小学奥数面积计算(综合题型)
(完整版)举一反三--六年级奥数面积计算(3)
组合图形的面积(3)
9、正方形ABCD中，AC＝6厘米。求阴影部分的面积。
10、如图，正方形中对角线长10厘米，过正方形两个 相对的顶点以其边长为半径分别做弧。求图形中阴影 部分的面积。
组合图形的面积(3)
11中正方形的面积是50平 方厘米，求图中阴影部分的面积。
组合图形的面积(3)
13、图中，正方形的面积是30平方厘米。求阴影部分 的面积。
14、如图所示，平行四边形的面积是100平方厘米， 求阴影部分的面积。
组合图形的面积(3)
15、如图，O是小圆的圆心，CO 垂直于AB，三角形ABC的面积是 45平方厘米，求阴影部分的面积。
4、如图，平行四边形的一个角 为60°，两条边的长分别为6厘 米和8厘米，高为5.2厘米。求图 中阴影部分的面积。
组合图形的面积(3)
5、正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。
6、求下面图形中阴影部分的面积。（单位：厘米）
组合图形的面积(3)
7、求下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
16、如图所示，半圆的面积是62.8平方厘米，求阴影 部分的面积。
组合图形的面积(3)
17、如图所示，求图中阴影部分的面积。
18、如图所示，求阴影部分的面积。（单位：厘米）
六年奥数——举一反三 面积计算（三）
组合图形的面积(3)
1、如图，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
2、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，求阴影部分 的面积。（单位：厘米）
组合图形的面积(3)
3、直角三角形ABC中，AC长4厘 米，BC长2厘米。以AC、BC为直 径画半圆，两个半圆的交点在AB 边上。求图中阴影部分的面积。
小学奥数4-2-1 基本图形的面积计算.专项练习
小学数学平面图形计算公式：1 、正方形：周长＝边长×4；面积=边长×边长2 、正方体：表面积=棱长×棱长×6；体积=棱长×棱长×棱长3 、长方形：周长=(长+宽)×2；面积=长×宽4 、长方体：表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2；体积=长×宽×高 5、 三角形：面积=底×高÷2 6 平行四边形：面积=底×高7梯形：面积=(上底+下底)×高÷2模块一、基本公式的应用【例 1】 如图，两个正方形边长分别是5厘米和4厘米，图中阴影部分为重叠部分。
则两个正方形的空白部分的面积相差多少平方厘米？【巩固】 如图12，边长为4cm 的正方形将边长为3cm 的正方形遮住了一部分，则空白部分的面积的差等于2cm 。
【例 2】 在一个正方形水池的四周，环绕着一条宽2米的路(如图)，这条路的面积是120平方米，那么水池的面积是______ 平方米。
水池例题精讲知识点拨4-2-1.基本图形的面积计算【例 3】 每边长是10厘米的正方形纸片，正中间挖了一个正方形的洞，成为一个宽1厘米的方框。
把五个这样的方框放在桌面上，成为一个这样的图案(如图所示)。
问桌面上被这些方框盖住的部分面积是多少平方厘米?【例 4】 如图4所示，长方形ABCD 的长为25，宽为15。
四对平行线截长方形各边所得的线段的长已在图上标出，且横向的两组平行线都与BC 平行。
求阴影部分的面积。
D【例 5】 如图，长方形被分成面积相等的4部分。
X=（ ）厘米。
x cm2cm16cm【例 6】 如图，长 9厘米，宽8厘米的长方形的中间有一个由两个长方形构成的十字形的阴影．如果阴影部分的面积恰好等于空白部分的面积，那么x= 厘米．【例 7】 如图是一块黑白格子布．白色大正方形的边长是14厘米，白色小正方形的边长是6 厘米．问：这块布中白色的面积占总面积的百分之几？【例 8】 如图，周长为52厘米的“L”形纸片可沿虚线分成两个完全相同的长方形．如果最长的边是16厘米． 那么该“L”形纸片的面积是____平方厘米．1616【例 9】 如图，正方形ABCD 的边长是l2厘米，E 点在CD 上，BO AE 于O ,OB 长9厘米，则AE 长_________厘米。
小学四年级奥数几何面积的计算习题
小学四年级奥数几何面积的计算习题1、人民路小学操场长90米，宽45米，改造后，长增加10米，宽增加5米。
现在操场面积比原来增加多少平方米?【思路导航】用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面积，操场现在的面积是：(90+10)×(45+5)=5000(平方米)，操场原来的面积是：90×45=4050(平方米)。
所以现在比原来增加5000-4050=950平方米。
(90+10)×(45+5)-(90×45)=950(平方米)练习(1)有一块长方形的木板，长22分米，宽8分米，如果长和宽分别减少10分米，3分米，面积比原来减少多少平方分米?练习(2)一块长方形地，长是80米，宽是45米，如果把宽增加5米，要使面积不变，长应减少多少米?2、一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米，如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米?【思路导航】由：“宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米”可知它的宽是54÷6=9(米);又由“长不变，宽减少3米，那么它的面积减少了36平方米”，可知它的长为：36÷3=12(米)，所以，这个长方形的面积是12×9=108(平方米)。
(36÷3)×(54÷9)=108(平方米)练习(1)一个长方形，如果宽不变，长减少3米，那么它的面积减少24平方米，如果长不变，宽增加4米，那么它的面积增加60平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米?练习(2)一个长方形，如果宽不变，长增加5米，那么它的面积增加30平方米，如果长不变，宽增加3米，那么它的面积增加48平方米，这个长方形的面积原来是多少平方米?练习(3)一个长方形，如果它的长减少3米，或它的宽减少2米，那么它的面积都减少36平方米，求这个长方形原来的面积。
组合图形的面积——小学奥数专题
组合图形的面积(一)例1一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？练习一1、求四边形ABCD的面积。
（单位：厘米）2、已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。
3、有一个梯形，它的上底是5厘米，下底7厘米。
如果只把上底增加3厘米，那么面积就增加4.5平方厘米。
求原来梯形的面积。
例2正图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。
求中间长方形的面积。
练习二1、已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。
2、如下图长方形ABCD的面积是16平方厘米，E、F都是所在边的中点，求三角形AEF的面积。
3、求下图长方形ABCD的面积（单位：厘米）。
例3四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积是7平方厘米。
三角形CDH的面积是多少平方厘米？1、图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分面积。
2、下图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。
