连续自然数求和公式之欧阳歌谷创作
小学数学奥数解题方法讲义40讲(二)之欧阳语创编
（一）（二）（三）（四）第十一讲份数法————————————————姚老师数学乐园广安岳池姚文国把应用题中的数量关系转化为份数关系，并确定某一个已知数或未知数为1份数，然后先求出这个1份数，再以1份数为基础，求出所要求的未知数的解题方法，叫做份数法。
（一）以份数法解和倍应用题已知两个数的和及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题叫做和倍应用题。
例1某林厂有杨树和槐树共320棵，其中杨树的棵数是槐树棵数的3倍。
求杨树、槐树各有多少棵？（适于四年级程度）解：把槐树的棵数看作1份数，则杨树的棵数就是3份数，320棵树就是（3+1）份数。
因此，得：320÷（3+1）=80（棵）…………………槐树80×3=240（棵）…………………杨树答略。
例2 甲、乙两个煤场共存煤490吨，已知甲煤场存煤数量比乙煤场存煤数量的4倍少10吨。
甲、乙两个煤场各存煤多少吨？（适于四年级程度）解：题中已经给出两个未知数之间的倍数关系：甲煤场存煤数量比乙煤场存煤数量的4倍少10吨。
因此可将乙煤场的存煤数量看作1份数，甲煤场的存煤数量就相当于乙煤场存煤数量的4倍（份）数少10吨，两个煤场所存的煤490吨就是（1+4）份数少10吨，（490+10）吨就正好是（1+4）份数。
所以乙场存煤：（490+10）÷（1+4）=500÷5=100（吨）甲场存煤：490-100=390（吨）答略。
例3 妈妈给了李平10.80元钱，正好可买4瓶啤酒，3瓶香槟酒。
李平错买成3瓶啤酒，4瓶香槟酒，剩下0.60元。
求每瓶啤酒、香槟酒各是多少钱？（适于五年级程度）解：因为李平用买一瓶啤酒的钱买了一瓶香槟酒，结果剩下0.60元，这说明每瓶啤酒比每瓶香槟酒贵0.60元。
把每瓶香槟酒的价钱看作1份数，则4瓶啤酒、3瓶香槟酒的10.80元钱就是（4+3）份数多（0.60×4）元，（10.80-0.60×4）元就正好是（4+3）份数。
整理奥数-小学四年级-奥数题及答案之欧阳生创编
速算与巧算1、9＋99＋999＋9999＋99999=2、199999＋19999＋1999＋199＋19=3、（1＋3＋5＋…＋1989）－（2＋4＋6＋…＋1988）=4、389＋387＋383＋385＋384＋386＋388=5、（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6=时间：钢笔的价格1、对任意一个自然数进行变换：如果这个数是奇数，则加上99；如果这个数是偶数，则除以2。
现在对300连续作这种变换，能否经过若干次变换出现100？为什么？2、商店进了一批钢笔，用零售价10元卖出20支与用零售价11元卖出15支的利润相同。
那么每支钢笔的进货价是多少元？妙算应用题1、黑板上有5和7两个数。
现在规定操作：将黑板上的任意两个数相加的和写在黑板上。
问：经过若干次操作后，黑板上能否出现23？为什么？2、河堤上有一排树共100棵，从左往右数第78棵起往右都是一班种的，从右往左数第67棵起往左都欧阳生创编2021.02.08是三班种的，其余都是二班种的，那么二班种了多少棵？时间：和差倍果园里有梨树、桃树、核桃树共526棵，梨树比桃树的2倍多24棵，核桃树比桃树少18棵．求梨树、桃树及核桃树各有多少棵？填竖式1、在□中填入适当的数字，使乘法竖式成立。
2、在□中填入适当的数字，使除法竖式成立。
时间：应用题1、天天带了一些苹果和梨到敬老院慰问。
每次从篮里取出2个梨和4个苹果送给老人，最后当梨正好分完时，还剩下27个苹果。
这时他才想起原来苹果是梨的3倍多3个。
原有苹果、梨各多少个？2、40名同学在做3道数学题时，有25人做对第一题，有28人做对第二题，有31人做对第三题。
那么至少有多少人做对了三道题？长方形的数量1、下图中有多少个含@的长方形？2、下图中共有多少个长方形？还原问题欧阳生创编2021.02.081、某仓库运出四批原料，第一批运出的占全部库存的一半，第二批运出的占余下的一半，以后每一批都运出前一批剩下的一半。
四年级奥数教材之欧阳物创编
四年级奥数目录（一）（二）找规律★★（观察力和计算能力的一个结合）①数列中的规律②图形中的规律（二）数字谜★★★（运用简单的数字组成不同或相同的位数，使式子合理）①横式字谜②竖式字谜（三）定义新运算★★★（它的符号不同于课本上明确定义或已经约定的符号，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。
）（四）鸡兔同笼★★★（根据现实的例子，进行推理和计算）（五）行程问题★★★★（求路程的问题，公式的运用）①追及问题与相遇问题②火车过桥（六）植树问题★★★（植树问题，一般又可分为封闭型的和不封闭型的，每种方法不一）（七）有趣的数阵图★★★（把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图）（八）枚举法★★（通过推测将所有的可能写下来）（九）推理逻辑★★（根据已知的条件，推出合理的答案）（十）倒推法的妙用★★★（加的倒推成减，减的倒推成加，以此更简单快速地计算出答案）（十一）火柴棍游戏★★★（通过移动火柴变成另一个数字或图形）（十二）巧求周长（一）★★★★（一些不规则的比较复杂的几何图形，求周长，可以运用平移的方法，把它转化为标准的长方形或正方形，然后利用周长公式进行计算）（十三）面积计算★★★★（解答比较复杂的长方形、正方形的面积计算的问题时，可以添加辅助线或运用割补、转化等解题技巧）（十四）移多补少平均数★★★（将多的一方分出一部分给少的，使多的和少的同样多）（十五）一笔画★★（类似于走迷宫）（一）找规律观察是解决问题的根据。
通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。
①数列中的规律一、例题与方法指导例1：先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
连续自然数的和的公式
连续自然数的和的公式在数学的奇妙世界里，有一个非常有趣且实用的小知识，那就是连续自然数的和的公式。
这个公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们轻松解开许多数学难题。
先来说说什么是连续自然数。
比如说 1、2、3、4、5 这样依次增加1 的数，就是连续自然数啦。
