猜想——二阶等差数列及其通项公式
2阶等差数列公式
2阶等差数列公式一、2阶等差数列的定义。
1. 首先明确等差数列的概念。
- 对于数列{a_n}，如果从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d，即a_n-a_n - 1=d(n≥slant2)，这个数列就叫做等差数列，d叫做等差数列的公差。
2. 2阶等差数列（也叫二阶差数列）- 设数列{a_n}，计算相邻两项的差b_n=a_n + 1-a_n得到数列{b_n}。
如果数列{b_n}是等差数列，那么原数列{a_n}就叫做二阶等差数列。
- 例如数列1,3,7,13,21,·s- 先计算相邻两项的差：3 - 1 = 2，7-3 = 4，13 - 7=6，21-13 = 8，得到差数列为2,4,6,8,·s，这个差数列是等差数列（公差为2），所以原数列1,3,7,13,21,·s是二阶等差数列。
二、2阶等差数列的通项公式推导。
1. 设二阶等差数列{a_n}，它的一阶差数列{b_n}（b_n=a_n + 1-a_n）是首项为b_1，公差为d的等差数列。
- 因为b_n=b_1+(n - 1)d。
- 又因为a_n-a_n-1=b_n - 1（n≥slant2）。
- 那么a_n=a_1+∑_k = 1^n - 1b_k（n≥slant2）。
- 由于b_k=b_1+(k - 1)d，则∑_k = 1^n - 1b_k=∑_k = 1^n - 1[b_1+(k - 1)d]。
- 先计算∑_k = 1^n - 1[b_1+(k - 1)d]=b_1(n - 1)+d∑_k = 1^n - 1(k - 1)。
- 而∑_k = 1^n - 1(k - 1)=∑_i = 0^n - 2i=((n - 2)(n - 1))/(2)。
- 所以a_n=a_1+(n - 1)b_1+((n - 2)(n - 1))/(2)d（n≥slant2），当n = 1时，a_1=a_1，所以二阶等差数列{a_n}的通项公式为a_n=a_1+(n - 1)b_1+((n - 2)(n - 1))/(2)d。
等差数列的定义与通项公式
8 a1=——————
接轨生活 第一届现代奥运会 于1896年在希腊雅典 举行,此后每4年举行一 次,奥运会如因故不能 举行,届数照算.
(1)试写出由举行奥运 会年份构成的数列的 通项公式;an 1896 4(n 1) 4n 1892 (2)2008年北京奥运 会是第几届? 29 (3)2050年举行奥运会 吗?
你会求等差数列的 通项公式吗？ 等差数列1，4，7，10，13，16，…，探 索通项？
a4 10 7 3 1 3 3
…… an 1 (n 1) 3
a3 7 4 3 1 2 3
a2 4 1 3
a5 13 10 3 1 4 3
同一个常数 的前一项 的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常 用字母d表示。
递推关系式？
* a a d ( n 2 且 n N ) （1） n n1 * a a d ( n N ) （2） n1 n
证明或判断 等差数列的 依据
复习回顾: 数列的有关概念
1.什么是数列？
按一定的次序排列的一列数叫做数列。
2.数列的通项公式？ 如果数列 an 的第n项 3.数列的递推公式？
公式表示,这个公式an f (n) 叫做这个数列的通项公式。
an 与n之间的关系可以用一个
给出数列的第一项(或前几项), 且任一项 与它的前一 项(或前几项)的关系可以用一个公式来表示, 这个公式 就叫做数列的递推公式。
10,15,20,25,30……； 思考：这些数列 有什么 共同特点呢？ 50,60,70,……； 900,900,……900； 7, 14, 21;
二阶数列递推公式求通项方法
二阶数列递推公式求通项方法
嘿，朋友！今天咱们要来好好聊聊二阶数列递推公式求通项方法呀！这可真是个超级有趣的东西呢！就好比你在走迷宫，而这个方法就是帮你找到出口的关键线索！比如说有个二阶数列 1，2，5，10，那怎么求出它的通项呢？
咱先别着急，一步一步来。
想象一下，这就像是搭积木，一块一块地往上垒。
首先要找到这个数列的规律，就像找到搭积木的正确顺序。
有时候可能一下子就找到了，那可太棒啦，心里那个高兴劲儿呀！但有时候可能会有点难，别灰心，咱继续努力呀！
然后呢，根据找到的规律去尝试各种方法，就像是尝试不同的策略去通关游戏。
可能会遇到挫折，哎呀，怎么就不对呢，但千万别放弃呀！坚持下去，说不定下一次就找到正确方法啦！就像挖宝藏，挖了好久没挖到，突然一下子就找到了，那得多兴奋呀！
最后，当你通过这个二阶数列递推公式求出通项的时候，哇，那种成就感，简直无法形容！就好像你征服了一座高山，站在山顶上，骄傲又自豪！
我觉得呀，二阶数列递推公式求通项方法真是太神奇、太有意思啦！只要我们用心去探索，就一定能发现其中的奥秘！。
2等差数列及其通项公式
小结：
• 等差数列概念:an+1 • 等差数列通项公式:an=a1+(n-1)d
an = d
(n≥1)
• 等差数列通项公式的运用
钢管数
1 钢管，自上 而下，从第 2 二层起，每 3 一层与上一 层的钢管数 4 的差都是1.