3、下图中，甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米？例4下图中正方形的边长为8厘米，CE为20厘米，梯形BCDF的面积是多少平方厘米？练习四1、如下图，正方形ABCD中，AB=4厘米，EC=10厘米，求阴影部分的面积。
2、在一个直角三角形铁皮上剪下一块正方形，并使正方形面积尽可能大，正方形的面积是多少？（单位：厘米）3、图中BC=10厘米，EC=8厘米，且阴影部分面积比三角形EFG的面积大10平方厘米。
求平行四边形的面积。
例5图中ABCD是长方形，三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米，求ED的长。
练习五1、如图，平行四边形BCEF中，BC=8厘米，直角三角形中，AC=10厘米，阴影部分面积比三角形ADH的面积大8平方厘米。
求AH长多2，图中三个正方形的边长分别是1厘米、2厘米和3厘米，求图中阴影部分的面积。
组合图形的面积——小学奥数专题
组合图形的面积(一)例1 一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？练习一1、求四边形ABCD的面积。
（单位：厘米）2、已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。
3、有一个梯形，它的上底是5厘米，下底7厘米。
如果只把上底增加3厘米，那么面积就增加4.5平方厘米。
求原来梯形的面积。
例2 正图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。
求中间长方形的面积。
练习二1、已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。
2、如下图长方形ABCD的面积是16平方厘米，E、F都是所在边的中点，求三角形AEF的面积。
3、求下图长方形ABCD的面积（单位：厘米）。
例3 四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH 的面积是7平方厘米。
三角形CDH的面积是多少平方厘米？练习三1、图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分面积。
2、下图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。
3、下图中，甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米？例4 下图中正方形的边长为8厘米，CE为20厘米，梯形BCDF 的面积是多少平方厘米？练习四1、如下图，正方形ABCDxx，AB=4厘米，EC=10厘米，求阴影部分的面积。
2、在一个直角三角形铁皮上剪下一块正方形，并使正方形面积尽可能大，正方形的面积是多少？（单位：厘米）3、图中BC=10厘米，EC=8厘米，且阴影部分面积比三角形EFG 的面积大10平方厘米。
求平行四边形的面积。
例5 图中ABCD是长方形，三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米，求ED的长。
练习五1、如图，平行四边形BCEFxx，BC=8厘米，直角三角形xx，AC=10厘米，阴影部分面积比三角形ADH的面积大8平方厘米。
求AHxx多少厘米？2，图中三个正方形的边长分别是1厘米、2厘米和3厘米，求图中阴影部分的面积。
小学四年级奥数几何知识经典例题详解面积的计算
小学四年级奥数几何知识经典例题详解面积的计算1、人民路小学操场长90米，宽45米，改造后，长增加10米，宽增加5米。
现在操场面积比原来增加多少平方米？【思路导航】用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面积，操场现在的面积是：（90+10）×（45+5）=5000（平方米），操场原来的面积是：90×45=4050（平方米）。
所以现在比原来增加5000-4050=950平方米。
（90+10）×（45+5）-（90×45）=950（平方米）练习（1）有一块长方形的木板，长22分米，宽8分米，如果长和宽分别减少10分米，3分米，面积比原来减少多少平方分米？练习（2）一块长方形地，长是80米，宽是45米，如果把宽增加5米，要使面积不变，长应减少多少米？2、一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米，如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？【思路导航】由：“宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米”可知它的宽是54÷6=9（米）；又由“长不变，宽减少3米，那么它的面积减少了36平方米”，可知它的长为：36÷3=12（米），所以，这个长方形的面积是12×9=108（平方米）。
（36÷3）×（54÷9）=108（平方米）练习（1）一个长方形，如果宽不变，长减少3米，那么它的面积减少24平方米，如果长不变，宽增加4米，那么它的面积增加60平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？练习（2）一个长方形，如果宽不变，长增加5米，那么它的面积增加30平方米，如果长不变，宽增加3米，那么它的面积增加48平方米，这个长方形的面积原来是多少平方米？练习（3）一个长方形，如果它的长减少3米，或它的宽减少2米，那么它的面积都减少36平方米，求这个长方形原来的面积。
小学奥数训练第20周面积计算(三)
第20周面积计算（三）王牌例题1如图20-1所示，求图中阴影部分的面积。
（单位:cm)【思路导航】解法一:阴影部分的一半，可以看作是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图20 — 2所示），等腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20 ÷ 2 = 10(cm)。
解法二:以等腰三角形底的中点为中心点把图的右半部分顺时针旋转180°后，阴影部分的面积就变为从半径为10 cm的半圆面积中减去两直角边为10 cm的等腰直角三角形的面积所得的差(如图20—3所示）。
笞:阴影部分的面积是107 cm2。
举一反三11. 如图20—4所示，AB=BC，CD=BD。
求阴影部分的面积。
(单位:cm)2. 如图20—5所示，用一张斜边为29 cm的红色直角三角形纸片，一张斜边为49 cm的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。
求红、蓝两张三角形纸片面积的和。
王牌例题2如图20 —6所示，求图中阴影部分的面积。
(单位：cm)【思路导航】解法一:先用长方形的面积减去小扇形的面积，算出空白部分a的面积，再用大扇形的面积减去空白部分a的面积(如图20—7所示）。
16. 82(cm2)解法二:把阴影部分看作①和②两部分，如图20—8所示。
把大、小两个扇形面积相加，刚好多计算了空白部分和阴影①的面积，即长方形的面积。
16. 82(cm2)举一反三21.如图20 — 9所示，△ABC是等腰直角三角形。
求阴影部分的面积。
（单位:cm)2. 如图20 —10所示，△ABC是直角三角形,AC长4 cm，BC长2 cm。
以AC，BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上。
求阴影部分的面积。
3.如图20—11所示，图中平行四边形的一个角为60°，两条边的长分别为6 cm和8 cm,高为5. 2 cm。
求阴影部分的面积。
王牌例题3在图20 —12中，正方形的边长是10 cm。
巧算面积(奥数)
例1：下图中大、小两个正方形的边长分别是8厘米和6厘米，求黄色部分的面积。
例2：如图所示，两个相同的直角三角形重叠在一起，求涂色部分的面积。
（单位：厘米）
例3：如下图，在三角形ABC中，AD=BD，CE=3BE。
