离散数学结构第01部分数理逻辑

第一章数理逻辑PPT精品文档123页

游；（5）两个三角形全等当且仅当三角形的三条边全部
相等。 (6) 张辉与王丽是同学。
2020/6/20
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中北大学离散数学课程组
例（解）
（1）设Ｐ：四川是人口最多的省份。
则命题（1）可表示为┐Ｐ。
（2）设Ｐ：王超是一个思想品德好的学生；
Ｑ：王超是一个学习成绩好的学生；
R：王超是一个体育成绩好的学生。
1.2 命题联结词
一、否定联结词“¬” 是一元联结词。读做“非”
例如： P：上海是一个城市。
P：上海不是一个城市。
¬P P
0
1
1
0
10
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1.2 命题联结词
二、合取联结词“∧”
二元联结词。读做“与”、“且”
例如：
P
（1）P：今天下雨，Q：明天下雨， 0
PQ：今天下雨并且明天下雨。
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中北大学离散数学课程组
七、约定
为了不使句子产生混淆，作如下约定，命题联结词之优先级如下：
（1）否定→合取→析取→条件→等价（2 ）同级的联结词，按其出现的先后次序(从
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结论：命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、条件、实际情况时间才能确定其真值。
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二、命题的分类
1.原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命题的命题。
例如：雪是黑色的
2.复合命题：由联结词、标点符号和原子命题复合而成的命题。
例如：如果今天晚上有星星，那么明天就是晴天。

离散数学-第一部分数理逻辑-第二章命题逻辑等值演算

名称
M0 M1 M2 M3
20
实例
由三个命题变项 p, q, r 形成的极小项与极大项.
极小项
公式
成真赋值名称
p q r 0 0 0 m0
p q r 0 0 1 m1
p q r 0 1 0 m2
p q r 0 1 1 m3
p q r 1 0 0 m4
p q r 1 0 1 m5
p q r 1 1 0 m6
p(qr) (pq) r p(qr) 不与 (pq) r 等值
2
等值式例题
例1 判断下列各组公式是否等值: (1) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr) pq (pq)r
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1Hale Waihona Puke 110 00111 1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
结论: p(qr) (pq) r
3
等值式例题
(2) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr)
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1
110 0
0
111 1
1
pq (pq)r
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0

精品文档-离散数学(方世昌)-第1章

2
第1章数理逻辑
例 1.1 - 1 下述都是命题: (1) 今天下雪; (2) 3+3=6; (3) 2 是偶数而 3 是奇数; (4) 陈涉起义那天，杭州下雨; (5) 较大的偶数都可表为两个质数之和。
3
第1章数理逻辑
以上命题中，(1)的真值取决于今天的天气; (2)和(3)是真; (4)已无法查明它的真值，但它是或真或假的，故将它归属于命题; (5)目前尚未确定其真假，但它是有真值的，应归属于命题。
6
第1章数理逻辑
从以上分析，我们得出他必须既非说谎也不是讲真话。这样，断言“我正在说谎”事实上不能指定它的真假，所以不是命题。这种断言叫悖论。
若一个命题已不能分解成更简单的命题，则这个命题叫原子命题或本原命题。例1.1 - 1中(1)、(2)、(4)、(5)都是本原命题，但(3)不是，因为它可写成“2 是偶数”和“3 是奇数”两个命题。
译为P∧Q，但“林芬和林芳是姐妹”就不能翻释成两个命题的合
取，它是一个原子命题。
34
第1章数理逻辑
1.1.3 命题变元和命题公式通常，如果P代表真值未指定的任意命题，我们就称P为命题
变元; 如果P代表一个真值已指定的命题，我们就称P为命题常元。但由于在命题演算中并不关心具体命题的涵义，只关心其真假值，因此，我们可以形式地定义它们。
以“真”、“假”为其变域的变元，称为命题变元; T和F称为命题常元。
35
第1章数理逻辑
习惯上把含有命题变元的断言称为命题公式。但这样描述过于表面，它没能指出命题公式的结构。因为不是由命题变元、联结词和一些括号组成的字符串都能成为命题公式，因此在计算机科学中常用以下定义。
单个命题变元和命题常元叫原子公式。由以下形成规则生成的公式叫命题公式(简称公式):

