浙师大04年考研数学分析,高等代数真题
2004年考研数学真题及答案解析
(17)(本题满分 12 分)
计算曲面积分 I 2x3dydz 2 y3dzdx 3(z2 1)dxdy, 其中 是曲面 z 1 x2 y 2 (z 0)
的上侧.
(18)(本题满分 11 分)
设有方程 xn nx 1 0 ,其中 n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根 xn ,并证明
令 Y
1 n
n i1
Xi
,
则
(A)
Cov(
X
1
,
Y
)
2 n
(C)
D( X 1
Y)
n
n
2
2
(B) Cov( X1,Y ) 2
(D)
D( X 1
Y)
n 1 n
2
三、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤)
(15)(本题满分 12 分)
设
e
a
b
e2
,证明
,使得
lim
n
na
n
,则级数 an n 1
发散
(C)若级数
n 1
an
收敛,则
lim
n
n
2
a
n
0
(D)若级数 an 发散, n 1
则存在非零常数
,使得
lim
n
na
n
(10)设
f
(x)
为连续函数,
F (t)
t
1
t
dy y
f
( x)dx
,则
F (2)
等于
(A) 2 f (2)
(B) f (2)
浙江师范大学904数学分析与高等代数历年真题汇编
浙江师范大学2010年硕士研究生入学考试初试试题(A卷)科目代码:904科目名称:数学分析与高等代数适用专业:045104学科教学（数学)提示：1、请将所有答案写于答题纸上，写在试题上的不给分；2、请填写准考证号后6位：____________。
1.已知)0('f存在，且)3sin(3)(lim3⎰+=→xdxxxdxdxxfx，求)0('f2.⎰+-+=xdtttttxy1001000]100)12(cos[sin)(，求)()1001(xy3.已知星形线tay tax33sin,cos==围成的图形为A,求A的面积S4.证明：方程0199101=-+xx只有一个正根。
5.已知)(xyy=是由参数表示式x=⎰⎰=tutduteyudu,arcsin所确定的函数，求dxdyt0lim→6.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=1sin)(2xxxxxf证明)(xf在0=x处连续且可微，但)('xf在0=x处不连续。
7.求极限xxx xexsin1)23(lim+-+→8.求幂级数∑∞=--111)1(nnn xn的收敛半径、收敛域及和函数.9.计算I=yxzxxzzyzyyx⎰⎰∑-+-+-dd)33(dd)3(dd)2(,其中:0,0,0x y z∑===及1=++zyx所围立体表面的外侧.10.设,)(22bazyeu ax++=而baxbzxay,,cos,sin==为常数，求.ddxu科目代码:904科目名称:数学分析与高等代数适用专业:045104学科教学（数学)提示：1.请将所有答案写于答题纸上，写在试题上的不给分；2、请填写准考证号后6位：____________。
科目代码:904科目名称:数学分析与高等代数适用专业:045104学科教学（数学)提示：1.请将所有答案写于答题纸上，写在试题上的不给分；2、请填写准考证号后6位：____________。
浙江师范大学2013年硕士研究生入学考试初试试题(A卷)科目代码:904科目名称:数学分析与高等代数适用专业:045104学科教学（数学)提示：1.请将所有答案写于答题纸上，写在试题上的不给分；2、请填写准考证号后6位：____________。
2004年考研数学三真题与解析
2004 年考研数学（三）真题一、 填空题 （本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 把答案填在题中横线上）(1) 若 limsin xb)5 ，则 a =______， b =______.(cos xx 0exa(2) 设函数 f (u , v)由关系式 f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且 g(y) 0，则2 f.u vxe x21 1设 f (x),2x2，则 2 (3) 1 f (x 1)dx.1 , x122(4) 二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 )( x 1 x 2 )2 ( x 2 x 3 ) 2 (x 3 x 1 ) 2 的秩为.(5) 设随机变量 X 服从参数为λ的指数分布 ,则P{X DX } _______.(6) 设总体 X 服从正态分布 N ( μ, σ2), 总体 Y 服从正态分布 N ( μ , σ2),X , X 2, Xn 1 和 Y,Y,Y1211 2n 2分别是来自总体X 和 Y 的简单随机样本 , 则n 12n 22( X i X )(Y j Y)Ei 1n 1 n 2 j 1.2二、选择题 （本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）函数 f (x)| x | sin( x 2)(7) x( x 1)( x2)2 在下列哪个区间内有界 .(A)( 1,0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ ]1，则(8) 设 f (x)在 (, + )内有定义，且 lim f (x) a ， g( x)f ( x ) , xx0 , x(A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点 . (B) x = 0 必是 g(x)的第二类间断点 .(C) x = 0 必是 g(x)的连续点 .(D) g(x)在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关 .[](9) 设 f (x) = |x(1 x)|，则(A) x = 0 是 f (x)的极值点，但 (0 , 0) 不是曲线 y = f (x)的拐点 .(B) x = 0 不是 f (x)的极值点，但 (0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点 .(C) x = 0 是 f (x)的极值点，且 (0 , 0) 是曲线 y = f (x)的拐点 . (D) x = 0 不是 f (x)的极值点， (0 , 0) 也不是曲线 y = f (x)的拐点 .[ ](10) 设有下列命题：(1) 若(u 2n 1 u 2n ) 收敛，则u n 收敛 .(2) 若u n 收敛，则u n 1000收敛.n 1n 1(3) 若 lim u n 1 1，则u 发散 .nu nnn 1(4) 若(u n v n ) 收敛，则u n ，v n 都收敛 .n 1n 1n 1则以上命题中正确的是(A) (1) (2).(B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [](11) 设 f ( x) 在 [a , b] 上连续，且 f ( a) 0, f (b) 0 ，则下列结论中错误的是(A) 至少存在一点 x 0 ( a,b) ，使得 f ( x 0 ) > f (a).(B) 至少存在一点 x 0(a, b) ，使得 f (x 0 ) > f (b).(C) 至少存在一点 x 0 (a, b) ，使得 f ( x 0 ) 0.(D) 至少存在一点 x 0 ( a,b) ，使得 f ( x 0 ) = 0.[ D](12) 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价 , 则必有(A) 当| A| a(a 0) 时, | B | a .(B) 当| A| a(a 0) 时, |B| a .(C) 当|A|0时, |B| 0.(D) 当|A| 0时 , | B | 0 .[](13) 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A *0, 若 ξ1,ξ2, ξ3, ξ4 是非齐次线性方程组Ax b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax 0 的基础解系(A) 不存在 .(B) 仅含一个非零解向量 .(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量 .[ ](14) 设随机变量 X 服从正态分布N (0,1) , 对给定的 α (0,1) , 数 u α满足 P{ Xu α}α,若 P{| X | x} α, 则 x 等于(A)u α.(B) u α.(C)u 1 α.(D) u 1α.[]2122三、解答题 (本题共 9 小题，满分 94 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .)(15) (本题满分 8 分)求 lim (1 cos2 x ) .x 0sin 2xx 2(16) ( 本题满分 8 分 )求( x 2 y 2y)d ，其中 D 是由圆 x2y 2 4 和 (x 1)2 y21 所围成的D平面区域 (如图 ).(17) (本题满分 8 分)设 f (x) , g( x)在 [a , b] 上连续，且满足x xg(t) dt ，x b b af (t )dt[a , b)，f (t) dtg(t) dt .aaab b证明：xf (x) dx xg(x)dx .aa(18) (本题满分 9 分)设某商品的需求函数为 Q = 100 5P ，其中价格 P (0 , 20) ，Q 为需求量 .(I) 求需求量对价格的弹性 E d ( E d > 0) ；(II)dR E d ) (其中 R 为收益 )，并用弹性 E d 说明价格在何范围内变化时，推导Q(1dP降低价格反而使收益增加 .(19) (本题满分 9 分)设级数x 4x6x 8(x)2 4 2 4 6 2 4 6 8的和函数为 S(x). 求：(I) S(x)所满足的一阶微分方程；(II) S(x)的表达式 .(20)( 本题满分 13 分 )α (1,2,0)Tα(1,α 2, 3α) Tα ( 1, b 2, α 2b) T,β (1,3, 3) T ,设 1, 2,3试讨论当 a,b 为何值时 ,(Ⅰ ) βα1, α2, α3线性表示 ;不能由(Ⅱ ) β可由 α1 ,α2 , α3 唯一地线性表示 , 并求出表示式 ;(Ⅲ ) β可由 α1 ,α2 , α3 线性表示 , 但表示式不唯一 , 并求出表示式 .(21) (本题满分 13 分)设 n 阶矩阵1bb Ab 1 b .bb1(Ⅰ ) 求 A 的特征值和特征向量 ;(Ⅱ ) 求可逆矩阵 P , 使得 P 1AP 为对角矩阵 .(22) ( 本题满分 13 分)设 A ， B 为两个随机事件 ,且 P( A)1P(B | A)1P(A|B)1 ,,, 令4321, 发生，1, 发生，XAYB， 不发生， ， 不发生 .0 A0 B 求(Ⅰ ) 二维随机变量 ( X ,Y) 的概率分布 ;(Ⅱ ) X与 Y的相关系数XYρ ;(Ⅲ )Z X 2 Y 2 的概率分布 .(23) (本题满分 13 分) 设随机变量X 的分布函数为α β1 , x ，F ( x, α,β)x αx， ，0 α其中参数 α 0, β 1. 设 X 1 , X 2 , , X n 为来自总体 X 的简单随机样本 , (Ⅰ) 当α 1时 , 求未知参数β的矩估计量 ;(Ⅱ ) 当 α 1 时 , 求未知参数 β的最大似然估计量 ;(Ⅲ ) 当 β 2 时 , 求未知参数α的最大似然估计量 .2004 年考研数学（三）真题解析一、 填空题 （本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 把答案填在题中横线上）(1) sin x(cos x b) 5，则a =1 ， b =4.若 limax 0ex【分析 】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解 】因为 lim sin x (cos xb ) 5 ，且 lim sin x (cos x)0 ，所以abx 0exx0 lim (exa)0 ，得 a = 1. 极限化为x 0limsin x(cos x b) limx(cos xb) 1 b5，得 b =4.x 0exax0 x因此， a = 1， b = 4.【评注 】一般地，已知 limf (x)＝ A ，g(x)(1) 若 g(x) 0，则 f (x)0；(2) 若 f ( x)0，且 A 0，则 g(x) 0.(2) 设函数 f (u , v)由关系式 f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且 g(y)0，2fg (v) .则g 2(v)u v【分析 】令 u = xg(y)， v = y ，可得到 f (u , v)的表达式，再求偏导数即可 .【详解 】令 u = xg(y)， v = y ，则 f (u , v) =ug(v) ，g(v)f 1，2fg (v)所以，u vg 2 .u g (v)(v)x 2,1x1xe 2 221(3) 设 f (x)，则1 f ( x 1) dx. 1 , x 1222【分析 】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可 .2 1 1【详解 】令 x1 = t ， 1 f ( x 1)dx1 f (t )dt 1 f ( x)dt2 2212111 ＝ 21 xexdx 1 ( 1) dx 0 ( ).2222【评注 】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.(4) 二次型 f ( x , x, x ) ( x x 2) 2 (x2x ) 2( xx ) 2 的秩为 2 .1231331【分析 】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案 .【详解一 】因为 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) ( x 1x 2 ) 2(x 2 x 3 ) 2 ( x 3 x 1 ) 22x 2 2x 22x22x x 2 x x32 x x31 231 2122 1 1 于是二次型的矩阵为A1 2 1 , 1 1 21 12 1 1 2由初等变换得A0 3 3 0 3 3 ,33从而r ( A)2 , 即二次型的秩为 2.【详解二 】因为 f ( x 1 , x 2 , x 3 )( x 1 x 2 ) 2 (x 2 x 3 ) 2 ( x 3 x 1 ) 22 x 1 2 2x 2 2 2x3 22x 1 x 2 2x 1 x 3 2x 2 x 32( x 11x 21x 3 )23(x 2 x 3 ) 22222 y 1 23 y 2 2 ,2 1 1y 1x 1x 3 ,y 2x 2x 3 .其中x 222. 2所以二次型的秩为(5) 设随机变量X服从参数为λ则 P{ X DX }1 .的指数分布 ,e【分析 】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解 】 由于 DX1 X 的分布函数为2 ,λF ( x)1e λx , x0,0,x0.故P{ XDX} 1 P{XDX }1 P{X1} 1 F(1) 1 .λλ e【评注 】本题是对重要分布, 即指数分布的考查 , 属基本题型 .22X 1 , X 2 , X n 1 和 Y 1 ,Y 2 , Y n 2 分别是来自总体X 和 Y 的简单随机样本 , 则22n 1n 2( X i X )(Y j Y)i 1j 12Eσ .n 1 n 2 2【分析 】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.1n 1221 n 22E[ ] E[2] 【详解 】因为1 i 1 ( X i X ) σ,n 2 1 j(Y j Y)σ,n 112故应填 σ .【评注 】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题 （本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7) 函数 f (x)| x | sin( x2)x( x 1)( x2)2 在下列哪个区间内有界 .(A)( 1,0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3).[ A ]【分析 】如 f (x)在 (a , b)内连续，且极限lim f ( x) 与 lim f ( x) 存在，则函数 f (x)x ax b在 (a , b)内有界 .【详解 】当 x0,1,2时， f (x)连续，而 lim f ( x)sin 3， lim f (x)sin 2 ，x118x 04lim f ( x)sin 2，lim f ( x)，lim f (x)，x 04x1x 2所以，函数 f (x)在 ( 1 , 0) 内有界，故选 (A).【评注 】一般地， 如函数 f (x)在闭区间 [ a , b]上连续， 则 f (x)在闭区间 [a , b]上有界； 如函数 f (x)在开区间 (a ,b)内连续，且极限lim f ( x) 与 lim f ( x) 存在，则函数f (x)在开区间 (a , b)内有界 .xax b(8) 设 f (x)在 (, + )内有定义，且lim f ( x) a ，x1g( x)f ( x ) , x，则0 , x(A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点 . (B) x = 0 必是 g(x)的第二类间断点 .(C) x = 0 必是 g(x)的连续点 .(D) g(x)在点 x = 0 处的连续性与a 的取值有关 . [D ]【分析 】考查极限 limg (x ) 是否存在，如存在，是否等于g(0) 即可，通过换元 1，ux 0x可将极限 lim g ( x) 转化为 lim f (x) .x 0x【详解 】因为 lim g( x) limf ( 1 ) lim f (u) = a(令 u1 )，又 g(0) = 0 ，所以，x 0xx u x当 a = 0 时， lim g ( x) g(0) ，即 g(x)在点 x = 0 处连续，当 a0 时，xlim g( x) g(0) ，即 x = 0是 g( x)的第一类间断点，因此，g(x)在点 x = 0 处的连续性x 0与 a 的取值有关，故选 (D).【评注 】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.(9) 设 f (x) = |x(1x)|，则(A) x = 0 是 f (x)的极值点，但 (0 , 0) 不是曲线 y = f (x)的拐点 . (B) x = 0 不是 f (x)的极值点，但 (0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点 .(C) x = 0 是 f (x)的极值点，且 (0 , 0) 是曲线 y = f (x)的拐点 . (D) x = 0 不是 f (x)的极值点， (0 , 0) 也不是曲线y = f (x)的拐点 .[ C ]【分析 】由于 f (x)在 x = 0 处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查 f (x)在 x = 0 的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解 】设 0 < < 1 ，当 x(, 0)(0 , )时， f (x) > 0 ，而 f (0) = 0 ，所以 x = 0 是 f (x)的极小值点 .显然， x = 0 是 f (x)的不可导点 . 当 x(, 0)时， f (x) = x(1x)， f (x)2 0，当 x(0 , )时， f (x) = x(1x) ， f ( x) 2 0 ，所以 (0 , 0) 是曲线 y = f (x)的拐点 .故选 (C).【评注 】对于极值情况，也可考查 f (x)在 x = 0 的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断 .(10) 设有下列命题：(1) 若(u 2n 1 u 2n ) 收敛，则u n 收敛 .n 1n 1(2) 若u n 收敛，则u n 1000收敛.n 1n 1(3) 若 lim u n 1 1，则u 发散 .nu nnn 1(4) 若(u n v n ) 收敛，则u n ，v n 都收敛 .n 1n 1n 1则以上命题中正确的是(A) (1) (2).(B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4).[B ]【分析 】可以通过举反例及级数的性质来说明 4 个命题的正确性 .【详解 】 (1)是错误的，如令u(1)n ，显然，u 分散，而(uu )收敛.nn 2 n 12nn 1 n 1(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由lim un 11可得到 u不趋向于零 (n)，所以u 发散.n u n n nn 1(4)是错误的，如令 un 1, vn1，显然，u ，v都发散，而n n n nn 1n 1(u n v n ) 收敛.故选(B).n 1【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.(11) 设f ( x)在 [a , b] 上连续，且 f (a) 0, f (b)0 ，则下列结论中错误的是(A)至少存在一点 x0( a,b) ，使得 f ( x0 ) > f (a).(B)至少存在一点 x0(a, b) ，使得 f (x0 ) > f (b).(C)至少存在一点 x0 (a, b) ，使得 f ( x0 ) 0.(D) 至少存在一点x0( a,b) ，使得 f ( x0 ) = 0.[D]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项.【详解】首先，由已知f( x) 在[a , b]上连续，且 f (a) 0, f (b)0 ，则由介值定理，至少存在一点x(a,b) ，使得 f(x) 0；00另外， f (a)lim f ( x) f (a)0，由极限的保号性，至少存在一点x0(a,b) x ax a使得f ( x)f ( a)0，即 f ( x ) f ( a) .同理，至少存在一点x(a,b)x0a00使得 f ( x0 ) f (b) .所以，(A) (B) (C)都正确，故选 (D).【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.(12)设 n 阶矩阵A与B等价,则必有(A)当| A |a(a 0) 时, | B | a .(B) 当| A |a(a 0) 时, | B | a .(C) 当|A|0时, |B| 0.(D) 当|A|0时, |B| 0.[ D]【分析】利用矩阵 A 与 B 等价的充要条件:r ( A)r ( B) 立即可得.【详解】因为当 | A | 0时, r ( A) n ,又 A 与 B 等价,故r (B)n ,即| B |0 ,故选(D).【评注 】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型 .(13) 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A *0, 若 ξ,ξ, ξ, ξ 是非齐次线性方程组Axb 的12 34互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax 0 的基础解系(A) 不存在 .(B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量 . [ B]【分析 】 要确定基础解系含向量的个数 , 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩 .【详解 】 因为基础解系含向量的个数= nr ( A) , 而且n,r ( A) n,r ( A * )1, r ( A) n 1, 0, r ( A) n 1.根据已知条件 A *0, 于是 r ( A) 等于 n 或 n 1 . 