依概率收敛

（3） X n P a,Yn Pb X nYn P ab
（4） X n P a,Yn Pb,b 0 X n / Yn P a / b
（5） X n P a, 函数 gx 在 a 连续，则 gX n P ga .
证明： gx 在 a 连续，故，对于任何 0 ，存在 0 ，当 x a 时，一定有
n n
n n
n
这样是错误的，因为极限函数在条件限制中的x与分布函数在条件限制中的x的
地位是相同的，我们只是在分布函数中x的跳跃点出取极限后作为我们的
极限函数中x划分实数轴的一个点，取这样的点是为了更好的计算极限函数
中这些跳跃点的值（如这里的g 0）.所以当我们对分布函数中的跳跃点
取极限后算出的值作为极限函数中的条件在计算起概率是返还到分布函数
gX n P ga
二、切贝谢夫大数律
X1,, X n 独立同分布， EX i
a,Var( X i )
d2
，则
X1
n
Xn
P a
证明：
特殊情况：贝努里大数律
X1,, X n 独立同分布， PX i 0 1 p, PX i 1 p ，则
P
X1
n
Xn
p
n0
三、依分布收敛 1：背景和定义
中去，这就是上面的做法。
第三段：当n ,是极限函数x lim 1 0,而在分布函数中的第二段 n n
x 1 n 1,2... 包含了x 0的情况，所以
n
gx lim Fnx 1 n
所以其极限函数是：
g x
0 1
x0 x0
但是我们注意到在间断点处 x=0 不满足分布函数的右连续，因为：
注 对概念的理解：
（1）. 什么是极限函数：对于一个分布函数序列 Fnx,当 n 时得到的函数
Fx ， 称 其 为 Fnx 的 极 限 函 数 ， 注 意 是 n ， 而 不 是 x 。 即 ：
lim Fnx F x。
n
例 1 设随机变量序列 Xn服从如下的退化分布 （前面定义了什么是退化分布）
一：背景与定义 1、背景
2、依概率收敛定义，随机变量序列 X1,, X n ,，如果对于任何 0 ，
P| X n X | n0 ， 记 X n Pr X ， 等 价 于 ： 对 于 任 何 0 ，
P| X n X | n 0 ，称随机变量序列 X1,, X n ,依概率收敛于 X 。
n
n
F(x 0) lim Fn (x) n
同理可以证明
lim
n
Fn
(
x)
F
x
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0
说明
或者说：Xn 对 X 的绝对偏差不小于一个任意小的给定量 的可能性将随着 n 增 大而越来越小，或者说绝对偏差 Xn X 小于一个任意给定量 的可能性将随 n
增大而越来越接近于 1，上述定义也等价于
p Xn X 1n
特别的当 X 为退化分布时，即 PX c 1 ，则称序列X n依概率收敛于 c
|
(X
n
Yn
)
(a
b)
|
|
(X
n
a)
|
| Yn
b
|
|
(X
n
a)
|
2
|
Yn
b
|
2
P|
(X
n
Yn
)
(a
b)
|
P
|
(Xn
a)
|
2
|
Yn
b
|
2
P
|
(Xn
a)
|
2
P
|
Yn
b
|
2
n 0
因此 P| ( X n Yn ) (a b) | n 0
X n Yn P a b ， 同样可以证明 （2） X n P a,Yn Pb X n Yn P a b
n
gx lim Fnx 0. n
第二段：当n 时，即极限函数中x lim 1 0,而分布函数中的第一段x 1
n n
n
包含了x 0的情况，所以：
g0 lim Fn0 0. n
特别注意：不要这样理解 : 分布函数中x 1 ,当n 时即是极限函数中 n
的x lim 1 0,那么：gx lim Fn 1 1(因为x 1 是在分布函数中的第二段)
即： X n c ⑵依概率收敛与微积分中的收敛的不同在于：微积分中的收敛是确定的，即对
