中考数学常考的圆的六种题型

中考题中常考的圆的六种解题策略

第一种场景：遇到弦。

轴对称性是圆的基本性质，垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的，它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据．遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线．当圆的题目中出现弦的知识点的时候，我们需要迅速联想到弦相关的定理和一些性质，比如垂径定理、弦心距、勾股定理等．

例1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，且PD∥CB，弦PB与CD交于点F

（1）求证：FC＝FB；

（2）若CD＝24，BE＝8，求⊙O的直径．

【分析】（1）根据两平行弦所夹的弧相等，得到弧PC＝弧BD，然后由等弧所对的圆周角相等及等角对等边，可以证明FC＝FB．（2）连接OC，在Rt△OCE中用勾股定理计算出半径，然后求出直径．

【解答】（1）证明：∵PD∥CB，∴弧PC＝弧BD，∴∠FBC＝∠FCB，

∴FC＝FB．

（2）解：如图：连接OC，设圆的半径为r，在Rt△OCE中，OC＝r，OE＝r﹣8，CE＝12，∴r²＝（r﹣8）²+12²，

解方程得：r＝13．所以⊙O的直径为26．

【点评】本题考查的是垂径定理，（1）题根据平行弦所夹的弧相等，等弧所对的圆周角相等，等角对等边，可以证明两条线段相等．（2）

题根据垂径定理得到CE＝12，然后在直角三角形中用勾股定理

求出半径，再确定圆的直径．

当出现直径的条件时，我们也要快速联想圆心角、圆周角等性质，进而构造等腰三角形、直角三角形等图形，从而求解后面的问题。

例2.如图，在⊙O中，将弧BC沿弦BC所在直线折叠，折叠后的弧与直径AB相交于点D，连接CD．

（1）若点D恰好与点O重合，则∠ABC＝______ °；

（2）延长CD交⊙O于点M，连接BM．猜想∠ABC与∠ABM的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）根据折叠的性质和圆周角定理解答即可；

（2）作点D关于BC的对称点D'，利用对称的性质和圆周角定理解答．【解答】（1）∵由折叠可知：∠OBC＝∠CBD，

∵点D恰好与点O重合，∴∠COD＝60°，

∴∠ABC＝∠OBC＝1

2

∠COD＝30°；故答案为：30；

（2）∠ABM＝2∠ABC，理由如下：

作点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，

∵对称，∴∠DBC＝∠D'BC，DC＝D'C，连接CO，D'O，AC，∴∠AOC＝2∠ABC，∠D'OC＝2∠D'BC，

∴∠AOC＝∠D'OC，∴AC＝D'C，

∵DC＝D'C，∴AC＝DC，∴∠CAD＝∠CDA，

∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ABC＝90°，

设∠ABC＝α，则∠CAD＝∠CDA＝90°-α，

∴∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠CDA＝2α，即∠ACD＝2∠ABC，∵∠ABM＝∠ACD，∴∠ABM＝2∠ABC．

切线的定义是：一直线若与一圆有且只有一个交点，那么这条直线就是圆的切线。一般如果题目给出有切线，那么我们可以考虑添加过切点的半径，进而连结圆心和切点，利用切线的性质和定理构造出直角或直角三角形，从而使用勾股定理解出一些边角关系。

例3．（2018秋•海淀区期末）如图，AB是⊙O的弦，半径OE⊥AB，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CE与AB交于点F．

（1）求证：PC＝PF；

（2）连接OB，BC，若OB∥PC，BC＝32，

3

tan

4

P ，求FB的长．

【分析】（1）连接OC，根据切线的性质以及OE⊥AB，

可知∠E+∠EFA＝∠OCE+∠FCP＝90°，从而可知∠EFA＝∠FCP，

由对顶角的性质可知∠CFP＝∠FCP，所以PC＝PF；

（2）过点B作BG⊥PC于点G，由于OB∥PC，且OB＝OC，BC＝32，从而

可知OB＝3，易证四边形OBGC是正方形，所以OB＝CG＝BG＝3，所以BG

PG

=

3

4

，

所以PG＝4，由勾股定理可知：PB＝5，所以FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2．【解答】（1）连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，

∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE，

∵OE⊥AB，∴∠E+∠EFA＝∠OCE+∠FCP＝90°，∴∠EFA＝∠FCP，

∵∠EFA＝CFP，∴∠CFP＝∠FCP，∴PC＝PF；

（2）过点B作BG⊥PC于点G，

∵OB∥PC，∴∠COB＝90°，

∵OB＝OC，BC＝32，∴OB＝3，

∵BG⊥PC，∴四边形OBGC是正方形，∴OB＝CG＝BG＝3，

∵

3

tan

4

P ，∴

BG

PG

=

3

4

，∴PG＝4，∴由勾股定理可知：PB＝5，

∵PF＝PC＝7，∴FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2．

第四种场景:遇到相交切线(切线长定理)，

这个和上面的切线有点类似，碰到这种特殊的情况，我们常常更多会考虑连结圆心和切点，或者连结圆心和圆外的一点，或者按需求连结两切点。通过这几个不同的操作，我们可以得出一些特殊的三角形和边角关系，比如全等、相似、垂直、边角关系等等，非常好用。

例4.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB＝8，边BC比AD大6．

（1）求边AD、BC的长；

（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．

【分析】过D作DF⊥BC于F，设AD＝x，则DE＝AD＝x，EC＝BC＝x+6，根据勾股定理就到一个关于x的方程，就可以解得AD的长；△ADP和△BCP相似，有△ADP∽△BCP和△ADP∽△BPC两种情况进行讨论，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出AP的长．

第五种场景：三角形内切圆。

一般碰到这个场景我们会作以下辅助线：过圆心作三角形各边的垂线段或者连结圆心到各三角形顶点，思路同样是构造特殊的边角关系和三角形。这里有两个非常重要的性质必须清楚记得：1、圆心到三角形顶点的连线是角平分线；2、圆心到三角形三边的距离相等。

例5．（2019•武汉模拟）如图，AB＝AC，CD⊥AB于点D，点O是∠BAC 的平分线上一点，⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N

（1）∠AOC＝______；