高考数学好题集锦
【好题】数学高考试题(带答案)
【好题】数学高考试题(带答案)一、选择题1．设集合(){}2log 10M x x =-<，集合{}2N x x =≥-，则M N ⋃=（ ） A ．{}22x x -≤<B ．{}2x x ≥-C ．{}2x x <D ．{}12x x ≤< 2．()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A ．15 B ．20 C ．30 D ．353．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A ．10B ．11C ．12D ．154．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）A ．14B ．15C ．16D ．175．函数()()2ln 1f x x x =+-的一个零点所在的区间是( ) A ．()0,1 B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4 6．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为A ．22B ．32C ．52D ．727．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．对于不等式2n n +<n+1(n∈N *),某同学应用数学归纳法的证明过程如下:(1)当n=1时,211+<1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N *)时,不等式成立,即2k k +<k+1.那么当n=k+1时,()()()2222(k 1)k 1k 3k 2k 3k 2k 2(k 2)+++=++<++++=+=(k+1)+1, 所以当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)和(2),可知对于任何n∈N *,不等式均成立.则上述证法（ ）A ．过程全部正确B ．n=1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n=k 到n=k+1的证明过程不正确 10．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．108cm 3B ．100cm 3C ．92cm 3D ．84cm 311．如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点.若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A ．3B ．2C ．3D ．212．已知,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，则a 与b 的夹角是（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π 二、填空题13．若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______.14．已知圆台的上、下底面都是球O 的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O 的表面积为__________．15．()sin 5013tan10+=________________.16．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.17．设复数1(z i i =--虚数单位),z 的共轭复数为z ，则()1z z -⋅=________.18．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.19．已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2 b |= ______ . 20．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ．三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+ ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.22．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =1C H ⊥平面11AA B B ，且1 5.C H =（Ⅰ）求异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角111A AC B --的正弦值；（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面111A B C ，求线段BM 的长．23．若不等式2520ax x +->的解集是122xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，求不等式22510ax x a -+->的解集． 24．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x t y at=+⎧⎨=-⎩（t 为参数，a R ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，线C 的极坐标方程是224πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）己知直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且7AB =a 的值.25．已知函数()1f x ax lnx =--，a R ∈． (Ⅰ)讨论函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】求解出集合M ，根据并集的定义求得结果.【详解】(){}{}{}2log 1001112M x x x x x x =-<=<-<=<<{}2M N x x ∴⋃=≥-本题正确选项：B【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.2．C解析：C【解析】【分析】利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得2x 的系数.【详解】根据二项式定理展开式通项为1C r n r r r n T a b -+=()()()66622111111x x x x x ⎛⎫++=++⋅+ ⎪⎝⎭则()61x +展开式的通项为16r r r T C x += 则()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 展开式中2x 的项为22446621C x C x x ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭则()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为2466151530C C +=+= 故选:C【点睛】本题考查了二项定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题. 3．B解析：B【解析】【分析】【详解】由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有246C =个；第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同有14C 4=个；第三类：与信息0110没有位置上的数字相同有04C 1=个，由分类计数原理与信息0110至多有两个数字对应位置相同的共有64111++=个， 故选B ．4．B解析：B【解析】【分析】计算出样本在[)2060,的数据个数，再减去样本在[)20,40的数据个数即可得出结果.【详解】由题意可知，样本在[)2060,的数据个数为300.824⨯=，样本在[)20,40的数据个数为459+=，因此，样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数为24915.故选：B.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.5．B解析：B【解析】【分析】先求出(1)(2)0,f f <根据零点存在性定理得解.【详解】由题得()21ln 2=ln 2201f =--<， ()22ln3=ln3102f =-->， 所以(1)(2)0,f f <所以函数()()2ln 1f x x x=+-的一个零点所在的区间是()1,2. 故选B【点睛】本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 6．C解析：C【解析】【分析】利用正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，将问题转化为求共面直线AB 与AE 所成角的正切值，在ABE ∆中进行计算即可.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠，设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以5BE a =， 则55tan 22BE a EAB AB a ∠===.故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.7．C解析：C【解析】【分析】跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意．【详解】由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒，∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意； 当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意．故跑第三棒的是丙．故选：C ．【点睛】本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．8．A解析：A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可.【详解】根据祖暅原理，当12,S S 总相等时，12,V V 相等，所以充分性成立；当两个完全相同的四棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积固然相等但截得的面积未必相等，所以必要性不成立.所以“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题.9．D解析：D【解析】【分析】【详解】题目中当n=k+1时不等式的证明没有用到n=k 时的不等式，正确的证明过程如下： 在（2）中假设n k = 时有21k k k +<+ 成立，即2(1)(1)(1)1k k k +++<++成立，即1n k =+时成立，故选D ．点睛：数学归纳法证明中需注意的事项(1)初始值的验证是归纳的基础，归纳递推是证题的关键，两个步骤缺一不可．(2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k 到k ＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．(3)解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式.10．B解析：B【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选B ．考点：由三视图求面积、体积．11．B解析：B【解析】【分析】【详解】M N ，是双曲线的两顶点，M O N ，，将椭圆长轴四等分∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍双曲线与椭圆有公共焦点，∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2故答案选B12．B解析：B【解析】【分析】 利用向量垂直求得222a ba b ==⋅，代入夹角公式即可. 【详解】设,a b 的夹角为θ； 因为(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥， 所以222a b a b ==⋅， 则22|2,|2a a b b a b =⋅⋅=， 则2212cos ,.23aa b a b aπθθ⋅===∴=故选：B【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =. 二、填空题13．【解析】【分析】【详解】试题分析：当时的最大值为令解得所以a 的取值范围是考点：利用导数判断函数的单调性解析：1(,)9-+∞ 【解析】 【分析】【详解】试题分析：2211()2224f x x x a x a ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝⎭'．当23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，时，()f x '的最大值为22239f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭'，令2209a +>，解得19a >-，所以a 的取值范围是1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 考点：利用导数判断函数的单调性．14．【解析】【分析】本道题结合半径这一条件利用勾股定理建立等式计算半径即可【详解】设球半径为R 球心O 到上表面距离为x 则球心到下表面距离为6-x 结合勾股定理建立等式解得所以半径因而表面积【点睛】本道题考查 解析：80π【解析】【分析】本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(二项式定理)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（二项式定理）练习一. 基础小题练透篇1.已知(2x ＋1)n 的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，则n ＝( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．42．[2023ꞏ上海市月考]在⎝⎛⎭⎫x －1x 7的二项展开式中，系数最大的是第( )项A ．3B ．4C ．5D ．63．[2023ꞏ福建省莆田第一中学高三考试]在⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中，常数项为( )A ．80B ．－80C ．160D ．－160 4．[2023ꞏ福建省福州第八中学高三训练](x ＋2y )(x －y )5的展开式中的x 3y 3项系数为( ) A ．30 B ．10 C ．－30 D ．－105．[2023ꞏ重庆市检测]若(x 2＋1)(4x ＋1)8＝a 0＋a 1(2x ＋1)＋a 2(2x ＋1)2＋…＋a 10(2x ＋1)10，则a 1＋a 2＋…a 10等于( )A ．2B ．1C ．54D ．－146．[2023ꞏ江西省联考]已知(x ＋1)4＋(x －2)8＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 8(x －1)8，则a 3＝( )A ．64B ．48C ．－48D ．－647．[2023ꞏ湖南省高三第一次大联考]设(1＋2x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 5＝a 6，则n ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．98．[2023ꞏ云南省昆明市高三检测]若(3x ＋x )n 的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比值是32，则展开式中x 3项的系数是__________.二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ辽宁省凤城市月考]在(x －1)n 的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，则n ＝( )A ．8B ．9C ．10D ．112．[2023ꞏ江苏省常州市高三模拟 ]若(1－ax ＋x 2)(1－x )8的展开式中含x 2的项的系数为21，则a ＝( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．13．[2023ꞏ上海市一模]二项式(x ＋13x)30的展开式中，其中是有理项的项数共有( )A ．4项B ．7项C ．5项D ．6项4．[2023ꞏ吉林省吉林市月考]若二项式⎝⎛⎭⎫12－x n 的展开式中所有项的系数和为164 ，则展开式中二项式系数最大的项为( )A ．－52 x 3B ．154 x 4 C ．－20x 3 D ．15x 45．[2023ꞏ浙江省高三联考](x－23x)6的展开式的中间一项的系数是__________．(用数字作答).6．[2023ꞏ浙江嘉兴检测]已知⎝⎛⎭⎫3x 2＋1x n展开式中的各二项式系数的和比各项系数的和小240，则n ＝__________；展开式中的系数最大的项是________．三. 高考小题重现篇1.[2020ꞏ北京卷]在(x －2)5的展开式中，x 2的系数为( ) A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．102．[2019ꞏ全国卷Ⅲ](1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．243．[2022ꞏ新高考Ⅰ卷]⎝⎛⎭⎫1－yx (x ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为________________(用数字作答).4．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式中常数项是______(用数字作答).5．[2021ꞏ上海卷]已知二项式(x ＋a )5展开式中，x 2的系数为80，则a ＝________． 6．[2021ꞏ浙江卷]已知多项式(x －1)3＋(x ＋1)4＝x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，则a 1＝________，a 2＋a 3＋a 4＝________．四. 经典大题强化篇1.已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.求下列各式的值： (1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5； (2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|； (3)a 1＋a 3＋a 5.2．[2023ꞏ江西省景德镇一中考试]已知函数f (n ，x )＝⎝⎛⎭⎫2m ＋m x n (m >0，x >0).(1)当m ＝2时，求f (7，x )的展开式中二项式系数最大的项；(2)若f (10，x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2 ＋…＋a 10x 10 ，且a 2＝180，参考答案一 基础小题练透篇1．答案：C答案解析：因为（2x ＋1）n的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，所以C 2n ＝C 3n ，由组合数的性质可得n ＝2＋3＝5.2．答案：C答案解析：在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7 的展开式中，通项公式为T r ＋1＝C r 7 ·x 7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝（－1）r C r7 x 7－2r，故第r ＋1项的系数为（－1）r C r7 ，当r ＝0，2，4，6时，系数为正，因为C 07 <C 17 ＝C 67 <C 27 <C 47 ，所以当r ＝4时，系数最大的项是第5项． 3．答案：D答案解析：由于x ，1x互为倒数，故常数项为第4项，即常数项为C 36 x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3 ＝20×（－8）＝－160.故选D. 4．答案：B答案解析：因为（x ＋2y ）（x －y ）5＝x （x －y ）5＋2y （x －y ）5，（x －y ）5的通项为：T r ＋1＝C r5 x 5－r （－y ）r ，令r ＝3，则T 4＝C 35 x 2（－y ）3，令r ＝2，则T 3＝C 25 x 3（－y ）2，所以x 3y 3的系数为C 35 （－1）3＋2C 25 （－1）2＝－10＋20＝10. 故选B. 5．答案：D答案解析：令x ＝0，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝（0＋1）×（0＋1）8＝1，令x ＝－12，则a 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋1 ×（－2＋1）8＝54 ，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝1－54 ＝－14 . 6．答案：C答案解析：由（x ＋1）4＋（x －2）8＝[（x －1）＋2]4＋[（x －1）－1]8＝a 0＋a 1（x －1）＋a 2（x －1）2＋…＋a 8（x －1）8，得a 3·（x －1）3＝C 14 ·（x －1）3·2＋C 58 ·（x －1）3·（－1）5，∴a 3＝8－C 58 ＝－48.故选C. 7．答案：C答案解析：（1＋2x ）n 展开式第r ＋1项T r ＋1＝C r n （2x ）r ＝C r n 2r x r，∵a 5＝a 6，∴C 5n 25＝C 6n 26，即C 5n ＝2C 6n ，∵n ！5！（n －5）！ ＝2×n ！6！（n －6）！ ， 整理得n －5＝3，∴n ＝8. 故选C.8．答案：15答案解析：令x ＝1，得所有项的系数和为4n ，二项式系数和为2n ，所以4n 2n ＝2n＝32，即n ＝5，（3x ＋x ）5的第r ＋1项为C r5 ·（3x ）5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12 r＝C r 5 ·35－r ·x 5－r2 .令5－r2＝3，得r ＝4，所以x 3项的系数是C 45 ×3＝15.二 能力小题提升篇1．答案：C答案解析：因为在（x －1）n的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，即C 5n 最大，所以n ＝10.2．答案：C答案解析：（1－x ）8展开式第r ＋1项T r ＋1＝C r 8 18－r （－x ）r ＝（－1）r C r 8 x r，（1－ax ＋x 2）（1－x ）8的展开式中含x 2的项的系数为1·（－1）2C 28 －a ·（－1）C 18 ＋1·（－1）0C 08 ，所以1·（－1）2C 28 －a ·（－1）C 18 ＋1·（－1）0C 08 ＝21，解方程可得a ＝－1，故选C.3．答案：D答案解析：二项式（x ＋13x ）30的展开式中，通项公式为C r 30 ·（x ）30－r·（13x）r＝C r30 ·x15－56r，0≤r ≤30，∴r ＝0，6，12，18，24，30时满足题意，共6项． 4．答案：A答案解析：令x ＝1可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1 n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 n ＝164 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 6 ，所以n ＝6，展开式有7项，所以二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 6 展开式中二项式系数最大的为第4项T 4＝（－1）3C 36 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 6－3x 3＝－52x 3. 5．答案：－16027答案解析：由二项式展开式可知，⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 3－23x 6的展开式的中间一项的系数为C 36 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 3·（－2）3＝－16027. 6．答案：4 108x 5答案解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n 展开式中，各二项式系数的和比各项系数的和小240，即2n －（3＋1）n ＝－240，化简得22n －2n －240＝0，解得2n ＝16或2n＝－15（不合题意，舍去），所以n ＝4.所以⎝ ⎛⎭3x 2＋1x 4＝81x 8＋4×27x 5＋6×9x 2＋4×3x ＋1x4 ，展开式中的系数最大的项是108x 5.三 高考小题重现篇1．答案：C答案解析：由二项式定理得（x －2）5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5 （x ）5－r （－2）r＝C r 5 （－2）rx 5－r2 ，令5－r 2＝2，得r ＝1，所以T 2＝C 15 （－2）x 2＝－10x 2，所以x 2的系数为－10.2．答案：A答案解析：展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34 ＋2C 14 ＝4＋8＝12.3．答案：－28答案解析：因为⎝⎛⎭⎪⎫1－y x()x ＋y 8＝()x ＋y 8－y x()x ＋y 8，所以⎝⎛⎭⎪⎫1－y x()x ＋y 8的展开式中含x 2y 6的项为C 68 x 2y 6－y xC 58 x 3y 5＝－28x 2y 6，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y x ()x ＋y 8的展开式中x 2y 6的系数为－28. 4．答案：240答案解析：展开式的通项为T r ＋1＝C r6 （x 2）6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r＝2r C r 6 x12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4，故常数项为24C 46 ＝240.5．答案：2答案解析：（x ＋a ）5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5 x 5－r a r ，令5－r ＝2，得r ＝3，则C 35 a 3＝80，解得a ＝2.6．答案：5 10答案解析：（x －1）3展开式的通项T r ＋1＝C r 3 x 3－r ·（－1）r ，（x ＋1）4展开式的通项T k ＋1＝C k 4 x 4－k ，则a 1＝C 03 ＋C 14 ＝1＋4＝5；a 2＝C 13 （－1）1＋C 24 ＝3；a 3＝C 23 （－1）2＋C 34 ＝7；a 4＝C 33 （－1）3＋C 44 ＝0.所以a 2＋a 3＋a 4＝3＋7＋0＝10.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.（2）令x ＝－1，得－35＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5.由（2x －1）5的通项T r ＋1＝C r 5 （－1）r ·25－r ·x 5－r， 知a 1，a 3，a 5为负值，所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35＝243. （3）由a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1，－a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35，得2（a 1＋a 3＋a 5）＝1－35，所以a 1＋a 3＋a 5＝1－352＝－121.2．答案解析：（1）当m ＝2时，f （7，x ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 7 的展开式共有8项，二项式系数最大的项为第四项或第五项，所以T 4＝C 37 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3 ＝280x3 或T 5＝C 47 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 4＝560x4 .（2）①f （10，x ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋m x 10 的通项公式为T r ＋1＝C r 10 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫m x r＝210－r ·m 2r －10·C r 10 x －r ，且f （10，x ）＝a 0＋a 1x＋a 2x2 ＋…＋a n xn ，所以1x2 的系数为a 2＝28C 210 m －6＝180，解得m＝2，所以f （10，x ）的通项公式为T r ＋1＝C r10 ⎝ ⎛⎭2x r＝2r C r 10 x －r ，所以a r ＝2r C r10 ，当r ＝0时，a 0＝1，令x ＝1，∑10i ＝1a i ＝310－1＝59 048， ②设a r ＝2r C r10 为a i （0≤i ≤10）中的最大值，则⎩⎨⎧2r C r 10 ≥2r －1C r －110 2r C r 10 ≥2r ＋1C r ＋110， 解得⎩⎪⎨⎪⎧2（11－r ）≥r r ＋1≥2（10－r ） ，即193 ≤r ≤223 ，r ∈N ，所以r ＝7，所以（a i ）max ＝a 7＝27C 710 ＝15 360.。
2023 届高考数学专项(函数的奇偶性与周期性)经典好题练习附答案
2023 届高考数学专项(函数的奇偶性与周期性)经典好题练习-x的图象关于()1.函数f(x)=1xA.y轴对称B.直线y=-x对称C.原点中心对称D.直线y=x对称2.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集为()A.(1,3)B.(-1,1)C.(-1,0)∪(1,3)D.(-1,0)∪(0,1)3.已知定义域为R的函数f(x)在(8,+∞)上单调递减,且函数y=f(x+8)为偶函数,则()A.f(6)>f(7)B.f(6)>f(9)C.f(7)>f(9)D.f(7)>f(10)4.设偶函数f(x)满足当x≥0时,f(x)=x3-8,则{x|f(x-2)>0}=()A.{x|x<-2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<-2或x>2}5.(多选)对于定义在R上的函数f(x),下列判断错误的有()A.若f(-2)>f(2),则函数f(x)在R上是增函数B.若f(-2)≠f(2),则函数f(x)不是偶函数C.若f(0)=0,则函数f(x)是奇函数D.函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,在区间(0,+∞)上也单调递增,则f(x)是R上的增函数6.(多选)(2020山东淄博一模,12)已知函数y=f(x)是R上的奇函数,对于任意x∈R,都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立,当x∈[0,2)时,f(x)=2x-1.给出下列结论,其中正确的是()A.f(2)=0B.点(4,0)是函数y=f(x)的图象的一个对称中心C.函数y=f(x)在[-6,-2]上单调递增D.函数y=f(x)在[-6,6]上有3个零点7.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)8.(2020山东潍坊临朐模拟一,14)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+4)=f (x ),且当x ∈(0,2)时,f (x )=x 2+1,则f (7)的值为 .9.定义在R 上的函数f (x )满足f (x+6)=f (x ),当x ∈[-3,-1)时,f (x )=-(x+2)2,当x ∈[-1,3)时,f (x )=x ,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 021)= .10.已知f (x )是R 上的奇函数,f (1)=2,且对任意x ∈R 都有f (x+6)=f (x )+f (3)成立,则f (2 017)= . 11.函数f (x )=π2sinx3 |x |的最大值是M ,最小值是m ,则f (M+m )的值等于( )A.0B.2πC.πD.π212.(2020全国2,理9)设函数f (x )=ln |2x+1|-ln |2x-1|,则f (x )( ) A.是偶函数,且在 12, ∞ 上单调递增 B.是奇函数,且在 -12,12 上单调递减 C.是偶函数,且在 -∞,-12 上单调递增 D.是奇函数,且在 -∞,-12 上单调递减13.奇函数f (x )的定义域为R ,若f (x+1)为偶函数,且f (1)=2,则f (4)+f (5)的值为( ) A.2 B.1 C.-1D.-214.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x+2)=f (x ),当x ∈[0,1]时,f (x )=3x ,若12<a<34,关于x 的方程ax+3a-f (x )=0在区间[-3,2]上不相等的实数根的个数为 . 15.在下列函数中,与函数f (x )=2x-1-12x 1的奇偶性、单调性均相同的是()A.y=e xB.y=ln(x+√x 1)C.y=x 2D.y=tan x16.如果存在正实数a ,使得f (x-a )为奇函数,f (x+a )为偶函数,我们称函数f (x )为“和谐函数”.给出下列四个函数:①f (x )=(x-1)2+5;②f (x )=cos 2x-π4;③f (x )=sin x+cos x ;④f (x )=ln |x+1|.其中“和谐函数”的个数为 .参考答案1.C ∵f (-x )=-1x+x=-1x-x =-f (x ),且定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∴f (x )为奇函数,故f (x )的图像关于原点中心对称.故选C . 2.C f (x )的图像如图.当x ∈[-1,0)时,由xf (x )>0得x ∈(-1,0); 当x ∈[0,1)时,由xf (x )>0得x ∈⌀; 当x ∈[1,3]时,由xf (x )>0得x ∈(1,3). 故x ∈(-1,0)∪(1,3).故选C .3.D 由y=f (x+8)为偶函数,知函数f (x )的图像关于直线x=8对称.又因为f (x )在(8,+∞)上单调递减,所以f (x )在(-∞,8)上单调递增.可画出f (x )的草图(图略),知f (7)>f (10),故选D .4.B f (x-2)>0等价于f (|x-2|)>0=f (2).又f (x )=x 3-8在[0,+∞)上单调递增,∴|x-2|>2,解得x<0或x>4,故选B .5.ACD 对于A,若f (-2)>f (2),则f (x )在R 上必定不是增函数,故A 错误;对于B,若函数f (x )是偶函数,则f (-2)=f (2),所以若f (-2)≠f (2),则函数f (x )不是偶函数,故B 正确;对于C,f (x )=x 2,满足f (0)=0,但不是奇函数,故C 错误;对于D,该函数为分段函数,在x=0处,有可能会出现右侧比左侧低的情况,故D 错误.故选ACD .6.AB 在f (x+4)=f (x )+f (2)中,令x=-2,得f (-2)=0,又因为函数y=f (x )是R 上的奇函数,所以f (2)=-f (-2)=0,f (x+4)=f (x ),故y=f (x )是一个周期为4的奇函数,因为(0,0)是f (x )的图像的一个对称中心,所以点(4,0)也是函数y=f (x )的图像的一个对称中心,故A,B 正确;作出函数f (x )的部分图像如图所示,易知函数y=f (x )在[-6,-2]上不具单调性,故C 不正确;函数y=f (x )在[-6,6]上有7个零点,故D 不正确.故选AB .7.C ∵f (x )是奇函数,∴当x<0时,f (x )=-x 2+2x.作出函数f (x )的大致图像如图中实线所示,结合图像可知f (x )是R 上的增函数,由f (2-a 2)>f (a ),得2-a 2>a ,解得-2<a<1,故选C .8.-2 因为f (x+4)=f (x ),所以f (x )的周期为4.又因为f (x )是奇函数,所以f (7)=f (8-1)=f (-1)=-f (1),由题意f (1)=12+1=2,所以f (7)=-2,故答案为-2.9.337 由题意得函数的周期为6,f (1)=1,f (2)=2,f (3)=f (-3)=-1,f (4)=f (-2)=0,f (5)=f (-1)=-1,f (6)=f (0)=0,所以数列{f (n )}从第一项起,每连续6项的和为1,则f (1)+f (2)+…+f (2 021)=336×1+f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)=337. 10.2 ∵f (x )是R 上的奇函数,∴f (0)=0.又对任意x ∈R 都有f (x+6)=f (x )+f (3),∴当x=-3时,有f (3)=f (-3)+f (3), ∴f (-3)=0,f (3)=-f (-3)=0, ∴f (x+6)=f (x ),f (x )的周期为6. 故f (2 017)=f (1)=2. 11.D 设h (x )=sinx3 |x |,则h (-x )=-h (x ),所以h (x )是一个奇函数,所以函数h (x )的最大值和最小值的和是0,所以M+m=π,所以f (M+m )=π2,故选D .12.D 由题意可知,f (x )的定义域为 x x 12,关于原点对称.∵f (x )=ln |2x+1|-ln |2x-1|,∴f (-x )=ln |-2x+1|-ln |-2x-1|=ln |2x-1|-ln |2x+1|=-f (x ), ∴f (x )为奇函数.当x ∈ -12,12时,f (x )=ln(2x+1)-ln(1-2x ),∴f'(x )=22x 1 -21-2x4(2x 1)(1-2x )>0,∴f (x )在区间 -12,12上单调递增.同理,f (x )在区间 -∞,-12, 12, ∞ 上单调递减. 故选D .13.A ∵f (x+1)为偶函数,f (x )为奇函数,∴f (-x+1)=f (x+1),f (x )=-f (-x ),f (0)=0,∴f (x+1)=f (-x+1)=-f (x-1),∴f (x+2)=-f (x ),f (x+4)=f (x+2+2)=-f (x+2)=f (x ), 则f (4)=f (0)=0,f (5)=f (1)=2, ∴f (4)+f (5)=0+2=2,故选A .14.5 ∵f (x+2)=f (x ),∴函数f (x )是周期为2的函数,若x ∈[-1,0],则-x ∈[0,1],f (-x )=-3x ,由题意f (-x )=f (x )=-3x.由ax+3a-f (x )=0,得a (x+3)=f (x ),设g (x )=a (x+3),分别作出函数f (x ),g (x )在区间[-3,2]上的图像如图.∵12<a<34,∴当a=12和34时,对应的直线为两条虚线,则由图像知两个函数有5个不同的交点,故方程有5个不相等的实数根. 15.B 由题意,f (-x )=2-x-1-12-x 112x 1-2x-1=-f (x ),所以f (x )为R 上的奇函数.因为2x-1和-12x 1都为R 上的增函数,所以f (x )=2x-1-12x 1为R 上的增函数.对于A,y=e x 不是奇函数,排除A;对于B,由f (-x )=ln(-x+ (-x ) 1)=ln1x x 2 1=-ln(x+√x 1)=-f (x ),所以f (x )为奇函数,由复合函数的单调性知y=ln(x+√x 1)为增函数,故B 正确;对于C,y=x 2不是奇函数,排除C;对于D,y=tan x 在R 上不是单调函数,排除D .故选B .16.1 ①中f (0)=6≠0,无论正数a 取什么值f (x-a )都不是奇函数,故不是“和谐函数”;②中f (x )=cos 2x-π2=sin 2x ,f (x )的图像向左或右平移π4个单位长度后其函数变为偶函数,f (x )的图像向左或右平移π2个单位长度后其函数变为奇函数,故不是“和谐函数”;③中f (x )=sin x+cos x=√2sin x+π4,因为f x-π4=√2sinx 是奇函数,f x+π4=√2cos x 是偶函数,故是“和谐函数”;④因为f (x )=ln |x+1|,所以只有f (x-1)=ln |x|为偶函数,而f (x+1)=ln |x+2|为非奇非偶函数,故不存在正数a 使得函数f (x )是“和谐函数”.综上可知,只有③是“和谐函数”.。
2023届高考数学复习：精选好题专项(不等式与逻辑用语多选题)练习(附答案)
2023届高考数学复习：精选好题专项(不等式与逻辑用语多选题)练习题型一 不等式的性质1、（2022年湖南磁力一中高三月考试卷）下列四个条件中，能成为x y >的充分不必要条件的是（ ） A. 22xc yc >B. 22x y >C. x y >D. ln ln x y >2、（2022年江苏镇江市高三月考试卷）已知a ，b ，c ，d ∈R ，下列命题正确的是（ ） A. 若a <b <0，则a 2<ab <b 2B. 若a >b ，则ac 2≥bc 2C. 不等式e e 2a a -+≥恒成立D. 若a b >，且c d >，则()()ln ln ac bd >3、（2022ꞏ江苏无锡ꞏ高三期末）已知e e 1b a <<，则下列结论正确的是（ ） A ．22a b < B ．2b aa b+>C ．2ab b >D ．2lg lg()a ab <4、（2022ꞏ广东汕尾ꞏ高三期末）已知a ，b 都是不等于1的正实数，且a >b ，0<c <1，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．a b c c > B ．c c a b >C ．log log c c a b >D ．11()()4a b a b++>5、（2022ꞏ山东济南ꞏ高三期末）已知实数a ，b ，c 满足0a b c >>>，则下列说法正确的是（ ） A ．()()11a c abc a <--B ．b bc a a c+<+ C ．2ab c ac bc +>+D ．()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为46、（2022ꞏ山东泰安ꞏ高三期末）若,,0a b R a b ∈<<，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．11a b a>- B ．11a b > C ．2a bb a+>D ．a b >7、（华南师范大学附属中学高三期末试题）已知0a b >>，则下列说法正确的是（ ） A.33b b a a +>+ B.3223a b aa b b+<+C. <D. lg lg lg 22a b a b++> 题型二 简单不等式1、(2022·江苏苏州期中)已知不等式x 2＋2ax ＋b －1＞0的解集是{x |x ≠d }，则b 的值可能是A ．－1B ．3C ．2D ．02、(2022·江苏常州期中)已知关于x 的不等式a e x ＋bx ＋c ＞0的解集为(－1，2)，则A ．a ＞0B ．b ＞0C ．c ＞0D ．a ＋b ＋c ＞03、（2022年湖南湘阴县知源高级中学高三月考试卷）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则（ ）A. 0a >B. 不等式0bx c +>的解集是{}|6x x <-C. 0a b c ++>D. 不等式20cx bx a -+<的解集为11(,(,)32-∞-⋃+∞4、（2022年江苏盐城市高三月考试卷）若“2340x x +-<”是“222()330x k x k k -+++≥”的充分不必要条件，则实数k 可以是（ ）A. 8-B. 5-C. 1D. 45、（2022年重庆市北山中学高三月考试卷）. 下列叙述不正确的是（ ） A.12x<的解是12x >B. “04m ≤≤”是“210mx mx ++≥”的充要条件C. 已知x ∈R ，则“0x >”是“11x -<”的必要不充分条件D. 函数()2232f x x x =++的最小值是2- 题型三 基本不等式1、（2022年辽宁葫芦岛市中学高三月考试卷）已知0a >，0b >，4165log 2log 16a b +=，则下列结论正确的是（ ）A. 45a b +=B. 542a b +=C. ab 的最大值为2564D.11a b+的最小值为1852、 （2022年湖南邵阳市高三月考试卷）已知实数a ，b ，c 满足0a b c <<<，则下列说法正确的是（ ）A.()()11a c abc a >-- B.b bc a a c+>+ C. 2ab c ac bc +>+D. 11()()a b a b++的最小值为43、（2022ꞏ广东ꞏ铁一中学高三期末）若0,0a b >>．且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．1104ab <≤ B 2 C ．111a b+≥D ．22118a b ≤+ 4、（2022ꞏ重庆ꞏ模拟预测）（多选题）已知正数a ，b 满足22a b ab +=，则下列说法一定正确的是（ ） A ．24a b +≥ B ．4a b +≥ C ．8ab ≥D ．2248a b +≥5、（2022ꞏ湖南常德ꞏ高三期末）若0a >，0b >，111a b+=，则（ ）A ．4ab ≤B ．4a b +≥C ．228a b +≤D ．22log log 2a b +≥6、（2022ꞏ湖北襄阳ꞏ高三期末）已知()lg f x x =，当a b <时，()()f a f b =，则（ ） A ．01a <<，1b >B ．10ab =C ．2114b a -<D ．224a b +>7、（2022ꞏ山东德州ꞏ高三期末）已知0a >，0b >，2a b ab +=，则下列结论正确的是（ ）A ．a b +的最小值为3+B ．22a b +的最小值为16CD ．lg lg a b +的最小值为3lg 28、（2022ꞏ山东烟台ꞏ高三期末）已知0a >，0b >，则下列命题成立的有（ ） A ．若1ab =，则222a b +≥ B ．若1ab =，则112a b +≥C ．若1a b +=，则2212a b +≤D ．若1a b +=，则114a b+≥9、（2022ꞏ湖北ꞏ蕲春县第一高级中学模拟预测）（多选题）若0,0a b >>，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．1104ab <≤ B ．111a b+≥C ．22log log 2a b +<D ．22118a b ≤+10、（2022ꞏ辽宁辽阳ꞏ二模）（多选题）已知0a >，0b >，且24a b +=，则（ ） A ．124a b ->B ．22log log 1a b +≤C ≥D ．412528a b +≥11、（2022ꞏ福建莆田ꞏ模拟预测）（多选题）已知直线l ：()100,0ax by a b ++=>>与圆C ：221x y +=相切，则下列说法正确的是（ ）A ．12ab ≥B ．22114a b+≥C ．2122a b +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭D ．11a b+≤12、（2022ꞏ江苏ꞏ扬中市第二高级中学模拟预测）（多选题）已知0a >，0b >，且2a b ab +=，则（ ）A ．8ab ≥B ．3a b +≤+C ．24b >D ．()()221log 1log 24a b -⋅-≤13、（2022ꞏ湖南衡阳ꞏ三模）（多选题）已知实数0a >，0b >，1a b +=．则下列不等式正确的是（ ）A ．22a b +≥ BC ．112216a b ⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．222a b a b b a +≤++14、（2022ꞏ辽宁葫芦岛ꞏ二模）（多选题）已知0a b >>，115a b a b+++=，则下列不等式成立的是（ ）A ．14a b <+<B ．114b a a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．2211b a a b ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15、（2022ꞏ河北ꞏ模拟预测）（多选题）已知220,0,2a b a b >>+=，则以下不等式成立的是（ ） A ．2a b +>B ．332a b +≥C ．114a b b a ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D ．112a b +≥参考答案题型一 不等式的性质1、（2022年湖南磁力一中高三月考试卷）下列四个条件中，能成为x y >的充分不必要条件的是（ ） A. 22xc yc > B. 22x y >C. x y >D. ln ln x y >【答案】AD 【答案解析】【要点分析】由充分必要条件的概念与不等式性质对选项逐一判断， 【过程详解】对于A ，若22xc yc >，则20c >，x y >，而当0c =，x y >时，22xc yc =，故22xc yc >是x y >的充分不必要条件，故A 正确， 对于B ，若22x y >，则x y >，若x y >，则22x y >， 故22x y >是x y >的充要条件，故B 错误，对于C ，当2,1x y =-=时，x y >，而x y <，故C 错误，对于D ，若ln ln x y >，则0x y >>，当x y >，0y <时，ln y 无意义， 故ln ln x y >是x y >的充分不必要条件，故D 正确， 故选：AD2、（2022年江苏镇江市高三月考试卷）已知a ，b ，c ，d ∈R ，下列命题正确的是（ ） A. 若a <b <0，则a 2<ab <b 2B. 若a >b ，则ac 2≥bc 2C. 不等式e e 2a a -+≥恒成立D. 若a b >，且c d >，则()()ln ln ac bd >【答案】BC 【答案解析】【要点分析】对于AD ，举反例即可排除； 对于B ，利用不等式的性质即可判断； 对于C ，利用基本不等式即可判断.