又 Ax b 有互不相等的解 ,即解不惟一 , 故 r ( A)n 1. 从而基础解系仅含一个解向量, 即选 (B).【评注 】本题是对矩阵 A 与其伴随矩阵 A * 的秩之间的关系、 线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.(14) 设随机变量X 服从正态分布N (0,1), 对给定的α (0,1), 数u α满足P{ Xα,u }α若P{| X | x} α, 则 x 等于(A)u α.(B) uα.(C)u 1 α.(D) u 1α.[ C ]2122【分析 】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.【详解】由P{| X|x} α, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得P{ Xx}1 α2 . 故正确答案为 (C)., 严格地说它的上分位数概念的考查.【评注 】本题是对标准正态分布的性质三、解答题 (本题共 9 小题，满分 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .)(15) (本题满分 8 分)求 lim (1cos 2x ) . x 0sin 2 x x 2【分析 】先通分化为“”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可.【详解 】 lim (1 cos 2xx 2 sin 2 xcos 2 xsin 2xx 2) limx 2 sin 2 xx 0xx21sin 22x2x1sin 4 x1 cos4x 1(4 x)2= lim4lim2lim lim242.432【评注 】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算.(16) ( 本题满分 8 分 )求 ( x2y 2y)d，其中 D 是由圆 x2y24和 (x 1) 2 y 2 1 所围成的平面区域 (如图 ).D【分析 】首先，将积分区域D 分为大圆 D 1{( x, y) | x2y24} 减去小圆D 2{( x, y) | (x1)2 y 2 1} ，再利用对称性与极坐标计算即可 .【详解 】令 D{( x, y) | x2y24}, D2{( x, y) | ( x 1)2y21} ，1由对称性，yd0 .Dx 2y 2 dx 2y 2 dx 2y 2 dDD 1D 222 r 2dr 32cos r 2dr .d2 d2 016 32 16 (3 2)39 9所以，( x2y2y)d16 (32) .D9【评注 】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂 区域划分为两个或三个简单区域来简化计算.(17) ( 本题满分 8 分)设 f (x) , g( x)在 [a , b] 上连续，且满足x xg(t) dt ，x[a , b)，b b af (t )dtf (t) dtg(t) dt .aaab b 证明：xf (x) dx xg(x)dx .aa【分析 】令 F(x) = f (x)g(x)， G(x) xF (t )dt ，将积分不等式转化为函数不等式即可.a 【详解 】令 F(x) = f (x)g(x)， G(x)x F (t )dt ，a由题设 G(x) 0，x [a , b]，G(a) = G(b) = 0 ， G (x) F ( x) .b b xG(x)bbb 从而xF ( x)dxxdG( x)G(x)dxG( x)dx ，aaaaa由于 G(x) 0， x[a , b] ，故有b0，G( x) dxab0 .即xF( x)dxab b因此xf ( x)dx xg( x)dx .a a【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法.(18)(本题满分 9 分)设某商品的需求函数为Q = 100 5P，其中价格 P (0 , 20) ，Q 为需求量 .(I)求需求量对价格的弹性 E d( E d>0) ；(II)dRQ(1E d ) (其中R为收益)，并用弹性E d说明价格在何范围内变化时，推导降低价格反而使dP收益增加 .【分析】由于 E> 0，所以E P dQ；由 Q=PQ 及EP dQ可推导d d Q dP d Q dP dRQ(1 E d ) .dP【详解】 (I) E dP dQ PQ dP .20 P (II)由R = PQ，得dR Q P dQ Q (1P dQ) Q (1 E d ) .dP dP Q dP又由 EP1，得P=10. d20P当 10<P<20dR0 ，时， E d> 1，于是dP故当 10<P<20时，降低价格反而使收益增加 .【评注】当 E d> 0时，需求量对价格的弹性公式为 E dP dQ P dQQ dP .Q dP 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：dR(1E d )Qdp ，dR(1E d )Q ，dR(11) p ，dp dQ E dEREp 1 E d(收益对价格的弹性).(19)(本题满分 9 分)设级数x 4x6x 8(x)2 4 2 4 6 2 4 6 8的和函数为 S(x). 求：(I) S(x)所满足的一阶微分方程； (II) S(x)的表达式 .【分析 】对 S(x)进行求导，可得到 S(x)所满足的一阶微分方程，解方程可得S(x)的表达式 .【详解 】 (I) S(x) x 4 x6x 8 ，2 42 46 246 8易见S(0) = 0，S (x)x 3 x 5 x 72 2 4 2 4 6x(x 2 x 4x 6)2 2 4 2 4 6x[ x 2 S( x)] .2因此 S(x)是初值问题yxyx 30的解.2 , y(0)(II) 方程 yxyx 3的通解为2y exdxx 3 xdxC ][ edx2x 2x 21 Ce2，2由初始条件 y(0) = 0 ，得 C = 1.x 2 x 2x 2x 2故 ye 21 ，因此和函数 S( x)e 21 . 22【评注 】本题综合了级数求和问题与微分方程问题， 2002 年考过类似的题 .(20)( 本题满分 13 分 )设α1 (1,2,0)T ,α2(1,α2, 3α)T ,α ( 1, b 2, α 2b) T,β (1,3, 3)T ,3试讨论当 a,b 为何值时 ,(Ⅰ )β不能由 α1, α2 , α3 线性表示 ;(Ⅱ )β可由α1,α2 , α3唯一地线性表示 , 并求出表示式 ;(Ⅲ )β可由α1,α2 , α3线性表示 , 但表示式不唯一 , 并求出表示式 .【分析】将可否由α1,α2,α3线性表示的问题转化为线性方程组k1α1 k2α2 k3α3ββ是否有解的问题即易求解.【详解】设有数 k1, k2 , k3 , 使得k1α kαk αβ(*)12 2 3 3.记 A(α1, α2 , α3 ) .对矩阵 ( A, β)施以初等行变换, 有1111( A, β)2a2b2303a a 2b3 (Ⅰ ) 当a0时,有1111(A, β)00b 1 .0001可知 r ( A)r ( A, β) .故方程组 (*) 无解 ,β不能由11110a b 1 .00 a b0α,α ,α 线性表示.123(Ⅱ ) 当a0 ,且 a b 时,有100111111a( A, β)0a b 10101 a00 a b00010 r ( A) r ( A, β) 3 ,方程组(*)有唯一解：k1 1 1,k 21, k30．a a此时β可由α1,α2,α3唯一地线性表示,其表示式为β(11 α1α2．a)1a(Ⅲ ) 当a b 0时 ,对矩阵 ( A, β) 施以初等行变换,有100111111a1( A, β)0a b 1011，a00 a b00000r ( A) r ( A, β) 2 ,方程组 (*) 有无穷多解，其全部解为k111,k21 c ,k3 c ，其中 c 为任意常数．a aβ 可由α1,α2,α3线性表示,但表示式不唯一 ,其表示式为β(11 α1c) α2cα3．a)1( a【评注】本题属于常规题型,曾考过两次 (1991, 2000).(21)(本题满分 13 分)设n 阶矩阵1b bA b1b.b b1(Ⅰ ) 求A的特征值和特征向量;(Ⅱ )求可逆矩阵 P ,使得 P 1 AP为对角矩阵.【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 通常可由求解特征方程| λE A |0和齐次线性方程组(λE A)x0来解决.【详解】(Ⅰ ) 1 当 b 0 时，λ 1b b| λE A |bλ 1bb bλ1＝ [ λ 1(n1)b][ λ (1 b)] n 1,得 A 的特征值为λ1(n1)b ，λλ1 b ．12n 对λ 1(n1)b ，1(n1)b b b( n1)11λ1E Ab(n1)b b1(n1)1b b(n1)b11(n 1)n11111111n1n 1111n 11111n1111n1100000000111 1 n10010n0n010100n n001100000000解得ξ (1,1,1,,1) T，所以A的属于λ的全部特征向量为11kξ1k (1,1,1,,1)T( k为任意不为零的常数) ．对λ 1 b ，2b b b111λ2E Ab b b000b b b000得基础解系为ξ2(1,1,0,,0)T，ξ3(1,0,1,,0)T，, ξn(1,0,0,, 1)T．故 A 的属于λ的全部特征向量为2k 2ξ2k3ξ3k nξn( k2, k3,, k n是不全为零的常数)．2 当 b0 时，λ 100| λE A |0λ10(λ 1)n,00λ 1特征值为λλ1，任意非零列向量均为特征向量．1n( Ⅱ ) 1 当 b 0 时，A 有 n 个线性无关的特征向量，令 Pξ ξ ξ ，则(1 ,2 , ,n )1(n 1)bP 1AP1 b1 b2当 b 0 时， AE ，对任意可逆矩阵 P , 均有P 1APE．【评注 】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题 ,属于有一点综合性的试题. 另外 ,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未知参数 , 从而一般要讨论其不同取值情况 .(22) ( 本题满分 13 分 )设 A ， B 为两个随机事件 ,且 P( A)1P(B | A) 11,, P(A|B), 令4321,发生，1,发生，XAYB， 不发生，， B 不发生 .0 A求(Ⅰ ) 二维随机变量 ( X ,Y) 的概率分布 ;(Ⅱ )X 与 Y 的相关系数 ρXY ;(Ⅲ ) Z X 2Y 2 的概率分布 .【分析 】本题的关键是求出 ( X ,Y) 的概率分布，于是只要将二维随机变量 ( X ,Y) 的各取值对转化为随机事件 A 和 B 表示即可．【详解】(Ⅰ ) 因为 P( AB)P( A)P( B | A)1 于是 P( B)P( AB) 1，P(A | B)，126则有P{ X1,Y 1}1P( AB)，12 1P{ X1,Y0} P( AB)P( A) P( AB)，6P{ X 0,Y1} P( AB)P(B) P( AB) 1 ，122P{ X 0,Y0} P( A B) 1P(AB) 1 [P(A) P( B) P( AB)]，1 112 3( 或P{ X0,Y 0}16 12)，123即 ( X ,Y) 的概率分布为：YX01021 312111 612(Ⅱ )方法一：因为EX P( A)11， E( XY)1， EY P(B)6，412EX 2P( A)1，EY2P(B) 1 ，436(EY)25DX EX 2(EX )2， DY EY 2，16116Cov ( X ,Y)E( XY)EXEY，24所以 X 与 Y 的相关系数ρCov( X ,Y)1 1 5．XY DX DY 1 5 1 5方法二：X, Y的概率分布分别为X01Y01P 31P51 4466则 EX 1,EY1， DX3， DY=5, E(XY)=1, 461613612故 Cov ( X ,Y )E(XY)EX EY，从而24XY Cov( X ,Y )15 .DX DY15 (Ⅲ ) Z的可能取值为：0，1， 2．P{ Z0}P{ X0,Y0}2，31P{ Z1}P{ X1, Y0}P{ X0,Y1}，41P{ Z2}P{ X1, Y1}，12即 Z 的概率分布为：Z012P2113412【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题，属于综合性题型(23) ( 本题满分13 分 )设随机变量X 的分布函数为β1αx，F ( x, α,β)αxx，α，其中参数α 0, β1.设 X1,X2,, X n为来自总体X的简单随机样本,(Ⅰ )当α 1时 ,求未知参数β的矩估计量 ;(Ⅱ )当α 1时 ,求未知参数β的最大似然估计量 ;(Ⅲ )当β 2 时,求未知参数α的最大似然估计量 .【分析】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数,从而先由分布函数求导得密度函数.【详解】当α 1 时, X 的概率密度为f(xβββ1 ,x1，,)xx1，0，(Ⅰ )由于ββEX xf ( x; β)dx1xx β 1dx,β 1令βX ,解得βX,β 1X1所以 , 参数β的矩估计量为βX. X1(Ⅱ )对于总体 X 的样本值x1, x2,, x n,似然函数为nnβL ( β) f (x i ;α)(x1x2x n)β 1,x i1(i 1,2, , n),i 10,其他.当 x i1(i1,2,, n) 时,L ( β)0,取对数得nln L( β)n ln β ( β 1)i 1ln x i,对β求导数，得d[ln L( β)]nnln x i ，d ββ i 1d[ln L ( β)]nn ln x i 0 ，n令解得 β n ，d ββ i 1ln xi i 1于是β的最大似然估计量为? βn n．ln x ii 1( Ⅲ ) 当 β2 时 , X 的概率密度为2α，f ( x, β)23 ,xxα， x，α对于总体 X 的样本值 x 1, x 2 ,, x n , 似然函数为n 2nn2 α, x i α(i 1,2, , n), L ( β)f (x i ; α)( x 1 x 2 x n ) 3 i 10, 其他 .当 x α(i1,2,, n)时 , ααi越大， L(α) 越大 , 即的最大似然估计值为α?m in{ x 1 , x 2 , , x n } ,于是 α的最大似然估计量为? , X 2 , , X n } ． α min{ X 1。
2004考研数一真题及答案解析
令 Y
1 n
n i 1
Xi
,
则
(A)
Cov(
X1,
Y
)
2 n
(B) Cov( X1,Y ) 2
(C)
D( X 1
Y)
n
n
2
2
(D)
D( X 1
Y)
n 1 n
2
三、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤)
(15)(本题满分 12 分)
设
e
a
b
e2
,证明
（2）已知 f (e x ) xex ，且 f(1)=0, 则 f(x)= 1 (ln x)2 . 2
【分析】 先求出 f (x) 的表达式，再积分即可。
【详解】 令 e x t ，则 x ln t ，于是有
f (t) ln t ， 即 f (x) ln x .
t
x
积分得 f (x) ln xdx 1 (ln x)2 C . 利用初始条件 f(1)=0, 得 C=0，故所求函数为 f(x)= 1 (ln x)2 .
【详解】
x2
lim x0
lim x0
tan tdt
0
x cos t 2dt
lim
x0
tan x 2x cos x 2
0 ，可排除(C),(D)选项，
0
又
lim lim
x0
x0
x sin t 3dt
0 x2
tan tdt
lim
x0
3
sin x 2
1
2x
2x tan x
0
= 1 lim 4 x0
0 0 1
2004年考研数一真题及解析
2004年考研数学试题答案与解析(数学一)、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线y=l nx 上与直线x ・y=1垂直的切线方程为 y=x_1.【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为 1,由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标.1【详解】由/-(ln x)1，得x=i,可见切点为(1,0)，于是所求的切线方程为xy - 0 =1 (x -1)，即 y = x -1.11，得x 0 =1，由此可知所求切线方程为 X 。
本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到 .1(2)已知 f (e x )二 xe 」，且 f(1)=0,则 f(x)=(ln x)22【分析】先求出f (X )的表达式，再积分即可. 【详解】令e -1，则x - I nt ，于是有IntInxf (t)，即f (x).tx积分得上 / 、 」n x , 1 “ 、2 丄f (x) dx (I nx) C .利用初始条件f(1)=0,得c=0,故所求函数x 21 2 为 f(x) = (In x). 2【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分(3)设L 为正向圆周x y =2在第一象限中的部分， 则曲线积分L xd^2ydx 的3值为一二.2【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分2 2【详解】 正向圆周x y = 2在第一象限中的部分，可表示为【评注】本题也可先设切点为(x 0, ln x 0)，曲线y=l nx 过此切点的导数为y -0 =1 (x-1)，即 y = x -1.x = ^2 cos 日, y = P2 sin B ,二二 刁 2sin 2 rd ：-—』02【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加 的线段上用参数法化为定积分计算即可.(4)欧拉方程x 2写・4x 也・2y=0(x .0)的通解为y 丄弋.dxdxx x欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换 x = e '化为常系数线性齐次微分方程即可.代入原方程，整理得010，矩阵B 满足ABA^2BA^ E ，其中A *为A 的伴随矩1xdy2ydx cos 一 2cos 2、2si n $2s i n]d【分析】 【详解】令…t ，则齐乌史edx_t 鱼]dy dt x dtd 2y dx 221 dy 1 d y dt x2 dt x dt 2 1 r d 2y dy dx~2 [ 2 x dtdt ]， d 2 y dt 2證"0， 解此方程，得通解为y = c 1e _L c 2e^2t【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式,二e '，则欧拉方程可化为ax 2啤dxbx 慕 cy = f(x),dt 2dt_2(5)设矩阵A = 1】01阵，E 是单位矩阵，则 B = 1.9【分析】 可先用公式 A *A = |AE 进行化简 【详解】 已知等式两边同时右乘 A ,得ABA *A =2BA *A A ， 而 A = 3，于是有3AB =6B A ，即（3A —6E ）B =A ，再两边取行列式，有3A-6E[B| = A = 3，1而3A —6E|=27，故所求行列式为 B=~. 9【评注】先化简再计算是此类问题求解的特点， 而题设含有伴随矩阵 A *，一般均应先利用公式A A = AA = A E 进行化简.（6）设随机变量X 服从参数为入的指数分布，则P{x >J DX}=-.e【分析】 已知连续型随机变量 x 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计 算即可.1【详解】 由题设，知DX . 2，于是扎P{X . DX} =P{X -} =「'e^dx去推算.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）IX2门X 2厂备"X3（7）把 X T 0 时的无穷小量 口 = cost dt, 0 = [ tanw'tdt, 丫 = （ sin t dt ，使 排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A) :, .(B): , /■ .(C) ■/, . (D), /■.【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再1【分析】先两两进行比较，再排出次序即可【分析】 函数f(x)只在一点的导数大于零， 一般不能推导出单调性， 因此可排除(A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可【详解】 由导数的定义，知f(x)-f(O)门 f (o )Pm，f (X )- f (0)即当 x (-、,0)时，f(x)<f(0);而当 x (0,、)时，有 f(x)>f(0).故应选(C).【评注】题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论CO(9)设v a n 为正项级数，下列结论中正确的是n =1【详解】x 2 —tan tdt lim — = lim 0T%T\0C0St 「dt t arx 2x x 2... Pm 「2cox=0,可排除(C),(D)选项,32Sinx 2 「lim xx 2xta nxtan Vtdt 1 x -=—lim ==：:，可见 是比：低阶的无穷小量，故应选 (B). 4x 刃 x 21 limlim x _0 ■ ]x _0■- x 30 sint dt12一x 【评注】 本题是无穷小量的比较问题，也可先将 ：-,'-,分别与x n 进行比较，再确定相互的高低次序(8)设函数f(x)连续，且f (0) • 0,则存在:.■ 0，使得(A) f(x)在(0，.)内单调增加.(B) f (x)在(-「0)内单调减少•(C) 对任意的 x (0,、)有 f(x)>f(0).(D) 对任 意的 X ：= ( -、,0)有 f(x)>f(0).根据保号性，知存在0，当 x • (-、；,0) (0, 时，有于是,F (t)二 f (t)(t -1)，从而有 F (2H f (2)，故应选(B).若lim na n =0,则级数a .收敛. n & :1，则级数J a n 收敛，但limn 2a .n* n n=【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式,alim na n = lim 丄「「0，而级数' 上发散，因此级数’二a n 也发散，故应选(B). n 厂 n : 1t t(10)设f(x)为连续函数，F(t)二dy f(x)dx ，则F (2)等于(A) 2f(2). (B) f(2). (C) -(2). (D) 0. [ B ]【分析】 先求导，再代入t=2求F (2)即可.关键是求导前应先交换积分次序，使得被 积函数中不含有变量t.【详解】 交换积分次序，得t tt xtF(t) = [dyj y f (x)dx = [[ J f (x)dy]dx =」f (x)(x-1)dx(A) (B ) 若存在非零常数 ■，使得lim na n = ■，则级数a n n _jpc发散.(C)若级数v a n 收敛，则limn 2a n =0.n —^c(D)若级数v a n 发散，则存在非零常数，，使得lim na nn —jpc【分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到 正确选项.【详解】 取a n，贝U lim na n =0，但nlnnn->::n =1发散，排除(A), (D);nA n ln n又取a n，排除(C),故应选(B).:=1 n =1【评注】在应用变限的积分对变量x求导时，应注意被积函数中不能含有变量X：b(x)[a(x)f(t)dt]=f[b(x)]b(x) — f[a(x)]a(x)否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x换到积分号外或积分线上•(11)设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q为(A)0 1 0(B) 1 0 1 . (C)〕°°1一0 1 1(D) 1 0 0【°0 1一【分析】本题考查初等矩阵的的概念与性质，对A作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而Q即为此两个初等矩阵的乘积•【详解】由题设，有1 0 0B 0 1 1 =C，〕0 0 1一于是, 0 0 0 1 11 1 =A 1 0 0 =C.0 0 1 一可见，应选(D).