离散数学第一部分第一章数理逻辑

数理逻辑的发展
• 1847年，布尔（George Boole 18151864）创立了布尔代数 • 数理逻辑的第三位奠基人是德国数学家弗雷格（ Gottlob Frege， 1848－ 1925） • 大数学家罗素（ Bertrand Russell， 1872－1970），提出逻辑主义
数理逻辑的快速发展
定义1.2 • 设p和q均为命题，则p和q的合取式是一个复合命题，记作p∧q，读作“p与q” 或“p合取q”。 • 当且仅当p和q均为1时，p∧q的才为1。 • 联结词“∧”也是逻辑运算，它是二元逻辑运算。
p 0 0 1 1
表1.2 q p∧q 0 0 1 0 0 0 1 1
合取联结词与自然语言的对应
Discrete Mathematics and Its Application
教材与参考书
• 《离散数学》
屈婉玲、耿素云、张立昂编著高等教育出版社，2008年
教材与参考书
• 《离散数学学习指导与习题解析》
屈婉玲、耿素云、张立昂高等教育出版社
这门课的作用
• 计算机相关的专业基础课 • 培养逻辑思维和分析、解决问题能力 • 后续课程的基础 • 培养数学素养
定义1.4 • 设p和q均为命题，则p和q的蕴涵式是一个复合命题，记作p→q ，读作“如果p，则q”。 • p为前件（antecedent）； • q为后件（consequent）。 • 当且仅当p为1和q为0时， p→q的才为0。 • p为q的充分条件，q为p的必要条件。
蕴涵定义的合理性
【例1.5A】 • 商家承诺：7日内，包退保换
——
第一章命题逻辑基本概念
1.1 1.2 命题与联结词命题公式及其赋值

离散数学第一部分数理逻辑

第一节平面图的基本概念第二节欧拉公式第三节平面图的判断第四节平面图的对偶图第五节图中顶点的着色第六节地图的着色与平面图的点着色第七节边着色习题课
第一节支配集、点覆盖集与点独立集第二节边覆盖集与匹配第三节二部图中的匹配习题课
第一部分数理逻辑
一、主要内容命题逻辑基本概念命题逻辑等值演算命题逻辑推理理论一阶逻辑基本概念一阶逻辑等值演算与推理理论
2. 命题的分类（1）简单命题（也称原子命题）（2）复合命题 3. 简单命题符号化（1）用小写英文字母 p，q，r，…，pi，qi，ri （i≥1）
表示简单命题（2）用“1”表示真，用“0”表示假
例如，令
p： 2是有理数，则 p 的真值为 0，
q：2 + 5 = 7，则 q 的真值为 1 在本小节要弄清命题、命题的真值、真命题、假命题、简单（原子）命题、复合命题等概念
例将下列命题符号化. （1）吴颖既用功又聪明. （2）吴颖不仅用功而且聪明. （3）吴颖虽然聪明，但不用功. （4）张辉与王丽都是三好生. （5）张辉与王丽是同学.
（1）—（3）说明描述合取式的灵活性与多样性（4）—（5）要求分清联结词“与”联结的复合命题与简单命题
将各命题符号化
3. 析取式与析取联结词“∨” 定义 1.3 设 p, q 为二命题，复合命题“p 或 q”称作 p 与 q 的析取式，记作 p∨q，∨称作析取联结词，并规定 p∨q 为假当且仅当 p 与 q 同时为假. 例将下列命题符号化（1）2 或 4 是素数. （2）2 或 3 是素数. （3）4 或 6 是素数. （4）小元元只能拿一个苹果或一个梨. （5）王小红生于 1975 年或 1976 年. （1）—（3）为相容或（4）—（5）为排斥或在符号化时（5）可有两种形式，而（4）则不能

离散数学数理逻辑__命题逻辑_(1)

EX9：“如果张三能考90分，
那么李四也能考90分。”
P ：“张三能考90分”。
Q ：“李四能考90分”。
P
Q
T
T
•P→Q： “如果张三能考90分，
T
F
那么李四也能考90分。”
F
T
F
F
P→Q T F T T
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EX10：如果你今年离散数学考100分，那么就奖励你100元。 P：你今年离散数学考100分。 Q：奖励你100元。
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1、否定联结词
EX3：求“我们班上所有的同学都大于18岁”的否定。 P：我们班上所有的同学都大于18岁。 ① P：我们班上所有的同学不都大于18岁。 ② P：我们班上所有的同学都不大于18岁。
9
2、合取联结词
设P、Q为两个命题，复合命题“P而且Q”称为P、Q的合取式，记为P∧Q，“∧”称为合取联结词。 P∧Q为真当且仅当P 与 Q 为同时为真。一般地“既P又Q”，“不仅P而且Q”， “虽然P但是Q”都可以符号化的含义去理解。
11
EX5：求“今天下雪且今天下雨”的否定。 P：今天下雪。 Q：今天下雨。
P Q (P∧Q)
TT
F
TF
T
FT
T
FF
T
12
思考：将“小王和小李是夫妻俩，他们都很贪婪。” 符号化。令p:小王和小李是夫妻俩; q:小王很贪婪; r:小李很贪婪; 则可符号化为： p∧q∧r 。
5
4、联结词和复合命题
➢ 联结词：通常“并非”, “并且”, “或”,“如果…那么…”,“只要…就…”, “当且仅当”等词称为联结词。
在命题逻辑中主要研究由简单命题用联结词连接而成的命题称为复合命题；相对地，不能分解为更简单命题的命题称为简单命题。（命题的分类）注：简单命题和复合命题的划分具有相对性。复合命题的真假完全由构成它的简单命题的真假所决定。