【过程详解】对于A ，令2,1a b =-=-，则0a b <<，但2222(2)(1)a b =->-=，故A 错误； 对于B ，因为a b >，2c ≥0，所以22ac bc ≥，当0c =时取“"=，故B 正确；对于C ，因为e e 2a a -+≥=，当且仅当e e a a -=，即0a =时，等号成立，所以e e 2a a -+≥恒成立，故C 正确；对于D ，令1,2,3,4a b c d =-=-=-=-，则a b >，c d >，且3,8ac bd ==，所以由ln y x =的单调性可知()()ln ln ac bd <，故D 错误. 故选：BC.3、（2022ꞏ江苏无锡ꞏ高三期末）已知e e 1b a <<，则下列结论正确的是（ ） A ．22a b < B ．2b aa b+>C ．2ab b >D ．2lg lg()a ab <【答案】ABD 【要点分析】先根据函数单调性，得到0b a <<，AC 选项用作差法比较大小；B 选项用基本不等式求取值范围；D 选项，先用作差法，再结合函数单调性比大小. 【过程详解】e e 1b a <<，则0b a <<，因为22()()0a b a b a b -=-+<，所以22a b <，A 选项正确；因为0b a <<，所以0,0b a a b >>，由基本不等式得：2a b b a +>=，B 选项正确；2()0ab b b a b -=-<，2ab b ∴<，C 选项错误；2()0a ab a a b -=-<，2a ab ∴<，2lg lg a ab ∴<，D 选项正确，故选：ABD4、（2022ꞏ广东汕尾ꞏ高三期末）已知a ，b 都是不等于1的正实数，且a >b ，0<c <1，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．a b c c >B ．c c a b >C ．log log c c a b >D ．11()()4a b ab++>【答案】BD 【要点分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性，结合题意，可判断A 、B 、C 的正误，根据基本不等式，可判断D 的正误，即可得答案.【过程详解】函数x y c =，因为01c <<，所以x y c =是减函数， 因为a >b ，所以a b c c <，故A 错．函数c y x =，因为01c <<，所以c y x =在(0,)+∞是增函数， 因为a >b ，所以c c a b >，故B 正确．函数log c y x =，因为01c <<，所以log c y x =在(0,)+∞是减函数， 因为a >b ，所以log log c c a b <，故C 错．11()1124a b a b a b b a ⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号， 又a b >，所以11()4a b a b ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，故D 正确．故选：BD5、（2022ꞏ山东济南ꞏ高三期末）已知实数a ，b ，c 满足0a b c >>>，则下列说法正确的是（ ）A ．()()11a c abc a <--B ．b bc a a c+<+ C ．2ab c ac bc +>+ D ．()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为4【答案】BC 【要点分析】对于A ，利用不等式的性质判断，对于BC ，作差判断即可，对于D ，利用基本不等式判断 【过程详解】对于A ，因为0a b c >>>，所以11a b <，10c a<-，所以()()11a c a b c a >--，所以A 错误， 对于B ，因为0a b c >>>，所以()0,()0c a b a a c ->+>， 所以()()()0()()()b c b a b c b a c ab ac ab bc c a b a c a a a c a a c a a c ++-++----===>++++，所以b b ca a c+<+，所以B 正确， 对于C ，因为0a b c >>>，所以0,0a c b c ->->，所以2()()()()()0ab c ac bc a b c c b c a c b c +-+=---=-->，所以2ab c ac bc +>+，所以C 正确，对于D ，因为0,0a b >>，所以()11224b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =即a b =时取等号，因为a b >，所以取不到等号，所以()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值不为4，所以D 错误，故选：BC6、（2022ꞏ山东泰安ꞏ高三期末）若,,0a b R a b ∈<<，则下列不等式中，一定成立的是（ ）A ．11a b a>- B ．11a b > C ．2a bb a+>D ．a b >【答案】BCD 【要点分析】以求差法判断选项AB ；以均值定理判断选项C ；以绝对值的几何意义判断选项D. 【过程详解】 选项A ：()()11()a a b b a b a a b a a b a---==---，由0a b <<，可知0a <，0b <，0a b -<， 则()0ba b a <-，即11a b a<-.选项A 判断错误；选项B ：11b aa b ab --=，由0a b <<，可知0a <，0b <，0b a ->，则0b a ab ->，即11a b>.选项B 判断正确； 选项C ：当0a b <<时，2a b b a +>=.选项C 判断正确； 选项D ：当0a b <<时，a b >.选项D 判断正确. 故选：BCD7、（华南师范大学附属中学高三期末试题）已知0a b >>，则下列说法正确的是（ ） A.33b b a a +>+ B.3223a b aa b b+<+C. <D. lg lg lg 22a b a b++> 【答案】BD 【答案解析】【过程详解】对于A ，因为()()330,033b a b b a b a a a a -+>>-=<++，所以33b b a a +<+，故A 错误； 对于B ，因为0a b >>，所以22a b >，所以()()()()()2223223320232323b aa b b a a b a b a a b b a b b a b b-+-++-==<+++，即3223a b a a b b +<+，故B 正确； 对于C ，因为0a b >>>>，所以>，故C 错误；对于D ，因为0a b >>，所以lg lg lg 22a b a b++>=，故D 正确. 故选：BD.题型二 简单不等式1、(2022·江苏苏州期中)已知不等式x 2＋2ax ＋b －1＞0的解集是{x |x ≠d }，则b 的值可能是A ．－1B ．3C ．2D ．0 【答案】BC【答案解析】由题意可知，方程x 2＋2ax ＋b －1＝0的根为d ，则∆＝4a 2－4(b －1)＝0，则b －1＝a 2≥0，所以b ≥1，则选项B 、C 正确；选项A 、D 错误；综上，答案选BC ．2、(2022·江苏常州期中)已知关于x 的不等式a e x ＋bx ＋c ＞0的解集为(－1，2)，则A ．a ＞0B ．b ＞0C ．c ＞0D ．a ＋b ＋c ＞0 【答案】BCD【答案解析】由题意可知，当a ＝0时，不等式不成立；当a ≠0时，－1，2是方程a e x ＋bx ＋c ＝0的两个根，则有⎩⎪⎨⎪⎧a e －1－b ＋c ＝0a e 2＋2b ＋c ＝0，所以⎩⎨⎧b ＝－a3()e 2－e －1＞0c ＝－a 3()e 2＋2e －1＞0，故选项B 正确；选项C 正确；对于选项D ，a ＋b ＋c ＝a －a 3(e 2－e －1)－a 3(e 2－2e －1)＝a [1－13(e 2－e －1)－13(e 2－2e －1)]＝a (1－e 23＋13e －e 23－23e )＝a (1－2e 23－13e )＞0，故选项D 正确；综上，答案选BCD ．3、（2022年湖南湘阴县知源高级中学高三月考试卷）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则（ ）A. 0a >B. 不等式0bx c +>的解集是{}|6x x <-C. 0a b c ++>D. 不等式20cx bx a -+<的解集为11(,(,)32-∞-⋃+∞ 【答案】ABD 【答案解析】【过程详解】关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,,0,A a ∞∞--⋃+∴>选项正确；且－2和3是关于x 的方程20ax bx c ++=的两根，由韦达定理得2323b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，则,6b a c a =-=-，则60a b c a ++=-<，C 选项错误；不等式0bx c +>即为60ax a -->，解得6,B x <-选项正确；不等式20cx bx a -+<即为260ax ax a -++<，即2610x x -->，解得13x <-或1,D 2x >选项正确.故选：ABD .4、（2022年江苏盐城市高三月考试卷）若“2340x x +-<”是“222()330x k x k k -+++≥”的充分不必要条件，则实数k 可以是（ ）A. 8-B. 5-C. 1D. 4【答案】ACD 【答案解析】【过程详解】2340x x +-<，解得41x -<<，222()330x k x k k -+++≥即[]()(3)0x k x k --+≥，解得x k ≤或3x k ≥+，由题意知(4,1)-是(][),3,k k -∞⋃++∞的真子集， 所以1k ≥或34k +≤-， 所以1k ≥或7k ≤-，即(,7][1,)k ∈-∞-⋃+∞. 故选：ACD5、（2022年重庆市北山中学高三月考试卷）. 下列叙述不正确的是（ ） A.12x<的解是12x >B. “04m ≤≤”是“210mx mx ++≥”的充要条件C. 已知x ∈R ，则“0x >”是“11x -<”的必要不充分条件D. 函数()2232f x x x =++的最小值是2- 【答案】AD 【答案解析】 【过程详解】选项A ：12x<的解是12x >或0x <，故A 不正确；选项B ：由21y mx mx =++得24m m ∆=-，210mx mx ++≥恒成立则240m m m >⎧⎨-≤⎩或0m =，解得 04m ≤≤，所以“04m ≤≤”是“210mx mx ++≥”的充要条件，故B 正确；选项C ：由11x -<得111x -<-<，解得02x <<，所以“0x >”是“11x -<”的必要不充分条件，故C 正确；选项D ：由均值不等式得22322x x ++≥=+，当且仅当22322x x +=+时等号成立，此时x 无实数解，所以()2232f x x x =++的最小值大于2-，故D 不正确； 故选：AD题型三 基本不等式1、（2022年辽宁葫芦岛市中学高三月考试卷）已知0a >，0b >，4165log 2log 16a b +=，则下列结论正确的是（ ）A. 45a b +=B. 542a b +=C. ab 的最大值为2564D.11a b+的最小值为185【答案】BCD【答案解析】【过程详解】由4165log 2log 16a b +=可得，52816a b +=，即542a b +=．所以A 错误，B 正确；因为5254264a b ab =+≥⇒≤，当且仅当55,164a b ==时取等号，所以ab 的最大值为2564，C 正确；因为()11211244555b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(218555≥+=，当且仅当55,126a b ==时取等号，所以11a b+的最小值为185，D 正确．故选：BCD ．2、 （2022年湖南邵阳市高三月考试卷）已知实数a ，b ，c 满足0a b c <<<，则下列说法正确的是（ ）A.()()11a c abc a >--B.b bc a a c+>+ C. 2ab c ac bc +>+ D. 11()()a b a b++的最小值为4 【答案】ABC 【答案解析】【过程详解】由题0a b c <<<，所以有()()1111b a ac a b c a a b>⇒>⇒>--，故A 正确；()()b b c b a c a b c bc ac b a a a c+>⇒+>+⇒>⇒>+，故B 正确； ()()()()200ab c ac bc c c b a c b c a c b +>+⇒--->⇒-->，故C 正确；11()(224b a a b a b a b ++=++≥+=，当且仅当a b b a =即a b =时取等，又因为0a b <<，所以11()(4a b a b++>，即11()(a b a b++无最小值，故D 错误. 故选：ABC.3、（2022ꞏ广东ꞏ铁一中学高三期末）若0,0a b >>．且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．1104ab <≤ B 2C ．111a b+≥D ．22118a b ≤+ 【答案】CD 【要点分析】结合基本不等式对选项进行要点分析，由此确定正确选项. 【过程详解】22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时等号成立， 则2442ab ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭或222422a b +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则222211112,8,48a b ab a b ≥≤+≥≤+， 即AB 错误，D 正确.对于C 选项，1141414a b a ab ab b ++==≥⨯=，C 选项正确. 故选：CD4、（2022ꞏ重庆ꞏ模拟预测）（多选题）已知正数a ，b 满足22a b ab +=，则下列说法一定正确的是（ ） A ．24a b +≥ B ．4a b +≥ C ．8ab ≥ D ．2248a b +≥【答案】AD 【要点分析】由基本不等式判断AD ，取1,2b a ==判断BC. 【过程详解】 由题意可知1112b a +=，1122(2)2422a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭…（当且仅当22a b ==时取等号），故A 正确；取1,2b a ==，则3,2a b ab +==，故BC 错误；因为22a b ab +=≥所以2ab …（当且仅当22a b ==时取等号），则22448a b ab +厖（当且仅当22a b ==时取等号），故D 正确； 故选：AD5、（2022ꞏ湖南常德ꞏ高三期末）若0a >，0b >，111a b+=，则（ ）A ．4ab ≤B ．4a b +≥C ．228a b +≤D ．22log log 2a b +≥【答案】BD 【要点分析】利用基本不等式及指对数函数的性质逐项要点分析即得. 【过程详解】∵0a >，0b >，111a b +=≥ ∴4ab ≥，当且仅当2a b ==时取等号，故A 错误；由()1124b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即2a b ==时取等号，故B 正确；因为228a b ≥≥=+，当且仅当2a b ==时取等号，故C 错误； 因为()2222log log log log 42a b ab +=≥=，当且仅当2a b ==时取等号，故D 正确.故选：BD.6、（2022ꞏ湖北襄阳ꞏ高三期末）已知()lg f x x =，当a b <时，()()f a f b =，则（ ） A ．01a <<，1b >B ．10ab =C ．2114b a -<D ．224a b +>【答案】ACD 【要点分析】利用()()f a f b =，可得lg lg a b -=，从而得到1ab =，再对每一个选项进行要点分析即可. 【过程详解】因为()()f a f b =，且a b <，可得lg lg lg lg 0a b a b -=⇒+=，从而得到1ab =， 因为0a b <<，所以01a b <<<，所以2221111()244b b b b a -=-+=--+<，而12a b b b +=+>=，（1b >，等号不成立）所以422ab>==>=+.从而可知选项ACD 正确. 故选：ACD7、（2022ꞏ山东德州ꞏ高三期末）已知0a >，0b >，2a b ab +=，则下列结论正确的是（ ）A ．a b +的最小值为3+B ．22a b +的最小值为16CD ．lg lg a b +的最小值为3lg 2【答案】ACD 【要点分析】利用“1”的代换结合基本不等式判断AD +C ，由对数的运算结合基本不等式判断B. 【过程详解】由2a b ab +=可得，211b a +=，212()33a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭…2b ==等号），故A 正确；214(2)448a b ab a b b a b a ⎛⎫=++=+++= ⎪⎝⎭…（当且仅当24b a ==时，取等号），即lg lg lg lg83lg 2a b ab +=≥=，故D 正确；222a b ab +≥（当且仅当3b a ==时，取等号），8ab …（当且仅当24b a ==时，取等号），即2216a b +>，故B 错误；212112a b =+++=≤（当且仅当1212a b ==时，取等号），故C 正确； 故选：ACD8、（2022ꞏ山东烟台ꞏ高三期末）已知0a >，0b >，则下列命题成立的有（ ） A ．若1ab =，则222a b +≥ B ．若1ab =，则112a b +≥C ．若1a b +=，则2212a b +≤ D ．若1a b +=，则114a b+≥【答案】ABD 【要点分析】利用基本不等式逐项判断. 【过程详解】A.若1ab =，则2222a b ab +≥=，当且仅当1a b ==时，等号成立，故正确；B.若1ab =，则112a b +≥=当且仅当1a b ==时，等号成立，故正确；C.若1a b +=，则()2221122=+≥+a b a b ，当且仅当1a b ==时，等号成立，故错误； D.若1a b +=，则2111421a b ab a b ab a b +==≥++⎛⎫ ⎪⎝⎭=，当且仅当1a b ==时，等号成立，故正确；故选：ABD9、（2022ꞏ湖北ꞏ蕲春县第一高级中学模拟预测）（多选题）若0,0a b >>，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．1104ab <≤ B ．111a b +≥C ．22log log 2a b +<D ．22118a b ≤+【答案】BD 【要点分析】由基本不等式对选项逐一判断【过程详解】因为0,0a b >>，22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时等号成立， 则2442ab ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭或222422a b +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时等号成立，则222211112,8,48a b ab a b ≥≤+≥≤+， 当且仅当2a b ==时等号成立，则22222log log log log 22a b ab +=≤≤，当且仅当2a b ==时等号成立，故AC 错误，D 正确. 对于B 选项，1141414a b a ab ab b ++==≥⨯=， 当且仅当2a b ==时等号成立，故B 正确. 故选：BD10、（2022ꞏ辽宁辽阳ꞏ二模）（多选题）已知0a >，0b >，且24a b +=，则（ ） A ．124a b ->B ．22log log 1a b +≤C ≥D ．412528a b +≥ 【答案】BD【要点分析】由不等式的性质与基本不等式对选项逐一判断 【过程详解】对于A ，02a <<，()()42344,2a b a a a -=--=-∈-，所以12416a b -<<，故A 错误，对于B ，420a b =+≥>，即0<≤02ab <?，()222log log log 1a b ab +=≤，故B 正确，对于C ，228a b =++≤≤C 错误，对于D ，4122171725288488a b a b b a a b a b a b ++⎛⎫+=+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当825a b ==时，等号成立，故D 正确． 故选：BD11、（2022ꞏ福建莆田ꞏ模拟预测）（多选题）已知直线l ：()100,0ax by a b ++=>>与圆C ：221x y +=相切，则下列说法正确的是（ ）A ．12ab ≥B ．22114a b+≥C ．2122a b +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭D ．11a b+≤【答案】BC 【要点分析】先根据直线和圆相切得到221a b +=，再利用基本不等式判定选项A 错误、选项B 、C 正确，利用反例得到选项D 错误. 【过程详解】因为直线l ：10ax by ++=与圆C ：221x y +=相切， 所以圆心(0,0)C 到直线l 的距离等于1，1=，即221a b +=，且0a >，0b >；对于A ：因为222a b ab +≥且221a b +=，所以22122a b ab +=≤，即选项A 错误；对于B ：因为221a b +=，所以222222222222112a b a b b a a b a b a b+++=+=++24≥+=（当且仅当2222b a a b =，即a b =时取等号）， 即选项B 正确；对于C ：因为222a b ab +≥且221a b +=， 所以222222224412()a b ab a a b b +++⎛⎫+⎭≤ ⎝=⎪=（当且仅当a b =时取等号）， 即选项C 正确；对于D ：当219a =且289b =时，1134a b +=+>即选项D 错误. 故选：BC.12、（2022ꞏ江苏ꞏ扬中市第二高级中学模拟预测）（多选题）已知0a >，0b >，且2a b ab +=，则（ ） A．8ab ≥B ．3a b +≤+C ．24b >D ．()()221log 1log 24a b -⋅-≤【答案】ACD 【要点分析】利用基本不等式判断AB ，由不等式性质和指数函数性质判断C ．由基本不等式结合对数运算法则判断D ． 【过程详解】对于A，2a b ab +=≥8ab ≥，当且仅当2a =，4b =时，等号成立．对于B ，2a b ab +=变形得211b a +=，所以()212213ab a b a b b a b a ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当2a b b a =，即2b ==时，等号成立，故B 错误． 对于C ，因为211ba+=，所以201b<<，即2b >，则24b >． 对于D ，由2a b ab +=可得()()122a b --=，()()222log [(1)(2)]1log 1log 2a a b b -+---==，()()()()22222log 1log 2log 1log 22a b a b -+-⎡⎤-⋅-≤⎢⎥⎣⎦14=，当且仅当12a b -=-，即1a =，2b =+时等号成立． 故选：ACD ．13、（2022ꞏ湖南衡阳ꞏ三模）（多选题）已知实数0a >，0b >，1a b +=．则下列不等式正确的是（ ） A．22a b +≥ BC ．112216a b ⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D．222a b a b b a+≤++【答案】ABD 【要点分析】对于A 、D 利用1b a =-换元整理，22222abaa +=+，222211313a b a a b b a a a t t++==++-++-，再结合基本不等式；对于B 根据()2222a b a b ++≥，代入整理；对于C 113224a b ab ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，结合()24a b ab +≤计算处理． 【过程详解】∵1a b +=，则1b a =-∴12222222a b a a a a-+=+≥=+222aa =即12ab ==时等号成立A 正确；()222222211111a b a a a a b b a a a a a a a -++=+=+++--+-+令()11,2t a =+∈，则1a t =-221131333a t a a t t t t +==≤-+-++-3t t=即t 时等号成立 D 正确；∵22a b +≥，即212≥≤，当且仅当12a b ==时等号成立，B 正确； ∵()2144a b ab +≤=，当且仅当12a b ==时等号成立 ()421112121322416ab a b a b a b a b ab ab +++++⎛⎫⎛⎫++=⨯==+≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，C 不正确； 故选：ABD ．14、（2022ꞏ辽宁葫芦岛ꞏ二模）（多选题）已知0a b >>，115a b a b+++=，则下列不等式成立的是（ ） A ．14a b <+<B ．114b a a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．2211b a a b ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】AB 【要点分析】AB 选项，利用基本不等式进行求解；CD 选项，利用作差法比较大小. 【过程详解】 115a b a b +++=，即5a b a b ab+++=，所以()5a b ab a b +=-+，因为0a b >>，所以由基本不等式得：()24a b ab +<，所以()()254a b a ba b ++<-+，解得：14a b <+<，A 正确；111224b a ab a b ab ⎛⎫⎛⎫++=++≥≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1ab ab =时等号成立，故B 正确； ()221111111111b a b a b a b a b a a b a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=++++--=++++- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为0a b >>，所以()11110b a b a a b ab ⎛⎫⎛⎫++++-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以2211b a a b ⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误；()221111111111a b a b a b a b b a a b a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=++++--=+++-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为0a b >>，而1ab 可能比1大，可能比1小，所以()1111a b b a a b ab ⎛⎫⎛⎫+++-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭符号不确定，所以D 错误， 故选：AB15、（2022ꞏ河北ꞏ模拟预测）（多选题）已知220,0,2a b a b >>+=，则以下不等式成立的是（ ） A ．2a b +> B ．332a b +≥C ．114a b b a ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D ．112a b +≥【答案】BCD 【要点分析】直接利用基本不等式即可判断ACD ，由2a b +≤，可得()()()33332a b a b a b +≥++，整理即可判断B.【过程详解】解：对于A ，因为220,0,2a b a b >>+=，所以()()22224a b a b +≤+=，所以2a b +≤，当且仅当1a b ==时取等号，故A 错误；对于B ，()()()33332a b a b a b +≥++4334a ab a b b =+++()()22222222=+-++a b a b ab a b ()()222222a b ab a b ab ab =+++-⋅ ()()222222a b ab a b ab =+++- ()()22224a b ab a b =++-≥，当且仅当1a b ==时取等号，所以()3324a b +≥，即332a b +≥，故B 正确；对于C ，111224a b ab b a ab ⎛⎫⎛⎫++=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当1abab=，即1ab=时取等号，故C正确；对于D，112a b+≥≥=，当且仅当11a b=且a b=，即1a b==时取等号，故D正确.故选：BCD.。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(椭圆)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（椭圆）练习一. 基础小题练透篇1.已知定点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝8，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段2．[2023ꞏ山西省忻州市高三联考]“m >0”是“方程x 24 ＋y 2m ＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.[2023ꞏ重庆市高三模拟]几何学中，把满足某些特定条件的曲线组成的集合叫做曲线族．点Q 是椭圆族T 上任意一点，如图所示，椭圆族T 的元素满足以下条件：①长轴长为4；②一个焦点为原点O ；③过定点P ()0，3 ，则||QP ＋||QO 的最大值是( )A ．5B ．7C ．9D ．114．[2023ꞏ四川省遂宁市模拟]已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12 ，则( ) A ．a 2＝2b 2 B ．3a 2＝4b 2 C ．a ＝2b D ．3a ＝4b5．[2023ꞏ甘肃省张掖市高三检测]已知椭圆x 2＋y 2b 2 ＝1(1>b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 是椭圆上一点，点A 是线段F 1F 2上一点，且∠F 1MF 2＝2∠F 1MA ＝2π3 ，|MA |＝32 ，则该椭圆的离心率为( )A ．3B ．12C ．223D ．36．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，3 )，B (0，－3 )，动点M 满足|MA |＋|MB |＝4，则MA → ꞏMB →的最大值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．27．已知椭圆C 的焦点在x 轴上，过点(322 ，2)且离心率为13 ，则椭圆C 的焦距为________． 8．[2023ꞏ陕西省西安市模拟]椭圆x 29 ＋y 23 ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，如果PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的________倍．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ陕西省安康市高三联考]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 215 ＝1(a >15 )的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°.||PF 1 ＝5||PF 2 ，则C 的方程为( )A ．x 221 ＋y 215 ＝1B ．x 218 ＋y 215 ＝1C ．x 236 ＋y 215 ＝1 D ．x 242 ＋y 215 ＝12．[2023ꞏ广西贵港市高三联考]若2<m <8，椭圆C ：x 2m ＋y 22 ＝1与椭圆D ：x 2m ＋y 28 ＝1的离心率分别为e 1，e 2，则( )A ．e 1ꞏe 2的最小值为32B ．e 1ꞏe 2的最小值为12C ．e 1ꞏe 2的最大值为3D ．e 1ꞏe 2的最大值为123．[2023ꞏ江西名校联盟模拟]在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为( )A.22 B ．12 C ．13 D ．144．[2023ꞏ陕西省西安市高三检测]设椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1()a >b >0 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足F A → ꞏFB →＝0，||FB ≤||F A ≤2||FB ，则椭圆C 的离心率的最大值是( )A ．13B ．33C ．23D ．535．[2023ꞏ陕西省咸阳市摸底]已知椭圆C ：x 2m 2－1＋y 2m 2 ＝1(m ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，且△PF 1F 2面积的最大值为3 ，则椭圆C 的短轴长为________．6．[2023ꞏ福建省高三联考]抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点F ，点P ()3，2 ，以点F ，P 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为________．三. 高考小题重现篇1.[2021ꞏ山东卷]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29 ＋y 24 ＝1的两个焦点，点M 在C 上，则||MF 1 ꞏ||MF 2 的最大值为( )A ．13 B. 12 C ．9 D. 62．[全国卷Ⅰ]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 24 ＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．22 D ．2233．[2022ꞏ全国甲卷]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的离心率为13 ，A 1，A 2分别为C的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA → 1ꞏBA →2＝－1，则C 的方程为( )A ．x 218 ＋y 216 ＝1B ．x 29 ＋y 28 ＝1C ．x 23 ＋y 22 ＝1 D ．x 22 ＋y 2＝14．[2022ꞏ全国甲卷]椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为()A．32B．22C．12D．135．[2019ꞏ全国卷Ⅲ]设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．6．[2021ꞏ全国甲卷]已知F1，F2为椭圆C：x216＋y24＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．四. 经典大题强化篇1.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝5，直线l交椭圆于M，N两点．(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．2．[2022ꞏ湖北武汉调研]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为22，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为103时，求k的值．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：D答案解析：因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，所以动点P 的轨迹是线段F 1F 2. 2．答案：B答案解析：当m >0时方程x 24 ＋y 2m ＝1不一定表示椭圆，如m ＝4时方程x 24 ＋y 24＝1，即x 2＋y 2＝4就表示一个圆，所以“m >0”不是“方程x 24 ＋y2m＝1表示椭圆”的充分条件；但是当方程x 24 ＋y 2m ＝1表示椭圆时，应有m >0，所以“m >0”是“方程x 24 ＋y 2m＝1表示椭圆”的必要条件，故选B. 3．答案：A答案解析：如图所示设点Q 所在椭圆的另一焦点为F ，则||QP ＋||QO ＝||QP ＋4－||QF ≤||PF ＋4＝4－||PO ＋4＝5. 故选A. 4．答案：B答案解析：椭圆的离心率e ＝c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，化简得3a 2＝4b 2，故选B.5．答案：B答案解析：设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2，则r 1＋r 2＝2a ＝2，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos 2π3，即4c 2＝r 21 ＋r 22 ＋r 1r 2＝（r 1＋r 2）2－r 1r 2＝4－r 1r 2，所以r 1r 2＝4－4c 2，因为S △F 1MF 2＝S △F 1MA ＋S △AMF 2，所以12 r 1r 2sin 23 π＝12 r 1·|MA |·sin π3 ＋12 r 2·|MA |·sin π3，整理得r 1r 2＝（r 1＋r 2）·|MA |，即4－4c 2＝2×32 ，整理得c 2＝14，所以c ＝12 ，a ＝1，e ＝c a ＝12.故选B. 6．答案：C答案解析：易知M 的轨迹为椭圆，其方程为y 24＋x 2＝1，设M （x ，y ），则x 2＝1－y 24，∴MA → ·MB → ＝（－x ，3 －y ）·（－x ，－3 －y ）＝x 2＋y 2－3＝y 2＋（1－y 24）－3＝3y24－2， 因为y ∈[－2，2]，所以34y 2∈[0，3]，即3y24 －2∈[－2，1]，∴（MA → ·MB →）max ＝1. 7．答案：2答案解析：设椭圆方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1，由离心率为13 可得c a ＝13，由a 2＝b 2＋c 2可得b 2a 2＝89 ，又92a 2 ＋4b 2 ＝1，解得a 2＝9，b 2＝8，c ＝1，焦距为2. 8．答案：5答案解析：由题得c ＝6 ，由题得PF 2⊥x 轴，当x ＝6 时，69＋y 23 ＝1，所以y ＝±1，∴|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝2×3－|PF 2|＝6－1＝5， 所以|PF 1|是|PF 2|的5倍．二 能力小题提升篇1．答案：C答案解析：在椭圆C ：x 2a 2 ＋y 215＝1（a >15 ）中，由椭圆的定义可得||PF 1 ＋||PF 2 ＝2a ，因为||PF 1 ＝5||PF 2 ，所以||PF 2 ＝a 3，||PF 1 ＝5a3，在△PF 1F 2中，||F 1F 2 ＝2c ，由余弦定理得||F 1F 2 2＝||PF 1 2＋||PF 2 2－2||PF 1 ||PF 2 cos ∠F 1PF 2，即4c 2＝25a 29 ＋a29－5a 29 ＝21a 29 ，所以c 2a 2 ＝2136 ，又b 2＝15.所以a 2＝36，所以椭圆C 的方程为x 236 ＋y 215 ＝1. 故选C. 2．答案：D答案解析：因为2<m <8，所以e 1＝ 1－2m ，e 2＝ 1－m8，所以e 1·e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 8 ＝1＋14－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋m 8 ≤54－22m ·m 8 ＝12， 当且仅当m ＝4时，等号成立，故e 1·e 2的最大值为12，e 1·e 2无最小值．故选D.3．答案：C答案解析：不妨设点P 在x 轴上方，如图，连接BQ ，则由椭圆的对称性易得∠PBF ＝∠QBF ，∠EAB ＝∠EBA ，所以∠EAB ＝∠QBF ，所以ME ∥BQ ，所以|PE ||EB | ＝|PM ||MQ | .因为OE ∥PF ，所以|OF ||OB |＝|EP ||EB | ，从而有|PM ||MQ | ＝|OF ||OB | .又M 是线段PF 的中点，所以e ＝c a ＝|OF ||OB | ＝|PM ||MQ | ＝13 . 4．答案：D答案解析：如图所示：设椭圆的左焦点F ′，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF ′为平行四边形，又FA → ·FB →＝0，即FA ⊥FB ， 所以平行四边形AFBF ′为矩形，所以||AB ＝||FF ′ ＝2c ，设||AF ′ ＝|BF |＝n ，||AF ＝m, 在直角△ABF 中，m ＋n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2，得mn ＝2b 2，所以m n＋n m ＝2c 2b 2 ，令m n ＝t ，得t ＋1t ＝2c2b 2 ，又由||FB ≤||FA ≤2||FB ，得m n ＝t ∈[1，2]，所以t ＋1t ＝2c 2b 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 ，所以c 2b 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，54 ，即b 2a 2 ＝11＋c 2b2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤49，12 ， 所以e ＝ca＝1－b 2a 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，53 ，所以离心率最大值为53 .故选D.5．答案：23答案解析：由椭圆的方程可知，椭圆的焦点F 1，F 2在y 轴上，且|F 1F 2|＝2m 2－（m 2－1） ＝2，由题意可知，当点P 为椭圆C 左右顶点时，△PF 1F 2的面积最大，且12 |F 1F 2|m 2－1 ＝3 ，解得m ＝2，所以椭圆C 的短轴长为2m 2－1 ＝23 .6．答案：22答案解析：抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点F （1，0），根据题意2c ＝（3－1）2＋（2－0）2＝22 ，c ＝2 .设椭圆和抛物线的交点为Q ，Q 到抛物线准线x ＝－1的距离为d ，离心率最大，即a 最小，a ＝||QF ＋||QP 2 ＝d ＋||QP 2 ≥3－（－1）2＝2， 当PQ 与准线垂直时等号成立，此时e ＝ca ＝22. 三 高考小题重现篇1．答案：C答案解析：由题，a 2＝9，b 2＝4，则||MF 1 ＋||MF 2 ＝2a ＝6，所以||MF 1 ·||MF 2 ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫||MF 1＋||MF 22 2＝9（当且仅当||MF 1 ＝||MF 2 ＝3时，等号成立）.2．答案：C答案解析：由题意可知c ＝2，b 2＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝4＋22＝8，则a ＝22 ，∴e ＝c a ＝222 ＝22 . 3．答案：B答案解析：由椭圆C 的离心率为13 ，可得e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝13.化简，得8a 2＝9b 2.易知A 1（－a ，0），A 2（a ，0），B （0，b ），所以BA 1·BA 2＝（－a ，－b ）·（a ，－b ）＝－a 2＋b 2＝－1.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝9b 2，－a 2＋b 2＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝8. 所以C 的方程为x 29 ＋y 28 ＝1.故选B.4．答案：A答案解析：A ()－a ，0 ，设P ()x 1，y 1 ，则Q ()－x 1，y 1 ，则k AP ＝y 1x 1＋a ，k AQ ＝y 1－x 1＋a， 故k AP ·k AQ ＝y 1x 1＋a ·y 1－x 1＋a ＝y 21 －x 21 ＋a 2 ＝14， 又x 21 a2 ＋y 21 b2 ＝1，则y 21 ＝b 2()a 2－x 21 a 2， 所以b 2()a 2－x 21 a 2－x 21 ＋a2 ＝14 ，即b 2a 2 ＝14 ， 所以椭圆C 的离心率e ＝c a＝1－b 2a 2 ＝32 .故选A. 5．答案：（3，15 ）答案解析：不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20 ＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y220＝1，|F 1M |2＝（x ＋4）2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为（3，15 ）.6．答案：8答案解析：根据椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|可以得到四边形PF 1QF 2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋（8－m ）2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4（a 2－b 2）＝48，得m （8－m ）＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|×|PF 2|＝m （8－m ）＝8.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）由已知得b ＝4，且c a ＝55 ，即c 2a 2 ＝15，∴a 2－b 2a 2 ＝15，解得a 2＝20，∴椭圆方程为x 220 ＋y 216＝1. 则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立，消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029. （2）椭圆右焦点F 的坐标为（2，0），设线段MN 的中点为Q （x 0，y 0），由三角形重心的性质知BF → ＝2FQ →， 又B （0，4），∴（2，－4）＝2（x 0－2，y 0）， 故得x 0＝3，y 0＝－2， 即Q 的坐标为（3，－2）. 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 21 20 ＋y 21 16 ＝1，x 22 20 ＋y 2216＝1， 以上两式相减得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2 ＝－45 ·x 1＋x 2y 1＋y 2 ＝－45 ×6－4 ＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65（x －3），即6x －5y －28＝0.2．答案解析：（1）由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，得b ＝2 ，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y22＝1， 得（1＋2k 2）x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.Δ＝24k 2＋16>0恒成立． 设点M ，N 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则y 1＝k （x 1－1），y 2＝k （x 2－1），x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2 ，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2 ，所以|MN |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝2（1＋k 2）（4＋6k 2）1＋2k 2. 又点A （2，0）到直线y ＝k （x －1）的距离d ＝|k |1＋k2 ，所以△AMN的面积S＝12|MN|·d＝|k|4＋6k21＋2k2，由|k|4＋6k21＋2k2＝103，得k＝±1.所以当△AMN的面积为103时，k＝±1.。
高中数学好题经典题总结400题(251—300)含答案
好题速递251题设,m k 为正整数，方程220mxkx 在区间0,1内有两个不同的根，则mk 的最小值是．解：2220mxkxkmxx于是问题转化为直线yk 与打勾函数2ymxx的图象的两个交点的横坐标均在区间0,1内，于是222mkm注意到2m 为整数，于是在区间22,2m m 上存在整数k 的充要条件为2221mm 解得322m 故m 的最小值为6，而k 的最小值为7，则m k 的最小值为13好题速递252题已知21xy，求22xxy的最小值是．解法一：令22xxym ，则222myxm因此22212myym，整理得22y my m m故用判别式2240mm m，解得45m解法二：设cos x r ，sin yr ，条件转化为2cossin1r r ，即12cossinr所求代数式转化为cos1cos 2cossinr r的最小值由此可有斜率角度求值域：2cos sin 2cos2sin2sin 252cos 1cos 1cos 14，（视为单位圆上的点与1,2连线斜率），则22cos 142cossin5xxy也可由三角函数角度求值域：22cos 14sin21cos12112cossin5mm m mm m评注：这里因为遇到22xy 的结构，故三角换元设cos x r ，sinyr 。
解法三：数形结合当0x时，点P 为21xy 上的一点，则22x xyPOPH如图，就是典型的“饮马问题”，点O 关于直线21xy的对称点42,55Q 到y 轴的距离为45当0x 时，点P 为21x y上的一点，则22x xyPO PH而21POOHOB PH PH于是1PO PH好题速递253题如图，直线m 与平面，垂足是O ，正四面体ABCD 的棱长为4，点C 在平面上运动，点B 在直线m 上运动，则点O 到直线AD 的距离的取值范围是．解：题意中是点O 是定点，正四面体ABCD 运动，但始终保持OBOC 不变不妨反过来换位思考，将正四面体ABCD 固定下来，让点O 在以BC 为直径的球面上运动，如图所示。