婚礼蛋糕， 从第二层起， 每一层与上 一层的磅数 都差1.
自上而下，从第二层起，每一层与 上一层人数的差都是1.
叠罗汉
人 数
6 7
8
9
玩具七彩塔(梵塔)，由上至下，从第二个 环开始，每个环与上一个环直径长的差都 为1cm
d=3 递增 d=-1递减
3
1
3
3
3
是
d=-2/3
不变
不是
⑦ 3，3，3，3，… 常数列 是
d=0
通项公式的推导
问an=? 通过观察：a2， a3，a4都 设一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则有： 可以用a1与d 表示出来；a1 a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,… 与d的系数有什么特点？ 所以有： a2=a1+ d, a2=a1+d, a3=a1+2d, a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d a4=a1+3d, a4=a3+d=（a1+2d) +d=a1+3d … an=a1+(n-1)d a1 、an、n、d知三求一 an=a1+(n-1)d 当n=1时，上式也成立。
1 2 3 3 3 3
是
d=2
公差 d 不是 d>0 是
数列发展趋势
③ -7，-4，-1，2，5； -1 -1 -1 -1 -1 ④ 6，5，4，3，2，1； ⑤ 3, 7 , 5 , 1, 1 , 1 ; ⑥ 1，0，1，0，1，…
猜想——二阶等差数列及其通项公式
根据以上步骤，请你解答“问题情境”．
5、按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是.
6、下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部分小正方形的个数是．
7、观察下列一组图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有个．
8、用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）第5个图形有多少黑色棋子？
（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．
通过观察分析，也能发现上面三个数列有其内在规律与特点，但若想轻易写出却有难处。
一、等差数列的定义及其通项公式：
1、等差数列的定义：如果一个数列a1，a2，a3，…，an，…，
从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数d，即a2- a1= a3- a2=…= an- an-1= d，则称此数列为等差数列，常数d叫等差数列的公差。
由此通项公式，则可求出二阶等差数列后面未给出的任何一项。
读者可方便地求出下面的二阶等差数列的通项公式：
⑺、2、2、5、11、20、32、47，…
⑻、2、3、8、17、30、47、68，…
中考数学中常会出现一种寻找规律的题型，其中有一类实际是高中数学中的等差数列或二阶等差数列，由于初中没有学习它们的通项公式和递推法求二阶等差数列的通项，因此在确定数列的通项时有一定的困难。对于等差数列的通项公式 (其中a1为首项，d为公差，n为正整数)，若将n看成自变量，an看成函数，则an是关于n的一次函数；若一列数a1,a2,…an满足 (其中k,b为常数)，则这列数是二阶等差数列，即每一后项减去前项得到一新的数列，这一新数列是等差数列。它的通项 是关于n的二次函数。我们学习过用待定系数法确定函数解析式，由于数列是特殊的函数，因此可以用待定系数法来确定等差数列和二阶等差数列的通项。
选修二等差数列知识点归纳总结
选修二等差数列知识点归纳总结近些年来，随着数学科目的不断深化和拓展，二等差数列作为数学中的重要概念之一，也成为了学生必须要掌握的内容之一。
掌握二等差数列的相关知识点，对于学生在数学学科的学习中起到了重要的作用，也为理解和解决实际问题提供了基础。
本文就二等差数列的定义、性质、求和公式等知识点进行总结和归纳，帮助学生更好地理解和运用二等差数列的相关知识。
一、二等差数列的定义二等差数列，也称为等差数列，指的是数列中的每一项与其前一项的差值恒定的数列。
设数列的首项为 a₁，公差为 d，那么数列的通项公式可以表示为 aₙ = a₁ + (n - 1)d。
其中，aₙ 表示数列的第 n 项。
二、等差数列的性质1. 公差：公差 d 是等差数列中相邻两项的差值。
公差 d 的正负表示等差数列的递增和递减。
当 d > 0 时，数列递增；当 d < 0 时，数列递减。
2. 首项和末项：等差数列的首项为 a₁，末项为 aₙ。
首项和末项可以通过通项公式直接得到。
首项 a₁ = a₁，末项 aₙ = a₁ + (n - 1)d。
3. 项数：等差数列的项数表示数列中的元素个数，用 n 表示。
项数可以通过末项和首项的关系式 aₙ = a₁ + (n - 1)d 求得。
4. 总和：等差数列的总和表示数列中所有元素的累加和，用 Sₙ 表示。
计算等差数列的总和有多种方法，其中常用的方法是使用求和公式。
