上讲回顾平移对称性及有关概念
初中数学知识归纳平移旋转和对称的基本概念
初中数学知识归纳平移旋转和对称的基本概念初中数学知识归纳：平移、旋转和对称的基本概念数学作为一门基础学科，是培养学生逻辑思维和分析问题能力的重要工具。
在初中阶段，数学的教学内容涵盖了广泛的概念和技巧，其中平移、旋转和对称是数学中的重要概念。
本文将围绕这三个概念展开讨论，介绍它们的基本概念以及在数学中的应用。
1. 平移：平移是指在平面上把一个图形沿着规定的方向进行“平行移动”，保持图形的形状和大小不变。
平移可以由向量来描述，其中向量的大小和方向决定了平移的幅度和方向。
平移的基本概念包括起点、终点、向量以及平移矢量。
在数学中，平移有着广泛的应用。
它可以用于解决几何问题，比如寻找两个图形之间的关系以及判断两个图形是否相似。
平移还可以应用于向量的运算和矩阵的变换，这些概念在高中数学和物理学中有着重要的地位。
2. 旋转：旋转是指围绕一个中心点将图形按照一定角度进行旋转。
旋转可以通过给定旋转中心和旋转角度来确定。
旋转的基本概念包括旋转中心、旋转角度、顺时针旋转和逆时针旋转等。
旋转在数学中是一个重要的几何概念，在解决旋转对称性问题和图形变换中起着关键作用。
旋转可以通过向量运算和矩阵变换来实现，并且在建模和计算机图形学中有着广泛的应用。
3. 对称：对称是指一个图形在某种变换下保持不变或变成自身，这种变换被称为对称变换。
常见的对称变换包括中心对称和轴对称。
中心对称是指图形围绕一个中心点进行对称，而轴对称是指图形围绕一个轴线进行对称。
对称在数学中是一个重要的概念，它可以用于解决关于对称性的问题以及判断两个图形是否相等。
对称也可以应用于线性代数和几何代数中，并在图像处理和密码学中有着广泛的应用。
总结：初中数学中的平移、旋转和对称是三个基本的几何概念，它们在解决几何问题和图形变换中起着重要作用。
通过了解和掌握这些基本概念，学生可以培养几何思维和观察问题的能力，并将其应用于更高级的数学学科中。
通过本文的介绍，我们了解了平移、旋转和对称在数学中的基本概念和应用，而且对它们的关系和联系也有了更深的认识。
平移旋转和对称的基本概念
平移旋转和对称的基本概念平移、旋转和对称是数学中的基本概念，它们在几何学、代数学以及实际生活中具有重要的应用。
本文将通过解释这些概念的意义和原理，以及它们在不同领域的应用，来帮助读者更好地理解和运用这些数学概念。
1. 平移的概念与应用平移是指在平面上将一个图形移动到另一个位置，移动的距离和方向保持不变。
例如，我们可以将一个正方形从原来的位置移动到其他位置，而它的边长、面积和角度并不改变。
平移可以用向量来表示，通过将所有的点都按照相同的向量进行平移即可。
平移在几何学中有广泛的应用。
例如，在设计建筑物时，建筑师可以通过平移来确定各个房间的位置和相对位置，从而在平面上合理地布局。
另外，在计算机图形学中，平移也是实现图像移动和交互的重要手段，通过改变图像的位置实现动画效果。
2. 旋转的概念与应用旋转是指以某个中心点为基准，将图形按照一定角度旋转。
旋转使得图形的形状保持不变，只是在空间中发生了位置的改变。
旋转可以用角度来表示，通过将图形中的每个点绕着中心点旋转相同的角度即可。
旋转在几何学中也有很多应用。
在地理学中，地球的自转和公转使得我们能够感知到昼夜的变化和季节的交替。
在艺术作品和设计中，旋转被广泛地运用，例如一幅画中的旋转图案或者轮廓线。
3. 对称的概念与应用对称是指一个图形在某个中心点或者轴线的两侧是完全相同的。
简单来说，我们可以把一个图形沿着中心点或轴线对折，两边的形状是相同的，就可以说这个图形具有对称性。
对称可以分为平面对称和轴对称。
对称在几何学和物理学中有广泛的应用。
在几何学中，对称是图形重要特征之一，通过对称性质可以简化计算和分析。
在物理学中，许多物理现象都具有对称性，例如轨道运动、电磁场分布等，通过对称性原理可以简化实际问题的求解。
通过对平移、旋转和对称的解释和应用，我们不仅能够更好地理解和运用这些基本概念，还能够在实际生活中发现它们的应用。
几何学中的这些基本概念贯穿了数学的各个领域，并且具有广泛的实际应用，对我们的日常生活和学习有着重要的影响。
函数的对称与平移变换
函数的对称与平移变换在数学中，函数的对称和平移变换是一种常见的数学概念。