于 任 给 的 0,当n N时，必有xn a 成立。而 依 概 率 收 敛 是 ， 对 任 给 的
0.当n很大时，事件xn a 发生的概率为1，但不排除偶然事件 xna 的
发生。
3、性质 （1） X n P a,Yn Pb X n Yn P a b ：证明
到一个极限函数是很苛刻的。很显然当 Fx 是直线上的连续函数，那么此时的
弱收敛就是点点收敛。
（3）.对于 lim Fnx F x的理解，其中 Fnx 是第 n 个随机变量 Xn 对应的分布函 n
数， Fx是是极限函数，也是随机变量序列Xn按分布收敛到 X 对应的分布函
数。
（4）在我们的定义中，对分布函数序列称为弱收敛，而对其随机变量序列，则 称为按分布收敛，这只是两种场合下的不同名称，本质都是一样的。
2：定理， X n P X X n L X （或 Fn x W F (x) ）
证明：往证
F
x
0
lim
n
Fn
(x)
lim
n
Fn
(x)
F
x
0
：
先令 x' x
X x' X x'，X n x X n x X x'，X n x X x'，X n x
因此 PX x' PX x'，X n x X x'，X n x
lim gx 1 g0 0
0 x 所以极限函数不能满足点点收敛。这就是为什么我们的定义中只考虑连续点。
（2）只考虑连续点不考虑间断点的原因： 除了上面所说的之外，我们还知道对于概率有贡献的点是连续点，对于单
个间断点对概率没有贡献。所以我们只考虑连续点的收敛是合理的，这也是为什 么定义中叫做弱收敛，因为点点收敛条件太强，要使一个分布函数序列点点收敛
即：
lim P Xn X 1
n
⑴依概率收敛的意义：
依概率收敛即依概率"1"收敛。随机变量序列{X n}依概率 收敛于x，说明对于任给的 0，当n很大时，事件“xn x ”的概率接近于"1"， 但正因为是概率，所以不排除小概率事件“xn x ”发生. 所以说依概率收敛是不确定现象中关于收敛的一种说法。
P Xn 1 1, n
则他的分布函数：
n=1,2,3........
Fn
x
0
1
x1 n
x1 n
在点点都收敛的情况下 Fnx 的极限函数是：
注意极限函数后面限制中的 x 与分布函数是同等地位的 第一段：当n 时，即极限函数中x lim 1 0,而分布函数中的第一段
n n x 1 , (n 1,2) 包含了x 0的情形，所以：
g(x) g(a) ，
Xn a gXn ga P Xn a PgXn ga ，
现在 X n P a, 因此，对于任何 0
P Xn a n1，因此， n 时 1 PgXn ga P Xn a n1 ， P gXn ga n1， P gXn ga n0 ，
对于随机变量序列X i ,i 1,2,...和某个随机变量 X ，假定 X 的 cdf 为 Fx ，
若，对于 Fx 得任何连续点 x ，都成立 PX i x n PX x，即
Fi x n F x ，则称随机变量序列 X i ,i 1,2,...依分布收敛到随机变量 X 。
也可以说，cdfs Fi x,i 1,2,....弱收敛到 Fx
F(x') PX x' PX x'，X n x PX x'，X n x Fn (x) PX x'，X n x
Fn (x) PX n X x x' Fn (x) P X n X x x'
注意到 P X n X x x' n0 ，
F(x') PX x' lim Fn (x) PX n X x x' lim Fn (x) ，因此
对于limfnx个随机变量xn对应的分布函是是极限函数也是随机变量序列汶心按分布收敛到x对应的分布函4在我们的定义中对分布函数序列称为弱收敛而对其随机变量序列贝u称为按分布收敛这只是两种场合下的不同名称本质都是一样的
吕泽锋 理学院
随即变量序列两种收敛方式
两种收敛： i) 依概率收敛：用于大数定律（大数定律讨论的就是依概率收敛） ii) 按分布收敛：用于中心极限定理.