矩阵和行列式初步学习课件PPT
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第2章行列式及矩阵的秩ppt课件
a11 D
T
a21 ak1 a22 ak 2 a2 k akk
T T T a11 A11 a21 A21 ak1 Ak 1
a12 a1k
由于Ai1(i=1,2,…,k)为k-1阶行列式,由归纳法假设,有
返回
AiT 1 Ai 1 , i 1,2, k , 于是
x1 3 x2 5 例2 解二元线性方程组 4 x1 3 x2 5
解: 方程组未知量的系数所构成的二阶行列式
D
1 3 4 3 3 ( 3) 4 Nhomakorabea 15 0
1 5 4 5
方程组有唯一解.又
D1
5 3 5 3
30 , D2
15
3. n阶行列式定义 利用递推方法，可以得到n阶行列式的定义. 定义：n阶矩阵 A=(aij)nn的行列式等于第1行各元素 与其相应的代数余子式乘积之和，即
a11 a12 a1n a11 A11 a12 A12 a1n A1n . a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
1 2 2[2 (10) 4] 6 2 2 48 12 34.
例5 证明n阶行列式(下三角)
a11 0 a21 a22 an1 0 0
a11a22 ann .
an 2 ann
证：由定义，有
a22 0 a a33 11 32 左边 a11 A11 0 A12 0 A1n a11 (1)
于是方程组的解为
D1 30 D2 15 x1 2，x2 1. D 15 D 15
3 x1 x 2 x 3 26 例3 解线性方程组 2 x1 4 x 2 x 3 9 x1 2 x 2 x 3 16
T
a21 ak1 a22 ak 2 a2 k akk
T T T a11 A11 a21 A21 ak1 Ak 1
a12 a1k
由于Ai1(i=1,2,…,k)为k-1阶行列式,由归纳法假设,有
返回
AiT 1 Ai 1 , i 1,2, k , 于是
x1 3 x2 5 例2 解二元线性方程组 4 x1 3 x2 5
解: 方程组未知量的系数所构成的二阶行列式
D
1 3 4 3 3 ( 3) 4 Nhomakorabea 15 0
1 5 4 5
方程组有唯一解.又
D1
5 3 5 3
30 , D2
15
3. n阶行列式定义 利用递推方法，可以得到n阶行列式的定义. 定义：n阶矩阵 A=(aij)nn的行列式等于第1行各元素 与其相应的代数余子式乘积之和，即
a11 a12 a1n a11 A11 a12 A12 a1n A1n . a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
1 2 2[2 (10) 4] 6 2 2 48 12 34.
例5 证明n阶行列式(下三角)
a11 0 a21 a22 an1 0 0
a11a22 ann .
an 2 ann
证：由定义，有
a22 0 a a33 11 32 左边 a11 A11 0 A12 0 A1n a11 (1)
于是方程组的解为
D1 30 D2 15 x1 2，x2 1. D 15 D 15
3 x1 x 2 x 3 26 例3 解线性方程组 2 x1 4 x 2 x 3 9 x1 2 x 2 x 3 16
线性代数第2章矩阵PPT课件
线性代数第2章矩阵ppt 课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
线性代数-行列式PPT课件
矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数，而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零，则该线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行 列式为零，则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一，用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具。
第二章 矩阵与行列式2.1 几何与代数 教学课件
2020/10/22
例如 11 111 1 1 10 0 0 0
2020/10/22
把线性方程组写成矩阵方程
2020/10/22
1 1 1 x1 2
2 4 8 x2 6
3
9
27
x3
12
2020/10/22
csions csoinsxx12bb12
2020/10/22
一些特殊的矩阵
2020/10/22
定义 9 对称矩阵 一个方阵A叫做对称的， 如果AT A。