【评注】涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系(12)设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有(A) A的列向量组线性相关(B) A的列向量组线性相关(C) A的行向量组线性相关(D) A的行向量组线性相关B的行向量组线性相关B的列向量组线性相关B的行向量组线性相关B的列向量组线性相关【分析】A,B的行列向量组是否线性相关，可从A,B是否行(或列)满秩或Ax=0 ( Bx=0)是否有非零解进行分析讨论•【详解1】设A为m n矩阵，B为n s矩阵，则由AB=O知，r(A) r(B) < n .又A,B为非零矩阵，必有r(A)>0,r(B)>0.可见r(A)<n, r(B)<n,即A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关，故应选 (A).【详解2】由AB=O 知，B 的每一列均为 Ax=0的解，而B 为非零矩阵，即 Ax=0存在非 零解，可见A 的列向量组线性相关.同理，由AB=O 知，B T A T =0，于是有B T 的列向量组，从而B 的行向量组线性相关， 故应选(A).【评注】AB=0是常考关系式，一般来说，与此相关的两个结论是应记住的：1) AB=0二 r( A) r(B) ：： n ; 2)AB=0= B 的每列均为 Ax=0的解.(13)设随机变量 X 服从正态分布N(0,1)，对给定的：•(0 ：：：「：： 1)，数u-.满足P{X A U 』，若 P{ X| £ X} ，则 x 等于(A) U. .(B) U .. .(C) Uy .(D) Uj ：. .[ C ]22 2【分析】此类问题的求解，可通过U-.的定义进行分析，也可通过画出草图，直观地得 到结论. 【详解】 由标准正态分布概率密度函数的对称性知，P{X-U 一.} = ,于是1 —a =1—P{X <x} =P{X Ax} =P{X Zx} +P{X 兰―x} =2P{X 王 x}1 -a即有 P{X _x}，可见根据定义有 x 二5_一，故应选(C).2—22【评注】本题U ：.相当于分位数,(14)设随机变量X「X2，…，X n( n・1)独立同分布，且其方差为二0.令【分析】 本题用方差和协方差的运算性质直接计算即可，注意利用独立性有:CovX’X j ) =0,i =2,3, n.JCov(X i ,X i )丄、Cov(X i ,X i ) n1 1 _2 =DX 1 .nn【评注】 本题(C),(D)两个选项的方差也可直接计算得到：如n-2n 2 n-2 2= 2n n(15) (本题满分12分)设 e :： a :: b :: e 2,证明 In 2 b — In 2 a £ (b — a).e【分析】 根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用 单调性证明.【证法1】 对函数ln 2x 在［a,b ］上应用拉格朗日中值定理，得设e 晋，则〈)二耳，当t>e 时，：(t) ：：0,所以:(t)单调减少，从而•「(e 2)，即(A) Cov(X 1,Y)=—n2(B) Cov(X 「Y)-. (C) D(X i Y) j.n(D) D(X 「Y)二卫1二2.n【详解】Cov(X i ,Y) =Cov(X i 」' X i )n yD(X i1 --X n )2(1 n)n -1D(X 1 —Y)二 D(n 1X 1 -丄 X 2 - n nAn)n (n -1)2「22n-1——<T2n2 2ln b Tn a =2ln::b.故 In 2 b 一 In 2 a g (b 一 a). e 【证法2】设「(x) =1 n 2x-耸x ，则e(x)二 2所以当x>e 时，「(x) :：: 0,故:(x)单调减少，从而当e ：：： x ：：： e 2时,2 4 4(x) .「(e 2—-飞=0,e e2即当e ：：： x ::: e 时，(x)单调增加.因此当 e ■■■■. x ::: e 2时，「(b):(a),2424 即 In b ^b In a 2 a ，ee4故 In b - In a 2 (b - a).e【评注】本题也可设辅助函数为(x) = In 2x-ln 2 a - 4(x -a),e ：：： a ：：：x ：：： e 2或e(x) = In 2 b 「In 2 x - $ (b 「x),e ：：： x : b e 2，再用单调性进行证明即可.e(16) (本题满分11分)某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞， 以增大阻力，使飞机迅速减速并停下现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700km/h.经测试，减速伞打开后, 飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k =6.0 106).问从着陆点算起，飞 机滑行的最长距离是多少？注kg 表示千克，km/h 表示千米/小时.【分析】本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可.【详解1】 由题设，飞机的质量m=9000kg ，着陆时的水平速度 v 0 =700km/h .从飞 机接触跑道开始记时，设t 时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t).根据牛顿第二定律，得InIn e 2e 2(x)二 2In x xdv m — dt=-kv .dv dv dx dv又v -dt dx dt dx由以上两式得dx dv , k积分得x(t)v C.由于v(0) = v 0, x(0) = 0 ,故得C v 0，从而k kx(t)「m(…t)).k+ —九=0，解之得人=0,几2 m，当v ⑴>0时，心kmv °9000 700 6.0 106=1.05(km).所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.【详解2】 根据牛顿第二定律，得 dvm 一 dt所以dv kdt.v m两端积分得通解v = Ce，代入初始条件J%解得—k故 v(t)二 v °e m . 飞机滑行的最长距离为X = 0 v(t)dtmv ° 咼 mv 0=1.05( km).kk dxt=v 0e m，知 x(t)t 0v 0ektmdtkkv£(e^t -1)，故最长距离为当t >时,x(t) > 也m=1.05(km).【详解3】 根据牛顿第二定律，得d 2x m —2" dt-k dx dtd 2x dt 2K^=0,dt其特征方程为_k t故 ^C 1 C 2e m当 t —• :* 时，x(t) —； m ^ = 1.05(km).k所以，飞机滑行的最长距离为 1.05km.【评注】 本题求飞机滑行的最长距离，可理解为 t —• -■或v(t) > 0的极限值，这种条件应引起注意.(17) (本题满分12分) 计算曲面积分332I 二 2x dydz 2y dzdx 3(z -1)dxdy,Z其中v 是曲面z =1 -x 2 -y 2(z _0)的上侧.【分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加 的曲面上应用直接投影法求解即可.2 2【详解】 取' 1为xoy 平面上被圆x y =1所围部分的下侧，记 门为由7与7 1围 成的空间闭区域，贝UI 二 2x 3dydz 2y 3dzdx 3(z 2 -1)dxdy- 2x 3dydz 2y 3dzdx 3(z 2 -1)dxdy.由高斯公式知3 3 2 2 22x dy dz2y dzdx3(z -1)dxdy 6(x y z)d x d y d z'八 1-J22 二1 1 -4 2=6 .0 d o dr p (z r )rdz11=12二.°[?r(1 -r 2)2r 3(1 -r 2)]dr =2；而 112x 3dydz 2y 3dzdx 3(z 2 -1)dxdy - -- 3dxdy 二 3二，、1x 2 y 2-i1故 I 二 2恵一3二一-二.得 C 1-C2kx(t)=由x mv o t 厂Vo，曰疋【评注】本题选择时应注意其侧与围成封闭曲面后同为外侧(或内侧)，再就是在' 1上直接投影积分时，应注意符号Ci取下侧，与z轴正向相反，所以取负号).(18)(本题满分11分)设有方程x n• nx 一1 = 0，其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根x n，并证明当〉1时，级数V x］收敛•n 4【分析】利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性•而正项级数的敛散性可用比较法判定•【证】记f n(x)二x n• nx-1.由f n(0) =-1 ::：0 , f n(1)= n ・0，及连续函数的介值定理知，方程x n nx-1 =0存在正实数根x n• (0,1).当x>0时，f n(x)二nx nJ1• n .0 ,可见f n(x)在［0,=)上单调增加，故方程x n 5X -1 =0存在惟一正实数根x n•由x n• nx -1 = 0与X n 0 知1 _ x n 1 . 1 -0 ■ x n二—-:::一，故当〉-1 时，0 ：：：x n < (一)：n n noO 1 co而正项级数7 —收敛，所以当:1时，级数7 X；收敛•n 二n n T【评注】本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖，但难度并不大，只要基本概念清楚，应该可以轻松求证(佃)(本题满分12分)设z=z(x,y)是由x2 -6xy • 10y2 -2yz-z2 T8 =0 确定的函数，求z= z(x, y)的极值点和极值.【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.【详解】因为x2 -6xy T0y2-2yz-z2 T8 = 0，所以cz cz2x-6y-2y 2z 0，■x :Xcz cz-6x 20y-2z-2y 2z 0.cy cy令；:x得*类似地,z(-9, -3)= -3.【评注】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意 x,y,z 满足原方程.(20)(本题满分9分):z c 0x 「3y 二 0, 3x 10y - z = 0,x=3y,z = y.将上式代入 x 2「6xy 10y 2「2yz 「z 218=0，可得由于=3,x = -9,y ~ -3 z = -3.2-2yj:x-2-2z 5=02 x一6一2—二exz— -2z ；:xxydz20 -：:z:y-2c z-2y 2 ■y ；z 2() ■y；：2z-2z —2 = 0，；：2z所以 A =2.x故 AC -B 2(9,3,3)；：2z(9,3,3)从而点 丄，C 仝y 2(9,3,3)(9,3)是z(x,y)的极小值点, 极小值为z(9,3)=3.;：2zA\2;：2z .:x :yJ C 二(』,D 2， 寸(-9,」，」)5 _3，可知AC -B 2二丄 0，又A =36--0，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大值为6令；:x 得*设有齐次线性方程组= (12 ,n)T ，(1 a)% x 2 亠 亠焉=0, 2x 1 (2 a)x 2 川…川‘2x 二 0,nx 2 卷…卷(n a)x n =0,试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解【分析】 本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩 n ,进而判断是否有非零解；或直接当a=0时，r(A)=1<n ，故方程组有非零解，其同解方程组为花 X 2X n =0,由此得基础解系为1=(-1,1,0, ,0)T ,2=(-1,0,1, ,0)T ,, n 」=(-1,0,0，,1)T ,当a = 0时，对矩阵B 作初等行变换, -1 +a 1 1 BBL1 B T-2 1 0 …-_n 00 (1)有-崇叶1)0 0 … 0〕2T-2 1 0 0-n0 0 …1-2x 1 +X 2 =0, - 3x 1 x a =0, -nx 「X n =0,由此得基础解系为于是方程组的通解为 k n 4其中k 1,…，k n 」为任意常数可知a =n(n 1) 2时, r(A)二n -1 ：：： n ，故方程组也有非零解，其同解方程组为阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于 计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零， 可•【详解1】 对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换,由此对参数 a 的可能取值进行讨论即有一1+a 1 1 ・・L 1亠-2aa 0… 0 =B._na 0 0 … a(n_2)于是方程组的通解为x = k ，其中k 为任意常数.故方程组的同解方程组为由此得基础解系为于是方程组的通解为其中k 1, ,k n_,为任意常数._2 1 0 …-2 1 0 0T… … … … … T -・- … … …---_ n 00 … 1 _1 1 -n 0 0 … 1 _故方程组的同解方程组为【详解2】方程组的系数行列式为a=0 或 a =当a=0时，对系数矩阵 一1 2叫」时2 ，A 作初等行变换，■1 0方程组有非零解• 1【 2「°1【 0A =2 2+a 2 (2)T-2a a0 0nnnn +a _ 1 1 -na 00 …a _一1 +a1 1 … 11 -0 ■ …0 1A 作初等行变换，有时, 对系数矩阵 11 1 1 1 11 1 a 1 aX 1 X 2X n =0,1=(-1,1,0, ,0)T ,2 =(一1,0,1, ,0)T ,,n 」=(-1,0,0,…，1)T ,n(n 1)= (12 ,n)T ，"-2% +x 2 = 0,-3% + x 3 = 0, -n X i x n =0,由此得基础解系为= (1,2, ,n)T ,于是方程组的通解为x = k ，其中k 为任意常数_n葺卫故行列式A=(a 咛ba n 」(21)(本题满分9分)丸一1-2 3丸—2 _ (丸 _ 2) 0 矩-A=1 丸—4 3—1 、、一43-1-a丸—5-1-a丸—53 =(&-2)(&2 -8& +18+3a).■1 2-1+a 212 +a 1 ■■亠1 12 ■1 2 12 1 ■■亠11 2 A = ---… --- … …=aE + -- --- … … ---n n n … n +a_1 1nnn …nn(n 1)征值为0, 02的特征值为a,a,,a设矩阵A似对角化•【分析】_1 先求出 -3〕-3的特征方程有一个二重根，求5的特征值, a 的值, 并讨论A 是否可相A 定A 是否可相似对角化即可【详解】 A 的特征多项式为再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确1=(人-2) 1-1-1 -4 -a【评注】矩阵A 的行列式A 也可这样计算:1 11，矩阵当怎=2是特征方程的二重根，则有22 _16 18 3^0,解得a= -2.■1当a= -2时，A 的特征值为2,2,6,矩阵2E-A= 1的线性无关的特征向量有两个，从而A 可相似对角化■2 -8,；“ -.-18 - 3a 为完全平方，从而 18+3a=16, 解得a-2n - r （打E - A ） = k j .而单根一定只有一个线性无关的特征向量.（22）（本题满分9分）1 1 1设 A,B 为随机事件，且 p （A ） =*,P （B A ） =§,P （AB ） =?，令1, A 发生， 4 B 发生， X =』Y =』0, A 不发生0, B 不发生.求：（I ）二维随机变量（X,Y 的概率分布；（II ） X 和Y 的相关系数:\Y -【分析】 先确定（X,丫的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随 机事件的运算性质得到，即得二维随机变量（X,丫的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘 概率分布，进而可计算出相关系数•a 时，A 的特征值为2，4,34，矩阵 4E-A=-1-1应的线性无关的特征向量只有一个，从而A 不可相似对角化【评注】n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是：对于秩为2，故冬=4对的任意k i 重特征根■ i ，恒有 -2 3-2 3 的秩为1，故k = 2对应 2— 3若，=2不是特征方程的二重根，则当怎=2是特征方程的二重根，则有22 _16 18 3^0,解得a= -2.1【详解】(I) 由于P(AB) = P(A)P(BA)=丄，12所以,P(B)=P{X =1,Y =1}P(AB) =1P(A|B) 6=P(AB)112- 1P{X =1,Y =0} =P(AB)二 P(A) -P(AB)= 6- 1P{X =0,Y =1} =P(AB) =P(B) _P(AB) ,P{X =0,Y =0} =P(AB) =1 - P(A B)=1 _P(A) _P(B) P(AB)故(X,Y)的概率分布为(II) X, Y的概率分布分别为Cov(X,Y)二 E(XY)-EX EY 二土，从而c _ Cov(X,Y) _J 15 XY = DX 、DY =石.【评注】 本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强 •通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件， 可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意•(23)(本题满分9分) 设总体X 的分布函数为1F(x, P )才I其中未知参数1・1,X 1,X 2，…，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，求:(I) :的矩估计量； (II):的最大似然估计量X0 1Y315 P——P一4 4611 2 3 51二—，— ?DX =—， DY=—— E(XY)—, 4 6 16 3612 则EX 11 6(或 P{X =0,Y =0} =11 12【分析】 先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方 法进行讨论即可【详解】X 的概率密度为[Pf(x 「)= 7-0,由于EX 二 "xf (x; '■ )dx3 二?=X -1故1的最大似然估计量为?n_n、ln X i【评注】 本题是基础题型，难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特别注意计算x 1, x <1.-1X-1，所以参数' 的矩估计量为(II ) 似然函数为f (X i ；')=i 吕->x i1(i=1,2, ,n),(X 1X 2…$0,其他当X j 1(i =12 , n)时，L( J 0，取对数得nIn L( ■) = nln 一： -「： 1p In X j ，i#两边对1求导，得令dInL( ) = 0 ,可得 dP二 In x ii =1X ii 经的准确性.。
2004考研数一真题及解析
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-L ydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===03002sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,, (D)αγβ,, (8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得(A)()f x 在(0,)δ内单调增加 (B)()f x 在)0,(δ-内单调减少 (C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >(9)设∑∞=1n n a 为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim =0,则级数∑∞=1n n a 收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim ,则级数∑∞=1n n a 发散(C)若级数∑∞=1n n a 收敛,则0lim 2=∞→n n a n (D)若级数∑∞=1n n a 发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=t ty dx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于 (A)2(2)f (B)(2)f (C)(2)f - (D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010 (C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu (B)21α-u(C)21α-u (D) α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n Λ独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ= (B)21Cov(,)X Y σ=(C)212)(σnn Y X D +=+ (D)211)(σnn Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分12分) 设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()e b a b a ->-.(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).k问从着陆点=10⨯0.66算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg表示千克,km/h表示千米/小时)(17)(本题满分12分)计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程10nx nx+-=,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x,并证明当1α>时,级数1nn xα∞=∑收敛.(19)(本题满分12分)设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,nnna x x xx a x xnnx nx n a x++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩LLL L L L L LL试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.(22)(本题满分9分)设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XY ρ(23)(本题满分9分) 设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121Λ>β为来自总体X 的简单随机样本,求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量2004年数学一试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。
(整理)2004考研数学二试题详细解析-4.
