微分方程的基本理论
常微分方程初步理论和应用
常微分方程初步理论和应用常微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学、经济学等。
本文将从理论和应用两个方面进行探讨。
一、常微分方程的基本概念和理论1.1 常微分方程的定义常微分方程是包含未知函数及其导数的方程，形式通常为dy/dx=f(x)。
其中，y表示未知函数，x表示自变量，f(x)表示函数y的导数与自变量x之间的关系。
1.2 常微分方程的分类常微分方程可分为一阶和高阶两类。
一阶常微分方程仅包含一阶导数，例如dy/dx=f(x)。
高阶常微分方程包含多阶导数，例如d²y/dx²=g(x)。
1.3 常微分方程的解常微分方程的解是指能够满足方程的函数，可以通过解析解和数值解两种方式求解。
解析解是指能够用一般公式表示的解，而数值解则是通过计算机等数值方法求得的近似解。
二、常微分方程的应用领域2.1 物理学中的应用常微分方程在物理学中有着广泛的应用，例如描述物体受力下运动的运动方程、描述电路中电流和电压变化的方程等。
通过求解这些微分方程，可以得到系统的运动规律和性质。
2.2 工程学中的应用工程学中常常需要对各种系统进行建模和分析，常微分方程能够提供这些系统的数学描述。
例如热传导方程、流体力学方程等，通过求解这些方程可以得到工程系统的特性和行为。
2.3 经济学中的应用经济学中的许多问题都可以建模为常微分方程，例如经济增长模型、市场供需模型等。
通过求解这些方程可以研究经济系统的演化和稳定性，对经济决策提供科学依据。
三、常微分方程的数值解求解方法3.1 欧拉法欧拉法是求解常微分方程数值解的一种常用方法。
通过离散化自变量和导数，将微分方程转化为差分方程，从而得到近似解。
3.2 Runga-Kutta方法Runga-Kutta方法是一种多步数值求解常微分方程的方法，通过计算多个点的导数值，得到近似解。
该方法能够提高准确度和稳定性。
3.3 有限差分法有限差分法是将微分方程转化为差分方程的一种方法，通过在自变量的有限区间内选取一系列离散点，将微分算子用差分算子代替，得到近似解。
常微分方程的基本理论与解法
常微分方程的基本理论与解法在数学领域中，常微分方程是一种描述变量间关系的重要工具。
它广泛应用于物理学、工程学、经济学等多个学科领域，用于描述连续系统的行为。
本文将介绍常微分方程的基本理论和解法。
一、常微分方程的定义和分类常微分方程是一个或多个未知函数及其导数之间的关系式。
通常，常微分方程的解是一个或多个未知函数，使得该方程对给定的自变量集合成立。
常微分方程可分为几个主要类别：1. 一阶常微分方程：这种方程只涉及到一阶导数。
2. 高阶常微分方程：这种方程涉及到高阶导数，如二阶、三阶等。
3. 线性常微分方程：这种方程的形式可表示为函数及其导数的线性组合。
4. 非线性常微分方程：这种方程的形式不满足线性性质。
二、常微分方程的基本理论常微分方程的基本理论包括存在性定理、唯一性定理和稳定性定理。
1. 存在性定理：对于一阶常微分方程初值问题，存在一个解在给定的定义区间上存在，前提是方程在该区间上满足一定的连续性条件。
2. 唯一性定理：对于一阶常微分方程初值问题，如果方程和初值函数在定义区间上满足一定的连续性条件，则存在唯一的解。
3. 稳定性定理：稳定性定理研究的是方程解的渐近行为。
它提供了关于解的长期行为的信息，如解是否趋向于稳定点或周期解。
三、常见的常微分方程解法解常微分方程的方法有多种，下面介绍一些常见的解法。
1. 变量可分离法：当一个一阶常微分方程可以写成f(x)dx = g(y)dy的形式时，可以进行变量分离，将两边分别进行积分，并解出未知函数的表达式。
2. 齐次方程法：当一个一阶常微分方程可以化简为dy/dx = F(y/x)的形式时，引入新的变量u = y/x，将原方程转化为du/dx = F(u)，然后进行变量分离并积分。
3. 齐次线性方程法：对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的一阶线性常微分方程，可以使用齐次线性方程的解法。
通过引入缩放因子e^(∫P(x)dx)，将原方程转化为d[e^(∫P(x)dx)y]/dx = e^(∫P(x)dx)Q(x)，然后进行变量分离并积分。
第四章第1节(线性微分方程的一般理论)
d x d x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x 0 (4.3) n dt dt dt
n 阶齐线性微分方程, 简称齐线性微分方程. 简称非齐线性 方程(4.1)称为n阶非齐线性微分方程， 微分方程. 通常把方程(4.3)称作对应于方程(4.1)的齐线性方程.
是否为(4.3)的通解？ Q2: 在什么条件下,表达式(4.4)能成为(4.3)的通解? 注：定理2说明, 齐线性方程组的所有解的集合构成 一个线性空间. Q3：此空间的维数是多少呢？
8
线性相关与线性无关的定义
a t b 上有定义， 如果存在不全为零的常数 c1 , c2 , , ck , 使得
13
函数组的Wronski 行列式的性质 定理3 若函数 x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 在 a t b
上线性相关，则 W (t ) 0, t [a, b]. Corollary 若 t0 [a , b], s.t . W ( t0 ) 0, 则
x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 在 [a, b] 线性无关.