2020/10/22
例如
7 1 2 4
1 2 9 3
2 4
9 3
6
22
2020/10/22
定义 10 乘幂
2020/10/22
例如 ,
0 A 0
1 0
0 1
,
A
2
0 0
0 0
1 0
0 0 0
2020/10/22
xBxABx ABxCx
2020/10/22
csions
csoinscsions
sin cos
csions csoins
2020/10/22
10 0110 0110 10
2020/10/22
与实数乘法的不同之一
对矩阵,即 来使 说 AB和BA 都有定 ,也义 可能 AB有 BA 。
l 2m 3n 4l 5m 6n
2020/10/22
1.2 0.3
2 0
.5 .7
1 3
2 4
8.7 1.8
12 .4 2.2
2020/10/22
csions
sin cos
x1 x2
scions
例如 11 111 1 1 10 0 0 0
2020/10/22
把线性方程组写成矩阵方程
2020/10/22
1 1 1 x1 2
2 4 8 x2 6
3
9
27
x3
12
2020/10/22
csions csoinsxx12bb12
2020/10/22
一些特殊的矩阵
2020/10/22
定义 9 对称矩阵 一个方阵A叫做对称的， 如果AT A。
2020/10/22
例如
7 1 2 4
1 2 9 3
2 4
9 3
6
22
2020/10/22
定义 10 乘幂
2020/10/22
例如 ,
0 A 0
1 0
0 1
,
A
2
0 0
0 0
1 0
0 0 0
2020/10/22
xBxABx ABxCx
2020/10/22
csions
csoinscsions
sin cos
csions csoins
2020/10/22
10 0110 0110 10
2020/10/22
与实数乘法的不同之一
对矩阵,即 来使 说 AB和BA 都有定 ,也义 可能 AB有 BA 。
l 2m 3n 4l 5m 6n
2020/10/22
1.2 0.3
2 0
.5 .7
1 3
2 4
8.7 1.8
12 .4 2.2
2020/10/22
csions
sin cos
x1 x2
scions
线性代数矩阵第2节行列式-PPT精选文档
a c b d a c a d b c b d ① u x + v y , ② u x + u y + v x + v y .
第二章 矩阵与行列式
§2.2 行列式
a11 a21 … a n1
a11 a21 =k … a n1
P.-S. Laplace[法]
(1749.3.23~1827.3.5)
= a11A11+a12A12+…+a1nA1n
= a11(1)1+1M11 + a12(1)1+2M12 + … + a1n (1)1+nM1n
n1阶行列式
(Laplace Expansion of Determinants)
第二章 矩阵与行列式
§2.2 行列式
二. 行列式的性质
性质1. 互换行列式中的两列, 行列式变号.
a11 例如 a 21 a12 a22 a12 = a11a22 a12a21, a22 a11 = a12a21 a11a22. a21
1 1 1 1 D= = = D D = 0. 2 2 2 2 推论. 若行列式 D 中有两列完全相同, 则 D = 0.
第二章 矩阵与行列式
§2.2 行列式
性质2. (线性性质) (1) det(1, …, kj, …, n) = kdet(1, …, j, …, n); (2) det(1, …, j+j, …, n) = det(1, …, j, …, n) + det(1, …, j, …, n). 现学现用 n ( 1) (1) 设A为n阶方阵, 则det(A) = ____ det(A). (2) a+b c+d = [ ]. u+v x+y
第二章 矩阵与行列式
§2.2 行列式
a11 a21 … a n1
a11 a21 =k … a n1
P.-S. Laplace[法]
(1749.3.23~1827.3.5)
= a11A11+a12A12+…+a1nA1n
= a11(1)1+1M11 + a12(1)1+2M12 + … + a1n (1)1+nM1n
n1阶行列式
(Laplace Expansion of Determinants)
第二章 矩阵与行列式
§2.2 行列式
二. 行列式的性质
性质1. 互换行列式中的两列, 行列式变号.
a11 例如 a 21 a12 a22 a12 = a11a22 a12a21, a22 a11 = a12a21 a11a22. a21
1 1 1 1 D= = = D D = 0. 2 2 2 2 推论. 若行列式 D 中有两列完全相同, 则 D = 0.