2004年数学四试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =1，b =4-.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为5)(cos sin lim0=--→b x a e xx x ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以 0)(lim 0=-→a e x x ，得a = 1. 极限化为51)(cos lim )(cos sin lim00=-=-=--→→b b x x xb x a e x x x x ，得b = -4.因此，a = 1，b = -4. 【评注】一般地，已知)()(limx g x f ＝ A ， (1) 若g (x ) → 0，则f (x ) → 0；(2) 若f (x ) → 0，且A ≠ 0，则g (x ) → 0.完全类似的例题见《数学复习指南》P36例1.60，P43第1(3)题，P44第2(10)题、 第6题，《数学题型集粹与练习题集》P19例1.34，《数学四临考演习》P79第7题， 《考研数学大串讲》P12例17、19.(2) 设1ln arctan 22+-=x xxe e e y ，则1121+-==e e dx dy x .【分析】本题为基础题型，先求导函数即可.【详解】因为)1ln(21arctan 2++-=xxe x e y ，111222++-+='x x xx e e e e y ， 所以，1121+-==e e dx dy x . 【评注】 本题属基本题型，主要考查复合函数求导.类似例题在一般教科书上均可找到.(3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则21)1(221-=-⎰dx x f .【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可. 【详解】令x - 1 = t ， ⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dt x f dt t f dx x f＝21)21(0)1(12121212-=-+=-+⎰⎰-dx dx xe x .【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.完全类似的例题见《数学复习指南》P96例4.17，《数学四临考演习》P61第2题， P68第15题，《考研数学大串讲》P41例14.（4） 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100001010A ，AP P B 1-=，其中P 为三阶可逆矩阵, 则 =-220042A B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100030003 ．【分析】 将B 的幂次转化为A 的幂次, 并注意到2A 为对角矩阵即得答案. 【详解】因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1000100012A , P A PB 200412004-=.故E EP P P A P B===--11002212004)(,=-220042A B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100030003.【评注】本题是对矩阵高次幂运算的考查．完全类似的例题可见《数学复习指南》P.291例2.13. (5) 设()33⨯=ija A 是实正交矩阵，且111=a ，Tb )0,0,1(=，则线性方程组b Ax =的解是T)0,0,1(．【分析】利用正交矩阵的性质即可得结果. 【详解】因为 b A x 1-=, 而且()33⨯=ij a A 是实正交矩阵, 于是 1-=A A T , A 的每一个行(列)向量均为单位向量, 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===-0011312111a a a b A b A x T.【评注】本题主要考查正交矩阵的性质和矩阵的运算．类似的例题可见《考研数学大串讲》(2002版, 世界图书出版公司) P.174例33.(6) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X Pe1. 【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案. 【详解】 由于21λDX =, X 的分布函数为 ⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ 故=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e1=.【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ A ]【分析】如f (x )在(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在(a , b )内有界.【详解】当x ≠ 0 , 1 , 2时，f (x )连续，而183sin )(lim1-=+-→x f x ，42sin )(lim 0-=-→x f x ，42sin )(lim 0=+→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ， 所以，函数f (x )在(-1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )在闭区间[a , b ]上有界； 如函数f (x )在开区间(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在开区间(a , b )内有界.完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》P4例1.10，《数学四临考演习》P51 第15题.(8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ D ]【分析】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元xu 1=， 可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→.【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 0u f x f x g u x x ∞→→→=== a (令xu 1=)，又g (0) = 0，所以，当a = 0时，)0()(lim 0g x g x =→，即g (x )在点x = 0处连续，当a ≠ 0时，)0()(lim 0g x g x ≠→，即x = 0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. 完全类似的例题见《数学复习指南》P41例1.70，《数学题型集粹与练习题集》P20例1.35. (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ C ] 【分析】由于f (x )在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x )在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 < δ < 1，当x ∈ (-δ , 0) ⋃ (0 , δ)时，f (x ) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x )的极小值点. 显然，x = 0是f (x )的不可导点. 当x ∈ (-δ , 0)时，f (x ) = -x (1 - x )，02)(>=''x f ，当x ∈ (0 , δ)时，f (x ) = x (1 - x )，02)(<-=''x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x )在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. 完全类似的例题见《数学复习指南》P141例6.9，《考研数学大串讲》P96例5.(10) 设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(，则(A) F (x )在x = 0点不连续.(B) F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导. (C) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，且满足)()(x f x F ='.(D) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，但不一定满足)()(x f x F ='.[ B ]【分析】先求分段函数f (x )的变限积分⎰=xdt t f x F 0)()(，再讨论函数F (x )的连续性与可导性即可.【详解】当x < 0时，x dt x F x-=-=⎰0)1()(；当x > 0时，x dt x F x==⎰01)(，当x = 0时，F (0) = 0. 即F (x ) = |x |，显然，F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导. 故选(B).【评注】本题主要考查求分段函数的变限积分. 对于绝对值函数：||0x x -在0x x =处 不可导；f (x ) =||0x x x n -在0x x =处有n 阶导数，则||)!1()(0)(x x n x f n -+=. 完全类似的例题见《数学复习指南》P95例4.15，《考研数学大串讲》P42例15. (11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ；另外，0)()(lim)(>--='+→ax a f x f a f a x ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得0)()(00>--ax a f x f ，即)()(0a f x f >. 同理，至少存在一点),(0b a x ∈使得)()(0b f x f >. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度. 完全类似的例题见《数学复习指南》P130例5.8，《数学题型集粹与练习题集》P70例5.4. (12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必须(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||. (C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ D ] 【分析】 利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r =立即可得.【详解】因为当0||=A 时, n A r <)(, 又A 与B 等价, 故n B r <)(, 即0||=B , 从而选 (D).【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.相关知识要点见《数学复习指南》P.284-286.(13) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{, 若αx X P =<}|{|, 则x 等于(A) 2αu . (B) 21αu - . (C) 21αu-. (D) αu -1. [ B ]【分析】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得. 【详解】 由αx X P =<}|{|, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得21}{αx X P -=>. 故正确答案为(B).【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查. 见《数学复习指南》P.489分位数概念的注释.(14) 设随机变量n X X X ,,,21 )1(>n 独立同分布，且方差02>σ．令随机变量∑==ni i X n Y 11， 则(A) 212)(σn n Y X D +=+． (B) 212)(σnn Y X D +=-． (C) nσY X Cov 21),(=． (D) 21),(σY X Cov =． [ C ]【分析】 利用协方差的性质立即得正确答案..【详解】 由于随机变量n X X X ,,,21 )1(>n 独立同分布, 于是可得),(1)1,(),(11111∑∑====ni i n i i X X Cov n X n X Cov Y X Cov),(1),(11111X X Cov nX X Cov n n i i ==∑=211)(1σnX D n ==. 故正确答案为(C).【评注】本题是对协方差性质的考查, 属于基本题.相关知识点见《数学复习指南》P.454, 类似的例题可见《2004文登模拟试题》数三的第一套第23题.三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. 【分析】先通分化为“”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可. 【详解】xx xx x x x x x x 2222202220sin cos sin lim )cos sin 1(lim -=-→→ =30422044sin 212lim 2sin 41lim xxx x x x x x -=-→→. 346)4(21lim 64cos 1lim 22020==-=→→x x x x x x . 【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“0”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算.完全类似的例题见《数学复习指南》P28例1.45. (16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的 平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D 分为大圆}4|),{(221≤+=y x y x D 减去小圆}1)1(|),{(222≤++=y x y x D ，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令}1)1(|),{(},4|),{(222221≤++=≤+=y x y x D y x y x D ，由对称性，0=⎰⎰Dyd σ.⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21222222D D Dd y x d y x d y x σσσ⎰⎰⎰⎰--=θπππθθcos 20223220220dr r d dr r d .)23(916932316-=-=ππ所以，)23(916)(22-=++⎰⎰πσDd y y x . 【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算.完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》P101例8.12(1)，《数学四临考演习》P16 第17题，《考研数学大串讲》P79例2. (17) (本题满分8分)设f (u , v )具有连续偏导数，且满足uv v u f v u f v u='+'),(),(. 求),()(2x x f e x y x -=所满足的一阶微分方程，并求其通解.【分析】先求y '，利用已知关系uv v u f v u f v u='+'),(),(，可得到关于y 的一阶微分方程. 【详解】x v x ux x e x y x x f e x x f e x x f e y 222222),(),(),(2----+-='+'+-='， 因此，所求的一阶微分方程为x e x y y 222-=+'.解得 x dxx dx e C x C dx e e x e y 232222)31()(---+=+⎰⎰=⎰(C 为任意常数).【评注】 本题综合了复合函数求偏导数与微分方程，但是，求偏导数与解微分方程都是 基本题型. 完全类似的例题见《数学复习指南》P243例11.11，《数学题型集粹与练习题集》P95例7.13、 例7.14，《数学四临考演习》P3第16题，《考研数学大串讲》P76例14. (18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时， 降低价格反而使收益增加. 【分析】由于d E > 0，所以dP dQ Q P E d =；由Q = PQ 及dPdQQ P E d =可推导 )1(d E Q dPdR-=. 【详解】(I) PPdP dQ Q P E d -==20. (II) 由R = PQ ，得)1()1(d E Q dPdQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=. 又由120=-=PPE d ，得P = 10.当10 < P < 20时，d E > 1，于是0<dPdR，故当10 < P < 20时，降低价格反而使收益增加.【评注】当d E > 0时，需求量对价格的弹性公式为dPdQQ P dP dQ Q P E d -==. 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：Qdp E dR d )1(-=，Q E dpdRd )1(-=，p E dQ dR d )11(-=， d E EpER-=1(收益对价格的弹性). 这些公式在文登学校辅导材料系列之五《数学应用专题(经济类)》有详细的总结. 完全类似的例题见《数学复习指南》P255例12.4，《数学应用专题(经济类)》P2. (19) (本题满分9分)设⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-0,0,)(22x ex e x F x x ，S 表示夹在x 轴与曲线y = F (x )之间的面积. 对任何t > 0，)(1t S 表示矩形-t ≤ x ≤ t ，0 ≤ y ≤ F (t )的面积. 求(I) S (t ) = S -)(1t S 的表达式；(II) S (t )的最小值.【分析】曲线y = F (x )关于y 轴对称，x 轴与曲线y = F (x )围成一无界区域，所以， 面积S 可用广义积分表示. 【详解】(I) 120202=-==+∞-∞+-⎰xxe dx e S ，t te t S 212)(-=，因此t te t S 221)(--=，t ∈ (0 , +∞). (II) 由于t e t t S 2)21(2)(---='，故S (t )的唯一驻点为21=t ， 又t e t t S 2)1(8)(--=''，04)21(>=''eS ，所以，eS 11)21(-=为极小值，它也是最小值.【评注】本题综合了面积问题与极值问题，但这两问题本身并不难，属于基本题型.完全类似的例题见《数学复习指南》P143例6.13，《数学题型集粹与练习题集》P80例6.11.(20) (本题满分13分)设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++=+++,14)4()2(3,022,0432143214321x x μx λx x x x x x x μx λx 已知T)1,1,1,1(--是该方程组的一个解，试求(Ⅰ) 方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； (Ⅱ) 该方程组满足32x x =的全部解．【分析】 含未知参数的线性方程组的求解, 当系数矩阵为非方阵时一般用初等行变换法化增广矩阵为阶梯形, 然后对参数进行讨论. 由于本题已知了方程组的一个解, 于是可先由它来(部分)确定未知参数.【详解】 将T)1,1,1,1(--代入方程组，得μλ=．对方程组的增广矩阵A 施以初等行变换, 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=1212)12(2001131012011422302112011λλλλλλλλλλA ，(Ⅰ) 当21≠λ时，有 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→2121100212101001001A ， 43)()(<==A r A r ，故方程组有无穷多解，且T ξ)0,21,21,0(0-=为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为 Tη)2,1,1,2(--=，故方程组的全部解为T Tk ηk ξξ)2,1,1,2()0,21,21,0(0--+-=+= (k 为任意常数)．当21=λ时，有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000113102121101A ， 42)()(<==A r A r ，故方程组有无穷多解，且T ξ)0,0,1,21(0-=为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为 Tη)0,1,3,1(1-=，Tη)2,0,2,1(2--=,故方程组的全部解为T T T k k ηk ηk ξξ)2,0,2,1()0,1,3,1()0,0,1,21(2122110--+-+-=++=(21,k k 为任意常数)．(Ⅱ) 当21≠λ时，由于32x x =，即 k k -=+-2121，解得 21=k ， 故方程组的解为T T T ξ)1,0,0,1()2,1,1,2(21)0,21,21,1(-=--+-= ．当21=λ时， 由于32x x =，即121231k k k =--， 解得 212141k k -=，故方程组的全部解为 T T T k k ξ)2,0,2,1()0,1,3,1)(2141()0,0,1,21(22--+--+-=T T k )2,21,21,23()0,41,41,41(2---+-=， (2k 为任意常数)．【评注】：(1) 含未知参数的线性方程组的求解是历年考试的重点, 几乎年年考, 务必很好掌握.完全类似的例题可见《数学复习指南》P.341例4.9, 《考研数学大串讲》(2002版, 世界图书出版公司)P.161例10, 以及文登数学辅导班上讲授的例子.(2) 对于题(Ⅱ), 实际上就是在原来方程组中增加一个方程, 此时新的方程组当21≠λ时有惟一解, 当21=λ时有无穷多解. (3) 在题(Ⅱ)中，当21=λ时，解得12221k k -=，方程组的全部解也可以表示为T T k ξ)4,1,1,3()1,0,0,1(1-+-=， (1k 为任意常数)．(21) (本题满分13分)设三阶实对称矩阵A 的秩为2，621==λλ是A 的二重特征值．若T α)0,1,1(1=, T α)1,1,2(2=, T α)3,2,1(3--=, 都是A 的属于特征值6的特征向量．(Ⅰ) 求A 的另一特征值和对应的特征向量；(Ⅱ) 求矩阵A ． 【分析】 由矩阵A 的秩为2, 立即可得A 的另一特征值为0. 再由实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量正交可得相应的特征向量, 此时矩阵A 也立即可得.【详解】 (Ⅰ) 因为621==λλ是A 的二重特征值，故A 的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个．由题设知T α)0,1,1(1=，Tα)1,1,2(2=为A 的属于特征值6的线性无关特征向量．又A 的秩为2，于是0||=A ，所以A 的另一特征值03=λ．设03=λ所对应的特征向量为Tx x x α),,(321=，则有 01=ααT，02=ααT，即⎩⎨⎧=++=+,02,032121x x x x x 得基础解系为Tα)1,1,1(-=，故A 的属于特征值03=λ全部特征向量为T k αk )1,1,1(-= (k 为任意不为零的常数)．(Ⅱ) 令矩阵),,(21αααP =，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0661AP P ，所以1066-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P P A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3131313231311100661******** ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=422242224． 【评注】 这是一个有关特征值和特征向量的逆问题, 即已知矩阵的部分特征值和特征向量,要求另一部分特征值, 特征向量和矩阵. 这在历年考研题中还是首次出现．但几乎原题可见《数学复习指南》P.362例5.8, 《考研数学大串讲》(2002版, 世界图书出版公司)P.186例15和例16, 以及文登数学辅导班上讲授的例子. (22) (本题满分13分)设A ,B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布.【分析】本题的关键是求出),(Y X 的概率分布，于是只要将二维随机变量),(Y X 的各取值对转化为随机事件A 和B 表示即可．【详解】 (Ⅰ) 因为 121)|()()(==A B P A P AB P ， 于是 61)|()()(==B A P AB P B P ， 则有 121)(}1,1{====AB P Y X P ， 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ， 121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P ， 32)]()()([1)(1)(}0,0{=-+-=⋃-=⋅===AB P B P A P B A P B A P Y X P ， ( 或 32121611211}0,0{=---===Y X P )， 即),(Y X 的概率分布为：(Ⅱ) 方法一：因为 41)(==A P EX ，61)(==B P EY ，121)(=XY E ， 41)(2==A P EX ，61)(2==B P EY ，163)(22=-=EX EX DX ，165)(22=-=EY EY DY ，241)(),(=-=EXEY XY E Y X Cov ，所以X 与Y 的相关系数 1515151),(==⋅=DYDX Y X Cov ρXY ． 方法二： X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1P 43 41 P 65 61 则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365, E(XY)=121,故 241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而.1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY ρ (Ⅲ) Z 的可能取值为：0，1，2 ．32}0,0{}0{=====Y X P Z P ， 41}1,0{}0,1{}1{===+====Y X P Y X P Z P ， 121}1,1{}2{=====Y X P Z P ， 即Z 的概率分布为：【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题，属于综合性题型．原题可见《数学复习指南》P.434例 2.36, 《考研数学大串讲》(2002版, 世界图书出版公司)P.240例3, 以及文登数学辅导班上讲授的例子. (23) (本题满分13分)设随机变量X 在区间)1,0(上服从均匀分布，在)10(<<=x x X 的条件下，随机变量Y 在区间),0(x 上服从均匀分布，求(Ⅰ) 随机变量X 和Y 的联合概率密度；(Ⅱ) Y 的概率密度； (Ⅲ) 概率}1{>+Y X P ．【分析】正确理解已知条件, 即条件密度是求解本题的关键. 【详解】 (Ⅰ) X 的概率密度为 ⎩⎨⎧<<=其他，，，010,1)(x x f X在)10(<<=x x X 的条件下，Y 的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他，，，00,1)|(|x y x x y f X Y当10<<<x y 时，随机变量X 和Y 的联合概率密度为xx y f x f y x f X Y X 1)|()(),(|==在其它点),(y x 处，有0),(=y x f ，即⎪⎩⎪⎨⎧<<<=．x y x y x f 其他，，010,1),((Ⅱ) 当10<<y 时，Y 的概率密度为⎰⎰-===+∞∞-1ln 1),()(y Y y dx xdx y x f y f ； 当0≤y 或1≥y 时，0)(=y f Y ．因此 ⎩⎨⎧<<-=．y y y f Y 其他，，010,ln )((Ⅲ) ⎰⎰⎰⎰->+==>+xx Y X dy xdx dxdy y x f Y X P 112111),(}1{ 2ln 1)12(121-=-=⎰dx x ．【评注】本题考查了二维连续型随机变量的边缘概率密度, 条件概率密度, 联合概率密度的相互关系，以及二维连续型随机变量取值于一个区域的概率的计算，属于综合性题型． 原题可见《考研数学大串讲》(2002版, 世界图书出版公司)P.242例5, 以及文登数学辅导班上讲授的例子.。
数学分析与高等代数考研真题详解--浙江大学卷
校教师，硕博研究生报名参与本丛书的编写工作，他们在工作学习的过程中挤时间，编写审
稿严肃认真，不辞辛苦，这使我们看到了中国数学的推广和科研的进步，离不开这些默默无
闻的广大数学工作者，我们向他们表示最崇高的敬意！
国际数学大师陈省身先生提出：“要把中国建成 21 世纪的数学大国。”每年有上万名数
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博士家园 二零一零年二月
没有编配解答，很多同学感到复习时没有参照标准，所以本丛书挑选了重点名校数学专业的
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请给出反例。 二、（共 30％）
6
博士家园系列内部资料
（A）（5％）设
f (x) =
x x
+ +
2 1
，数列
{xn
}
由如下递推公式定义：
x0
= 1 ， xn+1
=
f (xn ) ，
(n = 0 ，1， 2 ，
)
，求证：
lim
n→∞
x
n
=
2。
（B）（5％）求 lxi→m∞⎜⎜⎝⎛
cos
1 x
⎟⎟⎠⎞ x2
∴(αT Aβ )2 = (α TCTCβ )2 = (Cα ,Cβ )2 ≤ (Cα ,Cα )(Cβ ,Cβ ) = (αTCTCα )(β TCTCβ ) = (α T Aα )(β T Aβ )
2004年数二真题及标准答案及解析
