天一专升本高数知识点

第一讲函数、极限、连续

1、 基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。

2、 函数的性质，奇偶性、有界性

设

a, 3是自变量同一变化过程中的两

个无穷小量，则

a

(1)若lim 一 = 0，则a 是比

3

a

（2）若

lim — = C （不为 0）,

3

a (3)若

lim — =

3

记忆方法：看谁趋向于 4、两个重要极限

，贝y a 与3是低阶无穷小

量

sinx X ,

=lim ----- =1

X T 。si nx

拼凑

lfm*] Tm 。*] =0，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致

⑵ lim1」「lim （1+xle

X

X 丿 X T 。

1

时〔卩Le

使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。

奇函数:

f(-x)=-f(x), 图像关于原点对称。 偶函数:

f (-X)= f(x), 图像关于y 轴对称

3、无穷小量、 无穷大量、阶的比较 特别地，若

lim — =1，则 3

a 与3是等价无穷小量

(3高阶的无穷小量。

则

a 与3是同阶无穷小量

0的速度快，谁就趋向于 0的本领高。 （1）lim T X

使用方法: Pn(X)

5、lim — --- = X

*Qm （X ）

,n = m b o

0,n V m

V-

巳(X )的最高次幕是n,Q m(x )的最高次幕是m.,只比较最高次幕，谁的次幕高，谁的头大，趋向于无

穷大的速度

n A m,分子以更快的速快。n = m,以相同的比例趋向于无穷大；n < m，分母以更快的速度趋向于无穷大;

度趋向于无穷大。

lim f(X)= A 充分必要条件是 lim f (x) = lim f (x) = A

—X

1^X0+

注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8连续、间断

连续的定义：

lim ；y =1四〔f(X 0 + A x)- f(X 0)]=0

或

lim f(X)= f (x 0)

x _3X 0

间断：使得连续定义

lim f(X)= f (x 0)无法成立的三种情况

[f (X 0)不存在，f(X 0)无意义 { lim f (x)不存在

X —3^0

lim f(X)H f (X 0)

记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等 9、间断点类型

注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”

一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃”

10、闭区间上连续函数的性质

(1) 最值定理：如果

f(x) 在a,b ］上连续，则f(X)在Ia,b ］上必有最大值最小值。

(2)

E 零点定理：如果f(x)在a,b ］上连续，且f (a) f (bp ： 0，则f(x)在(a,b)内至少存在一点

1、罗尔定理

7、左右极限

左极限:

lim f (X) =

A X _^-

右极限: lim f (X) =

A X —^十

(1 )、第二类间断点:

lim_f(X)、lim J (x)至少有一个不存在

^X ) 一

^3X 0

(2)、第一类间断点:

lim f(X)、lim f(x)都存在

I X )一

1X0 +

'可去间断点: ［跳跃间断点: lim_f (x)= 1X 0 —

lim f (x) 1X 0-

lim f

(x) X T X 0 十

limf (x)

，左右只要有一个不存在，就是"第二类”然后再判断是不是第

如果函数y= f(x)满足：(1)在闭区间［a,b I上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3) f(a)= f (b)，则在(a,b)内至少存在一点匕，使得f '(匕)=o 记忆方

法：脑海里记着一幅图：t

2、拉格朗日定理

如果y = f (x)满足(1)在闭区间a,b上连续

(2)在开区间(a,b)内可导；

匸…、f(b)-f(a)

则在(a,b)内至少存在一点匕，使得f (©) = ———— b —a

脑海里记着一幅图:

------ ►

a b

(*)推论1 :如果函数y= f(x) 在闭区间［a,b上连续, 在开区间(a,b)内可导，且厂(口三0, 那么

在(a, b)内f (x) =c恒为常

数。

记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为o。

(*)推论2:如果f (x),g(x)在a,b］上连续，在开区间(a,b) 内可导，

且

f'(X)三g'(x),x忘

(a,b)，

那么f(X)= g(x) +

c

3、驻点

满足f'(X) =0的点，称为函数f(x) 的驻点。

几何意义：切线斜率为0的点，过此点切线为水平线

4、极值的概念

设f(X)在点x o的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点f (x)的极大值，x0称为极大值点。X,有f (X)

<

/\

f (X o)，则称f (X o)为函数

x,有f

(x) >

设f(x)在点X o的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点

V "

f (x o)，则称f (x o)为函数