课本P99例6变式训练：1、求经过A(2，0)与B(0，2)两点的直线的两点式方程，并把它们化为一般式、点斜式、截距式和斜截式.答案：设过A、B两点的直线为l的斜率20102k-==-∴l的点斜式方程为y-0=-(x-2)，l的斜截式方程为y=-x+2，l 的截距式方程为122x y+= l 的一般式方程为x +y -2=0． 2、求满足下列条件的直线方程:直线1:40l x y +-=与直线2:20l x y -+=相交于点P ， 求(1)过点P 与直线210x y --=平行的直线方程； (2)过点P 与直线210x y --=垂直的直线方程.解析：本试题主要考查了直线方程的求解.第一问中，利用平行直线方程可知设为20x y c -+=，把交点P (1，3)代入可得。
直线的一般式方程教案
直线的一般式方程教案教案标题：直线的一般式方程教案教学目标：1. 理解直线的一般式方程的概念和含义。
2. 掌握如何根据直线上的已知点和斜率来确定直线的一般式方程。
3. 能够将直线的一般式方程转化为斜截式方程和截距式方程。
教学准备：1. 教师准备：黑板、白板、彩色粉笔/白板笔、直尺、教学投影仪（可选）。
2. 学生准备：铅笔、直尺、作业本。
教学过程：步骤一：导入（5分钟）1. 教师通过引导问题或展示实际生活中的直线图像，引起学生对直线的兴趣和思考。
2. 教师简要介绍直线的一般式方程的概念，并与学生分享直线方程的重要性和应用。
步骤二：讲解直线的一般式方程（15分钟）1. 教师通过示意图和实例，解释直线的一般式方程y = mx + c 中 m 和 c 的含义。
2. 教师详细讲解如何根据直线上的已知点和斜率来确定直线的一般式方程。
3. 教师提供多个实例，引导学生进行实际操作和练习。
步骤三：练习与巩固（15分钟）1. 学生个人或小组合作完成一些基础练习题，以巩固直线的一般式方程的求解方法。
2. 教师提供反馈和指导，纠正学生可能存在的错误和困惑。
步骤四：转化为斜截式方程和截距式方程（15分钟）1. 教师讲解如何将直线的一般式方程转化为斜截式方程和截距式方程，并解释它们的含义和应用。
2. 教师提供多个实例，引导学生进行实际操作和练习。
步骤五：拓展与应用（10分钟）1. 学生个人或小组合作完成一些拓展练习题，以应用直线的一般式方程解决实际问题。
2. 教师鼓励学生分享解题思路和答案，并提供反馈和指导。
步骤六：总结与评价（5分钟）1. 教师与学生共同总结直线的一般式方程的求解方法和转化方法。
2. 学生回答教师提出的评价问题，以检查他们对所学内容的理解程度。
拓展活动：1. 学生可通过互动游戏或小组竞赛的形式，进一步巩固和应用所学内容。
2. 学生可自主探究其他类型的直线方程，并与同学分享他们的发现和思考。
教学反思：本教案通过引导学生理解直线的一般式方程的概念和求解方法，以及转化为斜截式方程和截距式方程的过程，培养了学生的数学思维和解决实际问题的能力。
最新人教版高中数学必修二直线的一般式方程公开课优质教案
.
④待学生通过练习后师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特 殊位置的直线） ，由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截
距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式
.各种
形式互化的实质是方程的同解变形（如图
x 3 y 11 0, x 2,
解方程组
,得
.
2 x y 1 0,
y3
∴直线恒过 (2,3) 点 .
（六）课堂小结
通过本节学习，要求大家：
（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于
x 和 y 的一次方程的对应关系；
（2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式；
（3）通过学习，培养相互合作意识 ,培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练
§3.2.3 直线的一般式方程
一、教材分析
直线是最基本、最简单的几何图形，它是研究各种运动方向和位置关系的基本工具，它既能为进一 步学习作好知识上的必要准备， 又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础 方程是这一章的重点内容，在学习了直线方程的几种特殊形式的基础上，归纳总结出直线方程的一般形 式 .掌握直线方程的一般形式为用代数方法研究两条直线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础
2
答案： -
3
例 2 把直线 l 的方程 x-2y+6=0 化成斜截式，求出直线 l 的斜率和它在 x 轴与 y 轴上的截距，并画出图
形.