那它们的和怎么算呢？这就轮到我们的公式登场咯。
假设我们要算从 1 加到 n 这 n 个连续自然数的和，公式就是：S = n×(n + 1)÷2 。
就拿一个简单的例子来说吧，假如要算 1 到 5 的和。
按照公式，n 就是 5，那 5×(5 + 1)÷2 = 5×6÷2 = 15 。
你看，1 + 2 + 3 + 4 + 5 确实等于15 ，公式是不是很准呀！我还记得有一次给学生们讲这个公式的时候，发生了一件特别好玩的事儿。
那是一个阳光明媚的上午，我像往常一样走进教室，准备给孩子们讲解这个知识点。
我在黑板上写下了“1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...... + 100 = ？”这个问题，然后问孩子们谁能快速算出答案。
一开始，大家都皱着眉头，拿着笔在纸上拼命地加呀加。
这时候，平时特别调皮的小明举起了手，说：“老师，这得加到啥时候呀，我手都酸了还没算出来！”同学们听了都哈哈大笑。
我笑着说：“别着急，咱们今天就来学一个神奇的公式，能很快算出答案。
”然后我就把连续自然数的和的公式写在了黑板上，开始一步一步给他们讲解。
可是，讲了一遍之后，我发现好多同学还是一脸懵。
特别是坐在角落里的小红，眼神里充满了疑惑。
我走到她身边，轻声问：“小红，是不是没听懂呀？”小红怯生生地点了点头。
于是，我又重新讲了一遍，还举了好多例子，像从 1 加到 10 ，从 1 加到20 等等。
这一次，同学们好像有点开窍了，开始自己动笔算起来。
最后，当大家都能用公式算出 1 加到 100 的和是 5050 时，那种兴奋的表情，我到现在都还记得。
连续自然数的立方和公式
连续自然数的立方和公式一、连续自然数的概念与表示方法连续自然数是指相邻的自然数，如1、2、3、4等。
在数学中，我们通常用n表示第一个自然数，用n+1表示第二个自然数，以此类推。
二、立方和的定义与计算方法立方和是指一组连续自然数的立方之和。
例如，对于连续自然数1、2、3，其立方和为1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36。
三、连续自然数立方和的公式推导我们可以通过数学归纳法来推导连续自然数立方和的公式。
首先，观察以下等式：1^3 + 2^3 + 3^3 + ...+ n^3 = (1 + 2 + 3 + ...+ n)^2其中，左边的式子表示前n个连续自然数的立方和，右边的式子表示前n 个连续自然数的和的一半的平方。
根据等差数列求和公式，1 + 2 + 3 + ...+ n = n(n+1)/2，我们可以将上述等式改写为：(n+1)/2)^2 = (1 + 2 + 3 + ...+ n)^2四、连续自然数立方和的应用与实例掌握了连续自然数立方和的公式，我们可以轻松地计算任意连续自然数立方和。
例如，计算前10个连续自然数的立方和：1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 + 8^3 + 9^3 + 10^3 根据公式，我们可以得到：10(10*11)/2)^2 = 105^2 = 10025五、总结与拓展本篇文章介绍了连续自然数立方和的概念、计算方法及其应用。
通过数学归纳法推导出了连续自然数立方和的公式，并给出一个实际应用实例。
掌握连续自然数立方和公式有助于解决与连续自然数有关的立方和问题，也为进一步研究其他数列的和提供了方法论。
拓展方面，可以研究更多有关连续自然数的性质和规律，如连续自然数的平方和、立方和、四次方和等，以便更好地应用于实际问题。
自然数求和公式范文
自然数求和公式范文首先，我们从最简单的情况开始，考虑求1到n的自然数和，即S(n)=1+2+3+...+n。
我们可以令S(n)=n+(n-1)+...+2+1，将其与原等式相加，得到：2S(n)=(n+1)+(n+1)+...+(n+1)，共n个(n+1)。
可以看到，原等式中的每个数与新等式中的相应位置的数相加，都等于(n+1)，而新等式的和等于(n+1)乘以n。
因此，我们有2S(n)=n(n+1)，得到：S(n)=n(n+1)/2这就是最基本的求和公式。
接下来，我们可以考虑一些常见的求和公式。
1.求1到n的奇数和令T(n)表示1到n的奇数和，即T(n)=1+3+5+...+(2n-1)。
我们可以观察到，每个奇数与1的差等于前一个奇数与1的差加2、因此，我们可以将T(n)与n个1相加，得到：T(n)=1+1+...+1，共n个1因此，T(n)=n。
2.求1到n的偶数和令E(n)表示1到n的偶数和，即E(n)=2+4+6+...+2n。
我们可以将E(n)除以2，得到：E(n)=1+2+3+...+n。
根据最基本的求和公式，我们知道：E(n)=n(n+1)/2因此，我们有E(n)=n(n+1)。
3.求1到n的平方和令Q(n)表示1到n的平方和，即Q(n)=1^2+2^2+3^2+...+n^2我们可以观察到，每个数的平方与前一个数的平方的差等于前一个数与它自己的和加1、因此，我们可以将Q(n)与前面n个连续自然数相加，得到：Q(n)=1+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+...+n)。
我们可以将每个括号中的和展开，得到：Q(n)=1+3+6+...+(n(n+1)/2)。
根据最基本的求和公式，我们知道：Q(n)=n(n+1)(2n+1)/64.求1到n的立方和令C(n)表示1到n的立方和，即C(n)=1^3+2^3+3^3+...+n^3我们可以观察到，每个数的立方与前一个数的立方的差等于前一个数与它自己的和加1的立方。
连续自然数平方和公式推导
连续自然数平方和公式推导推导连续自然数数平方和公式有多种方法，今天我们主要用代数法和三角形数阵图法来推导连续自然数求和公式。
代数法推导过程：用代数法推导连续自然数求和公式，我们需要知道以下两个公式。
（1）连续自然数求和公式：这个公式很容易可以证明，就不再赘述。
(2)整数列项公式：对于这个公式，我们可以对每一项作如下拆分。
比如3✖️4=（3✖️4✖️5-2✖️3✖️4）➗33✖️4后面加一个因数5扩大5倍，前面加一个因数2扩大2倍，作减法后扩大3倍，因此后面除以3。
然后把每一项都作上述拆分并相加，相加后几乎所有项都可以抵消，只剩最小的第一项和最大的最后一项，因为第一项是0✖️1✖️2=0，因此省略。