等差数列的总和求和公式为 Sₙ = (a₁ + aₙ) × n / 2。
三、应用举例等差数列的知识点具有较强的实际应用性，下面通过几个例子来说明等差数列在实际问题中的应用。
例1：小明从小学一年级开始学习数学，每年进步的成绩都是上一年的成绩加上 5 分。
如果小明一年级的数学成绩为 70 分，到九年级的数学成绩为多少分？解：根据题意可知，小明的数学成绩构成了一个等差数列，首项a₁ = 70，公差 d = 5。
题目要求求得九年级的数学成绩，即要求等差数列的第 9 项 a₉。
二阶等差数列公式
二阶等差数列公式是一种非常常见的数学公式，它可以帮助我们快速计算任何一组等差数列的值。
它的公式是：an=a1+(n-1)d，其中，a1是数列的第一项，d是每一项之间的公差，而n表示第n项的值。
以下是几个例子，来说明二阶等差数列公式的实际应用：1.例如我们想要求解等差数列：2，5，8，11，14，17，20，此时，我们可以用二阶等差数列公式来求解：在这个等差数列中，a1=2，d=3，求解第8项，我们可以得到：an=2+(8-1)×3=23。
2.又如我们想要求解等差数列：3，8，13，18，23，28，此时，我们可以用二阶等差数列公式来求解：在这个等差数列中，a1=3，d=5，求解第7项，我们可以得到：an=3+(7-1)×5=33。
3.再如我们想要求解等差数列：5，9，13，17，21，25，此时，我们可以用二阶等差数列公式来求解：在这个等差数列中，a1=5，d=4，求解第6项，我们可以得到：an=5+(6-1)×4=25。
4.还有一个例子：我们想要求解等差数列：1，4，7，10，13，16，此时，我们可以用二阶等差数列公式来求解：在这个等差数列中，a1=1，d=3，求解第7项，我们可以得到：an=1+(7-1)×3=20。
以上就是使用二阶等差数列公式求解等差数列的几个实例，可以看出，二阶等差数列公式是一个非常有用的数学公式，可以帮助我们快速计算任何一组等差数列的值。
它的运用非常广泛，比如在计算统计学中，它可以用来预测数据的变化趋势，从而帮助我们更好地分析数据。
此外，二阶等差数列公式还可以用来计算投资利润，比如，我们可以使用它来计算投资一定数量的资金，一段时间之后可以获得的利润，这将有助于我们更好地把握投资的机会。
此外，二阶等差数列公式还可以用来计算旅游费用，比如，我们可以使用它来计算某一段旅行所需的费用，从而更好地控制旅游费用。
总之，二阶等差数列公式是一个非常实用的数学公式，它可以帮助我们快速计算任何一组等差数列的值，这对我们在计算数据、投资利润和旅游费用等方面都有着重要的作用。
2.2等差数列及其通项公式(2)
思考：
等差数列{an}： a1, a2 ,a3 ,a4 ,a5 ,a6 ,a7, a8,a9,a10….
中，显然 a4 ,a5 ,a6 构成等差数列，那
么 a3 ,a5 ,a7 是否也构成等差数列？ a2 ,a5 ,a8 呢？
2a5=a4＋a6＝a3＋a7= a2 + a8
2a5=a4＋a6＝a3＋a7=a2+a8 在等差数列{an}中， 若m＋n＝p＋q, 则am＋an ＝ap＋aq.
-35 a10=______
课外作业：
1.在数列{an } a1 2 ，2an 1 中， 求 a101
2an 1
2.在三角形ABC中，A,B,C成等差数列， 且lga,lgb,lgc也成等差数列，试判断三角形 的形状。
3. 等差数列通项公式：
an＝a1＋(n－1)d.
4、等差数列定义：
an－an－1 ＝d
或
(n≥2).
an+1- an = d
等差数列通项公式的推论：
an am (n m)d
an am d nm
例1 在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31, 求公差d与通项公式 .
2.2等差数列及其通项公式 （2）
复习回顾：
1、等差数列：一般地，如果一个数列从第二 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个 常数d，那么这个数列就叫做等差数列。常 数d叫做等差数列的公差。
2、等差中项：由三个数a , A , b组成的等差
数列可以看成最简单的等差数列。这时，
A叫做a与b的等差中项。
ab A a , A, b 成等差数列. 2
等差中项：
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最 简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项, 且 A= a+b .
【课件】等差数列的概念及通项公式课件-2022-2023学年高二下人教A(2019)选择性必修第二册
n= +(n-1)·
4
4
4
1
a2 020=4×2
020+1=506.
=
1
n+1,故其第
4
优化设计大本
(2)(方法1)这五个数构成的等差数列是{an},依题意知a1=-1,a5=7,设公差为
d,则-1+4d=7,解得d=2,所以其第2,3,4项即a,b,c的值分别为
a=a2=-1+2=1,b=a3=-1+4=3,c=a4=-1+6=5.
{an}不一定是等差数列，忽略了第1项.