设 x1 ( t ), x2 ( t ), , xk ( t ) 在
c1 x1 ( t ) c2 x2 (t ) ck xk (t ) 0, t [a , b],
则称这些函数是线性相关的， 否则就称这些函数 在所给的区间上线性无关.
c1 x1 ( t ) c2 x2 ( t ) ck xk ( t ) 0, t [a , b] c1 c2 ck 0
c1 x1 ( t0 ) c2 x2 ( t 0 ) cn xn ( t 0 ) x0 c1 x1 ( t0 ) c2 x2 ( t 0 ) cn xn ( t 0 ) x0 (4.9) ...................................................... c x ( n1) ( t ) c x ( n1) ( t ) c x ( n1) ( t ) x ( n1) . 0 2 2 0 n n 0 0 1 1
常微分方程的基本理论
在生物中的应用
描述种群增长模型
描述生物种群竞争模型
描述传染病模型 描述生物进化模型
04 常微分方程的分类
一阶常微分方程
定义：一阶常微分方程是形如y'=f(x,y)的方程，其中f是x和y的有理函数。 举例：dy/dx=y'，dy/dx=0等。 解法：常用的解法有分离变量法、积分因子法、常数变易法等。 应用：一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
稳定性分析方法
定义：研究常微分方程解的稳定性 分类：局部稳定性、全局稳定性 方法：线性化方法、Lyapunov函数法、LaSalle不变原理等 应用：控制系统、生态模型等领域
03 常微分方程的应用
在物理中的应用
描述物体运动规律 解释自然现象 预测未来趋势 优化物理实验
在经济中的应用
描述经济系统的动态行为，如供求关系、价格变动等 预测经济趋势和未来发展，为决策提供依据 分析经济政策的效果和影响，为政策制定提供参考 研究微观经济主体的行方程近似解法，通过构造一系列离散点 来逼近方程的解。
原理：基于泰勒级数展开，将微分方程转化为差分方程，通过迭代求解。
实现步骤：选择初始值，根据差分方程进行迭代，直到满足精度要求。
优缺点：欧拉法简单易行，但精度较低，迭代过程中可能产生较大的误差 积累。
龙格-库塔法
定义：一种常用的数值解法，用于求解常微分方程的近似解
原理：基于泰勒级数展开，通过迭代的方式逐步逼近精确解
步骤：选择初始值，迭代计算，直到满足精度要求 应用：适用于各种类型的常微分方程，尤其是一阶和二阶线性或非线性方 程
改进的龙格-库塔法
定义：改进的龙格库塔法是一种用于 求解常微分方程近 似解的高效数值方 法
大学数学易考知识点偏微分方程的基本理论和解法
大学数学易考知识点偏微分方程的基本理论和解法大学数学易考知识点：偏微分方程的基本理论和解法一、引言数学作为一门基础学科，广泛应用于各行各业。
在大学数学课程中，偏微分方程是一个重要的知识点。
本文将介绍偏微分方程的基本理论和解法，帮助大家更好地掌握这一知识点。
二、偏微分方程的基本概念1. 偏微分方程的定义偏微分方程是含有未知函数及其偏导数的方程。
它与常微分方程不同之处在于，偏微分方程中的未知函数不仅依赖于自变量，还依赖于各个自变量的偏导数。
2. 偏微分方程的分类偏微分方程根据方程中出现的未知函数的偏导数的阶数和个数，可以分为常系数偏微分方程和变系数偏微分方程；根据方程类型，可以分为椭圆型、双曲型和抛物型等不同类型的方程。
三、偏微分方程的基本理论1. 解的存在性和唯一性对于线性偏微分方程，满足一定的初值条件和边值条件时，解的存在性和唯一性可以得到保证。
这一结论对于求解实际问题具有重要的意义。
2. 偏微分方程的解的性质偏微分方程解的性质包括可微性、连续性以及一定的物理意义。
解的性质可以通过数学推导和物理分析得到。
四、偏微分方程的解法1. 常系数偏微分方程的解法常系数偏微分方程包括常系数线性偏微分方程和常系数非线性偏微分方程。
对于常系数线性偏微分方程，可以使用特征线法、分离变量法等方法求解；对于常系数非线性偏微分方程，可以使用变量分离法等方法求解。
2. 变系数偏微分方程的解法对于变系数偏微分方程，一般的解法是利用变换法将其转化为常系数偏微分方程。
常用的变换方法包括相似变量法、积分因子法等。
五、应用实例1. 热传导方程的求解热传导方程是一个典型的偏微分方程，描述了物体内部温度随时间和空间的变化规律。
采用分离变量法或者变量分离法可以求解该方程，从而得到物体内部的温度分布。
2. 波动方程的求解波动方程描述了波动现象的传播规律。
通过变量分离法或者特征线法可以求解波动方程，得到波动的传播速度和波形。
六、总结通过对偏微分方程的基本理论和解法的介绍，我们可以看到偏微分方程是数学中一个重要且广泛应用的知识点。
微分方程基本理论
1 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2，
通解为 y1 C1er1x C2er2 x .