解： 由方程一般式 x－ 2y＋ 6=0 ，
①
移项，去系数得斜截式 y= x ＋ 3.
②
直线方程的一般式教案
直线方程的一般式教案教案标题：直线方程的一般式教案教学目标：1. 理解直线方程的一般式及其表达形式。
2. 能够根据给定的条件写出直线的一般式方程。
3. 掌握从一般式方程中判断直线的特征与性质。
教学准备：1. 教学PPT或黑板。
2. 学生练习纸和笔。
教学过程：Step 1: 引入（5分钟）- 在黑板上或PPT上绘制一条直线，并问学生他们对直线方程的了解程度。
- 引导学生思考和回答：直线方程是用来表示直线的一种数学表达式。
Step 2: 讲解一般式方程（10分钟）- 介绍直线方程的一般式：Ax + By + C = 0。
- 解释每个变量的含义：A、B和C是常数，代表直线的斜率、y轴截距和常数项。
- 提供一些示例，并将其转化为一般式方程。
Step 3: 写出直线方程的一般式（15分钟）- 通过几何图形的例子来解释如何写出一般式方程。
- 带领学生一起解决练习题，让他们尝试将直线转化为一般式方程。
Step 4: 直线特征与性质（15分钟）- 解释一般式方程如何提供有关直线的信息。
- 深入讨论斜率和截距对直线特征的影响。
- 解释如何从一般式方程中判断直线与坐标轴的交点。
Step 5: 练习与巩固（15分钟）- 分发练习纸，让学生独立解决几个直线一般式方程的问题。
- 强调理解直线特征与性质的重要性，并解答学生的问题。
Step 6: 总结与评价（5分钟）- 回顾一般式方程及直线特征与性质的要点。
- 激发学生思考，让他们对本节课的学习进行自我评价。
扩展活动：1. 让学生用一般式方程表示多个直线，并比较它们的特征与性质。
2. 引导学生探索直线方程的其他形式，例如点斜式和截距式，并比较它们与一般式的优缺点。
教学反思：- 在教学过程中应注重引导学生思考和解决问题的能力，不仅仅是简单记忆公式。
- 提供足够的练习机会，帮助学生巩固所学知识。
- 强调直线方程的现实应用，让学生认识到直线方程的重要性及其实际意义。
直线的一般方程教学设计公开课教案教学设计课件案例试卷
直线的一般式方程授课人：授课时间:【教学目标】知识与技能：掌握直线的一般式方程，理解二元一次方程与直线的对应关系。
过程与方法：通过探究直线与二元一次方程的关系，得出直线的一般式方程。
培养学生利用分类讨论的思想解决问题.情感、态度与价值观：（1）感受利用代数的手段研究几何问题的认识过程，培养学生的辩证统一的思想.（2）经历直线一般式方程的讨论探究过程，培养学生的有序思考的良好习惯．【教学重点】直线的一般式方程以及各种形式之间的互相转化．【教学难点】掌握直线的一般式方程．【教学设计】直线的一般式方程的介绍，分两个层次来处理．首先，以例题的形式提出前面介绍的两种直线方程都可以化成二元一次方程的一般的形式，进一步提出任意直线的点斜式和斜截式方程都可以化成一般的二元一次方程的形式，然后按照二元一次方程0Ax By C++=的系数的不同取值，进行讨论，并对CyB=-与CxA=-数形结合的进行说明，得到一般的一元二次方程的形式都可以表示成直线方程。
从而理解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般式方程。
通过例题讲解掌握直线的一般式方程以及各种形式之间的互相转化。
【教学备品】教学课件．【课时安排】1课时．(10分钟)【教学过程】过 程行为 行为 意图 间*揭示课题直线的一般式方程*知识回顾【问题】1、我们回顾一下我们学习过哪几种形式的直线方程。
其对应的几何条件和方程以及局限性又分别是什么呢？（完成表格）2、这些方程有什么特点？这些方程中的含有x 项，y 项都有什么位置特点？ （它们都是关于x,y 的二元一次方程）（y 都在等式左边系数为1，x 都在等式的右边） 3、那么直线的方程与二元一次方程有着怎样的关系？ 这几种直线方程是否可以整理成统一形式？介绍质疑引导 分析了解 思考 思考 回答引导学生 回顾 引出新知 铺垫2*探究新知一元二次方程的一般形式是如何的？ 将下列方程改写成一元二次方程的一般形式)2(33)1(-=-x y )5(32)2(-=-x y52)3(+=x y 54)4(+-=x y引导观察 求解特殊到一般的过渡过 程行为 行为 意图 间任意直线的点斜式和斜截式方程都可以化成一般的二元一次方程的形式吗？)(00x x k y y -=-00=-+-kx y y kxb kx y += 0=+-b y kx引领 分析思考引导 式启 发学 生得 出结 果 2*探究新知那么，能不能说，一般形式的二元一次方程 都可以转化为直线方程的形式呢？（1）当0A ≠，0B ≠时，二元一次方程0Ax By C ++=可化为A C y x B B =--．表示斜率为A k B =-，纵截距C b B =-的直线． 可以发现B 在分母的位置，当0B ≠，0A =时，会如何呢？ （2）当0A =，0B ≠时，方程为Cy B=-表示斜率为k=0,纵截距B C b -=的直线。