通过对函数进行对称和平移操作，我们可以改变其形状、位置和性质，从而更好地理解和分析函数的特点。
本文将介绍函数的对称和平移变换的基本概念、性质及其在数学中的应用。
一、对称变换对称变换是指将函数绕某个轴线进行镜像翻转，使得函数在轴线两侧呈现完全对称的形状。
常见的对称轴包括x轴、y轴和原点。
1. 沿x轴对称：当函数关于x轴对称时，称之为沿x轴对称函数。
这意味着当函数中的任意一点(x, y)在曲线上时，点(x, -y)也在曲线上。
沿x轴对称的函数形状上下对称。
2. 沿y轴对称：当函数关于y轴对称时，称之为沿y轴对称函数。
这意味着当函数中的任意一点(x, y)在曲线上时，点(-x, y)也在曲线上。
沿y轴对称的函数形状左右对称。
3. 原点对称：当函数关于原点对称时，称之为原点对称函数。
这意味着当函数中的任意一点(x, y)在曲线上时，点(-x, -y)也在曲线上。
原点对称的函数形状在四个象限上对称。
对称变换不仅能够反映函数的对称性，还能够帮助我们简化函数的分析。
通过观察函数的对称轴和对称点，我们可以得到关于函数的重要信息，如函数的奇偶性、极值点和图像的对称性。
二、平移变换平移变换是指将函数沿着坐标轴的方向上平移一定的距离，从而改变函数的位置和形状。
平移变换可以是水平方向的平移（横向平移）或垂直方向的平移（纵向平移）。
1. 横向平移：当我们将函数沿着x轴的方向上移动a个单位，函数的数学表达式变为f(x-a)。
这个平移过程会改变函数图像在水平方向上的位置。
如果a为正数，函数图像会向右移动；如果a为负数，函数图像会向左移动。
2. 纵向平移：当我们将函数沿着y轴的方向上移动b个单位，函数的数学表达式变为f(x)+b。
这个平移过程会改变函数图像在垂直方向上的位置。
如果b为正数，函数图像会向上移动；如果b为负数，函数图像会向下移动。
平移变换不改变函数的形状，只是改变了函数图像在平面坐标系上的位置。
几何图形的对称性
几何图形的对称性几何图形的对称性是几何学中一个重要的概念，它描述了图形在平面上围绕某个轴或点旋转、翻转或平移后，能否重合或对应。
在数学和物理学等学科中，对称性的研究对理论和应用都有着举足轻重的作用。
一、平移对称性平移对称性是指图形可以在平面上沿着一条直线进行平移，而不改变其形状和大小。
简单来说，平移对称性就是图形的每一个点与平移后的对应点重合。
举个例子，一个正方形具有平移对称性，因为它可以沿着任意一条边进行平移而不改变形状。
二、旋转对称性旋转对称性是指图形可以绕着一个点进行旋转，使得旋转后的位置与原来位置完全重合。
图形可以有多个旋转对称轴，其中最常见的是正多边形的中心。
举个例子，一个正六边形具有旋转对称性，因为它可以绕着中心点旋转60度、120度等角度。
三、轴对称性轴对称性是指图形相对于一条轴线对称，左右两边完全一样。
轴对称性通常也被称为镜像对称性。
常见的例子有圆、椭圆和心形等。
图形的轴对称轴可以是任意的直线，不一定要通过图形的中心。
例如，以一个长方形的中心线作为轴线，两边完全对称。
四、点对称性点对称性是指图形相对于一个点对称，即图形中的每一点的对称点与给定点连线和对称轴平行。
这种对称性常见于正多边形和圆形图形。
以一个正三角形为例，它相对于三个顶点都有点对称性。
五、组合对称性图形也可以具有多种对称性的组合。
例如，五角星图形具有旋转对称性和轴对称性，因为它可以绕着中心旋转并且相对中心具有轴对称性。
综上所述，几何图形的对称性是指图形在平面上围绕某个轴或点旋转、翻转或平移后，能否重合或对应。
常见的对称性有平移对称性、旋转对称性、轴对称性和点对称性。
图形也可以具有多种对称性的组合。
对对称性的研究有助于我们理解图形的性质和特征，并在科学、工程等领域中应用。
通过对几何图形的对称性的研究，我们可以深入了解几何学的原理和方法，进而运用于实际问题的解决中。
几何形的对称性与平移
几何形的对称性与平移在数学中，几何形的对称性和平移是非常重要的概念。
它们不仅在几何学中有广泛应用，也在许多其他领域中发挥着重要作用。
本文将介绍几何形的对称性和平移的概念，并探讨它们的应用和重要性。
一、对称性对称性是指物体在某种变换下保持形状不变的性质。
在几何学中，常见的对称性有轴对称和中心对称两种。
1. 轴对称轴对称是指物体可以沿着某条轴线进行翻转，使得物体的两部分完全重合。
常见的轴对称图形有正方形、长方形和圆形。