2
特征方程具有两个相等的实根，
即
r1
r2
p 2
.
通解为 y C1erx C2 xerx (C1 C2 x)erx .
3 特征方程具有一对共轭复根 r1 = a + ib 与 r2 = a – ib .
y + py + qy = Aeax，
⑦
其中 a，A 均为常数.
由于 p，q 为常数，且指数函数的导数仍为指 数函数，因此，我们可以设 ⑦ 的特解
y* Bx keax .
其中 B 为待定常数， 当 a 不是 ⑦ 式所对应的线性齐
次方程的特征方程 r2 + pr + q = 0 的根时，取 k = 0；
积分得 u( x) Q( x)e P( x)dxdx C ,
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
Ce P( x)dx e P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx
对应齐次
y = C1 y1 + C2 y2 是该方程的通解，其中 C1, C2为任意常数.
定理 3 如果函数 y* 是线性非齐次方程的一个 特解，Y 是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则
y = Y + y*，
是线性非齐次方程的通解.
二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特征根法，其步骤 是：
(1) 写出所给方程的特征方程； (2) 求出特征根； (3) 根据特征根的三种不同情况，写出其通解.
§4.1 线性微分方程的一般理论
a ≤ t ≤ b上线性无关, 则它们Wronsky的行列式在[a, b] 上任何点都不等于零, 即W (t ) ≠ 0(a ≤ t ≤ b)
证明: “反证法” 证明
由定理4易得下面结论 推论1 推论 设x1 (t ), x2 (t ) L , xn (t )是方程(4.2)在区间
dϕ (t0 ) d ϕ (t0 ) (1) ( n −1) = x0 , L , = x0 ϕ (t0 ) = x0 , n −1 dt dt
( n −1)
二、齐次线性方程的解的性质和结构
先讨论n阶齐线性方程
n n −1
d x d x + a1 (t ) n −1 + L + an (t ) x = 0 ( 4. 2) n dt dt 的一般理论, 假设ai (t )(i = 1,2, L n)在a ≤ t ≤ b上连续.
d nx d n −1 x + a1 (t ) n −1 + L + an (t ) x = f (t ) ( 4.1) n dt dt 其中ai (t )(i = 1,2, L n)及f (t )都是a ≤ t ≤ b的连续函数.
如果f (t ) ≡ 0, 则方程(4.1)变为
d x d x + a1 (t ) n −1 + L + an (t ) x = 0 n dt dt
"
=0
3 伏朗斯基(Wronsky)行列式 定义2 定义 定义在[a, b]上k个可微k − 1次函数x1 (t ), x2 (t ) L ,
xk (t )所作成的行列式
微分方程的理论与应用
微分方程的理论与应用微分方程是一类重要的数学工具，它的理论和应用都非常广泛。
微分方程可以描述很多自然现象，从物理、化学到生物学都有它的应用。
本文将介绍微分方程的基本概念、求解方法以及一些常见的应用。
一、微分方程的基本概念微分方程是指含有未知函数及其导数的等式。
它是一种描述自然现象的数学模型。
微分方程的一般形式可以表示为：$$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$$其中，$y(x)$是未知函数，$y'(x)$、$y''(x)$分别表示$y(x)$的一阶和二阶导数，$y^{(n)}(x)$表示$y(x)$的$n$阶导数。
$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})$是已知函数。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程是指只含有单变量的未知函数及其导数的方程；偏微分方程则是含有多个变量的未知函数及其偏导数的方程。
二、微分方程的求解方法微分方程的求解方法可分为解析解和数值解两类。
解析解是指用一系列数学方法把微分方程求解出来的解。
数值解则是指用数值方法，通过数值计算的方式得出微分方程的近似解。
1.解析解的求解方法解析解的求解方法可以分为三种：分离变量法、线性微分方程和一阶和高阶齐次和非齐次线性微分方程。
(1) 分离变量法分离变量法是指将微分方程中的变量分离，使得未知函数与其导数分别出现在等式两边的积分符号之内。
然后进行变量的积分求解。
例如，对于一阶常微分方程：$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$$我们可以采用分离变量法，将其变为：$$\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$$然后对等式两边进行积分，即可求解y(x)的解析解。
(2) 线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式为：$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$其中，$p(x)$和$q(x)$是已知函数。
二阶和高阶线性微分方程的标准形式为：$$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+a_2(x)y^{(n-2)}+...+a_n(x)y=f(x)$$其中，$a_1(x),a_2(x),...,a_n(x)$和$f(x)$是已知函数。
4.1线性微分方程的一般理论
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) 0, a t b,
因为c1 , c 2 , , c n不全为 ，这就与x1 (t ), x 2 (t ), , x n (t )线性无关的假 0 设矛盾，定理得证．
根据定理 和定理4可知，由n阶齐次线性微分方程4.2) 3 ( 注： 的n个解构成的朗斯基行列 式或者恒等于零，或者 在方程的系数 为连续的区间内处处不 等于零．
任意常数我们指出，这些常数是 . 相互独立的 .事实上
x c1 x c1 ( n 1 ) x c1 x c 2 x c 2 ( n 1 ) x c 2 x c n x c n ( n 1 ) x c n
x1 (t ) x1 x1 (t )
根据定理 ，方程(4.2)的满足初值条件 1
x1 (t 0 ) 1, x1 (t 0 ) 0, , x1 ( n 1) (t 0 ) 0, ( n 1) (t 0 ) 1, , x 2 (t 0 ) 0, x 2 (t 0 ) 0, x 2 x (t ) 0, x (t ) 0, , x ( n 1) (t ) 1, n 0 n 0 n 0
n个线性无关的解，则方 (4.2)的通解可表示为 程 x c1 x1 (t ) c 2 x 2 (t ) c n x n (t ), (4.11)
其中c1 , c 2 , , c n 是任意常数 且通解(4.11)包括了方程 4.2)的所有解 , ( .