(完整版)离散数学-数学逻辑(课件模板)

第一篇数理逻辑数理逻辑是应用数学方法引进一套符号系统来研究思维的形式结构和规律的学科，它起源于公元十七世纪。

十九世纪英国的德·摩根和乔治·布尔发展了逻辑代数，二十世纪三十年代数理逻辑进入了成熟时期，基本内容（命题逻辑和谓词逻辑）有了明确的理论基础，成为数学的一个重要分支，同时也是电子元件设计和性质分析的工具。

冯·诺意曼，图灵，克林，…等人研究了逻辑与计算的关系。

基于理论研究和实践，随着1946年第一台通用电子数字计算机的诞生和近代科学的发展，计算技术中提出了大量的逻辑问题，逻辑程序设计语言的研制，更促进了数理逻辑的发展。

除古典二值（真，假）逻辑外，还研究了多值逻辑、模态逻辑、概率逻辑、模糊逻辑、非单调逻辑等。

不仅有演绎逻辑，也还有归纳逻辑。

计算机科学中还专门研究计算逻辑、程序逻辑、时序逻辑等。

现代数理逻辑分为四论：证明论，递归论（它们与形式语言语法有关），模型论，公理化集合论（它们与形式语言的语义有关）。

第1-1章命题逻辑学习要求: 掌握命题，命题公式，重言式，等价式，蕴涵式等基本概念，能利用逻辑联结词或真值表，等价式与蕴涵式进行命题演算和推理；学习范式时与集合的范式进行对比。

表述客观世界的各种现象，表述人们的思想，表述各门学科的规则、理论等，除使用自然语言（这常常是上有歧异性的）外，还要使用一些特定的术语、符号、规律等“对象语言”，这些是所研究学科的一种特殊的形式化语言，研究思维结构与规律的逻辑学也有其对象语言。

本章就是讨论逻辑学中的对象语言—命题及其演算，它相当于自然语言中的语句。

§1-1-1 命题逻辑联结词与真值表一、命题的基本概念首先我们从下面的例子加以分析。

例1-1-1.1人总是要死的。

例1-1-1.2苏格拉底是人。

例1-1-1.3苏格拉底是要死的。

例1-1-1.4中国人民是勤劳和勇敢的。

例1-1-1.5鸵鸟是鸟。

例1-1-1.6 1是质（素）数。

离散数学--第一篇数理逻辑

Dr Chen Guangxi
1.2 命题公式及其真值表
【定义1.2.2】赋值定义赋值设p1,p2,…,pn是出现在公式中的全部的命题变项，给p1,p2,…,pn各指定一个真值，称为A的一个赋值或解释。若指定的一组真值使A的真值为1，则称这组真值为A的成真赋值（或成真解释）。若指定的一组真值使A的真值为0，则称这组真值为A的成假赋值（或成假解释）。
Dr Chen Guangxi
第一章命题逻辑基本概念
【定义1.1.4】析取联结词定义】例（1）李军到过桂林或云南。）李军到过桂林或云南。（2）数列收敛或发散。）数列收敛或发散。（3）你选一楼的一间房或选二楼的一间）不能既选一楼又选二楼）。房（不能既选一楼又选二楼）。
Dr Chen Guangxi
Dr Chen Guangxi
第一章命题逻辑基本概念
5种联结词组成一个联结词集合。联结词也可以看做是命题间的运算。出现在复合命题中的运算符号（联结词 ¬ 符）的优先顺序规定为：在先，其次 ∨ 与 ∧ ，再其次是→与 ↔ 。此外还可以加括号，括号内的最优先。
Dr Chen Guangxi
Dr Chen Guangxi
第一章命题逻辑基本概念
表示命题。一般用 p, q, rL 或 pi , qi , ri L表示命题。命题的真值也用符号表示，表示真，值也用符号表示，用“1”或“T”表示真，用或表示真表示假。，（1），（ “0”或“F”表示假。那么，（），（）的或表示假那么，（），（2）符号化形式为：符号化形式为： π 的真值为1（（1）p：是无理数。p的真值为（或T）。）：是无理数。的真值为）。的真值为（（2）q：桂林属于广东省。q的真值为（或F）。）：桂林属于广东省。的真值为）。由简单陈述句确定的命题称为简单命题或原子命题。命题。由若干个简单命题用联结词联结起来的命题称为复合命题。命题称为复合命题。

