矩阵和行列式初步学习课件PPT

题
一、矩阵的运算 二、有关逆矩阵的运算及证明 三、矩阵方程及其求解方法
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一、矩阵的运算
矩阵运算有其特殊性，若能灵活地运用矩阵的运算 性质及运算规律，可极大地提高运算效率. 设α (1， 0， 1)T ， A ααT，求 An . 例1 1 T 解 : 显然 α α (1 0 1) 0 2，故有 1
为数）;
n阶方阵的幂: 若A是 n 阶矩阵，定义 A k为A的k 次幂,k 为正整数， 即 A k A A A 。规定A0 E

k个
l
易证 A A A , A Akl . k , l为正整数 转置矩阵: 把 m n 矩阵 A 的行与列依次互换得到另 T 一个 n m矩阵，称为 A 的转置矩阵，记作 A
cij ai 1b1 j ai 2b2 j aisbsj
矩阵乘法的运算规律 1 AB C A BC ;
2 A B C AB AC , B C A BA CA;
4 Amn En Em Amn A;
3 k AB kAB AkB （其中
a a
12
1n
22
2n
n1
n2
nn
(a ) ; a ij 称为矩阵的第i行j列的元素.
ij mn
ij
元素为实数的称为实矩阵, 元素为复数的称为复矩阵.
2.
几种特殊矩阵
零矩阵: 元素全为零的 m n 矩阵，记为:O或 0 行矩阵: 只有一行的矩阵。 列矩阵: 方阵:
a1 , a2 ,
1 2
, an
mn
b b 只有一列的矩阵。 b
n

行数列数皆相等的矩阵。
上三角方阵: 非零元素只可能在主对角线及其上方。
下三角方阵: 非零元素只可能在主对角线及其下方.
对角方阵:
a2 a4 k k kE k
n
a1
数量矩阵:
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单位方阵: 主对角线上全为1的对角方阵.
3. 矩阵的运算
同型矩阵: 行数和列数均相等的矩阵. 矩阵相等: 如果两个矩阵 A (a ), B (b ) 是同型矩 阵,且各对应元素也相同,即 aij bij i 1,2,, m; j 1,2,, n , 则称矩阵 A与B 相等,记作 A B.
k k l
k l
转置矩阵的运算性质
1 A
T T

A;
2 A B T AT BT ;
3 kA kA ;
T T
4 AB T BT AT .
T A A n A ，即. 对称阵: 设 为 阶方阵，如果满足 aij a ji i , j 1,2 , , n
k
AB
1
B A ,
1
1
A
T
1
A
1 T
;
A
1
1 A
.
* A 若 A 0，则 A 可逆，且A1 ，其中 A *为 A A 的伴随方阵。
6.
分块矩阵
矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证． 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相似．
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典
型
例
T
n
A B | A || B |;
An A1 A2 An
1
2
.
5.
逆矩阵
定义 对于n 阶矩阵 A ，如果存在 n 阶矩阵 B ,使得 AB BA E ,
B 是 A的逆方阵。 则称 A 为可逆矩阵， 相关定理及性质
若方阵A可逆，则其逆矩阵必唯一。 A 可逆 A 0 1 1 1 1 1 kA A ， ( k 0 ); A A ;
6 kl A k lA ;
(5) 1 A A;
1 A B B A;
7 k l A kA lA; 8 k A B kA kB.
矩阵相乘: A (aij )ms与 B (bij )sn 乘积规定为 一个 m n 矩阵 C (cij )mn . 其中
ij ij
矩阵的和: 两个m n 矩阵 A a , B b 的和
ij ij
定义为A B (a b ) .
ij ij mn
矩阵的数乘: 数k与矩阵 A的乘积记做 kA或Ak
定义为 kA Ak (kaij ). 矩阵的线性运算的运算规律:
2 A B C A B C ; 4 A A 0, A B A B ;
则 A 称为对称阵. 反对称阵: 如果 AT A 则矩阵A称为反对称的. 伴随方阵: 设 Aij 是行列式 A aij 中元素 aij 的代数
余子式,称方阵
A11 A A* 12 A1m
A
A21 A22 A2 m
An1 An 2 Anm
第二章

矩阵复习课
主要内容 典型例题 自测题
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本章知识结构图
零矩阵 行(列)矩阵 方 阵
特 殊 矩 阵
逆 矩 阵
定
义
相关定理及性质
三角方阵
对角方阵 数量矩阵 单位方阵 (反)对称阵
矩阵
概 念
矩阵的和 矩阵的数乘
定
义
相等矩阵和同型矩阵
分 块 矩 阵
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矩 阵 运 算
矩阵相乘
方阵的幂 方阵行列式
为方阵 A 的伴随方阵.
A A
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AA A A
* *
AE
方阵的行列式 由 n 阶方阵 A 的各元素按原位置排列构成的 行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作| A | 或 det( A).
运算性质
4.
1 A A ; 3 AB 2 kA k A ; (4) A A
１
由 m n 个数 aij i 1,2,, m; j 1,2,, n 排成的 m行 n 列的数表
矩阵的定义
a a a a 称为一个 m行 n 列矩阵或 m n矩阵. 记为 A 或
11 21
a a a