( n 证明 首先由叠加原理知4.11)是(4.2)的解，它含有 个
c1 x1 (t 0 ) c 2 x 2 (t 0 ) c n x n (t 0 ) 0, c1 x1 (t 0 ) c 2 x 2 (t 0 ) c n x n (t 0 ) 0, (4.9) c x ( n 1) (t ) c x ( n 1) (t ) c x ( n 1) (t ) 0 0 2 2 0 n n 0 1 1
线性微分方程的基本理论
( k 1) x1 (t )
x2 ( t ) x2 ( t )
( k 1) x2 (t )
xk ( t ) xk ( t )
( k 1) xk (t )
t 0 t 0
显然对所有的 t, 恒有 W [ x1 ( t ), x2 ( t )] 0,
但 x1 ( t ), x2 ( t ) ( , ) 上线性无关. 在 事实上, 假设存在恒等式
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) 0,
则当 t 0 时, 有c2 0, 当 t 0 时, 有c1 0, 故x1 ( t ), x2 ( t ) ( , )上线性无关. 在
n n
a1 ( t )
d
n1
x
dt
n1
an1 ( t )
dx dt
an ( t ) x
L[e
t
n
]?
n1
[ a1 (t )
a2 (t )
n 2
an1 (t ) an (t )]e .
t
性质3.1 L(cx ) cL( x ) c 为常数. 性质3.2
或
在(a, b) 上有定义,
则在（a, b）上线性无关的充要条件为
x1 ( t ) x2 ( t )
或
x2 ( t ) x1 ( t )
在（a, b）上不恒为常数.
8
例3: sin t , cos t在任何区间上都线性无关. 2 2 cos t ,1 sin t 在任何区间上都线性相关. 注3：函数组的线性相关与线性无关是 依赖于所取的区间。 例4: 函数x1 ( t ) t , x2 ( t ) t 在（ ， ） 上 是线性无关, 而在 (0, )和 ( , 0) 上是线性相关的.
微分方程的基本原理与高数中的应用
微分方程的基本原理与高数中的应用微分方程是研究变量之间关系的数学工具，是数学分析、物理学、工程学等领域中的重要工具之一。
而高等数学中对微分方程的学习与应用也是十分关键的。
本文将从微分方程的基本原理出发，介绍微分方程在高数中的应用。
一、微分方程的基本原理微分方程是包含未知函数以及其导数或微分的方程。
一般形式的微分方程可以表示为：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0其中，x 是自变量，y 是因变量，y' 是 y 对 x 的一阶导数，y'' 是 y 对 x 的二阶导数，y^(n) 是 y 对 x 的 n 阶导数。
F 是给定函数。
微分方程根据自变量和因变量的关系可以分为两类：常微分方程和偏微分方程。
常微分方程是只包含一自变量的微分方程，偏微分方程则是包含多个自变量的微分方程。
微分方程的解是满足方程的函数或函数族。
常微分方程一般根据阶数的不同分为几种类型：一阶微分方程、二阶微分方程等。
二、微分方程在高数中的应用微分方程在高等数学中的应用非常广泛，下面将介绍几个典型的应用领域。
1. 积分器微分方程在积分器电路中有着重要的应用。
积分器电路是指将输入信号进行积分的电路。
在实际电路中，当输入一个方波信号时，通过积分电路可以得到一个三角波信号。
这里积分器电路的原理就是基于微分方程的理论。
2. 物理学中的运动方程物理学中的许多运动问题可以通过微分方程来描述和求解。
例如，牛顿的动力学定律可以通过微分方程来表示：F = m * a = m * d^2x / dt^2其中 F 是力，m 是质量，a 是加速度，x 是位置关于时间的函数。
这是一个描述物体运动的二阶微分方程，可以通过求解得到物体在不同时间的位置。
3. 生物学中的人口增长模型微分方程在生物学中的人口增长模型中有着广泛的应用。
一个经典的人口增长模型是 Malthus 模型，它假设人口增长率与人口数量成正比。
微分方程和偏微分方程的基本理论
微分方程和偏微分方程的基本理论微分方程是数学中一类重要的方程，它描述了自然界中许多现象的变化规律。
微分方程分为常微分方程和偏微分方程两大类。
本文将介绍微分方程和偏微分方程的基本理论，包括定义、分类、解的存在唯一性以及一些常见的解法方法。
1. 微分方程的定义与分类微分方程是描述函数及其导数之间关系的方程。
一般形式为 F(x, y,y', y'', ..., y^(n)) = 0，其中 x 是自变量，y 是因变量，y' 是 y 对 x 的导数，y'' 是 y' 对 x 的导数，y^(n) 是 y^(n-1) 对 x 的导数，n 是非负整数。
根据方程中包含的未知函数和它的导数的最高阶数，微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程仅涉及一个自变量，例如 dy/dx = f(x)。
偏微分方程涉及多个自变量，其中一个是因变量，其他是自变量的函数，例如∂u/∂t = k∇^2u。
2. 解的存在唯一性对于给定的初始条件或边界条件，微分方程的解可能存在且唯一。