离散数学资料库

《离散数学》资料库第一章数理逻辑1、数理逻辑的历史。

逻辑是研究人类思维学科，最早是由古希腊学者亚里士多德创建的，他的《工具论》奠定了逻辑学的理论基础。

中国最早的一部逻辑专著--《墨经》也创造了一个比较完整的逻辑体系。

b5E2RGbCAP 根据所研究的对象和方法的不同，逻辑学可分为形式逻辑、辩证逻辑和数理逻辑。

数理逻辑得用数学方法研究推理，利用符号体系研究推理过程中前提和结论之间的关系，因此也叫符号逻辑。

plEanqFDPw从十七世纪开始，就有一些学者试图用数学的方法来研究逻辑。

德国的哲学家的数学家莱布尼兹&".10让血2＞被公认为是数理逻辑的创始人。

他认为数学之所以能发展如此迅速，数学知识之所以能如此有效，就是因为数学使用了特别的符号语言。

这种符号语言为表达思想和进行推理提供了非常良好的条件。

因此他提出了用一种象数学一样的表意符号体系来研究思维形式和规律，能简洁地表达出各种的推理的逻辑关系，使得推理过程就象数学一样可以利用公式来进行计算，以便用计算来解决争论。

DXDiTa9E3d1847年，英国数学家、逻辑学家布尔（G.Boole＞发表了《逻辑的数学分析》（The mathematical Analysis of Logic＞，建立了“布尔代数”（Boolean Algebra＞，并创造一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念。

布尔建立了一系列的运算法则，利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑的基础。

RTCrpUDGiT十九世纪七十年代末至二十世纪初，为了理解数学命题的性质和数学思维规律，德国的弗雷格（G.Frege＞、意大利的皮亚诺（G.Peano ＞和英国的罗素（B.Russell＞建立了古典逻辑演算、命题演算和谓词演算。

数理逻辑突破了古典形式逻辑的局限，形成了一个完整的逻辑体系.5PCzVD7HxA而德国的希尔伯特（D.Hilbert^D哥德尔（K.Godel＞的研究努力又使数理逻辑成为一门内容丰富的独立学科。

离散数学配套课件PPT(第5版)第一部分数理逻辑联结词全功能集

3
复合联结词
与非式: pq(pq) 或非式: pq(pq)
和与, ∧,∨有下述关系: p(p∧p)pp p∧q( p∧q)(pq)(pq)(pq) p∨q(p∧q)(p)(q)(pp)(qq)
4
复合联结词(续)
ppp p∧q(pp)(qq) p∨q(pq)(pq)
13
例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ续)
解编号
极小项
角码标记
1 x1∧x2∧x3∧x4 2 x1∧x2∧x3∧x4 3 x1∧x2∧x3∧x4
1110 * 1011 * 0111 *
4 x1∧x2∧x3∧x4 1010 * 5 x1∧x2∧x3∧x4 0101 * 6 x1∧x2∧x3∧x4 0011 *
1.5 联结词全功能集
联结词全功能集与非联结词,或非联结词
1
联结词的全功能集
定义设S是一个联结词集合，如果任何n(n1) 元真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示，则称S是联结词全功能集.
说明：若S是联结词全功能集，则任何命题公式都可用S中的联结词表示.
设S1, S2是两个联结词集合，且S1 S2. 若S1是全
x y
x∧y x y
x∨y x
x
与门
或门
非门
8
组合电路的例子
(x∨y)∧x的组合电路
x y
x y
第一种画法
x 第二种画法
9
例
例楼梯的灯由上下2个开关控制, 要求按动任何一个开关都能打开或关闭灯. 试设计一个这样的线路. 解 x,y:开关的状态, F:灯的状态, 打开为1, 关闭为0. 不妨设当2个开关都为0时灯是打开的.
(5,7) x1∧x3∧x4 001 *

