博弈论7 不完全信息动态博弈

给定参与者2的推断， 选择R ′的期望收益就等于p×0+(1－p)×1=1－p。 选择L′的期望收益等于p×1+(1－p) ×2=2－p。 由于对任意的p，都有2－p >l－p，要求2排除了2选 择R′的可能性。
R
(1,3) L 2 M



[p]
[1-p]
L′
R′
L′
R′

(2,1) (0,0)

如果我们将从每一个信息集开始的博弈 的剩余部分称为一个“后续博弈”（注 意与子博弈的不同：子博弈必须开始于 单结信息集），一个“合理”的均衡应 该满足： 给定每一个参与人有关其它参与人类型 的后验信息，参与人的战略组合在每一 个后续博弈上构成贝叶斯均衡。

精炼贝叶斯均衡是贝叶斯均衡、子博弈精练 均衡和贝叶斯推断的结合。它要求： (1) 在每一个信息集上，决策者必须有一 个定义在属于该信息集的所有决策结上的一 个概率分布(信念)； (2) 给定该信息集上的概率分布和其他参 与人的后续战略，参与人的行动必须是最优 的； (3) 每一个参与人根据贝叶斯法则和均衡 战略修正后验概率。



参与人的行动是类型依存的，每个参与人的 行动都传递着有关自己类型的某种信息， 后行动者可以通过观察先行动者所选择的行 动来推断其类型或修正对其类型的先验信念 (概率分布)，然后选择自己的最优行动。

先行动者预测到自己的行动将被后行动 者所利用，就会设法选择传递对自己最 有利的信息，避免传递对自己不利的信 息。 因此，博弈过程不仅是参与人选择行动 的过程，而且是参与人不断修正“信念” 的过程。
按照海萨尼转换，该博弈表示为：
N
t11
1
t12
[1 P]
[ P]
m1
2
m2
m1
a1
1 2
m2
a1
a1 a1
a2
a2
a2
Байду номын сангаас
a2
图7-2
注释： 参与人i对其他参与人的类型（私人信息）t-i的 信念 pi (ti | ti ) 称为先验概率。 当参与人 i在他的某个信息集h上观察到其他 h a n-1个参与人行动组合 i ，条件概率 h h i (ti | a p ) a , 是参与者i在观察到 i 的情况下， i 对参与者的类型t-i的修改，这个修正产生 h i (ti | a p i )的推断称为后验概率


在图7.3的子博弈精炼纳什均衡(L, L′)中，参与者2 的推断一定是 p=1 ：给定参与者 1的均衡战略，参与者2 知道已经到了信息集中的哪一个节。作为要求3的另一种 说明，设想在图7.3中存在一个混合战略均衡，其中参与 者 1 选择 L 的概率为 q1 ， M 的概率为 q2 ，选择 R 的概率为 1-q1-q2 。要求 3 则强制性规定参与者 2 的推断必须是 p= q1/( q1+ q2)。


在例1图7-1中，设R(t11),R(t12)是参与人1的 两个战略。从而该博弈表示为完全但不完美 的动态博弈图7-3 。
1
L
R(t11 )
[ P]
2
R(t12 )
[1 P]
2
(2, 2)
R
A
B
A
B
(0, 0)
(0,1) 图7-3
(1, 0)
(3,1)
参与人2
A
参 与 人 1
B
2,2 0,1
L
R(t11 )[ p]
R(t12 )[1 p]
2,2 0,0
1,0
3,1
对于参与人2的任何信念p2 ( p,1- p), 行动A都要弱劣与B， 因此均衡（L, A ）是参与人2的不可信威胁：
但（L,A）又排除不掉，因为没有子博弈。 假设在参与人2的信息集h2上,观察到R产生 的后验概率为 p (t11 | R) q, p (t12 | R) 1 q,

例题1： 参与人i=1,2; 参与人1的行动空间A1=｛L,R｝ 参与人1的类型空间T1=｛t11,t12｝ 参与人2的行动空间A2=｛A,B｝ 参与人2的类型空间T2=｛t2｝,单点集，因此 参与人1对参与人2的信念p1=1; 参与人2对参与人1的信念p2=(p,1-p); 参与人1先行动，参与人2后行动。
(p 1 , p 2 ,, p n ) 和一个后验概率组合 p ，满足下列要求R1-R4：

要求1：在每一信息集中，应该行动
的参与者必须对博弈进行到该信息 集中的哪个节有一个推断。
对于非单节信息集，推断是在信息
集中不同节点的一个概率分布；对 于单节的信息集，参与者的推断就 是到达单一决策节的概率为1。
7.1.4 精炼贝叶斯均衡的等价定义

不完全信息静态博弈的海萨尼转换也适用 于不完全信息动态博弈，经过海萨尼转换的 不完全信息动态博弈与完全但不完美信息动 态博弈没有多少差别。

等价定义：精炼贝叶斯均衡是一个战略组合
s* (t ) (s*1 (t1 ), s2* (t2 ),, s*n (tn ))