常微分方程的初始条件是在某个点上给出的函数值及其导数值，偏微分方程的边界条件是在某个区域边界上给出的函数值或导数值。
存在唯一性定理是解微分方程的基本工具之一。
根据皮卡-林德洛夫定理和格朗沃尔不等式，可以证明解的存在唯一性。
3. 常见的解法方法解微分方程的方法多种多样，以下介绍几种常用的方法：3.1. 变量分离法变量分离法适用于一阶常微分方程。
通过将方程中的变量分离并分别积分，得到方程的解。
例如，对于 dy/dx = f(x)g(y)，可以将方程变形为 g(y)dy = f(x)dx，然后对两边同时积分，进而得到解 y 的表达式。
3.2. 微分方程的积分因子法积分因子法适用于一阶常微分方程中的线性方程。
通过乘以一个适当的函数，使得方程变为可积的形式，然后再对方程进行积分。
例如，对于 dy/dx + p(x)y = q(x)，可以乘以一个积分因子μ(x)，使得μ(x)(dy/dx) + μ(x)p(x)y = μ(x)q(x)。
线性微分方程与常微分算子的基本理论
线性微分方程与常微分算子的基本理论线性微分方程是微积分学中的一个重要分支，它描述了某个未知函数及其导数之间的关系。
在解决实际问题和建立数学模型中，线性微分方程有着广泛的应用。
而在研究线性微分方程时，常微分算子的概念是不可或缺的工具。
本文将介绍线性微分方程与常微分算子的基本理论。
一、线性微分方程的定义与性质线性微分方程是指具有以下形式的方程：\[a_n(x)y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_1(x)y'(x) +a_0(x)y(x) = g(x)\]其中，$y(x)$是未知函数，$a_i(x)$和$g(x)$（$i=0,1,\cdots,n$）是已知函数，$y^{(k)}(x)$表示$y(x)$的$k$阶导数。
线性微分方程的阶数是指方程中最高导数的阶数。
线性微分方程的解具有以下性质：1. 线性微分方程的解集是一个线性空间；2. 若$y_1(x)$和$y_2(x)$是齐次线性微分方程的解，那么它们的线性组合$a_1y_1(x) + a_2y_2(x)$也是该方程的解；3. 通过已知的解可以构造出新的解。
二、常微分算子的定义与性质常微分算子是一种将函数映射为函数的操作符号。
定义常微分算子$D$如下：\[D = \frac{d}{dx}\]其中，$\frac{d}{dx}$表示对$x$求导。
常微分算子具有以下性质：1. 常微分算子对常数函数有特殊的作用，即$\frac{d}{dx}c = 0$，其中$c$为常数；2. 常微分算子满足线性运算性质，即对于函数$f(x)$和$g(x)$，以及常数$a$和$b$，有$\frac{d}{dx}(af(x) + bg(x)) = a\frac{d}{dx}f(x) +b\frac{d}{dx}g(x)$；3. 常微分算子满足链式法则，即$\frac{d}{dx}f(g(x)) =\frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}$。
数学中的常微分方程基本理论及应用研究
数学中的常微分方程基本理论及应用研究常微分方程是研究物理、生物、经济、工程等领域的基础数学工具之一。
本文将从常微分方程的概念入手，介绍其基本理论和应用研究。
一、概念常微分方程是指一个未知函数依自变量及其导数的函数关系式，其中未知函数是一个函数而不是一个数，已知函数为已知的函数或常数。
这个未知函数的导数只依赖于自变量而不依赖于未知函数本身。
常微分方程是研究物理、生物、经济、工程等领域现象的数学模型，可以描述物理现象的运动、细胞内的化学反应、人口与经济发展等现象。
二、基本理论1.解的存在唯一性解的存在唯一性是常微分方程理论的基本结论。
一般分为局部存在唯一性和全局存在唯一性两种情况。
其中，局部存在唯一性的证明一般是通过柯西-利普希茨定理进行的；全局存在唯一性需要借助一些额外的前提条件，比如“解是全局Lipschitz连续的”。
2.解的稳定性解的稳定性是指对于微小扰动，初始条件和解的轨迹随时间的演化关系。
一般分为渐近稳定和指数稳定两种情形。
其中，渐近稳定是指随着时间的演化，初始条件与其脱离越来越远；指数稳定是指随着时间的演化，初始条件与其脱离的速度指数递减。
3.常微分方程的分类常微分方程大致可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程、高阶常微分方程、偏微分方程等几种。
其中，线性常微分方程有严格且简单的解析表达式，成为常微分方程理论中研究最为充分的分支之一。
三、应用研究1.物理学中的应用常微分方程在物理学中有着非常广泛的应用。
比如，机械振动、空气阻力、微积分物理、连续介质力学以及天体力学等等，都是通过常微分方程的模型来描述问题的。
2.生物学中的应用微生物、癌细胞的生长肿瘤、骨质疏松以及神经元网络连接等等都可以被用常微分方程的模型描述。
在实际的生物学研究中，常微分方程可以被用来描述遗传网络、肿瘤生长等复杂的生物现象。
3.工程控制中的应用控制论问题也可以通过常微分方程的模型来描述。
例如，化工过程、自动控制、通信网络等等，都可以使用常微分方程控制模型进行设计和优化。
常微分方程3.2 线性微分方程的基本理论
性质3.1 性质3.1
L(cx) = cL(x)L c 为常数. L 为常数.