第二章 矩阵与行列式
§2.2 行列式
性质2. (线性性质) (1) det(1, …, kj, …, n) = kdet(1, …, j, …, n); (2) det(1, …, j+j, …, n) = det(1, …, j, …, n) + det(1, …, j, …, n). 现学现用 n ( 1) (1) 设A为n阶方阵, 则det(A) = ____ det(A). (2) a+b c+d = [ ]. u+v x+y
矩阵行列式复习ppt课件
式，记作 Mij 。
记 Aij 1 i j Mij ，叫做元素 a的ij 代数余子式。
a11 a12 a13
例如 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
A11
M11
a22 a32
a23 a33
M 23
a11 a31
a12 a32
A23 M 23
行列式按行（列）展开法则
定理
行列式等于它的任一行（列）各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即
x Ay A(Bz) (AB)z
求出AB即可。
a 0 1
例
设
A
0 0
a 0
0 a
,
求Ak（其中k是正整数）。
a2 0 2a
ak 0 kak1
解：A2
0
a2
0 ,
设 Ak
0
ak
0 0 a2
0 0
0
,
则
ak
ak 0 kak1 a 0 1 ak1 0 (k 1)ak
det(A1 2 A*) det(A1 4A1) det(3A1) (3)3(det A)1 27 2
线性方程组
线性方程组的有关概念 Cramer法则 利用逆矩阵求解线性方程组 线性方程组的消元法
一、线性方程组的有关概念
线性方程组的一般形式为
a11 x1 a12 x2
a21 x1
BT (CBT )(CBT ) (CBT )C
1
1
1 2
1
3
又 CBT 1
1 2
1 3
2 3
3
An
n1
3
BTC
3n1
2
3
1
记 Aij 1 i j Mij ，叫做元素 a的ij 代数余子式。
a11 a12 a13
例如 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
A11
M11
a22 a32
a23 a33
M 23
a11 a31
a12 a32
A23 M 23
行列式按行（列）展开法则
定理
行列式等于它的任一行（列）各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即
x Ay A(Bz) (AB)z
求出AB即可。
a 0 1
例
设
A
0 0
a 0
0 a
,
求Ak（其中k是正整数）。
a2 0 2a
ak 0 kak1
解：A2
0
a2
0 ,
设 Ak
0
ak
0 0 a2
0 0
0
,
则
ak
ak 0 kak1 a 0 1 ak1 0 (k 1)ak
det(A1 2 A*) det(A1 4A1) det(3A1) (3)3(det A)1 27 2
线性方程组
线性方程组的有关概念 Cramer法则 利用逆矩阵求解线性方程组 线性方程组的消元法
一、线性方程组的有关概念
线性方程组的一般形式为
a11 x1 a12 x2
a21 x1
BT (CBT )(CBT ) (CBT )C
1
1
1 2
1
3
又 CBT 1
1 2
1 3
2 3
3
An
n1
3
BTC
3n1
2
3
1
第一讲 行列式与矩阵
5 r2 r3 0 1 0 0 r2 r4 0 0
11 1 60 5 16 2
1 r3 5 1 r4 2
10
1 0 0 1 0 0 0 0
2 1 11 1 12 8 1 1
1 0 1 c3 c4 10 0 0 0 0 1 1
2
1 0 1
2
0 1 1 11
设变量能用变量线性表示即其中为常数22211211又如在物资调运中某物资有两个产地上海南京三个销售地广州深圳厦门调运方案见下表广州深圳厦门上海172520南京263223销售地产地数量这个调运方案可以简写成一个2行3列的数表233226202517下面给出矩阵的定义定义111122122列矩阵或mn矩阵记作22211211一矩阵概念其中叫做矩阵a的元素ij列的元素矩阵常用大写字母等表示
显然，
T DD
对于n阶行列式，可以用数学归纳法加以证明。
性质二：
互换行列式的两行（列）的位置，行列式仅改变符号。
例如，二阶行列式
a a D 11 12 a a a a 11 22 12 21 交换两行后得到的行列式 a a 21 22
a 21 a 22 a a a a D 21 12 22 11 a a 11 12
a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33
a A a A a A 11 11 12 12 13 13
例4 写出四阶行列式的元素 a 32 的余子式和代数余子式.