×)
学习新知
问题5
你能根据等差数列的概念写出它的递推公式吗？
设数列an 的首项为 a1 ，公差为 d ，则由定义可得：
an 1 an d
学习新知
追问1
你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？
an 1 an d
a2 a1 d
课前预习
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若某数列中的各项依次为16,32,48,64,80,96,112,128,…,320,则该数列为等
差数列.
( √ )
[解析] 该数列从第2项起每一项与它前一项的差都是16,是等差数列.
(2)若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数,则这个数列一定
(方法2)依题意,得-1,a,b,c,7成等差数列,所以b是-1和7的等差中项,即
-1+7
b= 2 =3.同理,a
是-1 和 b 的等差中项,c 是 b 和 7 的等差中项,所以
-1+
3+7
a= 2 =1,c= 2 =5.故
等差数列通项公式总结
等差数列通项公式总结等差数列通项公式总结_数列公式学好数学的关键是公式的掌握，数学是一种工具学科，是学习其他学科的基础，同时还是提高人的判断能力、分析能力、理解能力的学科。
下面是小编为大家整理的等差数列通项公式总结，希望能帮助到大家!等差数列通项公式总结an=a1+(n-1)dn=1时a1=S1n≥2时an=Sn-Sn-1an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b则得到an=kn+b 高考数学应试技巧1、拓实基础，强化通性通法高考对基础知识的考查既全面又突出重点。
抓基础就是要重视对教材的复习，尤其是要重视概念、公式、法则、定理的形成过程，运用时注意条件和结论的限制范围，理解教材中例题的典型作用，对教材中的练习题，不但要会做，还要深刻理解在解决问题时题目所体现的数学思维方法。
2、认真阅读考试说明，减少无用功在平时练习或进行模拟考试时,高中英语，要注意培养考试心境，养成良好的习惯。
首先认真对考试说明进行领会，并要按要求去做，对照说明后的题例，体会说明对知识点是如何考查的，了解说明对每个知识的要求，千万不要对知识的要求进行拔高训练。
3、抓住重点内容，注重能力培养高中数学主体内容是支撑整个高中数学最重要的部分，也是进入大学必须掌握的内容，这些内容都是每年必考且重点考的。
象关于函数(含三角函数)、平面向量、直线和圆锥曲线、线面关系、数列、概率、导数等，把它们作为复习中的重中之重来处理，要一个一个专题去落实，要通过对这些专题的复习向其他知识点辐射。
4、关心教育动态，注意题型变化由于新增内容是当前社会生活和生产中应用比较广泛的内容，而与大学接轨内容则是进入大学后必须具备的知识，因此它们都是高考必考的内容，因此一定要把诸如概率与统计、导数及其应用、推理与证明、算法初步与框图的基本要求有目的的进行复习与训练。
一定要用新的教学理念进行高三数学教学与复习，5、细心审题、耐心答题，规范准确，减少失误计算能力、逻辑推理能力是考试大纲中明确规定的两种培养的能力。
二阶等差数列及其通项公式
二階等差數列及其通項公式李清振青島城市管理職業學校一、引子：在《數列》知識の學習中有一種求數列通項公式類型の題目。
如，試求出下列數列の通項公式：⑴ 21、32、43、54、65，… ⑵ - 1、21、31-、41、51-，… ⑶ 211⨯、321⨯、431⨯、541⨯，… 上述數列，都易於通過觀察、分析，而總結推斷出其通項公式，分別為1+=n n a n ，n nn a 1)1(-=，)1(1+=n n a n. 再如等差數列、等比數列，教材中已分別介紹過其通項公式。
但有數列，如：⑷ 1，2，4，7，11，16，22，…⑸ 1，3，6，10，15，21，28，…⑹ 1，3，7，13，21，31，43，…通過觀察分析，也能發現上面三個數列有其內在規律與特點，但若想輕易寫出通項公式卻有難處。
本文旨在由等差數列推導出如⑷、⑸、⑹這樣の一類數列の通項公式，並給出一個相關定義。
二、 預備知識：1、 等差數列の定義：如果一個數列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，從第二項起，每一項與它の前一項の差都等於同一個常數d ，即a 2 - a 1 = a 3 - a 2=… = a n - a n-1 = d ，則稱此數列為等差數列，常數d 叫等差數列の公差。
2、 等差數列の通項公式：a n =a 1 + ( n - 1 ) d ，公 差： d = a 2 - a 1.三、 二階等差數列の定義及其通項公式：a) 定義：如果一個數列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…， （★）從第二項起，每一項與它の前一項の差按照前後次序排成新の數列，即 a 2 - a 1，a 3 - a 2，a 4 - a 3，…， a n - a n-1，…成為一個等差數列，則稱數列（★）為二階等差數列。