性质3.2 性质3.2 L(x1 + x2 ) = L(x1) + L(x2 )
6
dn x d n−1x dx + a1(t) n−1 +…… n−1(t) + an (t)x = 0 a n dt dt dt
(3.2.2)
(3.2.2)
x 定理3.4 定理3.4 若函数组 x1(t)， 2 (t),L, xn (t) 是齐线性方程
在区间（ ）上的n个线性无关的解 在区间（a, b）上的n个线性无关的解, 则它们的Wronskian 行列式 则它们的
W[x1(t)，x2 (t),L, xn (t)]在该区间上任何点都不为零. 在该区间上任何点都不为零
cx
(n−1) 1 1
L L, L
(t) + c x
(n−1) 2 2
(t) +L+ c x
(n−1) n n
(t) ≡ 0,
上述n个恒等式所组成的方程组是关于 上述 个恒等式所组成的方程组是关于 c1, c2 ,L, cn 系数行列式就是 的齐次方程组, 它的系数行列式就是 齐次方程组 它的系数行列式就是Wronskian 行列式, 由线性代数的知识知, 行列式 由线性代数的知识知 要使方程组存在 非零解, 则必有 W(t) = 0. 非零解
证明: 证明 用反证法 假设有 t0 ∈(a, b), 使得 W(t0 ) = 0.
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考虑关于 c1, c2 ,L, cn 的齐次线性代c2 x2 (t0 ) +L+ cn xn (t0 ) = 0, c x′(t ) + c x′ (t ) +L+ c x′ (t ) = 0, 2 2 0 n n 0 1 1 0 L L L c x (n−1) (t ) + c x (n−1) (t ) +L+ c x (n−1) (t ) = 0. 0 2 2 0 n n 0 1 1
微分方程全部知识点
微分方程全部知识点微分方程是数学中的一个重要分支，用于描述自然现象中涉及到变化的规律及其演化过程。
微分方程广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、经济学、生物学等。
本文将全面介绍微分方程的全部知识点，帮助读者更好地理解和掌握微分方程的理论和应用。
一、微分方程的定义和基本概念微分方程是描述数学模型中变化的规律的方程，其中涉及到未知函数及其导数。
微分方程分为常微分方程和偏微分方程两种。
常微分方程中只包含一元函数的导数，偏微分方程中包含多元函数的偏导数。
微分方程的解是指能够使方程成立的未知函数，通常表示为y(x)。
微分方程的解可以是一个函数，也可以是一组函数。
二、一阶常微分方程一阶常微分方程是指只含一元函数y及其一阶导数y'的微分方程。
一阶常微分方程的一般形式为：y'=f(x,y)通过分离变量法、全微分法或者常数变易法等方法可以求得一阶常微分方程的通解和特解。
一阶常微分方程的应用广泛，如在物理学中描述运动的规律，在经济学中描述增长的规律等。
三、高阶常微分方程高阶常微分方程是指含有未知函数y和其多次导数的微分方程。
高阶常微分方程的一般形式为：y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)其中y'和y''分别表示y的一阶和二阶导数。
通过特征方程法或常数变易法等方法可以求解高阶常微分方程的通解和特解。
高阶常微分方程的应用也很广泛，如描述物理学中的振动问题、电路分析问题等。
四、偏微分方程偏微分方程是指包含多元函数及其偏导数的微分方程。
偏微分方程的一般形式为：F(x,y,u,u_x,u_y,...,u_{xy},...)=0其中u表示未知函数，u_x和u_y分别表示u对于x和y的偏导数。
偏微分方程的求解方法通常是根据具体问题选择合适的方法，如叠加法、分离变量法、变数分离法等。
五、常用的一些微分方程模型除了上述的常微分方程与偏微分方程之外，微分方程还有一些常用的模型，如：1. 简单利率模型这个模型描述的是在简单利率下的本金增长规律。
常微分方程基本理论
常微分方程基本理论常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODE）是数学中的一个重要分支，研究微分方程的性质和解的存在性、唯一性以及稳定性等基本理论。
本文将从常微分方程的基础概念入手，逐步介绍一些常见的常微分方程及其解法，并探讨一些常微分方程在科学和工程问题中的应用。
一、基本概念在进一步深入研究常微分方程之前，我们首先需要了解一些基本概念。
常微分方程是包含未知函数及其导数的方程，通常用符号表示为：\[F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0\]其中，\(y\)是未知函数，\(y'\)表示\(y\)的一阶导数，\(y''\)表示\(y\)的二阶导数，\(y^{(n)}\)表示\(y\)的\(n\)阶导数。
\(F\)是关于\(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\)的函数。
二、一阶常微分方程一阶常微分方程是指未知函数的导数只涉及到一阶导数的方程。
常见的一阶常微分方程形式如下：\[y'=f(x,y)\]其中，\(f(x,y)\)是关于\(x\)和\(y\)的已知函数。
我们可以通过分离变量、变量代换、常数变易法等方法求解这类方程。
三、二阶常微分方程二阶常微分方程是指未知函数的导数涉及到一阶和二阶导数的方程。
常见的二阶常微分方程形式如下：\[y''=f(x,y,y')\]同样可以通过变量代换、常数变易法等方法求解这类方程。
四、常微分方程的应用常微分方程在科学和工程领域有着广泛的应用。