离散数学

26
一阶逻辑等值式与置换规则
设A, B是两个谓词公式, 如果AB是永真式, 则称A 与B等值, 记作AB, 并称AB是等值式设A0是含命题基本等值式变项 p1, p2, …, 第一组命题逻辑中16组基本等值式的代换实例 pn的命题公式，例如，xF(x)xF(x), A1, A2, …, An xF(x)yG(y) xF(x)yG(y) 等是n个谓词公式，第二组用Ai (1in) 处 (1) 消去量词等值式处代替A0中的设D ={a1, a2, … , an} pi，所得公式A ① xA(x) A(a1)A(a2)…A(an) 称为A0的代换 ② xA(x) A(a1)A(a2)…A(an) 实例. 27
9
在ｎ个变元的简单合取式中，若每个变元及其否定并不同时存在，且二者之一出现一次且仅出现一次，则称此简单合取式为极小项。在ｎ个变元的基本析取式中，若每个变元与其否定，并不同时存在，且二者之一出现一次且仅出现一次，则称这种基本析取为极大项。
用mi表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. 用Mi表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示. 主析取范式——由极小项构成的析取范式主合取范式——由极大项构成的合取范式
13
求公式 A=(pq)r的主析取范式和主合取范式解 (pq)r (pq)r （析取范式） ①
(pq) (pq)(rr) (pqr)(pqr) m6m7 ② r (pp)(qq)r (pqr)(pqr)(pqr)(pqr) m1m3m5m7 ③
19
ห้องสมุดไป่ตู้
推理规则
(10) 构造性二难推理规则 AB CD AC ∴BD
(12) 合取引入规则 A B ∴AC 直接证明法附加前提证明法归谬法 (反证法)

北京工业大学《离散数学》课件-第一章逻辑和证明

第一章基础：逻辑和证明1内容提要◦逻辑（logic）：思维的规律和规则，是研究推理的科学公元前四世纪由希腊哲学家亚里士多德首创◦数理逻辑：用数学方法研究逻辑，又称符号逻辑十七世纪由德国数学家莱布尼兹提出2内容提要命题逻辑数理逻辑谓词逻辑34日常使用的自然语言，往往易产生二义性：•冬天，能穿多少穿多少；夏天，能穿多少穿多少。

•中国足球，谁也打不赢；中国乒乓球，谁也打不赢。

引入形式符号体系5本节摘要◦命题（离散对象）◦命题逻辑（离散对象之间的关系）◦命题逻辑的应用6命题◦命题是一个陈述语句，可判定真假◦举例：◦月亮是绿色奶酪做的。

◦1+0=1◦别的星球有生物。

◦坐下！◦几点了？◦X+1=2。

◦我正在说谎。

7命题非命题说明：◦只有具有确定真值的陈述句才是命题。

一切没有判断内容的句子，无所谓是非的句子，如：感叹句、祈使句、疑问句等，都不是命题。

◦命题只有两种真值，“命题逻辑”又称“二值逻辑”。

◦“具有确定真值”指客观上的具有，与我们是否知道它的真值是两回事。

8命题逻辑◦命题变量：表示命题的变量，习惯上用p, q, r, s, ...表示；真命题用T表示，假命题用F表示◦命题逻辑：涉及命题的逻辑领域研究对象：复合命题由已知命题用逻辑运算符（联结词）组合而来只有成绩好和竞赛获奖的同学才能保研操作符：逻辑联结词包括[否定，合取，析取，异或，条件，双条件]9复合命题：否定联结词◦令p为一命题，则p的否定记为 p，读作“非p”，一元运算符。

命题之否定的真值表T FF T“非”放在命题最前面表意更清晰。

p：地球是圆的；p：并非地球是圆的。

p：咱们班上都是男同学；p：咱们班上都不是男同学(×)or 咱们班上不都是男同学(√)。

10◦令p 和q 为命题，p 和q 的合取（conjunction ）记作pq 。

11复合命题：合取联结词T T T T F F F T F F F F两命题析取的真值表阳光灿烂，但是正在下雨= 阳光灿烂正在下雨我在吃饭我女朋友在吃饭我和女朋友一起吃饭= 我和女朋友都在吃饭复合命题：析取联结词◦令p和q为命题，p和q的析取（disjunction）记作p q。

离散数学结构第1章命题逻辑基本概念

第1章命题逻辑基本概念主要内容1. 命题与真值（或真假值）。

2. 简单命题与复合命题。

3. 联结词：否定联结词┐，合取联结词∧，析取联结词∨，蕴涵联结词→，等价联结词。

4. 命题公式（简称公式）。

5. 命题公式的层次和公式的赋值。

6. 真值表。

7. 公式的类型（重言式（或永真式），矛盾式（或永假式），可满足式）。

学习要求1. 在5种联结词中，要特别注意蕴涵联结的应用，要弄清三个问题：① p→q的逻辑关系② p→q的真值③ p→q的灵活的叙述方法2. 写真值表要特别仔细认真，否则会出错误。

3. 深刻理解各联结词的逻辑含义。

4. 熟练地将复合命题符号化。

6. 会用真值表求公式的成真赋值和成假赋值。

1.1 命题与联结词 (2)一、命题的概念 (2)二、复合命题与联结词 (2)三、复合命题真假值 (5)1.2 命题公式及其赋值 (6)一、命题公式的定义 (6)二、公式的层次 (6)三、公式的赋值 (6)四、真值表 (7)五、公式的真假值分类 (8)1.1 命题与联结词一、命题的概念引言中的例子就是要对“我戴的是黑帽子”进行判断。