2024届高考数学复习：精选好题专项(抛物线)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选好题专项（抛物线）练习[基础巩固]一、选择题1．抛物线y＝14x2的焦点到其准线的距离为()A．1 B．2C．12D．182．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为() A．(－1，0) B．(1，0)C．(0，－1) D．(0，1)3．动点M到点F(2，1)的距离和到直线l：3x＋4y－10＝0的距离相等，则动点M的轨迹为()A．抛物线B．直线C．线段D．射线4．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线x23－y2＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－4 B．4C．－2 D．25．[2022ꞏ全国乙卷(文)，6] 设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝()A.2 B．22C．3 D．326．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝()A．2 B．3C．4 D．87.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为()A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝2x D．y2＝x8．设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA → ꞏOB →等于( )A ．34B ．－34C ．3D ．－39．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，当A 点坐标为(3，y 0)时，△AEF 为正三角形，则此时△OAB 的面积为( )A ．433 B ．3C ．233D ．33二、填空题10．[2021ꞏ新高考Ⅰ卷]已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ，若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________．11．[2023ꞏ全国乙卷(理)]已知点A ()1，5 在抛物线C ：y 2＝2px 上，则A 到C 的准线的距离为________．12．已知直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________．[强化练习]13．(多选)[2023ꞏ新课标Ⅱ卷]设O 为坐标原点，直线y ＝－3 (x －1)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则( )A ．p ＝2B ．|MN |＝83C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．△OMN 为等腰三角形 14．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点M (3，1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则△ABM 的周长为( )A ．7112 ＋26 B ．9＋26C ．9＋10D ．8312 ＋2615．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，抛物线C 有一点P ，过点P 作PM ⊥l ，垂足为M ，若等边△PMF 的面积为43 ，则p ＝________．16．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A ，B两点(点A 在x 轴上方)，则|AF ||BF | ＝________.参考答案1．B y ＝14 x 2可化为x 2＝4y ，则焦点到准线的距离为12 ×4＝2.2．B ∵y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2 ，又准线过点(－1，1)，∴－p2 ＝－1，∴p ＝2，故其焦点坐标为(1，0).3．B ∵F (2，1)在直线l ：3x ＋4y －10＝0上，∴动点M 的轨迹为过点F 且与直线l 垂直的直线．4．B ∵x 23 －y 2＝1的右焦点为(2，0)，∴p2 ＝2，p ＝4.5．B 由已知条件，易知抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.又B (3，0)，则|AF |＝|BF |＝2.不妨设点A 在第一象限，则A (x 0，2x 0 ).根据抛物线的定义可知x 0－(－1)＝2，所以x 0＝1，所以A (1，2)，所以|AB |＝（1－3）2＋（2－0）2 ＝22 .故选B.6．D 由题意，知抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0 ，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)，所以p 2 ＝2p ，解得p ＝8，故选D.7．B如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设准线与x 轴交于点G ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在Rt △ACE 中，∵|AF |＝4，|AC |＝4＋3a ，∴2|AE |＝|AC |，∴4＋3a ＝8，从而得a ＝43 ，∵AE ∥FG ，∴FG AE ＝CF AC ，即p 4 ＝48 ，得p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x .故选B.8．B 当AB 与x 轴垂直时，A ⎝⎛⎭⎫12，1 ，B ⎝⎛⎭⎫12，－1 ，OA → ꞏOB → ＝12 ×12 ＋1×(－1)＝－34 ；当AB 与x 轴不垂直时，设l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12 ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，y 2＝2x ，得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24 ＝0 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由韦达定理得x 1＋x 2＝k 2＋2k 2 ，x 1x 2＝14 ，∴OA → ꞏOB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2⎝⎛⎭⎫x 1－12 ⎝⎛⎭⎫x 2－12 ＝(1＋k 2)x 1x 2－12 k 2(x 1＋x 2)＋k 24 ＝－34 . 9．A 不妨设点A 在第一象限，如图所示，过点F 作AE 的垂线，垂足为H ，由题知当A 的坐标为(3，y 0)时△AEF 为正三角形，此时H 为AE 的中点，|AE |＝3＋p 2 ，|EH |＝p ，∴2p ＝3＋p2 ，解得p ＝2，∴y 2＝4x ，A (3，23 )，F (1，0)，∴k AF ＝3 ，直线AF 的方程为y ＝3 (x －1)，代入抛物线方程得3(x －1)2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，解得x 1＝3，x 2＝13 ，此时y 1＝23 ，y 2＝－233 ，∴S △AOB ＝S △OFB ＋S △OF A ＝12 ×1×⎝⎛⎭⎫233＋23 ＝433 ，故选A. 10．x ＝－32答案解析：抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 ，∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为p2 ，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为±p ，不妨设P (p2 ，p )，因为Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ，所以Q 在F 的右侧， 又∵|FQ |＝6，∴Q (6＋p 2 ，0)，∴PQ →＝(6，－p )因为PQ ⊥OP ，所以PQ → ꞏOP →＝p 2 ×6－p 2＝0， ∵p >0，∴p ＝3，所以C 的准线方程为x ＝－32 . 11.94答案解析：将点A 的坐标代入抛物线方程，得5＝2p ，于是y 2＝5x ，则抛物线的准线方程为x ＝－54 ，所以A 到准线的距离为1－⎝⎛⎭⎫－54 ＝94. 12．0或1答案解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ， 得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0， 若k ＝0，满足题意；若k ≠0，则Δ＝(4k －8)2－4×4k 2＝0，得k ＝1.综上得k ＝0或k ＝1.13．AC 由题意，易知直线y ＝－3 (x －1)过点(1，0).对于A ，因为直线经过抛物线C 的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以p2 ＝1，即p ＝2，所以A 选项正确．对于B ，不妨设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，x 1<x 2，联立方程得⎩⎨⎧y ＝－3（x －1）y 2＝4x，消去y并整理得3x 2－10x ＋3＝0，解得x 1＝13 ，x 2＝3.所以M (13 ，233 )，N (3，－23 )，所以由两点间距离公式可得|MN |＝（3－13）2－（－23－233）2 ＝163 ，故B 选项错误．对于C ，由以上分析易知，l 的方程为x ＝－1，以MN 为直径的圆的圆心坐标为(53 ，－233)，半径r ＝12 |MN |＝83 ＝53 ＋1，所以以MN 为直径的圆与l 相切，故C 选项正确． 对于D ，由两点间距离公式可得|MN |＝163 ，|OM |＝133 ，|ON |＝21 ，故D 选项错误．综上，选AC.14．B 令y ＝1，得x ＝14 ，即A ⎝⎛⎭⎫14，1 . 由抛物线的光学性质可知AB 经过焦点F ，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x .消去y ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0.则x A x B ＝1，所以x B ＝1x A＝4.|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝254 .将x ＝4代入y 2＝4x 得y ＝±4，故B (4，－4). 故|MB |＝（4－3）2＋（－4－1）2 ＝26 .故△ABM 的周长为|MA |＋|MB |＋|AB |＝⎝⎛⎭⎫3－14 ＋26 ＋254 ＝9＋26 .故选B. 15．2答案解析：设准线l 和x 轴交于N 点，PM 平行于x 轴，∠PMF ＝∠MFN ＝60°，由抛物线的定义得到|NF |＝p ，故|MF |＝2p ，故34 (2p )2＝43 ，∴p ＝2.16．3答案解析：如图所示，由题意得准线l ：x ＝－p2 .作AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ，BH ⊥AC 于点H ，则|AF |＝|AC |，|BF |＝|BD |，|AH |＝|AC |－|BD |＝|AF |－|BF |，因为在Rt △AHB 中，∠HAB ＝60°，所以cos 60°＝|AH ||AB | ＝|AF |－|BF ||AF |＋|BF |，即12 (|AF |＋|BF |)＝|AF |－|BF |，得|AF ||BF | ＝3.。
高考数学《数列》专题好题集锦(100道)含详细解答
全国各地数学模拟试卷《数列》题集锦1.已知数列｛n a ｝中，111,22n n a n a a +=-,点（）在直线y=x 上，其中n=1,2,3…. （1）令11n n n b a a ,+=--求证数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}的通项；n a⑶ 设分别为数列、n n T S {}、n a {}n b 的前n 项和,是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在，试求出λ.若不存在,则说明理由。
解：（I ）由已知得 111,2,2n n a a a n +==+2213313,11,4424a a a =--=--=- 又11,n n n b a a +=--1211,n n n b a a +++=--11112111(1)111222.1112n n n n n n n n n n n n n n a n a n a a b a a b a a a a a a +++++++++++-----∴====------ {}n b ∴是以34-为首项，以12为公比的等比数列.（II）由（I）知，13131(),4222n n n b -=-⨯=-⨯1311,22n n n a a +∴--=-⨯21311,22a a ∴--=-⨯ 322311,22a a --=-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅11311,22n n n a a --∴--=-⨯将以上各式相加得：1213111(1)(),2222n n a a n -∴---=-++⋅⋅⋅+11111(1)31313221(1)(1) 2.12222212n n n n a a n n n ---∴=+--⨯=+---=+--32.2n n a n ∴=+-（III ）解法一：存在2λ=，使数列{}n nS T nλ+是等差数列. 12121113()(12)2222n n n S a a a n n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-11(1)(1)22321212n n n n -+=⨯+--2213333(1) 3.2222n n n n n n --=-+=-++ 12131(1)313342(1).1222212n n n n n T b b b +--=++⋅⋅⋅+==--=-+- 数列{}n n S T n λ+是等差数列的充要条件是,(n nS T An B A n λ+=+、B 是常数)即2,n n S T An Bn λ+=+又2133333()2222n n n n n n S T λλ+-+=-+++-+2313(1)(1)222n n n λ-=+--∴当且仅当102λ-=，即2λ=时，数列{}n nS T nλ+为等差数列. 解法二：存在2λ=，使数列{}n nS T nλ+是等差数列. 由（I ）、（II ）知，22n n a b n +=-(1)222n n n S T n +∴+=- (1)222n nn n n n n T T S T n nλλ+--++=322n n T n λ--=+ 又12131(1)313342(1)1222212n n n n n T b b b +--=++⋅⋅⋅+==--=-+- 13233()222n n n S T n n n λλ++--=+-+∴当且仅当2λ=时，数列{}nn S T n λ+是等差数列. 2.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且公比不等于1，数列{}n b 对任意正整数n ，均有：1221223125()log ()log ()log 0n n n n n n b b a b b a b b a ++++-⋅+-+-=成立，又171,13b b ==。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(直线与方程)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（直线与方程）练习一. 基础小题练透篇1．过点P (3 ，－23 )且倾斜角为135°的直线方程为( ) A ．3x －y －43 ＝0 B ．x －y －3 ＝0 C ．x ＋y －3 ＝0 D ．x ＋y ＋3 ＝02．直线l ：x ＋3 y ＋1＝0的倾斜角的大小为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°3．[2023ꞏ河北示范性高中开学考]“λ＝3”是“直线(2λ－3)x ＋(λ＋1)y ＋3＝0与直线(λ＋1)x －λy ＋3＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．[2023ꞏ广东韶关月考]过点M ()－1，－2 ，在两坐标轴上截距相等的直线方程为( ) A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y ＝0或x ＋y ＋3＝0C ．y ＝x －1D ．x ＋y ＋3＝0或y ＝x －15．[2023ꞏ湖北省质量检测]在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x ＋2y ＋1＝0和x ＋2y ＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x －4y ＋c 1＝0和3x －4y ＋c 2＝0，则|c 1－c 2|＝( )A ．23B ．25C ．2D ．46．[2023ꞏ杭州市长河高级中学期中]已知直线l 过点P ()2，4 ，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为( )A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y －8＝0C ．2x －y ＝0或x ＋2y －10＝0D ．2x －y ＝0或2x ＋y －8＝07．经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为________．8．[2023ꞏ宁夏银川月考]已知直线3x ＋4y ＋3＝0与直线6x ＋my －14＝0平行，则它们之间的距离是________．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ江苏泰州调研]已知直线l ：x ＋()a －1 y ＋2＝0，l 2：3 bx ＋y ＝0，且l 1⊥l 2，则a 2＋b 2的最小值为( )A ．14B ．12C ．22 D ．13162．[2023ꞏ河北邢台市月考]下列四个命题中，正确的是( ) A ．直线3x ＋y ＋2＝0在y 轴上的截距为2 B ．直线y ＝0的倾斜角和斜率均存在C ．若两直线的斜率k 1，k 2满足k 1＝k 2，则两直线互相平行D ．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等3．[2023ꞏ福建宁德质量检测]已知点A (－2，1)和点B 关于直线l ：x ＋y －1＝0对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C .若△ABC 的面积为2，则实数k 的值为( )A ．3或13 B ．0C ．13 D ．34．[2023ꞏ云南大理检测]设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 面积的最大值是( )A ．25B ．5C ．52 D ．55．[2023ꞏ重庆黔江检测]在平面直角坐标系中，△ABC 的一个顶点是A (－3，1)，∠B ，∠C 的平分线所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程为________.6．[2023ꞏ云南楚雄期中]已知平面上一点M (5，0)，若直线l 上存在点P ，使|PM |＝4，则称该直线为点M 的“相关直线”，下列直线中是点M 的“相关直线”的是________．(填序号)①y ＝x ＋1；②y ＝2；③4x －3y ＝0；④2x －y ＋1＝0.三. 高考小题重现篇1.[2020ꞏ全国卷Ⅱ]若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( )A ．55 B ．255 C ．355 D ．4552．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3．[北京卷]在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．[2019ꞏ江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．四. 经典大题强化篇1.[2023ꞏ武汉调研]已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5，0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5，0)到l 的距离的最大值．2．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1，2)，求：(1)点A 和点C 的坐标； (2)△ABC 的面积．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：D答案解析：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1， 所以直线方程为y ＋23 ＝－（x －3 ），即x ＋y ＋3 ＝0. 2．答案：D答案解析：由l ：x ＋3 y ＋1＝0可得y ＝－33 x －33 ，所以直线l 的斜率为k ＝－33 ，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝－33，因为0°≤α<180°，所以α＝150°. 3．答案：A答案解析：∵直线（2λ－3）x ＋（λ＋1）y ＋3＝0与直线（λ＋1）x －λy ＋3＝0互相垂直，∴（2λ－3）（λ＋1）－λ（λ＋1）＝0，∴λ＝3或－1， 而“λ＝3”是“λ＝3或－1”的充分不必要条件，∴“λ＝3”是“直线（2λ－3）x ＋（λ＋1）y ＋3＝0与直线（λ＋1）x －λy ＋3＝0互相垂直”的充分不必要条件，故选A. 4．答案：B答案解析：当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为x ＋y ＝a ， 因为直线过点M ()－1，－2 ，代入可得a ＝－3，即x ＋y ＋3＝0； 当所求直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，因为直线过点M ()－1，－2 ，代入可得k ＝2，即2x －y ＝0， 综上可得，所求直线的方程为2x －y ＝0或x ＋y ＋3＝0. 故选B. 5．答案：B答案解析：设直线x ＋2y ＋1＝0与直线3x －4y ＋c 2＝0的交点为A ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝03x －4y ＋c 2＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－c 2＋25y ＝c 2－310，故A （－c 2＋25 ，c 2－310 ），同理设直线x ＋2y ＋1＝0与直线3x －4y ＋c 1＝0的交点为B ，则B （－c 1＋25 ，c 1－310），设直线x ＋2y ＋3＝0与直线3x －4y ＋c 1＝0的交点为C ，则C （－c 1＋65 ，c 1－910），设直线x ＋2y ＋3＝0与直线3x －4y ＋c 2＝0的交点为D ，则D （－c 2＋65 ，c 2－910），由菱形的性质可知BD ⊥AC ，且BD ，AC 的斜率均存在，所以k BD ·k AC ＝－1，则c 1－310－c 2－910－c 1＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2＋65 ·c 2－310－c 1－910－c 2＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 1＋65 ＝－1，即36－（c 2－c 1）24[]16－（c 2－c 1）2 ＝－1，解得|c 1－c 2|＝25 .6．答案：D答案解析：若直线l 经过原点，满足条件，可得直线l 的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0；若直线l 不经过原点，可设直线l 的方程为x a ＋y2a＝1()a ≠0 ，把点P ()2，4 代入可得2a ＋42a ＝1，解得a ＝4，∴直线l 的方程为x 4 ＋y8＝1，即2x ＋y －8＝0，综上可得直线l 的方程为2x －y ＝0或2x ＋y －8＝0. 故选D.7．答案：4x －3y ＋9＝0答案解析：方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－53，y ＝79即交点为（－53 ，79），∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，∴所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79 ＝43 （x ＋53），即4x －3y ＋9＝0.方法二 由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0， 可解得交点为（－53 ，79 ），代入4x －3y ＋m ＝0，得m ＝9，故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 方法三 由题意可设所求直线方程为（2x ＋3y ＋1）＋λ（x －3y ＋4）＝0，即（2＋λ）x ＋（3－3λ）y ＋1＋4λ＝0 ① 又∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，∴3（2＋λ）＋4（3－3λ）＝0，∴λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x －3y ＋9＝0.8．答案：2答案解析：∵直线3x ＋4y ＋3＝0与直线6x ＋my －14＝0平行，∴m ＝8，6x ＋8y －14＝0可化为3x ＋4y －7＝0.∴它们之间的距离为|3－（－7）|32＋42＝2.二 能力小题提升篇1．答案：A答案解析：l 1⊥l 2，则3 b ＋a －1＝0，∴a ＝1－3 b ， 所以a 2＋b 2＝()1－3b 2＋b 2＝4b 2－23 b ＋1，二次函数的抛物线的对称轴为b ＝－－232×4 ＝34，当b ＝34 时，a 2＋b 2取最小值14. 故选A. 2．答案：B答案解析：对于直线3x ＋y ＋2＝0，令x ＝0得y ＝－2，所以直线3x ＋y ＋2＝0在y 轴上的截距为－2，故A 错误；直线y ＝0的倾斜角为0，斜率为0，存在，故B 正确；若两直线的斜率k 1，k 2满足k 1＝k 2，则两直线互相平行或重合，所以C 错误；若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，所以D 错误．故选B. 3．答案：B答案解析：设点B （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧y －1x ＋2＝1，x －22＋y ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3， 则B （0，3）.由已知可得直线m 的方程为y －1＝k （x ＋2），与方程x ＋y －1＝0联立， 解得x ＝－2k k ＋1，y ＝3k ＋1k ＋1 ，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k ＋1，3k ＋1k ＋1 . 由已知可得直线AB 的方程为y －1＝x ＋2，即y ＝x ＋3，且|AB |＝22 ， 则点C 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k k ＋1－3k ＋1k ＋1＋32 ＝|2－2k |2|k ＋1|， 所以S △ABC ＝12 ×22 ·|2－2k |2|k ＋1|＝2，即|1－k |＝|k ＋1|（k ≠－1），解得k ＝0. 4．答案：C答案解析：动直线x ＋my ＝0，令y ＝0，解得x ＝0，因此此直线过定点A （0，0）. 动直线mx －y －m ＋3＝0，即m （x －1）＋3－y ＝0，令x －1＝0，3－y ＝0，解得x ＝1，y ＝3，因此此直线过定点B （1，3）.当m ＝0时，两条直线分别为x ＝0，y ＝3，交点P （0，3），S △PAB ＝12 ×1×3＝32.当m ≠0时，两条直线的斜率分别为－1m ，m ，则－1m·m ＝－1，因此两条直线相互垂直．设|PA |＝a ，|PB |＝b ，∵|AB |＝12＋32 ＝10 ，∴a 2＋b 2＝10.又a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≤5，当且仅当a ＝b ＝5 时等号成立．∴S △PAB ＝12 |PA |·|PB |＝12 ab ≤52.综上，△PAB 的面积最大值是52.5．答案：2x －y －5＝0答案解析：因为∠B ，∠C 的平分线所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝x ，所以直线AB 与直线BC 关于直线x ＝0对称，直线AC 与直线BC 关于直线y ＝x 对称．则点A （－3，1）关于直线x ＝0对称的点A ′（3，1）在直线BC 上，点A （－3，1）关于直线y ＝x 对称的点A″（1，－3）也在直线BC上，所以由两点式得直线BC的方程为y＋31＋3＝x－13－1，即y＝2x－5.6．答案：②③答案解析：①点M到直线y＝x＋1的距离d＝|5－0＋1|12＋（－1）2＝32>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故①不是点M 的“相关直线”．②点M到直线y＝2的距离d＝|0－2|＝2<4，即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故②是点M的“相关直线”．③点M到直线4x－3y＝0的距离d＝|4×5－3×0|42＋（－3）2＝4，即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故③是点M的“相关直线”．④点M到直线2x－y＋1＝0的距离d＝|2×5－0＋1|22＋（－1）2＝1155>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故④不是点M的“相关直线”．三 高考小题重现篇1．答案：B答案解析：设圆心为P（x0，y0），半径为r，∵圆与x轴，y轴都相切，∴|x0|＝|y0|＝r，又圆经过点（2，1），∴x0＝y0＝r且（2－x0）2＋（1－y0）2＝r2，∴（r－2）2＋（r－1）2＝r2，解得r＝1或r＝5.①r＝1时，圆心P（1，1），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝|2－1－3|22＋（－1）2＝255；②r＝5时，圆心P（5，5），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝|10－5－3|22＋（－1）2＝255.2．答案：B答案解析：方法一 点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离为d＝|k·0－（－1）＋k|k2＋1＝|k＋1|k2＋1，注意到k2＋1≥2k，于是2（k2＋1）≥k2＋2k＋1＝|k＋1|2，当且仅当k＝1时取等号．即|k＋1|≤k2＋1·2，所以d＝|k＋1|k2＋1≤2，故点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为2.方法二 由题意知，直线l：y＝k（x＋1）是过点P（－1，0）且斜率存在的直线，点Q（0，－1）到直线l的最大距离在直线l与直线PQ垂直时取得，此时k＝1，最大距离为|PQ|＝2.3．答案：C答案解析：由题意可得d＝|cos θ－m sin θ－2|m2＋1＝|m sin θ－cos θ＋2|m2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m2＋1（mm2＋1sin θ－1m2＋1cos θ）＋2m2＋1＝|m2＋1sin （θ－φ）＋2|m2＋1（其中cos φ＝mm2＋1，sin φ＝1m2＋1），∵－1≤sin （θ－φ）≤1，∴|2－m 2＋1|m 2＋1 ≤d ≤m 2＋1＋2m 2＋1 ，m 2＋1＋2m 2＋1 ＝1＋2m 2＋1，∴当m ＝0时，d 取最大值3.4．答案：4答案解析：通解 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x ＋4x ，x >0，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|x ＋x ＋4x |2＝2x ＋4x 2 ≥22x ·4x 2＝4，当且仅当2x ＝4x，即x ＝2 时取等号，故点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4.优解 由y ＝x ＋4x （x >0）得y ′＝1－4x 2 ，令1－4x2 ＝－1，得x ＝2 ，则当点P 的坐标为（2 ，32 ）时，点P 到直线x ＋y ＝0的距离最小，最小值为|2＋32|2＝4. 四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）易知点A 到直线x －2y ＝0的距离不等于3，可设经过两已知直线交点的直线系方程为（2x ＋y －5）＋λ（x －2y ）＝0，即（2＋λ）x ＋（1－2λ）y －5＝0.由题意得|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2 ＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或12.∴l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点为P （2，1），如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A到l 的距离，则d ≤|PA |（当l ⊥PA 时等号成立）.∴d max ＝|PA |＝10 .2．答案解析：（1）由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0，解得点A （－1，0）.又直线AB 的斜率为k AB ＝1，且x 轴是∠A 的平分线，故直线AC 的斜率为－1，所以AC 所在的直线方程为y ＝－（x ＋1）. 已知BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率为－2，故BC 所在的直线方程为y －2＝－2（x －1）.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－（x ＋1），y －2＝－2（x －1）， 得点C 的坐标为（5，－6）.（2）因为B （1，2），C （5，－6），所以|BC |＝（1－5）2＋（2＋6）2＝45 ，点A（－1，0）到直线BC：y－2＝－2（x－1）的距离为d＝|2×（－1）－4|5＝65，所以△ABC的面积为12×45×65＝12.。
2024届新高考数学复习：专项(解三角形的综合运用大题)历年好题练习(附答案)
2024届新高考数学复习：专项（解三角形的综合运用大题）历年好题练习1．[2023ꞏ新课标Ⅰ卷]已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B.(1)求sin A；(2)设AB＝5，求AB边上的高．2．△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin B sin C.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．3.[2023ꞏ新课标Ⅱ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为3，D为BC的中点，且AD＝1.(1)若∠ADC＝π3，求tan B；(2)若b2＋c2＝8，求b，c.4．[2022ꞏ新高考Ⅰ卷，18]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A 1＋sin A＝sin 2B1＋cos 2B.(1)若C＝2π3，求B；(2)求a2＋b2c2的最小值．5.[2023ꞏ全国乙卷(理)]在△ABC 中，已知∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1. (1)求sin ∠ABC ；(2)若D 为BC 上一点，且∠BAD ＝90°，求△ADC 的面积．6．[2023ꞏ河北石家庄模拟]在①cos C ＝217 ，②a sin C ＝c cos ⎝⎛⎭⎫A －π6 ，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线处，并完成解答．问题：△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3 ，D 是边BC 上一点，BD ＝5，AD ＝7，且________，试判断CD 和BD 的大小关系________．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．7．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C . (1)求A ；(2)若2 a ＋b ＝2c ，求sin C ．8．[2022ꞏ全国乙卷(理)，17]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C sin (A －B )＝sin B sin (C －A ).(1)证明：2a 2＝b 2＋c 2；(2)若a ＝5，cos A ＝2531 ，求△ABC 的周长．参考答案1．答案解析：方法一 (1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，因为A ＋B ＝3C ，所以3C ＝π－C ，所以C ＝π4 . 因为2sin (A －C )＝sin B ，所以2sin (A －π4 )＝sin (3π4 －A )，展开并整理得2 (sin A －cos A )＝22 (cos A ＋sin A )， 得sin A ＝3cos A ，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，且sin A >0，所以sin A ＝31010 .(2)由正弦定理BCsin A ＝AB sin C ，得BC ＝AB sin C ×sin A ＝522×31010 ＝35 ，由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ꞏBC cos C ，得52＝AC 2＋(35 )2－2AC ꞏ35 cos π4 ， 整理得AC 2－310 AC ＋20＝0， 解得AC ＝10 或AC ＝210 ，由(1)得，tan A ＝3>3 ，所以π3 <A <π2 ，又A ＋B ＝3π4 ，所以B >π4 ，即C <B ，所以AB <AC ，所以AC ＝210 ，设AB 边上的高为h ，则12 ×AB ×h ＝12 ×AC ×BC sin C ，即5h ＝210 ×35 ×22 ，解得h ＝6，所以AB 边上的高为6.方法二 (1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，因为A ＋B ＝3C ，所以3C ＝π－C ，所以C ＝π4 . 因为2sin (A －C )＝sin B ，所以2sin (A －C )＝sin [π－(A ＋C )]＝sin (A ＋C )，所以2sin A cos C －2cos A sin C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 所以sin A cos C ＝3cos A sin C ， 易得cos A cos C ≠0，所以tan A ＝3tan C ＝3tan π4 ＝3，又sin A >0，所以sin A ＝332＋12 ＝31010 . (2)由(1)知sin A ＝31010 ，tan A ＝3>0，所以A 为锐角，所以cos A ＝10，所以sin B ＝sin (3π4 －A )＝22 (cos A ＋sin A )＝22 ×(1010 ＋31010 )＝255 ，由正弦定理AC sin B ＝ABsin C ，得AC ＝AB ꞏsin Bsin C ＝5×25522＝210 ，故AB 边上的高为AC ×sin A ＝210 ×31010 ＝6.2．答案解析：(1)由正弦定理和已知条件得BC 2－AC 2－AB 2＝AC ꞏAB .① 由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ꞏAB cos A ．②由①②得cos A ＝－12 .因为0<A <π，所以A ＝2π3 .(2)由正弦定理及(1)得AC sin B ＝AB sin C ＝BCsin A ＝23 ，从而AC ＝23 sin B ，AB ＝23 sin (π－A －B )＝3cos B －3 sin B .故BC ＋AC ＋AB ＝3＋3 sin B ＋3cos B ＝3＋23 sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3 . 又0<B <π3 ，所以当B ＝π6 时，△ABC 周长取得最大值3＋23 . 3．答案解析：(1)因为D 为BC 的中点，所以S △ABC ＝2S △ADC ＝2×12 ×AD ×DC sin ∠ADC ＝2×12 ×1×DC ×32 ＝3 ， 解得DC ＝2，所以BD ＝DC ＝2，a ＝4.因为∠ADC ＝π3 ，所以∠ADB ＝2π3 .在△ABD 中，由余弦定理，得c 2＝AD 2＋BD 2－2AD ꞏBD cos ∠ADB ＝1＋4＋2＝7，所以c ＝7 .在△ADC 中，由余弦定理，得b 2＝AD 2＋DC 2－2AD ꞏDC ꞏcos ∠ADC ＝1＋4－2＝3，所以b ＝3 .在△ABC 中，由余弦定理，得cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ＝7＋16－32×4×7＝5714 ，所以sin B ＝1－cos 2B ＝2114 .(2)因为D 为BC 的中点，所以BD ＝DC .因为∠ADB ＋∠ADC ＝π，所以cos ∠ADB ＝－cos ∠ADC ，则在△ABD 与△ADC 中，由余弦定理，得AD 2＋BD 2－c 22AD ꞏBD ＝－AD 2＋DC 2－b 22AD ꞏDC ， 得1＋BD 2－c 2＝－(1＋BD 2－b 2)，所以2BD 2＝b 2＋c 2－2＝6，所以BD ＝3 ，所以a ＝23 .在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝8－122bc ＝－2bc ，所以S △ABC ＝12 bc sin ∠BAC ＝12 bc 1－cos 2∠BAC＝12 bc 1－⎝⎛⎭⎫－2bc 2＝12 b 2c 2－4 ＝3 ，解得bc ＝4.则由⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝4b 2＋c 2＝8 ，解得b ＝c ＝2. 4．答案解析：(1)由已知条件，得sin 2B ＋sin A sin 2B ＝cos A ＋cos A cos 2B .所以sin 2B ＝cos A ＋cos A cos 2B －sin A sin 2B ＝cos A ＋cos (A ＋2B )＝cos [π－(B ＋C )]＋cos [π－(B ＋C )＋2B ]＝－cos (B ＋C )＋cos [π＋(B －C )]＝－2cos B cos C ，所以2sin B cos B ＝－2cos B cos C ， 即(sin B ＋cos C )cos B ＝0.由已知条件，得1＋cos 2B ≠0，则B ≠π2 ，所以cos B ≠0，所以sin B ＝－cos C ＝12 .又0＜B ＜π3 ，所以B ＝π6 .(2)由(1)知sin B ＝－cos C ＞0，则B ＝C －π2 ，所以sin A ＝sin (B ＋C )＝sin (2C －π2 )＝－cos 2C .由正弦定理，得a 2＋b 2c 2 ＝sin 2A ＋sin 2B sin 2C ＝cos 22C ＋cos 2Csin 2C ＝（1－2sin 2C ）2＋（1－sin 2C ）sin 2C ＝2＋4sin 4C －5sin 2C sin 2C＝2sin 2C ＋4sin 2C －5≥22sin 2C ꞏ4sin 2C －5＝42 －5，当且仅当sin 2C ＝22 时，等号成立，所以a 2＋b 2c 2 的最小值为42 －5. 5．答案解析：(1)如图，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ꞏAC ꞏcos ∠BAC ＝22＋12＋2×2×1×12 ＝7，得BC ＝7 .方法一 由正弦定理ACsin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC ，得sin ∠ABC ＝1×327＝2114 .方法二 由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ꞏBC ＝4＋7－12×2×7 ＝5714 ， 所以sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝21 .(2)方法一 由sin ∠ABC ＝2114 ，得tan ∠ABC ＝35 ，又tan ∠ABC ＝DA AB ＝DA 2 ，所以DA ＝235 ，故△ADC 的面积为12 DA ꞏAC ꞏsin (120°－90°)＝12 ×235 ×1×12 ＝3 .方法二 △ABC 的面积为12 AC ꞏAB ꞏsin ∠BAC ＝12 ×1×2×32 ＝32 ，S △ADC S △BAD＝12AC ꞏAD ꞏsin ∠CAD12AB ꞏAD ꞏsin ∠BAD ＝sin 30°2×sin 90° ＝14 ，故△ADC 的面积为15 S △ABC ＝15 ×3 ＝3.6．答案解析：设AB ＝x ，在△ABD 中由余弦定理可得：49＝x 2＋25－2ꞏx ꞏ5ꞏcos π3 ＝x 2＋25－5x ， 即x 2－5x －24＝0，解得x ＝8. 方案一 选条件①.由cos C ＝217 得sin C ＝277 ， ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＝sin (B ＋C )＝32 ×217 ＋12 ×277 ＝5714 ，在△ABC 中由正弦定理可得：BC 5714 ＝8277，解得：BC ＝10，∴CD ＝BD ＝5. 方案二 选条件②.由正弦定理可得：a ＝2R sin A ，c ＝2R sin C ，代入条件a sin C ＝c cos ⎝⎛⎭⎫A －π6 得：sin A sin C ＝sin C ꞏ⎝⎛⎭⎫32cos A ＋12sin A ＝32 cos A sin C ＋12 sin A sin C ，∴12 sin A sin C ＝3cos A sin C ，因为A 为三角形内角，所以tan A ＝3 ，故A ＝π3 ， 所以△ABC 为等边三角形，所以BC ＝8，∴CD ＝3，所以CD <BD .7．答案解析：(1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12 . 因为0°<A <180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2 sin A ＋sin (120°－C )＝2sin C ，即62 ＋3 cos C ＋12 sin C ＝2sin C ，可得cos (C ＋60°)＝－2.由于0°<C <120°，所以sin (C ＋60°)＝22 ，故 sin C ＝sin (C ＋60°－60°)＝sin (C ＋60°)cos 60°－cos (C ＋60°)sin 60°＝6＋2 .8．答案解析：(1)证明：∵sin C sin (A －B )＝sin B sin (C －A )，∴sin C sin A cos B －sin C cos A sin B ＝sin B sin C cos A －sin B cos C sin A ， ∴sin C sin A cos B ＝2sin B sin C cos A －sin B cos C sin A . 由正弦定理，得ac cos B ＝2bc cos A －ab cos C .由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22 ＝b 2＋c 2－a 2－a 2＋b 2－c 22. 整理，得2a 2＝b 2＋c 2.(2)由(1)知2a 2＝b 2＋c 2.又∵a ＝5，∴b 2＋c 2＝2a 2＝50.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即25＝50－5031 bc ，∴bc ＝312 .∴b ＋c ＝b 2＋c 2＋2bc ＝50＋31 ＝9， ∴a ＋b ＋c ＝14.故△ABC 的周长为14.。
2023 届高考数学复习：历年经典好题专项(二项分布与超几何分布、正态分布)练习(附答案)
粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的
(-100)
1
e- 200
10√2π
株高,得出株高 X(单位:cm)服从正态分布,其密度曲线函数为 f(x)=
法正确的是(
4
5
率为 ,则连续测试 4 次,至少有 3 256
625
64
625
B.
C.
)
D.
64
125
3.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,设随机变量 ξ 表示所选 3 人中女生的人数,则
P(ξ≤1)等于
A.
(
1
5
2
5
3
5
B.
C.
D.
)
4
5
4.(历年福建福州高三检测)某市一次高三年级数学统测,经抽样分析,成绩 X 近似服从正态分布
)
A.该地水稻的平均株高为 100 cm
B.该地水稻株高的方差为 10
2
,x∈(-∞,+∞),则下列说
C.随机测量一株水稻,其株高在 120 cm 以上的概率比株高在 70 cm 以下的概率大
D.随机测量一株水稻,其株高在(80,90)和在(100,110)(单位:cm)的概率一样大
8.设事件 A 在每次试验中发生的概率相同,且在三次独立重复试验中,若事件 A 至少发生一次的概率
到样本的频率分布直方图,如图所示.