得如上公式形式。
上述从1✖️2开始的整数列项如果用语言表述，就是最后一项后边添一项，然后再除以3.（3）推导过程：把每个平方数拆为两数相乘形式，并把其中一个因数写成一个数减1的形式，或一个数加1的形式。
比如3✖️3=3✖️（4-1）或3✖️3=3✖️（2+1）。
这两种形式选一种即可。
我们选择相减，拆分后如下。
1×(2-1)+2×(3-1)+3×(4-1)+…+n×[(n+1)-1]然后再把括号展开变为如下形式1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)-(1+2+3+4+…+ n)然后按照上面所讲的整数裂项公式和连续自然数求和公式求得结果如下最后通分相减得出公式：这个就是连续自然数求和公式的结果数阵图法推导过程看如下三角形数阵图这个数阵图每一行的和刚好是该行数字的平方，比如倒数第2行，2个2就是2的平方。
因此这个数阵图的所有数字和就是从1开始的连续自然数平方和。
下面我们对数阵图进行变形这三个数阵图的数字一样，只是排列方式不一样，你会发现这三个数阵相同位置的三个数字和都是2n+1,因此这三个数阵图的所有数字和是：(1+2+3+…+n)×(2n+1)。
连续自然数相加求和公式
连续自然数相加求和公式《神奇的连续自然数相加求和公式》嘿，同学们！你们有没有想过，当我们把一连串连续的自然数相加时，有没有什么神奇的方法能一下子算出它们的总和呢？今天我就来给大家讲讲这个超厉害的连续自然数相加求和公式！比如说，从1 加到10，要是一个一个去加，那得多麻烦呀！这时候，神奇的公式就派上用场啦！那这个公式到底是什么呢？其实呀，它就是“（首项+ 末项）× 项数÷ 2”。
啥叫首项、末项和项数呢？首项就是这一串数里开头的那个数，末项就是最后那个数，项数呢，就是这一串数的个数。
就拿1 加到10 来说吧，首项是1，末项是10，那项数是多少呢？哎呀，数一数，从1 到10 一共10 个数，所以项数就是10 呀！那咱们来算算，（1 + 10）× 10 ÷ 2 = 55 。
哇塞，这不就是1 加到10 的和嘛！再比如说，从3 加到8 。
首项是3，末项是8，项数呢？数一数，3、4、5、6、7、8，一共6 个数，所以项数是6 。
那用公式算就是（3 + 8）× 6 ÷ 2 = 33 。
是不是很神奇？我之前做数学作业的时候，碰到这种连续自然数相加的题目，总是算得脑袋都大了。
后来老师教了我们这个公式，我就像找到了宝藏一样！每次用这个公式，都能很快算出答案，感觉自己超级厉害！我还跟我的小伙伴们分享了这个公式呢。
“小明，你知道怎么快速算出连续自然数相加的和吗？”我得意地问。
小明摇摇头说：“不知道呀，你快给我讲讲。
”我就兴致勃勃地给他讲了这个公式，小明听了眼睛都亮了，直说：“这也太厉害了！”咱们学习数学，不就是要发现这些神奇又好用的方法嘛！有了这个公式，就像有了一把神奇的钥匙，能打开好多数学难题的大门呢！所以呀，同学们，咱们一定要好好掌握这个连续自然数相加求和公式，让数学变得更有趣，更简单！。
八年级 奥数 专题 超级资料之欧阳歌谷创作
目录欧阳歌谷（2021.02.01）本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。
注重中考与竞赛的有机结合，重点落实在中考中难以上题、奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。
本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。
另外在本次培训中，内容的编排大多大于120分钟的容量，因此在实际教学过程中可以根据学生的具体状况和层次，由任课教师适当的调整顺序和选择内容（如专题复习可以提前上）。
注：有(*) 标注的为选做内容。
本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲如何做几何证明题第二讲平行四边形（一）第三讲平行四边形（二）第四讲梯形第五讲中位线及其应用第六讲一元二次方程的解法第七讲一元二次方程的判别式第八讲一元二次方程的根与系数的关系第九讲一元二次方程的应用第十讲专题复习一：因式分解、二次根式、分式第十一讲专题复习二：代数式的恒等变形第十二讲专题复习三：相似三角形第十三讲结业考试（未装订在内，另发）第十四讲试卷讲评第一讲：如何做几何证明题【知识梳理】1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。
几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。
这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。
3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。
小学数学解题方法：连续自然数求和的解题技巧
小学数学解题方法：连续自然数求和一、解题方法归纳：１．连续自然数求和的方法：头尾两数相加的和×加数的个数÷2２．连续自然数逢单时求和的方法：中间的加数×加数的个数。
二、范例解析例1 比一比，看谁算得快。
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9 = ？解法14个10加上5等于45。
解法2 5个9等于45。
解法3得到9个10，即90，它是和数的2倍，即90÷2 = 45。
说明解法1是利用“凑整”技巧进行简算；解法2是利用“0”的神奇性配对进行速算；解法3是常说的高斯求和法速算。
你听说过数学家高斯小时候的故事吗？有一次老师出了一道数学题：“求1＋2＋3＋4＋……＋100的和”。
老师的话音刚落，高斯就举手说：等于5050。
高斯是怎样算的？他将这100个数倒过来，每相对两数的和等于101，共有100个101，将101乘以100后再除以2，结果等于5050。
我们由此得到启发，一组连续自然数相加时，可用下面的公式求和。
头尾两数相加的和×加数的个数÷2例2 计算下面两题。