相應地，d =（a 3 - a 2） - （a 2 - a 1）= a 3 + a 1 - 2a 2稱為二階等差數列の二階公差。
顯然，依此定義可以判斷，⑷、⑸、⑹均是二階等差數列。
「初中数学」探索规律——等差与二阶等差数列
「初中数学」探索规律——等差与二阶等差数列初中常见的规律有符号规律，等差数列规律，二阶等差数列规律，等比数列规律、循环规律等。
本文就等差数列规律，二阶等差数列规律展开研究。
一、等差数列【定义】等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
如：1，4，7，10，13，。
后面的数始终比它前一项的数大3，这样的数列就是等差数列，其中3叫公差。
【性质】小升初应当了解下列两条性质：① 和=（首项+末项）×项数÷2；②项数=（末项-首项）÷公差+1；【规律求法】由于等差数列的通项公式为An=a1+(n-1)d ，这里an代表第n 个数，a1代表第1个数，d表示公差。
所以从通项公式可以看出，an 是n的一次函数(d≠0)或常数函数 (d=0)，即等差数列具有kn+b的形式，这里K=公差，b=首项－公差。
【例1】用菱形纸片按规律依次拼成如图所示的图案．第1个图案中有5张菱形纸片；第2个图案中有9张菱形纸片；第3个图案中有13张菱形纸片．按此规律，第n个图案中的菱形纸片的张数为_________【分析】第一步：判断数列类型. 由于后项比前项始终大4，该数列是等差数列第二步：计算k. 因为每次增加4，即公差为4，所以k=4第三步：计算b. 因为首项－公差=5－4=1，所以b=1第四步：写出规律. 第n个数为4n+1【例2】观察下列两列数：7，10，13，16，19，22，…7，11，15，19，23，27，…（1）这两列数的第100个数分别是多少？（2）在这两列数中，第1个相同的数是7，第2个相同的数是19，第10个相同的数是多少？【分析（1）】第1列数:k=公差=3，b=首项-公差=7-3=4，故第n个数为3n+4，当n=100时，第100个数为304第2列数:k=公差=4，b=首项-公差=7-4=3，故第n个数为4n+3，当n=100时，第100个数为403【分析（2）】∵第1个相同的数为7，第2个相同的数为19，第3个相同的数为31，由于7，19，31成等差数列，即第m个相同的数为12m-5，当m=10时，第10个相同的数为115.二、二阶等差数列【定义】二阶等差数列是指后项与前项的差值是等差数列。
二级等差数列求和公式
二级等差数列求和公式等差数列是数学中比较基础的一个概念，其中二级等差数列也是等差数列的一种，它有着其特有的性质和规律。
首先，我们来回顾一下等差数列的概念。
等差数列是指数列中任意两项之间的差值都相等的数列。
比如，1、3、5、7、9就是一个公差为2的等差数列。
而二级等差数列则是指该数列中任意三项之间的差值都相等的一种数列。
比如，1、4、9、16、25就是一个公差为5的二级等差数列。
那么如何求二级等差数列的和呢？我们知道，对于等差数列而言，其求和公式为Sn=n(a1+an)/2，其中Sn表示前n项的和，a1表示第一项，an表示第n项。
而对于二级等差数列，由于其公差不是常数而是二次数列，因此我们需要使用特定的求和公式。
所谓二级等差数列求和公式，即为Sn=n(a1+an)/2+n(n-1)d/6，其中n表示数列中项数，a1表示首项，an表示末项，d表示每一项的公差。
这个公式的核心在于，它将二级等差数列化简为两个等差数列的和，从而容易求得其总和。
比如，对于公差为5，首项为1的二级等差数列1、4、9、16、25，其前4项和可以使用公式Sn=4(1+16)/2+4(4-1)5/6，计算得到值为60。
这个值也可以使用另一种方法求得，即将该二级等差数列拆分为两个等差数列，其前4项和即为公差为5的等差数列1、6、11、16的和加上公差为10的等差数列3、7、9、11的和，分别使用等差数列求和公式即可。
总之，二级等差数列是一种有趣的数学概念，其求和公式也与同类数列有着明显的区别。
学好这个公式，有助于我们更深入地理解等差数列的性质和规律，并且在解决实际问题时也能更高效地处理数据。
等差数列及其通项公式+课件-2024-2025学年高二上学期数学湘教版(2019)选择性必修第一册
知识应用
练习2 已知数列{an}满足2an=an－1+an+1(n≥2)，a1+a3+a5=6， a2+a4+a6=18，则a3+a4=_______．
解：因为2an=an－1+an+1(n≥2)，有an－an－1=an+1－an， 所以数列{an}是等差数列，根据等差数列性质2， 由a1+a3+a5=6，得3a3=6，则a3=2， 由a2+a4+a6=18，得3a4=18，则a4=6， 因此a3+a4=8．
归纳小结
性质2 如果an，am，ap，aq为等差数列{an}的项，且n＋m=p＋q， （n，m，p，q∈N+）那么
an＋ am = ap＋ aq． 特别地，若n＋m=2p，那么 an＋ am = 2ap． 证明：记等差数列{an}的公差为d，则
an=a1＋(n－1)d， am=a1＋(m－1)d， ap=a1＋(p－1)d，aq=a1＋(q－1)d， 所以 an＋am =2a1＋(n＋m－2)d， ap＋aq=2a1＋(p＋q－2)d， 又 n＋m=p＋q，所以 an＋am = ap＋aq ．