(1)根据频率分布直方图,求质量超过 500 克的产品数量;
(2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 Y 为质量超过 505 克的产品数量,求 Y 的分布列.
2025年新高考数学名校选填压轴好题汇编03(学生版)
2025年新高考数学名校选填压轴好题汇编031.(江西省智学联盟体2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试卷)命题“∃x ∈0,+∞ ，使a x ≤log a x (a >0且a ≠1)成立”是假命题，则实数a 的取值范围是()A.a >e12B.a >e1eC.1<a <e12D.1<a <e1e2.(江西省抚州市部分学校2025届高三上学期一轮复习联考(一)数学试题)设a =ln1.02，b =sin0.02，c =151，则a ,b ,c 大小关系为()A.c <b <aB.c <a <bC.a <b <cD.a <c <b3.(江西省抚州市部分学校2025届高三上学期一轮复习联考(一)数学试题)已知函数f (x )=sin ωx +θ ω>0,|θ|<π2 ，f (0)=32，函数f (x )在区间-2π3,π6 上单调递增，在区间0,5π6 上恰有1个零点，则ω的取值范围是()A.45,2B.45,54C.45,1D.54,24.(江西省抚州市部分学校2025届高三上学期一轮复习联考(一)数学试题)已知定义域为R 的函数f (x )，对任意x ，y ∈R ，都有f (2x )+f (2y )=-f (x +y )f (x -y )，且f (2)=2，则()A.f (0)=0B.f (x )为偶函数C.f (x +1)为奇函数D.2024i =1f (i )=05.(浙江省金华第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)设A ,B ,C 三点在棱长为2的正方体的表面上，则AB ⋅AC的最小值为()A.-94B.-2C.-32D.-436.(浙江省金华第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)已知数列a n 满足a n +1<a n +1<2a n +2，a 1=1，S n 是a n 的前n 项和．若S m =2024，则正整数m 的所有可能取值的个数为()A.48B.50C.52D.547.(河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)设函数f x =0,x =34π+k πω-tan ωx -π4,x ≠34π+k πωω>0,k ∈Z ，若函数f x 在区间-π8,3π8上有且仅有1个零点，则ω的取值范围为()A.23,2B.0,23C.23,103D.0,28.(河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)已知f (x )=e x -1-e 1-x2-ax ,x ≤1x +3x +1,x >1，a ∈R 在R 上单调递增，则a 的取值范围是()A.-2,1B.-2,-1C.-∞,1D.-2,+∞9.(河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题)已知函数f (x )=2cos ωx +1(ω>0)在区间(0,π)上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是()A.83,103B.83,103C.73,113D.73,11310.(河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题)若a ≠0，函数f x =sin π6x -π6ax 2+bx +c ，且f x ≥0在0,8 上恒成立，则下列结论正确的是()A.a >0B.b <0C.c >0D.b +c >011.(河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题)设双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线C 上，过点P 作两条渐近线的垂线，垂足分别为D ，E ，若PF 1 ⋅PF 2 =0，且3|PD ||PE |=S △PF 1F 2，则双曲线C 的离心率为()A.233B.2C.3D.212.(山西省忻州市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)已知a >0，设函数f x =e 2x +2-a x -ln x -ln a ，若f x ≥0在0,+∞ 上恒成立，则a 的取值范围是()A.0,1eB.0,1C.0,eD.0,2e13.(山西省忻州市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)已知数列a n 满足a n +1a n +an +1a n +2=2，且a 2=a 12a 1+1,a 3=17，则3a 100=()A.165B.167C.169D.17114.(山西省运城市2024-2025学年高三上学期开学摸底调研数学试题)若cos α-π6 =13，则sin 2α+π6=()A.429B.79C.-429D.-7915.(山西省晋城市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)若a =log 4256，b =0.125-79，c =6log 32，则()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a16.(山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题)已知x 1,x 2是函数f (x )=12ax 2-2x +ln x 的两个极值点，若不等式m >f x 1 +f x 2 +x 1x 2恒成立，则实数m 的取值范围是()A.(-3,+∞)B.[-2,+∞)C.(2,+∞)D.[e ,+∞)17.(吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题)已知f x =4x -1+(x -1)2+a 有唯一的零点，则实数a 的值为()A.0B.-1C.-2D.-318.(吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题)设函数f (x )=(x -a )sin ax ，若存在x 0使得x 0既是f (x )的零点，也是f (x )的极值点，则a 的可能取值为()A.0B.πC.πD.π219.(多选题)(江西省智学联盟体2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试卷)若数列a n 满足1a n +1-1a n=d (n ∈N ∗，d 为常数)，则称数列a n 为“调和数列”.已知数列b n 为“调和数列”，下列说法正确的是()A.若∑20i =1b i =20，则b 10+b 11=b 10b 11B.若b n =2n +1c n ，且c 1=3，c 2=15，则b n =12n -1C.若b n 中各项均为正数，则b n +1≤b n +b n +22D.若b 1=1，b 2=12，则∑n +1i =2[b i ⋅ln (i -1)]≤n 2-n420.(多选题)(浙江省金华第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)设a >1，n 为大于1的正整数，函数的定义域为R ，f x -f y =a yf x -y ，f 1 ≠0，则()A.f 0 =0B.f x 是奇函数C.f x 是增函数D.f n +1f 1>a n +n 21.(多选题)(河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)以下不等式成立的是()A.当x ∈0,1 时，e x +ln x >x -1x+2 B.当x ∈1,+∞ 时，e x +ln x >x -1x+2C.当x ∈0,π2时，e x sin x >x D.当x ∈π2,π时，e x sin x >x 22.(多选题)(河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)设正项等比数列a n 的公比为q ，前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，则下列选项正确的是()A.S 9=S 4+q 4S 5C.若a 1a 9=4，则当a 24+a 26取得最小值时，a 1=2D.若(a n +1)n >T 2n ，则a 1<123.(多选题)(河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题)已知f 3x +1 为奇函数，且对任意x ∈R ，都有f x +2 =f 4-x ，f 3 =1，则()A.f 7 =-1B.f 5 =0C.f 11 =-1D.f 23 =024.(多选题)(河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题)已知函数f (x )=x 2-x +2x 2+1⋅x 2-2x +2，则下列结论正确的是()A.f (x )的最小值为1B.f (x )的最大值为2C.f (x )在(1,+∞)上单调递减D.f (x )的图象是轴对称图形25.(多选题)(河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题)已知实数a ，b 是方程x 2-k -3 x +k =0的两个根，且a >1，b >1，则()A.ab 的最小值为9B.a 2+b 2的最小值为18C.3a -1+1b -1的最小值为3 D.a +4b 的最小值为1226.(多选题)(河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题)已知函数f (x )满足：f 1 =14，4f x f y =f x +y +f x -y x ,y ∈R ，则()A.f 0 =12B.f (x )为奇函数C.f (x )为周期函数D.f 2 =-1427.(多选题)(山西省忻州市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)已知函数f x 的定义域为R ，设g x =f x +2 -1，若g x 和f x +1 均为奇函数，则()A.f 2 =1B.f x 为奇函数C.fx 的一个周期为4D.2024k =1f (k )=202428.(多选题)(山西省运城市2024-2025学年高三上学期开学摸底调研数学试题)到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设F 1-c ,0 和F 2c ,0 且c >0，动点M 满足MF 1 ⋅MF 2 =a 2a >0 ，动点M 的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线C ，则下列描述正确的是()A.曲线C 的方程是x 2+y 2 2-2c 2x 2-y 2 =a 4-c 4B.曲线C 关于坐标轴对称C.曲线C 与x 轴没有交点D.△MF 1F 2的面积不大于1a 229.(多选题)(山西省晋城市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)对任意x ,y ∈R ，函数f x ，g x 都满足f x +f y +g x -2g y =e x +y ，则()A.f x 是增函数B.f x 是奇函数C.g x 的最小值是g 0D.y =2f x -g x 为增函数30.(多选题)(山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题)记数列a n 的前n 项和为S n ，若存在实数t ，使得对任意的n ∈N *，都有S n <t ，则称数列a n 为“和有界数列”，下列说法正确的是()A.若a n 是等差数列，且公差d =0，则a n 是“和有界数列”B.若a n 是等差数列，且a n 是“和有界数列”，则公差d =0C.若a n 是等比数列，且公比q <1，则a n 是“和有界数列”D.若a n 是等比数列，且a n 是“和有界数列”，则a n 的公比q <131.(多选题)(山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题)已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是棱AB ,A 1B 1的中点，动点P 满足AP =λAB +μAD，其中λ,μ∈(0,1]，则下列命题正确的是()A.若λ=2μ，则平面AB 1P ⊥平面DEFB.若λ=μ，则D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围为π4,π2C.若λ=μ-12，则PD 1∥平面A 1C 1E D.若λ+μ=32，则线段PF 长度的最小值为6232.(多选题)(吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题)已知x 1是函数f x =x 3+mx +n m <0 的极值点，若f x 2 =f x 1 x 1≠x 2 ，则下列结论正确的是()A.f x 的对称中心为0,nB.f -x 1 >f x 1C.2x 1+x 2=0D.x 1+x 2>033.(多选题)(吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ，C 上一点P 到F 和到y 轴的距离分别为12和10，且点P 位于第一象限，以线段PF 为直径的圆记为Ω，则下列说法正确的是()A.p =4B.C 的准线方程为y =-2C.圆Ω的标准方程为(x -6)2+(y -25)2=36D.若过点(0,25)，且与直线OP (O 为坐标原点)平行的直线l 与圆Ω相交于A ，B 两点，则|AB |=4534.(江西省智学联盟体2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试卷)四棱锥P -ABCD 的底面ABCD为平行四边形，点E、F、G分别在侧棱P A、PB、PC上，且满足PE=14P A，PF=23PB，PG=12PC.若平面EFG与侧棱PD交于点H，则PH=PD.35.(江西省抚州市部分学校2025届高三上学期一轮复习联考(一)数学试题)方程cos3πx=x2的根的个数是.36.(浙江省金华第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)已知四面体ABCD各顶点都在半径为3的球面上，平面ABC⊥平面BCD，直线AD与BC所成的角为90°，则该四面体体积的最大值为.37.(河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)已知函数f x =sinπ-ωxcosωx-3sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)在区间-2024π,2024π上所有零点之和为．38.(河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)若定义在-∞,0∪0,+∞上的函数f(x)满足：对任意的x,y∈-∞,0∪0,+∞，都有：fxy=f x +f1y ，当x,y>0时，还满足：x-yf1x-f1y>0，则不等式f x ≤x -1的解集为．39.(河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题)1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法.要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等分.高斯墓碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为α，则16k=111+tan2kα2=.40.(河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题)已知a>0，且x=0是函数f x =x2ln x+a的极大值点，则a的取值范围为.41.(河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题)已知有穷递增数列a n的各项均为正整数n≥3，所有项的和为S，所有项的积为T，若T=4S，则该数列可能为．(填写一个数列即可)42.(河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题)若过点0,0的直线是曲线y=x2+1x>0和曲线y=ln x-a+a的公切线，则a=．43.(山西省忻州市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)设a,b是正实数，若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于点A,B，点M为AB的中点，直线OM(O为原点)的斜率为2，又OA⊥OB，则椭圆的方程为.44.(山西省运城市2024-2025学年高三上学期开学摸底调研数学试题)若曲线y=x+ae x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．45.(山西省晋城市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)若函数f(x)=sin6x+cos6x+3 8sin4x-m在0,π4上有两个零点，则m的取值范围是．46.(山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题)已知定义在(0,+∞)的函数满足对任意的正数x，y都有f(x)+f(y)=f(xy)，若2f13+f15 =-2，则f(2025)=．47.(山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)是抛物线C:y2=2x上三个不同的点，它们的横坐标x1，x2，x3成等差数列，F是C的焦点，若P2F= 2，则y1y3的取值范围是．48.(吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题)给如图所示的1~9号方格进行涂色，规则是：任选一个格子开始涂色，之后每次随机选一个未涂色且与上次所涂方格不相邻(即没有公共边)的格子进行涂色，当5号格子被涂色后停止涂色，记此时已被涂色的格子数为X，则P X=3=.。
2025届高考数学复习：压轴好题专项(指数型函数取对数问题)练习(附答案)
2025届高考数学复习：压轴好题专项(指数型函数取对数问题)练习1.已知函数()ln ,()f x x x a a =+∈R ． (1)求函数()f x 的单调区间； (2)当10ea <<时，证明：函数()f x 有两个零点； (3)若函数2()()g x f x ax x =--有两个不同的极值点12,x x （其中12x x <），证明：3221e x x ⋅>．2.形如()()g x y f x =的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得()ln ln ()()ln ()g x y f x g x f x ==，两边对x 求导数，得()()()ln ()()f x y g x f x g x y f x '''=+，于是()()()()()ln ()()g x f x y f x g x f x g x f x ⎡⎤⎢⎥⎣''=+⎦'.已知ln ()2x x f x e =，2()1g x x =+.（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）若()()h x f x '=，求()h x 的单调区间； （3）求证：(0,),()()x f x g x ∀∈+∞…恒成立.3.已知函数2ln ()e (0)=>xxf x x ．(1)求()f x 的极值点．(2)若有且仅有两个不相等的实数()1212,0x x x x <<满足()()12e ==kf x f x ．（i ）求k 的取值范围 （ⅱ）证明2e e 2e 2211e--≤xx ． 4.已知()ln f x x x =-，()g x mx m =+.(1)记()()()F x f x g x =+，讨论()F x 的单调区间； (2)记()()G x f x m =+，若()G x 有两个零点a ，b ，且a b <. 请在①②中选择一个完成.①求证：112e m b b->+； ②求证：112em a a-<+ 5．已知a ∈R ，()ax f x x e -=⋅，（其中e 为自然对数的底数）. （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）若0a >，函数()y f x a =-有两个零点x ，2x ，求证：22122x x e +>.6.已知函数()()0xf x axe a -=≠存在极大值1e.（1）求实数a 的值；（2）若函数()()F x f x m =-有两个零点1x ，()212x x x ≠，求实数m 的取值范围，并证明：122x x +>.7.已知函数2()(),()ln x f x x e a g x bx x =-=+. （1）若2y x =是曲线()y f x =的切线，求a 的值； （2）若()g x 有两不同的零点，求b 的取值范围； （3）若1b =，且()()1f x g x -≥恒成立，求a 的取值范围.8．已知函数l ()n f x ax x =，a R ∈． （1）当1a =时，①求()f x 的极值；②若对任意的x e ≥都有()mx m f x e x≥，0m >，求m 的最大值；（2）若函数2()()g x f x x =+有且只有两个不同的零点1x ，2x ，求证：212x x e >．9.已知函数2()ln f x x x ax x =--，()()f x g x x=，a ∈R ． (1)讨论()g x 的单调性；(2)设()f x 有两个极值点1x ，()212x x x <，证明：4312e x x >．（ 2.71828e =…为自然对数的底数） 10.已知函数()ln e x a xf x a x=--（e 为自然对数的底数）有两个零点． (1)若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；(2)若()f x 的两个零点分别为12,x x ，证明：12212e 0x xx x ---<．11．已知函数()()ln h x x a x a =-∈R . (1)若()h x 有两个零点，a 的取值范围；(2)若方程()e ln 0xx a x x -+=有两个实根1x 、2x ，且12x x ≠，证明：12212e ex x x x +>. 12.已知函数()2ln 2x tf x ex -=-+ （1）若1x =是()f x 的极值点，求t 的值，并讨论()f x 的单调性；（2）当1t ≤时，证明：() 2.f x >参考答案1.已知函数()ln ,()f x x x a a =+∈R ． (1)求函数()f x 的单调区间； (2)当10ea <<时，证明：函数()f x 有两个零点； (3)若函数2()()g x f x ax x =--有两个不同的极值点12,x x （其中12x x <），证明：3221e x x ⋅>．【过程详解】 (1)()()ln 1,0f x x x '=+>，当10e x <<时，()0f x '<，当1e x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，所以函数()f x 的单调区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；(2)证明：由（1）知()min 11e e f x f a ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，因为10e a <<，所以10e f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，又当0x +→时，()0f x >，()e e 0f a =+>，所以函数在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在一个零点，在1,e e ⎫⎛ ⎪⎝⎭上存在一个零点，所以函数()f x 有两个零点；(3)证明：22()()ln ,(0)g x f x ax x x x ax x a x =--=---+>，则()ln 2g x x ax '=-，因为函数()g x 有两个不同的极值点12,x x （其中12x x <）， 所以11ln 2x ax =，22ln 2x ax =，要证3221e x x ⋅>等价于证()3221ln ln e x x ⋅>，即证12ln 2ln 3x x +>，所以()1212123ln 2ln 2422x x ax ax a x x <+=+=+， 因为120x x <<， 所以12322a x x >+，又11ln 2x ax =，22ln 2x ax =，作差得()1122ln x a x x x =-，所以1212ln x x a x x =-， 所以原不等式等价于要证明1212122ln32x x x x x x >-+， 即()12121232ln 2x x x x x x -<+， 令()12,0,1x t t x =∈， 则上不等式等价于要证：()()312ln ,0,12t t t t -<∈+， 令()()()312ln ,0,12t h t t t t -=-∈+， 则()()()()22229280,0,122t t h t t t t t t -+'=-=>∈++， 所以函数()h t 在()0,1上递增， 所以()()10h t h <=， 所以()()312ln ,0,12t t t t -<∈+， 所以3221e x x ⋅>．2.形如()()g x y f x =的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数过程详解式两边取对数得()ln ln ()()ln ()g x y f x g x f x ==，两边对x 求导数，得()()()ln ()()f x y g x f x g x y f x '''=+，于是()()()()()ln ()()g x f x y f x g x f x g x f x ⎡⎤⎢⎥⎣''=+⎦'.已知ln ()2x x f x e =，2()1g x x =+.（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）若()()h x f x '=，求()h x 的单调区间； （3）求证：(0,),()()x f x g x ∀∈+∞…恒成立.【过程详解】（1）由幂指函数导数公式得ln ()2(ln 1)x x f x e x '=+， 所以(1)2f '=，又(1)2f =，所以，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为2y x =.（2）ln ()()2(ln 1),(0,)x x h x f x e x x '==+∈+∞， 则()()ln ln ()2(ln 1)2(ln 1)x x x x h x e x e x '''=+++()ln ln 12(ln 1)(ln 1)2x x x xe x x e x⎡⎤=+++⋅⎣⎦ln 212(ln 1)0x x e x x ⎡⎤=++>⎢⎥⎣⎦，所以()h x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间. （3）构造()()()F x f x g x =-，(0,)x ∈+∞， 则ln ()()()2(ln 1)2x x F x f x g x e x x '''=-=+-， 令ln ()()2(ln 1)2,(0,)x x H x F x e x x x '==+-∈+∞， 所以ln 2(1)ln ()2(ln 1)1x xx x H x ex e -'⎡⎤=++-⎣⎦，因为1x -与ln x 同号，所以(1)ln 0x x -…，所以(1)ln 10x x e --≥， 又ln 2(ln 1)0x x e x +…，所以()0H x '…， 所以()H x 即()F x '为(0,)+∞上增函数， 又因为(1)0F '=，所以，当(0,1)x ∈时，()(1)0F x F ''<=； 当(1,)x ∈+∞时，()(1)0F x F ''>=.所以，()F x 为(0,1)上减函数，为(1,)+∞上增函数， 所以，min ()(1)0F x F ==， 即()()()0F x f x g x =-…， 因此，(0,),()()x f x g x ∀∈+∞…恒成立，即证.3.已知函数2ln ()e (0)=>xxf x x ．(1)求()f x 的极值点．(2)若有且仅有两个不相等的实数()1212,0x x x x <<满足()()12e ==kf x f x ．（i ）求k 的取值范围 （ⅱ）证明2e e 2e 2211e--≤xx ． 【过程详解】 (1) 函数2ln ()e (0)=>xxf x x 的导函数为2ln ()e (2ln 1)xxf x x x '=+.当120,e x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以函数()f x 单调递减；当12e ,x -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以函数()f x 单调递增.所以12e x -=为()f x 的极值点.(2)因为有且仅有两个不相等的实数()1212,0x x x x <<满足()()12e ==kf x f x ，所以221122ln ln x x x x k ==.（i ）问题转化为2()ln m x x x k =-在(0,+∞)内有两个零点,则()()12ln m x x x '=+.当120,e x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()0m x '<,()m x 单调递减；当12e ,x -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时, ()0m x '>,()m x 单调递增.若()m x 有两个零点,则必有12(e )0m -<,解得：12ek >-. 若k ≥0,当120e x -<<时,()22ln ln 0m x x x k x x =-≤< ,无法保证()m x 有两个零点；若102e k -<<,又1e 0k m ⎛⎫> ⎪⎝⎭,12e 0m -⎛⎫ ⎪⎭<⎝，()10m k =->,故存在1121e ,e k x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()10m x =,存在122(e ,1)x -∈使得()20m x =. 综上可知, 1(,0)2ek ∈-. （ⅱ）设21x t x =则t ∈(1,+∞).将21x t x =代入221122ln ln x x x x =,可得212ln ln 1t t x t=-，22ln ln 1t x t =-（*）. 欲证: 2e e2e2211e--≤x x ，需证2e2e 2e 21e ln ln x x--≤即证212e (e 2e)ln 2ln x x +-≤-，将（*）代入，则有222(e 2e)ln e 12t t t +-≤--，则只需要证明：2(e 2e)ln e(1)1x xx x +-≤->-，即()2e 1ln (1)e 2e x x x x -≥>+-.构造1()e 2ln ex x x x ϕ-=--+，则21ln 1()ln e x x x x x ϕ--'=-，232(1)(1)ln 1()(1)ln x x x x x x x xϕ-⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦''=>. 令2(1)()ln (1)1x x x x x ω-=->+，则22(1)()0(1)x x x x ω-'=-<+.所以()(1)0x ωω<=，则()0x ϕ''<，所以()x ϕ'在()1,+∞内单减.又(e)0ϕ'=，所以当(1,e)x ∈时，有()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增；当(e,)x ∈+∞时，有()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减；所以()(e)0x ϕϕ≤=，因此1e 2ln e x xx --≤-，即()2e 1ln (1)e 2ex x x x -≤>+-.综上所述，命题得证.4.已知()ln f x x x =-，()g x mx m =+.(1)记()()()F x f x g x =+，讨论()F x 的单调区间； (2)记()()G x f x m =+，若()G x 有两个零点a ，b ，且a b <. 请在①②中选择一个完成.①求证：112e m b b->+； ②求证：112em a a-<+ 【过程详解】 (1)函数的定义域为(0,)+∞，1()1F x m x'=+-， 当1m ≥时，()0F x '>，()F x 在(0,)+∞单调递增； 当1m <时，令()0F x '<，解得11x m >-，令()0F x '>，解得101x m<<-， ∴()F x 在10,1m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭单调递增，在1,1m ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭单调递减；综上，当1m ≥时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；当1m <时，()f x 的单调递增区间为10,1m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，单调递减区间为1,1m ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭(2)证明：因为()ln G x x x m =-+，令()0G x =，则ln m x x =-， 设l (n )t x x x -=（0x >），则11()1x t x xx-'=-=， 函数()t x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，且0x →时，()→+∞t x ， 当x →+∞时，()→+∞t x ，min ()(1)1t x t ==，∴1m >，又a b <，则01a b <<<, 若证①所证不等式，即112em b b->+，即证()221ln 21ln ln 1ln b m b b b++->=+-，又()0G b =，则ln m b b =-，故即证()2ln 2ln 1ln 1ln b b b b +-->+-， 即证()2ln 21ln 1b b ->+-，设()2()ln 1h b b b =+-，1b >，则2222(1)()1011b b h b b b -'=-=-<++，∴()h b 在(1,)+∞上单调递减，∴()(1)ln 21h b h <=-，即112e m b b->+得证； 若证②所证不等式，即112em a a -<+，即证21ln 21ln a m a++-<，即证()2ln 21ln 1ln m a a +-<+-，又()0G a =，即ln m a a =-，故即证()2ln 2ln 1ln 1ln a a a a +--<+-， 即证()2ln 21ln 1a a -<+-，设()2()ln 1a a a ϕ=+-，01a <<，则2222(1)()1011a a a a a ϕ-=-=-+'<+，∴()a ϕ在(0,1)单调递减，故()()1ln 21a ϕϕ>=-，即112em a a-<+得证. 5．已知a ∈R ，()ax f x x e -=⋅，（其中e 为自然对数的底数）. （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）若0a >，函数()y f x a =-有两个零点x ，2x ，求证：22122x x e +>.【过程详解】（1）解：()(1)ax ax ax f x e ax e e ax ---'=-⋅=-∵a ∈R ，∴0a <时，1()(1)0ax f x e ax x a -'=->⇒>，1()(1)0axf x e ax x a-'=-<⇒< ∴0a <时，增区间为：1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，减区间为：1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；0a =时，()(1)10ax f x e ax -'=-=>，∴0a =时，增区间为：(,)-∞+∞；0a >时，1()(1)0ax f x e ax x a -'=->⇒<，1()(1)0ax f x e ax x a-'=-<⇒>，∴0a >时，增区间为：1,a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，减区间为：1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为0a >时，函数()y f x a =-有两个零点1x ，2x ，则两个零点必为正实数，()0ax f x a xe a --=⇔=−−−−→两边取对数ln ln x ax a -=故问题转化为ln ln x ax a -=有两个正实数解； 令()ln ln g x x ax a =--（0x >）则1()g x a x '=-（0x >），()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，且1210x x a <<<令2()()G x g x g x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则1122()22021(2)G x a a a a x x ax x a a'=-+-=->-=--所以()G x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，1()0G x G a ⎛⎫>= ⎪⎝⎭又21x a >，故()222g x g x a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，21,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭又()()12g x g x =，所以()122g x g x a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，又1210x x a <<<，所以1x ，2210,x a a ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，又()g x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以122x x a +>所以()21222122222x x x x e a++>>>． 6.已知函数()()0xf x axe a -=≠存在极大值1e.（1）求实数a 的值；（2）若函数()()F x f x m =-有两个零点1x ，()212x x x ≠，求实数m 的取值范围，并证明：122x x +>. 【过程详解】（1）()()xxf x a x R e =⋅∈， ()()'1xa x f x e-=，令()'01f x x =⇒=，()111a f a e e ==⇒=， 此时()'1x x f x e -=，()f x 在(),1-∞上()'0f x >，()f x 递增；在()1,+∞上()'0f x <，()f x 递减，所以当1x =时，()f x 取得极大值为()11f e=符合题意，所以1a =. （2）由（1）知：()f x 在(),1-∞上递增，在()1,+∞上递减，极大值为()11f e=. ()xxf x e =，()00f =，当0x <时，()0f x <；当0x >时，()0f x >；当x →+∞时，()0f x →. 由于函数()()F x f x m =-有两个零点1x ，()212x x x ≠，所以10m e<<.因为1x ，()212x x x ≠是()F x 的两个零点，则120,0x x >>.所以()()12F x F x =，1212x x x x e e=，22112211,x x x x x x e e e x x -==，两边取对数得2211ln x x x x -=， 要证122x x +>，只需证明2122111ln 2x x xx x x -<+，即证21221111ln 21x x xxx x -<+，不妨设12x x <，令21x t x =，则()1,t ∈+∞，即证11ln 12t t t -<+对()1,t ∈+∞恒成立. 令()11ln 21t g t t t -=-+，()()()()2'2211202121t g t t t t t -=-=>++，所以()g t 在()1,+∞上递增，所以()()10g t g >=，即11ln 021t t t -->+， 所以11ln 12t t t -<+.从而122x x +>成立. 7.已知函数2()(),()ln x f x x e a g x bx x =-=+. （1）若2y x =是曲线()y f x =的切线，求a 的值； （2）若()g x 有两不同的零点，求b 的取值范围； （3）若1b =，且()()1f x g x -≥恒成立，求a 的取值范围.【过程详解】(1)依题意，设切点为00(,2)x x ，则02002()xx x e a =-，22()2x x f x e a x e '=-+⋅，于是得020(21)2x ex a +-=，则有00x =且1a =-，00x ≠时，022x e a =+，0(2)(21)2a x a ++=+无解，所以1a =-；(2)由()0g x =得ln x b x -=，令ln (),0xh x x x=>， 则有21ln (),0xh x x e x -'=<<时()0,h x x e '>>时()0h x '<，()h x 在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减， max 1()()h x h e e==，又x e >时，()0h x >恒成立， 于是得()g x 有两个不同的零点，等价于直线y b =-与函数ln (),0xh x x x=>图象有两个不同的公共点， 即10b e<-<，10b e -<<，所以()g x 有两不同的零点，b 的取值范围是10b e -<<；(3)1,()ln ,0b g x x x x ==+>，221ln 0,()()1()1ln 1x x xx f x g x x e a x x a e x+∀>-≥⇔-≥++⇔+≤-， 令21ln ()(0)xx x e x x ϕ+=->，22222ln 2ln ()2x xx x e x x e x x ϕ+'=+=， 令22()2ln x F x x e x =+，221()(44)0xF x x x e x'=++>，即()F x 在(0,)+∞上递增，而21()ln 40,(1)204F F e =<=>，即(0,1)t ∃∈，使得()0F t =，0x t <<时()0,()0F x x ϕ'<<，x t >时，()0,()0F x x ϕ'>>，()ϕx 在(0,)t 上递减，在(,)t +∞上递增，从而有2min 1ln ()t tx e tϕ+=-， 而()0F t =，即222ln 0t t e t +=，令22t t e p =，两边取对数得22ln ln t t p +=，则2ln 022ln ln p t t t p +==+-， 即有2ln 2ln p p t t +=+，显然函数2ln y x x =+在(0,)+∞上单调递增，从而得p t =，于是得2221ln 2ln 2t tt t e t e t t t t=⇔=−−−−→=-⇔=-两边取对数， 2min 1ln 11ln ()2t t t x e t t t tϕ+=-=--=， 所以12a +≤，1a ≤.8．已知函数l ()n f x ax x =，a R ∈． （1）当1a =时，①求()f x 的极值；②若对任意的x e ≥都有()mx m f x e x≥，0m >，求m 的最大值；（2）若函数2()()g x f x x =+有且只有两个不同的零点1x ，2x ，求证：212x x e >．【过程详解】（1）①1a =时，()ln f x x x =，则()ln 1(0)f x x x '=+>， 令()0f x '>，解得：1x e >，令()0f x '<，解得：10x e<<，∴()f x 在1(0,e 递减，在1(e ,)+∞递增，故()f x 的极小值是11(f e e=-，没有极大值； ②对任意x e ≥都有n (l )mm m x x x m f x e e e x≥=，即()()m x f x f e ≥恒成立， 由0m >，有0mx>，故1m x e >， 由①知，()f x 在1(e,)+∞单调递增，故mx x e ≥，可得ln mx x≥，即ln x x m ≥， 当x e ≥时，()f x 的最小值是()f e e =，故m 的最大值是e ；（2）证明：要证212x x e >，只需证明12ln()2x x >即可，由题意，1x 、2x 是方程2ln 0ax x x +=的两个不相等的实数根，又1x >，∴1122ln 0ln 0a x x a x x +=⎧⎨+=⎩，消去a ，整理得：121121221ln()ln 1x x xx x x x x +=⋅-， 不妨设12x x >，令12x t x =，则1t >，故只需证明当1t >时，1ln 21t t t +⋅>-，即证明2(1)ln 1t t t ->+，设2(1)()ln 1t h t t t -=-+，则22211(1)(1)()20(1)(1)t t t h t t t t t +---'=-⋅=>++，∴()h t 在(1,)+∞单调递增，从而()(1)0h t h >=，故2(1)ln 1t t t ->+，即212x x e >得证． 9.已知函数2()ln f x x x ax x =--，()()f x g x x=，a ∈R ． (1)讨论()g x 的单调性；(2)设()f x 有两个极值点1x ，()212x x x <，证明：4312e x x >．（ 2.71828e =…为自然对数的底数） 【过程详解】 (1)()()ln 1f x g x x ax x==--，1()g x a x '=-， ①当0a ≤时，()0g x '>，()g x 在(0,)+∞单调递增； ②当0a >时，令()0g x '=解得1x a =，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增； 1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()f x 单调递减． 综上，当0a ≤时，()g x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，(2)由题意知，()ln 2f x x ax '=-，1x ，2x 是()'f x 的两根， 即11ln 20x ax -=，22ln 20x ax -=，解得1212ln ln 2(*)x x a x x -=-，要证4312e x x >，即证124ln ln 3x x +>，即124223ax ax ⋅+>，把（*）式代入得()()12121212ln ln 43x x x x x x x x -+><-，所以应证()1122112122313ln441x x x xx x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭<=++，令12x t x =，01t <<，即证3(1)()ln 0(01)41t h t t t t -=-<<<+成立， 而222221151671()0(41)(41)7151632)4(461t t h t t t t t t t t ⎛-+'=-==>+++⎭+⎫- ⎪⎝， 所以()h t 在(0,1)上单调递增， 所以()(1)0h t h <=， 所以命题得证．10.已知函数()ln e x a xf x a x=--（e 为自然对数的底数）有两个零点． (1)若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；(2)若()f x 的两个零点分别为12,x x ，证明：12212e 0x xx x ---<．【过程详解】(1)当1a =时，()ln e 1xxf x x =--，()21ln e x x f x x -'=-， 又()1e 1f =-，所以切点坐标为()1,e 1-，切线的斜率为()1e 1k f '==-． 所以切线方程为()()()e 1e 11y x --=--，即()e 1y x =-(2)由已知得()()e ln 0x x a x xf x x-+==有两个不等的正实跟．所以方程()e ln 0xx a x x -+=有两个不等的正实根，即()e ln e 0x x x a x -=有两个不等的正实根，()ln e e x x a x x =①要证12212e ex x x x +>，只需证()()12212e e e x x x x ⋅>，即证()()1212ln e ln e 2x xx x +>，令111e x t x =，222e xt x =，所以只需证12ln ln 2t t +>，由①得11ln a t t =，22ln a t t =，所以()2121ln ln a t t t t -=-，()2121ln ln a t t t t +=+，消去a 得()221121212122111ln ln ln ln ln 1t t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=-=--，只需证2211211ln 21t t t t t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>-， 设120t t <<，令21t t t =，则1t >， 则()1ln 21t t t +>-，即证4ln 201t t +->+ 构建()4ln 201h t t t =+->+则()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++，所以()h t 在()1,+∞上单调递增，则()()10h t h >=， 即当1t >时，4ln 201t t +->+成立， 所以12ln ln 2t t +>，即()()12212e e ex x x x ⋅>，即12212e e x x x x +>，所以12212e0x x x x ---<，证毕．11．已知函数()()ln h x x a x a =-∈R . (1)若()h x 有两个零点，a 的取值范围；(2)若方程()e ln 0xx a x x -+=有两个实根1x 、2x ，且12x x ≠，证明：12212e ex x x x +>. 【过程详解】 (1)函数()h x 的定义域为()0,∞+.当0a =时，函数()h x x =无零点，不合乎题意，所以，0a ≠， 由()ln 0h x x a x =-=可得1ln x a x=， 构造函数()ln x f x x=，其中0x >，所以，直线1y a =与函数()f x 的图象有两个交点，()21ln xf x-'=，由()0f x '=可得e x =，列表如下： 所以，函数()f x 的极大值为()1e ef =，如下图所示：且当1x >时，()ln 0xf x x=>， 由图可知，当110ea <<时，即当e a >时，直线1y a =与函数()f x 的图象有两个交点，故实数a 的取值范围是()e,+∞.(2)证明：因为()e ln 0xx a x x -+=，则()e ln e 0x x x a x -=，令e 0x t x =>，其中0x >，则有ln 0t a t -=，()1e 0x t x '=+>，所以，函数e x t x =在()0,∞+上单调递增，因为方程()e ln 0x x a x x -+=有两个实根1x 、2x ，令111e x t x =，222e xt x =，则关于t 的方程ln 0t a t -=也有两个实根1t 、2t ，且12t t ≠， 要证12212e ex x x x +>，即证1221e e e x x x x ⋅>，即证212e t t >，即证12ln ln 2t t +>， 由已知1122ln ln t a t t a t =⎧⎨=⎩，所以，()()12121212ln ln ln ln t t a t t t t a t t ⎧-=-⎪⎨+=+⎪⎩，整理可得12121212ln ln ln ln t t t t t t t t ++=--，不妨设120t t >>，即证12112122ln ln ln 2t t t t t t t t ++=>-，即证()1122112122212ln 1t t t t t t t t t t ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++， 令121t s t =>，即证()21ln 1s s s ->+，其中1s >， 构造函数()()21ln 1s g s s s -=-+，其中1s >，()()()()222114011s g s s s s s -'=-=>++，所以，函数()g s 在()1,+∞上单调递增，当1s >时，()()10g s g >=，故原不等式成立.12.已知函数()2ln 2x tf x ex -=-+ （1）若1x =是()f x 的极值点，求t 的值，并讨论()f x 的单调性； （2）当1t ≤时，证明：() 2.f x >【过程详解】（1）函数()f x 的定义域(0,)+∞，因为21()x tf x e x-'=-，1x =是()f x 的极值点，所以f '（1）1210t e -=-=，所以12t =， 所以11()x f x e x-'=-，因为1x y e -=和1y x=-在(0,)+∞上单调递增，所以()f x '在(0,)+∞上单调递增，所以当1x >时，()0f x '>；01x <<时，()0f x '<， 所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.（2）当1t ≤时，()22ln 2ln 2x tx f x ex e x --=-+≥-+， 设2()ln +2x g x e x -=-，则21()x g x ex-'=-， 因为2x y e -=和1y x=-在(0,)+∞上单调递增，所以()g x '在(0,)+∞上单调递增，因为()1110e g =-<'，()11210,22g =-=>'所以存在0(1,2)x ∈使得0()0g x '=，所以当00x x <<时，()0g x '<，当0x x >时，()0g x '>，所以()g x 在0(0,)x 单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()0g x g x ≥， 因为0()0g x '=，即021x e x -=，两边取对数得00ln 2x x =-， 所以0200001()l +2n x g x ex x x -=-=+， 因为0(1,2)x ∈，所以0001()2g x x x =+>，所以()2f x >.。