2 14 8 1 5 9 12 2 1 6 9 4 7 3 13 11
解
M 32
性质六： 行列式的展开与计算
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的的代数 余子式乘积之和。 a11 a12 a1n
矩阵和行列式基础PPT课件
（1 ）
若线性方程组(1)的常数项全为0时，称(1)为齐次线 性方程组，这时Dj＝0；
若系数行列式D≠0，则方程组(1)有唯一的零解。
若D=0，方程组（1) 可能有非零解
19
例：求方2x程 x11－ 2组 xx223xx3357的解 3x1x2x3 6
例：求方程 2xx1－ 组 1－ 3xx23
3 －8
零矩阵——元素均为零的矩阵，记为 O.
注意：不同型的零阵是不相等的。
26
行矩阵： [ 2 6 4 ]
20
列矩阵：
8
5
1 0 0
单位矩阵
E＝
0
1
0
0 0 1
0 0 0
零矩阵
O
0
0
0
0 0 0
27
二、矩阵运算
即对应元 素相加
• 1.加法
定义 2 设有两个 mn 矩阵 A (aij ), B (bij ) ，矩阵
4
行列式概念
• 问题：求解二元一次方程组
aa1211xx11 aa1222xx22bb12,,
(1) (2)
用消元法得 a1a122 a1a 221 0
x1
b1a22a12b2 a11a22a12a21
x2
b2a11a21b1 a11a22a12a21
5
用一个简单符号表示运算 a11a22 a12 a21 ，
a11
当 a21
a12 a22
0 时，方程组有唯一的解：
b1 a12
x1
b2 a11
a22 ＝ D1 ,
a12
D
a21 a22
a11 b1
x2
a21 a11
线性代数-行列式(完整版)ppt课件
设 D
,
31
(1)当为何值时， D 0,
(2)当为何值时 D0.
解 230 0，或 3
2
D
2
31
.
例3 求二阶行列式
a 1 b2
.
(2)三阶行列式
记号
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 称为三阶行列式. a 31 a 32 a 33
它表示数
a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32 a 1a 3 2a 2 3 1a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 1 2a 3 32
27下三角行列式的值等于其主对角线上. 各元素的乘积 .
同理可得 上三角形行列式
a 11 a 12 a 13 a 1n
0
D 0
a 22 a 23 a 2n
0 a 33 a 3 n a11a22ann
0 0 0 a nn
其中 aii 0 (i1,2,n)
特殊情况 : 对角形行列式
a1n
a21 a22 a2n1 0
0 0 a2n1 a2n
an11 an12 0 an1 0 0
0
0 an12 an1n1 an1n
0 an1 an2 ann1 ann
( 1 ) aaa a N (j1 j2 jn 1 jn ) 1 j12 j2
和式中仅当 j1n ,j2n 1 , ,jn 12 ,jn1时，
a1j1a2j2annj0
D ( 1 ) nN (n (n ( 1n ) 1 ) 3) 2 a 1 n 1 a 2 ,n 1 a n 1
29
(1) 2 12n .
注：
类似可得
a11 a12 a1n1 a1n 0 0 0
,
31
(1)当为何值时， D 0,
(2)当为何值时 D0.
解 230 0，或 3
2
D
2
31
.
例3 求二阶行列式
a 1 b2
.
(2)三阶行列式
记号
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 称为三阶行列式. a 31 a 32 a 33
它表示数
a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32 a 1a 3 2a 2 3 1a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 1 2a 3 32
27下三角行列式的值等于其主对角线上. 各元素的乘积 .
同理可得 上三角形行列式
a 11 a 12 a 13 a 1n
0
D 0
a 22 a 23 a 2n
0 a 33 a 3 n a11a22ann
0 0 0 a nn
其中 aii 0 (i1,2,n)
特殊情况 : 对角形行列式
a1n
a21 a22 a2n1 0
0 0 a2n1 a2n
an11 an12 0 an1 0 0
0
0 an12 an1n1 an1n
0 an1 an2 ann1 ann
( 1 ) aaa a N (j1 j2 jn 1 jn ) 1 j12 j2
和式中仅当 j1n ,j2n 1 , ,jn 12 ,jn1时，
a1j1a2j2annj0
D ( 1 ) nN (n (n ( 1n ) 1 ) 3) 2 a 1 n 1 a 2 ,n 1 a n 1
29
(1) 2 12n .