若三角形BED的面积是1平方厘米，则三角形ABC的面积是多少平方厘米？
例4：图中四边形ABCD是长方形，AB=5厘米，BC=8厘米，三角形EFD的面积比三角形的面积大8平方厘米，求ED的长。
1、图中两个正方形的边长分别是10厘米和7厘米，求阴影部分的面积。
如果只知道大正方形的边长为10厘米，你能求出阴影部分的面积吗？
2、如图两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。
（单位：厘米）
3、在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是8平方厘米，求三角形ABC的面积。
4、如下图，梯形ABCD的面积是45平方米，高为6米，三角形AED的面积是5平方米，BC=10米，求阴影部分的面积。
5、如图，平行四边形BCEF中，BC=7厘米，直角三角形ABC中，AC=10厘米，阴影部分面积比三角形ADH的面积小7平方厘米。
问：CH长多少厘米？。
小学四年级奥数几何知识经典例题详解面积的计算
小学四年级奥数几何知识经典例题详解面积的计算1、人民路小学操场长90米，宽45米，改造后，长增加10米，宽增加5米。
现在操场面积比原来增加多少平方米？【思路导航】用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面积，操场现在的面积是：（90+10）×（45+5）=5000（平方米），操场原来的面积是：90×45=4050（平方米）。
所以现在比原来增加5000-4050=950平方米。
（90+10）×（45+5）-（90×45）=950（平方米）练习（1）有一块长方形的木板，长22分米，宽8分米，如果长和宽分别减少10分米，3分米，面积比原来减少多少平方分米？练习（2）一块长方形地，长是80米，宽是45米，如果把宽增加5米，要使面积不变，长应减少多少米？2、一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米，如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？【思路导航】由：“宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米”可知它的宽是54÷6=9（米）；又由“长不变，宽减少3米，那么它的面积减少了36平方米”，可知它的长为：36÷3=12（米），所以，这个长方形的面积是12×9=108（平方米）。
（36÷3）×（54÷9）=108（平方米）练习（1）一个长方形，如果宽不变，长减少3米，那么它的面积减少24平方米，如果长不变，宽增加4米，那么它的面积增加60平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？练习（2）一个长方形，如果宽不变，长增加5米，那么它的面积增加30平方米，如果长不变，宽增加3米，那么它的面积增加48平方米，这个长方形的面积原来是多少平方米？练习（3）一个长方形，如果它的长减少3米，或它的宽减少2米，那么它的面积都减少36平方米，求这个长方形原来的面积。
组合图形的面积——小学奥数专题
组合图形的面积(一)例1一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？练习一1、求四边形ABCD的面积。
（单位：厘米）2、已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。
3、有一个梯形，它的上底是5厘米，下底7厘米。
如果只把上底增加3厘米，那么面积就增加4.5平方厘米。
求原来梯形的面积。
例2正图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。
求中间长方形的面积。
练习二1、已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。
2、如下图长方形ABCD的面积是16平方厘米，E、F都是所在边的中点，求三角形AEF的面积。
3、求下图长方形ABCD的面积（单位：厘米）。
例3四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积是7平方厘米。
三角形CDH的面积是多少平方厘米？练习三1、图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分面积。
2、下图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。
3、下图中，甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米？例4下图中正方形的边长为8厘米，CE为20厘米，梯形BCDF的面积是多少平方厘米？练习四1、如下图，正方形ABCD中，AB=4厘米，EC=10厘米，求阴影部分的面积。
2、在一个直角三角形铁皮上剪下一块正方形，并使正方形面积尽可能大，正方形的面积是多少？（单位：厘米）3、图中BC=10厘米，EC=8厘米，且阴影部分面积比三角形EFG的面积大10平方厘米。
求平行四边形的面积。
例5图中ABCD是长方形，三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米，求ED的长。
练习五1、如图，平行四边形BCEF中，BC=8厘米，直角三角形中，AC=10厘米，阴影部分面积比三角形ADH的面积大8平方厘米。
求AH长多少厘米？2，图中三个正方形的边长分别是1厘米、2厘米和3厘米，求图中阴影部分的面积。
小学圆的面积奥数题100道及答案(完整版)
小学圆的面积奥数题100道及答案(完整版)题目1一个圆的半径是3 厘米，它的面积是多少平方厘米？答案：圆的面积= π×半径×半径，即3.14×3×3 = 28.26（平方厘米）题目2圆的直径是8 分米，求面积。
答案：半径= 8÷2 = 4 分米，面积= 3.14×4×4 = 50.24（平方分米）题目3一个圆的周长是18.84 米，求其面积。
答案：周长= 2×π×半径，所以半径= 18.84÷（2×3.14）= 3 米，面积= 3.14×3×3 = 28.26（平方米）题目4圆的面积是12.56 平方厘米，求半径。
答案：3.14×半径×半径= 12.56，半径×半径= 4，半径= 2 厘米题目5直径为10 厘米的圆，面积比半径为6 厘米的圆的面积小多少？答案：直径10 厘米的圆半径为5 厘米，面积为 3.14×5×5 = 78.5 平方厘米；半径6 厘米的圆面积为3.14×6×6 = 113.04 平方厘米，小113.04 - 78.5 = 34.54 平方厘米题目6一个圆的半径扩大3 倍，面积扩大多少倍？答案：原来面积= π×半径×半径，半径扩大3 倍后，面积= π×（3×半径）×（3×半径）= 9×π×半径×半径，面积扩大9 倍题目7两个圆的半径分别是2 厘米和3 厘米，它们面积的和是多少？答案：面积分别为3.14×2×2 = 12.56 平方厘米，3.14×3×3 = 28.26 平方厘米，和为12.56 + 28.26 = 40.82 平方厘米题目8一个圆的面积是50.24 平方分米，在里面画一个最大的正方形，正方形的面积是多少？答案：圆的半径= √（50.24÷3.14）= 4 分米，正方形的对角线是圆的直径为8 分米，正方形面积= 对角线×对角线÷2 = 8×8÷2 = 32 平方分米题目9圆的半径由4 厘米增加到6 厘米，面积增加了多少平方厘米？答案：原来面积= 3.14×4×4 = 50.24 平方厘米，新面积= 3.14×6×6 = 113.04 平方厘米，增加了113.04 - 50.24 = 62.8 平方厘米题目10在一个边长为8 厘米的正方形中画一个最大的圆，圆的面积是多少？答案：圆的直径= 8 厘米，半径= 4 厘米，面积= 3.14×4×4 = 50.24 平方厘米题目11已知圆的面积是28.26 平方米，求周长。
小学的奥数面积计算(综合题型)