2024届新高考数学大题精选30题--导数(解析版)
2024届新高考数学导数大题精选30题1(2024·安徽·二模)已知函数f (x )=x 2-10x +3f (1)ln x .(1)求函数f (x )在点(1,f (1))处的切线方程；(2)求f (x )的单调区间和极值.【答案】(1)y =4x -13；(2)递增区间为(0,2),(3,+∞)，递减区间为2,3 ，极大值-16+12ln2，极小值-21+12ln3.【分析】(1)求出函数f (x )的导数，赋值求得f (1)，再利用导数的几何意义求出切线方程.(2)由(1)的信息，求出函数f (x )的导数，利用导数求出单调区间及极值.【详解】(1)函数f (x )=x 2-10x +3f (1)ln x ，求导得f(x )=2x -10+3f (1)x，则f (1)=-8+3f (1)，解得f (1)=4，于是f (x )=x 2-10x +12ln x ，f (1)=-9，所以所求切线方程为：y +9=4(x -1)，即y =4x -13.(2)由(1)知，函数f (x )=x 2-10x +12ln x ，定义域为(0,+∞)，求导得f (x )=2x -10+12x =2(x -2)(x -3)x，当0<x <2或x >3时，f (x )>0，当2<x <3时，f (x )<0，因此函数f (x )在(0,2),(3,+∞)上单调递增，在(2,3)上单调递减，当x =2时，f (x )取得极大值f (2)=-16+12ln2，当x =3时，f (x )取得极小值f (3)=-21+12ln3，所以函数f (x )的递增区间为(0,2),(3,+∞)，递减区间为(2,3)，极大值-16+12ln2，极小值-21+12ln3.2(2024·江苏南京·二模)已知函数f (x )=x 2-ax +ae x，其中a ∈R ．(1)当a =0时，求曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程；(2)当a >0时，若f (x )在区间[0,a ]上的最小值为1e，求a 的值．【答案】(1)x -ey =0(2)a =1【分析】(1)由a =0，分别求出f (1)及f (1)，即可写出切线方程；(2)计算出f (x )，令f (x )=0，解得x =2或x =a ，分类讨论a 的范围，得出f (x )的单调性，由f (x )在区间[0,a ]上的最小值为1e，列出方程求解即可．【详解】(1)当a =0时，f (x )=x 2e x ，则f (1)=1e ，f (x )=2x -x 2ex，所以f (1)=1e ，所以曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程为：y -1e =1e(x -1)，即x -ey =0．(2)f(x )=-x 2+(a +2)x -2a e x =-(x -2)(x -a )ex，令f (x )=0，解得x =2或x =a ，当0<a <2时，x ∈[0,a ]时，f (x )≤0，则f (x )在[0,a ]上单调递减，所以f (x )min =f (a )=a ea =1e ，则a =1，符合题意；当a >2时，x ∈[0,2]时，f (x )≤0，则f (x )在[0,2]上单调递减，x ∈(2,a ]时，f (x )>0，则f (x )在(2,a ]上单调递增，所以f (x )min =f (2)=4-a e2=1e ，则a =4-e <2，不合题意；当a =2时，x ∈[0,2]时，f (x )≤0，则f (x )在[0,2]上单调递减，所以f (x )min =f (2)==2e 2≠1e ，不合题意；综上，a =1．3(2024·浙江绍兴·模拟预测)已知f x =ae x -x ，g x =cos x . (1)讨论f x 的单调性.(2)若∃x 0使得f x 0 =g x 0 ，求参数a 的取值范围.【答案】(1)当a ≤0时，f x 在-∞,+∞ 上单调递减；当a >0时，f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增.(2)-∞,1【分析】(1)对f x =ae x -x 求导数，然后分类讨论即可；(2)直接对a >1和a ≤1分类讨论，即可得到结果.【详解】(1)由f x =ae x -x ，知f x =ae x -1.当a ≤0时，有f x =ae x -1≤0-1=-1<0，所以f x 在-∞,+∞ 上单调递减；当a >0时，对x <-ln a 有f x =ae x -1<ae -ln a -1=1-1=0，对x >-ln a 有f x =ae x -1>ae -ln a -1=1-1=0，所以f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增.综上，当a ≤0时，f x 在-∞,+∞ 上单调递减；当a >0时，f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增.(2)当a >1时，由(1)的结论，知f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增，所以对任意的x 都有f x ≥f -ln a =ae -ln a +ln a =1+ln a >1+ln1=1≥cos x =g x ，故f x >g x 恒成立，这表明此时条件不满足；当a ≤1时，设h x =ae x -x -cos x ，由于h -a -1 =ae -a -1+a +1-cos -a -1 ≥ae-a -1+a ≥-a e-a -1+a =a 1-e-a -1≥a 1-e 0=0，h 0 =ae 0-0-cos0=a -1≤0，故由零点存在定理，知一定存在x 0∈-a -1,0 ，使得h x 0 =0，故f x 0 -g x 0 =ae x 0-x 0-cos x 0=h x 0 =0，从而f x 0 =g x 0 ，这表明此时条件满足.综上，a 的取值范围是-∞,1 .4(2024·福建漳州·一模)已知函数f x =a ln x -x +a ，a ∈R 且a ≠0．(1)证明：曲线y =f x 在点1,f 1 处的切线方程过坐标原点．(2)讨论函数f x 的单调性．【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】(1)先利用导数的几何意义求得f x 在1,f 1 处的切线方程，从而得证；(2)分类讨论a <0与a >0，利用导数与函数的单调性即可得解.【详解】(1)因为f x =a ln x -x +a x >0 ，所以f (x )=a x -1=a -xx，则f (1)=a ln1-1+a =a -1，f (1)=a -1，所以f x 在1,f 1 处的切线方程为:y -(a -1)=(a -1)(x -1)，当x =0时，y -(a -1)=(a -1)(0-1)=-(a -1)，故y =0，所以曲线y =f (x )在点1,f 1 处切线的方程过坐标原点.(2)由(1)得f (x )=ax -1=a -xx，当a<0时，a-x<0，则f x <0，故f(x)单调递减；当a>0时，令f (x)=0则x=a，当0<x<a时，f (x)>0，f(x)单调递增；当x>a时，f (x)<0，f(x)单调递减；综上：当a<0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减.5(2024·山东·二模)已知函数f x =a2xe x-x-ln x．(1)当a=1e时，求f x 的单调区间；(2)当a>0时，f x ≥2-a，求a的取值范围．【答案】(1)f x 的减区间为0,1，增区间为1,+∞(2)a≥1【分析】(1)当a=1e时，f x =xe x-1-x-ln x,x>0，求导得f x =x+1xxe x-1-1，令g x =xe x-1-1，求g x 确定g x 的单调性与取值，从而确定f x 的零点，得函数的单调区间；(2)求f x ，确定函数的单调性，从而确定函数f x 的最值，即可得a的取值范围．【详解】(1)当a=1e时，f x =xe x-1-x-ln x,x>0，则f x =x+1e x-1-1-1x=x+1xxe x-1-1，设g x =xe x-1-1，则g x =x+1e x-1>0恒成立，又g1 =e0-1=0，所以当x∈0,1时，f x <0，f x 单调递减，当x∈1,+∞时，f x >0，f x 单调递增，所以f x 的减区间为0,1，增区间为1,+∞；(2)f x =a2x+1e x-1-1x=x+1xa2xe x-1，设h x =a2xe x-1，则h x =a2x+1e x>0，所以h x 在0,+∞上单调递增，又h0 =-1<0，h1a2=e1a2-1>0，所以存在x0∈0,1 a2，使得h x0 =0，即a2x0e x0-1=0，当x∈0,x0时，f x <0，f x 单调递减，当x∈x0,+∞时，f x >0，f x 单调递增，当x=x0时，f x 取得极小值，也是最小值，所以f x ≥f x0=a2x0e x0-x0-ln x0=1-ln x0e x0=1+2ln a，所以1+2ln a≥2-a，即a+2ln a-1≥0，设F a =a+2ln a-1，易知F a 单调递增，且F1 =0，所以F a ≥F1 ，解得a≥1，综上，a≥1.6(2024·山东·一模)已知函数f(x)=ln x+12a(x-1)2．(1)当a=-12时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)=f(x)-2x+1有两个极值点x1,x2，且g(x1)+g(x2)≥-1-32a，求a的取值范围．【答案】(1)增区间(0,2)，减区间(2,+∞)(2)[1,+∞)【分析】(1)将a=-12代入求导，然后确定单调性即可；(2)求导，根据导函数有两个根写出韦达定理，代入g(x1)+g(x2)≥-1-32a，构造函数，求导，研究函数性质进而求出a的取值范围．【详解】(1)当a=-12时，f(x)=ln x-14(x-1)2，x>0，则f (x)=1x-12(x-1)=-(x-2)(x+1)2x，当x∈(0,2)，f (x)>0，f(x)单调递增，当x∈(2,+∞)，f (x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,+∞)；(2)g(x)=f(x)-2x+1=ln x+12a(x-1)2-2x+1，所以g (x)=1x+a(x-1)-2=ax2-(a+2)x+1x，设φ(x)=ax2-(a+2)x+1，令φ(x)=0，由于g(x)有两个极值点x1,x2，所以Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0x1+x2=a+2a>0x1x2=1a>0，解得a>0．由x1+x2=a+2a，x1x2=1a，得g x1+g x2=ln x1+12a x1-12-2x1+1+ln x2+12a x2-12-2x2+1=ln x1x2+12a x1+x22-2x1x2-2x1+x2+2-2x1+x2+2=ln1a +12a a+2a2-2a-2⋅a+2a+2-2⋅a+2a+2=ln1a +a2-2a-1≥-1-32a，即ln a-12a-1a≤0，令m(a)=ln a-12a-1a，则m (a)=1a-12-12a2=-(a-1)22a2≤0，所以m(a)在(0,+∞)上单调递减，且m(1)=0，所以a≥1，故a的取值范围是[1,+∞)．7(2024·湖北·二模)求解下列问题，(1)若kx-1≥ln x恒成立，求实数k的最小值；(2)已知a，b为正实数，x∈0,1，求函数g x =ax+1-xb-a x⋅b1-x的极值．【答案】(1)1(2)答案见解析【分析】(1)求导，然后分k≤0和k>0讨论，确定单调性，进而得最值；(2)先发现g0 =g1 =0，当a=b时，g x =0，当0<x<1，a≠b时，取ab=t，L x =tx+1-x-t x，求导，研究单调性，进而求出最值得答案.【详解】(1)记f x =kx-1-ln x x>0，则需使f x ≥0恒成立，∴f x =k-1xx>0，当k≤0时，f x <0恒成立，则f x 在(0,+∞)上单调递减，且在x>1时，f x <0，不符合题意，舍去；当k >0时．令f x =0，解得x =1k，则f x 在0,1k 上单调递减，在1k ,+∞ 上单调递增，所以f x min =f 1k =-ln 1k=ln k ，要使kx -1≥ln x 恒成立，只要ln k ≥0即可，解得k ≥1，所以k 的最小值为1；(2)g (x )=ax +(1-x )b -a x ⋅b 1-x ，x ∈[0,1]，a >0，b >0，易知g 0 =g 1 =0，当a =b 时，g x =ax +a -ax -a =0，此时函数无极值；当0<x <1，a ≠b 时，g (x )=ax +(1-x )b -b ⋅a b x =b a b x +1-x -a b x，取ab=t ，t >0，t ≠1，L x =tx +1-x -t x ，t >0，t ≠1，x ∈0,1 ，则L x =t -1-t x ln t ，当t >1时，由L x ≥0得x ≤ln t -1ln tln t，由(1)知t -1≥ln t ，当t >1时，t -1ln t>1，因为x -1≥ln x ，所以1x -1≥ln 1x ，所以ln x ≥1-1x ，即x >0，当t >1时，ln t >1-1t，所以t >t -1ln t ，则ln t >ln t -1ln t >0，所以ln t -1ln tln t<1，即L x 在0,ln t -1ln t ln t 上单调递增，在ln t -1ln tln t,1单调递减．所以函数g x 极大=gln t -1lntln t，t =ab，a ≠b ，当0<t <1时，同理有ln t -1lntln t∈0,1 ，由Lx ≥0得x ≤ln t -1lntln t，即(x )在0,ln t -1lntln t上单调递增，在ln t -1lntln t,1上单调递减．所以函数g x 极大=gln t -1lntln t，t =a b，a ≠b ，综上可知，当a =b 时，函数g x 没有极值；当a ≠b 时，函数g x 有唯一的极大值g ln t -1lntln t，其中t =ab，没有极小值．【点睛】关键点点睛：取ab=t ，将两个参数的问题转化为一个参数的问题，进而求导解答问题.8(2024·湖北武汉·模拟预测)函数f (x )=tan x +sin x -92x ，-π2<x <π2,g (x )=sin n x -x n cos x ,x ∈0,π2,n ∈N +．(1)求函数f (x )的极值；(2)若g (x )>0恒成立，求n 的最大值．【答案】(1)极小值为f π3 =3(3-π)2，极大值为f -π3 =3(π-3)2；(2)3.【分析】(1)判断函数f (x )为奇函数，利用导数求出f (x )在区间0,π2上的极值，利用奇偶性即可求得定义域上的极值.(2)利用导数证明当n =1时，g (x )>0恒成立，当n >1时，等价变形不等式并构造函数F (x )=x -sin x cos 1nx,0<x <π2，利用导数并按导数为负为正确定n 的取值范围，进而确定不等式恒成立与否得解.【详解】(1)函数f (x )=tan x +sin x -92x ，-π2<x <π2，f (-x )=tan (-x )+sin (-x )-92(-x )=-f (x )，即函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，当0<x <π2时，f (x )=sin x cos x +sin x -92x ，求导得：f(x )=1cos 2x +cos x -92=2cos 3x -9cos 2x +22cos 2x =(2cos x -1)(cos x -2-6)(cos x -2+6)2cos 2x，由于cos x ∈(0,1)，由f (x )>0，得0<cos x <12，解得π3<x <π2，由f (x )<0，得12<cos x <1，解得0<x <π3，即f (x )在0,π3 上单调递减，在π3,π2上单调递增，因此函数f (x )在0,π2 上有极小值f π3 =3(3-π)2，从而f (x )在-π2,π2 上的极小值为f π3 =3(3-π)2，极大值为f -π3 =3(π-3)2.(2)当n =1时，g (x )>0恒成立，即sin x -x cos x >0恒成立，亦即tan x >x 恒成立，令h (x )=tan x -x ,x ∈0,π2 ，求导得h (x )=1cos 2x -1=1-cos 2x cos 2x=tan 2x >0，则函数h (x )在0,π2上为增函数，有h (x )>h (0)=0，因此tan x -x >0恒成立；当n >1时，g (x )>0恒成立，即不等式sin xn cos x>x 恒成立，令F (x )=x -sin x cos 1n x ,0<x <π2，求导得：F (x )=1-cos x ⋅cos 1nx -1n⋅cos1n-1x ⋅(-sin x )⋅sin xcos 2nx=1-cos1+n nx +1n⋅sin 2x ⋅cos1-n nxcos 2nx=1-cos 2x +1n ⋅sin 2xcos n +1nx =cosn +1nx -cos 2x -1n (1-cos 2x )cos n +1nx =cosn +1nx -1n -n -1ncos 2x cosn +1nx令G (x )=cos n +1nx -1n -n -1n cos 2x ，求导得则G (x )=n +1n cos 1nx ⋅(-sin x )-n -1n⋅2cos x ⋅(-sin x )=sin x n (2n -2)cos x -(n +1)cos 1n x =2n -2n ⋅sin x cos x -n +12n -2cos 1n x=2n -2n ⋅sin x ⋅cos 1n x cos n -1n x -n +12n -2，由n >1,x ∈0,π2 ，得2n -2n⋅sin x ⋅cos 1nx >0，当n +12n -2≥1时，即n ≤3时，G (x )<0，则函数G (x )在0,π2上单调递减，则有G (x )<G (0)=0，即F (x )<0，因此函数F (x )在0,π2 上单调递减，有F (x )<F (0)=0，即g (x )>0，当n +12n -2<1时，即n >3时，存在一个x 0∈0,π2 ，使得cos n -1n x 0=n +12n -2，且当x ∈(0,x 0)时，G (x )>0，即G (x )在(0,x 0)上单调递增，且G (x )>G (0)=0，则F (x )>0，于是F (x )在(0,x 0)上单调递增，因此F (x )>F (0)=0，即sin xn cos x<x ，与g (x )>0矛盾，所以n 的最大值为3.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．9(2024·湖北·模拟预测)已知函数f x =ax 2-x +ln x +1 ，a ∈R ，(1)若对定义域内任意非零实数x 1，x 2，均有f x 1 f x 2x 1x 2>0，求a ；(2)记t n =1+12+⋅⋅⋅+1n ，证明：t n -56<ln n +1 <t n ．【答案】(1)a =12(2)证明见解析【分析】(1)求导可得f 0 =0，再分a ≤0与a >0两种情况分析原函数的单调性，当a >0时分析极值点的正负与原函数的正负区间，从而确定a 的值；(2)由(1)问的结论可知，1n -12n2<ln 1n +1 <1n ，再累加结合放缩方法证明即可.【详解】(1)f x 的定义域为-1,+∞ ，且f 0 =0；f x =2ax -1+1x +1=2ax -x x +1=x 2a -1x +1，因此f 0 =0；i.a ≤0时，2a -1x +1<0，则此时令f x >0有x ∈-1,0 ，令f x <0有x ∈0,+∞ ，则f x 在-1,0 上单调递增，0,+∞ 上单调递减，又f 0 =0，于是f x ≤0，此时令x 1x 2<0，有f x 1 f x 2x 1x 2<0，不符合题意；ii .a >0时，f x 有零点0和x 0=12a-1，若x 0<0，即a >12，此时令f x <0有x ∈x 0,0 ，f x 在x 0,0 上单调递减，又f 0 =0，则f x 0 >0，令x 1>0，x 2=x 0，有f x 1 f x 2x 1x 2<0，不符合题意；若x 0>0，即0<a <12，此时令f x <0有x ∈0,x 0 ，f x 在0,x 0 上单调递减，又f 0 =0，则f x 0 <0，令-1<x 1<0,x 2=x 0，有f x 1 f x 2x 1x 2<0，不符合题意；若x 0=0，即a =12，此时fx =x 2x +1>0，f x 在-1,+∞ 上单调递增，又f 0 =0，则x >0时f x >0，x <0时f x <0；则x ≠0时f x x >0，也即对x 1x 2≠0，f x 1 f x 2x 1x 2>0，综上，a =12(2)证：由(1)问的结论可知，a =0时，f x =-x +ln x +1 ≤0；且a =12时x >0，f x =12x 2-x +ln x +1 >0；则x>0时，x-12x2<ln x+1<x，令x=1n，有1n-12n2<ln1n+1<1n，即1n-12n2<ln n+1-ln n<1n，于是1n-1-12n-12<ln n-ln n-1<1n-11-12<ln2<1将上述n个式子相加，t n-121+122+⋅⋅⋅+1n2<ln n+1<t n；欲证t n-56<ln n+1<t n，只需证t n-56<t n-121+122+⋅⋅⋅+1n2，只需证1+122+⋅⋅⋅+1n2<53；因为1n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1，所以1+122+⋅⋅⋅+1n2<1+213-15+15-17+⋅⋅⋅+12n-1-12n+1=53-22n+1<53，得证：于是得证t n-56<ln n+1<t n.【点睛】方法点睛：(1)此题考导数与函数的综合应用，找到合适的分类标准，设极值点，并确定函数正负区间是解此题的关键；(2)对累加结构的不等式证明，一般需要应用前问的结论，取特定参数值，得出不等式累加证明，遇到不能累加的数列结构，需要进行放缩证明.10(2024·湖南·一模)已知函数f x =sin x-ax⋅cos x,a∈R．(1)当a=1时，求函数f x 在x=π2处的切线方程；(2)x∈0,π2时；(ⅰ)若f x +sin2x>0，求a的取值范围；(ⅱ)证明：sin2x⋅tan x>x3．【答案】(1)πx-2y+2-π22=0.(2)(ⅰ)a≤3(ⅱ)证明见解析【分析】(1)令a=1时，利用导数的几何意义求出斜率，进行计算求出切线方程即可.(2)(ⅰ)设g(x)=2sin x+tan x-ax,x∈0,π2,由g x >0得a≤3，再证明此时满足g x >0.(ⅱ)根据(ⅰ)结论判断出F x =sin2x⋅tan x-x3在0,π2上单调递增，∴F(x)>F(0)=0,即sin2x tan x >x3.【详解】(1)当a=1时，f(x)=sin x-x⋅cos x,f (x)=cos x-(cos x-x⋅sin x)=x⋅sin x,fπ2=π2,fπ2=1.所以切线方程为：y-1=π2x-π2,即πx-2y+2-π22=0.(2)(ⅰ)f(x)+sin2x=sin x-ax⋅cos x+sin2x>0,即tan x-ax+2sin x>0,x∈0,π2，设g(x)=2sin x+tan x-ax,x∈0,π2,g (x )=2cos x +1cos 2x -a =1cos 2x(2cos 3x -a cos 2x +1).又∵g (0)=0,g (0)=3-a ,∴g (0)=3-a ≥0是g (x )>0的一个必要条件，即a ≤3.下证a ≤3时，满足g (x )=2sin x +tan x -ax >0,x ∈0,π2,又g (x )≥1cos 2x(2cos 3x -3cos 2x +1)，设(t )=2t 3-3t 2+1,t ∈(0,1),h (t )=6t 2-6t =6t (t -1)<0,h (t )在(0,1)上单调递减，所以h (t )>h (1)=0，又x ∈0,π2 ,cos x ∈(0,1),∴g (x )>0,即g (x )在0,π2 单调递增.∴x ∈0,π2时，g (x )>g (0)=0；下面证明a >3时不满足g (x )=2sin x +tan x -ax >0,x ∈0,π2,，g (x )=2cos x +1cos 2x-a ，令h (x )=g (x )=2cos x +1cos 2x -a ，则h (x )=-2sin x +2sin x cos 3x =2sin x 1cos 3x-1，∵x ∈0,π2 ,∴sin x >0,1cos 3x-1>0，∴h (x )>0,∴h (x )=g (x )在0,π2为增函数，令x 0满足x 0∈0,π2,cos x 0=1a ，则g x 0 =2cos x 0+1cos 2x 0-a =2cos x 0+a -a >0，又g (0)=3-a <0,∴∃x 1∈0,x 0 ,使得g x 1 =0，当x ∈0,x 1 时，g (x )<g x 1 =0，∴此时g (x )在0,x 1 为减函数，∴当x ∈0,x 1 时，g (x )<g (0)=0，∴a >3时，不满足g (x )≥0恒成立.综上a ≤3.(ⅱ)设F (x )=sin 2x ⋅tan x -x 3,x ∈0,π2 ,F (x )=2sin x ⋅cos x ⋅tan x +sin 2x ⋅1cos 2x-3x 2=2sin 2x +tan 2x -3x 2=2(sin x -x )2+(tan x -x )2+2(2sin x +tan x )x -2x 2-x 2-3x 2.由(ⅰ)知2sin x +tan x >3x ,∴F (x )>0+0+2x ⋅3x -6x 2=0,，F x 在0,π2上单调递增，∴F (x )>F (0)=0,即sin 2x tan x >x 3.【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是进行必要性探路，然后证明充分性，得到所要求的参数范围即可．11(2024·全国·模拟预测)已知函数f (x )=ln (1+x )-11+x．(1)求曲线y =f (x )在(0,f (0))处的切线方程；(2)若x ∈(-1,π)，讨论曲线y =f (x )与曲线y =-2cos x 的交点个数．【答案】(1)y =32x -1；(2)2．【分析】(1)求导，即可根据点斜式求解方程，(2)求导，分类讨论求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可根据函数的单调性，结合最值求解.【详解】(1)依题意，f x =11+x +121+x 32，故f 0 =32，而f 0 =-1，故所求切线方程为y +1=32x ，即y =32x -1．(2)令ln 1+x -11+x =-2cos x ，故ln 1+x +2cos x -11+x=0，令g x =ln 1+x +2cos x -11+x ，g x =11+x -2sin x +121+x -32，令h x =g x =11+x -2sin x +121+x -32，hx =-11+x2-2cos x -341+x -52．①当x ∈-1,π2时，cos x ≥0,1+x 2>0,1+x-52>0，∴h x <0,∴h x 在-1,π2上为减函数，即gx 在-1,π2 上为减函数，又g 0 =1+12>0,g1 =12-2sin1+12⋅2-32<12-2⋅sin1+12<1-2×12=0，∴g x 在0,1 上有唯一的零点，设为x 0，即g x 0 =00<x 0<1 ．∴g x 在-1,x 0 上为增函数，在x 0,π2上为减函数．又g 0 =2-1>0,g -π4 =ln 1-π4 +2cos -π4 -11-π4=ln 1-π4+2-11-π4<0,g π2=ln 1+π2 -11+π2>0，∴g x 在-1,x 0 上有且只有一个零点，在x 0,π2上无零点；②当x ∈π2,5π6 时，g x <11+x -1+121+x-32<0,g x 单调递减，又g π2 >0,g 5π6 =ln 1+5π6 -3-1+5π6-12<ln4-3<0，∴g x 在π2,5π6内恰有一零点；③当x ∈5π6,π 时，hx =-11+x2-2cos x -341+x -52为增函数，∴hx =h 5π6 =-11+5π62+1-34⋅1+5π6-52>0，∴g x 单调递增，又g π >0,g 5π6 <0，所以存在唯一x 0∈5π6,π ,g x 0 =0，当x ∈5π6,x 0 时，g x <0,g x 递减；当x ∈x 0,π 时，g x >0,g x 递增，g x ≤max g 5π6 ,g π <0，∴g x 在5π6,π内无零点．综上所述，曲线y =f x 与曲线y =-2cos x 的交点个数为2．【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.12(2024·广东佛山·二模)已知f x =-12e 2x +4e x -ax -5.(1)当a =3时，求f x 的单调区间；(2)若f x 有两个极值点x 1，x 2，证明：f x 1 +f x 2 +x 1+x 2<0.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】(1)求导后，借助导数的正负即可得原函数的单调性；(2)借助换元法，令t =e x ，t 1=e x 1，t 2=e x 2，可得t 1、t 2是方程t 2-4t +a =0的两个正根，借助韦达定理可得t 1+t 2=4，t 1t 2=a ，即可用t 1、t 2表示f x 1 +f x 2 +x 1+x 2，进而用a 表示f x 1 +f x 2 +x 1+x 2，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.【详解】(1)当a =3时，f x =-12e 2x +4e x -3x -5，f x =-e 2x +4e x -3=-e x -1 e x -3 ，则当e x ∈0,1 ∪3,+∞ ，即x ∈-∞,0 ∪ln3,+∞ 时，f x <0，当e x ∈1,3 ，即x ∈0,ln3 时，f x >0，故f x 的单调递减区间为-∞,0 、ln3,+∞ ，单调递增区间为0,ln3 ；(2)f x =-e 2x +4e x -a ，令t =e x ，即f x =-t 2+4t -a ，令t 1=e x 1，t 2=e x 2，则t 1、t 2是方程t 2-4t +a =0的两个正根，则Δ=-4 2-4a =16-4a >0，即a <4，有t 1+t 2=4，t 1t 2=a >0，即0<a <4，则f x 1 +f x 2 +x 1+x 2=-12e 2x 1+4e x 1-ax 1-5-12e 2x2+4e x 2-ax 2-5+x 1+x 2=-12t 21+t 22 +4t 1+t 2 -a -1 ln t 1+ln t 2 -10=-12t 1+t 2 2-2t 1t 2 +4t 1+t 2 -a -1 ln t 1t 2-10=-1216-2a +16-a -1 ln a -10=a -a -1 ln a -2，要证f x 1 +f x 2 +x 1+x 2<0，即证a -a -1 ln a -2<00<a <4 ，令g x =x -x -1 ln x -20<x <4 ，则g x =1-ln x +x -1x =1x-ln x ，令h x =1x -ln x 0<x <4 ，则h x =-1x 2-1x <0，则g x 在0,4 上单调递减，又g 1 =11-ln1=1，g 2 =12-ln2<0，故存在x 0∈1,2 ，使g x 0 =1x 0-ln x 0=0，即1x 0=ln x 0，则当x ∈0,x 0 时，g x >0，当x ∈x 0,4 时，g x <0，故g x 在0,x 0 上单调递增，g x 在x 0,4 上单调递减，则g x ≤g x 0 =x 0-x 0-1 ln x 0-2=x 0-x 0-1 ×1x 0-2=x 0+1x 0-3，又x 0∈1,2 ，则x 0+1x 0∈2,52 ，故g x 0 =x 0+1x 0-3<0，即g x <0，即f x 1 +f x 2 +x 1+x 2<0.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助换元法，令t =e x ，t 1=e x 1，t 2=e x 2，从而可结合韦达定理得t 1、t 2的关系，即可用a 表示f x 1 +f x 2 +x 1+x 2，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.13(2024·广东广州·模拟预测)已知函数f x =x e x -kx ,k ∈R .(1)当k =0时，求函数f x 的极值；(2)若函数f x 在0,+∞ 上仅有两个零点，求实数k 的取值范围.【答案】(1)极小值为-1e，无极大值(2)e ,+∞【分析】(1)求出导函数，然后列表求出函数的单调区间，根据极值定义即可求解；(2)把原函数有两个零点转化为g x =e x -kx 在0,+∞ 上仅有两个零点，分类讨论，利用导数研究函数的单调性，列不等式求解即可.【详解】(1)当k =0时，f x =xe x (x ∈R )，所以f x =1+x e x ，令f x =0，则x =-1，x -∞,-1-1-1,+∞f x -0+f x单调递减极小值单调递增所以f (x )min =f -1 =-e -1=-1e，所以f x 的极小值为-1e，无极大值.(2)函数f x =x e x -kx 在0,+∞ 上仅有两个零点，令g x =e x -kx ，则问题等价于g x 在0,+∞ 上仅有两个零点，易知g x =e x -k ，因为x ∈0,+∞ ，所以e x >1.①当k ∈-∞,1 时，g x >0在0,+∞ 上恒成立，所以g x 在0,+∞ 上单调递增，所以g x >g 0 =1，所以g x 在0,+∞ 上没有零点，不符合题意；②当k ∈1,+∞ 时，令g x =0，得x =ln k ，所以在0,ln k 上，g x <0，在ln k ,+∞ 上，g x >0，所以g x 在0,ln k 上单调递减，在(ln k ,+∞)上单调递增，所以g x 的最小值为g ln k =k -k ⋅ln k .因为g x 在0,+∞ 上有两个零点，所以g ln k =k -k ⋅ln k <0，所以k >e.因为g 0 =1>0,g ln k 2 =k 2-k ⋅ln k 2=k k -2ln k ，令h x =x -2ln x ，则h x =1-2x =x -2x，所以在0,2 上，h x <0，在2,+∞ 上，h x >0，所以h x 在0,2 上单调递减，在2,+∞ 上单调递增，所以h x ≥2-2ln2=ln e 2-ln4>0，所以g ln k 2 =k k -2ln k >0，所以当k >e 时，g x 在0,ln k 和(ln k ,+∞)内各有一个零点，即当k >e 时，g x 在0,+∞ 上仅有两个零点.综上，实数k 的取值范围是e ,+∞ .【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：(1)确定f x 的定义域.(2)计算导数f x .(3)求出f x =0的根.(4)用f x =0的根将f x 的定义域分成若干个区间，判断这若干个区间内f x 的符号，进而确定f x 的单调区间.f x >0，则f x 在对应区间上单调递增，对应区间为增区间；f x <0，则f x 在对应区间上单调递减，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，那么需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.14(2024·江苏南通·二模)已知函数f x =ln x -ax ，g x =2ax，a ≠0.(1)求函数f x 的单调区间；(2)若a >0且f x ≤g x 恒成立，求a 的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)2e 3.【分析】(1)求导后，利用导数与函数单调性的关系，对a >0与a <0分类讨论即可得；(2)结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.【详解】(1)f x =1x -a =1-axx(a ≠0)，当a <0时，由于x >0，所以f x >0恒成立，从而f x 在0,+∞ 上递增；当a >0时，0<x <1a ，f x >0；x >1a ，fx <0，从而f x 在0,1a 上递增，在1a,+∞ 递减；综上，当a <0时，f x 的单调递增区间为0,+∞ ，没有单调递减区间；当a >0时，f x 的单调递增区间为0,1a ，单调递减区间为1a ,+∞ .(2)令h x =f x -g x =ln x -ax -2ax，要使f x ≤g x 恒成立，只要使h x ≤0恒成立，也只要使h x max ≤0.h x =1x -a +2ax 2=-ax +1 ax -2 ax 2，由于a >0，x >0，所以ax +1>0恒成立，当0<x <2a 时，h x >0，当2a<x <+∞时，h x <0，所以h x max =h 2a =ln 2a -3≤0，解得：a ≥2e 3，所以a 的最小值为2e3.15(2024·山东济南·二模)已知函数f x =ax 2-ln x -1,g x =xe x -ax 2a ∈R .(1)讨论f x 的单调性；(2)证明：f x +g x ≥x .【答案】(1)答案见详解(2)证明见详解【分析】(1)求导可得fx =2ax 2-1x，分a ≤0和a >0两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调性；(2)构建F x =f x +g x -x ,x >0，h x =e x -1x,x >0，根据单调性以及零点存在性定理分析h x 的零点和符号，进而可得F x 的单调性和最值，结合零点代换分析证明.【详解】(1)由题意可得：f x 的定义域为0,+∞ ，fx =2ax -1x =2ax 2-1x，当a ≤0时，则2ax 2-1<0在0,+∞ 上恒成立，可知f x 在0,+∞ 上单调递减；当a >0时，令f x >0，解得x >12a；令f x <0，解得0<x <12a；可知f x 在0,12a 上单调递减，在12a,+∞ 上单调递增；综上所述：当a ≤0时，f x 在0,+∞ 上单调递减；当a >0时，f x 在0,12a 上单调递减，在12a,+∞ 上单调递增.(2)构建F x =f x +g x -x =xe x -ln x -x -1,x >0，则F x =x +1 e x -1x -1=x +1 e x -1x，由x >0可知x +1>0，构建h x =e x -1x ,x >0，因为y =e x ,y =-1x在0,+∞ 上单调递增，则h x 在0,+∞ 上单调递增，且h 12=e -20,h 1 =e -1 0，可知h x 在0,+∞ 上存在唯一零点x 0∈12,1 ，当0<x <x 0，则h x <0，即Fx <0；当x >x 0，则h x >0，即F x >0；可知F x 在0,x 0 上单调递减，在x 0,+∞ 上单调递增，则F x ≥F x 0 =x 0e x 0-ln x 0-x 0-1，又因为e x 0-1x 0=0，则e x 0=1x 0,x 0=e -x 0，x 0∈12,1 ，可得F x 0 =x 0×1x 0-ln e -x-x 0-1=0，即F x ≥0，所以f x +g x ≥x .16(2024·福建·模拟预测)已知函数f (x )=a ln x -bx 在1,f 1 处的切线在y 轴上的截距为-2．(1)求a 的值；(2)若f x 有且仅有两个零点，求b 的取值范围．【答案】(1)2(2)b ∈0,2e 【分析】(1)借助导数的几何意义计算即可得；(2)借助函数与方程的关系，可将f x 有且仅有两个零点转化为方程b =2ln xx有两个根，构造对应函数并借助导数研究单调性及值域即可得.【详解】(1)f (x )=ax-b ，f 1 =a -b ，f (1)=a ×0-b =-b ，则函数f (x )=a ln x -bx 在1,f 1 处的切线为：y +b =a -b x -1 ，即y =a -b x -a ，令x =0，则有y =-a =-2，即a =2；(2)由a =2，即f (x )=2ln x -bx ，若f x 有且仅有两个零点，则方程2ln x-bx=0有两个根，即方程b=2ln xx有两个根，令g x =2ln xx，则gx =21-ln xx2，则当x∈0,e时，g x >0，则当x∈e,+∞时，g x <0，故g x 在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，故g x ≤g e =2ln ee=2e，又x→0时，g x →-∞，x→+∞时，g x →0，故当b∈0,2 e时，方程b=2ln x x有两个根，即f x 有且仅有两个零点.17(2024·浙江杭州·二模)已知函数f x =a ln x+2-12x2a∈R．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若函数f x 有两个极值点，(ⅰ)求实数a的取值范围；(ⅱ)证明：函数f x 有且只有一个零点．【答案】(1)答案见解析；(2)(ⅰ)-1<a<0；(ⅱ)证明见解析【分析】(1)求出函数的导函数，再分a≤-1、-1<a<0、a≥0三种情况，分别求出函数的单调区间；(2)(ⅰ)由(1)直接解得；(ⅱ)结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.【详解】(1)函数f x =a ln x+2-12x2a∈R的定义域为-2,+∞，且f x =ax+2-x=-x+12+a+1x+2，当a≤-1时，f x ≤0恒成立，所以f x 在-2,+∞单调递减；当-1<a<0时，令f x =0，即-x+12+a+1=0，解得x1=-a+1-1，x2=a+1-1，因为-1<a<0，所以0<a+1<1，则-2<-a+1-1<-1，所以当x∈-2,-a+1-1时f x <0，当x∈-a+1-1,a+1-1时f x >0，当x∈a+1-1,+∞时f x <0，所以f x 在-2,-a+1-1上单调递减，在-a+1-1,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减；当a≥0时，此时-a+1-1≤-2，所以x∈-2,a+1-1时f x >0，当x∈a+1-1,+∞时f x <0，所以f x 在-2,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减．综上可得：当a≤-1时f x 在-2,+∞单调递减；当-1<a<0时f x 在-2,-a+1-1上单调递减，在-a+1-1,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减；当a≥0时f x 在-2,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减．(2)(ⅰ)由(1)可知-1<a<0．