猜想——二阶等差数列及其通项公式

二阶等差数列及其通项公式

（1） 21、32、43、54、6

5，… （第n 个数） （2） - 1、21、31-、41、5

1-，… （第n 个数） （3） 211⨯、321⨯、431⨯、5

41⨯，… （第n 个数） （4）1，2，4，7，11，16，22，… （第n 个数）

（5） 1，3，6，10，15，21，28，… （第n 个数）

（6） 1，3，7，13，21，31，43，… （第n 个数）

通过观察分析，也能发现上面三个数列有其内在规律与特点，但若想轻易写出却有难处。

一、等差数列的定义及其通项公式：

1、等差数列的定义：如果一个数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，

从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数d ，即a 2 - a 1 = a 3 - a 2=… = a n - a n-1 = d ，则称此数列为等差数列，常数d 叫等差数列的公差。

2、等差数列的通项公式：a n =a 1 + ( n - 1 ) d ，

公 差： d = a 2 - a 1.

二、二阶等差数列的定义及其通项公式：

定义：如果一个数列

a 1，a 2，a 3，…，a n ，…， （★）

从第二项起，每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列，即 a 2 - a 1，a 3 - a 2，a 4 - a 3，…， a n - a n-1，…成为一个等差数列，则称数列（★）为二阶等差数列。

相应地，d =（a 3 - a 2） - （a 2 - a 1）= a 3 + a 1 - 2a 2

称为二阶等差数列的二阶公差。

依此定义可以判断，⑷、⑸、⑹均是二阶等差数列。其二阶公差分别为1、1、2. 说明：⑴、为区别于二阶等差数列，可把通常定义的等差数列称为一阶等差数列.

⑵、二阶与一阶等差数列的相互关系：二阶等差数列不一定是一阶等差数列，但一阶等差数列肯定是二阶等差数列。

二阶等差数列的通项公式：

设数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…是一个二阶等差数列，为了书写的方便，我们记数列 a 2 - a 1，a 3 - a 2，a 4 - a 3，…，a n - a n-1，…为

b 1 , b 2 , b 3 , …，b n-1 , …， (☆)

即记b n = a n+1 - a n ， (n ≥1，n ∈Z)

则数列 (☆) 是一个一阶等差数列。 对于数列(☆)，d = b 2 - b 1 = a 1 + a 3 - 2a 2，

根据等差数列的通项公式,则有

b n = a n+1 - a n = b 1 + (n-1) d ，（n ≥1,n ∈Z ）

由此得，a n +1= a n + b 1 + (n-1) d

依此规律，则有

a 2 = a 1 +

b 1，

a 3 = a 2 +

b 1+d ，

a 4 = a 3 +

b 1+2d ，

… …

a n = a n-1 +

b 1 + (n-2 ) d ，

由上面各式左右分别相加，可得

此即为二阶等差数列的通项公式，

其中，b 1 = a 2 - a 1,［注：b n = a n+1 - a n ， (n ≥1，n ∈Z)］

对于数列⑷，知a 1 =1，b 1 =1，d=1，则由公式（●）可得，a n =1+（n-1）

×

1+2)2)(1(--n n =122

+-n n ，代入验证。

同理可求知⑸、⑹的通项公式：

⑸、a n = 2

2n n + ⑹、a n = n 2-n+1

由此通项公式，则可求出二阶等差数列后面未给出的任何一项。

读者可方便地求出下面的二阶等差数列的通项公式：

⑺、2、2、5、11、20、32、47，…

⑻、2、3、8、17、30、47、68，…

中考数学中常会出现一种寻找规律的题型，其中有一类实际是高中数学中的等差数列或二阶等差数列，由于初中没有学习它们的通项公式和递推法求二阶等差数列的通项，因此在确定数列的通项时有一定的困难。对于等差数列的通项公式()n 11a a n 1d dn a d =+-=+- (其中a 1为首项，d 为公差，n 为正整数)，若将n 看成自变量， a n 看成函数，则a n 是关于n 的一次函数；若一列数a 1,a 2,…a n 满足n n 1a a kn b --=+ (其中k ,b 为常数)，则这列数是二阶等差数列，即每一后项减去前项得到一新的数列，这一新数列是等差数列。它的通项2n a an bn c =++是关于n 的二次函数。我们学习过用待定系数法确定函数解析式，由于数列是特殊的函数，因此可以用待定系数法来确定等差数列和二阶等差数列的通项。

练习

1、2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，2012年的奥运会在英国伦敦举行，奥运

会的年份与届数如下表所示：

表中n 的值等于 ．

2、如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n 个图案中阴影小三角形的个数是 ．

3、我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就

叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是．

4、问题情境：

用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2012个图共有多少枚棋子？

建立模型：

有些规律问题可以借助函数思想来探讨，具体步骤：第一步，确定变量；第二步：在直角坐标系中画出函数图象；第三步：根据函数图象猜想并求出函数关系式；第四步：把另外的某一点代入验证，若成立，则用这个关系式去求解．

解决问题：

根据以上步骤，请你解答“问题情境”．

5、按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数

是.

6、下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部分小正方形

的个数是．