以正方形为例，它具有4条对称轴，可以分别沿着水平、垂直和两条对角线进行翻转。
无论沿着哪条轴进行翻转，都能使正方形的两部分完全重合。
2. 中心对称中心对称是指物体可以围绕一个中心点进行旋转180度，使得物体的各部分关于中心点对称。
常见的中心对称图形有正五边形、正六边形和心形。
以心形为例，它有一个中心点，围绕着这个中心点旋转180度，可以使得心形的各部分关于中心点对称。
无论是左半部分还是右半部分，都能通过旋转使其关于中心点对称。
二、平移平移是指将物体沿着直线方向移动一段距离，而不改变物体的形状和大小。
在平面几何中，平移可以沿着任意方向进行。
平移的特点是保持了物体的各个部分之间的距离和相对位置关系不变。
例如，一张纸平移到另一个位置，纸上的图形和文字始终保持不变。
几何形的对称性和平移在实际生活中有许多应用。
以下是其中的一些例子：1. 建筑设计在建筑设计中，对称性和平移被广泛应用。
许多建筑物的外形和平面图案都体现了对称性，如对称的大门、窗户以及对称排列的柱子。
同时，建筑物的平面布局也需要经过精心的平移规划，以实现空间的合理利用和功能的统一分布。
2. 花纹设计花纹设计中常常运用对称性和平移来达到美学效果。
例如，对称图案的墙纸、地砖和装饰性花纹等。
这些图案通过对称和平移的方式，使整个空间更加和谐统一。
3. 数学研究对称性和平移在数学研究中也有重要应用。
例如，对称群、平移群和对称性等概念是许多数学领域的研究重点，如群论、拓扑学和对称代数等。
数学中的平移和对称解决几何问题
数学中的平移和对称解决几何问题数学中的平移和对称是解决几何问题的重要工具。
平移和对称在几何学中起到了至关重要的作用，可以帮助我们研究和解决各种几何问题。
本文将介绍平移和对称的基本概念和性质，并探讨它们在解决几何问题中的应用。
一、平移的概念和性质平移是指将一个图形沿着直线方向移动一段固定的距离，使得移动后的图形与原图形形状相同，大小相等，但位置发生了改变。
平移可以保持图形的面积、周长、角度等性质不变。
在平面几何中，平移可以用向量来描述。
如果有一个向量u，它的起点是图形上的一个点A，终点是另一个点B，那么通过平移，可以将图形上的每个点P都移动到与之对应的点Q，使得向量AP等于向量BQ。
平移可以通过向量的加法来实现，即通过给图形上的每个点的坐标加上向量u的坐标来得到移动后的点的坐标。
平移具有以下性质：1. 两个平移可以进行复合，复合后的结果还是一个平移。
2. 平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
3. 平移保持图形的面积、周长、角度等性质不变。
4. 平移是可逆的，即可以通过反向平移将图形还原。
二、对称的概念和性质对称是指图形相对于某一直线、某一点或某一平面呈镜像关系。
对称可以分为轴对称和中心对称两种类型。
轴对称是指图形相对于某一直线呈镜像关系。
对称轴是将图形分为两个对称的部分的直线，图形上的每个点与其对称点关于对称轴对称，即对称轴上任意一点A，图形上的点P与A关于对称轴的镜像点P'，则点P和点P'关于对称轴对称。
轴对称可以保持图形的大小、形状、面积、周长等性质不变。
中心对称是指图形相对于某一点呈镜像关系。
对称中心是将图形分为两个对称的部分的点，图形上的每个点与其对称点关于对称中心对称，即对称中心O，图形上的点P与O关于对称中心的镜像点P'，则点P和点P'关于对称中心对称。
中心对称同样可以保持图形的大小、形状、面积、周长等性质不变。
对称具有以下性质：1. 两个对称可以进行复合，复合后的结果还是一个对称。
二维形的对称性与平移知识点总结
二维形的对称性与平移知识点总结二维形的对称性和平移是几何学中重要的概念，它们在日常生活和许多学科领域中具有广泛的应用。
本文将对二维形的对称性和平移进行知识点总结，旨在帮助读者加深对这些概念的理解。
一、二维形的对称性对称性是指一个形状或一个物体能够通过某种变换，使其两侧看起来相同或类似。
常见的对称方式包括镜面对称、旋转对称和多重对称等。
下面将对这些对称性进行具体介绍：1. 镜面对称：镜面对称是指一个形状能够通过一个平面将其分成两个完全相同的部分。
这个平面称为镜面。
具有镜面对称的形状在镜子中对称翻转，两侧完全一致。
例如正方形、圆形等都具有镜面对称。
2. 旋转对称：旋转对称是指一个形状能够通过旋转某个角度后重合。