第十八周面积计算（一）专题简析：计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。
这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。
有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。
图形面积）简单的面积计算是小学数学的一项重要内容.要会计算面积，首先要能识别一些特别的图形：正方形、三角形、平行四边形、梯形等等，然后会计算这些图形的面积.如果我们把这些图形画在方格纸上，不但容易识别，而且容易计算.上面左图是边长为4的正方形，它的面积是4×4＝16（格）；右图是3×5的长方形，它的面积是3×5＝15（格）.上面左图是一个锐角三角形，它的底是5，高是4，面积是5×4÷2＝10（格）；右图是一个钝角三角形，底是4，高也是4，它的面积是4×4÷2＝8（格）.这里特别说明，这两个三角形的高线一样长，钝角三角形的高线有可能在三角形的外面.上面左图是一个平行四边形，底是5，高是3，它的面积是5×3＝15（格）；右图是一个梯形，上底是4，下底是7，高是4，它的面积是（4+7）×4÷2＝22（格）.上面面积计算的单位用“格”，一格就是一个小正方形.如果小正方形边长是1厘米，1格就是1平方厘米；如果小正方形边长是1米，1格就是1平方米.也就是说我们设定一个方格的边长是1个长度单位，1格就是一个面积单位.在这一讲中，我们直接用数表示长度或面积，省略了相应的长度单位和面积单位.一、三角形的面积用直线组成的图形，都可以划分成若干个三角形来计算面积.三角形面积的计算公式是：三角形面积= 底×高÷2.这个公式是许多面积计算的基础.因此我们不仅要掌握这一公式，而且要会灵活运用.例1 右图中BD长是4，DC长是2，那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍呢？解：三角形ABD与三角形ADC的高相同.三角形ABD面积=4×高÷2.三角形ADC面积=2×高÷2.因此三角形ABD的面积是三角形ADC面积的2倍.注意：三角形的任意一边都可以看作是底，这条边上的高就是三角形的高，所以每个三角形都可看成有三个底，和相应的三条高.例2右图中，BD，DE，EC的长分别是2，4，2.F是线段AE的中点，三角形ABC的高为4.求三角形DFE的面积.解：BC＝2＋4＋2＝8.三角形ABC面积= 8×4÷2＝16.我们把A和D连成线段，组成三角形ADE，它与三角形ABC的高相同，而DE长是4，也是BC的一半，因此三角形ADE面积是三角形ABC面积的一半.同样道理，EF是AE的一半，三角形DFE面积是三角形ADE面积的一半.三角形DFE面积= 16÷4＝4.例3右图中长方形的长是20，宽是12，求它的内部阴影部分面积.解：ABEF也是一个长方形，它内部的三个三角形阴影部分高都与BE一样长.而三个三角形底边的长加起来，就是FE的长.因此这三个三角形的面积之和是FE×BE÷2，它恰好是长方形ABEF面积的一半.同样道理，FECD也是长方形，它内部三个三角形（阴影部分）面积之和是它的面积的一半.因此所有阴影的面积是长方形ABCD面积的一半，也就是20×12÷2＝120.通过方格纸，我们还可以从另一个途径来求解.当我们画出中间两个三角形的高线，把每个三角形分成两个直角三角形后，图中每个直角三角形都是某个长方形的一半，而长方形ABCD是由这若干个长方形拼成.因此所有这些直角三角形（阴影部分）的面积之和是长方形ABCD面积的的一半.例4 右图中，有四条线段的长度已经知道，还有两个角是直角，那么四边形ABCD（阴影部分）的面积是多少？解：把A和C连成线段，四边形ABCD就分成了两个，三角形ABC和三角形ADC.对三角形ABC来说，AB是底边，高是10，因此面积=4×10÷2＝20.对三角形ADC来说，DC是底边，高是8，因此面积=7×8÷2＝28.四边形ABCD面积= 20＋28＝48.这一例题再一次告诉我们，钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面.例5在边长为6的正方形内有一个三角形BEF，线段AE＝3，DF＝2，求三角形BEF 的面积.解：要直接求出三角形BEF的面积是困难的，但容易求出下面列的三个直角三角形的面积三角形ABE面积=3×6×2＝9.三角形BCF面积= 6×（6-2）÷2＝12.三角形DEF面积=2×（6-3）÷2＝3.我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出：三角形BEF面积=6×6-9-12-3＝12.例6 在右图中，ABCD是长方形，三条线段的长度如图所示，M是线段DE的中点，求四边形ABMD（阴影部分）的面积.解：四边形ABMD中，已知的太少，直接求它面积是不可能的，我们设法求出三角形DCE与三角形MBE的面积，然后用长方形ABCD的面积减去它们，由此就可以求得四边形ABMD的面积.把M与C用线段连起来，将三角形DCE分成两个三角形.三角形DCE的面积是7×2÷2＝7.因为M是线段DE的中点，三角形DMC与三角形MCE面积相等，所以三角形MCE 面积是7÷2＝3.5.因为BE＝8是CE＝2的4倍，三角形MBE与三角形MCE高一样，因此三角形MBE面积是3.5×4＝14.长方形ABCD面积=7×（8＋2）=70.四边形ABMD面积=70-7- 14＝49.二、有关正方形的问题先从等腰直角三角形讲起.一个直角三角形，它的两条直角边一样长，这样的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一个直角（90度），还有两个角都是45度，通常在一副三角尺中.有一个就是等腰直角三角形.两个一样的等腰直角三角形，可以拼成一个正方形，如图（a）.四个一样的等腰直角三角形，也可以拼成一个正方形，如图（b）.一个等腰直角三角形，当知道它的直角边长，从图（a）知，它的面积是直角边长的平方÷2.当知道它的斜边长，从图（b）知，它的面积是斜边的平方÷4例7 右图由六个等腰直角三角形组成.第一个三角形两条直角边长是8.后一个三角形的直角边长，恰好是前一个斜边长的一半，求这个图形的面积.解：从前面的图形上可以知道，前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形，等于后一个等腰直角三角形四个拼成的正方形.因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半，第一个等腰直角三角形的面积是8×8÷2＝32.这一个图形的面积是32＋16＋8＋ 4 ＋2＋1＝63.例8 如右图，两个长方形叠放在一起，小长形的宽是2，A点是大长方形一边的中点，并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么图中阴影部分的总面积是多少？解：为了说明的方便，在图上标上英文字母D，E，F，G.三角形ABC的面积=2×2÷2＝2.三角形ABC，ADE，EFG都是等腰直角三角形.三角形ABC的斜边，与三角形ADE的直角边一样长，因此三角形ADE面积=ABC面积×2＝4.三角形EFG的斜边与三角形ABC的直角边一样长.因此三角形EFG面积=ABC面积÷2＝1.阴影部分的总面积是4＋1＝5.例9如右图，已知一个四边形ABCD的两条边的长度AD＝7，BC＝3，三个角的度数：角B和D是直角，角A是45°.求这个四边形的面积.解：这个图形可以看作是一个等腰直角三角形ADE，切掉一个等腰直角三角形BCE.因为A是45°，角D是90°，角E是180°-45°-90°＝45°，所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形.四边形ABCD的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差，即7×7÷2-3×3÷2＝20.这是1994小学数学奥林匹克决赛试题.原来试题图上并没有画出虚线三角形.