⑴4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13 = ？⑵21＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28 =？解⑴4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13=（4＋13）×10÷2= 17×10÷2= 170÷2= 85⑵21＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28=（21＋28）×8÷2= 49×8÷2= 392÷2= 196说明只要的连续自然数求和，不一定要从1开始，均可用此法计算。
例3 求和：53＋54＋55＋56＋57＋58＋59解法1 53＋54＋55＋56＋57＋58＋59=（53＋59）×7÷2= 112×7÷2= 784÷2= 392解法2 53＋54＋55＋56＋57＋58＋59= 56×7= 392说明如果相加的连续自然数的个数逢单时，也可用下式计算和：中间的加数×加数的个数。
初中数学概念、定义、定理、公式之欧阳歌谷创作
初中数学概念、定义、定理逻辑与命题1.仅凭实验、观察、操作得到的结论有时是不深入的、不全面的，甚至是错误的。
2.判断某一件事情的句子叫做命题。
3.如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题。
4.条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题。
5.两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
数系及运算1.正数是比0大的数。
2.负数是比0小的数。
3.0既不是正数，也不是负数。
4.数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。
5.符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个是另一个的相反数。
6.0的相反数是0。
7.两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数反而小。
加。
异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两数和为0。
一个数与0相加，仍得这个数。
9.有理数加法运算律交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)10.有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。
11.有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与0相乘都得0。
12.有理数乘法运算律交换律：a*b=b*a结合律：(a*b)*c=a*(b*c)分配率：a*(b+c)=a*b+a*c13.有理数除法法则除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
14.有理数的乘方求相同因数的积的运算叫做乘方，乘方运算的结果叫幂。
15.正数的任何次幂都是正数。
负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
16.一个大于10的数可以写成的形式，其中1≤a＜10，n是正整数，这种记数法称为科学计数法。
17.有理数混合运算顺序先乘方，再乘除，最后加减。
如果有括号，先进行括号内的运算。
18.幂的乘方，底数不变，指数相乘。
连续自然数平方和公式
连续自然数平方和公式连续自然数平方和公式是指将连续自然数的平方相加得到的和。
这个公式可以用来计算一系列连续自然数的平方和，从而得到一个数列的总和。
在数学中，连续自然数是指从1开始的一系列整数，即1, 2, 3, 4, 5, …等等。
通过使用连续自然数平方和公式，我们可以计算这个数列的平方和，从而得到一个数值。
连续自然数平方和公式可以表示为：1² + 2² + 3² + 4² + ... + n² = (n × (n + 1) × (2n + 1)) / 6。
这个公式是由数学家高斯提出的，并被称为高斯公式。
通过这个公式，我们可以计算从1到n的连续自然数的平方和。
这个公式的推导过程较为复杂，不在本文详细介绍。
为了更好地理解连续自然数平方和公式，让我们以一个具体的例子来说明。
假设我们要计算从1到5的连续自然数的平方和，即1² + 2² + 3² + 4² + 5²。
根据连续自然数平方和公式，我们可以将这个问题转化为：(5 × (5 + 1) × (2 × 5 + 1)) / 6。
根据计算公式，我们可以得到结果为55。
通过这个例子，我们可以看到连续自然数平方和公式的计算过程。
首先，我们需要确定要计算的连续自然数的范围，即n的值。
然后，我们将n的值代入到公式中，按照公式的计算顺序进行计算。
最后，我们得到了连续自然数的平方和的结果。
连续自然数平方和公式在数学中有广泛的应用。
它可以用来计算一系列连续自然数的平方和，从而解决一些数学问题。
例如，我们可以利用这个公式来计算从1到100的连续自然数的平方和，从而得到一个数列的总和。
这种计算方法可以简化复杂的计算过程，提高计算效率。
除了连续自然数平方和公式，还有其他一些与之相关的公式和数学概念。
例如，连续自然数的和公式可以用来计算从1到n的连续自然数的和，即1 + 2 + 3 + ... + n = (n × (n + 1)) / 2。
连续自然数求和公式之欧阳文创编
连续自然数求和公式
方法一：
用第一个数加上最后一个数乘以这批数的总个数，然后除以２，
即：（首＋尾）＊个数／２
求总个数的方法：
１．连续自然数：用最后一个数减第一个数然后加１（尾－首＋１）
２．连续偶数：以２开头的，最后一个数除以２即：（尾／２）；不以２开头的，先用最后一个数除以２，再用第一个数减２的差除以２，然后把两个结果相减．即：尾／２－（首－２）／２
３．连续奇数：以一开头的，用最后一个数加１然后除以２即：（尾＋１）／２；不是以１开头的，先用最后一个数减１的差除以２，然后用第一个数加１的和除以２，接着把两个结果相减．即：（尾＋１）／２－（首－１）／２
方法二：
1.连续自然数求和公式：n*(n+1)/
2.(n是最大数）
1+2+3+4+5+~~~~~80=80*(80+1)/2=
2.连续奇数求和公式：=个数的平方。
个数=（末数+1）/2. 1+3+5+7+9=5的平方=25。
（9+1）/2=5
3.连续偶数求和公式：=个数的平方+个数。
个数=末数/2. 2+4+6+8=4的平方+4=20.