这样的陈述句称为命题。

作为命题的陈述句所表达的判断结果称为命题的真值，真值只取两个值：真或假。

真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。

真命题表达的判断正确，假命题表达的判断错误。

任何命题的真值都是唯一的。

判断给定句子是否为命题，应该分两步：首先判定它是否为陈述句，其次判断它是否有唯一的真值。

例1.1 判断下列句子是否为命题。

(1) 4是素数。

(2) 是无理数。

(3) x大于y。

(4) 月球上有冰。

(5) 2100年元旦是晴天。

(6) π大于吗？(7) 请不要吸烟！(8) 这朵花真美丽啊！(9) 我正在说假话。

解:本题的(9)个句子中，(6)是疑问句，(7)是祈使句，(8)是感叹句，因而这3个句子都不是命题。

剩下的6个句子都是陈述句，但(3)无确定的真值，根据x,y的不同取值情况它可真可假，即无唯一的真值，因而不是命题。

第一部分数理逻辑

1
1
1
例：将下列命题符号化，并讨论它们的真值。
（1） 3 是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。（2）2＋3＝5的充要条件是 3 是无理数。（3）若两圆O1，O2的面积相等，则它们的半径相等，反之亦然。
（4）当王晓红心情愉快时，她就唱歌，反之，当她唱歌时，一定心情愉快。
10
说明：
多次使用联结词集中的联结词，可以组成更为复杂的复合命题。求复杂命题的真值时，除根据其自身的真值定义外，约定：（1）联结词结合力的强弱次序为
（5）甲全错，乙对一半，丙全对 F5
（6）甲全错，乙全队，丙对一半
F6
27
F1(p∧q)∧((p∧q)∨( p∧q))∧ (q∧r) 0 F2 (p∧q)∧(p∧q)∧((q∧r)∨(q∧r)) p∧q∧ r F3 ((p∧q)∨(p∧q))∧(p∧q)∧(q∧r) 0
F4 ((p∧q)∨(p∧q))∧(p∧q)∧(q∧r) 0 F5 (p∧q)∧((p∧q)∨( p∧q))∧(q∧r) 0 F6 (p∧q)∧(p∧q)∧((q∧r)∨(q∧r)) p∧q∧r 综合以上6种情况：
值式的过程。
置换规则：设（A）是一个含有子公式A的命题
公式，（B）是用公式B置换了（A）中的子公式 A后得到的公式，如果AB，那么（A）（B）。
例： p q r
由蕴涵等值式： p q p q
由置换规则： p q r p q r
24
等值演算的用途：
一、验证等值式：
例如： p q q p q p q r p r q r p q r p q r
例：（1）（ p→q ）∧q
p q p→q （ p→q ）（ p→q ）∧q
00 1

离散数学命题逻辑第一章(1)

第一篇数理逻辑
我现在年纪大了，搞了这么多年软件，错误不知犯了多少，现在觉悟了。我想，假如我早在数理逻辑上好好下点功夫的话，我就不会犯这么多错误。不少东西逻辑学家早就说过了，可是我不知道。要是我能年轻20岁的话，我就会回去学逻辑。
E.W.Dijkstra
先看著名物理学家爱因斯坦出过的一道题：一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手协助他经商，有两人前来应聘，这个商人为了试试哪个更聪明些，就把两个人带进一间漆黑的屋子里，他打开灯后说：“这张桌子上有五顶帽子，两顶是红色的，三顶是黑色的，现在，我把灯关掉，而且把帽子摆的位置弄乱，然后我们三个人每人摸一顶帽子戴在自己头上，在我开灯后，请你们尽快说出自己头上戴的帽子是什么颜色的。”说完后，商人将电灯关掉，然后三人都摸了一顶帽子戴在头上，同时商人将余下的两顶帽子藏了起来，接着把灯打开。这时，那两个应试者看到商人头上戴的是一顶红帽子，其中一个人便喊道：“我戴的是黑帽子。” 请问这个人说得对吗？他是怎么推导出来的呢？
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2、命题满足的条件
命题的语句形式：陈述句非命题语句：疑问句、命令句、感叹句、非命题陈述句 (悖论语句) 命题所表述的内容可决定是真还是假，不能不真又不假，也不能又真又假。
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3、举例
• • • • • • • • • 北京是中国的首都。土星上有生物。３＋２≥9。 1+101=110 请关门！你要出去吗？如果天气好，那么我去散步。 x＝ 2。我正在撒谎。
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第一章命题逻辑
研究以命题为基本单位构成的前提和结论之间的可推导关系。
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第一章命题逻辑
1
命题及其表示方法联结词