2004年考硕数学（二）真题一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = .（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为____..（3）1+∞=⎰_____..（4）设函数(,)z z x y =由方程232x zz ey -=+确定, 则3z zx y∂∂+=∂∂______. （5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为_______. （6）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A *为A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵, 则B =______-.二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把0x +→时的无穷小量2cos xt dt α=⎰, 2x β=⎰, 30t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα []（8）设()(1)f x x x =-, 则（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.[]（9）lim ln (1)n n→∞+（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰.（C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln(1)x dx +⎰ []（10）设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加. （B ）()f x 在(,0)δ-内单调减小. （C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >.（D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >.[]（11）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为（A ）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. （B ）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. （C ）2sin y ax bx c A x *=+++.（D ）2cos y ax bx c A x *=+++[]（12）设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于（A ）11()dx f xy dy -⎰⎰.（B ）2002()dy f xy dx ⎰⎰.（C ）2sin 200(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰.（D ）2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰[]（13）设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （B ）010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.[]（14）设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.[]三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（16）（本题满分10分）设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导. （17）（本题满分11分） 设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数;(Ⅱ)求()f x 的值域.（18）（本题满分12分）曲线2x x e e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim()t S t F t →+∞.（19）（本题满分12分）设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e ->-. （20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 kg 表示千克,/km h 表示千米/小时. （21）（本题满分10分）设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z z x y x y∂∂∂∂∂∂∂. （22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩ 试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A 是否可相似对角化.2004年考硕数学（二）真题评注一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = 0 .【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x ,先用求极限的方法得出()f x 的表达式, 再讨论()f x 的间断点.【详解】显然当0x =时,()0f x =;当0x ≠时, 2221(1(1)1()lim lim 11n n xn x x n f x nx x x x n →∞→∞--====++, 所以 ()f x 0,01,0x x x=⎧⎪=⎨≠⎪⎩,因为 001lim ()lim(0)x x f x f x→→==∞≠ 故 0x =为()f x 的间断点.（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为1-∞∞（，）（或（-，1]）.【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩定义的 223()()()()(())d y y t x t x t y t dx x t ''''''-=' 求出二阶导数,再由 220d ydx< 确定x 的取值范围. 【详解】 22222331213311dydy t t dt dx dx t t t dt--====-+++,222223214113(1)3(1)d y d dy dt tdt dx dx dx t t t '⎛⎫⎛⎫==-⋅= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭, 令220d ydx < ⇒ 0t <.又 331x t t =++ 单调增, 在 0t <时, (,1)x ∈-∞.(0t =时，1x =⇒x ∈(,1]-∞时，曲线凸.)【评注】本题属新题型.已考过的题型有求参数方程所确定的函数的二阶导数, 如1989、1991、1994、2003数二考题，也考过函数的凹凸性.（3）1+∞=⎰2π.【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值. 【详解1】22100sec tan sec tan 2t t dt dt t t πππ+∞⋅==⋅⎰⎰⎰.【详解2】11201101)arcsin 2dt tt π+∞-===⎰⎰⎰.【评注】本题为混合广义积分的基本计算题,主要考查广义积分(或定积分)的换元积分法. （4）设函数(,)z z x y =由方程232x zz ey -=+确定, 则3z z x y∂∂+=∂∂2.【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解. 【详解1】在 232x zz e y -=+ 的两边分别对x ,y 求偏导,z 为,x y 的函数.23(23)x z z z e x x-∂∂=-∂∂,23(3)2x z z ze y y-∂∂=-+∂∂, 从而 2323213x zx zz e x e --∂=∂+,23213x z z y e-∂=∂+ 所以 2323132213x zx zz z e x y e--∂∂++=⋅=∂∂+ 【详解2】令 23(,,)20x zF x y z e y z -=+-=则232x z F e x -∂=⋅∂, 2F y ∂=∂, 23(3)1x z Fe z-∂=--∂2323232322(13)13x z x zx z x z Fz e e x F x e ez----∂∂⋅∂∴=-=-=∂∂-++∂, 232322(13)13x z x z F z y F y e ez--∂∂∂=-=-=∂∂-++∂, 从而 232323313221313x z x zx z z z e x y ee ---⎛⎫∂∂+=+= ⎪∂∂++⎝⎭【详解3】利用全微分公式,得23(23)2x z dz e dx dz dy -=-+2323223x zx z e dx dy e dz --=+-2323(13)22x zx z edz e dx dy --+=+232323221313x z x z x ze dz dx dy e e ---∴=+++ 即 2323213x z x z z e x e--∂=∂+, 23213x z z y e -∂=∂+ 从而 32z zx y∂∂+=∂∂ 【评注】此题属于典型的隐函数求偏导.（5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为315y x =.【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.【详解1】原方程变形为 21122dy y x dx x -=, 先求齐次方程102dy y dx x-= 的通解:12dy dx y x= 积分得 1ln ln ln 2y x c =+y ⇒=设(y c x =,代入方程得211(((22c x c x c x x x '= 从而 321()2c x x '=,积分得 352211()25c x x dx C x C =+=+⎰,于是非齐次方程的通解为53211()55y x C x =+=1615x yC ==⇒=,故所求通解为 315y x =.【详解2】原方程变形为 21122dy y x dx x -=,由一阶线性方程通解公式得1122212dx dx x x y e x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰11ln ln 22212x x ex edx C -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰35221125x dx C x C ⎤⎤=+=+⎥⎢⎥⎦⎦⎰6(1)15y C =⇒=,从而所求的解为 315y x =.【评注】此题为求解一阶线性方程的常规题.（6）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A *为A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵, 则B =19.【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值.【详解1】 2ABA BA E **=+ 2A B A B A E **⇔-=,(2)A E BA E *⇔-=,21A E B A E *∴-==, 221111010(1)(1)392100001B A E AA *====-⋅---. 【详解2】由1A A A *-=,得 11122ABA BA E AB A A B A A AA **---=+⇒=+2A AB A B A ⇒=+ (2)A A E B A ⇒-= 32AA EB A⇒-= 21192B A A E∴==- 【评注】此题是由矩阵方程及矩阵的运算法则求行列式值的一般题型,考点是伴随矩阵的性质和矩阵乘积的行列式.二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把0x +→时的无穷小量2cos xt dt α=⎰,2x β=⎰, 30t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα[]B【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.【详解】302000lim limcos x x x t dtt dtγα++→→=⎰⎰3lim x +→=320lim lim 02x x x x++→→===, 即 o ()γα=.又2000tan lim lim x x x βγ++→→=23002tan 22lim lim 01sin 2x x x x x x x ++→→⋅===, 即 o ()βγ=.从而按要求排列的顺序为αγβ、、, 故选（B ）.【评注】此题为比较由变限积分定义的无穷小阶的常规题. （8）设()(1)f x x x =-, 则（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.[]C【分析】求分段函数的极值点与拐点， 按要求只需讨论0x =两方()f x ', ()f x ''的符号.【详解】 ()f x =(1),10(1),01x x x x x x ---<≤⎧⎨-<<⎩,()f x '=12,1012,01x x x x -+-<<⎧⎨-<<⎩,()f x ''=2,102,01x x -<<⎧⎨-<<⎩,从而10x -<<时, ()f x 凹, 10x >>时, ()f x 凸, 于是(0,0)为拐点.又(0)0f =, 01x ≠、时, ()0f x >, 从而0x =为极小值点.所以, 0x =是极值点, (0,0)是曲线()y f x =的拐点, 故选（C ）.【评注】此题是判定分段函数的极值点与拐点的常规题目 （9）lim ln (1)n n→∞+（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰.（C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln (1)x dx +⎰ []B【分析】将原极限变型，使其对应一函数在一区间上的积分和式.作变换后,从四个选项中选出正确的. 【详解】 22lim (1)n n→∞+212lim ln (1)(1)(1)nn nn nn →∞⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦212limln(1)ln(1)(1)n n n n n n →∞⎡⎤=++++++⎢⎥⎣⎦11lim 2ln(1)nn i i n n →∞==+∑ 102ln(1)x dx =+⎰2112ln x t tdt +=⎰212ln xdx =⎰故选（B ）.【评注】此题是将无穷和式的极限化为定积分的题型，值得注意的是化为定积分后还必须作一变换,才能化为四选项之一.（10）设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加. （B ）()f x 在(,0)δ-内单调减小. （C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >.（D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >.[]C【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数()f x 在0x =附近的局部性质. 【详解】由导数的定义知 0()(0)(0)lim00x f x f f x →-'=>-,由极限的性质, 0δ∃>, 使x δ<时, 有()(0)0f x f x->即0x δ>>时, ()(0)f x f >， 0x δ-<<时, ()(0)f x f <, 故选（C ）.【评注】此题是利用导数的定义和极限的性质讨论抽象函数在某一点附近的性质.（11）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为（A ）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. （B ）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. （C ）2sin y ax bx c A x *=+++.（D ）2cos y ax bx c A x *=+++[]A【分析】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式. 【详解】对应齐次方程 0y y ''+= 的特征方程为 210λ+=, 特征根为 i λ=±,对 2021(1)y y x e x ''+=+=+ 而言, 因0不是特征根, 从而其特解形式可设为21y ax bx c *=++对 sin ()ixm y y x I e ''+==, 因i 为特征根, 从而其特解形式可设为2(sin cos )y x A x B x *=+从而 21sin y y x x ''+=++ 的特解形式可设为xy2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++【评注】这是一道求二阶常系数线性非齐次方程特解的典型题，此题的考点是二阶常系数线性方程解的结构及非齐次方程特解的形式.（12）设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于（A）11()dx f xy dy -⎰⎰. （B ）2002()dy f xy dx ⎰⎰.（C ）2sin 200(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰.（D ）2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰[]D【分析】将二重积分化为累次积分的方法是:先画出积分区域的示意图,再选择直角坐标系和极坐标系,并在两种坐标系下化为累次积分.【详解】积分区域见图. 在直角坐标系下,20()()Df xy dxdy dy f xy dx =⎰⎰⎰⎰1111()dx f xy dy -=⎰⎰故应排除（A ）、（B ）. 在极坐标系下, cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ ,2sin 20()(sin cos )Df xy dxdy d f r rdr πθθθθ=⎰⎰⎰⎰,故应选（D ）.【评注】此题是将二重积分化为累次积分的常规题,关键在于确定累次积分的积分限.（13）设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （B ）010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.[]D【分析】根据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系，对题中给出的行（列）变换通过左(右)乘一相应的初等矩阵来实现.【详解】由题意 010100001B A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 100011001C B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,010100100011001001C A ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪∴= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭011100001A AQ ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,从而 011100001Q ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,故选（D ）.【评注】此题的考点是初等变换与初等矩阵的关系,抽象矩阵的行列初等变换可通过左、右乘相应的初等矩阵来实现.（14）设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.[]A【分析】将A 写成行矩阵, 可讨论A 列向量组的线性相关性.将B 写成列矩阵, 可讨论B 行向量组的线性相关性.【详解】设 (),i j l m A a ⨯=()i j m n B b ⨯=, 记 ()12m A A A A =0AB = ⇒()11121212221212n n m m m mn b b b b b b A A A bb b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭()1111110m m n mn m b A b A b A b A =++++= （1）由于0B ≠, 所以至少有一 0i j b ≠(1,1i m j n ≤≤≤≤), 从而由（1）知, 112210j j i j i m m b A b A b A b A +++++=,于是 12,,,m A A A 线性相关.又记 12m B B B B ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则0AB = ⇒11121121222212m m l l l m m a a a B a a a B a a a B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111221211222211220m m m m l l l m m a B a B a B a B a B a B a B a B a B +++⎛⎫ ⎪+++ ⎪==⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭由于0A ≠,则至少存在一 0i j a ≠(1,1i l j m ≤≤≤≤),使 11220i i i j j im m a B a B a B a B ++++=,从而 12,,,m B B B 线性相关,故应选（A ）.【评注】此题的考点是分块矩阵和向量组的线性相关性，此题也可以利用齐次线性方程组的理论求解. 三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【分析】此极限属于型未定式.可利用罗必塔法则,并结合无穷小代换求解. 【详解1】 原式2cos ln 331limx x x ex+⎛⎫ ⎪⎝⎭→-=202cos ln 3lim x x x→+⎛⎫ ⎪⎝⎭=20ln 2cos ln 3lim x x x→+-=（） 01sin 2cos lim 2x x x x →⋅-+=（）011sin 1lim 22cos 6x x x x →=-⋅=-+【详解2】 原式2cos ln 331limx x x ex+⎛⎫⎪⎝⎭→-=202cos ln 3lim x x x→+⎛⎫ ⎪⎝⎭=20cos 1ln 3lim x x x→-+=（1） 20cos 11lim 36x x x →-==-【评注】此题为求未定式极限的常见题型.在求极限时,要注意将罗必塔法则和无穷小代换结合,以简化运算.（16）（本题满分10分）设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.【分析】分段函数在分段点的可导性只能用导数定义讨论. 【详解】(Ⅰ)当20x -≤<,即022x ≤+<时,()(2)f x k f x =+2(2)[(2)4](2)(4)k x x kx x x =++-=++.(Ⅱ)由题设知 (0)0f =.200()(0)(4)(0)lim lim 40x x f x f x x f x x+++→→--'===-- 00()(0)(2)(4)(0)lim lim 80x x f x f kx x x f k x x---→→-++'===-. 令(0)(0)f f -+''=, 得12k =-. 即当12k =-时, ()f x 在0x =处可导. 【评注】此题的考点是用定义讨论分段函数的可导性. （17）（本题满分11分） 设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数; (Ⅱ)求()f x 的值域.【分析】利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性,利用求函数最值的方法讨论函数的值域. 【详解】 (Ⅰ) 32()sin x x f x t dt πππ+++=⎰,设t u π=+, 则有22()sin()sin ()x x xxf x u du u du f x ππππ+++=+==⎰⎰,故()f x 是以π为周期的周期函数.(Ⅱ)因为sin x 在(,)-∞+∞上连续且周期为π, 故只需在[0,]π上讨论其值域. 因为 ()sin(sin cos sin 2f x x x x x π'=+-=-,令()0f x '=, 得14x π=, 234x π=, 且344()s i n 24f t d t πππ==⎰554433443()sin sin sin 24f t dt t dt t dt πππππππ==-=-⎰⎰⎰又 20(0)sin 1f t dt π==⎰, 32()(sin )1f t dt πππ=-=⎰,∴()f x的最小值是2, 故()f x的值域是[2.【评注】此题的讨论分两部分:(1)证明定积分等式,常用的方法是变量代换.(2)求变上限积分的最值, 其方法与一般函数的最值相同.（18）（本题满分12分）曲线2x x e e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim()t S t F t →+∞.【分析】用定积分表示旋转体的体积和侧面积，二者及截面积都是t 的函数,然后计算它们之间的关系. 【详解】 (Ⅰ)0()2tS t π=⎰022x x te e π-⎛+= ⎝⎰ 2022x x te e dx π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰, 2200()2x x tte e V t y dx dx ππ-⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎰⎰, ()2()S t V t ∴=. (Ⅱ)22()2t t x te e F t yππ-=⎛⎫+== ⎪⎝⎭,20222()limlim ()2xxtt t t t e e dx S t F t e e ππ-→+∞→+∞-⎛⎫+⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰222lim222t t tt t t t e e e e e e ---→+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭lim 1t tttt e e e e --→+∞+==- 【评注】在 t 固定时,此题属于利用定积分表示旋转体的体积和侧面积的题型,考点是定积分几何应用的公式和罗必塔求与变限积分有关的极限问题.（19）（本题满分12分）设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e ->-. 【分析】文字不等式可以借助于函数不等式的证明方法来证明,常用函数不等式的证明方法主要有单调性、极值和最值法等.【详证1】设224()ln x x x e ϕ=-, 则 2ln 4()2x x x e ϕ'=-21l n ()2xx xϕ-''=,所以当x e >时, ()0x ϕ''<, 故()x ϕ'单调减小, 从而当2e x e <<时,22244()()0x e e e ϕϕ''>=-=, 即当2e x e <<时, ()x ϕ单调增加.因此, 当2e a b e <<<时, ()()b a ϕϕ>, 即 222244ln ln b b a a e e ->- 故 2224ln ln ()b a b a e ->-.【详证2】设2224()ln ln ()x x a x a eϕ=---, 则2ln 4()2x x x e ϕ'=-21l n ()2xx xϕ-''=,∴x e >时, ()0x ϕ''<()x ϕ'⇒, 从而当2e x e <<时,22244()()0x e e e ϕϕ''>=-=, 2e x e ⇒<<时, ()x ϕ单调增加.2e a b e ⇒<<<时, ()()0x a ϕϕ>=.令x b =有()0b ϕ>即 2224ln ln ()b a b a e ->-.【详证3】证 对函数2ln x 在[,]a b 上应用拉格朗日定理, 得 222ln ln ln ()b a b a ξξ->-, a b ξ<<.设ln ()t t t ϕ=, 则21ln ()t t tϕ-'=, 当t e >时, ()0t ϕ'<, 所以()t ϕ单调减小, 从而2()()e ϕξϕ>, 即222ln ln 2e e eξξ>=, 故 2224ln ln ()b a b a e->- 【评注】此题是文字不等式的证明题型.由于不能直接利用中值定理证明,所以常用的方法是将文字不等式化为函数不等式,然后借助函数不等式的证明方法加以证明.（20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 kg 表示千克,/km h 表示千米/小时.【分析】本题属物理应用.已知加速度或力求运动方程是质点运动学中一类重要的计算,可利用牛顿第二定律,建立微分方程,再求解.【详解1】由题设,飞机的质量9000m kg =,着陆时的水平速度0700/v km h =.从飞机接触跑道开始记时,设t 时刻飞机的滑行距离为()x t ,速度为()v t .根据牛顿第二定律,得dvm kv dt=-. 又 dv dv dx dvv dt dx dt dx=⋅=,mdx dv k ∴=-,积分得 ()mx t v C k=-+,由于0(0)v v =,(0)0x =, 故得0mC v k=, 从而0()(())mx t v v t k=-.当()0v t →时, 069000700() 1.05()6.010mv x t km k ⨯→==⨯. 所以,飞机滑行的最长距离为1.05km .【详解2】根据牛顿第二定律,得dvm kv dt =-. 所以 dv kdt v m=-,两边积分得 kt mv Ce -=,代入初始条件 00t vv ==, 得0C v =,0()k t mv t v e -∴=,故飞机滑行的最长距离为 0() 1.05()k t mmv mv x v t dt e km kk+∞-+∞==-==⎰.【详解3】根据牛顿第二定律,得22d x dxm k dt dt=-,220d x k dx dt m dt+=,其特征方程为 20kr r m+=, 解得10r =, 2k r m=-， 故 12k t mx C C e-=+，由(0)0x =, 200(0)k t mt t kC dxv ev dtm-====-=，得012mv C C k=-=， 0()(1)k t mmv x t e k-∴=-.当t →+∞时,069000700() 1.05()6.010mv x t km k ⨯→==⨯. 所以,飞机滑行的最长距离为1.05km .【评注】此题的考点是由物理问题建立微分方程,并进一步求解. （21）（本题满分10分）设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂. 【分析】利用复合函数求偏导和混合偏导的方法直接计算. 【详解】122xy zx f ye f x∂''=+∂,122xy zy f xe f y∂''=-+∂, 21112222[(2)]x yx yx y z x f y f x e e f x y e f x y∂''''''=⋅-+⋅++∂∂2122[(2)]x y x yy e f y f x e''''+⋅-+⋅ 222111222242()(1)xy xy xy xyf x y e f xye f e xy f '''''''=-+-++++. 【评注】此题属求抽象复合函数高阶偏导数的常规题型. （22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.【分析】此题为求含参数齐次线性方程组的解.由系数行列式为0确定参数的取值,进而求方程组的非零解.【详解1】对方程组的系数矩阵A 作初等行变换, 有11111111222220033333004444400a a a a a B a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪→= ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭当0a =时, ()14r A =<, 故方程组有非零解, 其同解方程组为 12340x x x x +++=. 由此得基础解系为1(1,1,0,0)Tη=-, 2(1,0,1,0)T η=-, 3(1,0,0,1)T η=-,于是所求方程组的通解为112233x k k k ηηη=++, 其中123,,k k k 为任意常数. 当0a ≠时,111110000210021003010301040014001a a B ++⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭当10a =-时, ()34r A =<, 故方程组也有非零解, 其同解方程组为12131420,30,40,x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩由此得基础解系为(1,2,3,4)Tη=, 所以所求方程组的通解为x k η=, 其中k 为任意常数.【详解2】方程组的系数行列式311112222(10)33334444aa A a a a a +⎛⎫ ⎪+ ⎪==+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭. 当0A =, 即0a =或10a =-时, 方程组有非零解. 当0a =时, 对系数矩阵A 作初等行变换, 有11111111222200003333000044440000A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故方程组的同解方程组为12340x x x x +++=. 其基础解系为1(1,1,0,0)Tη=-, 2(1,0,1,0)T η=-, 3(1,0,0,1)T η=-,于是所求方程组的通解为112233x k k k ηηη=++, 其中123,,k k k 为任意常数. 当10a =-时, 对A 作初等行变换, 有91119111282220100033733001004446400010A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 91110000210021003010301040014001-⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭故方程组的同解方程组为2131412,3,4,x x x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩其基础解系为(1,2,3,4)Tη=,所以所求方程组的通解为x k η=, 其中k 为任意常数【评注】解此题的方法是先根据齐次方程有非零解的条件确定方程组中的参数,再对求得的参数对应的方程组求解.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A 是否可相似对角化.【分析】由矩阵特征根的定义确定a 的值，由线性无关特征向量的个数与E A λ-秩之间的关系确定A 是否可对角化.【详解】A 的特征多项式为1232201431431515a aλλλλλλλ-----=-------11010(2)143(2)13315115aa λλλλλλ-=--=---------2(2)(8183)a λλλ=--++.若2λ=是特征方程的二重根, 则有22161830a -++=, 解得2a =-.当2a =-时, A 的特征值为2, 2, 6, 矩阵1232123123E A -⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪--⎝⎭的秩为1,故2λ=对应的线性无关的特征向量有两个, 从而A 可相似对角化.若2λ=不是特征方程的二重根, 则28183a λλ-++为完全平方, 从而18316a +=, 解得23a =-. 当23a =-时, A 的特征值为2, 4, 4, 矩阵32321032113E A ⎛⎫ ⎪- ⎪-= ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭的秩为2,故4λ=对应的线性无关的特征向量只有一个, 从而A 不可相似对角化.【评注】此题的考点是由特征根及重数的定义确定a 的值, 对a 的取值讨论对应矩阵的特征根及对应E A λ-的秩, 进而由E A λ-的秩与线性无关特征向量的个数关系确定A 是否可相似对角化.。
2004年考研数学试题详解及评分参考
(C) b ,a ,g . (D) b ,g ,a .