4.点线关系：n个点，可连线段数=n*（n-1）/2.。
有趣的斐波那契数列例子之欧阳歌谷创编
斐波那契数列欧阳歌谷（2021.02.01）斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abacci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列通项公式通项公式(见图)（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。
）注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*）通项公式的推导斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。
那么这句话可以写成如下形式：F(0) = 0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥2)，显然这是一个线性递推数列。
方法一：利用特征方程（线性代数解法）线性递推数列的特征方程为：X^2=X+1解得X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。
则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n。
∵F(1)=F(2)=1。
∴C1*X1 + C2*X2。
C1*X1^2 + C2*X2^2。
解得C1=1/√5，C2=-1/√5。
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n+1) - [(1-√5)/2]^(n+1)}（√5表示根号5）。
方法二：待定系数法构造等比数列1（初等待数解法）设常数r，s。
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
高三数学数学归纳法1之欧阳歌谷创编
※第十三章极限欧阳歌谷（2021.02.01）●体系总览●考点目标定位1.数学归纳法、极限要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.（2）了解数列极限和函数极限的概念.（3）掌握极限的四则运算法则，会求某些数列与函数的极限.（4）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.●复习方略指南极限的概念和方法是近代数学的核心内容，微积分学的基本概念、基本方法在现代实践中越来越多的被应用，并在现代数学及相关学科的研究中不断得到进一步的发展.本章的主要内容由两部分组成，一是数学归纳法，二是极限.学习极限时要注意数列极限和函数极限的联系和区别、函数的极限与函数连续性的渐进性.13.1 数学归纳法●知识梳理1.数学归纳法的定义：由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方法：（1）先证明当n=n0（n0是使命题成立的最小自然数）时命题成立；（2）假设当n=k（k∈N*，k≥n 0）时命题成立，再证明当n =k +1时命题也成立，那么就证明这个命题成立，这种证明方法叫数学归纳法.2.数学归纳法的应用：①证恒等式；②整除性的证明；③探求平面几何中的问题；④探求数列的通项；⑤不等式的证明.特别提示（1）用数学归纳法证题时，两步缺一不可;（2）证题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑目标. ●点击双基 1.设f （n ）=11+n +21+n +31+n +…+n21（n ∈N *），那么f（n +1）－f （n ）等于A.121+n B.221+n C.121+n +221+nD.121+n －221+n解析：f （n +1）－f （n ）=21+n +31+n +…+n 21 +121+n +221+n －（11+n +21+n +…+n 21）=121+n +221+n －11+n =121+n －221+n .答案：D2.（2004年太原模拟题）若把正整数按下图所示的规律排序，则从2002到2004年的箭头方向依次为解析：2002=4×500+2，而a n =4n 是每一个下边不封闭的正方形左、上顶点的数.答案：D3.凸n 边形有f （n ）条对角线，则凸n +1边形有对角线条数f（n +1）为A.f （n ）+n +1B.f （n ）+nC.f （n ）+n －1D.f （n ）+n －2解析：由n 边形到n +1边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原n －2个顶点连成的n －2条对角线，及原先的一条边成了对角线.答案：C4.用数学归纳法证明“（n +1）（n +2）·…·（n +n ）=2n ·1·3·…·（2n －1）”，从“k 到k +1”左端需增乘的代数式为A.2k +1B.2（2k +1）C.112++k k D.132++k k解析：当n =1时，显然成立.当n =k 时，左边=（k +1）（k +2）·…·（k +k ），当n =k +1时，左边=（k +1+1）（k +1+2）·…·（k +1+k ）（k +1+k +1）=（k +2）（k +3）·…·（k +k ）（k +1+k ）（k +1+k +1） =（k +1）（k +2）·…·（k+k ）1)22)(12(+++k k k =（k +1）（k +2）·…·（k +k ）2（2k +1）.答案：B5.（2004年春季上海，8）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图形中有_________个点.解析：观察图形点分布的变化规律，发现第一个图形只有一个中心点;第二个图形中除中心外还有两边，每边一个点;第三个图形中除中心点外还有三个边，每边两个点;…;依次类推，第n个图形中除中心外有n条边，每边n－1个点，故第n个图形中点的个数为n（n－1）+1.答案：n2－n+1●典例剖析【例1】比较2n与n2的大小（n∈N *）.剖析：比较两数（或式）大小的常用方法本题不适用，故考虑用归纳法推测大小关系，再用数学归纳法证明.解：当n=1时，21＞12，当n=2时，22=22，当n=3时，23＜32，当n=4时，24=42，当n=5时，25＞52，猜想：当n≥5时，2n＞n2.