离散数学1命题逻辑

第1章
例7
例7、将下列命题符号化，并讨论他们的真值。 (1)如果3＋3＝6，则雪是黑色的； (2)只有a(正整数)能被2整除，a才能被4整除； (1)设：p：3＋3＝6，q：雪是黑色的原语句符号化为：p→q 真值为0 (2)设p：a(正整数)能被2整除，q：a能被4整除原语句符号化为：q →p 真值为1
离散数学第一篇数理逻辑
蔡广军
第1章
数理逻辑简介(1)
数理逻辑(Mathematical Logic) 用数学方法(主要是建立符号体系的方法)来研究推理形式结构和推理规律的数学学科。通过引入一套符号体系来研究推理规律的学科，故又称之为符号逻辑(Symbolic Logic)
第1章
例题5
例5、p：2＋2＝4 q：3是奇数 (1) 2+2=4当且仅当3是奇数。p↔q (2) 2+2=4当且仅当3不是奇数。p↔┐q (3) 2+2≠4当且仅当3是奇数。┐p↔q (4) 2+2≠4当且仅当3不是奇数。┐p↔┐q
第1章
数理逻辑联结词与自然语言联结词
6、逻辑联结词与自然语言中联结词的关系否定——不是、没有、非、不合取——并且、同时、和、既…又…,不但… 而且…，虽然…但是… 析取——或者、或许、可能蕴含——若…则…，假如…那么…，既然…那就倘若…就… 等价——当且仅当、充分必要、相同、一样
要回答这样的问题，实际上就是看由一些诸如“商人戴的是红帽子”这样的前提能否推出“猜出答案的应试者戴的是黑帽子”这样的结论来。这又需要经历如下过程： (1) 什么是前提？有哪些前提？ (2) 结论是什么？ (3) 根据什么进行推理？ (4)怎么进行推理？
第1章
第一章命题逻辑

离散数学——数理逻辑

P：两个三角形全等。
Q：两个三角形的三组对应边相等。
P→← Q：两个三角形全等，当且仅当这两个三角形的三组对应边相等。关于这五个联结词的定义，可以通过如表 1-1 的真值表给出，关于真值表的定义，我们将在 1.3 节详细说明。
表 1-1 五个联结词的真值表
P Q ┐P P∧Q P∨Q P→Q
P→← Q
1.2.2 命题的翻译
有了合式公式的概念，我们可以把自然语言中的有些语句，翻译成数理逻辑中的符号形
式。把一个用文字叙述的命题相应地写成由命题标识符、联结词和圆括号表示的合式公式，
称为翻译，也称符号化。
例 1.3 张明正在睡觉或游泳。解：设 P：张明正在睡觉。Q：张明正在游泳。本例的“或”是“不可兼或”，而析取
定义 1.1 单个的命题常元和命题变元，统称为原子命题公式，简称原子公式。下面，我们使用递归来定义命题逻辑中的合式公式（wff）。定义 1.2 命题逻辑中的合式公式是由下列规则形成的字符串： ① 原子命题公式和真值 T、F 都是一个合式公式。 ② 若 A 是合式公式，则 (┐A)是合式公式。 ③ 若 A 和 B 是合式公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)和(A→←B)都是合式公式。 ④ 经过有限次地使用①、②、③所得到的包含原子命题公式、联结词和圆括号的字符串都是合式公式。例 1.1 (┐P)∨Q，(P→(Q∧R))都是合式公式，而(P→Q)→(∧Q)，(P，( P→Q)→←(∧R)) 都不是合式公式。
2
1.1.2 联结词
联结词是逻辑联结词或命题联结词的简称，用它和原子命题构成复合命题。常用联结词有以下五种。定义如下：
(1) 否定联结词设 P 是一个命题，由联结词┐和命题 P 构成 ┐P，┐P 为命题 P 的否定式复合命题。┐P 读做“非 P”。联结词 ┐是自然语言中的“非”、“不”和“没有”等的逻辑抽象。否定联结词是一个一元运算。例如； P：离散数学是计算机及相关专业的基础课。 ┐P：离散数学不是计算机及相关专业的基础课。 (2) 合取联结词令 P 和 Q 是两个命题，由联结词∧把 P，Q 连接成 P∧Q ，称 P∧Q 为 P 和 Q 的合取式复合命题，P∧Q 读做“P 与 Q”，或“P 合取 Q”。联结词∧是自然语言中的“和”，“与”，“并且”，“既…又…”等的逻辑抽象。合取联结词是一个二元运算。例如： P：今天下雨。 Q：明天下雨。 P∧Q：今天与明天都下雨。 (3) 析取联结词设 P 和 Q 是两个命题，由联结词∨把 P，Q 连接成 P∨Q，称 P∨Q 为 P 和 Q 的析取式复合命题，P∨Q 读做“P 或 Q”，或“P 析取 Q”。析取联结词∨是自然语言中的“或”的逻辑抽象。但它与自然语言中的“或”的意义并不完全相同，自然语言中的“或”既可以表示“排斥或”，也可以表示“可兼或”。例如： P：今天晚上我在家里看电视或去剧场看戏。 Q：他可能是 100 米或 200 米赛跑的冠军。命题 P 中的“或”是“排斥或”，命题 Q 中的“或”是“可兼或”，而析取联结词表示的是“可兼或”。关于“排斥或”，我们会在 1.5 节给出它的定义。析取联结词是一个二元运算。 (4) 条件联结词设 P 和 Q 是两个命题，由联结词→把 P，Q 连接成 P→Q，称 P→Q 为 P 和 Q 的条件式复合命题，把 P 和 Q 分别称为 P→Q 的前件和后件，或者前提和结论。P→Q 读做“若 P，则 Q”或“P 条件 Q”。联结词→是自然语言中“如果…，则…”，“若…，才能…”等的逻辑抽象。条件联结词是一个二元运算。在自然语言中，前件为假，不管结论真假，整个语句的意义，往往无法判断。但在命题逻辑中，当 P 为 F 时，无论 Q 为 T 还是为 F，都规定 P→Q 为 T，这称为“善意推定”。例如： P：雪是黑的。 Q：太阳从西方升起。 R：3＋3＝6。 P→Q：如果雪是黑的，那么太阳从西方升起。 P→R：如果雪是黑的，那么 3＋3＝6。