直线的一般式方程 公开课教案
《3.2.3 直线的一般式方程》
年级：高一新人教A版必修2 新疆且末县中学：仇怀英时间：2015-5-25 一、教学内容分析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学2》（人教A版）第三章直线方程第二
节的第三课时。
直线方程一般式是在学生学习直线方程的点斜式与两点式的基础上，进一步研究直线
方程.我们知道直线方程的点斜式与两点式是有限制条件的．此外直线方程一般式要涉及二
元一次方程．由于这一节是直线方程的结尾部分，也是检验学生是否真正掌握所学知识点
的一个很好的课题．通过公式的选择与互换，可以培养学生分析问题、解决问题的能力．二、学生学习情况分析
本节课学生很容易在以下两个地方产生错误：
1. 直线方程一般式的形式不规范;
2. 直线方程一般式的讨论不清晰.
三、教学目标
1、知识与技能
（1）明确直线方程一般式的形式特征；
（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；
（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
2、过程与方法
学会用分类讨论的思想方法解决问题。
3、情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；
（2）用联系的观点看问题。
四、教学重点，难点
重点：直线方程的一般式。
难点：对直线方程一般式的理解与应用．
五、教学过程以及设想
每一个关于
一般式方程。
板书设计：见投影片（PPT）课后反思：。
直线的一般式方程 优秀教案
直线的一般式方程教学目标：（1）掌握直线方程的一般形式，掌握直线方程几种形式之间的互化．（2）理解直线与二元一次方程的关系及其证明（3）培养学生抽象概括能力、分类讨论能力、逆向思维的习惯和形成特殊与一般辩证统一的观点．教学重点、难点：直线方程的一般式．直线与二元一次方程0=++C By Ax （A 、B 不同时为0）的对应关系及其证明．教学用具：计算机教学方法：启发引导法，讨论法教学过程：下面给出教学实施过程设计的简要思路：教学设计思路：（一）引入的设计前边学习了如何根据所给条件求出直线方程的方法，看下面问题：问：说出过点P （2，1），斜率为2的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？ 答：直线方程是()221-=-x y ，属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．肯定学生回答，并纠正学生中不规范的表述．再看一个问题：问：求出过点()12-，P ，()13，Q 的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？答：直线方程是()221-=+x y （或其它形式），也属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．肯定学生回答后强调“也是二元一次方程，都是因为未知数有两个，它们的最高次数为一次”． 启发：你在想什么（或你想到了什么）？谁来谈谈？各小组可以讨论讨论．学生纷纷谈出自己的想法，教师边评价边启发引导，使学生的认识统一到如下问题：【问题1】“任意直线的方程都是二元一次方程吗？”（二）本节主体内容教学的设计这是本节课要解决的第一个问题，如何解决？自己先研究研究，也可以小组研究，确定解决问题的思路．学生或独立研究，或合作研究，教师巡视指导．经过一定时间的研究，教师组织开展集体讨论．首先让学生陈述解决思路或解决方案： 思路一：…思路二：………教师组织评价，确定最优方案（其它待课下研究）如下：按斜率是否存在，任意直线l 的位置有两种可能，即斜率k 存在或不存在．当k 存在时，直线l 的截距b 也一定存在，直线l 的方程可表示为b kx y +=，它是二元一次方程．当k 不存在时，直线l 的方程可表示为1x x =形式的方程，它是二元一次方程吗？ 学生有的认为是有的认为不是，此时教师引导学生，逐步认识到把它看成二元一次方程的合理性：平面直角坐标系中直线1x x =上点的坐标形式，与其它直线上点的坐标形式没有任何区别，根据直线方程的概念，方程1x x =解的形式也是二元方程的解的形式，因此把它看成形如10x y x =+的二元一次方程是合理的．