(t11 | R) 0, p (t12 | R) 1, p

，所以就删掉了（ L，A ）
7.1 精炼贝叶斯纳什均衡
7.1.1后续博弈 引入精炼贝叶斯均衡的目的是：
为了进一步强化 ( 即加强对条件的要求 )
贝叶斯纳什均衡，这和子博弈精炼纳什 均衡强化了纳什均衡是相同的。
Pr ob{t k a h } p(a h t k ) p(t k ) Pr ob{a }
h

p(a h t k ) p(t k )

k 1
K
p(a h t k ) p(t k )

注意：精炼贝叶斯均衡假定参与人是
根据贝叶斯法则修正先验概率的。
不过，贝叶斯法则要求 Prob{ah}>0， 即参与人 i 必须以正的概率选择 ah ，

用更为广义的后续博弈的概念来代替子博弈，后续 博弈可开始于任何信息集（而不论是否单结）。

其后，进行相似的分析：如果参与者的战略要构成 为博弈的一个精练贝叶斯均衡，它不仅必须是整个 博弈的贝叶斯纳什均衡，而且必须构成每一个后续 博弈的贝叶斯均衡。
[ 例子 ] ：市场进入博弈（该博弈的扩展式表述模型 见图7.2）
否则，后验概率没有定义。
如果 Prob{ah} ＝ 0 ，允许 Prob{tk|ah} 在
[0,1] 区间取任何值，只要所取的值与 均衡战略相容。
在动态博弈中，Prob{ah}=0对应的是非
均衡路径上的信息集。
7.1.3精炼贝叶斯均衡

假定有 n 个参与人，参与人 i 的类型是是私 人信息， p(t-i|ti) 是属于类型 ti 的参与人认为其他 n-1 参与人属于类型t-i =(t1,…, ti-1, t i +1, …, tn) 的先验概率。

这时，参与者2选择A的期望收益为： 0*q+0*(1-q)=0 选择B的期望收益为： 1*q+1*(1-q)=1>0 所以参与人2一定会选择B.
参与人1知道理性的参与人2轮到他决策 的信息集h2上会选择B，因此参与人的最 优战略就是R(t12). 既然参与人1决定选择R(t12)，因此参与 人2修正的信念推断是

7.1.2 贝叶斯法则

统计学上，修正之前的判断称为 “ 先 验概 率 ” ， 修 正之 后 的判 断 称为 “后验概率”。贝叶斯法则是人们根据 新的信息从“先验概率”得到“后验概 率”的基本方法。
一个不完全信息博弈中，假定参与人的
类型是独立分布的，参与人 i 有 K 个可能 类型，有H个可能行动。

要求 2 ：给定参与者的推断，参与者的战略必须满 足序贯理性的要求。 即在每一个信息集中应该行动的参与者(以及参与者 随后的战略)，对于给定的该参与者在此信息集中的 推断，以及其他参与者随后的战略必须是最优反应。 要求1意味着如果博弈的进行达到参与者 2的非单节 信息集，则参与者2必须对具体到达哪一个节 ( 也就 是参与者1选择了L还是R)有一个推断。这样的推断 就表示为到达这两个节的概率p和1－p。


定义：精炼贝叶斯均衡s*(t)=( s*1 (t1), …, s*n
1 2 n
(tn))是一个战略组合，和一个后验概率组合 (p ,p ,, p ) ，满足： p (1) 对于所有的参与人i，在每一个信息集h，
si t i
i (ti aih )ui ( si , si , ti ) si* ( si , ti ) arg max p
第七章 不完全信息动态博弈

至少部分博弈方没有关于得益 全部信息的动态博弈，称“不完 全信息动态博弈”或“动态贝叶 斯博弈’。

在不完全信息动态博弈中，按照海萨尼转换， 博弈进行的先后顺序可以描述为： 首先，“自然” 选择参与人的类型，参与人 自己知道，其他参与人不知道； 其次，参与人开始行动，参与人的行动有先 有后，后行动者能观测到先行动者的行动， 但不能观测到先行动者的类型。
解:
（1）NE (A,L), (B,R). 具体 略 （2）无子博弈，因此为SPNE. （3）下面求PBNE. 按照PBNE的定义，需要满足条件： R1---R4. R1: 参与人1的信息集h1={x},显然信念 p1=1;参与人2的信息集h2={y1,y2}, 信念 p2=(p,1-p),其中0≤p≤1;
R2:给定参与人2的信念p2=(p,1-p),其中
0≤p≤1;参与人2选择L,M,R的期望收益 为： E2L=2*p+1*(1-p)=1+p E2M=1*p+0*(1-p)=p E2R=1*p+1*(1-p)=1 任意的0≤p≤1，都有E2M ≤ E2R ≤ E2L， 所以 参与人2的最优战略：s*2=L.