参赛同学是不大容易想到把图形补全成为等腰直角三角形.因此做对这道题的人数不多.但是有一些同学，用直线AC把图形分成两个直角三角形，并认为这两个直角三角形是一样的，这就大错特错了.这样做，角A是45°，这一条件还用得上吗？图形上线段相等，两个三角形相等，是不能靠眼睛来测定的，必须从几何学上找出根据，小学同学尚未学过几何，千万不要随便对图形下结论.我们应该从题目中已有的条件作为思考的线索.有45°和直角，你应首先考虑等腰直角三角形.现在我们转向正方形的问题.例10 在右图11×15的长方形内，有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对），每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形（阴影部分）面积是多少？解：长方形的宽，是“一”与“二”两个正方形的边长之和，长方形的长，是“一”、“三”与“二”三个正方形的边长之和.长-宽=15-11＝4是“三”正方形的边长.宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和，因此中间小正方形边长=11-4×2＝3.中间小正方形面积=3×3＝9.如果把这一图形，画在方格纸上，就一目了然了.例11从一块正方形土地中，划出一块宽为1米的长方形土地（见图），剩下的长方形土地面积是15.75平方米.求划出的长方形土地的面积.解：剩下的长方形土地，我们已知道长-宽=1（米）.还知道它的面积是15.75平方米，那么能否从这一面积求出长与宽之和呢？如果能求出，那么与上面“差”的算式就形成和差问题了.我们把长和宽拼在一起，如右图.从这个图形还不能算出长与宽之和，但是再拼上同样的两个正方形，如下图就拼成一个大正方形，这个正方形的边长，恰好是长方形的长与宽之和.可是这个大正方形的中间还有一个空洞.它也是一个正方形，仔细观察一下，就会发现，它的边长，恰好是长方形的长与宽之差，等于1米.现在，我们就可以算出大正方形面积：15.75×4+1×1＝64（平方米）.64是8×8，大正方形边长是8米，也就是说长方形的长+宽=8（米）.因此长=（8＋1）÷2＝4.5（米）.宽=8-4.5＝3.5（米）.那么划出的长方形面积是4.5×1＝4. 5（平方米）.例12 如右图.正方形ABCD与正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的边长是6，求三角形AEG（阴影部分）的面积.解：四边形AECD是一个梯形.它的下底是AD，上底是EC，高是CD，因此四边形AECD面积=（小正方形边长+大正方形边长）×大正方形边长÷2三角形ADG是直角三角形，它的一条直角边长DG=（小正方形边长+大正方形边长），因此三角形ADG面积=（小正方形边长+大正方形边长）×大正方形边长÷2.四边形AECD与三角形ADG面积一样大.四边形AHCD是它们两者共有，因此，三角形AEH与三角形HCG面积相等，都加上三角形EHG面积后，就有阴影部分面积=三角形ECG面积=小正方形面积的一半= 6×6÷2＝18.十分有趣的是，影阴部分面积，只与小正方形边长有关，而与大正方形边长却没有关系.三、其他的面积这一节将着重介绍求面积的常用思路和技巧.有些例题看起来不难，但可以给你启发的内容不少，请读者仔细体会.例13 画在方格纸上的一个用粗线围成的图形（如右图），求它的面积.解：直接计算粗线围成的面积是困难的，我们通过扣除周围正方形和直角三角形来计算.周围小正方形有3个，面积为1的三角形有5个，面积为1.5的三角形有1个，因此围成面积是4×4-3-5-1.5＝6.5.例6与本题在解题思路上是完全类同的.例14 下图中ABCD是6×8的长方形，AF长是4，求阴影部分三角形AEF的面积.解：三角形AEF中，我们知道一边AF，但是不知道它的高多长，直接求它的面积是困难的.如果把它扩大到三角形AEB，底边AB，就是长方形的长，高是长方形的宽，即BC 的长，面积就可以求出.三角形AEB的面积是长方形面积的一半，而扩大的三角形AFB是直角三角形，它的两条直角边的长是知道的，很容易算出它的面积.因此三角形AEF面积＝（三角形AEB面积）-（三角形AFB面积）＝8×6÷2-4×8÷2＝8.这一例题告诉我们，有时我们把难求的图形扩大成易求的图形，当然扩大的部分也要容易求出，从而间接地解决了问题.前面例9的解法，也是这种思路.例15 下左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积（阴影部分）有多大？解：我们首先要弄清楚，平行四边形面积有多大.平行四边形的面积是底×高.从图上可以看出，底是2，高恰好是长方形的宽度.因此这个平行四边形的面积与10×2的长方形面积相等.可以设想，把这个平行四边形换成10×2的长方形，再把横竖两条都移至边上（如前页右图），草地部分面积（阴影部分）还是与原来一样大小，因此草地面积=（16-2）×（10-2）＝112.例16 右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积.解：实际上，阴影部分是一个梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接来求它的面积.阴影部分与三角形BCE合在一起，就是原直角三角形.你是否看出，ABCD也是梯形，它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD的面积与阴影部分面积一样大.梯形ABCD的上底BC，是直角边AD的长减去3，高就是DC的长.因此阴影部分面积等于梯形ABCD面积=（8＋8-3）×5÷2＝32.5.上面两个例子都启发我们，如何把不容易算的面积，换成容易算的面积，数学上这叫等积变形.要想有这种“换”的本领，首先要提高对图形的观察能力.例17 下图是两个直角三角形叠放在一起形成的图形.已知AF，FE，EC都等于3，CB，BD都等于4.求这个图形的面积.解：两个直角三角形的面积是很容易求出的.三角形ABC面积=（3＋3＋3）×4÷2＝18.三角形CDE面积=（4＋4）×3÷2＝12.这两个直角三角形有一个重叠部分--四边形BCEG，只要减去这个重叠部分，所求图形的面积立即可以得出.因为AF＝FE＝EC＝3，所以AGF，FGE，EGC是三个面积相等的三角形.因为CB＝BD＝4，所以CGB，BGD是两个面积相等的三角形.2×三角形DEC面积= 2×2×（三角形GBC面积）＋2×（三角形GCE面积）.三角形ABC面积= （三角形GBC面积）＋3×（三角形GCE面积）.四边形BCEG面积=（三角形GBC面积）＋（三角形GCE面积）=（2×12＋18）÷5＝8.4.所求图形面积=12＋18- 8.4＝21.6.例18 如下页左图，ABCG是4×7长方形，DEFG是2×10长方形.求三角形BCM与三角形DEM面积之差.解：三角形BCM与非阴影部分合起来是梯形ABEF.三角形DEM与非阴影部分合起来是两个长方形的和.（三角形BCM面积）-（三角形DEM面积）=（梯形ABEF面积）-（两个长方形面积之和=（7＋10）×（4＋2）÷2-（4×7 ＋2×10）=3.例19 上右图中，在长方形内画了一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49.那么图中阴影部分的面积是多少？解：所求的影阴部分，恰好是三角形ABC 与三角形CDE 的公共部分，而面积为13，49，35这三块是长方形中没有被三角形ABC 与三角形CDE 盖住的部分，因此（三角形 ABC 面积）+（三角形CDE 面积）＋（13＋49＋35）＝（长方形面积）＋（阴影部分面积）.三角形ABC ，底是长方形的长，高是长方形的宽；三角形CDE ，底是长方形的宽，高是长方形的长.因此，三角形ABC 面积，与三角形CDE 面积，都是长方形面积的一半，就有阴影部分面积=13 ＋ 49＋ 35＝ 97.例题1。
三年级面积奥数题思维训练题
三年级面积奥数题思维训练题一、基础题型。