①25，24.5，24，23.5，23，22．5，22，21.5，21．
a1=25，d=－0.5， an=25＋(n－1)×(-0.5)=-0.5n＋25.5 ②15.8%，17.8%，19.8%，21.8%，23.8%．
a1=15.8%，d=2%， an=15.8%＋(n－1)×2%=2n%＋13.8% ③ 6，10，14，……．
两式相减，得 an－am= (n－m)d，
即 an=am＋(n－m)d ．
知识应用
练习1 在等差数列{an}中，a5=9，a10=19，则a50的值为_______．
二阶等差数列第n项公式
二阶等差数列第n项公式在数学的奇妙世界里，有一个叫做二阶等差数列的家伙。
说起它，那可真是有点意思！先给您讲讲啥是二阶等差数列。
比如说，有这么一组数：1，3，6，10，15……您瞧瞧，相邻两个数的差值可不是固定的哦，3 - 1 = 2，6 -3 = 3，10 - 6 = 4，15 - 10 = 5，这差值 2，3，4，5 就构成了一个等差数列，那原来的这组数 1，3，6，10，15 就是二阶等差数列啦。
那咱们就来琢磨琢磨二阶等差数列的第 n 项公式到底是咋来的。
假设这个二阶等差数列的第一项是 a₁，相邻两项的差值构成的等差数列的首项是 d₁。
咱们先从简单的开始，先看第二项 a₂，它等于 a₁ + (a₂ - a₁)，也就是 a₁ + d₁。
那第三项 a₃呢，它等于 a₂ + (a₃ - a₂)，也就是 a₁ + d₁ + (d₁ + d)，这里的 d 是差值构成的等差数列的公差。
整理一下，a₃ = a₁ +2d₁ + d。
第四项 a₄就是 a₁ + 3d₁ + 3d。
……咱们多写几个，找找规律。
您看出来没？这第 n 项 an 就等于 a₁ + (n - 1)d₁ + (n - 1)(n - 2)d/2 。
我给您举个例子来验证一下这个公式。
比如说有个二阶等差数列：2，5，9，14……这相邻两项的差值是 3，4，5，构成的等差数列首项d₁是 3，公差 d 是 1。
咱们来算算第 5 项。
根据公式，a₅ = 2 + (5 - 1)×3 + (5 - 1)(5 - 2)×1/2 = 2 + 12 + 6 = 20 。
实际一瞧，这第五项还真就是 20 ，准没错！记得我当年上学的时候，有一次数学考试就考到了二阶等差数列。
我当时看到题目心里就一紧，这是啥呀？后来静下心来仔细琢磨，突然就灵光一闪，想到了老师讲过的类似的思路，嘿，还真就给做出来了！从那以后，我就明白了，遇到难题别慌，静下心来，说不定答案自己就蹦出来了。
二级等差数列末项公式
二级等差数列末项公式
等差数列{an}的通项公式为：an=a1+(n-1)d。
前n项和公式为：sn=n*a1+n(n-1)d/2或sn=n(a1+an)/2 。
注意：以上整数。
通项公式：an=am+(n－m)d
m指本数列的某一项,n指数列于的最后一项,他们之间差距n-m项,也就是高了n-m个公差,所以公式就获得了
其实公式是这样得到的：
a2-a1=d
a3-a2=d
a4-a3=d
……
an-a（n-1）=d等式相乘就是an-a1=(n-1)d
明白了通项公式,后面的求和公式就好理解了
握个两个例子来说
第一个：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19……
这个数列存有偶数项,你可以辨认出（1+19）、（2+18）、（3+17）、（4+16）……都成正比,都等同于9+11等同于首项加末项,因为这就是两两相乘,所以必须除以项数的一半,就获得公式s=（首项加末项）项数/2
第二个例子1、3、5、7、9、11、13、15、17
这个数列存有奇数项,你可以辨认出（1+17）、（2+5）、（3+13）……成正比而且等同于9的两倍,等差中项嘛,把九拎上开,这样的一共存有（n-1)/2项,这样一来就是 s=（n-1)/2*9*2+9———每一项都等同于九的两倍嘛!而9又等同于（a1+an）/2,代入刚才那个式子就出了,还是（首项加末项）*项数/2。
求等差数列的通项
求等差数列的通项等差数列是数学中常见的数列类型，具有一定规律性和特点。
在求解等差数列的通项时，我们需要根据已知条件，运用相关公式和方法来推导出通项的表达式。
本文将详细介绍等差数列的定义、性质以及如何求解其通项。
一、等差数列的定义和性质等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。
设等差数列的首项为a，公差为d，则该等差数列的通项可以表示为：an = a + (n - 1)d其中，an为等差数列的第n项。
等差数列具有以下性质：1. 前n项和Sn的计算公式为：Sn = (a + an)n / 2 或 Sn = na + (n(n -1)d) / 22. 通项公式中，a表示首项，d表示公差，n表示项数。
3. 第n项与前n-1项之差（an - an-1）等于公差d，即具有递推关系。
二、求等差数列的通项的方法在已知等差数列前几项或某种特定条件的情况下，我们可以通过以下方法求解等差数列的通项。
方法一：利用递推关系求解通过等差数列的递推关系an = an-1 + d，我们可以利用已知的前一项或几项，通过不断递推计算出后续的项，直至得到所求的通项。