下面用数学归纳法证明：（1）当n=5时，25＞52成立.（2）假设n=k（k∈N *，k≥5）时2k＞k2，那么2k+1=2·2k=2k+2k＞k2+（1+1）k＞k2+C0k +C1k+C1 kk=k2+2k+1=（k+1） 2.∴当n=k+1时，2n＞n2.由（1）（2）可知，对n≥5的一切自然数2n＞n2都成立.综上，得当n=1或n≥5时，2n＞n2；当n=2，4时，2n=n2；当n=3时，2n＜n2.评述：用数学归纳法证不等式时，要恰当地凑出目标和凑出归纳假设，凑目标时可适当放缩.深化拓展当n ≥5时，要证2n ＞n 2，也可直接用二项式定理证：2n =（1+1）n =C0n+C1n+C2n+…+C2-n n+C1-n n+Cn n＞1+n +2)1(-n n +2)1(-n n =1+n +n 2－n ＞n 2.【例2】 是否存在常数a 、b 、c 使等式1·（n 2－12）+2（n 2－22）+…+n （n 2－n 2）=an 4+bn 2+c 对一切正整数n 成立?证明你的结论.剖析：先取n =1，2，3探求a 、b 、c 的值，然后用数学归纳法证明对一切n ∈N *，a 、b 、c 所确定的等式都成立.解：分别用n =1，2，3代入解方程组 下面用数学归纳法证明.（1）当n =1时，由上可知等式成立; （2）假设当n =k +1时，等式成立，则当n =k +1时，左边=1·［（k +1）2－12］+2［（k +1）2－22］+…+k ［（k +1）2－k 2］+（k +1）［（k +1）2－（k +1）2］=1·（k 2－12）+2（k 2－22）+…+k （k 2－k 2）+1·（2k +1）+2（2k +1）+…+k （2k +1）=41k 4+（－41）k 2+（2k +1）+2（2k +1）+…+k （2k +1）=41（k +1）4－41（k +1）2.∴当n =k +1时，等式成立.由（1）（2）得等式对一切的n ∈N *均成立.评述：本题是探索性命题，它通过观察——归纳——猜想——证明这一完整的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力.【例3】（2003年全国）设a 0为常数，且a n =3n －1－2a n －1（n ∈N *）.证明：n ≥1时，a n =51[3n +（－1）n－1·2n ］+（－1）n·2n ·a 0.剖析：给出了递推公式，证通项公式，可用数学归纳法证. 证明：（1）当n =1时，51［3+2］－2a 0=1－2a 0，而a 1=30－2a 0=1－2a 0.∴当n =1时，通项公式正确.（2）假设n =k （k ∈N *）时正确，即a k =51［3k +（－1）k－1·2k ］+（－1）k ·2k ·a 0，那么a k +1=3k －2a k =3k －52×3k +52（－1）k ·2k +（－1）k +1·2k +1a 0=53·3k +51（－1）k ·2k +1+（－1）k +1·2k +1·a 0=51［3k +1+（－1）k ·2k +1］+（－1）k +1·2k +1·a 0.∴当n =k +1时，通项公式正确.由（1）（2）可知，对n ∈N *，a n =51［3n +（－1）n －1·2n ］+（－1）n ·2n ·a 0.评述：由n =k 正确 n =k +1时也正确是证明的关键.深化拓展本题也可用构造数列的方法求a n . 解：∵a 0为常数，∴a 1=3－2a 0. 由a n =3n －1－2a n －1，得n n a 33=－1132--n n a +1， 即n n a 3=－32·113--n n a +31.∴n na 3－51=－32（113--n na －51）.∴{nn a 3－51}是公比为－32，首项为513230--a 的等比数列. ∴nn a 3－51=（54－32a 0）·（－32）n －1.∴a n =（54－32a 0）·（－2）n －1×3+51×3n=51［3n +（－1）n －1·2n ］+（－1）n ·2n ·a 0. 注：本题关键是转化成a n +1=ca n +d 型. ●闯关训练 夯实基础1.如果命题P （n ）对n =k 成立，则它对n =k +1也成立，现已知P （n ）对n =4不成立，则下列结论正确的是A.P （n ）对n ∈N*成立B.P （n ）对n ＞4且n ∈N*成立C.P （n ）对n ＜4且n ∈N*成立D.P （n ）对n ≤4且n ∈N*不成立解析：由题意可知，P （n ）对n =3不成立（否则n =4也成立）.同理可推得P （n ）对n =2，n =1也不成立.答案：D2.用数学归纳法证明“1+21+31+…+121-n ＜n （n ∈N *，n ＞1）”时，由n =k （k ＞1）不等式成立，推证n =k +1时，左边应增加的项数是A.2k －1B.2k －1 C.2k D.2k +1解析：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为121-n ;由n =k ，末项为121-k到n =k +1，末项为1211-+k =kk 2121+-，∴应增加的项数为2k .答案：C 3.观察下表： 1 2 3 4 3 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10 ……设第n 行的各数之和为S n ，则∞→n lim2n S n =__________.解析：第一行1=12， 第二行2+3+4=9=33， 第三行3+4+5+6+7=25=52， 第四行4+5+6+7+8+9+10=49=72.归纳：第n 项的各数之和S n =（2n －1）2，∞→n lim2n S n =∞→n lim （nn 12-）2=4. 答案：44.如图，第n 个图形是由正n +2边形“扩展”而来（n =1，2，3，…），则第n －2个图形中共有____________个顶点.解析：观察规律：第一个图形有32+3=（1+2）2+（1+2）; 第二个图形有（2+2）2+（2+2）=42+4; 第三个图形有（3+2）2+（3+2）=52+5; …第n －2个图形有（n +2－2）2+（n +2－2）=n 2+n 个顶点. 答案：n 2+n5.