【答】 应选 (B).
【解】 由a ¢ = cos x2 , b ¢ = 2x tan x : 2x2, g ¢ = 1 sin( 2x
x )3
:
1 2
x
（
x
®
0+
），可见
lim b = lim b ¢ = 0 ， lim g = lim g ¢ = 0 ，即 b 比g 高阶，g 比 b 高阶. 故选 (B).
证明 ln 2 b - ln 2
a
>
4 e2
(b - a) .
证法１：设j(x)
=
ln2
x-
4 e2
x ，则j¢(x)
=
2
ln x x
-
4 e2
，j¢¢(x)
=
2
1
- ln x2
x
，
……5
分
所以当 x > e 时，j ¢¢(x) < 0, 故j ¢(x) 单调减少，
从而当 e < x < e2 时，j ¢(x) > j ¢(e2 ) =
xdy - 2 ydx - xdy - 2 ydx - xdy - 2 ydx = 3dxdy - 0 - 0 = 3p / 2 .
L+ L1 + L2
L1
L2
D
【解法二】
易见
L
的参数方程为
ïì x
í ïî
y
= =
2 cos t 2 sin t
，
(其中 t 从 0
到p 2
)，代入被积函数，有
p
p
ò ò ò xdy - 2 ydx = 2 (2 cos2 t + 4sin2 t)dt = 2 2 (1+ sin2 t)dt = 3p / 2 .
2004年考研数学一试题与答案解析
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ .(2)已知(e )e x xf x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===302sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,,(D)αγβ,,(8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得 (A)()f x 在(0,)δ内单调增加(B)()f x 在)0,(δ-内单调减少 (C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f >(D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >(9)设∑∞=1n na为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim =0,则级数∑∞=1n na收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim ,则级数∑∞=1n na发散(C)若级数∑∞=1n na收敛,则0lim 2=∞→n n a n(D)若级数∑∞=1n na发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=t tydx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于(A)2(2)f(B)(2)f (C)(2)f -(D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010 (C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu(B)21α-u(C)21α-u(D) α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ=(B)21Cov(,)X Y σ= (C)212)(σnn Y X D +=+(D)211)(σnn Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分)设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()eb a b a ->-. (16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时) (17)(本题满分12分)计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程10n x nx +-=,其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x ,并证明当1α>时,级数1nn x α∞=∑收敛. (19)(本题满分12分)设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,n n n a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化.(22)(本题满分9分)设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令 ;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XY ρ(23)(本题满分9分)设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本,求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量.2004年考研数学试题答案与解析（数学一）一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为1-=x y .【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标.【详解】 由11)(ln =='='xx y ，得x=1, 可见切点为)0,1(，于是所求的切线方程为 )1(10-⋅=-x y ， 即 1-=x y .【评注】 本题也可先设切点为)ln ,(00x x ，曲线y=lnx 过此切点的导数为11=='=x y x x ，得10=x ，由此可知所求切线方程为)1(10-⋅=-x y ， 即 1-=x y . 本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到.（2）已知xx xe e f -=')(，且f(1)=0, 则f(x)=2)(ln 21x . 【分析】 先求出)(x f '的表达式，再积分即可. 【详解】 令t e x=，则t x ln =，于是有t t t f ln )(='， 即 .ln )(x xx f =' 积分得 C x dx x x x f +==⎰2)(ln 21ln )(. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数为f(x)= 2)(ln 21x .【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分. （3）设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为π23 . 【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分. 【详解】 正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，可表示为.20:,sin 2,cos 2πθθθ→⎩⎨⎧==y x于是θθθθθπd ydx xdy L]sin 2sin 22cos 2cos 2[220⋅+⋅=-⎰⎰=.23sin 2202πθθππ=+⎰d 【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.（4）欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dx y d x 的通解为 221x c x c y +=.【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换te x =化为常系数线性齐次微分方程即可.【详解】 令te x =，则dtdyx dt dy e dx dt dt dy dx dy t 1==⋅=-， ][11122222222dt dydty d x dx dt dt y d x dt dy x dx y d -=⋅+-=， 代入原方程，整理得02322=++y dt dy dty d ， 解此方程，得通解为 .221221x c x c e c ec y t t+=+=-- 【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令te x =，则欧拉方程)(222x f cy dx dybx dxy d ax =++， 可化为 ).(][22t e f cy dt dyb dt dy dty d a =++- （5）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100021012A ，矩阵B 满足E BA ABA +=**2，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则=B91. 【分析】 可先用公式E A A A =*进行化简 【详解】 已知等式两边同时右乘A ，得A A BA A ABA +=**2， 而3=A ，于是有A B AB +=63， 即 A B E A =-)63(，再两边取行列式，有363==-A B E A ，而 2763=-E A ，故所求行列式为.91=B 【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵*A ，一般均应先利用公式E A AA A A ==**进行化简.（6）设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则}{DX X P >=e1 . 【分析】 已知连续型随机变量X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可.【详解】 由题设，知21λ=DX ，于是}{DX X P >=dx e X P x ⎰+∞-=>λλλλ1}1{=.11eex=-∞+-λλ 【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===302sin ,tan ,cos 2γβα，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A) γβα,,. (B) βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,. [ B ] 【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可.【详解】 0cos 2tan lim cos tan limlim 22002=⋅==+++→→→⎰⎰x xx dtt dt t x xx x x αβ，可排除(C),(D)选项， 又 xx xx dtt dtt x x xx x tan 221sin lim tan sin lim lim 2300302⋅==+++→→→⎰⎰βγ=∞=+→20lim 41xxx ，可见γ是比β低阶的无穷小量，故应选(B). 【评注】 本题是无穷小量的比较问题，也可先将γβα,,分别与nx 进行比较，再确定相互的高低次序.（8）设函数f(x)连续，且,0)0(>'f 则存在0>δ，使得(A) f(x)在（0，)δ内单调增加. （B ）f(x)在)0,(δ-内单调减少.(C) 对任意的),0(δ∈x 有f(x)>f(0) . (D) 对任意的)0,(δ-∈x 有f(x)>f(0) . [ C ]【分析】 函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可.【详解】 由导数的定义，知0)0()(lim)0(0>-='→xf x f f x ，根据保号性，知存在0>δ，当),0()0,(δδ -∈x 时，有0)0()(>-xf x f即当)0,(δ-∈x 时，f(x)<f(0); 而当),0(δ∈x 时，有f(x)>f(0). 故应选(C). 【评注】 题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论. （9）设∑∞=1n na为正项级数，下列结论中正确的是(A) 若n n na ∞→lim =0，则级数∑∞=1n na收敛.（B ） 若存在非零常数λ，使得λ=∞→n n na lim ，则级数∑∞=1n na发散.(C) 若级数∑∞=1n na收敛，则0lim 2=∞→n n a n .(D) 若级数∑∞=1n na发散, 则存在非零常数λ，使得λ=∞→n n na lim . [ B ]【分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项.【详解】 取n n a n ln 1=，则n n na ∞→lim =0，但∑∑∞=∞==11ln 1n n n n n a 发散，排除(A)，(D)；又取nn a n 1=，则级数∑∞=1n na收敛，但∞=∞→n n a n 2lim ，排除(C), 故应选(B).【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式，01limlim ≠==∞→∞→λna na n n n n ，而级数∑∞=11n n 发散，因此级数∑∞=1n n a 也发散，故应选(B). （10）设f(x)为连续函数，⎰⎰=ttydx x f dy t F 1)()(，则)2(F '等于(A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0. [ B ] 【分析】 先求导，再代入t=2求)2(F '即可.关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量t.【详解】 交换积分次序，得⎰⎰=t tydx x f dy t F 1)()(=⎰⎰⎰-=t x tdx x x f dx dy x f 111)1)((])([于是，)1)(()(-='t t f t F ，从而有 )2()2(f F ='，故应选(B).【评注】 在应用变限的积分对变量x 求导时，应注意被积函数中不能含有变量x: ⎰'-'=')()()()]([)()]([])([x b x a x a x a f x b x b f dt t f否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x 换到积分号外或积分线上.（11）设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B,再把B 的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为(A) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010. (B) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010. (C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010. (D) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110. [ D ]【分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质，对A 作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而Q 即为此两个初等矩阵的乘积.【详解】由题设，有B A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010，C B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100110001， 于是， .100001110100110001100001010C A A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡可见，应选(D).【评注】 涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系.（12）设A,B 为满足AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有 (A) A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (B) A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关.(C) A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关.(D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. [ A ]【分析】A,B 的行列向量组是否线性相关，可从A,B 是否行（或列）满秩或Ax=0（Bx=0）是否有非零解进行分析讨论.【详解1】 设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，则由AB=O 知，n B r A r <+)()(.又A,B 为非零矩阵，必有r(A)>0,r(B)>0. 可见r(A)<n, r(B)<n, 即A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，故应选(A).【详解2】 由AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0的解，而B 为非零矩阵，即Ax=0存在非零解，可见A 的列向量组线性相关.同理，由AB=O 知，O A B TT=，于是有T B 的列向量组，从而B 的行向量组线性相关，故应选(A).【评注】 AB=O 是常考关系式，一般来说，与此相关的两个结论是应记住的：1） AB=O ⇒n B r A r <+)()(; 2） AB=O ⇒B 的每列均为Ax=0的解.（13）设随机变量X 服从正态分布N(0,1)，对给定的)10(<<αα，数αu 满足αα=>}{u X P ，若α=<}{x X P ，则x 等于(A) 2αu . (B) 21α-u. (C) 21α-u . (D) α-1u . [ C ]【分析】 此类问题的求解，可通过αu 的定义进行分析，也可通过画出草图，直观地得到结论.【详解】 由标准正态分布概率密度函数的对称性知，αα=-<}{u X P ，于是}{2}{}{}{}{11x X P x X P x X P x X P x X P ≥=-≤+≥=≥=<-=-α即有 21}{α-=≥x X P ，可见根据定义有21α-=u x ，故应选(C). 【评注】 本题αuα 21α-（14）设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布，且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11，则(A) Cov(.),21nY X σ= (B) 21),(σ=Y X Cov .(C) 212)(σn n Y X D +=+. (D) 211)(σnn Y X D +=-. [ A ] 【分析】 本题用方差和协方差的运算性质直接计算即可，注意利用独立性有：.,3,2,0),(1n i X X Cov i ==【详解】 Cov(∑∑==+==ni i n i i X X Cov n X X Cov n X n X Cov Y X 2111111),(1),(1)1,(),=.1121σnDX n = 【评注】 本题(C),(D) 两个选项的方差也可直接计算得到：如222222111)1()111()(σσn n n n X n X n X n n D Y X D n -++=++++=+ =222233σσn n nn n +=+， 222222111)1()111()(σσn n n n X n X n X n n D Y X D n -+-=----=-=.222222σσn n nn n -=- （15）（本题满分12分）设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 222a b ea b ->-. 【分析】 根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.【证法1】 对函数x 2ln 在[a,b]上应用拉格朗日中值定理，得 .),(ln 2ln ln 22b a a b a b <<-=-ξξξ设t t t ln )(=ϕ，则2ln 1)(t t t -='ϕ， 当t>e 时， ,0)(<'t ϕ 所以)(t ϕ单调减少，从而)()(2e ϕξϕ>，即2222ln ln ee e =>ξξ， 故 )(4ln ln 222a b ea b ->-. 【证法2】 设x ex x 224ln )(-=ϕ，则24ln 2)(e x x x -='ϕ， 2ln 12)(xxx -=''ϕ, 所以当x>e 时，,0)(<''x ϕ 故)(x ϕ'单调减少，从而当2e x e <<时，044)()(222=-='>'e e e x ϕϕ， 即当2e x e <<时，)(x ϕ单调增加.因此当2e x e <<时，)()(a b ϕϕ>，即 a e a b e b 22224ln 4ln ->-， 故 )(4ln ln 222a b ea b ->-.【评注】 本题也可设辅助函数为2222),(4ln ln )(e x a e a x ea x x <<<---=ϕ或 2222),(4ln ln )(e b x e x b ex b x <<<---=ϕ，再用单调性进行证明即可. （16）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg 表示千克，km/h 表示千米/小时.【分析】 本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可.【详解1】 由题设，飞机的质量m=9000kg ，着陆时的水平速度h km v /7000=. 从飞机接触跑道开始记时，设t 时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t).根据牛顿第二定律，得kv dt dvm-=. 又 dxdv v dt dx dx dv dt dv =⋅=，由以上两式得 dv kmdx -=， 积分得 .)(C v k m t x +-= 由于0)0(,)0(0==x v v ，故得0v k mC =，从而 )).(()(0t v v kmt x -=当0)(→t v 时， ).(05.1100.67009000)(60km k mv t x =⨯⨯=→所以，飞机滑行的最长距离为1.05km. 【详解2】 根据牛顿第二定律，得 kv dtdvm -=, 所以.dt mk v dv -= 两端积分得通解t mkCev -=，代入初始条件00v vt ==解得0v C =，故 .)(0t mk ev t v -=飞机滑行的最长距离为 ).(05.1)(000km kmv ekmv dt t v x tm k==-==∞+-∞+⎰或由t m ke v dtdx -=0，知)1()(000--==--⎰t m kt t mke m kv dt e v t x ，故最长距离为当∞→t 时，).(05.1)(0km mkv t x =→【详解3】 根据牛顿第二定律，得 dt dxk dt x d m -=22,022=+dt dxm k dtx d ， 其特征方程为02=+λλm k ，解之得mk-==21,0λλ， 故 .21t mk eC C x -+=由 002000,0v e mkC dt dxv x t tm kt t t =-====-===，得 ,021kmv C C =-= 于是 ).1()(0t m ke k mv t x --= 当+∞→t 时，).(05.1)(0km kmv t x =→所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.【评注】 本题求飞机滑行的最长距离，可理解为+∞→t 或0)(→t v 的极限值，这种条件应引起注意.（17）（本题满分12分） 计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.【分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直接投影法求解即可.【详解】 取1∑为xoy 平面上被圆122=+y x 所围部分的下侧，记Ω为由∑与1∑围成的空间闭区域，则dxdy zdzdx y dydz x I ⎰⎰∑+∑-++=1)1(322233.)1(3221233dxdy z dzdx y dydz x ⎰⎰∑-++-由高斯公式知dxdydz z y x dxdy z dzdx y dydz x ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑++=-++)(6)1(322222331=rdz r z dr d r )(62011022⎰⎰⎰-+πθ=.2)]1()1(21[12232210ππ=-+-⎰dr r r r r而⎰⎰⎰⎰≤+∑=--=-++123322133)1(322y x dxdy dxdy zdzdx y dydz x π，故 .32πππ-=-=I【评注】 本题选择1∑时应注意其侧与∑围成封闭曲面后同为外侧（或内侧），再就是在1∑上直接投影积分时，应注意符号(1∑取下侧，与z 轴正向相反，所以取负号).（18）（本题满分11分）设有方程01=-+nx x n，其中n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根n x ，并证明当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛.【分析】 利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性.而正项级数的敛散性可用比较法判定.【证】 记.1)(-+=nx x x f n n 由01)0(<-=n f ，0)1(>=n f n ，及连续函数的介值定理知，方程01=-+nx x n存在正实数根).1,0(∈n x当x>0时，0)(1>+='-n nx x f n n ，可见)(x f n 在),0[+∞上单调增加, 故方程01=-+nx x n 存在惟一正实数根.n x由01=-+nx x n与0>n x 知n n x x nn n 110<-=<，故当1>α时，αα)1(0n x n <<. 而正项级数∑∞=11n n α收敛，所以当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛.【评注】 本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖，但难度并不大，只要基本概念清楚，应该可以轻松求证.（19）（本题满分12分）设z=z(x,y)是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数，求),(y x z z =的极值点和极值.【分析】 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.【详解】 因为 0182106222=+--+-z yz y xy x ，所以 02262=∂∂-∂∂--xz z x z yy x ， 0222206=∂∂-∂∂--+-yzz y z yz y x . 令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0,0y z xz得⎩⎨⎧=-+-=-,0103,03z y x y x 故 ⎩⎨⎧==.,3y z y x将上式代入0182106222=+--+-z yz y xy x ，可得⎪⎩⎪⎨⎧===3,3,9z y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.3,3,9z y x 由于 02)(22222222=∂∂-∂∂-∂∂-xzz x z x z y ，,02222622=∂∂∂-∂∂⋅∂∂-∂∂∂-∂∂--yx z z x z y z y x z y x z 02)(22222022222=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-yzz y z y z y y z y z ，所以 61)3,3,9(22=∂∂=x zA ，21)3,3,9(2-=∂∂∂=y x zB ，35)3,3,9(22=∂∂=yzC ， 故03612>=-B AC ，又061>=A ，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3. 类似地，由61)3,3,9(22-=∂∂=---x zA ，21)3,3,9(2=∂∂∂=---y x zB ，35)3,3,9(22-=∂∂=---yzC ，可知03612>=-B AC ，又061<-=A ，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大值为 z(-9, -3)= -3.【评注】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意x,y,z 满足原方程.（20）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组)2(,0)(,02)2(2,0)1(212121≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++n x a n nx nx x x a x x x x a n n n试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.【分析】 本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于n ，进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数a 的可能取值进行讨论即可.【详解1】 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有.00002111122221111B a na a a a a n n n n a a A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++= 当a=0时， r(A)=1<n ，故方程组有非零解，其同解方程组为 ,021=+++n x x x 由此得基础解系为,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当0≠a 时，对矩阵B 作初等行变换，有.10000120002)1(10000121111⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--++→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+→ n n n a n a B 可知2)1(+-=n n a 时，n n A r <-=1)(，故方程组也有非零解，其同解方程组为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x由此得基础解系为Tn ),,2,1( =η， 于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.【详解2】 方程组的系数行列式为1)2)1((22221111-++=+++=n a n n a an nnna aA. 当0=A ，即a=0或2)1(+-=n n a 时，方程组有非零解. 当a=0时，对系数矩阵A 作初等行变换，有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000000000111122221111 n n n n A ， 故方程组的同解方程组为 ,021=+++n x x x 由此得基础解系为,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当2)1(+-=n n a 时，对系数矩阵A 作初等行变换，有 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=a na a a a a n n n n a a A00002111122221111 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+→1000012000010000121111 n n a ， 故方程组的同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x由此得基础解系为Tn ),,2,1( =η， 于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.【评注】 矩阵A 的行列式A 也可这样计算：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=a n n n n a a A 22221111=aE +⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n 22221111，矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n 22221111的特征值为2)1(,0,,0+n n ，从而A 的特征值为a,a,2)1(,++n n a , 故行列式.)2)1((1-++=n a n n a A（21）（本题满分9分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=51341321a A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化.【分析】 先求出A 的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确定A 是否可相似对角化即可.【详解】 A 的特征多项式为513410)2(251341321-------=------=-λλλλλλλλaa A E=).3188)(2(51341011)2(2a a++--=------λλλλλλ当2=λ是特征方程的二重根，则有,03181622=++-a 解得a= -2.当a= -2时，A 的特征值为2,2,6, 矩阵2E-A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----321321321的秩为1，故2=λ对应的线性无关的特征向量有两个，从而A 可相似对角化.若2=λ不是特征方程的二重根，则a 31882++-λλ为完全平方，从而18+3a=16，解得 .32-=a当32-=a 时，A 的特征值为2，4，4，矩阵4E-A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1321301323秩为2，故4=λ对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A 不可相似对角化.【评注】 n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是：对于A 的任意i k 重特征根i λ，恒有.)(i i k A E r n =--λ 而单根一定只有一个线性无关的特征向量.(22)（本题满分9分） 设A,B 为随机事件，且21)(,31)(,41)(===B A P A B P A P ，令 ;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧=求：（I ）二维随机变量(X,Y)的概率分布； （II ）X 和Y 的相关系数.XY ρ【分析】 先确定(X,Y)的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(X,Y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数.【详解】 （I ） 由于121)()()(==A B P A P AB P ， ,61)()()(==B A P AB P B P所以， 121)(}1,1{====AB P Y X P ， 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ， ,121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P)(1)(}0,0{B A P B A P Y X P +-=====32)()()(1=+--AB P B P A P （或32121611211}0,0{=---===Y X P ）， 故(X,Y)的概率分布为 YX 0 10 32 121 1 61 121 (II) X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1P43 41 P 65 61 则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365, E(XY)=121, 故 241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而 .1515),(=⋅=DY DX Y X Cov XY ρ 【评注】 本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强.通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意.（23）（本题满分9分）设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββ 其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本，求：（I ） β的矩估计量；（II ） β的最大似然估计量.【分析】 先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可.【详解】 X 的概率密度为.1,1,0,),(1≤>⎪⎩⎪⎨⎧=+x x x x f βββ （I ） 由于1);(11-=⋅==⎰⎰+∞++∞∞-βββββdx x x dx x xf EX ，令X =-1ββ，解得 1-=X X β，所以参数β的矩估计量为.1ˆ-=X X β （II ）似然函数为⎪⎩⎪⎨⎧=>==+=∏其他,0),,,2,1(1,)();()(1211n i x x x x x f L i n nni i ββββ 当),,2,1(1n i x i =>时，0)(>βL ，取对数得∑=+-=ni i x n L 1ln )1(ln )(ln βββ，两边对β求导，得∑=-=n i i x n d L d 1ln )(ln βββ， 令0)(ln =ββd L d ，可得 ∑==n i ixn 1ln β， 故β的最大似然估计量为.ln ˆ1∑==n i iXnβ 【评注】 本题是基础题型，难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特别注意计算的准确性.。
浙江师范大学数学分析考研真题试题2008—2012年
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∫ x − x et2 dt
1、若 f (x)dx 收敛，则 lim f (x) 0 。
a
x
2、 f (x, y) 在 P0 (x0, y0 ) 处两个偏导数存在，则 f 在该点连续。
3、有限区间[a,b] 上的 Riemann 可积函数一定 Riemann 绝对可积
二、简答题（每小题 5 分，共 10 分）
1、叙述含参量广义积分 c f (x,t)dx 在[a，b]上一致收敛的柯西准则。
T.Z/0%
1 2
[*12
-1
f
(x)
=
⎧ ⎪⎪
x
2
sin
⎨ ⎪
A,
π x
,
⎪⎩ ax2 + b,
x<0, x=0, 67 Aa, b 8\% ]^ A, a, b 8 x>0.