(ⅱ)由(1)f x 在-2,-a+1-1上单调递减，在-a+1-1,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减，所以f x 在x=a+1-1处取得极大值，在x=-a+1-1处取得极小值，又-1<a<0，所以0<a+1<1，则1<a+1+1<2，又f x极大值=f a+1-1=a ln a+1+1-12a+1-12<0，又f-a+1-1<f a+1-1<0，所以f x 在-a+1-1,+∞上没有零点，又-1<a<0，则4a<-4，则0<e4a<e-4，-2<e4a-2<e-4-2，则0<e 4a-22<4，所以f e 4a-2=4-12e4a-22>0，所以f x 在-2,-a+1-1上存在一个零点，综上可得函数f x 有且只有一个零点．18(2024·河北沧州·模拟预测)已知函数f(x)=ln x-ax+1，a∈R．(1)讨论f x 的单调性；(2)若∀x>0，f x ≤xe2x-2ax恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)-∞,2．【分析】(1)利用导数分类讨论判断函数f x 的单调性，即可求解；(2)先利用导数证明不等式e x≥x+1，分离变量可得a≤e2x-ln x+1x恒成立，进而e 2x-ln x+1x≥2x+ln x+1-(ln x+1)x=2，即可求解.【详解】(1)函数f x =ln x-ax+1，a∈R的定义域为0,+∞，且f (x)=1x-a．当a≤0时，∀x∈0,+∞，f (x)=1x-a≥0恒成立，此时f x 在区间0,+∞上单调递增；当a>0时，令f (x)=1x-a=1-axx=0，解得x=1a，当x∈0,1 a时，f x >0，f x 在区间0,1a上单调递增，当x∈1a,+∞时，f x <0，f x 在区间1a,+∞上单调递减．综上所述，当a≤0时，f x 在区间0,+∞上单调递增；当a>0时，f x 在区间0,1 a上单调递增，在区间1a,+∞上单调递减．(2)设g x =e x-x-1，则g x =e x-1，在区间(-∞,0)上，g x <0，g x 单调递减，在区间0,+∞上，g x >0，g x 单调递增，所以g x ≥g0 =e0-0-1=0，所以e x≥x+1(当且仅当x=0时等号成立)．依题意，∀x>0，f x ≤xe2x-2ax恒成立，即a≤e2x-ln x+1x恒成立，而e2x-ln x+1x=xe2x-(ln x+1)x=e2x+ln x-(ln x+1)x≥2x+ln x+1-(ln x+1)x=2，当且仅当2x+ln x=0时等号成立．因为函数h x =2x+ln x在0,+∞上单调递增，h1e=2e-1<0，h(1)=2>0，所以存在x0∈1e,1，使得2x0+ln x0=0成立．所以a ≤e 2x -ln x +1xmin =2，即a 的取值范围是-∞,2 ．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如f x ≥g x 的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令F x =f x -g x ，利用导数求得函数F x 的单调性与最小值，只需F x min ≥0恒成立即可；2、参数分离法：转化为a ≥φx 或a ≤φx 恒成立，即a ≥φx max 或a ≤φx min 恒成立，只需利用导数求得函数φx 的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数y =f x 的图象在y =g x 的图象的上方(或下方)，进而得到不等式恒成立.19(2024·广东·二模)已知f x =12ax 2+1-2a x -2ln x ,a >0.(1)求f x 的单调区间；(2)函数f x 的图象上是否存在两点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 (其中x 1≠x 2)，使得直线AB 与函数f x 的图象在x 0=x 1+x22处的切线平行？若存在，请求出直线AB ；若不存在，请说明理由.【答案】(1)f (x )在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增.(2)不存在，理由见解析【分析】(1)求出导函数，根据导函数的正负来确定函数的单调区间；(2)求出直线AB 的斜率，再求出f (x 0)，从而得到x 1,x 2的等式，再进行换元和求导，即可解出答案.【详解】(1)由题可得f(x )=ax +1-2a -2x =ax 2+(1-2a )x -2x =(ax +1)(x -2)x(x >0)因为a >0，所以ax +1>0，所以当x ∈(0,2)时，f (x )<0，f (x )在(0,2)上单调递减，当x ∈(2,+∞)时，f (x )>0，f (x )在(2,+∞)上单调递增.综上，f (x )在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增.(2)由题意得，斜率k =y 2-y 1x 2-x 1=12ax 22+(1-2a )x 2-2ln x 2 -12ax 21+(1-2a )x 1-2ln x 1 x 2-x 1=12a (x 22-x 21)+(1-2a )(x 2-x 1)-2ln x 2x 1x 2-x 1=a 2(x 1+x 2)+1-2a -2ln x2x 1x 2-x 1，f x 1+x 22 =a (x 1+x 2)2+1-2a -4x 1+x 2,由k =f x 1+x22 得，ln x2x 1x 2-x 1=2x 1+x 2，即ln x 2x 1=2(x 2-x 1)x 1+x 2，即ln x 2x 1-2x2x 1-1 x 2x1+1=0令t =x 2x 1，不妨设x 2>x 1，则t >1，记g (t )=ln t -2(t -1)t +1=ln t +4t +1-2(t >1)所以g(t )=1t -4t +1 2=t -1 2t t +1 2>0，所以g (t )在(1,+∞)上是增函数，所以g (t )>g (1)=0，所以方程g (t )=0无解，则满足条件的两点A ,B 不存在.20(2024·广东深圳·二模)已知函数f x =ax +1 e x ，f x 是f x 的导函数，且f x -f x =2e x ．(1)若曲线y =f x 在x =0处的切线为y =kx +b ，求k ，b 的值；(2)在(1)的条件下，证明：f x ≥kx +b ．【答案】(1)k =3，b =1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据题意，求导可得a 的值，再由导数意义可求切线，得到答案；(2)设函数g x =2x +1 e x -3x -1，利用导数研究函数g (x )的单调性从而求出最小值大于0，可得证.【详解】(1)因为f x =ax +1 e x ，所以f x =ax +a +1 e x ，因为f x -f x =2e x ，所以a =2．则曲线y =f (x )在点x =0处的切线斜率为f 0 =3．又因为f 0 =1，所以曲线y =f (x )在点x =0处的切线方程为y =3x +1，即得k =3，b =1．(2)设函数g x =2x +1 e x -3x -1，x ∈R ，则g x =2x +3 e x -3，设h x =g x ，则h x =e x 2x +5 ，所以，当x >-52时，h x >0，g x 单调递增．又因为g0 =0，所以，x >0时，g x >0，g x 单调递增；-52<x <0时，g x <0，g x 单调递减．又当x ≤-52时，g x =2x +3 e x -3<0，综上g x 在-∞,0 上单调递减，在0,+∞ 上单调递增，所以当x =0时，g x 取得最小值g 0 =0，即2x +1 e x -3x -1≥0，所以，当x ∈R 时，f x ≥3x +1．21(2024·辽宁·二模)已知函数f x =ax 2-ax -ln x .(1)若曲线y =f x 在x =1处的切线方程为y =mx +2，求实数a ,m 的值；(2)若对于任意x ≥1，f x +ax ≥a 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)a =-1，m =-2(2)12,+∞ 【分析】(1)根据导数几何意义和切线方程，可直接构造方程组求得结果；(2)构造函数g x =ax 2-ln x -a x ≥1 ，将问题转化为g x ≥0恒成立；求导后，分别在a ≤0、a ≥12和0<a <12的情况下，结合单调性和最值求得符合题意的范围.【详解】(1)∵f x =2ax -a -1x，∴f 1 =2a -a -1=a -1，∵y =f x 在x =1处的切线为y =mx +2，∴f 1 =a -1=mf 1 =0=m +2 ，解得：a =-1，m =-2.(2)由f x +ax ≥a 得：ax 2-ln x -a ≥0，令g x =ax 2-ln x -a x ≥1 ，则当x ≥1时，g x ≥0恒成立；。
三角函数--2024年数学高考真题和模拟好题分类汇编(解析版)
专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2，则cos(α-β)=()A.-3mB.-m3C.m3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cosαcosβ,sinαsinβ的关系，结合tanαtanβ的值可求前者，故可求cosα-β的值.【详解】因为cosα+β=m，所以cosαcosβ-sinαsinβ=m，而tanαtanβ=2，所以=12×2b×kb×sin A2+12×kb×b×sin A2，故cosαcosβ-2cosαcosβ=m即cosαcosβ=-m，从而sinαsinβ=-2m，故cosα-β=-3m，故选：A.2(新课标全国Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时，曲线y=sin x与y=2sin3x-π6的交点个数为() A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y=sin x的的最小正周期为T=2π，函数y=2sin3x-π6的最小正周期为T=2π3，所以在x∈0,2π上函数y=2sin3x-π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cos x+2ax，当x∈(-1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=()A.-1B.12C.1D.2【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3 ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A：当x∈-π8 ,π3时，2x-π3∈-7π12,π3，由函数y=sin x在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8 ,π3上不为单调递增，故A错误；对B：当x=5π6时，2x-π3=4π3，由x=4π3不是函数y=sin x的对称轴，故x=5π6不是f x 图象的对称轴，故B错误；对C：当x∈-π6 ,π4时，2x-π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,1 2，故C错误；对D：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y=sin2x+2×5π12-π3=sin2x+π2=cos2x，该函数关于y轴对称，故D正确.故选：D.8(2024·广东广州·二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由fπ4=1，得sinπ4ω+φ=22，又点π4,1及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2kπ,k∈Z，由f5π8=0，点5π8,0及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2kπ,k∈Z，联立解得ω=2，φ=-π4+2kπ,k∈Z，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f(x)=2sin2x-π4，若将函数f(x)的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y=sin2x-2θ-π4，则-2θ-π4=π2-kπ,k∈Z，而θ>0，因此θ=-3π8+kπ2,k∈N，所以当k=1时，θ取得最小值为π8 .故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。
2023届高考数学复习：精选好题专项(圆锥曲线)练习 (附答案)
2023届高考数学复习：精选好题专项(圆锥曲线)练习题组一、 圆锥曲线中的直线问题1‐1、（山东省“学情空间”区域教研共同体2023届高三入学检测）椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M 为椭圆上位于x 轴上方的一点，，且的面积为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且，求直线l 的方程.1‐2、（湖北省重点高中2023届高三上学期10月联考） 已知直线1l：22y x =+与椭圆E ：22142x y +=相切于点M ，与直线2l：2y x t =+相交于点 N （异于点M ）．（1）求点M 的坐标；（2）直线2l 交E 于点()11,A x y ，()22,B x y 两点，证明：ANM MNB ∽△△．2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,FF 120MF MF ⋅=12MF F △2F 2AMB π∠=1-3、（南京六校联合体2023届高三8月联合调研）(本小题满分12分)已知椭圆C :22154x y +=的上下顶点分别为A,B ，过点P 0,3 且斜率为k (k <0)的直线与椭圆C 自上而下交于M,N 两点,直线BM 与AN 交于点G . （1）设AN,BN 的斜率分别为k ,k ,求k ∙k 的值; （2）求证：点G 在定直线上.1-4、（江苏如皋中学2022~2023学年度高三年级第一学期教学质量调研）已知双曲线22:12x C y -=上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0.(1)求l 的斜率;(2)若tan PAQ ∠=PAQ 的面积.题组二、 圆锥曲线中的最值问题2‐1、（湖南省三湘名校教育联盟2023届高三上学期第一次大联考）（12分）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线，P 为直线y ＝－1上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ．当P 在y 轴上时，OA ⊥OB ． （1）求抛物线C 的方程；（2）求点O 到直线AB 距离的最大值．()2:20C x py p ->AB OP 22‐4、（湖南省三湘名校教育联盟2023届高三上学期第一次大联考）（12分）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线，P 为直线y ＝－1上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ．当P 在y 轴上时，OA ⊥OB ． （1）求抛物线C 的方程；（2）求点O 到直线AB 距离的最大值．题组三、圆锥曲线中的定点、定值问题3‐1、（南京师大附中2022—2023学年度高三第一学期10月检测）（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，C 的右焦点F 与点M （0，2）的连线与C 的一条渐近线垂直．（1）求双曲线C 的标准方程：（2）经过点M 且斜率不为零的直线l 与C 的两支分别交于点A ，B ，①若O 为坐标原点，求OA OB ⋅的取值范围：②若点D 是点B 关于y 轴的对称点，证明：直线AD 过定点 【3‐2、（江苏省海安高级中学2023届高三期初学业质量监测）已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.（1）求的方程；（2）过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.()2:20C x py p ->E ()222210x y a b a b +=>>2E ()4,0M -l E B C N BC MB NBMC NC=P BC OP ON 1k 2k 12k k3‐3、（江苏连云港2023届高三上学期期中考试） 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 右焦点的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交直线x ＝4于点D ．设直线QA ，QD ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若20k ≠，证明：132k k k +为定值．题组四、 圆锥曲线中的探索性问题4-1、（湖南师大附中2023届高三年级开学初试卷）（本小题满分12分）设21,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，M 是C 上一点，2MF与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ，且直线MN 的斜率为42. (1)求椭圆C 的离心率．(2)设)1,0(D 是椭圆C 的上顶点，过D 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于B A .两点，过点D 作线段AB 的垂线，垂足为Q ，判断在y 轴上是否存在定点R ，使得||RQ 的长度为定值？并证明你的结论．4‐2、（南京市2023届高三年级学情调研） 已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点． （1）求p 的值；（2）是否存在定点T ， 使得TA TB ⋅为常数？ 若存在，求出点T 的坐标及该常数； 若不存在，说明理由．4‐3、（湖北省鄂东南省级示范高中教改联盟学校2023届高三上学期期中联考）（本题满分12分）设点P 为圆上的动点，过点P 作x 轴垂线，垂足为点Q ，动点M 满足（点P 、Q 不重合）（1）求动点M 的轨迹方程E ；（2）若过点的动直线与轨迹E 交于A 、B 两点，定点N 为，直线NA 的斜率为，直线NB 的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22:4C x y +=2MQ =(4,0)T 31,2⎛⎫⎪⎝⎭1k 2k 12k k +参考答案题组一、 圆锥曲线中的直线问题1‐1、（山东省“学情空间”区域教研共同体2023届高三入学检测）椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M 为椭圆上位于x 轴上方的一点，，且的面积为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且，求直线l 的方程.【答案解析】【要点分析】（1）依题意可得，根据椭圆的定义、三角形面积公式及勾股定理求出，即可求出，从而得解；（2）首先求出的坐标，分直线的斜率为与不为两种情况讨论，当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由，推出，解得，进而可得答案．【小问1详解】解：因为，所以，即，所以，所以又，，，所以，即，所以，所以，所以椭圆方程为.【小问2详解】解：由（1）知，，所以，即， 当直线的斜率为时，此时，不合题意，2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,FF 120MF MF ⋅=12MF F △2F 2AMB π∠=122F MF π∠=2a 2b M l 00l 0l x my =+11(,)A x y 22(,)B x y l 12y y +12y y MA MB⊥1212(0x x y y +-=m 120MF MF ⋅= 12MF MF ⊥ 122F MF π∠=1212122MF F MF MF S ⋅==△124MF MF ⋅=122MF MF a +=122F F c ==2221212MF MF F F +=()2121228MF MF MF MF +-=⋅24248a -⨯=24a =2222b a c =-=22142x y +=124MF MF ⋅=124MF MF +=122MF MF ==(M l 090AMB ∠≠︒当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，，联立，得，所以，， 因为， 所以，所以，所以，所以， 所以， 解得或，当时，直线过点，不符合题意， 所以直线的方程为．1‐2、（湖北省重点高中2023届高三上学期10月联考） 已知直线1l：22y x =+与椭圆E ：22142x y +=相切于点M ，与直线2l：2y x t =+相交于点 N （异于点M ）．（1）求点M 的坐标；（2）直线2l 交E 于点()11,A x y ，()22,B x y 两点，证明：ANM MNB ∽△△． 【答案解析】【要点分析】（1）通过解方程组进行求解即可；（2）将直线2l 方程与椭圆方程联立，结合椭圆弦长公式、相似三角形判定定理进行运算证明即可. 【小问1详解】l 0l x my =+11(,)A x y 22(,)B xy 22142x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩22(2)20m y ++-=1222y y m+=-+12222y y m -=+90AMB ∠=︒MA MB⊥1212(0x x y y +-=21212(1)1)()40m y y m y y ++-++=2222(1)4(1)4022m m m m m -+--+=++2230m m --=1m =-3m =1m =-l Ml 30x y --=解：222224y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，消y得：220x -+=，解得：x =，故)M ；【小问2详解】联立222y x y x t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解之得：,122t N t ⎫-+⎪⎪⎝⎭联立22224y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消y得：2220x t +-=， 由题可得：2Δ820t =->，∴12x x +=，2122x x t =-．12NA t ⎫=-⎪⎪⎭，22NB t ⎫=--⎪⎪⎭，()()212122223222332,2224NA NB x x t x x t t t t t ⎫⎫=--++⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎫⎫=--+=⎪⎪⎪⎪⎭⎭2NM t ⎫=--=⎪⎪⎭， 2NM NA NB =，∴AN MNNM NB =，又ANB MNB ∠=∠，∴ANM MNB ∽△△ 1-3、（南京六校联合体2023届高三8月联合调研）(本小题满分12分)已知椭圆C :22154x y +=的上下顶点分别为A,B ，过点P 0,3 且斜率为k (k <0)的直线与椭圆C 自上而下交于M,N 两点,直线BM 与AN 交于点G . （1）设AN,BN 的斜率分别为k ,k ,求k ∙k 的值; （2）求证：点G 在定直线上. ．(本小题满分12分) 解：设),(),,(2211y x N y x M2222222221422x y x y x y k k -=-⋅+=⋅....................2分 2222154x y +=又22224(15x y =⋅-所以所以54451(4222221-=--=⋅x x k k .....................4分（2）设3:+=kx y PM 224520x y +=联立 得到02530)54(22=+++kx x k1223045kx x k -+=+所以2215425k x x +=⋅ 0)1(400)54(100900222>-=+-=∆k k k .....................6分直线:MB 2211-+=x x y y 直线:NA 2222+-=x x y y联立得:1212)2()2(22x y y x y y -+=-+.....................8分2121(2)(2)2524y y y y x x +++=-⋅-法一：525)(5452121212-=+++⋅-=x x x x k x x k..............10分解得34=y所以点G 在定直线34=y 上 .....................12分法二：由韦达定理得k x x x x 562121-=+2112221121(5)5221x kx kx x x y y kx x kx x x +++==-++所以5)(655)(65121221-=++-++-x x x x x x .........10分解得34=y所以点G 在定直线34=y 上 .....................12分1-4、（江苏如皋中学2022~2023学年度高三年级第一学期教学质量调研）已知双曲线22:12x C y -=上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0.(1)求l 的斜率;(2)若tan PAQ ∠=PAQ 的面积.解：(1)由题显然直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则联立直线与双曲线得：222(21)4220k x kmx m -+++=，0> ，故122421km x x k +=--，21222221m x x k +=-，12121212111102222AP AQ y y kx m kx m k k x x x x --+-+-+=+=+=----， 化简得：12122(12)()4(1)0kx x m k x x m +--+--=，故2222(22)4(12)()4(1)02121k m kmm k m k k ++-----=--， 即(1)(21)0k m k ++-=，而直线l 不过A 点， 故l 的斜率 1.k =-(2)设直线AP 的倾斜角为α，由tan PAQ ∠=tan 22PAQ ∠=，由2PAQ απ+∠=，得tan AP k α==，即1112y x -=-联立1112y x -=-221112x y -=得1103x -=，153y =，同理，2103x +=，253y --=， 故12203x x +=，12689x x =而1|||2|AP x =-，2|||2|AQ x =-，由tan PAQ ∠=sin 3PAQ ∠=，故12121||||sin |2()4|29PAQ S AP AQ PAQ x x x x =∠=-++= 题组二、 圆锥曲线中的最值问题2‐1、（湖南省三湘名校教育联盟2023届高三上学期第一次大联考）（12分）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线，P 为直线y ＝－1上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ．当P 在y 轴上时，OA ⊥OB ． （1）求抛物线C 的方程；（2）求点O 到直线AB 距离的最大值．．答案解析：（1）当在轴上时，即，设过点的切线方程为，与联立得，由直线和抛物线相切可得，，，∴，，（3分）由，解得， ∴抛物线的方程为．（5分） （2），∴，设，，则， 即，同理可得，（8分） 又为直线上的动点，设， 则，，由两点确定一条直线可得的方程为，()2:20C x py p ->P y ()0,1P -P 1y kx =-22x py =2220x pkx p -+=22Δ480p k p =-=2A B x x p =A B y y =)A()B OA OB ⊥(110+⨯=12p =C 2x y =2x y =2y x '=()11,A x y ()22,B x y ()1112y y x x x -=-112x x y y =+222x x y y =+P 1y x =-(),1P t t -1121x t t y =-+2221x t t y =-+AB 21xt t y =-+2AB =OP1c =1EF 2212x y +=1OP =y kx m=+2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222214220kx kmx m +++-=2216880k m ∆=-+>122421kmx x k -+=+21222221m x x k -=+∵，化简得．又设M 是弦AB 的中点，∴，， ∴，令， 则，∴（仅当时取等），又∵（仅当时取等号）． 综上，.2‐3、（江苏如皋中学2022~2023学年度高三年级第一学期教学质量调研）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左，右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，点P 在椭圆E 上，212PF F F ⊥，且12||3||.PF PF =(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线:1()l x my m R =+∈与椭圆E 相交于A ，B 两点，与圆222x y a +=相交于C ，D 两点，求2||||AB CD ⋅的取值范围.解：(1)因为P 在椭圆上，所以12||||2PF PF a +=， 又因为12||3||PF PF =，所以2||2a PF =，13||2aPF =， 因为212PF F F ⊥，所以2222121||||||PF F F PF +=，又12||2F F =，所以22a =，2221b a c =-=，所以椭圆的标准方程为：22 1.2x y +=(2)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，2221AB k ==+2222122k m k +=+222,2121kmm M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭()222224121k OM m k +=⋅+()()()22222222241214122212221k k k OM k k k k +++=⋅=++++2411k t +=≥()()24443134t OMt t t t==≤=-++++1OM ≤=-t=1OP OM MP OM ≤+=+≤214k -=max OP =联立直线l 与椭圆E 的方程：221220x my x y =+⎧⎨+-=⎩，整理可得22(2)210m y my ++-=， 12222m y y m -+=+，12212y y m-=+，所以弦长2122)||||2m AB y y m+=-=+， 设圆222x y +=的圆心O 到直线l的距离为d =，所以||CD ==，所以2222222212)2)3||||41222m m m AB CD m m m m+++⋅=⋅⋅==-++++ 因为233022m <+…，2132222m ∴-<+…，2||||AB CD ∴⋅<，所以2||||AB CD ⋅的取值范围2‐4、（湖南省三湘名校教育联盟2023届高三上学期第一次大联考）（12分）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线，P 为直线y ＝－1上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ．当P 在y 轴上时，OA ⊥OB ． （1）求抛物线C 的方程；（2）求点O 到直线AB 距离的最大值．答案解析：（1）当在轴上时，即，设过点的切线方程为，与联立得，由直线和抛物线相切可得，，，∴，，（3分）由，解得， ∴抛物线的方程为．（5分）（2），∴，()2:20C x py p ->P y ()0,1P -P 1y kx =-22x py =2220x pkx p -+=22Δ480p k p =-=2A B x x p =A B y y =)A()B OA OB ⊥(110+⨯=12p =C 2x y =2x y =2y x '=设，，则， 即，同理可得，（8分） 又为直线上的动点，设， 则，，由两点确定一条直线可得的方程为， 即，（10分） ∴直线恒过定点， ∴点到直线距离的最大值为．（12分）题组三、圆锥曲线中的定点、定值问题3‐1、（南京师大附中2022—2023学年度高三第一学期10月检测）（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，C 的右焦点F 与点M （0，2）的连线与C 的一条渐近线垂直．（1）求双曲线C 的标准方程：（2）经过点M 且斜率不为零的直线l 与C 的两支分别交于点A ，B ，①若O 为坐标原点，求OA OB ⋅的取值范围：②若点D 是点B 关于y 轴的对称点，证明：直线AD 过定点【答案解析】（1）由已知得22222()1c e a ba c c a b⎧==⎪⎪⎪⋅-=-⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得3a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即22:139x y C -=；（2）由题意设()()1122:2,,,,AB l y kx A x y B x y =+()11,A x y ()22,B x y ()1112y y x x x -=-112x x y y =+222x x y y =+P 1y x =-(),1P t t -1121x t t y =-+2221x t t y =-+AB 21xt t y =-+()()2110t x y ---=AB 1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭OAB 2OM ==则()12122222222121222124233341301312913933k y kx y y x x k k k x kx x y kx x y y k k ⎧⎧⎧=++=+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⇒---=⇒⇒⎨⎨⎨---=⎪⎪⎪==⎪⎪⎪--⎩⎩⎩由题意得2120030k x x ∆>⎧⇒<<⎨<⎩①221212222131299128193333k k OA OB x x y y k k k -+-+⋅=+===+<---- ； ②由对称性得直线AD 过定点在y 轴上，设定点(0,)T t ，则有A ，T ，D 三点共线， 即1221122121211212AT DT y t y t x y x yk k x y x t x y x t t x x x x ---+=⇒=⇒+=+⇒=+()()21121212122222x kx x kx kx x t x x x x +++⇒==+++代入韦达定理得92t =-，即直线AD 过定点90,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．3‐2、（江苏省海安高级中学2023届高三期初学业质量监测）已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.（1）求的方程；（2）过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案解析】【要点分析】（1）根据条件列出关于a,b 的方程，求得a,b 的值，即得答案; （2）设直线方程，，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，表示P点坐标，结合，可得N 点坐标，从而可证明结论. 【小问1详解】E ()222210x y a b a b +=>>2E ()4,0M -l E B C N BC MB NBMC NC=P BC OP ON 1k 2k 12k k (4)y k x =+11223300(,),(,),(,),(,)B x y C x y N x y P x y MB NBMC NC=由椭圆：的离心率为，短轴长为2，可知 ，则 ，故的方程为；【小问2详解】证明：由题意可知直线的斜率一定存在，故设直线的方程为，设，联立，可得，， 则， 所以，又，所以， 解得， 从而 ， 故，即为定值.3‐3、（江苏连云港2023届高三上学期期中考试） 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，E ()222210x y a b a b +=>>2,222c b a==22231,44b a a -=∴=E 2214x y +=l l (4)y k x =+11223300(,),(,),(,),(,)B x y C x y N x y P x y 2214(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩2222(41)326440k x k x k +++-=22116(112)0,012k k ∆=->∴<<2212122232644,4141k k x x x x k k --+==++220002222164164,,(,414114)4(41k k k kx y x P k k k k k --==∴++++=+MB NB MC NC=31122344x x x x x x -+=+-2222121233212264432424()41411,3328841k k x x x x k k x y k k x x k --⨯+⨯++++===-=-++++(1,3)N k -03120313(3)44y y k k k x x k ⋅=⋅=-⨯-=12k k31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 右焦点的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交直线x ＝4于点D ．设直线QA ，QD ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若20k ≠，证明：132k k k +为定值． 【答案解析】【要点分析】（1）将椭圆上两点代入方程，得到方程组，求解，可得到a 、b ；（2）设出直线AB 方程y ＝k （x －1），得到D 点坐标()4,3k ，联立直线AB 与椭圆方程，得到A ，B 两点坐标之间的关系，根据坐标，分别表示出1k ，2k ，3k ，化简代入即可得到定值. 【小问1详解】将点2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，点31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程()222210x y a b a b +=>>， 得222233141914a b ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为22143x y +=．【小问2详解】由题意直线AB 的斜率一定存在，由（1）知，c =1，则椭圆的右焦点坐标为()1,0， 设直线AB 方程为：y ＝k （x －1），D 坐标为()4,3k ．所以23312412k k k -==--， 设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线AB 方程与椭圆方程联立得()22223484120kxk x k +-+-=．()()()()22222844341214410k k k k ∆=--+-=+>恒成立，由韦达定理知2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，且()111y k x =-，()221y k x =-， 则()()121213121233331122221111y y k x k x k k x x x x ------+=+=+----()12121223221x x k x x x x +-=-⋅-++2222228233424128213434k k k k k k k-+=-⋅--+++21k =-．故13221212k k k k k +-==-（定值）． 题组四、 圆锥曲线中的探索性问题4-1、（湖南师大附中2023届高三年级开学初试卷）（本小题满分12分）设21,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，M 是C 上一点，2MF与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ，且直线MN 的斜率为42. (1)求椭圆C 的离心率．(2)设)1,0(D 是椭圆C 的上顶点，过D 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于B A .两点，过点D 作线段AB 的垂线，垂足为Q ，判断在y 轴上是否存在定点R ，使得||RQ 的长度为定值？并证明你的结论．【答案解析】(1)由题意知，点M 在第一象限．M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，M ∴的横坐标为c ，当c x =时，a b y 2=，即.,2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c M …………………（2分） 又直线MN 的斜率为42，所以4222tan 2221===∠acb c a b F MF ， 即22222c a ac b -==，即02222=-+a ac c ，………………………………（4分）则01222=-+e e ，解得22=e 或2-=e （舍去）， 即.22=e …………………………………（5分）(2)已知)1,0(D 是椭圆的上顶点，则1=b ，椭圆的方程为1222=+y x ，………（6分）设直线AB 的方程为m kx y +=，),(),,(2211y x B y x A ，由⎩⎨⎧=++=2222y x m kx y 可得)*(0)1(24)21(222=-+++m kmx x k ， 所以221214kkm x x +-=+，222121)1(2k m x x +-=， 又)1,(11-=y x DA )1,(.22-=y x DB ， ………………………………（8分）)1)(1()1)(1(21212121-+-++=--+=⋅m kx m kx x x y y x x DB DA221212)1())(1()1(-++-++=m x x m k x x k021)1)(21()(4)1)(1(2)1(214).1(21)1(2).1(222222222222=+-++--+-=-++--++-+=k m k m m k k m m k km m k k m k ， 化简整理有01232=--m m ，得31-=m 或.1=m 当1=m 时，直线AB 经过点D ，不满足题意； ………………………………（10分） 当31-=m 时满足方程(*)中0>∆，故直线AB 经过y 轴上定点.31,0⎪⎭⎫ ⎝⎛-G 又Q 为过点D 作线段AB 的垂线的垂足，故Q 在以DG 为直径的圆上，取DG 的中点为⎪⎭⎫ ⎝⎛31,0R ，则||RQ 为定值，且=||RQ .32||21=DG …………………………（12分）4‐2、（南京市2023届高三年级学情调研） 已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点． （1）求p 的值；（2）是否存在定点T ， 使得TA TB ⋅为常数？ 若存在，求出点T 的坐标及该常数； 若不存在，说明理由．【答案解析】【要点分析】（1）结合中点坐标公式表示出点A 的坐标带入抛物线的方程即可求出结果； （2）设出直线的方程与抛物线联立，进而结合根与系数的关系得到TA TB ⋅的表达式，从而可得4040m ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，因此解方程组即可求出结果.【小问1详解】 因为(),0,0,22p F P ⎛⎫⎪⎝⎭，且点A 恰好为线段PF 中点，所以,14p A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又因为A 在抛物线上，所以2124p p =⋅，即22p =，解得P =【小问2详解】设(),T m n ，可知直线l 斜率存在；设l ：2y kx =+，()()1122,,,A x y B x y联立方程得：22y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，所以220y k -+=，所以1212,y y y y k k+==， 又：()()()1212)(TA TB x m x m y n y n ⋅=--+--()()22121244y m y m y n y n ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝()()222222*********y y m y y m n y y n -++-++=2222484m m n k k k k k ⎛⎫=--++-+ ⎪ ⎪⎝⎭22244m m n k k+-+++=-，令4040m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解之得：4m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即)4T ，此时2218TA TB m n ⋅=+=4‐3、（湖北省鄂东南省级示范高中教改联盟学校2023届高三上学期期中联考）（本题满分12分）设点P 为圆上的动点，过点P 作x 轴垂线，垂足为点Q ，动点M 满足（点P 、Q 不重合）（1）求动点M 的轨迹方程E ；（2）若过点的动直线与轨迹E 交于A 、B 两点，定点N 为，直线NA 的斜率为，直线NB 的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22:4C x y +=2MQ =(4,0)T 31,2⎛⎫⎪⎝⎭1k 2k 12k k +答案解析：（1）设点P 为，动点M 为，则Q 点为求得：又即点M 的轨迹方程为：4分（2）设直线AB 方程为：则消x 得 或设A 点，B 点则求得： 8分()00,x y (,)x y ()0,0x ()()00,,0,MQ x x y PQ y =--=-())0022,0,MQ x x y y =∴--=-002x x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩2222004443x y x y +=∴+= 221(0)43x y y +=≠4x my =+224143x my x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩()223424360m y my +++=()22(24)436340m m =-⨯+> △2m ∴>2m <-()11,x y ()22,x y 1212222436,3434m y y y y m m +=-⋅=++()121232my y y y =-+()()1212121221212123332392223339my y m y y y y k k my my m y y m y y ⎛⎫+-+--- ⎪⎝⎭∴+=+=+++++()()()1212123923392m y y m y y m y y -+-=-++++()()1212392392m y y m y y -+-=++1=-。
2024届新高考数学复习：专项(不等式的概念及基本性质)好题练习(附答案)