综合两种情况，我们得出如下结论：在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的关于x 、y 的二元一次方程．至此，我们的问题1就解决了．简单点说就是：直线方程都是二元一次方程．而且这个方程一定可以表示成b kx y +=或1x x =的形式，准确地说应该是“要么形如b kx y +=这样，要么形如1x x =这样的方程”．同学们注意：这样表达起来是不是很啰嗦，能不能有一个更好的表达？学生们不难得出：二者可以概括为统一的形式．这样上边的结论可以表述如下：在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的形如0=++C Bx Ax （其中A 、B 不同时为0）的二元一次方程．启发：任何一条直线都有这种形式的方程．你是否觉得还有什么与之相关的问题呢？【问题2】任何形如0=++C Bx Ax （其中A 、B 不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线吗？不难看出上边的结论只是直线与方程相互关系的一个方面，这个问题是它的另一方面．这是显然的吗？不是，因此也需要像刚才一样认真地研究，得到明确的结论．那么如何研究呢？师生共同讨论，评价不同思路，达成共识：回顾上边解决问题的思路，发现原路返回就是非常好的思路，即方程0=++C Bx Ax （其中A 、B 不同时为0）系数B 是否为0恰好对应斜率k 是否存在，即（1）当0≠B 时，方程可化为-=y B A -x BC 这是表示斜率为B A -、在y 轴上的截距为BC -的直线． （2）当0=B 时，由于A 、B 不同时为0，必有0≠A ，方程可化为-=x AC 这表示一条与x 轴垂直的直线．因此，得到结论：在平面直角坐标系中，任何形如0=++C By Ax （其中A 、B 不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线．为方便，我们把0=++C By Ax （其中A 、B 不同时为0）称作直线方程的一般式是合理的．【动画演示】演示“直线各参数．gsp ”文件，体会任何二元一次方程都表示一条直线．至此，我们的第二个问题也圆满解决，而且我们还发现上述两个问题其实是一个大问题的两个方面，这个大问题揭示了直线与二元一次方程的对应关系，同时，直线方程的一般形式是对直线特殊形式的抽象和概括，而且抽象的层次越高越简洁，我们还体会到了特殊与一般的转化关系．（三）练习巩固、总结提高、板书和作业等环节的设计在此从略。
直线的一般方程教学案
直线方程的一般形式一、教材分析直线是最简单的几何图形，它是研究各种运动方向和位置关系的基本工具。
直线方程是学习圆锥曲线方程和其他知识的基础。
本章教材是学生在初中掌握了平面直角坐标系、一次函数的图象及高一掌握了三角函数的基础上学习的，对高一学生来说是容易掌握的。
两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式可求出直线方程并统一写成一般式。
由于直线方程的几种特殊形式都有局限性，有必要引进一般式。
直线的一般式方程中字母常数的几何意义不很鲜明，常常要将直线方程的一般式化为斜截式和截距式，所以本节课的重点是掌握直线方程的一般式及各种形式互化的方法。
直线方程的形式虽然不止一种，但从方程的类型来看本质是相同的，其方程的类型都是二元一次方程，使学生从直观到理论来认识坐标平面上直线与二元一次方程的对应关系，由于直线与直线的方程是解析几何中曲线与方程概念的首次展现，所以曲线与方程的概念在这一节教学中要求不能太高，通过今后的教学逐步加深理解。
本节课教学的关键是掌握直线方程各种形式的互化方法。
二、教学目标根据教学大纲的要求及学生的实际情况，本节课制定了如下的三条教学目标：1.使学生掌握直线方程的一般式，并能用一般方程表示直角坐标平面内的特殊位置的直线，了解直线与关于x、y一次方程的对应关系。
2.使学生会将直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式，渗透化归与转化的数学思想。
3.会通过直线的一般式Ax+By+C=0(A、B不全为零)，求直线的斜率，直线在x轴或y轴上的截距，并能迅速、正确地在直角坐标系中画出它的图形，渗透数形结合的数学思想。
三、教学方法和手段依据本节课的教学任务、教学内容和高一学生的年龄特征，本节课采用启发式谈话法作为主要的教学方法，即以教师引导为主，充分激发学生的思维活动，通过学生的独立思考来获取知识。
本节课采用计算机辅助教学，提高课堂教学效率；通过图表的动态演示，使教学内容直观生动，帮助学生所学知识系统化。
直线方程的一般式的教案