_`Ff(x)L x=0 aMP8bcdT. f ′(0) %
e*15 -?@ f (x) L[a,b] fG(ghiRCD%TYV&
(x 2 y 2 2z) ds ,
L
x2 y2 z2 R2
其中
L
为圆周：
x
y
z
0
；
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5、设 f 在 (0, ) 上可微，且
x
t
f
(t)dt
x
x
2004考研数学一真题及答案
2004考研数学一真题及答案一、填空题〔此题共6小题，每题4分，总分值24分. 把答案填在题中横线上〕〔1〕曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为1-=x y .【分析】 此题为根底题型，相当于切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标.【详解】 由11)(ln =='='xx y ，得x=1, 可见切点为)0,1(，于是所求的切线方程为 )1(10-⋅=-x y ， 即 1-=x y .【评注】 此题也可先设切点为)ln ,(00x x ，曲线y=lnx 过此切点的导数为11=='=x y x x ，得10=x ，由此可知所求切线方程为)1(10-⋅=-x y ， 即 1-=x y . 此题比拟简单，类似例题在一般教科书上均可找到. 〔2〕xxxee f -=')(，且f(1)=0, 那么f(x)=2)(ln 21x . 【分析】 先求出)(x f '的表达式，再积分即可. 【详解】 令t e x=，那么t x ln =，于是有t t t f ln )(='， 即 .ln )(x xx f =' 积分得 C x dx x x x f +==⎰2)(ln 21ln )(. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数为f(x)= 2)(ln 21x .【评注】 此题属根底题型，导函数求原函数一般用不定积分. 〔3〕设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的局部，那么曲线积分⎰-Lydxxdy 2的值为π23. 【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分. 【详解】 正向圆周222=+y x 在第一象限中的局部，可表示为.20:,sin 2,cos 2πθθθ→⎩⎨⎧==y x于是θθθθθπd ydx xdy L]sin 2sin 22cos 2cos 2[220⋅+⋅=-⎰⎰=.23sin 2202πθθππ=+⎰d 【评注】 此题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.〔4〕欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为 221x c x c y +=. 【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换te x =化为常系数线性齐次微分方程即可.【详解】 令te x =，那么dtdyx dt dy e dx dt dt dy dx dy t 1==⋅=-， ][11122222222dtdydt y d x dx dt dt y d x dt dy x dx y d -=⋅+-=， 代入原方程，整理得02322=++y dt dydty d ， 解此方程，得通解为 .221221xc x c e c ec y t t+=+=-- 【评注】 此题属根底题型，也可直接套用公式，令te x =，那么欧拉方程)(222x f cy dx dybx dx y d ax=++， 可化为 ).(][22t e f cy dt dyb dt dy dty d a =++- 〔5〕设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100021012A ，矩阵B 满足E BA ABA +=**2，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，那么=B91. 【分析】 可先用公式E A A A =*进展化简 【详解】 等式两边同时右乘A ，得A A BA A ABA +=**2， 而3=A ，于是有A B AB +=63， 即 A B E A =-)63(，再两边取行列式，有363==-A B E A ，而 2763=-E A ，故所求行列式为.91=B 【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵*A ，一般均应先利用公式E A AA A A ==**进展化简.〔6〕设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，那么}{DX X P >= e1.【分析】 连续型随机变量X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可.【详解】 由题设，知21λ=DX ，于是}{DX X P >=dx e X P x⎰+∞-=>λλλλ1}1{ =.11eex=-∞+-λλ 【评注】 此题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算.二、选择题〔此题共8小题，每题4分，总分值32分. 每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内〕〔7〕把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===302sin ,tan ,cos 2γβα，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，那么正确的排列次序是(A) γβα,,. (B) βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,.[ B ]【分析】 先两两进展比拟，再排出次序即可.【详解】 0cos 2tan lim cos tan limlim 202002=⋅==+++→→→⎰⎰x xx dtt dt t x xx x x αβ，可排除(C),(D)选项，又 xx xx dtt dtt x xxx x tan 221sin lim tan sin lim lim 2300302⋅==+++→→→⎰⎰βγ=∞=+→20lim 41xxx ，可见γ是比β低阶的无穷小量，故应选(B).【评注】 此题是无穷小量的比拟问题，也可先将γβα,,分别与nx 进展比拟，再确定相互的上下次序.〔8〕设函数f(x)连续，且,0)0(>'f 那么存在0>δ，使得(A) f(x)在〔0，)δ内单调增加. 〔B 〕f(x)在)0,(δ-内单调减少.(C) 对任意的),0(δ∈x 有f(x)>f(0) . (D) 对任意的)0,(δ-∈x 有f(x)>f(0) .[ C ] 【分析】 函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进展分析即可.【详解】 由导数的定义，知0)0()(lim)0(0>-='→xf x f f x ，根据保号性，知存在0>δ，当),0()0,(δδ -∈x 时，有0)0()(>-xf x f即当)0,(δ-∈x 时，f(x)<f(0); 而当),0(δ∈x 时，有f(x)>f(0). 故应选(C). 【评注】 题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进展讨论. 〔9〕设∑∞=1n na为正项级数，以下结论中正确的选项是(A) 假设n n na ∞→lim =0，那么级数∑∞=1n na收敛.〔B 〕 假设存在非零常数λ，使得λ=∞→n n na lim ，那么级数∑∞=1n na发散.(C) 假设级数∑∞=1n na收敛，那么0lim 2=∞→n n a n .(D) 假设级数∑∞=1n na发散, 那么存在非零常数λ，使得λ=∞→n n na lim .[ B ]【分析】 对于敛散性的判定问题，假设不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项.【详解】 取n n a n ln 1=，那么n n na ∞→lim =0，但∑∑∞=∞==11ln 1n n n nn a 发散，排除(A)，(D)；又取nn a n 1=，那么级数∑∞=1n na收敛，但∞=∞→n n a n 2lim ，排除(C), 故应选(B).【评注】 此题也可用比拟判别法的极限形式，01limlim ≠==∞→∞→λna na n n n n ，而级数∑∞=11n n 发散，因此级数∑∞=1n n a 也发散，故应选(B). 〔10〕设f(x)为连续函数，⎰⎰=ttydx x f dy t F 1)()(，那么)2(F '等于(A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0. [ B ]【分析】 先求导，再代入t=2求)2(F '即可.关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量t.【详解】 交换积分次序，得⎰⎰=tt ydx x f dy t F 1)()(=⎰⎰⎰-=t x tdx x x f dx dy x f 111)1)((])([于是，)1)(()(-='t t f t F ，从而有 )2()2(f F ='，故应选(B).【评注】 在应用变限的积分对变量x 求导时，应注意被积函数中不能含有变量x: ⎰'-'=')()()()]([)()]([])([x b x a x a x a f x b x b f dt t f否那么，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x 换到积分号外或积分线上.〔11〕设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B,再把B 的第2列加到第3列得C, 那么满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为(A) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010. (B) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010. (C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010. (D) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110. [ D ]【分析】 此题考察初等矩阵的的概念与性质，对A 作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而Q 即为此两个初等矩阵的乘积.【详解】由题设，有B A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010，C B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100110001，于是， .100001110100110001100001010C A A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡可见，应选(D).【评注】 涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系.〔12〕设A,B 为满足AB=O 的任意两个非零矩阵，那么必有 (A) A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (B) A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. (C) A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关.(D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. [ A ] 【分析】A,B 的行列向量组是否线性相关，可从A,B 是否行〔或列〕满秩或Ax=0〔Bx=0〕是否有非零解进展分析讨论.【详解1】 设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，那么由AB=O 知，n B r A r <+)()(.又A,B 为非零矩阵，必有r(A)>0,r(B)>0. 可见r(A)<n, r(B)<n, 即A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，故应选(A).【详解2】 由AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0的解，而B 为非零矩阵，即Ax=0存在非零解，可见A 的列向量组线性相关.同理，由AB=O 知，O A B TT=，于是有T B 的列向量组，从而B 的行向量组线性相关，故应选(A).【评注】 AB=O 是常考关系式，一般来说，与此相关的两个结论是应记住的：1） AB=O ⇒n B r A r <+)()(; 2） AB=O ⇒B 的每列均为Ax=0的解.〔13〕设随机变量X 服从正态分布N(0,1)，对给定的)10(<<αα，数αu 满足αα=>}{u X P ，假设α=<}{x X P ，那么x 等于(A) 2αu . (B) 21α-u. (C) 21α-u . (D) α-1u .[ C ]【分析】 此类问题的求解，可通过αu 的定义进展分析，也可通过画出草图，直观地得到结论.【详解】 由标准正态分布概率密度函数的对称性知，αα=-<}{u X P ，于是}{2}{}{}{}{11x X P x X P x X P x X P x X P ≥=-≤+≥=≥=<-=-α即有 21}{α-=≥x X P ，可见根据定义有21α-=u x ，故应选(C).【评注】 此题αu 相当于分位数，直观地有21α-〔14〕设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布，且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11，那么(A) Cov(.),21nY X σ=(B) 21),(σ=Y X Cov .(C) 212)(σn n Y X D +=+. (D) 211)(σnn Y X D +=-. [ A ]【分析】 此题用方差和协方差的运算性质直接计算即可，注意利用独立性有：.,3,2,0),(1n i X X Cov i ==【详解】 Cov(∑∑==+==ni i n i i X X Cov n X X Cov n X n X Cov Y X 2111111),(1),(1)1,(),=.1121σnDX n = 【评注】 此题(C),(D) 两个选项的方差也可直接计算得到：如222222111)1()111()(σσn n n n X n X n X n n D Y X D n -++=++++=+=222233σσn n nn n +=+， 222222111)1()111()(σσn n n n X n X n X n n D Y X D n -+-=----=-=.222222σσn n nn n -=- 〔15〕〔此题总分值12分〕设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 222a b e a b ->-. 【分析】 根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.【证法1】 对函数x 2ln 在[a,b]上应用拉格朗日中值定理，得 .),(ln 2ln ln 22b a a b a b <<-=-ξξξ设t t t ln )(=ϕ，那么2ln 1)(t t t -='ϕ， 当t>e 时， ,0)(<'t ϕ 所以)(t ϕ单调减少，从而)()(2e ϕξϕ>，即2222ln ln ee e =>ξξ， 故 )(4ln ln 222a b e a b ->-. 【证法2】 设x ex x 224ln )(-=ϕ，那么24ln 2)(e x x x -='ϕ，2ln 12)(x xx -=''ϕ,所以当x>e 时，,0)(<''x ϕ 故)(x ϕ'单调减少，从而当2e x e <<时， 044)()(222=-='>'ee e x ϕϕ， 即当2e x e <<时，)(x ϕ单调增加.因此当2e x e <<时，)()(a b ϕϕ>，即 a ea b e b 22224ln 4ln ->-， 故 )(4ln ln 222a b ea b ->-.【评注】 此题也可设辅助函数为2222),(4ln ln )(e x a e a x ea x x <<<---=ϕ或 2222),(4ln ln )(e b x e x b ex b x <<<---=ϕ，再用单调性进展证明即可. 〔16〕〔此题总分值11分〕某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞翻开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比〔比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg 表示千克，km/h 表示千米/小时.【分析】 此题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可. 【详解1】 由题设，飞机的质量m=9000kg ，着陆时的水平速度h km v /7000=. 从飞机接触跑道开场记时，设t 时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t).根据牛顿第二定律，得kv dt dvm -=. 又 dxdv v dt dx dx dv dt dv =⋅=，由以上两式得 dv kmdx -=， 积分得 .)(C v k m t x +-= 由于0)0(,)0(0==x v v ，故得0v k mC =，从而 )).(()(0t v v kmt x -=当0)(→t v 时， ).(05.1100.67009000)(60km k mv t x =⨯⨯=→所以，飞机滑行的最长距离为1.05km. 【详解2】 根据牛顿第二定律，得 kv dtdvm -=, 所以.dt mkv dv -= 两端积分得通解t mkCev -=，代入初始条件00v vt ==解得0v C =，故 .)(0t mk ev t v -=飞机滑行的最长距离为 ).(05.1)(000km kmv e kmv dt t v x tmk==-==∞+-∞+⎰或由t m ke v dt dx-=0，知)1()(000--==--⎰t m kt t m ke mkv dt e v t x ，故最长距离为当∞→t 时，).(05.1)(0km mkv t x =→【详解3】 根据牛顿第二定律，得 dt dxk dtx d m -=22,022=+dt dxm k dtx d ， 其特征方程为 02=+λλm k ，解之得mk-==21,0λλ， 故 .21t mk eC C x -+=由 002000,0v e mkC dt dxv x t tm kt t t =-====-===，得 ,021kmv C C =-= 于是 ).1()(0t m ke k mv t x --= 当+∞→t 时，).(05.1)(0km kmv t x =→所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.【评注】 此题求飞机滑行的最长距离，可理解为+∞→t 或0)(→t v 的极限值，这种条件应引起注意.〔17〕〔此题总分值12分〕 计算曲面积分,)1(322233dxdy zdzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.【分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直接投影法求解即可.【详解】 取1∑为xoy 平面上被圆122=+y x 所围局部的下侧，记Ω为由∑与1∑围成的空间闭区域，那么dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑+∑-++=1)1(322233 .)1(3221233dxdy z dzdx y dydz x ⎰⎰∑-++-由高斯公式知dxdydz z y x dxdy z dzdx y dydz x ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑++=-++)(6)1(322222331=rdz r z dr d r )(62011022⎰⎰⎰-+πθ=.2)]1()1(21[12232210ππ=-+-⎰dr r r r r而⎰⎰⎰⎰≤+∑=--=-++123322133)1(322y x dxdy dxdy z dzdx y dydz x π，故 .32πππ-=-=I【评注】 此题选择1∑时应注意其侧与∑围成封闭曲面后同为外侧〔或内侧〕，再就是在1∑上直接投影积分时，应注意符号(1∑取下侧，与z 轴正向相反，所以取负号).〔18〕〔此题总分值11分〕设有方程01=-+nx x n，其中n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根n x ，并证明当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛.【分析】 利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性.而正项级数的敛散性可用比拟法判定.【证】 记.1)(-+=nx x x f n n 由01)0(<-=n f ，0)1(>=n f n ，及连续函数的介值定理知，方程01=-+nx x n存在正实数根).1,0(∈n x当x>0时，0)(1>+='-n nx x f n n ，可见)(x f n 在),0[+∞上单调增加, 故方程01=-+nx x n 存在惟一正实数根.n x由01=-+nx x n与0>n x 知n n x x nn n 110<-=<，故当1>α时，αα)1(0n x n <<. 而正项级数∑∞=11n n α收敛，所以当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛.【评注】 此题综合考察了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比拟新颖，但难度并不大，只要根本概念清楚，应该可以轻松求证.〔19〕〔此题总分值12分〕设z=z(x,y)是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数，求),(y x z z =的极值点和极值.【分析】 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.【详解】 因为 0182106222=+--+-z yz y xy x ，所以 02262=∂∂-∂∂--xz z x z yy x ， 0222206=∂∂-∂∂--+-yzz y z yz y x .令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0,0yzxz得 ⎩⎨⎧=-+-=-,0103,03z y x y x故 ⎩⎨⎧==.,3y z y x将上式代入0182106222=+--+-z yz y xy x ，可得⎪⎩⎪⎨⎧===3,3,9z y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.3,3,9z y x由于 02)(22222222=∂∂-∂∂-∂∂-xzz x z x z y ，,02222622=∂∂∂-∂∂⋅∂∂-∂∂∂-∂∂--yx z z x z y z y x z y x z 02)(22222022222=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-yzz y z y z y y z y z ，所以 61)3,3,9(22=∂∂=x zA ，21)3,3,9(2-=∂∂∂=y x zB ，35)3,3,9(22=∂∂=yzC ， 故03612>=-B AC ，又061>=A ，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3.类似地，由61)3,3,9(22-=∂∂=---x z A ，21)3,3,9(2=∂∂∂=---y x z B ，35)3,3,9(22-=∂∂=---yzC ，可知03612>=-B AC ，又061<-=A ，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大值为z(-9, -3)= -3.【评注】 此题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意x,y,z 满足原方程.〔20〕〔此题总分值9分〕 设有齐次线性方程组)2(,0)(,02)2(2,0)1(212121≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++n x a n nx nx x x a x x x x a n n n试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.【分析】 此题是方程的个数与未知量的个数一样的齐次线性方程组，可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于n ，进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数a 的可能取值进展讨论即可.【详解1】 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有.00002111122221111B a na a a a a n n n n a a A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++= 当a=0时， r(A)=1<n ，故方程组有非零解，其同解方程组为 ,021=+++n x x x 由此得根底解系为,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当0≠a 时，对矩阵B 作初等行变换，有.10000120002)1(10000121111⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--++→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+→ n n n a n a B 可知2)1(+-=n n a 时，n n A r <-=1)(，故方程组也有非零解，其同解方程组为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x由此得根底解系为Tn ),,2,1( =η， 于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.【详解2】 方程组的系数行列式为1)2)1((22221111-++=+++=n a n n a an nnna aA. 当0=A ，即a=0或2)1(+-=n n a 时，方程组有非零解. 当a=0时，对系数矩阵A 作初等行变换，有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000000000111122221111 n n n n A ， 故方程组的同解方程组为 ,021=+++n x x x 由此得根底解系为,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当2)1(+-=n n a 时，对系数矩阵A 作初等行变换，有 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=a na a a a a n n n n a a A00002111122221111 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+→1000012000010000121111 n n a ， 故方程组的同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x由此得根底解系为Tn ),,2,1( =η，于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.