1. 一个长方形的长是8厘米，宽是5厘米，这个长方形的面积是多少平方厘米？- 解析：长方形的面积 = 长×宽，所以这个长方形的面积是8×5 = 40平方厘米。
2. 正方形的边长是6分米，它的面积是多少平方分米？- 解析：正方形的面积 = 边长×边长，所以这个正方形的面积是6×6=36平方分米。
3. 一个长方形花坛长12米，宽8米，这个花坛的面积是多少平方米？如果每平方米能种3株花，这个花坛一共能种多少株花？- 解析：- 长方形花坛面积 = 长×宽=12×8 = 96平方米。
- 每平方米种3株花，一共能种96×3 = 288株花。
4. 有一块正方形手帕，边长为15厘米，它的面积是多少平方厘米？- 解析：正方形面积 = 边长×边长，所以手帕面积为15×15 = 225平方厘米。
5. 一个长方形的长增加3厘米，宽不变，面积增加18平方厘米，原来长方形的宽是多少厘米？- 解析：长增加3厘米，宽不变，增加的面积就是增加的长乘以原来的宽。
所以原来的宽=18÷3 = 6厘米。
二、组合图形面积。
6. 如图，一个大长方形由两个小长方形组成，左边小长方形长8厘米，宽3厘米，右边小长方形长5厘米，宽3厘米，求大长方形的面积。
- 解析：- 大长方形的长是8 + 5=13厘米，宽是3厘米。
- 面积 = 长×宽=13×3 = 39平方厘米。
7. 有一个组合图形，由一个正方形和一个长方形组成。
正方形边长为4分米，长方形长6分米，宽4分米，求组合图形的面积。
- 解析：- 正方形面积=4×4 = 16平方分米。
- 长方形面积=6×4 = 24平方分米。
- 组合图形面积=16+24 = 40平方分米。
8. 如下图，一个长方形被分成了一个正方形和一个小长方形。
小学四年级奥数几何知识经典例题详解面积的计算
小学四年级奥数几何知识经典例题详解面积的计算1、人民路小学操场长90米，宽45米，改造后，长增加10米，宽增加5米。
现在操场面积比原来增加多少平方米？【思路导航】用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面积，操场现在的面积是：（90+10）×（45+5）=5000（平方米），操场原来的面积是：90×45=4050（平方米）。
所以现在比原来增加5000-4050=950平方米。
（90+10）×（45+5）-（90×45）=950（平方米）练习（1）有一块长方形的木板，长22分米，宽8分米，如果长和宽分别减少10分米，3分米，面积比原来减少多少平方分米？练习（2）一块长方形地，长是80米，宽是45米，如果把宽增加5米，要使面积不变，长应减少多少米？2、一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米，如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？【思路导航】由：“宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米”可知它的宽是54÷6=9（米）；又由“长不变，宽减少3米，那么它的面积减少了36平方米”，可知它的长为：36÷3=12（米），所以，这个长方形的面积是12×9=108（平方米）。
（36÷3）×（54÷9）=108（平方米）练习（1）一个长方形，如果宽不变，长减少3米，那么它的面积减少24平方米，如果长不变，宽增加4米，那么它的面积增加60平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？练习（2）一个长方形，如果宽不变，长增加5米，那么它的面积增加30平方米，如果长不变，宽增加3米，那么它的面积增加48平方米，这个长方形的面积原来是多少平方米？练习（3）一个长方形，如果它的长减少3米，或它的宽减少2米，那么它的面积都减少36平方米，求这个长方形原来的面积。
组合图形的面积——小学奥数专题
@组合图形的面积(一)例1一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米练习一1、求四边形ABCD的面积。
（单位：厘米）~2、已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。
,3、有一个梯形，它的上底是5厘米，下底7厘米。
如果只把上底增加3厘米，那么面积就增加平方厘米。
求原来梯形的面积。
例2正图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。
求中间长方形的面积。
|练习二1、已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。
2、如下图长方形ABCD的面积是16平方厘米，E、F都是所在边的中点，求三角形AEF的面积。
&3、求下图长方形ABCD的面积（单位：厘米）。
例3四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积是7平方厘米。
三角形CDH的面积是多少平方厘米￥练习三1、图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分面积。
"2、下图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。
3、下图中，甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米\例4下图中正方形的边长为8厘米，CE为20厘米，梯形BCDF的面积是多少平方厘米）练习四1、如下图，正方形ABCD中，AB=4厘米，EC=10厘米，求阴影部分的面积。
2、在一个直角三角形铁皮上剪下一块正方形，并使正方形面积尽可能大，正方形的面积是多少（单位：厘米）·3、图中BC=10厘米，EC=8厘米，且阴影部分面积比三角形EFG的面积大10平方厘米。
求平行四边形的面积。
例5图中ABCD是长方形，三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米，求ED的长。
$练习五1、如图，平行四边形BCEF中，BC=8厘米，直角三角形中，AC=10厘米，阴影部分面积比三角形ADH的面积大8平方厘米。
求AH长多少厘米2，图中三个正方形的边长分别是1厘米、2厘米和3厘米，求图中阴影部分的面积。
四年级巧求面积奥数题
四年级巧求面积奥数题一、例题1. 题目一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米；如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米。
这个长方形原来的面积是多少平方米？2. 解析（1）根据“宽不变，长增加6米，面积增加54平方米”，由长方形面积公式S = 长×宽，可得宽为54÷6 = 9米。
（2）再根据“长不变，宽减少3米，面积减少36平方米”，可得长为36÷3 = 12米。
（3）所以原来长方形的面积为12×9 = 108平方米。
3. 题目如图，大正方形比小正方形的边长多4厘米，大正方形的面积比小正方形面积大96平方厘米。
小正方形的面积是多少？（这里假设小正方形边长为a厘米，大正方形边长为a + 4厘米）4. 解析（1）大正方形面积为(a + 4)^2平方厘米，小正方形面积为a^2平方厘米。
（2）已知大正方形面积比小正方形面积大96平方厘米，则可列出等式(a + 4)^2-a^2=96。
（3）展开式子得到a^2+8a + 16 a^2=96，化简后为8a+16 = 96。
（4）先计算8a=96 16 = 80，解得a = 10。
（5）所以小正方形面积为a^2=10^2=100平方厘米。
5. 题目有一个长方形菜园，如果把宽改成50米，长不变，那么它的面积减少680平方米；如果使宽为60米，长不变，那么它的面积比原来增加2720平方米。
原来的长和宽各是多少米？6. 解析（1）由“宽改成50米，长不变，面积减少680平方米”，可得长为680÷(原来的宽 50)。