直线方程的一般式教案教学目标:(1) 知识与技能：掌握直线的一般式方程以及明确它的形式特征，还有直线方程的各种形式之间的互相转化。
（2）过程与方法：通过探究直线与二元一次方程的关系，让学生积极、主动地参与观察，分析、归纳、进而得出直线的一般式方程，培养了学生勇于探究的精神和学会用分类讨论的数学思想方法解决问题。
（3）情感、态度与价值观：通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣。
同时，让学生认识事物之间的普遍联系与互相转化。
教学重点、难点:重点：直线的一般式方程以及各种形式之间的互相转化．难点：理解直线的一般式方程教学过程：一、复习：1、复习小题：已知直线l 经过两点),(),,(222111y x P y x P ，在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，且直线的斜率为k ，写出直线的点斜式、两点式、斜截式和截距式。
2、直线的方程的形式①点斜式)(11x x k y y -=- 直线斜率为k ，且过()11,y x注意：当直线的倾斜角为0°时，k =0，直线的方程是1y y =。
当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，但因l 上每一点的横坐标都等于1x ，所以它的方程是1x x =。
②斜截式b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b 。
③两点式),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=-- 直线上的两点),(),,(2211y x y x ④截距式1=+by a x （截距不是距离，有正、负、零之分） 其中直线l 与x 轴交于点（a ，0），与y 轴交于点（0，b ），即l 与x 轴、y 轴的截距分别为a 、b 。
1、问题：（1）平面内的直线方程，它们有几种表示形式？（2）从上述几种形式的直线方程中，你能否找到它们的共同特点呢？2、问题：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x 、y 的二元一次方程表示吗？3、问题：每一个关于x,y 的二元一次方程都表示一条直线吗？二、直线的一般式方程：1、引入直角坐标系每一条直线都有倾斜角，当倾斜角不为90度时，它们都有斜率，方程可以写为： b kx y +=当倾斜角为90度时，方程写为：1x x = （可认为直线是关于x 、y 的一元二次方程，其中y 的系数为0.）当倾斜角为0度（即直线与x 轴重合时），方程写为：1y y = （可认为直线是关于x 、y 的一元二次方程，其中x 的系数为0.）所以，在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x 、y 的二元一次方程。
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《直线方程的一般形式》教案
一、教学目标
(一)知识教学点
掌握直线方程的一般形式，能用定比分点公式设点后求定比．
(二)能力训练点
通过研究直线的一般方程与直线之间的对应关系，进一步强化学生的对应概念；通过对几个典型例题的研究，培养学生灵活运用知识、简化运算的能力．
(三)学科渗透点
通过对直线方程的几种形式的特点的分析，培养学生看问题一分为二的辩证唯物主义观点．
二、教材分析
1．重点：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，教学中要讲清直线与二元一次方程的对应关系．
2．难点：与重点相同．
3．疑点：直线与二元一次方程是一对多的关系．同条直线对应的多个二元一次方程是同解方程．
三、活动设计
分析、启发、讲练结合．
四、教学过程
(一)引入新课
点斜式、斜截式不能表示与x轴垂直的直线；两点式不能表示与坐标轴平行的直线；截距式既不能表示与坐标轴平行的直线，又不能表示过原点的直线．与x轴垂直的直线可表示成x=x0，与x轴平行的直线可表示成y=y0。
它们都是二元一次方程．
我们问：直线的方程都可以写成二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线吗？
(二)直线方程的一般形式
我们知道，在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α．当α≠90°时，直线有斜率，方程可写成下面的形式：
y=kx+b
当α=90°时，它的方程可以写成x=x0的形式．