【评注】 矩阵A 的行列式A 也可这样计算：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=a n n n n a a A 22221111=aE +⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n 22221111，矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n 22221111的特征值为2)1(,0,,0+n n ，从而A 的特征值为a,a,2)1(,++n n a , 故行列式.)2)1((1-++=n a n n a A〔21〕〔此题总分值9分〕设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=51341321a A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化.【分析】 先求出A 的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确定A 是否可相似对角化即可.【详解】 A 的特征多项式为513410)2(251341321-------=------=-λλλλλλλλaa A E=).3188)(2(51341011)2(2a a++--=------λλλλλλ当2=λ是特征方程的二重根，那么有,03181622=++-a 解得a= -2.当a= -2时，A 的特征值为2,2,6, 矩阵2E-A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----321321321的秩为1，故2=λ对应的线性无关的特征向量有两个，从而A 可相似对角化.假设2=λ不是特征方程的二重根，那么a 31882++-λλ为完全平方，从而18+3a=16，解得 .32-=a当32-=a 时，A 的特征值为2，4，4，矩阵4E-A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1321301323秩为2，故4=λ对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A 不可相似对角化.【评注】 n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是：对于A 的任意i k 重特征根i λ，恒有.)(i i k A E r n =--λ 而单根一定只有一个线性无关的特征向量.(22)〔此题总分值9分〕 设A,B 为随机事件，且21)(,31)(,41)(===B A P A B P A P ，令 ;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧=求：〔I 〕二维随机变量(X,Y)的概率分布； 〔II 〕X 和Y 的相关系数.XY ρ【分析】 先确定(X,Y)的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(X,Y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数.【详解】 〔I 〕 由于121)()()(==A B P A P AB P ， ,61)()()(==B A P AB P B P所以， 121)(}1,1{====AB P Y X P ， 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ， ,121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P )(1)(}0,0{B A P B A P Y X P +-=====32)()()(1=+--AB P B P A P 〔或32121611211}0,0{=---===Y X P 〕， 故(X,Y)的概率分布为YX 0 132 121 1 61 121(II) X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1P 43 41 P 65 61 那么61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365, E(XY)=121,故 241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而.1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY ρ 【评注】 此题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强.通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比拟好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意.〔23〕〔此题总分值9分〕 设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x xx F ββ 其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本，求：〔I 〕 β的矩估计量； 〔II 〕 β的最大似然估计量.【分析】 先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进展讨论即可.【详解】 X 的概率密度为.1,1,0,),(1≤>⎪⎩⎪⎨⎧=+x x x x f βββ〔I 〕 由于 1);(11-=⋅==⎰⎰+∞++∞∞-βββββdx xx dx x xf EX ，令X =-1ββ，解得 1-=X Xβ，所以参数β的矩估计量为 .1ˆ-=X Xβ〔II 〕似然函数为⎪⎩⎪⎨⎧=>==+=∏其他,0),,,2,1(1,)();()(1211n i x x x x x f L i nnni i ββββ当),,2,1(1n i x i =>时，0)(>βL ，取对数得∑=+-=ni i x n L 1ln )1(ln )(ln βββ，两边对β求导，得∑=-=ni i x nd L d 1ln )(ln βββ，令0)(ln =ββd L d ，可得 ∑==ni ixn1ln β，故β的最大似然估计量为.ln ˆ1∑==ni iXnβ【评注】 此题是根底题型，难度不大，但计算量比拟大，实际做题时应特别注意计算的准确性.。
2004考研数学一真题及答案解析(统编)
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-L ydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===03002sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,, (D)αγβ,, (8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得(A)()f x 在(0,)δ内单调增加 (B)()f x 在)0,(δ-内单调减少 (C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >(9)设∑∞=1n n a 为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim =0,则级数∑∞=1n n a 收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim ,则级数∑∞=1n n a 发散(C)若级数∑∞=1n n a 收敛,则0lim 2=∞→n n a n (D)若级数∑∞=1n n a 发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=t ty dx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于 (A)2(2)f (B)(2)f (C)(2)f - (D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010 (C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu (B)21α-u(C)21α-u (D) α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ=(B)21Cov(,)X Y σ=(C)212)(σnn Y X D +=+ (D)211)(σnn Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分12分) 设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()eb a b a ->-.(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时)(17)(本题满分12分)计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程10nx nx+-=,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x,并证明当1α>时,级数1nn xα∞=∑收敛.(19)(本题满分12分)设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,nnna x x xx a x xnnx nx n a x++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.(22)(本题满分9分)设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XY ρ(23)(本题满分9分) 设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本,求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量2004年数学一试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。
904数学分析与高等代数
浙江师范大学硕士研究生入学考试初试科目考试大纲科目代码、名称: 904数学分析与高等代数适用专业: 420104学科教学（数学）一、考试形式与试卷结构（一）试卷满分及考试时间本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
（二）答题方式答题方式为闭卷、笔试。
试卷由试题和答题纸组成；答案必须写在答题纸相应的位置上；答题纸一般由考点提供。
（三）试卷内容结构各部分内容所占分值为：数学分析约100分高等代数约50分（四）试卷题型结构计算题：7大题，约100分。
分析论述题：3大题，约50分。
二、考查目标（复习要求）全日制攻读教育硕士专业学位入学考试数学分析与高等代数考试内容包括数学分析、高等代数二门数学学科基础课程，要求考生系统掌握相关学科的基本知识、基础理论和基本方法，理解数学分析和高等代数中反映出的数学思想与方法，并能运用相关理论和方法分析、解决具有一定实际背景的数学问题。
三、考查范围或考试内容概要第一部分：数学分析考查内容1、数列极限数列极限概念、收敛数列的定理、数列极限存在的条件2、函数极限函数极限概念、函数极限的定理、两个重要极限、无穷大量与无穷小量3、函数的连续性连续性概念、连续函数的性质4、导数与微分导数的概念、求导法则、微分、高阶导数与高阶微分5、中值定理与导数应用微分学基本定理、函数的单调性与极值6、不定积分不定积分概念与基本积分公式、换元法积分法与分部积分法7、定积分定积分概念、可积条件、定积分的性质、定积分的计算8、定积分的应用平面图形的面积、旋转体的侧面积9、级数正项级数、函数项级数、幂级数、傅里叶级数10、多元函数微分学偏导数与全微分、复合函数微分法、高阶偏导数与高阶全微分、泰勒公式与极值问题第二部分：高等代数考查内容多项式、行列式、线性方向组、矩阵、线性空间、线性变换参考教材或主要参考书：华东师范大学编：《数学分析》（上、下），高等教育出版社，2001年，第三版。
北京大学编：《高等代数》，高等教育出版社，2003年，第三版。
历年考研数一真题答案
历年考研数一真题答案考研数学一（数学分析、高等代数、概率论与数理统计）是众多考研学子必须面对的科目之一。
历年真题的练习对于考生来说至关重要，它不仅能帮助考生熟悉考试题型，还能检验自己的学习效果。
以下是一些历年考研数一真题的答案，供参考：数学分析部分1. 极限问题：极限是数学分析的基础，历年真题中经常会出现求函数极限的问题。
例如，求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)，答案是1。
2. 导数与微分：导数是研究函数变化率的重要工具。
例如，求函数\(f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 7\) 的导数，答案是 \(f'(x) = 3x^2+ 4x - 5\)。
3. 积分问题：定积分和不定积分是数学分析中的重要内容。
例如，求定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)，答案是 \(\frac{1}{3}\)。
高等代数部分1. 矩阵运算：矩阵是高等代数中的基础概念。
例如，求解矩阵方程\(AX =B\)，其中 \(A\) 是已知矩阵，\(B\) 是已知向量，\(X\) 是未知向量。
2. 线性变换：线性变换是高等代数中的一个核心概念。
例如，给定一个线性变换 \(T\)，求其在标准基下的矩阵表示。
3. 特征值与特征向量：特征值和特征向量在许多数学问题中都有应用。
例如，求矩阵 \(A\) 的特征值和对应的特征向量。
概率论与数理统计部分1. 随机变量及其分布：随机变量是概率论的基础。
例如，给定一个随机变量 \(X\)，求其分布函数 \(F(x)\)。
2. 大数定律与中心极限定理：这两个定理是数理统计中的重要内容。
例如，解释中心极限定理的意义，并给出一个应用实例。
3. 参数估计：参数估计在统计推断中占有重要地位。
例如，给定一组样本数据，估计总体均值或方差。
结束语考研数学一的复习是一个系统的过程，需要考生对各个知识点有深入的理解和大量的练习。
通过历年真题的练习，考生可以更好地掌握考试的出题规律，提高解题能力。
2004年考研数学(二)试题及解析
2004年考研数学（二）试题一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分,把答案填在题中横线上)(1)__________)(,1)1(lim)(2=+-=∞→x x f nx xn x f n 的间断点为则设.______________)(,1313)()2(33取值范围为向上凸的则曲线确定由参数方程函数设x x y y t t y t t x x y =⎩⎨⎧+-=++=._____1d )3(12=-⎰∞+x x x.______3,2e ),()4(32=∂∂+∂∂+==-yz x z y z y x z z z x 则确定由方程设函数 .________560d 2d )()5(13的特解为满足微分方程==-+=x y y x x x y_____||,*,*2*,100021012)6(=+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B E A A E BA ABA B A 矩阵，则是单位的伴随矩阵为其中满足矩阵设矩阵二. 选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的,把所有选项前的字母填在题后的括号内.)αγβγαββγαγβαγβα,,)D (,,)C (,,)B (,,)A (,,d sin ,d tan ,d cos 0)7(03022则正确的排列次序是的高阶无穷小使排在后面的是前一个排列起来时的无穷小量把⎰⎰⎰===→+x xx t t t t t t x 的拐点也不是曲线的极值点不是的拐点是曲线且的极值点是的拐点是曲线但的极值点不是的拐点不是曲线但的极值点是则设)()0,0(,)(0)D ()()0,0(,)(0)C ()()0,0(,)(0)B ()()0,0(,)(0)A (|,)1(|)()8(x f y x f x x f y x f x x f y x f x x f y x f x x x x f ========-=⎰⎰⎰⎰+++++∞→2122121212222d )1(ln )D (d )1ln(2)C (d ln 2)B (d ln )A ()1()21()11(ln lim )9(xx xx xx xx n nn n n n 等于)0()()0,()D ()0()(),0()C ()0,()()B (),0()()A (,0,0)(',)()10(f x f x f x f x x f x f x f x f >-∈>∈->>有对任意的有对任意的内单调减少在内单调增加在使得且存在且连续设函数δδδδδxA c bx ax y x A c bx ax y xB x A x c bx ax y x B x A x c bx ax y x x y y cos *)D (sin *)C ()cos sin (*)B ()cos sin (*)A (sin 1'')11(22222+++=+++=++++=++++=++=+的特解形式可设为微分方程{}⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----≤+=θπθπθθθθθθsin 2020sin 202202111122d )cos sin (d )D (d )cos sin (d )C (d )(d 2)B (.d )(d )A (.d d )(,2|),(,)()12(222rr r f rr f xxy f y y xy f x y x xy f y y x y x D u f y y x x D等于则区域连续设函数⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100001110)D (110001010)C (100101010)B (101001010)A (,32,21,3)13(为的可逆矩阵则满足列得列加到第的第再把列交换得列与第的第将阶方阵是设Q C AQ C B B A A 的列向量组线性相关的行向量组线性相关的行向量组线性相关的行向量组线性相关的列向量组线性相关的列向量组线性相关的行向量组线性相关的列向量组线性相关则必有的任意两个非零矩阵为满足设B A B A B A B A AB B A ,)D (,)C (,)B (,)A (,0,)14(=.1)3cos 2(1lim)10()15(.),,94,9(3⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+→x x x x 求极限分本题满分证明过程或演算布骤解答应写出文字说明分满分小题本题共三、解答题[][].0)(,)II (;0,2)()I (.),2()(),4()(2,0,),()()10)(16(2处可导在为何值时问上的表达式在区间写出为常数其中都满足若对任意的上，在区间上有定义在设函数分本题满分=-+=-=+∞-∞x x f k x f k x kf x f x x x x f x f .)()2(.)()1(,d |sin |)()11)(17(2的值域求为周期的周期函数是以证明设分本题满分x f x f t t x f x xππ⎰+=.)()(lim )2(.)()()1().(),(),(,,0)0(,02e e )12)(18(-t F t S t V t S t F t x t S t V x y t t x x y t xx +∞→==>==+=计算极限的值求处的底面积为在侧面积为其体积为轴旋转一周得一旋转体绕该曲边梯形围成一曲边梯形及与直线曲线分本题满分).(e 4ln ln ,e e )12()19(2222a b a b b a ->-<<<证明设分本题满分 .//,).100.6(,./700,9000.,,,,,)11)(20(6小时表示千米表示千克注离是多少起，飞机滑行的最长距问从着陆点算比例系数为飞机的速度成正比后飞机所受的总阻力与减速伞打开经测试着陆的水平速度为的飞机现有一质量为使飞机迅速减速并停下以增大阻力伞飞机尾部张开减速在触地的瞬间为了减少滑行距离某种飞机在机场降落时分本题满分h km kg k h km kg ⨯=.,,),e ,()10)(21(222yx z y z x z f y x f z xy∂∂∂∂∂∂∂-=求具有连续二阶偏导数，其中设分本题满分.)4(44403)3(33022)2(20)1()9)(22(4321432143214321非零解，并求出其通解取何值时，该方程组有试问设有齐次线性方程分本题满分a x a x x x x x a x x x x x a x x x x x a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++ .,,51341321)9()23(可相似对角化是否并讨论的值求根的特征方程有一个二重设矩阵分本题满分A a a A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2004年考研数学（二）试题解析一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = 0 .【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x ,先用求极限的方法得出()f x 的表达式, 再讨论()f x 的间断点.【详解】显然当0x =时,()0f x =;当0x ≠时, 2221(1)(1)1()lim lim 11n n xn x x n f x nx x x x n →∞→∞--====++, 所以 ()f x 0,01,0x x x =⎧⎪=⎨≠⎪⎩,因为 001lim ()lim(0)x x f x f x→→==∞≠ 故 0x =为()f x 的间断点.（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为1-∞∞（，）（或（-，1]）.【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩定义的 223()()()()(())d y y t x t x t y t dx x t ''''''-=' 求出二阶导数,再由 220d ydx< 确定x 的取值范围. 【详解】 22222331213311dydy t t dt dx dx t t t dt--====-+++,222223214113(1)3(1)d y d dy dt tdt dx dx dx t t t '⎛⎫⎛⎫==-⋅= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭, 令 220d ydx< ⇒ 0t <.又 331x t t =++ 单调增, 在 0t <时, (,1)x ∈-∞。
《浙江大学高等代数2007-2019年考研真题及答案解析》
目录Ⅰ历年考研真题试卷 (2)浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (2)浙江大学2008年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (5)浙江大学2009年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (7)浙江大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (9)浙江大学2011年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (11)浙江大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (13)浙江大学2014年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (15)浙江大学2015年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (16)浙江大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (17)浙江大学2017年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (18)浙江大学2018年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (19)浙江大学2019年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (21)Ⅱ历年考研真题试卷答案解析 (23)浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (23)浙江大学2008年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (31)浙江大学2009年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (39)浙江大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (46)浙江大学2011年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (52)浙江大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (57)浙江大学2014年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (64)浙江大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (70)Ⅰ历年考研真题试卷浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：高等代数编号：601注意：答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。
一、（17分）设整系数的线性方程组为),..2,1(,1n i b x ai j nj ij==∑=，证明该方程组对任意整数n b b b ,..,,21都有整数解的充分必要条件是该方程组的系数行列式等于1±。
浙江大学2004年数学分析试题答案
2004年浙江大学数学分析试题答案1.)(x f 必要性：在X 上一致收敛：,0,0>∃>∀δε当δ<-'''x x 时，ε<-)''()'(x f x f ，由0)(lim ''=-∞→m n n x x ，对上述,,0N ∃>δ当N n >时，δ<-''m n x x ，有ε<-)'()'(m n x f x f ， 所以0)'()'(lim =-∞→m n n x f x f ，充分性：反证：假设)(x f 在X 上不一致收敛；'',',0,00x x ∃>∀>∃δε尽管δ<-'''x x ，但0)''()'(ε≥-x f x f ，不妨取,',',1m n x x n ∃=δ尽管nx x m n 1''<-，但0)'()'(ε≥-m n x f x f上述},'{},'{m n x x 满足0)(lim ''=-∞→m n n x x ，但是0)'()'(ε≥-m n x f x f ，与0)'()'(lim =-∞→m n n x f x f 矛盾。
2. 由0)('lim0=→xx f x ，得0)0('',0)0('==f f ，)()0('''61)0(''21)0(')0()(332x x f x f x f f x f ο++++=，)1(161)1(22nn n nf ο+=， 级数∑∞=121n n 绝对收敛，所以原级数绝对收敛。
3.由0)('<+a f ，存在c a f x f a x =<>)()(,11，由0)('<-b f ，存在c b f x f b x =><)()(,22，由连续函数的介值定理：存在201x x x <<，c x f =)(0，在由罗尔定理，知)('x f 在),(b a 至少存在两个零点。
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