时坡度问题及一次函数k的几何意义

例2 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m， 斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求： (1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°)；
6
B
C
i=1:3
i=1:2.5 23 α
A
D
解： 斜坡CD的坡度i = tanα = 1 : 2.5=0.4， 由计算器可算得α≈22°. 故斜坡CD的坡角α 为22°.
例3:已知：在直线y=kx+b上有任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，
这条直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α.
求证：tan y2 y1 k
x2 x1
y
证明：由α是锐角，可知直线
y=kx+b是上升的，即函数 y=kx+b的值随x值的增大而增大.
P1(x1,y1) α
∵P1,P2都在直线y=kx+b上，


yBiblioteka Baidu y2

kx1 b kx2 b
k y2 y1 x2 x1
tan y2 y1 k
x2 x1
当堂练习
1. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1 : 3 ，坝高
BC=3m，则坡面AB的长度是
(B)
A. 9m B. 6m C. 6 3m D. 3 3m
i=1:2
解：用α表示坡角的大小，由题意可得
tan 1 0.5，
2 因此 α≈26.57°. 在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，
AC=240m，
因此 sin BC BC ，
AC 240
从而 BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．
答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上 升了约107.3 m．
故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m.
6
B
C
i=1:3 A
E
i=1:2.5 α
23
FD
练一练
如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出 发时，测得坡面AB的坡度为1 : 2，走 20 5 米到达山 顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的 俯角是30°．请求出点B和点C的水平距离．
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲 的解决问题的策略
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根 据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量 如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡 面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如 图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于 不能很方便地得到仰角a和山坡长度l.
在Rt△DCF中，同理可得 i CF 1 ， FD 2.5
FD 2.5CF 2.5 23 57.5m ，
AD AE EF FD=69+6+57.5=132.5 (m).
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
AB AE2 BE2 692 232 72.7m .
l
2. 坡度 (或坡比)
水平面
如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比 叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作i， 即 i = h : l .
坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6.
3. 坡度与坡角的关系
i h tan
l 即坡度等于坡角的正切值.
坡面
i= h : l
h
α
l 水平面
(2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m).
6
B
C
i=1:3 A
E
i=1:2.5 α
23
FD
解：分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别
为点E、 F，由题意可知BE=CF=23m ， EF=BC=6m.
在Rt△ABE中，
i

BE AE

1， AE 3

3BE

3 23

69 m .
练一练 1. 斜坡的坡度是 1: 3 ，则坡角α =_3_0_度. 2. 斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _1__: _1_. 3. 斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是__1_:__3__.
h α
l
典例精析
例1 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发， 沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多 少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长 度精确到0.1m）？
答案：点B和点C的水平
距离为

40

20 3
3

米.
B
AD 30°
C
探究归纳
lh α
l
h
α
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直” 的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把 山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中 一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡 近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰 角α1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sinα1.
l1 α1
h1
方法归纳
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上 面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们 再“积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为 整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学 中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今 后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．
B
C
A
2.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH∥BC，坡 角∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6 m．为了提 高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A需 向右平移至点D，请你计算AD的长(精确到0.1 m)．
解：如图，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，过点 D 作 DF⊥BC 于点 F.
P2(x2,y2) R
如图，x1＜x2,则y1＜y2.过点P1,P2作
x轴的垂线，垂足分别为Q1,Q2,
α
o
再过点P1作x轴的平行线P1R交P2Q2
于点R，得 ∠P2P1R=α.
Q1 Q2 x
在Rt△P2P1R中，
tan RP2 y2 y1 y2 y1
RP1 x2 x1 x2 x1
学习目标
1.理解并掌握坡度、坡比的定义；(重点) 2.学会用坡度、坡比解决实际问题.(难点)
导入新课
观察与思考 如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路
比较陡？ B
A
C
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
讲授新课
与坡度、坡角有关的实际问题
知识回顾
坡面
1. 坡角
i= h : l
h
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α . α