注：
类似可得
a11 a12 a1n1 a1n 0 0 0
矩阵和行列式初步PPT教学课件
A A2 Ak1 Ak
E Ak E,
故
(E A)1 E A A2 Ak1.
注：1. 矩阵的逆阵是线性代数中非常重要的一个 内容，主要包括：
①证明矩阵 A 可逆；②求逆阵；③证明矩阵 B是矩
阵A 的逆阵.
2. 证明矩阵 A 可逆，可利用 A 的行列式不为零或找 一个矩阵 B，使 AB=E 或 BA=E 等方法；对数字矩 阵，若求其逆阵，一般用 A*(如2阶矩阵)或初等变换 (3阶及3阶以上的方阵)的方法来做，有时也利用分块 矩阵来做.对抽象的矩阵 A，若求其逆，一般是用定 义或 A*来做；证明矩阵 B 是矩阵 A 的逆阵，只需 验证 AB=E 或 BA=E 即可.
三. 矩阵方程及其求解方法
矩阵方程
解
AX B
X A1 B
XA B
X BA1
AXB C
X A1C B1
例8
设
B
1 0
1 1
01，C
2 0
1 2
3 1
，
0 0 1
0 0 2
且 A( E C 1B)T C T B，求 A.
解 : 由于 A( E C 1B)T C T A(C CC 1B)T
0 0 1
0 1 0 0 1 0
解:
因为
A2
1
0
0 1 0
0
0 0 1 0 0 1
＝
1 0
0 1
00 ，
0 0 1
故 A4 E，从而 A2004 ( A4 )501 E 501 E .
1 0 0 1 0 0
所以 A2004 2 A2 0 1 0 2 0 1 0
0
.
1 an1
0
线性代数课件第1章：矩阵与行列式
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
这个数表反映了四城市间交通联接情况.
矩阵的定义
由 m n 个数 aij i 1,2,,m; j 1,2,,n
排成的 m行 n列的数表
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 am2 amn
称为 m n矩阵. 记作
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
二、数与矩阵相乘
1、定义
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
a11
A
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
.
am1 am1 amn
2、数乘矩阵的运算规律 （设 A、B为 m n 矩阵， ,为数）
1 A A;
2 A A A;
3 A B A B.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线 性运算.
a12b1 a22b2 a32b3
b1 a13b1 a23b2 a33b3） b2
b3
a11b12 a22b22 a33b32 2a12b1b2 2a13b1b3 2a23b2b3 .
例4
设A
0
1
0 1
求Ak
.
0 0
1 0 1 0
解
A2 0 1 0 1
表示一个从变量x1, x2,, xn 到变量 y1, y2,, ym的 线性变换. 其中aij为常数.
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
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a a
12
1n
22
2n
n1
n2
nn
(a ) ; a ij 称为矩阵的第i行j列的元素.
ij mn
ij
元素为实数的称为实矩阵, 元素为复数的称为复矩阵.
2.
几种特殊矩阵
零矩阵: 元素全为零的 m n 矩阵，记为:O或 0 行矩阵: 只有一行的矩阵。 列矩阵: 方阵:
a1 , a2 ,
k
AB
1
B A ,
1
1
A
T
1
A
1 T
;
A
1
1 A
.
* A 若 A 0，则 A 可逆，且A1 ，其中 A *为 A A 的伴随方阵。
6.
分块矩阵
矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证． 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相似．
回章目录
典
型
例
１
由 m n 个数 aij i 1,2,, m; j 1,2,, n 排成的 m行 n 列的数表
矩阵的定义
a a a a 称为一个 m行 n 列矩阵或 m n矩阵. 记为 A 或
11 21
a a a
为方阵 A 的伴随方阵.