方法二：利用前n项和求解如果我们已知等差数列的前n项和Sn，可以通过求解Sn与n的关系式，借助一元二次方程求根公式，解出an的表达式，从而得到通项。
方法三：利用已知条件求解在一些特殊情况下，可能会给出等差数列的一些特定条件，比如首项、公差和某几项之和等。
根据这些已知条件，我们可以利用等式进行推导，最终得到通项的表达式。
三、示例下面通过解答一些具体的例题，来演示求解等差数列通项的过程。
例题一：已知一个等差数列的首项a为3，公差d为2，求第10项和第20项。
解答：根据等差数列的通项公式：an = a + (n - 1)d第10项：a10 = 3 + (10 - 1) × 2 = 21第20项：a20 = 3 + (20 - 1) × 2 = 41例题二：已知等差数列的首项为5，公差为4，前n项和为140，求该等差数列的通项表达式。
4、等比数列及二阶等差数列
2【内容综述】第 4 讲 等比数列及二阶等差数列大家都学习过等差数列，主要内容是求等差数列的项数以及等差数列求和公式，在这里我们先复习一下等差数列及整数的裂项公式。
1、等差数列：项数n = a n - a1 +1 ，求和公式 S = (a + a )⨯ n ÷2 ；d1 n2、整数裂项公式：1）1⨯ 2 + 2 ⨯ 3 + 3⨯ 4 + + n ⨯ (n +1) =n (n +1)(n + 2)；31）1⨯ 2 ⨯ 3 + 2 ⨯ 3⨯ 4 + 3⨯ 4 ⨯ 5 + + n ⨯ (n +1) ⨯ (n + 2) =n (n +1)(n + 2)(n + 3)；4等比数列就是相邻的两项（顺序一致，都是前项比后项或者都是后项比前项）的比值相等的数列， 表面上看，也可以认为从第二项开始，每项都是它前面的一项扩大相同的倍数得到的，因此有时把等比数列也可以叫做等倍数列。
求等比数列一般采用错位相减法、裂项法来解题或推导公式。
对于等倍数列有如下公式：a + a + a + a + + a = a n q - a 1(q ≠ 1) 1 2 3 4 nq -1二阶等差数列也是一种常见的数列，它们相邻两项的差才是等差数列，一般求等差数列的一般项，是与自然数 n 有关的二次项，其和是与 n 有关的三次项。
为了找到其中的规律，请同学们记住下面的解题“诗诀”：二阶等差要累加，然后竖加变差差； 或者横加变咔咔，遇到此时笑哈哈！此诗诀的奥秘，在下面的例题中将一一阐述。
例1. 计算：1+ 2 + 22 + 23 + + 2n = 。
【分析】本题也是连加的形式，可以考虑裂差，也可以错位相减法。
【解答】解法一（错位相减法）：设 S =1+ 2 + 22 + 23 + + 2n① ①⨯2： 2S = 2 + 22 + 23 + 24 + + 2n +1 ②②-①： S = 2n +1 -1解法二（裂差法）：因为任意一个数a = 2a - a ，所以原式= (2 -1)+ (22 - 2)+ (23 - 22 )+ (24 - 23 )+ + (2n +1 - 2n)= 2 -1+ 22 - 2 + 23 - 22 + 24 - 23 + + 2n +1 - 2n = 2n +1 -1【评注】对于第二种解法，我们可以推而广之，对于一个公比为 q 的等比数列，每项裂项的方法为a = aq - a ，如1+ 3 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36q -1= 3 -1 + 32 - 3 + 33 - 32 + 34 - 33 + 35 - 34 + 36 - 35 + 37 - 36 3 -1 3 -1 3 -1 3 -1 3 -1 3 -1 3 -1 = 1(3 -1+ 32 - 3 + 33 - 32 + 34 - 33 + 35 - 34 + 36 - 35 + 37 - 36 )⨯ - 37-1。
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二阶等差数列及其通项公式
（1） 21、32、43、54、6
5，… （第n 个数） （2） - 1、21、31-、41、5
1-，… （第n 个数） （3） 211⨯、321⨯、431⨯、5
41⨯，… （第n 个数） （4）1，2，4，7，11，16，22，… （第n 个数）
（5） 1，3，6，10，15，21，28，… （第n 个数）
（6） 1，3，7，13，21，31，43，… （第n 个数）
通过观察分析，也能发现上面三个数列有其内在规律与特点，但若想轻易写出却有难处。
一、等差数列的定义及其通项公式：
1、等差数列的定义：如果一个数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，
从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数d ，即a 2 - a 1 = a 3 - a 2=… = a n - a n-1 = d ，则称此数列为等差数列，常数d 叫等差数列的公差。
2、等差数列的通项公式：a n =a 1 + ( n - 1 ) d ，
公 差： d = a 2 - a 1.