已知y =f （x ）满足f （n －1）=f （n ）－lg a n －1（n ≥2，n ∈N ）且f （1）=－lg a ，是否存在实数α、β使f （n ）=（αn 2+βn －1）lg a 对任何n ∈N *都成立，证明你的结论.解：∵f （n ）=f （n －1）+lg a n －1，令n =2，则f （2）=f （1）+f （a ）=－lg a +lg a =0.又f （1）=－lg a ， ∴⎩⎨⎧=+=+.1420αββα∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.21,21βα∴f （n ）=（21n 2－21n －1）lg a .证明：（1）当n =1时，显然成立.（2）假设n =k 时成立，即f （k ）=（21k 2－21k －1）lg a ，则n =k +1时，f （k +1）=f （k ）+lg a k =f （k ）+k lg a =（21k 2－21k－1+k ）lg a =［21（k +1）2－21（k +1）－1］lg a .∴当n =k +1时，等式成立.综合（1）（2）可知，存在实数α、β且α=21，β=－21，使f （n ）=（αn 2+βn －1）lg a 对任意n ∈N *都成立.培养能力6.已知数列｛ｂn ｝是等差数列，ｂ1＝1，ｂ1＋ｂ2＋…＋ｂ10＝100．（1）求数列｛ｂn ｝的通项公式ｂn ； （2）设数列｛a n ｝的通项a n ＝lg （1＋nb 1），记S n 为｛a n ｝的前n 项和，试比较S n 与21lg ｂn ＋1的大小，并证明你的结论． 解：（1）容易得ｂn ＝2n －1. （2）由ｂn ＝2n －1，知S n ＝lg （1＋1）＋1g （1＋31）＋…＋lg （１＋121-n ）＝lg （１＋１）（１＋31）·…·（１＋121-n ）. 又211g b n ＋１＝1g12+n ，因此要比较S n 与211g b n ＋１的大小，可先比较（1＋１）（１＋31）·…·（１＋121-n ）与12+n 的大小. 取n =1，2，3可以发现：前者大于后者，由此推测 （1+1）（1+31）·…·（１＋121-n ）＞12+n .① 下面用数学归纳法证明上面猜想： 当n =1时，不等式①成立. 假设n =k 时，不等式①成立，即 （1＋1）（1＋31）·…·（１＋121-k ）＞12+k . 那么n =k +1时，（１＋１）（１＋31）·…·（１＋121-k ）（１＋121+k ）＞12+k （１＋121+k ） ＝1212)1(2+++k k k .又［1212)1(2+++k k k ］2－（32+k ）2＝121+k ＞０，∴1212)1(2+++k k k ＞32+k =.1)1(2++k∴当n =k +1时①成立.综上所述，n ∈N*时①成立． 由函数单调性可判定S n ＞211g b n ＋１.7.平面内有n 条直线，其中无任何两条平行，也无任何三条共点，求证：这n 条直线把平面分割成21（n 2+n +2）块.证明：（1）当n =1时，1条直线把平面分成2块，又21（12+1+2）=2，命题成立.（2）假设n =k 时，k ≥1命题成立，即k 条满足题设的直线把平面分成21（k 2+k +2）块，那么当n =k +1时，第k +1条直线被k 条直线分成k +1段，每段把它们所在的平面块又分成了2块，因此，增加了k +1个平面块.所以k +1条直线把平面分成了21（k 2+k +2）+k +1=21［（k +1） 2+（k +1）+2］块，这说明当n =k +1时，命题也成立.由（1）（2）知，对一切n ∈N *，命题都成立.探究创新8.（2004年重庆，22）设数列{a n }满足a 1=2，a n +1=a n +na 1（n =1，2，…）.（1）证明a n ＞12+n 对一切正整数n 都成立；（2）令b n =na n （n =1，2，…），判定b n 与b n +1的大小，并说明理由.（1）证法一：当n =1时，a 1=2＞112+⨯，不等式成立.假设n =k 时，a k ＞12+k 成立，当n =k +1时，a k +12=a k 2+21ka +2＞2k +3+21ka ＞2（k +1）+1，∴当n =k +1时，a k +1＞1)1(2++k 成立.综上，由数学归纳法可知，a n ＞12+n 对一切正整数成立.证法二：当n =1时，a 1=2＞3=112+⨯结论成立.假设n =k 时结论成立，即a k ＞12+k ，当n =k +1时，由函数f （x ）=x +x1（x ＞1）的单调递增性和归纳假设有a k +1=a k +ka 1＞12+k +121+k =12112+++k k =1222++k k =124842+++k k k ＞12)12)(32(+++k k k =32+k .∴当n =k +1时，结论成立. 因此，a n ＞12+n 对一切正整数n 均成立.（2）解：nn b b 1+=na n a n n 11++=（1+21na ）1+n n ＜（1+121+n ）1+n n=1)12()1(2+++n n n n =12)1(2++n n n =2141)21(2+-+n n ＜1.故b n +1＜b n .●思悟小结1．用数学归纳法证明问题应注意：（1）第一步验证n=n0时，n0并不一定是1．（2）第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清由k 到k+1时命题的变化．（3）由假设n=k时命题成立，证n=k+1时命题也成立，要充分利用归纳假设，要恰当地“凑”出目标.2.归纳、猜想、论证是培养学生观察能力、归纳能力以及推理论证能力的方式之一.●教师下载中心教学点睛1.数学归纳法中的归纳思想是比较常见的数学思想，因此要重视.2.数学归纳法在考试中时隐时现，且较隐蔽，因此在复习中应引起重视.只要与自然数有关，都可考虑数学归纳法，当然主要是恒等式、等式、不等式、整除问题、几何问题、三角问题、数列问题等联系得更多一些.拓展题例【例1】是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）·3n+9对任意自然数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.解：由f（n）=（2n+7）·3n+9，得f（1）=36，f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m =36. 下面用数学归纳法证明： （1）当n =1时，显然成立.