A A
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AA A A
* *
AE
方阵的行列式 由 n 阶方阵 A 的各元素按原位置排列构成的 行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作| A | 或 det( A).
运算性质
4.
1 A A ; 3 AB 2 kA k A ; (4) A A
则 A 称为对称阵. 反对称阵: 如果 AT A 则矩阵A称为反对称的. 伴随方阵: 设 Aij 是行列式 A aij 中元素 aij 的代数
余子式,称方阵
A11 A A* 12 A1m
A
A21 A22 A2 m
An1 An 2 Anm
1 2
, an
mn
b b 只有一列的矩阵。 b
n
行数列数皆相等的矩阵。
上三角方阵: 非零元素只可能在主对角线及其上方。
下三角方阵: 非零元素只可能在主对角线及其下方.
对角方阵:
a2 a4 k k kE k
k k l
k l
转置矩阵的运算性质
1 A
T T
A;
2 A B T AT BT ;
3 kA kA ;
T T
4 AB T BT AT .
T A A n A ，即. 对称阵: 设 为 阶方阵，如果满足 aij a ji i , j 1,2 , , n
cij ai 1b1 j ai 2b2 j aisbsj
矩阵乘法的运算规律 1 AB C A BC ;
2 A B C AB AC , B C A BA CA;
4 Amn En Em Amn A;
3 k AB kAB AkB （其中
第二章
矩阵复习课
主要内容 典型例题 自测题
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本章知识结构图
零矩阵 行(列)矩阵 方 阵理及性质
三角方阵
对角方阵 数量矩阵 单位方阵 (反)对称阵
矩阵
概 念
矩阵的和 矩阵的数乘
定
义
相等矩阵和同型矩阵
分 块 矩 阵
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矩 阵 运 算
矩阵相乘
方阵的幂 方阵行列式
为数）;
n阶方阵的幂: 若A是 n 阶矩阵，定义 A k为A的k 次幂,k 为正整数， 即 A k A A A 。规定A0 E
k个
l
易证 A A A , A Akl . k , l为正整数 转置矩阵: 把 m n 矩阵 A 的行与列依次互换得到另 T 一个 n m矩阵，称为 A 的转置矩阵，记作 A
ij ij
矩阵的和: 两个m n 矩阵 A a , B b 的和
ij ij
定义为A B (a b ) .
ij ij mn
矩阵的数乘: 数k与矩阵 A的乘积记做 kA或Ak
定义为 kA Ak (kaij ). 矩阵的线性运算的运算规律:
2 A B C A B C ; 4 A A 0, A B A B ;
T
n
A B | A || B |;
An A1 A2 An
1
2
.
5.
逆矩阵
定义 对于n 阶矩阵 A ，如果存在 n 阶矩阵 B ,使得 AB BA E ,
B 是 A的逆方阵。 则称 A 为可逆矩阵， 相关定理及性质
若方阵A可逆，则其逆矩阵必唯一。 A 可逆 A 0 1 1 1 1 1 kA A ， ( k 0 ); A A ;
题
一、矩阵的运算 二、有关逆矩阵的运算及证明 三、矩阵方程及其求解方法
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一、矩阵的运算
矩阵运算有其特殊性，若能灵活地运用矩阵的运算 性质及运算规律，可极大地提高运算效率. 设α (1， 0， 1)T ， A ααT，求 An . 例1 1 T 解 : 显然 α α (1 0 1) 0 2，故有 1
6 kl A k lA ;
(5) 1 A A;
1 A B B A;
7 k l A kA lA; 8 k A B kA kB.
矩阵相乘: A (aij )ms与 B (bij )sn 乘积规定为 一个 m n 矩阵 C (cij )mn . 其中
n
a1
数量矩阵:
单位方阵: 主对角线上全为1的对角方阵.
3. 矩阵的运算
同型矩阵: 行数和列数均相等的矩阵. 矩阵相等: 如果两个矩阵 A (a ), B (b ) 是同型矩 阵,且各对应元素也相同,即 aij bij i 1,2,, m; j 1,2,, n , 则称矩阵 A与B 相等,记作 A B.