二、二阶等差数列的定义及其通项公式：
定义：如果一个数列
a 1，a 2，a 3，…，a n ，…， （★）
从第二项起，每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列，即 a 2 - a 1，a 3 - a 2，a 4 - a 3，…， a n - a n-1，…成为一个等差数列，则称数列（★）为二阶等差数列。
相应地，d =（a 3 - a 2） - （a 2 - a 1）= a 3 + a 1 - 2a 2
称为二阶等差数列的二阶公差。
依此定义可以判断，⑷、⑸、⑹均是二阶等差数列。
其二阶公差分别为1、1、2. 说明：⑴、为区别于二阶等差数列，可把通常定义的等差数列称为一阶等差数列.
⑵、二阶与一阶等差数列的相互关系：二阶等差数列不一定是一阶等差数列，但一阶等差数列肯定是二阶等差数列。
二阶等差数列的通项公式：
设数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…是一个二阶等差数列，为了书写的方便，我们记数列 a 2 - a 1，a 3 - a 2，a 4 - a 3，…，a n - a n-1，…为
b 1 , b 2 , b 3 , …，b n-1 , …， (☆)
即记b n = a n+1 - a n ， (n ≥1，n ∈Z)
则数列 (☆) 是一个一阶等差数列。
对于数列(☆)，d = b 2 - b 1 = a 1 + a 3 - 2a 2，
根据等差数列的通项公式,则有
b n = a n+1 - a n = b 1 + (n-1) d ，（n ≥1,n ∈Z ）
由此得，a n +1= a n + b 1 + (n-1) d
依此规律，则有
a 2 = a 1 +
b 1，
a 3 = a 2 +
b 1+d ，
a 4 = a 3 +
b 1+2d ，
… …
a n = a n-1 +
b 1 + (n-2 ) d ，
由上面各式左右分别相加，可得
此即为二阶等差数列的通项公式，
其中，b 1 = a 2 - a 1,［注：b n = a n+1 - a n ， (n ≥1，n ∈Z)］
对于数列⑷，知a 1 =1，b 1 =1，d=1，则由公式（●）可得，a n =1+（n-1）
×
1+2)2)(1(--n n =122
+-n n ，代入验证。
同理可求知⑸、⑹的通项公式：
⑸、a n = 2
2n n + ⑹、a n = n 2-n+1
由此通项公式，则可求出二阶等差数列后面未给出的任何一项。
读者可方便地求出下面的二阶等差数列的通项公式：
⑺、2、2、5、11、20、32、47，…
⑻、2、3、8、17、30、47、68，…
中考数学中常会出现一种寻找规律的题型，其中有一类实际是高中数学中的等差数列或二阶等差数列，由于初中没有学习它们的通项公式和递推法求二阶等差数列的通项，因此在确定数列的通项时有一定的困难。
对于等差数列的通项公式()n 11a a n 1d dn a d =+-=+- (其中a 1为首项，d 为公差，n 为正整数)，若将n 看成自变量， a n 看成函数，则a n 是关于n 的一次函数；若一列数a 1,a 2,…a n 满足n n 1a a kn b --=+ (其中k ,b 为常数)，则这列数是二阶等差数列，即每一后项减去前项得到一新的数列，这一新数列是等差数列。
它的通项2n a an bn c =++是关于n 的二次函数。
我们学习过用待定系数法确定函数解析式，由于数列是特殊的函数，因此可以用待定系数法来确定等差数列和二阶等差数列的通项。
练习
1、2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，2012年的奥运会在英国伦敦举行，奥运
会的年份与届数如下表所示：
表中n 的值等于 ．
2、如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n 个图案中阴影小三角形的个数是 ．
3、我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就
叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是．
4、问题情境：
用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2012个图共有多少枚棋子？
建立模型：
有些规律问题可以借助函数思想来探讨，具体步骤：第一步，确定变量；第二步：在直角坐标系中画出函数图象；第三步：根据函数图象猜想并求出函数关系式；第四步：把另外的某一点代入验证，若成立，则用这个关系式去求解．
解决问题：
根据以上步骤，请你解答“问题情境”．
5、按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数
是.
6、下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部分小正方形
的个数是．
7、观察下列一组图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有个．8、用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）第5个图形有多少黑色棋子？
（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．。