（2）由“宽为60米，长不变，面积比原来增加2720平方米”，可得长为2720÷(60 原来的宽)。
（3）因为长不变，所以680÷(原来的宽 50)=2720÷(60 原来的宽)。
（4）设原来的宽为x米，则(680)/(x 50)=(2720)/(60 x)。
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第十八周面积计算(一)专题简析:计算平面图形的面积时,有些问题乍一看,在已知条件与所求问题之间找不到任何联系,会使你感到无从下手。
这时,如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化,再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。
有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线,运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导,方能寻求出解题的途径。
图形面积）简单的面积计算是小学数学的一项重要内容.要会计算面积,首先要能识别一些特别的图形:正方形、三角形、平行四边形、梯形等等,然后会计算这些图形的面积.如果我们把这些图形画在方格纸上，不但容易识别,而且容易计算．上面左图是边长为4的正方形，它的面积是4×4= 16(格）；右图是3×５的长方形，它的面积是３×5＝15（格）.上面左图是一个锐角三角形,它的底是5，高是４,面积是5×4÷2= 10(格）；右图是一个钝角三角形,底是4，高也是４，它的面积是4×4÷2＝8（格).这里特别说明，这两个三角形的高线一样长,钝角三角形的高线有可能在三角形的外面.上面左图是一个平行四边形,底是５,高是3，它的面积是5×３＝1５(格）;右图是一个梯形，上底是4，下底是7,高是4，它的面积是（４+７）×4÷２＝22(格).上面面积计算的单位用“格”,一格就是一个小正方形.如果小正方形边长是1厘米，1格就是1平方厘米；如果小正方形边长是1米,１格就是1平方米.也就是说我们设定一个方格的边长是1个长度单位，１格就是一个面积单位.在这一讲中,我们直接用数表示长度或面积，省略了相应的长度单位和面积单位.一、三角形的面积用直线组成的图形，都可以划分成若干个三角形来计算面积.三角形面积的计算公式是：三角形面积= 底×高÷2.这个公式是许多面积计算的基础.因此我们不仅要掌握这一公式，而且要会灵活运用．例1右图中BD长是4,ＤC长是2,那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍呢?解:三角形ABD与三角形ＡDＣ的高相同.三角形AＢD面积=4×高÷2.三角形ADC面积=2×高÷2.因此三角形ABD的面积是三角形ADＣ面积的2倍.注意：三角形的任意一边都可以看作是底,这条边上的高就是三角形的高，所以每个三角形都可看成有三个底，和相应的三条高.例2右图中,BD,DE，EC的长分别是2,4,2．F是线段AＥ的中点,三角形ABＣ的高为4.求三角形ＤFE的面积.解：BC＝2＋４+２=８.三角形ＡBC面积=8×4÷2=1６.我们把A和D连成线段,组成三角形AＤE，它与三角形AＢC的高相同,而ＤE长是４，也是ＢＣ的一半，因此三角形ＡDＥ面积是三角形ABC面积的一半.同样道理,EF是AＥ的一半，三角形DＦE面积是三角形ADＥ面积的一半．三角形DFＥ面积＝１6÷4＝4．例3右图中长方形的长是２0,宽是１2,求它的内部阴影部分面积.解：ABＥF也是一个长方形,它内部的三个三角形阴影部分高都与BE一样长．而三个三角形底边的长加起来,就是FE的长.因此这三个三角形的面积之和是ＦＥ×BE÷2，它恰好是长方形ＡBEF面积的一半．同样道理,ＦEＣD也是长方形,它内部三个三角形（阴影部分)面积之和是它的面积的一半．因此所有阴影的面积是长方形AＢCD面积的一半，也就是２0×12÷2=120．通过方格纸,我们还可以从另一个途径来求解.当我们画出中间两个三角形的高线,把每个三角形分成两个直角三角形后,图中每个直角三角形都是某个长方形的一半,而长方形ABCD 是由这若干个长方形拼成.因此所有这些直角三角形(阴影部分）的面积之和是长方形AＢＣD面积的的一半.例4右图中,有四条线段的长度已经知道,还有两个角是直角,那么四边形AＢCD（阴影部分)的面积是多少？解：把Ａ和C连成线段，四边形AＢCD就分成了两个,三角形AＢC和三角形ADC.对三角形ABC来说，AB是底边,高是10,因此面积=4×１0÷２= 20.对三角形ADＣ来说，ＤC是底边,高是8,因此面积=7×８÷２=2８.四边形ABＣD面积=２0＋２８＝4８.这一例题再一次告诉我们,钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面.例5在边长为6的正方形内有一个三角形BEF,线段AE＝３,ＤF＝2,求三角形BEＦ的面积.解:要直接求出三角形ＢEＦ的面积是困难的,但容易求出下面列的三个直角三角形的面积三角形ABE面积=3×６×2＝9.三角形BCF面积= ６×（6－２)÷２= 1２．三角形ＤEF面积=２×(６-３）÷2= 3.我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出：三角形BEF面积=6×6-9－12-3＝12.例6 在右图中，ABCD是长方形，三条线段的长度如图所示,M是线段DE的中点,求四边形ＡBMD（阴影部分）的面积.解：四边形ABMD中,已知的太少,直接求它面积是不可能的,我们设法求出三角形DCE与三角形MＢE的面积,然后用长方形ＡBCD的面积减去它们，由此就可以求得四边形ABMＤ的面积.把M与C用线段连起来,将三角形ＤＣＥ分成两个三角形.三角形DCE的面积是7×2÷2＝7.因为M是线段ＤＥ的中点,三角形ＤMC与三角形MCE面积相等，所以三角形ＭCE面积是7÷２＝３.5.因为BE＝8是CE=２的4倍，三角形ＭＢＥ与三角形MCE高一样，因此三角形MBＥ面积是3.５×4＝1４.长方形ＡBCＤ面积=7×(８+２）＝70.四边形ABMD面积=70-７- 14= 4９.二、有关正方形的问题先从等腰直角三角形讲起．一个直角三角形，它的两条直角边一样长,这样的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一个直角（90度),还有两个角都是45度，通常在一副三角尺中．有一个就是等腰直角三角形.两个一样的等腰直角三角形,可以拼成一个正方形，如图(a）.四个一样的等腰直角三角形,也可以拼成一个正方形,如图（ｂ).一个等腰直角三角形,当知道它的直角边长,从图（a)知，它的面积是直角边长的平方÷2.当知道它的斜边长，从图(ｂ）知,它的面积是斜边的平方÷４例7 右图由六个等腰直角三角形组成.第一个三角形两条直角边长是8.后一个三角形的直角边长,恰好是前一个斜边长的一半,求这个图形的面积．解：从前面的图形上可以知道，前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形,等于后一个等腰直角三角形四个拼成的正方形．因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半，第一个等腰直角三角形的面积是8×8÷2＝32.这一个图形的面积是3２+16+ 8＋４+2+1＝６3.例8 如右图,两个长方形叠放在一起，小长形的宽是２，A点是大长方形一边的中点，并且三角形ＡBC是等腰直角三角形,那么图中阴影部分的总面积是多少?解:为了说明的方便,在图上标上英文字母D，E，F,Ｇ.三角形ABC的面积＝２×２÷２=2.三角形ABC,ＡDＥ，ＥＦG都是等腰直角三角形.三角形ＡＢC的斜边，与三角形ADE的直角边一样长，因此三角形ADE面积=ABC面积×2=4．三角形ＥＦG的斜边与三角形ABC的直角边一样长.因此三角形EFG面积=ABC面积÷2＝1.阴影部分的总面积是４＋1＝５.例9如右图,已知一个四边形ＡBCＤ的两条边的长度AD=7,ＢC＝3,三个角的度数：角B和Ｄ是直角,角A是4５°.