2024届新高考数学复习：专项（不等式的概念及基本性质）好题练习[基础巩固]一、选择题1．如果a ＜b ＜0，那么下列各式一定成立的是( ) A ．a －b ＞0 B ．ac ＜bcC ．a 2＞b 2D ．1a ＜1b2．下列不等式中，正确的是( ) A ．若ac 2>bc 2，则a >b B ．若a >b ，则a ＋c <b ＋c C ．若a >b ，c >d ，则ac >bdD ．若a >b ，c >d ，则a c >bd3．使得a ＞b ＞0成立的一个充分不必要条件是( )A ．1b ＞1a B ．e a ＞e bC ．a b ＞b aD ．ln a ＞ln b ＞04．已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则( )A ．1x －1y ＞0 B ．sin x －sin y ＞0C ．⎝⎛⎭⎫12 x －⎝⎛⎭⎫12 y ＜0D ．ln x ＋ln y ＞05．若a ，b ∈R ，且a >|b |，则( ) A ．a <－b B ．a >bC ．a 2<b 2D ．1a >1b6．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．ac >bc B ．ab >bc C ．ab <bc D ．ac <bc7．若α，β满足－π2 <α<β<π2 ，则2α－β的取值范围是( ) A ．－π<2α－β<0 B ．－π<2α－β<πC ．－3π2 <2α－β<π2 D ．0<2α－β<π8．已知实数a ，b ，c ，满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b >aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >b9．(多选)[2023ꞏ山东淄博实验中学检测]若a >b >0，则下列不等式中一定不成立的是( )A ．b a >b ＋1a ＋1B ．a ＋1a >b ＋1bC ．a ＋1b >b ＋1a D ．2a ＋b a ＋2b >a b二、填空题10．若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b 与q ＝a ＋b 的大小关系为________．11．若实数a ，b 满足0<a <2，0<b <1，则a －b 的取值范围是________． 12．[2023ꞏ山东济南外国语学校检测]已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则ca －db >0；②若ab >0，c a －d b >0，则bc －ad >0；③若bc －ad >0，c a －d b >0，则ab >0.其中正确的命题是________．[强化练习]13．已知下列四个条件：①b ＞0＞a ；②0＞a ＞b ；③a ＞0＞b ；④a ＞b ＞0，能推出1a ＜1b 成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．(多选)若a ＜b ＜－1，c ＞0，则下列不等式一定成立的是( )A ．a －1a ＞b －1b B ．a －1b ＜b －1aC ．ln (b －a )＞0D ．(ab )c ＞(b a )c15．已知有三个条件：①ac 2>bc 2；②a c >bc ；③a 2>b 2，其中能成为a >b 的充分条件是________．(填序号)16．已知2b <a <－b ，则ab 的取值范围是________．参考答案1．C ∵a ＜b ＜0，∴a 2＞b 2.2．A ∵ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b .A 正确．3．D 当a ＞b ＞0时，1b ＞1a ，e a ＞e b 成立，即1b ＞1a ，e a ＞eb 是a >b >0的必要条件，不符合题意，排除A ，B.当a b ＞b a 时，可取a ＝1，b ＝－1，但a >b >0不成立，故a b ＞b a 不是a ＞b ＞0的充分条件，排除C.函数y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，当ln a ＞ln b ＞0时，a ＞b ＞1＞0；当a ＞b ＞0时，取a ＝1e ，b ＝1e 2 ，则ln b ＜ln a ＜0.综上，ln a ＞ln b ＞0是a ＞b ＞0的充分不必要条件．4．C 方法一 (取特殊值进行验证)因为x ＞y ＞0，选项A ，取x ＝1，y ＝12 ，则1x －1y＝1－2＝－1＜0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y ＝π2 ，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2 ＝－1＜0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y ＝12 ，则ln x ＋ln y ＝ln (xy )＝ln 1＝0，排除D.方法二 (利用函数的单调性)因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12 x 在R 上单调递减，且x ＞y ＞0，所以⎝⎛⎭⎫12x＜⎝⎛⎭⎫12 y ，即⎝⎛⎭⎫12 x －⎝⎛⎭⎫12 y ＜0.故选C.5．B 可取a ＝2，b ＝±1逐一验证，B 正确． 6．D ∵a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0 ∴a >0，c <0，b 不确定 ∴ac <bc .7．C ∵－π2 <α<β<π2 ，∴－π2 <α<π2 ，－π<α－β<0，∴－3π2 <2α－β<π2 .8．A 因为c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0， 所以c ≥b .又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，所以2b ＝2＋2a 2，b ＝a 2＋1，所以b －a ＝a 2－a ＋1＝(a －12 )2＋34 >0， 所以b >a ， 所以c ≥b >a .9．AD ∵a >b >0，则b a －b ＋1a ＋1 ＝b （a ＋1）－a （b ＋1）a （a ＋1） ＝b －a a （a ＋1） <0，∴b a >b ＋1a ＋1一定不成立；a ＋1a －b －1b ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1－1ab ，当ab >1时，a ＋1a －b －1b >0，故a ＋1a >b ＋1b 可能成立；a ＋1b －b －1a ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab >0，故a ＋1b >b ＋1a 恒成立；2a ＋b a ＋2b －a b＝b 2－a 2b （a ＋2b ） <0，故2a ＋b a ＋2b >ab一定不成立．故选AD.10．p ≤q答案解析：p －q ＝(b 2a ＋a 2b )－(a ＋b )＝(b 2a －a )＋(a 2b －b )＝(1a －1b )(b 2－a 2)＝（b －a ）2（b ＋a ）ab，又a <0，b <0，所以b ＋a <0，ab >0，(b －a )2≥0，所以(b 2a ＋a 2b )－(a ＋b )≤0，所以p ≤q . 11．(－1，2)答案解析：∵0<b <1，∴－1<－b <0 又∵0<a <2 ∴－1<a －b <2. 12．①②③答案解析：对于①，若ab >0，bc －ad >0，不等式两边同时除以ab 得c a －db >0，所以①正确；对于②，若ab >0，ca －db >0，不等式两边同时乘以ab 得bc －ad >0，所以②正确；对于③，若ca －db >0，当两边同时乘以ab 时可得bc －ad >0，所以ab >0，所以③正确．13．C ①中，因为b ＞0＞a ，所以1b ＞0＞1a ，因此①能推出1a ＜1b 成立，所以①正确；②中，因为0＞a ＞b ，所以ab ＞0，所以aab ＞b ab ，所以1b ＞1a ，所以②正确；③中，因为a ＞0＞b ，所以1a ＞0＞1b ，所以1a ＞1b ，所以③不正确；④中，因为a ＞b ＞0，所以a ab ＞b ab ，所以1b ＞1a ，所以④正确．故选C.14．BD 利用取特殊值法，令a ＝－3，b ＝－2，代入各选项，验证可得正确的选项为BD.15．①答案解析：①由ac 2>bc 2可知c 2>0，即a >b ，故“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件；②当c <0时，a <b ；③当a <0，b <0时，a <b ，故②③不是a >b 的充分条件．16．(－1，2)答案解析：∵2b <a <－b ，∴2b <－b ，∴b <0，∴1b <0，∴－b b <a b <2bb ，即－1<a b <2.。
2025届高考数学复习：压轴好题专项(构造函数证明不等式)练习(附答案)
2025届高考数学复习：压轴好题专项(构造函数证明不等式)练习1. （2024届云南省昆明市第一中学高三上学期第一次月考）已知函数()()2ln f x x a x =-，R a ∈． (1)若()10f '=，求a ；(2)若()1,e a ∈，()f x 的极大值大于b2e <．2．（2024届全国名校大联考高三上学期第一联考）已知函数()2ln f x x ax =+（a ∈R ）． (1)若()0f x ≤在()0,∞+上恒成立，求a 的取值范围：(2)设()()3g x x f x =-，1x ，2x 为函数()g x 的两个零点，证明：121x x <．3．（2024届山东省青岛市高三上学期期初调研检测）已知1ea ≥，函数()e ln ln xf x a x a =-+.(1)若1a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求证：()44f x x ≥-+；(3)若β为()f x 的极值点，点()(),f ββ在圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上.求a .4．（2024届湖南省株洲市第二中学教育集团2高三上学期开学联考）已知函数()21e 12xf x x x =---， (1)证明：当0x >时，()0f x >恒成立； (2)若关于x 的方程()sin 2f x xa x x +=在()0,π内有解，求实数a 的取值范围. 5．（2024届辽宁省十校联合体高三上学期八月调研考试）设方程()22e x x a -=有三个实数根123123,,()x x x x x x <<.(1)求a 的取值范围；(2)请在以下两个问题中任选一个进行作答，注意选的序号不同，该题得分不同.若选①则该小问满分4分，若选②则该小问满分9分.①证明：12(2)(2)4x x --<；②证明：1231231113e 2x x x x x x +++++<. 6．（2024届安徽省江淮十校高三第一次联考）已知函数()2k f x x x=+，0k ≠.(1)讨论()f x 的单调性；(2)设函数()3ln g x x x =-n m ≤<，当13k =-时，证明：()()()()332g m g n f m f n m n -+<-. 7．（2024届内蒙古包头市高三上学期调研考试）设函数()()ln 1f x a x =+-，已知2x =是函数()()2y x f x =-的极值点.(1)求a ； (2)设函数()()()()22x f x g x x f x -=-+，证明：()1g x >.8．（2024届北京市景山学校高三上学期开学考试）已知函数())(0)f x x b a =+≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是1y x =-.(1)求a 、b 的值； (2)求证：()f x x <；(3)若函数()2()()g x f x t x x =+-在区间(1,)+∞上无零点，求t 的取值范围.9．（2024届山西省大同市高三上学期质量检测）已知函数2()ln (R)af x ax x a x=--∈． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 的两个极值点分别为1x ，2x ，证明：12|()()|2f x f x a-<．10．（2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期开学测试）已知函数()()111ln f x ax a x x=+--+.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)求证：n *∀∈N ，)21+⋅⋅⋅++>.参考答案1. （2024届云南省昆明市第一中学高三上学期第一次月考）已知函数()()2ln f x x a x =-，R a ∈． (1)若()10f '=，求a ；(2)若()1,e a ∈，()f x 的极大值大于b 2e <．【过程详解】（1）()212()ln ()f x x a x x a x'=-+-⋅，由()10f '=，即202(1)ln1(1)a a --=+，解得1a =． （2）()()(2ln 1)af x x a x x'=--+， 令()2ln 1ag x x x=-+， ()1,e a ∈ ，111(,1e ),a a a∴∈∴<，()21()2ln 11)2ln (10g a a a a a a=--+=-++-<， ()2ln 112ln 0g a a a =-+=>， 22()0ag x x x+'=>在(0,)+∞恒成立， 故()g x 在(0,)+∞递增，而1lg()0,()0g a a <>，01(,)x a a∴∃∈，使得g 0()0,x =令()0f x '=，有1201,,x a x x x =<=故0(0,)x x ∈时()0f x ¢>，0(,)x x a ∈时()0f x '<，(,)x a ∈+∞时()0f x ¢>， 故()f x 在0(0,)x 上递增，在0(,)x a 上递减，在(,)a +∞上递增，∴()f x 极大值2000()()ln ,f x x a x b =->由000()2ln 10,ag x x x =-+=得0002ln ,a x x x =+ 故23004(ln ),b x x <则230028(ln ),ab ax x <01,e 1e x a a<<<< 0e,e a x ∴<<，23233008(ln )8e e 18e ax x ∴<⋅⋅⋅=，328e ,ab ∴<2e <．2．（2024届全国名校大联考高三上学期第一联考）已知函数()2ln f x x ax =+（a ∈R ）． (1)若()0f x ≤在()0,∞+上恒成立，求a 的取值范围：(2)设()()3g x x f x =-，1x ，2x 为函数()g x 的两个零点，证明：121x x <．【过程详解】（1）若()0f x ≤在()0,∞+上恒成立，即2ln xa x≤-， 令()2ln x u x x =-，所以()()222ln 122ln x x u x x x --'=-=， 所以当0e x <<时，()0u x '<，当e x >时，()0u x '>， 所以()u x 在()0,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增， 所以()()min 2e eu x u ==-，所以2a e ≤-，即a 的取值范围是2,e ⎛⎤-∞- ⎝⎦．（2）令()0g x =，即22ln 0xx a x--=， 令()22ln x h x x a x =--，则()()()3222ln 121ln 2x x x h x x x x +--'=-=， 令()3ln 1r x x x =+-，所以()2130r x x x'=+>，所以()r x 在()0,∞+上单调递增，又()10r =，所以当01x <<时，()0r x <，所以()0h x '<， 当1x >时，()0r x >，所以()0h x '>，所以()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增． 不妨设12x x <，则1201x x <<<，2101x <<， 因为()()120h x h x ==，所以()()22212222222212ln 2ln 1111x x h x h h x h x a a x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭22222112ln x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 设函数()12ln x x x x ϕ=--（1x >），则()()22211210x x x x xϕ-'=+-=>在()1,+∞上恒成立， 所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增，所以()()222212ln 10x x x x ϕϕ=-->=， 所以()1210h x h x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即()121h x h x ⎛⎫> ⎪⎝⎭．又函数()22ln xh x x a x=--在()0,1上单调递减， 所以12101x x <<<，所以121x x <． 3．（2024届山东省青岛市高三上学期期初调研检测）已知1ea ≥，函数()e ln ln xf x a x a =-+.(1)若1a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求证：()44f x x ≥-+；(3)若β为()f x 的极值点，点()(),f ββ在圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上.求a .【过程详解】（1）1a =，()e ln xf x x =-，0x >由()11e ln1e f =-=，得切点为()1,e由()1e xf x x'=-，有()1e 1f '=-，即()f x 在点()1,e 处的切线斜率为e 1-，所以()f x 在点()1,e 处的切线方程为：()e 11y x =-+. （2）证明：因为()1e xf x a x '=-(1ea ≥，0x >)，设函数()()g x f x '=，则()21e 0xg x a x '=+>(1e a ≥，0x >)，所以()f x '在()0,∞+上单调递增又因为()212e 02f a '=->，112e2e 1e 2e e 2e 02e a a f a a a a ⎛⎫⎛⎫'=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以存在1,22e a β⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()0f β'=， 即1e a ββ=，1e a ββ=，所以，当()0,x ∈β时，()0f x '<，()f x 在()0,β上单调递减； 当(),x β∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 在(),β+∞上单调递增；所以()()1e ln ln 2lnf x f a a ββββββ≥=-+=--令()12ln =--h x x x x ，()()()()14432ln 40x h x x x x x xϕ=--+=+-->， 则()()()2131x x x x ϕ-+'=，()0x ϕ'<解得01x <<，()0x ϕ'>解得1x >，所以，()x ϕ在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增； 所以，()()10x ϕϕ≥=，所以，()h x 的图像在44y x =-+的上方，且()h x 与44y x =-+唯一交点为()1,0， 所以，()44f x x ≥-+.（3）圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭的圆心坐标为10,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径r =圆心到直线44y x =-+的距离174d ===， 所以直线44y x =-+为圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭的切线，由2211741644x y y x ⎧⎛⎫++=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=-+⎩解得切点坐标为()1,0， 显然，圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭在直线44y x =-+的下方又因为()44f x x ≥-+，且点()(),f ββ在圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上，则点()(),f ββ即为切点为()1,0，所以1β=，1ea =.4．（2024届湖南省株洲市第二中学教育集团2高三上学期开学联考）已知函数()21e 12xf x x x =---， (1)证明：当0x >时，()0f x >恒成立；(2)若关于x 的方程()sin 2f x xa x x +=在()0,π内有解，求实数a 的取值范围. 【过程详解】（1）函数21()e 12xf x x x =---，0x >，求导得()e 1x f x x '=--，令e 1x y x =--，0x >，求导得e 10x y '=->， 则函数()f x '在(0,)+∞上单调递增，()(0)0f x f ''>=， 因此函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0f x f >=， 所以当0x >时，()0f x >恒成立.（2）设sin y x x =-，()0,πx ∈，则1cos 0y x '=->， 则sin y x x =-在()0,π上递增，0y >，即sin 0x x >>， 方程()sin 2f x xa x x +=等价于e sin 10x ax x x ---=，()0,πx ∈， 令()e sin 1xg x ax x x =---，原问题等价于()g x 在()0,π内有零点，由()0,πx ∈，得2sin x x x <， 由（1）知，当12a ≤时，()21e sin 1e 102x xg x ax x x x x =--->--->， 当()0,πx ∈时，函数()y g x =没有零点，不合题意； 当12a >时，由()e sin 1x g x ax x x =---，求导得()()e cos sin 1xg x a x x x '=-+-， 令()()()e cos sin 1x t x g x a x x x '==-+-，则()()e sin 2cos xt x a x x x '=+-，当π[,π)2x ∈时，()0t x '>恒成立，当π(0,)2x ∈时，令()()()e sin 2cos x s x t x a x x x '==+-，则()()e 3sin cos xs x a x x x '=++，因为e 0x >，()3sin cos 0a x x x +>，则()0s x '>，即()t x '在π(0,2上单调递增，又()0120t a '=-<，π2ππ(e 022t a '=+>，因此()t x '在π(0,)2上存在唯一的零点0x ，当()00,x x ∈时，()0t x '<，函数()g x '单调递减，当()0,πx x ∈时，()0t x '>，函数()g x '单调递增，显然()()000g x g ''<=，()ππe π10g a '=+->，因此()g x '在()0,π上存在唯一的零点1x ，且()10,πx x ∈，当()10,x x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当()1,πx x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增， 又()00g =，()()100g x g <=，由（1）知，21e 112x x x x >++>+，则()ππe π10g =-->，所以()g x 在()10,x 上没有零点，在()1,πx 上存在唯一零点，因此()g x 在()0,π上有唯一零点， 所以a 的取值范围是1(,)2+∞.5．（2024届辽宁省十校联合体高三上学期八月调研考试）设方程()22e x x a -=有三个实数根123123,,()x x x x x x <<.(1)求a 的取值范围；(2)请在以下两个问题中任选一个进行作答，注意选的序号不同，该题得分不同.若选①则该小问满分4分，若选②则该小问满分9分.①证明：12(2)(2)4x x --<；②证明：1231231113e2x x x x x x +++++<. 【过程详解】（1）由题意设()()22e x f x x =-（x ∈R ），则()f x '=()2e xx x -，x ∈R ，令()0f x '=，得0x =或2x =，当0x <或2x >时，()0f x ¢>，所以()f x 在(),0∞-，()2,+∞上单调递增； 当02x <<时，()0f x '<，所以()f x 在()0,2上单调递减；又()20f =，()04f =，()33e 4f =>，且()()22e 0x f x x =-≥，当x 趋向于+∞时，()f x 也趋向于+∞，又方程()22e x x a -=有三个实数根123123,,()x x x x x x <<， 等价于直线y a =与()y f x =的函数图像有三个交点， 即04a <<，所以a 的取值范围为()0,4.（2）选①，证明如下：由（1）得：1202x x <<<，则122220x x -<-<-<， 设112t x =-，222t x =-，则1220t t <-<<， 不妨设121t k t =>，则12t kt =（1k >）， 又()()1222122e 2e x x x x a -=-=，即12222212e e t t t t a ++==，故22222222e e 0e kt ta k t t ==>，即222e e kt t k =，所以22ln 1k t k=-，212ln 1k k t kt k ==-，1k >， 则()()()2222121222ln 2ln 22111k x x t t k k ⎛⎫⎫ ⎪⎛⎫⎪--==⋅==⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎪-⎪⎝⎭⎭，设()l 1n 2x g x x x=-+，1x >， 则()()222121=10x g x x x x -'--=-≤，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，即()()10g x g <=，1>，则0<，即，0>2<，故()()212122241x x t t ⎛⎫ ⎪--==<⎪ ⎪⎪⎝⎭. 选②，证明如下：由（1）得：1202x x <<<，则122220x x -<-<-<， 设112t x =-，222t x =-，则1220t t <-<<， 不妨设121t k t =>，则12t kt =（1k >）， 又()()1222122e 2e x x x x a -=-=，即12222212e e t t t t a ++==，故22222222e e 0e kt ta k t t ==>，即222e e kt t k =，所以22ln 1k t k=-，212ln 1k k t kt k ==-（1k >），则()()()2222121222ln 2ln 22111k x x t t k k ⎛⎫⎫ ⎪⎛⎫⎪--==⋅==⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎪-⎪⎝⎭⎭1>）， 设()l 1n 2x g x x x=-+，1x >， 则()()222121=10x g x x x x -'--=-≤，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，即()()10g x g <=，1>，则0<，即，0>2<，故()()212122241x x t t ⎛⎫ ⎪--==<⎪ ⎪⎪⎝⎭. 所以()()()12121222244x x x x x x --=-++<，则()12122x x x x <+， 又因为1202x x <<<，所以120x x <，从而()12121221121x x x x x x +⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，故121112x x +<①，下证120x x +<， 有12122ln 2ln 44011k k kx x t t k k+=++=++<--（1k >）， 即证1k >时，()()1ln 21k k k +>-，即()214ln 211k k k k ->=-++， 即证4ln 21k k +>+（1k >）， 设()4ln 1h x x x =++（1x >），则()()()()22211411x h x x x x x -'=-=++，当1x >时，()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增， 则()()12h x h >=，所以120x x +<②，又()()33e 0f f =>，所以得323x <<，设()1x x xϕ=+，（23x <<），则()211x x ϕ'=-，当23x <<时，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在()2,3上单调递增， 则331103x x +<③， 联立①②③得：123123*********e 042362x x x x x x +++++<++=<<，故1231231113e2x x x x x x +++++<. 6．（2024届安徽省江淮十校高三第一次联考）已知函数()2k f x x x=+，0k ≠.(1)讨论()f x 的单调性；(2)设函数()3ln g x x x =-n m ≤<，当13k =-时，证明：()()()()332g m g n f m f n m n -+<-. 【过程详解】（1）解：函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠，()32222k x kf x x x x -='-=， 令()0f x '=，则x =①当0k<时，当x <()0f x '<，()f x0x <<时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当0x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；②当0k>时，当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x <<()0f x '<，()f x 单调递减；当x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增.综上：当0k <时，单调增区间为⎫⎪⎪⎭，()0,∞+，单调递减区间为⎛-∞ ⎝； 当0k >时，单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为(),0∞-，⎛ ⎝. （2）对任意的m，n ⎫∈+∞⎪⎭，且m n >，令mt n =（1t >），因为()()()()()()()32m n f m f n g m g n -+--()22333311ln 2222m m n m n m n m n n ⎛⎫⎛⎫=-+----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33221133ln 222222n m m m n mn m n m n n=-+-+-+ 323111332ln 22m m m m n m n n n n n mn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()332331*********ln (1)2ln 2222n t t t t t n t t t t t ⎛⎫⎛⎫=-+----=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()33211111(1)2ln 33132ln 626t t t t t t t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫≥----=-+---- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 321336ln 16t t t t ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭， 记()32336ln 1h t t t t t =-++-，则()22226311113636320h t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=---'=-+-> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()h t 在()1,+∞单调递增，所以()()10h t h >=，故32336ln 10t t t t-++->，所以()()()()()()()302m n f m f n g m g n -+-->， 故()()()()332g m g n f m f n m n-+<-.7．（2024届内蒙古包头市高三上学期调研考试）设函数()()ln 1f x a x =+-，已知2x =是函数()()2y x f x =-的极值点.(1)求a ； (2)设函数()()()()22x f x g x x f x -=-+，证明：()1g x >.【过程详解】（1）由题意可知，()()()()22ln 1y x f x x a x =-=-+-，则()2ln 11xy a x a x-'=+-++-，因为2x =是函数()()2ln 1y x a x =-+-的极值点， 所以()ln 120a +-=，解得2a =， 经检验满足题意，故2a =；（2）由（1）得()()ln 3f x x =-，(),3x ∞∈-， 设()()()22ln 3h x x f x x x =-+=-+-，则()12133x h x x x -'=-=--， 当2x <时，203x x ->-，即()0h x '>，所以()h x 在区间(),2-∞单调递增； 当23x <<时，203x x -<-，即()0h x '<，所以()h x 在区间()2,3单调递减， 因此当(),3x ∞∈-时，()()20h x h ≤=，因为()g x 的定义域要求()f x 有意义，即(),3x ∞∈-，同时还要求()2ln 30x x -+-≠，即要求2x ≠，所以()g x的定义域为{|3x x < 且}2x ≠， 要证()()()()212x f x g x x f x -=>-+，因为()20x f x -+<，所以需证()()()22x f x x f x -<-+， 即需证()()23ln 30x x x -+-->，令3x t -=，则0t >且1t ≠，则只需证1ln 0t t t -+>，令()1ln m t t t t =-+，则()ln m t t '=，令()ln 0m t t '==，可得1t =， 所以()0,1t ∈，()0m t '<；()1,t ∈+∞，()0m t '>；所以()m t 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增， 所以()()10m t m >=，即()1g x >成立.8．（2024届北京市景山学校高三上学期开学考试）已知函数())(0)f x x b a =+≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是1y x =-.(1)求a 、b 的值； (2)求证：()f x x <；(3)若函数()2()()g x f x t x x =+-在区间(1,)+∞上无零点，求t 的取值范围.【过程详解】（1）()()f x x b '=+由切线方程知()()1110f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即()()1110b b +=+=，注意到0a ≠，解得1a =,0b =.（2）由（1）可知()f x x，若要()f x x x =<且注意到0x >，所以只需ln x < 构造函数()ln h x x =()122h x x x '==，令()0h x '=得4x =，所以()h x 、()h x '随x 的变化情况如下表：()0,4 ()4,+∞()h x '+-()h x所以()h x 有极大值()244ln 42ln 0eh =-=<，综上()0h x <，结合分析可知命题得证. （3）由题意分以下三种情形讨论：情形一：注意到当0t ≥且1x >0x >，()10txx -≥，此时有()0g x >，即()g x 在区间(1,)+∞上无零点，符合题意.情形二：对()2()g x x t x x =+-求导得()()21g xt x x '=+-，所以有()11g t '=+；进一步对()()21g x t x x '=++- 求导得()32ln 24x g x t x-''=+，注意到当1t ≤-且1x >时，有20t <，32ln 04x x-< ，进而有()0g x ''<，所以()g x '单调递减，所以()()110g x g t ''<=+≤，因此()g x 单调递减，故()()10g x g <=，即()g x 在区间(1,)+∞上无零点，符合题意.情形三：由（2）可知1x >lnx <，且注意到当10t -<<时有()()()1()21211212g x t x t x t x '=-<+-<++-成立， 所以11(02a g a a -'<-<，此时()110g t '=+>， 所以存在011,a x a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00g x '=，且注意到此时有()32ln 204x g x t x -''=+<成立， 所以()g x 、()g x '随x 的变化情况如下表：()01,x ()0,x +∞()g x ' +-()g x故一方面当0x x =时，()g x 取极大值（或最大值）()0g x ，显然有()()010g x g >=；ln x <可得()()()22()1g x x t x x x t x x x tx t +-<+-=+-，所以有10a g a -⎛⎫< ⎪⎝⎭，由零点存在定理并结合这两方面可知函数()g x 在区间(1,)+∞上存在零点.综上所述，符合题意的t 的取值范围为(][),10,-∞-⋃+∞.9．（2024届山西省大同市高三上学期质量检测）已知函数2()ln (R)af x ax x a x=--∈． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 的两个极值点分别为1x ，2x，证明：12|()()|f x f x -<． 【过程详解】（1）依题意，222122()(0)a ax x af x a x x x x -+'=-+=>，当0a ≤时，()0f x '<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a <<()0f x '>，解得102x a <<或12x a>，令()0f x '<，解得112x a <<，所以()f x在1(0,2a 上单调递增，在11(22a a上单调递减，在)+∞上单调递增；当a ≥时，()0f x '≥，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增． （2）不妨设120x x <<，由（1）知，当04a <<时，()f x 在1(0,)x 上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增，所以1x 是()f x 的极大值点，2x 是()fx的极小值点，所以12()()f x f x >，所以1212|()()|()()f x f x f xf x -=-．由（1）知，122x x =，121x x a+=，则21x xa-==．要证12|()()|f x f x -<1221()())2f x f x x x -<-．因为22121122121112()()()()()ln 222x x xx x f x f x x x a x x a x x x ---+=-+--+⋅2212212111212()2()()ln ln 2x x x x a x x x x x x x x -=-+--=+ 2122112(1)ln 1x x xx x x -=+， 设211x t x =>，2(1)()ln 1t g t t t -=++．所以222414()0(1)(1)g t t t t '==>++， 所以()g t 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0g t g >=．所以2112)()()02x x f x f x --+>，即得1221()()()2f x f x x x -<-成立． 所以原不等式成立．10．（2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期开学测试）已知函数()()111ln f x ax a x x=+--+.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)求证：n *∀∈N ，)21+⋅⋅⋅++>.【过程详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()()()221111ax x a f x a x x x --+'=+-=， 当0a ≤时，10ax -<，令()0f x ¢>，解得01x <<，令()0f x '<，解得1x >，所以()f x 在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减；当01a <<时，令()0f x ¢>，解得01x <<或1x a >，令()0f x '<，解得11x a <<，所以()f x 在()0,1，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a >时，令()0f x ¢>，解得10x a <<或1x >，令()0f x '<，解得11x a <<，所以()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减；当01a <<时，()f x 在()0,1，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a >时，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）当0a =时，由（1）可得()()11ln 10f x x f x=--<=，()1x >，因为N n *∈1>，则10<，即11>>所以n ++>-+L L2n =-L2n =-)21=-，即)2ln 1+>L .。
2023 届高考数学专项(对数与对数函数)经典好题练习(附答案)
2023 届高考数学专项(对数与对数函数)经典好题练习1.(历年山东烟台模拟,1)已知集合A=x 14≤2x ≤4,B=y y lgx ,x 110,则A ∩B=( )A.[-2,2]B.(1,+∞)C.(-1,2]D.(-∞,-1]∪(2,+∞)2.(历年辽宁大连一中考前模拟,理7)已知a ,b 是非零实数,则“a>b ”是“ln |a|>ln |b|”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(历年山东济宁二模,6)设a=14log 213,b=120.3,则有( )A.a+b>abB.a+b<abC.a+b=abD.a-b=ab4.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据:lg 3≈0.48) A.1033B.1053C.1073D.10935.(历年山东德州二模,6)已知a>b>0,若log a b+log b a=52,a b =b a ,则a b=( ) A.√2 B.2 C.2√2 D.46.(多选)有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②lg(ln e)=0;③若e =ln x ,则x=e 2;④ln(lg 1)=0.其中正确的是( ) A.① B.② C.③ D.④ 7.(多选)若函数f (x )=log a (ax-3)在[1,3]上单调递增,则a 的取值可以是( )A.6B.3C.4D.58.(多选)设f (x )=lg 21-x+a 是奇函数,则使f (x )<0的x 的取值可能为( )A.-1B.-13C.0D.-129.log 24+log 42= ,log a b+log b a (a>1,0<b<1)的最大值为 . 10.当x ∈(1,2)时,不等式(x-1)2<log a x 恒成立,则a 的取值范围为 . 11.若函数f (x )=log x ,x 2,-x 2x -2,x 2(a>0,且a ≠1)的值域是(-∞,-1],则实数a 的取值范围是 .12.函数f(x)=log2√xꞏlo g√ 2x的最小值为.13.(历年山东青岛二模,7)已知非零实数a,x,y满足lo g x<lo g y<0,则下列关系式恒成立的是()A.1x2 1 1y2 1B.x+y>yx xyC.1|a| 1x<1|a| 1yD.y x>x y14.设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z15.(历年山东模考卷,8)若a>b>c>1,且ac<b2,则()A.log a b>log b c>log c aB.log c b>log b a>log a cC.log c b>log a b>log c aD.log b a>log c b>log a c16.(历年山东菏泽一模,8)已知大于1的三个实数a,b,c满足(lg a)2-2lg a lg b+lg b lg c=0,则a,b,c的大小关系不可能是()A.a=b=cB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c17.(历年河北保定一模,理12)设函数f(x)=log0.5x,若常数A满足:对∀x1∈[2,22 020],存在唯一的x2∈[2,22 020],使得f(x1),A,f(x2)成等差数列,则A=()A.-1 010.5B.-1 011C.-2 019.5D.2 020参考答案1.C 由不等式142x ≤4,得-2≤x ≤2,即A={x|-2≤x ≤2}.因为函数y=lg x 单调递增,且x>110,所以y>-1,即B={y|y>-1},则A ∩B=(-1,2].故选C .2.D 由于ln |a|>ln |b|,则|a|>|b|>0.由a>b 推不出ln |a|>ln |b|,比如a=1,b=-2,有a>b ,但ln |a|<ln |b|;反之,由ln |a|>ln |b|推不出a>b ,比如a=-2,b=1,有ln |a|>ln |b|,但a<b.故“a>b ”是“ln |a|>ln |b|”的既不充分也不必要条件.故选D .3.A a=14log 213=log 21314=log 23-14>log 24-14=-12,b=120.3>120.5=√22,∴ab<0,a+b>0,∴a+b>ab ,故选A .4.D设M N =x=33611080,两边取对数,得lg x=lg33611080=lg 3361-lg 1080=361×lg 3-80≈93.28,所以x ≈1093.28,即与MN最接近的是1093.故选D . 5.B ∵log a b+log b a=52,∴log a b+1log a b52,解得log a b=2或log a b=12,若log a b=2,则b=a 2,代入a b =b a 得a=(a 2)a =a 2a , ∴a 2=2a ,又a>0,∴a=2,则b=22=4,不合题意; 若log a b=12,则b=√a ,即a=b 2,代入a b =b a 得(b 2)b =b 2b =,∴2b=b 2,又b>0,∴b=2,则a=b 2=4,∴a b=2.故选B .6.AB 因为lg 10=ln e =1,lg(lg 10)=lg 1=0,lg(ln e)=lg 1=0,所以①②均正确;若e =ln x ,则x=e e ,故③错误;因为lg 1=0,而ln 0没有意义,故④错误.故选AB .7.ACD 由于a>0,且a ≠1,∴u=ax-3为增函数,∴若函数f (x )为增函数,则f (x )=log a u 必为增函数,因此a>1.又y=ax-3在[1,3]上恒为正,∴a-3>0,即a>3,故选ACD . 8.BD 由f (-x )=-f (x ),即lg21 x+a =-lg21-x+a ,21 x +a=21-x+a -1,即2 a ax 1 x1-x2 a -ax,则1-x 2=(2+a )2-a 2x 2恒成立,可得a 2=1,且(a+2)2=1,解得a=-1,∴f (x )=lg 1 x1-x,定义域为(-1,1).由f (x )<0,可得0<1 x1-x<1,∴-1<x<0.故选BD .9.52-2 因为log 24+log 42=log 222+lo g 2=2+1252.由换底公式可得log b a=1log a b,因为a>1,0<b<1,所以log a b<0,log b a<0,所以log a b+log b a=-[(-log a b )+(-log b a )]≤-2,当且仅当log a b=log b a 时,等号成立,故log a b+log b a 的最大值为-2. 10.(1,2] 设f 1(x )=(x-1)2,f 2(x )=log a x ,要使当x ∈(1,2)时,不等式(x-1)2<log a x 恒成立,只需f 1(x )=(x-1)2在(1,2)上的图像在f 2(x )=log a x 的下方即可,如图所示.当0<a<1时,显然不成立.当a>1时,如图,要使在区间(1,2)上, f 1(x )=(x-1)2的图像在f 2(x )=log a x 图像的下方,只需f 1(2)≤f 2(2), 即(2-1)2≤log a 2.即log a 2≥1,则1<a ≤2,即a 的取值范围为(1,2]. 11.12,1 x ≤2时,f (x )=-x 2+2x-2=-(x-1)2-1,f (x )在(-∞,1)上单调递增,在(1,2]上单调递减,∴f (x )在(-∞,2]上的最大值是f (1)=-1,所以f (x )的值域是(-∞,-1];又当x>2时,log a x ≤-1,故0<a<1,且log a 2≤-1,∴12a<1,故实数a 的取值范围为12,1.12.-14由题得,x>0,∴f (x )=log 2√x lo g √ 2x=12log 2x ꞏlog 24x 2=12log 2x ꞏ(log 24+2log 2x )=log 2x+(log 2x )2=log 2x+122-14-14.当且仅当x=√22时,有f (x )min =-14.13.D 因a 2+1>1,且lo g x<lo g y<0,由对数函数的单调性,得0<x<y<1,令x=14,y=12,将x=14,y=12代入选项,得A,B,C 不成立,D 成立,故选D .14.D 由2x =3y =5z ,同时取自然对数,得x ln 2=y ln 3=z ln 5.由2x 3y2ln33ln2ln9ln8>1,可得2x>3y.再由2x 5z2ln55ln2ln25ln32<1,可得2x<5z.所以3y<2x<5z ,故选D .15.B 因为a>b>c>1,且ac<b 2,令a=16,b=8,c=2,则log c a=4>1>log a b ,故A,C 错误;log c b=3>log b a=43,故D 错误,B 正确.故选B.16.D 令f (x )=x 2-2x lg b+lg b lg c ,则lg a 为f (x )的零点,且该函数图像的对称轴为x=lg b ,故Δ=4lg 2b-4lg b lg c ≥0.因为b>1,c>1.故lg b>0,lg c>0.所以lg b ≥lg c ,即b ≥c.又f (lg b )=lg b lg c-lg 2b=lg b (lg c-lg b ),f (lg c )=lg 2c-lg b lg c=lg c (lg c-lg b ),若b=c ,则f (lg b )=f (lg c )=0.故lg a=lg b=lg c ,即a=b=c.若b>c ,则f (lg b )<0,f (lg c )<0,利用二次函数图像,可得lg a<lg c<lg b ,或lg c<lg b<lg a ,即a<c<b ,或c<b<a.故选D .17.A 因为对∀x 1∈[2,22 020],存在唯一的x 2∈[2,22 020],使得f (x 1),A ,f (x 2)成等差数列,所以2A=f (x 1)+f (x 2),即2A-f (x 1)=f (x 2).因为f (x )=log 0.5x 在[2,22 020]上单调递减,可得f (x )在[2,22 020]的值域为[-2 020,-1],故y=2A-f (x )在(0,+∞)单调递增,可得其在区间[2,22 020]的值域为[2A+1,2A+2 020].由题意可得[2A+1,2A+2 020]⊆[-2 020,-1],即2A+1≥-2 020,且2A+2 020≤-1,解得A ≥-2 0212,且A ≤-2 0212,可得A=-2 0212.故选A .。
