高考数学好题集锦

高考好题集锦（小题）

1、已知1

()1f x x

=

+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012

a a =，则2011

a a +

的值是 （上海文14 【解析】由题意得，213=

a ，325=a ，…，13

8

11=a ， ∵20122010a a =，且.n a ＞0，∴2

5

12010+-=

a ，易得2010a =2008a =…=24a =22a =24a =.20a ， ∴.20a +11a =

251+-+13

8=265

133+。

2、若2sin

sin

(i)

7

77

n n S π

ππ=+++（n N *

∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数（ C ） A 、16 B 、72 C 、86 D 、100（上海文18）

3、如图，AD 与BC 是四面体A B C D 中互相垂直的棱，2=BC ，若c AD 2=，且

a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 。

（上海理14）

2

3

【解析】过点A 做AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，由AD ⊥BC 可知，BC ⊥平面ADE ， 所以BC S V V V ADE ADE C ADE B ⋅=

+=--31=ADE S 3

2

， 当AB=BD=AC=DC=a 时，四面体ABCD 的体积最大。

过E 做EF ⊥DA ，垂足为点F ，已知EA=ED ，所以△ADE 为等腰三角形，所以点E 为AD 的中点，又

12222-=-=a BE AB AE ，∴EF=12222--=-c a AF AE ，

∴ADE S =EF AD ⋅2

1

=122--c a c ， ∴四面体ABCD 体积的最大值=m ax V ADE S 32=13

22

2--c a c 。

4、设25

sin

1π

n n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ D ） A ．25 B ．50 C ．75 D ．100（上海理18）

5、已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x

g x =-。若x R ∀∈，()0f x <或()0g x <，则m 的取值范围是_________。（北京文14）（40m -<<）

【解析】首先看22)(-=x

x g 没有参数，从22)(-=x

x g 入手，显然1

0)(≥x g 。而对R x ∈∀，0)(

即可．①当0=m 时，0)(=x f ，不符合(*)式，舍去；②当0>m 时，由)3)(2()(++-=m x m x m x f <0得m x m 23<<--，并不对1≥∀x 成立，舍去；③当0-m ，1≥x ，故02>-m x ，所以03>++m x ，即)3(+->x m ，又1≥x ，故]4,()3(-∞∈+-x ，所以4->m ，又0

6、设函数3

()(3)1f x x x =-+-，{}n a 是公差不为0的等差数列，127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则127a a a ++⋅⋅⋅+=（ D ）

（四川文12） A 、0 B 、7 C 、14 D 、21

【解析】3

723

213

1721)3(1)3(1)3()()()(-+-+-+-+-=+++a a a a a a f a f a f

1417=-+a ，即03)3(3)3(3)3(737232131=-+-+-+-+-+-a a a a a a ，根据等差数列的性质得0)3(7)33()23()33(4343434=-++-++--+--a d a d a d a ，即

0)3(7)3()23()23()33()33(43434343434=-+-++--+--++-+--a a d a d a d a d a )

3)3)((3(2)12)3)((3(2)27)3)((3(2224422442244d a a d a a d a a +--++--++--∴0)3(7)3(434=-+-+a a ，即0)784)3(7)(3(2244=++--d a a ，,034=-∴a 即34=a ，2174721==+++∴a a a a ，故选D.

7、椭圆22

21(5

x y a a +

=为定值，且a >的的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，FAB ∆的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。（2

3

四川文15）

8、设,a b 为正实数，现有下列命题：（1、4）

①若221a b -=，则1a b -<；②若

11

1b a

-=，则1a b -<；

③若1=，则||1a b -<；④若3

3

||1a b -=，则||1a b -<。 其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号） （四川文16）

9、设函数()2cos f x x x =-，{}n a 是公差为8

π的

等差数列，125()()

()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=，则2

315

[()]f a a a -=（ D ） （四川理12）？ A 、0 B 、

2116π C 、21

8

π D 、21316π 【解析】125112255()()()(2cos )(2cos )(2cos )5f a f a f a a a a a a a π++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=，即

1251252()(cos cos cos )5a a a a a a π++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=，而{}n a 是公差为

8

π

的等差数列，代入1251252()(cos cos cos )5a a a a a a π++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=，即)4

[cos(1033π

--a a

ππππ5)]4cos()8cos(cos )8cos(3333=+++++-+a a a a ，3(2cos 21)cos 48

cos a ππ

++ 不是π的倍

数，2

,51033π

π=

∴=∴a a .2

2315[()](20)()()22424

f a a a π

ππππ

∴-=⨯

---+

2

1316

π=，故选D.

10、记[]x 为不超过实数x 的最大整数，例如，[2]2=，[1.5]1=，[0.3]1-=-。设a 为正整数，数列{}

n x 满足1x a =，1[

][

]()2

n n

n a x x x n N *++=∈，现有下列命题：

①当5a =时，数列{}n x 的前3项依次为5,3,2；②对数列{}n x 都存在正整数k ，当n k ≥时总有n k x x =；③当1n ≥

时，1n x >；④对某个正整数k ，若1k k x x +≥

，则n x =。

其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号） ？ （四川理16）（1、3、4）

11、已知函数211

x y x -=

-的图像与函数y kx =的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 .（天

津文14）（01,12)k k <<<<

12、设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22

(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是 D （天津理8）

（A

）[1

（Ｂ）(,1)-∞-∞