左孝凌离散数学

1.2.1 否定联结词(Negation) ┐ 1.2.2 合取联结词(Conjunction)∧ 1.2.3 析取联结词(Disjunction)∨ 1.2.4 条件联结词(蕴涵联结词Conditional)→ 1.2.5 双条件联结(等值联结词Biconditional)
第一章命题逻辑（Propositional Logic） 1.2
则上述命题可符号化为：(P∧ Q) ∨( P∧Q)
第一章命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
例如： P：罗纳尔多是球星。 Q：5是负数。 P3：明天天气晴。 (2)：太阳从西方升起。
皆为符号化的命题，其真值依次为1、0、1或0、0。命题标识符又有命题常量、命题变元和原子变元
之分。
命题常量：表示确定命题的命题标识符。
❖ 数理逻辑是用数学方法研究推理的形式结构和推理的规律的数学学科。它的创始人Leibniz，为了实现把推理变为演算的想法，把数学引入了形式逻辑。其后，又经多人努力，逐渐使得数理逻辑成为一门专门的学科。
❖ 上个世纪30年代以后，数理逻辑进入一个崭新的发展阶段，逻辑学不仅与数学结合，还与计算机科学等密切关联。
第一章命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
(11). 今天天气多好啊！感叹句，不是命题 (12). 请你关上门！祁使句，不是命题， (13). 别的星球上有生物。是命题，客观上能判断真
假。
说明：
（1）只有具有确定真值的陈述句才是命题。一切没有判断内容的句子，无所谓是非的句子，如感叹句、祁使句、疑问句等都不是命题。
第一部分数理逻辑（Mathematical Logic)

离散数学数理逻辑课件

课程说明一、离散数学课程的地位和作用
二、离散数学课程的特点
三、如何学好离散数学1熟读教材。

2独立思考，大量练习。

3注重抽象思维能力的培养。

四、离散数学课程的主要内容第一部分数理逻辑。

第二部分集合论。

第三部分代数系统。

第四部分图论。

逻辑举例
第一章数理逻辑
数学方法数学方法
符号逻辑
命题逻辑和谓词逻辑
逻辑：是研究推理的科学。

数理逻辑逻辑
数理逻辑
数理逻辑共同基础：指引进一套符号体系的方法。

主要内容如下：
命题逻辑部分要求:谓词逻辑部分要求:
1.1 命题
一、命题的概念
1、命题：
2、真值：
例1
解
练习：
我正在说谎。

（备注举例）
3、命题标识符：
例2
解
4、原子命题与复合命题：原子命题
复合命题
二、命题联结词
原子命题：
复合命题：
例3
定义五种联结词（或称命题的五种运算）。

1. 否定“¬”
定义1-1
P¬P
1 0
0 1
•真值表：运算对象的真值，
应用运算符命题的真值•真值表的生成：
•真值表的表示：
例4
2．合取“∧”
定义1-2
例5P Q P∧Q 000 010 100 111
•例如，
记作P∧Q
3. 析取“∨”
定义1-3
P Q P∨Q
000
011
101
111例6
解。

离散数学结构 第01部分 数理逻辑

第一章数理逻辑PPT精品文档123页

离散数学-第一部分 数理逻辑-第二章 命题逻辑等值演算