例如，生态学中可以通过常微分方程模型研究物种数量的变化规律；经济学中可以利用常微分方程模拟经济增长和波动等现象；物理学中可以运用常微分方程描述运动方程和波动方程等；工程学中常微分方程也用于探讨电路、振动等问题。
五、常微分方程的解法常微分方程的解法主要包括解析解和数值解两种方法。
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1.3、微分方程模型的求解
>>在常微分方程（组）中影响结果的变量只有一个 ，而偏微分方程研究的是有多个变量影响结果时的 规律。求解微分方程的方法大致有两类：一类是通 过对微分方程两端积分得到显式表示的完全解，进 而通过解的表达式分析模型结果；另一类方法是数 值解法，这种解法通常需要计算软件的协助，解的 结果通常使用图形的方式表示，或者可以求出某些 关键点的函数值。本章将利用上述方法讨论具体的 微分方程的建模问题。
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2.1、治污中溶液浓度的变化 4) 推广应用 >>江河湖海污染的治理以及矿井和化工厂的通风问 题都可以仿照溶液浓度问题建立相应的微分方程模 型。
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2.2、侦破中死亡时间的推测
1)背景介绍
>>死亡时间指死后经历时间或死后间隔时间，是指发 现、检查尸体时距死亡发生时的时间间隔。注重尸表 检查、判定，具有实际价值。死亡时间推断是指推测 死亡至尸体解剖时经历或间隔时间。早在三百多年前， 意大利医生已经明确指出：死亡时间推断是法医学鉴 定中首先要解决的问题。 >>死亡时间推断意义：⑴推断死亡时间对确定发案时 间，认定和排除嫌疑人有无作案时间，划定侦察范围 乃至案件的最终侦破均具有重要作用；⑵死亡时间推 断在某些财产继承、保险理赔案件中也有一定的作用。
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1.2、微分方程模型建立
2)列方程的常见方法 ①利用导数的概念直接列方程
>>在数学、力学、物理、化学、经济等学科中许多 自然现象所满足的规律已为人们所熟悉，并直接由 微分方程所描述。如牛顿第二定律、热传导定律、 放射性物质的放射性规律等，如生产函数、财富的 积累等。我们常利用这些规律对某些实际问题列出 微分方程。
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2.1、治污中溶液浓度的变化
1)背景介绍
>>20世纪50年代以来，由于人们对工业高度发达的
负面影响预料不够，预防不力，导致了全球性的三大
危机：资源短缺、环境污染、生态破坏。环境污染指
自然的或人为的向环境中添加某种物质（气体、液体
或固体）而超过环境的自然净化能力而产生危害的行 为。治理环境污染将成为21世纪人类重要研究课题之 一。近年来数学建模竞赛也经常面临相关课题，2005 年全国大学生数学建模竞赛A题是长江水质的评价与 预测，2011年全国大学生数学建模竞赛A题是城市表 层土壤重金属污染分析，2012年西北工业大学数学建 模竞赛A题为西安市空气质量的评价。
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1.1、微分方程及其模型
2)微分方程模型
>>微分方程模型是连续性模型中最主要的部分，模 型的建立主要是基于机理分析的方法，利用所研究 问题内部的联系，利用微元法，通过建立微分方程 或微分方程组描述问题的本质。所谓微元法就是考 察变量的一个微小变动对结果的影响，进而得到反 映变化规律的微分方程。微分方程模型分为：常微 分方程模型，常微分方程组模型和偏微分方程模型 。在常微分方程（组）中影响结果的自变量只有一 个，而偏微分方程研究的是有多个自变量影响结果 时的规律。
湖南岳阳城陵矶 0.41，江西九江河西水厂 0.06 已知从湖南岳阳城陵矶到江西九江河西水厂的长江河段全长 500 km，该河段长江水的平均流速为0.6 m/s。试求： (1) 氨氮浓度随时间变化所满足的微分方程； (2) 研究该河段氨氮浓度随时间变化的规律，并确定该河段氨 氮的降解系数； (3) 如果氨氮降解系数的自然值是0.3 ，则你计算的降解系数 值是高了还是低了？这说明了什么问题？
以长江为例，长江干流的自然净化能力可以认为是近似均匀 的，根据检测可知，主要污染物氨氮的降解系数通常介于0.1-0.5 (单位：1/天)之间。根据《长江年鉴》中公布的相关资料，2005 年9月长江中游两个观测点氨氮浓度的测量数据如下：
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2.1、治污中溶液浓度的变化
2) 原理分析
>>溶液浓度问题是工农业生产和治
理环境污染中经常要碰到的问题。此
类问题通常都可以描述为如下的实验
室模型（如图13-1）：一个容器有一
个入口，一个出口，里面盛满了某种
溶液，如果从入口以不变的速率向容
器内注入一定浓度的相同溶液（或清
水），搅拌均匀后以同样的速率从出
口排出，假设搅拌是在瞬间完成的，
那么容器内溶液浓度的变化规律是怎 样的呢？我们来看下面的例子。
图13-1 浓度变化实 验室模型
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例1 已知容器内盛有1000公斤的清水，若以每分钟5 公斤的速率注入浓度为0.2的盐水且不停地搅拌, 并以 同样的速率排出搅拌后的盐水, 那么经过多少时间能 使容器内的含盐量达到100公斤？
出盐量为: 0.001y 5 dt 0.005ydt
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含盐量的微元为