由于是在坐标平面上讨论问题，上面两种情形得到的方程均可以看成是二元一次方程．这样，对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程，就是说，直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程．
反过来，对于x、y的一次方程的一般形式
Ax+By+C=0．
(1)
其中A、B不同时为零．
(1)当B≠0时，方程(1)可化为
这里，我们借用了前一课y=kx+b表示直线的结论，不弄清这一点，会感到上面的论证不知所云．
(2)当B=0时，由于A、B不同时为零，必有A≠0，方程(1)可化为
它表示一条与y轴平行的直线．
这样，我们又有：关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0
这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．
引导学生思考：直线与二元一次方程的对应是什么样的对应？
直线与二元一次方程是一对多的，同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程．
(三)例题
解：直线的点斜式是
化成一般式得
4x+3y-12=0．
把常数次移到等号右边，再把方程两边都除以12，就得到截距式
讲解这个例题时，要顺便解决好下面几个问题：(1)直线的点斜式、两点式方程由于给出的点可以是直线上的任意点，因此是不唯一的，一般不作为最后结果保留，须进一步化简；(2)直线方程的一般式也是不唯一的，因为方程的两边同乘以一个非零常数后得到的方程与原方程同解，一般方程可作为最终结果保留，但须化为各系数既无公约数也不是分数；(3)直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的，如无特别要求，可作为最终结果保留．
例2 把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和在x轴与y轴上的截距，并画图．
解：将原方程移项，得2y=x+6，两边除以2得斜截式：
x=-6
根据直线过点A(-6，0)、B(0，3)，在平面内作出这两点连直线就是所要作的图形(图1-28)．
本例题由学生完成，老师讲清下面的问题：二元一次方程的图形是直线，一条直线可由其方向和它上面的一点确定，也可由直线上的两点确定，利用前一点作图比较麻烦，通常我们是找出直线在两轴上的截距，然后在两轴上找出相应的点连线．
例3 证明：三点A(1，3)、B(5，7)、C(10，12)在同一条直线上．
证法一直线AB的方程是：
化简得 y=x+2．
将点C的坐标代入上面的方程，等式成立．
∴A、B、C三点共线．
∴A、B、C三点共线．
∵|AB|+|BC|=|AC|，
∴A、C、C三点共线．
讲解本例题可开拓学生思路，培养学生灵活运用知识解决问题的能力．
例4 直线x+2y-10=0与过A(1，3)、 B(5，2)的直线相交于C，
此题按常规解题思路可先用两点式求出AB的方程，然后解方程组得到点C 的坐标，再求点C分AB所成的定比，计算量大了一些．如果先用定比分点公式设出点C的坐标(即满足点C在直线AB上)，然后代入已知的直线方程求λ，则计算量要小得多．
代入x+2y-10=0有：
解之得λ=-3．
(四)课后小结
(1)归纳直线方程的五种形式及其特点．
(2)例4一般化：求过两点的直线与已知直线(或由线)的交点分以这两点为端点的有向线段所成定比时，可用定比分点公式设出交点的坐标，代入已知直线(或曲线)求得．
五、布置作业
1．(1．6练习第1题)由下列条件，写出直线的方程，并化成一般式：
(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；
(5)经过两点P1(3，-2)、P2(5，-4)；
(6)x轴上的截距是-7，倾斜角是45°．
解：(1)x+2y-4=0； (2)y-2=0； (3)2x+1=0；
(4)2x-y-3=0； (5)x+y-1=0； (6)x-y+7=0．
3．(习题二第8题)一条直线和y轴相交于点P(0，2)，它的倾斜角
4．(习题二第十三题)求过点P(2，3)，并且在两轴上的截距相等的直线方程．
5．(习题二第16题)设点P(x0，y0)在直线As+By+C=0上，求证：这条直线的方程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0．
证明：将点P(x0，y0)的坐标代入有C=-Ax0-By0，将C代入Ax+By+C=0即有A(x-x0)+B(y-y0)=0．
6．过A(x1，y1)、B(x2，y2)的直线交直线l：Ax+By+C=0于C，
六、板书设计。