2025届高考数学复习：压轴好题专项(数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题)练习(附答案)
2025届高考数学复习：压轴好题专项(数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题)练习1．（2023届云南省保山市高三上学期期末质量监测）已知函数()2sin f x ax x =-. (1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)当0x >时，()cos f x ax x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.2．（2023届四川省高三诊断性检测）已知函数()22ln f x x x =-.(1)求()f x 的单调区间；(2)令()()2g x f x x ax =-+（a 为常数），若()g x 有两个零点()1212,x x x x <，求实数a 的取值范围.3．（2024届广东省揭阳市高三上学期开学考试）已知函数()()212ln 1R 2f x x mx m =-+∈.(1)当1m =时，证明：()1f x <；(2)若关于x 的不等式()()2f x m x <-恒成立，求整数m 的最小值. 4．（2023届黑龙江省哈尔滨市高三月考）设函数322()33f x x ax b x =-+ (1)若1a =，0b =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若0a b <<，不等式1ln 1x k f f x x +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭对任意()1,x ∈+∞恒成立，求整数k 的最大值．5．（2023届江苏省连云港市高三学情检测）已知函数21()e xf x x=-. (1)判断函数()f x 零点的个数，并证明； (2)证明：2e ln 2cos 0x x x x x --->.6．（2024届广东省深圳市罗湖区部分学校高三上学期开学模拟）已知函数()(e xf x mx m =-∈R).(1)讨论()f x 的单调性；(2)当0x ≥时，若关于x 的不等式()()ln 110f x x ++-≥恒成立，求实数m 的取值范围. 7．（2024届山西省朔州市怀仁市第一中学校等学校2高三上学期摸底）已知函数1()(1)ln(1)e 21f x a x ax x =--++++-+（a ∈R ，e 为自然对数的底数）. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 有且仅有3个零点，求实数a 的取值范围.8．（2023届云南省高三“云教金榜”N 1冲刺测试）设函数()()e ln xf x x a =-+，a ∈R .(1)当1a =时，求()f x 的单调区间； (2)若()f x a ≥，求实数a 的取值范围.9．（2024届云南省三校高三高考备考实用性联考）已知()23(1)e ,3x a f x x x ax a =--+∈R . (1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间； (2)当0a =时，证明：函数()()21ln 2g x f x x x =+-有且仅有一个零点. 10.（2023届河南省安阳市高三上学期名校调研摸底）已知函数()()e 1ln xf x a ax a =--+,其中2e a >-,且0a ≠.(1)当1a =时,求()f x 的单调区间； (2)若()f x 只有一个零点,求a 的取值范围.11.（2023届三省三校高三第一次联考）已知函数()(1)ln f x m x x =--. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若0m =,设()()()2e xg x f x x =+-在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上的最小值为n ,求证：(3)(4)0n n --< .12．2()ln 3f x x x x =+-． （1）求()f x 的零点个数；（2）使不等式2()(2)ln 1f x x k x x x b ≥+----对任意[1,e]x ∈恒成立时最大的k 记为c ,求当[1,2]b ∈时,b c +的取值范围．参考答案1．（2023届云南省保山市高三上学期期末质量监测）已知函数()2sin f x ax x =-. (1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)当0x >时，()cos f x ax x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【过程详解】（1）当1a =时，()()2sin ,2cos f x x x f x x -=-'=， 切线的斜率为()01k f '==，又切点为()0,0，所以切线方程为y x =.（2）令()()cos g x f x ax x =-，即()2cos sin g x ax ax x x =--，①若1a ≥，则当0x >时，()2cos sin g x x x x x ≥--，令()2cos sin hx x x x x =--，()22cos sin h x x x x =-+'，当(]0,πx ∈时，()0h x '≥，所以()h x 在(]0,π上单调递增，()()00h x h >=， 当()π,x ∈+∞时，()()()1cos sin 0h x x x x x =-+->， 所以()()0g x h x ≥≥恒成立，符合题意；②若0a ≤，则当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()2cos sin 1cos sin 0g x ax ax x x ax x ax x =--=-+-<，不合题意； ③若01a <<，注意到()()()()00,2cos sin cos ,01gg x a a x x x x g a -''==--=-，令()()()2cos sin cos x g x a a x x x x ϕ=---'=，则()()21sin cos x a x ax x ϕ=++'，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>，所以()g x '在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，因为()ππ010,2022g a g a ⎛⎫⎛⎫=-<=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''，所以存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，当()00,x x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()00,x 上单调递减，()()00g x g <=，不合题意. 综上，a 的取值范围为[)1,+∞.2．（2023届四川省高三诊断性检测）已知函数()22ln f x x x =-.(1)求()f x 的单调区间；(2)令()()2g x f x x ax =-+（a 为常数），若()g x 有两个零点()1212,x x x x <，求实数a 的取值范围.【过程详解】（1）由题意可知：()f x 的定义域为()0,∞+， ()()()21122x x f x x xx+-'=-=，令()0f x '<，解得01x <<；令()0f x ¢>，解得1x >； 所以()f x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞.（2）由题意可知：()()22ln g x f x x ax ax x =-+=-，其定义域为()0,∞+，则()g x 有两个零点12,x x ，即()0g x =有两解，即ln 2a x x=有两解， 令()()ln 0x x x x ϕ=>，则()()21ln 0xx x xϕ='->. 令()0x ϕ'>，解得0e x <<；令()0x ϕ'<，解得e x >； 则()x ϕ的单调递减区间是()e,+∞，单调递增区间是()0,e ， 可知()()lne 1e e ex ϕϕ≤==， 又因为()10ϕ=，且当x 趋近于+∞，()x ϕ趋近于0， 要使得ln 2a x x =有两解，只需102ea <<，所以20e a <<，故实数a 的取值范围为20,e ⎛⎫⎪⎝⎭.3．（2024届广东省揭阳市高三上学期开学考试）已知函数()()212ln 1R 2f x x mx m =-+∈.(1)当1m =时，证明：()1f x <；(2)若关于x 的不等式()()2f x m x <-恒成立，求整数m 的最小值.【过程详解】（1）当1m =时，()212ln 1(0)2f x x x x =-+>，()222(0)x f x x x x x -'∴=-=>， 令()0f x '=，得x ，当(x ∈时，()()0,f x f x '>单调递增；当)x ∈+∞时，()()0,f x f x '<单调递减，所以()f x在x 处取得唯一的极大值，即为最大值，所以max 1()21ln22f x f==-⨯+=，所以()ln2f x ≤， 而ln2lne 1<=， 所以()1f x <.（2）令()()()()2122ln 212G x f x m x x mx m x =--=-+-+.则()()()22222mx m x G x mx m x x-+-+=-+-='. 当0m ≤时，因为0x >，所以()0G x '>，所以()G x 在()0,∞+上单调递增，又因为()31302G m =-+>.所以关于x 的不等式()0G x <不能恒成立；当0m >时，()()21m x x m G x x⎛⎫-+ ⎪'⎝⎭=-. 令()0G x '=，得2x m =，所以当20,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0G x '>； 当2,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0G x '<.因此函数()G x 在20,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 故函数()G x 的最大值为222ln 2ln21G m m m⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.令()22ln 2ln21h m m m=-+-， 因为()()()1112ln20,20,32ln22ln303h h h =+>==--<，又因为()h m 在()0,∞+上单调递减，所以当3m ≥时，()0h m <. 所以整数m 的最小值为3.4．（2023届黑龙江省哈尔滨市高三月考）设函数322()33f x x ax b x =-+ (1)若1a =，0b =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若0a b <<，不等式1ln 1x k f f x x +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭对任意()1,x ∈+∞恒成立，求整数k 的最大值．【过程详解】（1）当1a =，0b =时，32()3f x x x =-，所以(1)2f =-，即切点为()1,2P - 因为2()36f x x x '=-，所以(1)363f '=-=-， 所以切线方程为()231y x +=--，即31y x =-+，（2）22()363f x x ax b '=-+，由0a b <<，所以22363636()()0a b a b a b ∆=-=+-<， 所以函数()f x 在R 上单调递增不等式1ln 1x k f f x x -⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1ln (1ln )11x k x x k x x x --⇔>⇔>--，对()1,x ∈+∞恒成立， 构造(1ln )()1x xh x x -=-，22(2ln )(1)(ln )ln 2()(1)(1)x x x x x x x h x x x +--+--'==--，构造()ln 2g x x x =--，11()1x g x x x-'=-=，对()1,x ∈+∞有()0g x '>， 所以()ln 2g x x x =--在()1,x ∈+∞递增，()31ln 30g =-<，()42ln 40g =->， 所以0(3,4)x ∃∈，()000ln 20g x x x =--=，所以()01,x x ∈，()0g x <，即()0h x '<，()h x 在()01,x 递减，()0,x x ∈+∞，()0g x >，即()0h x '>，()h x 在()0,x +∞递增，所以()()00min 001ln ()1x x h x h x x +==-，结合00ln 2x x =-，故min 0()(3,4)h x x =∈，所以(1ln )1x xk x +<-对(1,)x ∈+∞恒成立min ()k h x ⇔<，故3k ≤， 所以整数k 的最大值为3；5．（2023届江苏省连云港市高三学情检测）已知函数21()e xf x x=-. (1)判断函数()f x 零点的个数，并证明； (2)证明：2e ln 2cos 0x x x x x --->.【过程详解】（1）函数的定义域{|0}x x ≠，当时0x <时，21()e 0xf x x=->，函数()f x 无零点， 当0x >时，221()2e 0xf x x '=+>，()f x 单调递增，又1()404f =<，2(1)e 10f =->且()f x 图象在0+∞（,）上连续不断，所以由零点存在定理得()f x 在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点，综上，()f x 有且只有一个零点.（2）要证2e ln 2cos 0x x x x x --->，即证2e ln 2cos x x x x x -->， 令2()e ln 2x g x x x x =--，其中0x >，则有2222()e ln ln e e ln e x x x x g x x x x x =--=-（），令2e x t x =，则()g x 可化为()ln h t t t =-，因为()212e 0xt x '=+>，所以函数2e x t x =在0+∞（,）单调递增，则0t >，由()ln h t t t =-，0t >，1()1h t t =-'1t t-=，令()0h t '=得1t =，列表如下：t()0,11()1,+∞()h t ' - 0 +()h t1 ↗由表可知：min ()(1)1h t h ==，即2()e ln 21x g x x x x =--≥，仅当2e 1x x =，等号成立，由（1）可知，存在唯一的01,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0201e xx =，即仅有唯一的01,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得02000e ln 21xx x x --=，而cos 1≤x ，当()*2πN x k k =∈，等号成立，综上，2()e ln 21x g x x x x =--≥与cos 1≤x ，等号不能同时成立， 故2e ln 2cos x x x x x -->，即2e ln 2cos 0x x x x x --->.6．（2024届广东省深圳市罗湖区部分学校高三上学期开学模拟）已知函数()(e xf x mx m =-∈R).(1)讨论()f x 的单调性；(2)当0x ≥时，若关于x 的不等式()()ln 110f x x ++-≥恒成立，求实数m 的取值范围. 【过程详解】（1）函数()f x 的定义域为R , ()e x f x m '=-，当0m ≤时，由()0f x ¢>，()f x 在R 上单调递增，当0m >时，令()0f x ¢>，可得ln x m >，令()0f x '<，可得ln x m <，∴()f x 单调递减区间为(),ln m -∞，()f x 单调递增区间为()ln ,m +∞，∴当0m ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0m >时，()f x 在区间(),ln m -∞上单调递减，在区间()ln ,m +∞上单调递增.（2）设()()()e ln 110x g x mx x x =-++-≥，则()1e 1x g x m x '=+-+， （i ）当2m ≤时，()1e 1xg x m x '=+-+， 令()1e 1xh x m x =+-+，则()()21e 1x h x x '=-+，令()()21e 1xk x x =-+，则()()32e 01xk x x +'=+>，∴()k x 在区间[)0,∞+上单调递增，则()()00k x k ≥=， ∴()h x 在区间[)0,∞+上单调递增，则()()02h x h m ≥=-，∴()20g x m '=-≥， ∴()g x 在区间[)0,∞+上单调递增，则()()00g x g ≥=恒成立，（ii ）若m>2时，则(0)0g '<，1(ln 1)(e 1)02ln g m m m'+=-+>+，∴()00,ln 1x m ∃∈+，使得()00g x '=，∴()g x 在区间[)00,x 上单调递减，则()()000g x g <=，与条件矛盾，综上所述，实数m 的取值范围为(],2-∞.7．（2024届山西省朔州市怀仁市第一中学校等学校2高三上学期摸底）已知函数1()(1)ln(1)e 21f x a x ax x =--++++-+（a ∈R ，e 为自然对数的底数）. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 有且仅有3个零点，求实数a 的取值范围. 【过程详解】（1）函数()f x 的定义域为()1,-+∞，()()2111111111a f x a a x x x x +⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪⎪+++⎝⎭⎝'⎭+()()()()2211111x a x x ax a x x ⎡⎤⎡⎤+---⎣⎦⎣⎦==++. ①当0a ≤时，由10x +>，有()110a x +-<，令()0f x '<，可得0x >，可得函数()f x 的减区间为()0,∞+， 令()0f x ¢>，函数()f x 的增区间为()1,0-；②当1a =时，()()2201x f x x +'=≥，可得函数()f x 在区间()1,-+∞上单调递增，无单调减区间；③当01a <<时，10aa ->，令()0f x '<，可得10a x a-<<， 可得函数()f x 的减区间为10,a a -⎛⎫⎪⎝⎭，令()0f x ¢>，可得10x -<<，或1a x a ->，所以函数()f x 的增区间为()1,0-，1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭； ④当1a >时，10aa -<，令()0f x '<，可得10a x a-<<， 令()0f x ¢>，可得11ax a--<<，或0x >，可得函数()f x 的减区间为1,0a a -⎛⎫⎪⎝⎭，增区间为11,a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,∞+；综上，当0a ≤时，由函数()f x 的减区间为()0,∞+，增区间为()1,0-； 当1a =时，函数()f x 在区间()1,-+∞上单调递增；当01a <<时，函数()f x 的减区间为10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为()1,0-，1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当1a >时，函数()f x 的减区间为1,0a a -⎛⎫⎪⎝⎭，增区间为11,a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,∞+.（2）()0e 30f =-<. 由（1）可知：①当0a ≤时，由函数()f x 的减区间为()0,∞+，增区间为()1,0-，有()()00f x f ≤<，函数()f x 没有零点，不合题意；②当1a =时，函数()f x 单调递增，函数()f x 最多只有一个零点，不合题意； ③当01a <<时，函数()f x 的减区间为10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为()1,0-，1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭， 由()00f <，函数()f x 最多只有一个零点，不合题意；④当1a >时，函数()f x 的减区间为1,0a a -⎛⎫⎪⎝⎭，增区间为11,a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,∞+.由()00f <，若函数()f x 有且仅有3个零点，必需()11ln 2e 10a f a a a a -⎛⎫=+-+-> ⎪⎝⎭，令()()()1ln 2e 11g x x x x x =+-+-≥，有()1ln 1g x x x+'=-， 令()()1ln 11h x x x x =+-≥，有()221110x h x x x x-'=-=≥， 可得函数()h x 单调递增，有()()10h x h ≥=， 可得函数()g x 单调递增，又由()e 0g =，故满足不等式()1ln 2e 10a a a +-+->的a 的取值范围为e a >. 又由()()()()111ln 1e 21a x x f x ax x ++++=-++-+，可得当1x →-时，()f x →-∞，又由10a f a -⎛⎫> ⎪⎝⎭，(0)0f <，()()2221e 12(1)e 1e 2e f a a -=--++-+-()232211e 3e 4e 2e 40e e a =-+-->--->，可得函数()f x 有且仅有3个零点. 由上知，若函数()f x 有且仅有3个零点，实数a 的取值范围为()e,+∞.8．（2023届云南省高三“云教金榜”N 1冲刺测试）设函数()()e ln xf x x a =-+，a ∈R .(1)当1a =时，求()f x 的单调区间； (2)若()f x a ≥，求实数a 的取值范围.【过程详解】（1）1a =时，函数()e ln(1)x f x x =-+的定义域为(1,)-+∞，因为1()e 1x f x x '=-+，所以，当0x >时，()0f x '>，当10x -<<时，()0f x '<， 所以()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，单调递减区间是(1,0)-.（2）函数()e ln()x f x x a =-+的定义域为(,),()a f x a -+∞≥，等价于e ln()0x x a a -+-≥，设()e ln()x g x x a a =-+-，则1()e x g x x a'=-+， 设()()h x g x '=，则21()e 0()x h x x a '=+>+恒成立， 所以()h x 在(,)a -+∞上单调递增，即()g x '在(,)a -+∞上单调递增，当,()x a g x '→-→-∞，当,()x g x '→+∞→+∞，所以0(,)x a ∃∈-+∞，使得()00g x '=，即001e x x a =+，所以001ex a x =-， 当()0,x a x ∈-时，()0g x '<，所以()g x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 单调递增，所以()()000min 0001()e ln e 20ex x x g x g x x a a x ==-+-=-+≥， 设1()e 2e x x p x x =-+，则(0)0p =，而1()e 20ex x p x '=++>恒成立， 所以1()e 2e x x p x x =-+为增函数， 由()00(0)p x p ≥=，所以00x ≥. 因为1,e x y y x ==-均为减函数，所以001ex a x =-在[)0,∞+上为减函数， 所以，当00x ≥时，1a ≤，所以实数a 的取值范围为(,1]-∞9．（2024届云南省三校高三高考备考实用性联考）已知()23(1)e ,3x a f x x x ax a =--+∈R . (1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)当0a =时，证明：函数()()21ln 2g x f x x x =+-有且仅有一个零点. 【过程详解】（1）当1a =时，()231(1)e 3x f x x x x =--+， ()()222()2(1)e (11e 11e )x x x f x x x x x '=-+--+=--，由()0f x ¢>得210e 10x x ⎧->⎨->⎩或210e 10x x ⎧-<⎨-<⎩，解得10x -<<或1x >由()0f x '<得210e 10x x ⎧->⎨-<⎩或210e 10x x ⎧-<⎨->⎩，解得1x <-或01x <<， 故函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-,(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞-,(0,1).（2）当0a =时，()221ln (1)e 2x g x x x x =-+-，定义域为()0,∞+， ()212(1)e (1)e x x g x x x x x ∴=-++-'-()()()2111e 11e x x x x x x x x ⎛⎫=-+-=+-- ⎪⎝⎭， 设()1e (0)x h x x x=->， ()21e 0x h x x =+'∴>，所以()h x 在区间()0,∞+上是增函数，()120,1e 102h h ⎛⎫=<=-> ⎪⎝⎭， ∴存在唯一01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00h x =，即00000011e 0,e ,ln x x x x x x -==-=， 当00x x <<时，()0h x <，即()0g x '>；当01x x <<时，()0h x >，即()0g x '<；当1x >时，()0h x >，即()0g x '>，()g x ∴在区间()00,x 上是增函数，在区间()0,1x 上是减函数，在区间()1,+∞上是增函数，∴当0x x =时，()g x 取极大值为()()02200001ln 1e 2x g x x x x =-+- 22000011(1)2x x x x =--+-⋅ 2001122x x =-+-， 设()21112122F x x x x ⎛⎫=-+-<< ⎪⎝⎭，21()0F x x x '=--<， 所以()F x 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数. ()()01111220,2248g x g g x ⎛⎫∴<=-⨯+-=-<∴ ⎪⎝⎭在()0,1内无零点， ()()2110,2e 2ln202g g =-<=-+> ， ()g x ∴在()1,+∞内有且只有一个零点，综上所述，()g x 有且只有一个零点.10.（2023届河南省安阳市高三上学期名校调研摸底）已知函数()()e 1ln x f x a ax a =--+,其中2e a >-,且0a ≠.(1)当1a =时,求()f x 的单调区间；(2)若()f x 只有一个零点,求a 的取值范围.【过程详解】 (1)当1a =时,()()()e 1ln 1,1x f x x x =--+>-,()()1e ,11x f x x x '=->-+, 易知()f x '在()1,-+∞上单调递增,且()00f '=,所以当()1,0x ∈-时,()0f x '<,此时()f x 单调递减；当()0,x ∈+∞时,()0f x '>,此时()f x 单调递增；所以()f x 的单调递增区间是()0,∞+,单调递减区间是()1,0-；(2)()()e 1111e 1x xa f x a x x x '=-=+-++, 令()()e 11x g a x x +=-,（1）当2e 0a -<<时,则(),1x ∈-∞-,()()e 2x x a x g =+',当(),2x ∞∈--时,()0g x '>,此时()g x 单调递增；当()2,1x ∈--时,()0g x '<,此时()g x 单调递减；故()()2210e a g x g ≤-=-<-, 则()()e 1101x f x a x x +-'=>+,()f x 在(),1-∞-单调递增, 又1x →-时,()f x →+∞；x →-∞时,()f x →-∞；所以此时()f x 在(),1-∞-只有一个零点；（2）当0a >时,则()1,x ∈--∞,()()e 20x g x a x '=+>恒成立,()g x 在()1,--∞单调递增,且()110g -=-<,()111111e 11e a a g a a a a ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎛⎫== ⎪⎭⎭⎝, 又11,11e a a >+>,则()1111e 1e 1110a a g a a a a ⎛⎛⎫==> ⎪⎫+-+⎪⎭-⎭⎝ ⎝, 故存在011,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,使得()00g x =, 当()01,x x ∈-时,()0g x <,当()0,x x ∈+∞时,()0g x >,因为当1x >-时,101x >+, 所以当()01,x x ∈-时,()0f x '<,()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增；当0x x =时,()f x 取得极小值,由()00g x =得001e 1x a x =+,则001ln 1ln a x x =++, ()()0200000011e ln 1ln 11011x x f x a x a x x x -=-+--=+-=≥++ 当00x =时,等号成立,由()00f =,可得()0e 1ln 1ln 00f a a a a =--=--=,解得1a =,综合第一问可知,当1a =时,()f x 只有一个零点；综上,若()f x 只有一个零点,则a 的取值范围是(){}2e ,01-⋃11.（2023届三省三校高三第一次联考）已知函数()(1)ln f x m x x =--.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若0m =,设()()()2e x g x f x x =+-在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上的最小值为n ,求证：(3)(4)0n n --< . 【过程详解】 (1)定义域：,()0x ∈+∞.1(1)1()1m x f x m x x--'=--=. ①当10m -≤,即m 1≥时：()0f x '<恒成立.故()f x 在(0,)+∞上单调递减.②当10m ->,即1m <时：令()0f x '<,即(1)10m x x --<,解得：101x m<<-; 所以()f x 在1(0,1m -上单调递减,在1(,)1m+∞-上单调递增. 综上所述：当m 1≥时：()f x 在(0,)+∞上单调递减；当1m <时：()f x 在1(0,1m -上单调递减,在1(,)1m+∞-上单调递增. (2)当0m =时,()()1ln 2e ,,12x g x x x x x ⎛⎫=-+-∈ ⎪⎝⎭. ()()()()1111e 2e 1e 1e x x x x x g x x x x x x x -⎛⎫=--+-=+-=-- ⎪⎝⎭'. 因为()1e x m x x =-在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,且1202m ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,()1e 10m =->. 所以必存在点01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使00()g x '=,即00001e ln x x x x =⇒=- 且当01,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0g x '<,当()0,1x x ∈时()0g x '>, 所以()g x 在区间01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在区间()0,1x 上单调递减. 所以()()()00000000min 0022ln 2e 221x x n g x g x x x x x x x x -===-+-=+=+-.01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 又因00221n x x =+-在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. 所以12212221342n n +-<<⨯+⨯-⇒<<. 故(3)(4)0n n --<恒成立.12．2()ln 3f x x x x =+-．（1）求()f x 的零点个数；（2）使不等式2()(2)ln 1f x x k x x x b ≥+----对任意[1,e]x ∈恒成立时最大的k 记为c ,求当[1,2]b ∈时,b c +的取值范围．【过程详解】（1）函数定义域是(0,)+∞, 由题意21231(21)(1)()23x x x x f x x x x x '-+--=+-==, 当102x <<或1x >时,()0f x '>,112x <<时,()0f x '<, 所以()f x 在1(0,)2和(1,)+∞上递增,在1(,1)2上递减, 0x →时,()f x →-∞,x →+∞时,()f x →+∞,()f x 极大值11135()ln ln 2022424f ==+-=--<,()f x 极小值(1)20f ==-<, 所以()f x 只在区间(1,)+∞上有一个零点；（2）因为0x >,所以原不等式可变为2()ln 1ln ln 121f x x x x b x x x b k x x-++++++≤+=-,令ln ln 1()1x x x b g x x +++=-,2ln ()x x b g x x --'=, 令()ln p x x x b =--,则11()1x p x x x -'=-=,[1,e]x ∈时,()0p x '≥,()p x 递增,min ()(1)1p x p b ==-,max ()(e)e 1p x p b ==--,①当(1)0p ≥,即1b =时,在[1,e]上()0g x '≥,()g x 是增函数, min ()(1)c g x g b ===,22c b b +==,②当(e)0p ≤,即[e 1,2]b ∈-时,()0g x '≤,()g x 递减,min 2()(e)e b c g x g +===,214[e,2]e e e b b c b ++=+∈++； ③当(1)(e)0p p <时,()p x 在(1,e)上递增, 存在唯一的实数0(1,e)x ∈,使得0()0p x =,00ln 0x x b --=,00ln b x x =-, 则当0(1,)x x ∈时,()0p x <,()0g x '<,()g x 递减, 0(,e)x x ∈时,()0p x >,()0g x '>,()g x 递增, 000min 0000ln ln 11()()1ln x x x b c g x g x x x x +++===-=+, 00000011ln ln b c x x x x x x +=-++=+, 00ln b x x =-,令()ln h x x x =-,1()1h x x'=-,(1,e)x ∈时,()0h x '>,()h x 递增, 所以(1,e 1)b ∈-时,0(1,e)x ∈,所以0011(2,e )eb c x x +=+∈+, 综上,4[2,2]e b c +∈+．。
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高考好题集锦（小题）1、已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是 （上海文14 【解析】由题意得，213=a ，325=a ，…，13811=a ， ∵20122010a a =，且.n a ＞0，∴2512010+-=a ，易得2010a =2008a =…=24a =22a =24a =.20a ， ∴.20a +11a =251+-+138=265133+。
2、若2sinsin (i)777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数（ C ） A 、16 B 、72 C 、86 D 、100（上海文18）3、如图，AD 与BC 是四面体A B C D 中互相垂直的棱，2=BC ，若c AD 2=，且a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 。
（上海理14）23【解析】过点A 做AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，由AD ⊥BC 可知，BC ⊥平面ADE ， 所以BC S V V V ADE ADE C ADE B ⋅=+=--31=ADE S 32， 当AB=BD=AC=DC=a 时，四面体ABCD 的体积最大。
过E 做EF ⊥DA ，垂足为点F ，已知EA=ED ，所以△ADE 为等腰三角形，所以点E 为AD 的中点，又12222-=-=a BE AB AE ，∴EF=12222--=-c a AF AE ，∴ADE S =EF AD ⋅21=122--c a c ， ∴四面体ABCD 体积的最大值=m ax V ADE S 32=13222--c a c 。
4、设25sin1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ D ） A ．25 B ．50 C ．75 D ．100（上海理18）5、已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22xg x =-。
若x R ∀∈，()0f x <或()0g x <，则m 的取值范围是_________。
（北京文14）（40m -<<）【解析】首先看22)(-=xx g 没有参数，从22)(-=xx g 入手，显然1<x 时，0)(<x g ；1≥x 时，0)(≥x g 。
而对R x ∈∀，0)(<x f 或0)(<x g 成立即可，故只要1≥∀x ，R x ∈∀，0)(<x f (*)恒成立即可．①当0=m 时，0)(=x f ，不符合(*)式，舍去；②当0>m 时，由)3)(2()(++-=m x m x m x f <0得m x m 23<<--，并不对1≥∀x 成立，舍去；③当0<m 时，由)3)(2()(++-=m x m x m x f <0，注意02>-m ，1≥x ，故02>-m x ，所以03>++m x ，即)3(+->x m ，又1≥x ，故]4,()3(-∞∈+-x ，所以4->m ，又0<m ，故)0,4(-∈m ，综上，m 的取值范围是)0,4(-。
6、设函数3()(3)1f x x x =-+-，{}n a 是公差不为0的等差数列，127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则127a a a ++⋅⋅⋅+=（ D ）（四川文12） A 、0 B 、7 C 、14 D 、21【解析】37232131721)3(1)3(1)3()()()(-+-+-+-+-=+++a a a a a a f a f a f1417=-+a ，即03)3(3)3(3)3(737232131=-+-+-+-+-+-a a a a a a ，根据等差数列的性质得0)3(7)33()23()33(4343434=-++-++--+--a d a d a d a ，即0)3(7)3()23()23()33()33(43434343434=-+-++--+--++-+--a a d a d a d a d a )3)3)((3(2)12)3)((3(2)27)3)((3(2224422442244d a a d a a d a a +--++--++--∴0)3(7)3(434=-+-+a a ，即0)784)3(7)(3(2244=++--d a a ，,034=-∴a 即34=a ，2174721==+++∴a a a a ，故选D.7、椭圆2221(5x y a a +=为定值，且a >的的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，FAB ∆的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。
（23四川文15）8、设,a b 为正实数，现有下列命题：（1、4）①若221a b -=，则1a b -<；②若111b a-=，则1a b -<；③若1=，则||1a b -<；④若33||1a b -=，则||1a b -<。
其中的真命题有____________。
（写出所有真命题的编号） （四川文16）9、设函数()2cos f x x x =-，{}n a 是公差为8π的等差数列，125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=，则2315[()]f a a a -=（ D ） （四川理12）？ A 、0 B 、2116π C 、218π D 、21316π 【解析】125112255()()()(2cos )(2cos )(2cos )5f a f a f a a a a a a a π++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=，即1251252()(cos cos cos )5a a a a a a π++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=，而{}n a 是公差为8π的等差数列，代入1251252()(cos cos cos )5a a a a a a π++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=，即)4[cos(1033π--a aππππ5)]4cos()8cos(cos )8cos(3333=+++++-+a a a a ，3(2cos 21)cos 48cos a ππ++ 不是π的倍数，2,51033ππ=∴=∴a a .22315[()](20)()()22424f a a a πππππ∴-=⨯---+21316π=，故选D.10、记[]x 为不超过实数x 的最大整数，例如，[2]2=，[1.5]1=，[0.3]1-=-。
设a 为正整数，数列{}n x 满足1x a =，1[][]()2n nn a x x x n N *++=∈，现有下列命题：①当5a =时，数列{}n x 的前3项依次为5,3,2；②对数列{}n x 都存在正整数k ，当n k ≥时总有n k x x =；③当1n ≥时，1n x >；④对某个正整数k ，若1k k x x +≥，则n x =。
其中的真命题有____________。
（写出所有真命题的编号） ？ （四川理16）（1、3、4）11、已知函数211x y x -=-的图像与函数y kx =的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 .（天津文14）（01,12)k k <<<<12、设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是 D （天津理8）（A）[1（Ｂ）(,1)-∞-∞（Ｃ）[2- （Ｄ）(,2)-∞-∞13、已知函数2|1|=1x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 . 14．(0,1)(1,4) （天津理14）14、设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ；则下列命题正确的是_____ ①若2ab c >；则3C π<②若2a b c +>；则3C π<③若333a b c +=；则2C π<④若()2a b c ab +<；则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<；则3C π> （安徽理15）【解析】正确的是_____①②③①222221cos 2223a b c ab ab ab c C C ab ab π+-->⇒=>=⇒<②2222224()()12cos 2823a b c a b a b a b c C C ab ab π+-+-++>⇒=>≥⇒<③当2C π≥时，22232233c a b c a c b c a b ≥+⇒≥+>+与333a b c +=矛盾④取2,1a b c ===满足()2a b c ab +<得：2C π<⑤取2,1a b c ===满足22222()2a b c a b +<得：3C π<15、函数cos622x xxy -=-的图象大致为 （山东文10） （D ）16、设函数1()f x x=，2()g x x bx =-+.若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ，则下列判断正确的是 （山东文12）（B ） (A)12120,0x x y y +>+> (B)12120,0x x y y +>+< (C)12120,0x x y y +<+> (D)12120,0x x y y +<+<解：设32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样，必须且只须(0)0F =或2()03F b =，因为(0)1F =，故必有2()03F b =由此得b =不妨设12x x <，则223x b ==.所以21()()(F x x x x =-，比较系数得1x -=，故1x =120x x +，由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<，故答案为B.17、定义在R 上的函数f （x ）满足f （x+6）=f （x ），当-3≤x ＜-1时，f （x ）=-（x+2）2，当-1≤x ＜3时，f （x ）=x 。