(完整版)专题：第18章.勾股定理知识点与常见题型总结,推荐文档

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具 体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第 三边的平方比较而得到错误的结论．
９.勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过 逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解 决．
解： ⑴ AC
AB2 BC2 4 ，CD AC BC 2.4 AB
A
D
B
C
⑵设两直角边的长分别为3k ， 4k (3k )2 (4k )2 152 ，k 3 ， S 54
⑶设两直角边分别为 a ， b ，则 a b 17 ， a2 b2 289 ，可得 ab 60 S 1 ab 30 2
“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边 的平方和等于斜边的平方
２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
专题：第 18 章.勾股定理知识点与常见题型总结
１．勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a ， b ，斜边为c ，那么 a2 b2 c2 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中
较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了
在ABC 中， C 90 ，则c a2 b2 ， b c2 a2 ， a c2 b2
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长 a ， b ， c 满足 a2 b2 c2 ，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确 定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 a2 b2 与较长边的平方c2 作比较，若它 们相等时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形；若 a2 b2 c2 ，时，以 a ， b ， c 为三边的三角 形是钝角三角形；若 a2 b2 c2 ，时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中 a ， b ， c 及 a2 b2 c2 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a ， b ， c 满足 a2 c2 b2 ，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三 角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a2 b2 c2 中， a ， b ， c 为正整数时， 称 a ， b ， c 为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3, 4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7, 24, 25 等
③用含字母的代数式表示 nHale Waihona Puke Baidu组勾股数：
n2 1,2n,n2 1 （ n 2, n 为正整数）；
2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 （ n 为正整数）
m2 n2 ,2mn, m2 n2 （ m n, m ， n 为正整数）
常见图形：
C
C
C
30° A
B
A
D
BB
C
A D
A
B
D
题型一：直接考查勾股定理 例１.在 ABC 中， C 90 ．
⑴已知 AC 6 ， BC 8 ．求 AB 的长 ⑵已知 AB 17 ， AC 15 ，求 BC 的长 分析：直接应用勾股定理 a2 b2 c2
解：⑴ AB AC2 BC2 10
常见方法如下：
方法一： 4S S
S
正方形正F方GH形ABCD
， 4 1 ab (b a)2 c2 ，化简可证． 2
D
C
H
E
G
F
b
a
A
c
B
方法二：
b
a
c
a cb
c b
a
c a
b
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 S 4 1 ab c2 2ab c2
2
大正方形面积为 S (a b)2 a2 2ab b2
所以 a2 b2 c2
方法三： S梯形
1 (a b) (a b) ， S
2
梯形
2SADE
SABE
2 1 ab 1 c2 ，化简得证 22
A aD
b c
c
E
a
B
bC
３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和 钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
７．勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在 使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便 运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理 进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用
⑵ BC AB2 AC2 8
题型二：应用勾股定理建立方程 例２.
⑴在 ABC 中， ACB 90 ， AB 5 cm ， BC 3 cm ， CD AB 于 D ， CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4 ，斜边长为15 ，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30 cm ，斜边长为13 cm ，则这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根 据勾股定理列方程求解