dy dt 0.005ydt dy 0.005 y 1
dt
模型 这是一个一阶线性非齐次微分方程，易求得该 求解 方程满足初始条件y(0)=0的特解为
y 200 ( 1 e0.005t )
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1.2、微分方程模型建立
1)微分方程定解步骤
>>微分方程建模是数学建模的重要方法之一，因许 多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解 问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解 问题，大体上可以按以下几步： ①根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函 数、必要的参数等)并确定坐标系； ②找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的 、化学的、经济的或生物学的等等)； ③运用这些规律列出方程和定解条件。
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1.2、微分方程模型建立 >>大多数微分方程模型的建立是基于平衡原理的分 析。所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化 的过程中一定受到某种平衡关系的支配。注意发掘 实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的角度组 建数学模型的一个关键问题。
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1.2、微分方程模型建立 2)列方程的常见方法 ①利用导数的概念直接列方程 ②利用微元法与任意区域上取积分的方法 ③利用模拟近似法
>>在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并 不很清楚而且相当复杂，因而需要根据实际资料或大 量的实验数据，提出各种假设。在一定的假设下，给 出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法 列出微分方程。
这是容器内含盐量y随t的变化规律.
将y=100代入,可求得
t ln 2 0.6931 138.62(分) 0.005 0.005
即经过约2小时18分37秒可使容器 内的含盐量达到100公斤。
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习题：在研究江河水质变化情况的过程中，降解系数是一个 重要的指标。通常认为，水质污染主要来自于本地区的排污和上 游的污水。一般说来，江河自身对污染物都有一定的自然净化能 力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等， 可使水中污染物的浓度逐渐降低。而反映江河自然净化能力的指 标就称为降解系数。
月家福
写 于
明 丁
娃
安亥欢
财 大
年 三
欢Leabharlann 数学建模方法2020年10月18日星期日10时41分24
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1.1、微分方程及其模型
1)微分方程 >>微分方程是数学的重要分支之一。大致和微积分 同时产生，并随实际需要而发展。含自变量、未知 函数和它的微商（或偏微商）的方程称为常（或偏 ）微分方程。关于微分方程的基本理论在不同层次 高等数学教材中都有相关的介绍，假定读者对微分 方程的基本内容和求解方法有所了解，否则请查阅 相关资料，这里从略。
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1.2、微分方程模型建立
2)列方程的常见方法 ①利用导数的概念直接列方程
②利用微元法与任意区域上取积分的方法 ③利用模拟近似法
>>在实际的微分方程建模过程中，也往往是上述方 法的综合应用。不论应用哪种方法，通常要根据实 际情况，作出一定的假设与简化，并要把模型的理 论或计算结果与实际情况进行对照验证，以修改模 型使之更准确地描述实际问题并进而达到预测预报 的目的。
2.1、治污中溶液浓度的变化 2.2、侦破中死亡时间的推测 2.3、考古中文物年代的测定
月
戌
年 八
家
明 丙
多 娇
江 山
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>>>>现实世界中量与量的关系有时可以直接利用初等 方法获得，但多数时候难以直接构建，而是建立量与 量之间的导数或变化规律的方程，通过求解这类方程， 从而获得我们想知道的结果，这就是微分方程建模。 当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而 演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态、 研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型。 建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出 简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对 象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译 回实际对象，就可以进行描述、分析、预测或控制了。