（2）假设n =k 时， f （k ）能被36整除，即f （k ）=（2k +7）·3k +9能被36整除;当n =k +1时，［2（k +1）+7］·3k +1+9=3［（2k +7）·3k +9］+18（3k －1－1），由于3k －1－1是2的倍数，故18（3k －1－1）能被36整除.这就是说，当n =k +1时，f （n ）也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n 都有f （n ）=（2n +7）·3n +9能被36整除，m 的最大值为36.【例2】 如下图，设P 1，P 2，P 3，…，P n ，…是曲线y =x上的点列，Q 1，Q 2，Q 3，…，Q n ，…是x 轴正半轴上的点列，且△OQ 1P 1，△Q 1Q 2P 2，…，△Q n －1Q n P n ，…都是正三角形，设它们的边长为a 1，a 2，…，a n ，…，求证：a 1+a 2+…+a n =31n （n +1）.证明：（1）当n =1时，点P 1是直线y =3x 与曲线y =x的交点，∴可求出P 1（31，33）.∴a 1=|OP 1|=32.而31×1×2=32，命题成立.（2）假设n =k （k ∈N *）时命题成立，即a 1+a 2+…+a k =31k（k +1），则点Q k 的坐标为（31k （k +1），0），∴直线Q k P k +1的方程为y =3[x －31k （k +1）].代入y =x，解得P k +1点的坐标为)).1(33,3)1((2++k k∴a k +1=|Q k P k +1|=33（k +1）·32=32（k +1）.∴a 1+a 2+…+a k +a k +1=31k （k +1）+32（k +1）=31（k +1）（k +2）.∴当n =k +1时，命题成立.由（1）（2）可知，命题对所有正整数都成立.评述：本题的关键是求出P k +1的纵坐标，再根据正三角形高与边的关系求出|Q k P k +1|.。
C++编程实例之欧阳歌谷创作
例3．13欧阳歌谷（2021.02.01）求Fibonacci数列前40个数。
这个数列有如下特点：第1、2个数为1、1。
从第3个数开始，每个数是其前面两个数之和。
#include <iostream>#include <iomanip>using namespace std;int main( ){long f1,f2;int i;f1=f2=1;for( i=1; i<=20; i++ ){//设备输出字段宽度为12，每次输出两个数cout<<setw(12)<<f1<<setw(12)<<f2;//每输出完4个数后换行，使每行输出4个数if(i%2==0) cout<<endl;f1=f1+f2; //左边的f1代表第3个数，是第1、2个数之和f2=f2+f1; //左边的f2代表第4个数，是第2、3个数之和}return 0;}例3．14100~200间的素数#include <iostream>#include <cmath>#include <iomanip>using namespace std;int main(){int m,k,i,n=0;bool prime;for(m=101;m<=200;m=m+2){prime=true;k=int(sqrt(m));for(i=2;i<=k;i++)if(m%i==0){prime =false;break;}if(prime){cout <<setw(5) <<m; n=n+1;}if(n%10==0)cout <<endl;}cout <<endl;return 0;}例3．15译密码#include <iostream>using namespace std;int main(){char c;while ((c=getchar())!='\n'){if((c>='a'&&c<='z')|| (c>='A'&&c<='Z')) {c=c+4;if(c>'Z'&&c<='Z'+4||c>'z')c=c-26;}cout<<c;}cout<<endl;return 0;}习题：16、统计个数#include <iostream>using namespace std;int main (){char c;int letters=0,space=0,digit=0,other=0; cout<<"enter one line::"<<endl;while((c=getchar())!='\n'){if (c>='a' && c<='z'||c>='A' && c<='Z') letters++;else if (c==' ')space++;else if (c>='0' && c<='9')digit++;elseother++;}cout<<"letter:"<<letters<<", space:"<<space<<", digit:"<<digit<<", other:"<<other<<endl;return 0;}17、求Sn=a+aa+aaa+……+aa…a（n个a）的值，n由键盘输入。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
连续自然数求和公式
欧阳歌谷（2021.02.01）
方法一：
用第一个数加上最后一个数乘以这批数的总个数，然后除以２，即：（首＋尾）＊个数／２
求总个数的方法：
１．连续自然数：用最后一个数减第一个数然后加１（尾－首＋１）
２．连续偶数：以２开头的，最后一个数除以２即：（尾／２）；不以２开头的，先用最后一个数除以２，再用第一个数减２的差除以２，然后把两个结果相减．即：尾／２－（首－２）／２
３．连续奇数：以一开头的，用最后一个数加１然后除以２即：（尾＋１）／２；不是以１开头的，先用最后一个数减１的差除以２，然后用第一个数加１的和除以２，接着把两个结果相减．即：（尾＋１）／２－（首－１）／２
方法二：
1.连续自然数求和公式：n*(n+1)/
2.(n是最大数）
1+2+3+4+5+~~~~~80=80*(80+1)/2=
2.连续奇数求和公式：=个数的平方。
个数=（末数+1）/2.
1+3+5+7+9=5的平方=25。
（9+1）/2=5
3.连续偶数求和公式：=个数的平方+个数。
个数=末数/2. 2+4+6+8=4的平方+4=20.
4.点线关系：n个点，可连线段数=n*（n-1）/2.。