求这个四边形的面积．解：这个图形可以看作是一个等腰直角三角形ＡDE，切掉一个等腰直角三角形BCＥ．因为A是45°,角D是90°，角E是１8０°－4５°-90°=45°，所以AＤE是等腰直角三角形，BCＥ也是等腰直角三角形.四边形ABCD的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差,即７×7÷2－3×３÷2=2０．这是1９94小学数学奥林匹克决赛试题.原来试题图上并没有画出虚线三角形.参赛同学是不大容易想到把图形补全成为等腰直角三角形.因此做对这道题的人数不多.但是有一些同学,用直线AC把图形分成两个直角三角形,并认为这两个直角三角形是一样的，这就大错特错了.这样做,角A是4５°,这一条件还用得上吗?图形上线段相等,两个三角形相等,是不能靠眼睛来测定的，必须从几何学上找出根据，小学同学尚未学过几何,千万不要随便对图形下结论.我们应该从题目中已有的条件作为思考的线索.有4５°和直角,你应首先考虑等腰直角三角形.现在我们转向正方形的问题．例１0 在右图１１×1５的长方形内,有四对正方形(标号相同的两个正方形为一对)，每一对是相同的正方形,那么中间这个小正方形(阴影部分)面积是多少？解：长方形的宽，是“一”与“二”两个正方形的边长之和，长方形的长,是“一”、“三”与“二”三个正方形的边长之和.长-宽=1５-11=４是“三”正方形的边长.宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和，因此中间小正方形边长=1１-4×2＝３．中间小正方形面积=３×３= 9.如果把这一图形,画在方格纸上，就一目了然了．例11从一块正方形土地中，划出一块宽为1米的长方形土地(见图),剩下的长方形土地面积是15.75平方米.求划出的长方形土地的面积.解:剩下的长方形土地,我们已知道长-宽=１（米)．还知道它的面积是15.７5平方米，那么能否从这一面积求出长与宽之和呢?如果能求出，那么与上面“差”的算式就形成和差问题了.我们把长和宽拼在一起,如右图.从这个图形还不能算出长与宽之和,但是再拼上同样的两个正方形，如下图就拼成一个大正方形,这个正方形的边长,恰好是长方形的长与宽之和.可是这个大正方形的中间还有一个空洞.它也是一个正方形，仔细观察一下,就会发现，它的边长，恰好是长方形的长与宽之差,等于１米.现在,我们就可以算出大正方形面积：15.75×4+１×1= 64（平方米).64是8×8,大正方形边长是8米,也就是说长方形的长+宽=8（米）．因此长=(８+1）÷2＝ 4.5(米)．宽=８-4.５=3.5(米).那么划出的长方形面积是４.5×１＝4. 5（平方米）.例12 如右图．正方形ABCD与正方形EFＧＣ并放在一起.已知小正方形EFGC的边长是6,求三角形ＡEG（阴影部分)的面积．解:四边形AEＣD是一个梯形.它的下底是AD，上底是EＣ，高是ＣD,因此四边形AＥＣD面积=(小正方形边长+大正方形边长）×大正方形边长÷2三角形ADＧ是直角三角形,它的一条直角边长ＤＧ=（小正方形边长+大正方形边长),因此三角形AＤＧ面积=（小正方形边长＋大正方形边长）×大正方形边长÷2．四边形AECD与三角形ＡDG面积一样大.四边形AHCD是它们两者共有,因此，三角形AEH与三角形HCG面积相等,都加上三角形EHG面积后,就有阴影部分面积=三角形ECG面积＝小正方形面积的一半= 6×6÷2＝1８.十分有趣的是，影阴部分面积，只与小正方形边长有关,而与大正方形边长却没有关系.三、其他的面积这一节将着重介绍求面积的常用思路和技巧.有些例题看起来不难,但可以给你启发的内容不少,请读者仔细体会.例１３画在方格纸上的一个用粗线围成的图形（如右图),求它的面积.解:直接计算粗线围成的面积是困难的,我们通过扣除周围正方形和直角三角形来计算．周围小正方形有３个，面积为１的三角形有5个,面积为1.5的三角形有1个，因此围成面积是4×4－3－5－１.５＝6.５.例６与本题在解题思路上是完全类同的.例1４下图中ABCＤ是6×８的长方形，AF长是4,求阴影部分三角形AEF的面积.解：三角形AＥF中,我们知道一边ＡＦ，但是不知道它的高多长,直接求它的面积是困难的.如果把它扩大到三角形AEB，底边AB，就是长方形的长,高是长方形的宽，即BC的长，面积就可以求出.三角形AＥB的面积是长方形面积的一半,而扩大的三角形ＡFB是直角三角形，它的两条直角边的长是知道的,很容易算出它的面积.因此三角形AＥＦ面积＝（三角形AＥB面积）-(三角形AFB面积）＝8×６÷2-4×8÷2＝8.这一例题告诉我们,有时我们把难求的图形扩大成易求的图形，当然扩大的部分也要容易求出，从而间接地解决了问题.前面例9的解法,也是这种思路.例15下左图是一块长方形草地,长方形的长是１6，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积（阴影部分)有多大?解:我们首先要弄清楚，平行四边形面积有多大.平行四边形的面积是底×高.从图上可以看出,底是2,高恰好是长方形的宽度.因此这个平行四边形的面积与10×2的长方形面积相等.可以设想，把这个平行四边形换成１0×2的长方形,再把横竖两条都移至边上（如前页右图）,草地部分面积（阴影部分)还是与原来一样大小，因此草地面积＝(１6-２）×（10-２）= 112.例１６右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积．解：实际上,阴影部分是一个梯形,可是它的上底、下底和高都不知道,不能直接来求它的面积．阴影部分与三角形BCE合在一起，就是原直角三角形.你是否看出, ABCＤ也是梯形，它和三角形BCE合在一起,也是原直角三角形.因此，梯形ＡBＣD的面积与阴影部分面积一样大.梯形AＢＣD的上底BC，是直角边AＤ的长减去3，高就是ＤC的长.因此阴影部分面积等于梯形ABＣD面积=(8＋８-3）×5÷2＝32.5．上面两个例子都启发我们，如何把不容易算的面积,换成容易算的面积,数学上这叫等积变形.要想有这种“换”的本领，首先要提高对图形的观察能力.例１７下图是两个直角三角形叠放在一起形成的图形.已知AF，ＦE，ＥC都等于３，CB，BＤ都等于4.求这个图形的面积．解：两个直角三角形的面积是很容易求出的.三角形ABC面积=(3+３+3)×4÷2＝１8.三角形CDＥ面积＝（4＋4）×3÷２＝12．这两个直角三角形有一个重叠部分-－四边形ＢCEG,只要减去这个重叠部分,所求图形的面积立即可以得出.因为ＡF＝ＦＥ= EC＝3，所以ＡGF，FGE，EGC是三个面积相等的三角形.因为CB＝BD＝4,所以CGB，BGD是两个面积相等的三角形.2×三角形DEＣ面积＝2×2×(三角形GBC面积)+2×（三角形GCE面积）.三角形AＢC面积= (三角形ＧBC面积）+3×（三角形ＧCE面积）．四边形BCＥＧ面积=(三角形GBC面积)+（三角形GCE面积)=(2×12+１8）÷５=8.4.所求图形面积=12+ １８- ８．4=21.6.例18如下页左图,ABCＧ是4×７长方形,DEFＧ是2×１０长方形.求三角形ＢCM 与三角形DEM面积之差.解:三角形BCＭ与非阴影部分合起来是梯形AＢＥF.三角形ＤEM与非阴影部分合起来是两个长方形的和.(三角形ＢCM面积)－(三角形DEM面积)=(梯形AＢEF面积）-(两个长方形面积之和＝（7＋10)×（4+2）÷2－(4×7+ 2×1０）=３.例19 上右图中，在长方形内画了一些直线，已知边上有三块面积分别是13,3５，49.那么图中阴影部分的面积是多少？解:所求的影阴部分,恰好是三角形A ＢC 与三角形CDE 的公共部分,而面积为13，49，35这三块是长方形中没有被三角形ＡB Ｃ与三角形CD Ｅ盖住的部分，因此（三角形 ABC 面积）+（三角形ＣＤＥ面积）+(13+49+35)＝（长方形面积）＋（阴影部分面积).三角形AB Ｃ,底是长方形的长,高是长方形的宽；三角形CDE,底是长方形的宽,高是长方形的长．因此,三角形ABC 面积,与三角形CDE 面积,都是长方形面积的一半，就有 阴影部分面积＝13 + 49＋ ３5＝ 97．例题１。