在旋转对称中，形状围绕一个中心点旋转，旋转一定角度后与初始位置完全一致。
正六边形、五角星等形状都具有旋转对称。
3. 多重对称：多重对称是指一个形状具有多个镜面对称或旋转对称，或两者兼有。
多重对称的形状在镜面翻转或旋转后仍旧可以与初始位置重合。
例如雪花、玫瑰花等形状在旋转或翻转后都能保持对称。
二、平移平移是指一个形状或一个物体在平面上沿着一定方向进行移动，且所有点的位置都保持不变。
平移变换是几何学中最基本的变换之一，其特点是保持形状和大小不变，只改变位置。
下面将介绍平移的性质和相关知识：1. 平移向量：平移可以用向量表示，平移向量是指从原位置到新位置的位移向量。
平移向量是位移的表示形式，它包括两个要素：方向和大小。
根据平移向量的方向和大小，可以确定形状在平面上的平移方式。
2. 平面上的平移：平移可以在平面的任意位置进行，只要保持方向和大小不变即可。
平面上的两个形状，如果一个形状可以通过平移变换到达另一个形状，则它们在平面上具有平移对称。
平移对称是指一个形状可以通过平移变换重合到另一个形状。
三、应用与拓展二维形的对称性和平移概念在数学、美术、物理、计算机图形等领域具有广泛的应用。
它们对我们理解和描述形状、图案、结构等起着重要的作用。
形的平移对称
形的平移对称平移对称（Translation Symmetry）平移对称是几何中的一个重要概念，通常用于描述物体的形状和位置关系。
它可以简单地理解为一个物体在空间中保持不变的平移运动。
本文将介绍平移对称的定义、性质以及在生活和数学中的应用。
首先，让我们从平移对称的定义开始。
在二维平面几何中，如果一个平面图形通过平移可以与自身完全重合，那么我们就称这个图形具有平移对称性。
换句话说，平移对称可以被视为沿着某个方向无限延伸的图形。
平移对称具有以下几个重要性质。
首先，平移对称是线性变换中最简单的一种。
它不会改变图形的形状、大小和方向，只是将整个图形笔直地平移到另一个位置。
其次，平移对称是可逆的。
即使我们进行多次平移操作，只要回到起始位置，图形就会与原始位置完全重合。
再次，平移对称是保持距离的。
图形中的任意两点之间的距离在平移过程中保持不变。
平移对称在生活中有很多应用。
考虑到交通信号灯，它们通常都是平移对称的。
信号灯上的不同颜色和形状组合可以让司机和行人理解相应的交通规则。
另一个例子是菱形的道路标识，它们可以提醒驾驶员注意行车安全。
此外，许多日常生活中的物体，如瓷砖、地板、墙壁等，也具有平移对称性。
这种对称性可以使空间更加和谐美观。
在数学中，平移对称是一种重要的对称性。
它与其他类型的对称性，例如旋转对称和反射对称相区别。
旋转对称是指图形围绕一个点旋转一定角度后与自身重合，而反射对称是指图形通过一条直线对称后与自身重合。
平移对称是这三种对称性中最简单的一种，它对应于平移变换。
平移对称可以用数学语言进行描述。
假设平面上有一个图形G，表示为一组有序的点{(x,y)}。
如果我们对图形G中的每个点进行平移变换，得到新的点{(x+a,y+b)}，其中a和b是实数，称为平移矢量。
如果原来的图形和变换后的图形完全重合，那么图形G就具有平移对称性。
这个平移矢量可以理解为保持图形形状不变的平移距离和方向。
为了更好地理解平移对称，让我们来看一个例子。
形的平移旋转与对称小学数学知识点总结
形的平移旋转与对称小学数学知识点总结在小学数学教学中，形的平移、旋转和对称是重要的几何概念。
学生通过学习这些知识点，可以帮助他们理解空间结构和形状变化的规律。
本文将对形的平移、旋转和对称进行总结，并探讨其在小学数学教学中的应用。
一、形的平移形的平移是指在平面上以某个向量为参考，将一个形状沿着平行的方向进行移动，移动后的形状与原来的形状相对应。
平移的基本性质有以下几点：1. 平移保持形状不变。
即形状的大小、角度和边长在平移过程中不发生变化。
2. 平移保持相对位置关系不变。
即平移后的形状上任意两点之间的距离和原来的形状上对应点之间的距离是相等的。
3. 平移也可以看作是两个向量的和。
即平移的向量可以表示为原向量加上平移向量。
在小学数学教学中，通过使用平移的概念，可以帮助学生理解平面上的位置关系、掌握坐标系等概念。
二、形的旋转形的旋转是指在平面上围绕某个点进行转动，使得原来的形状与转动后的形状相对应。
旋转的基本性质有以下几点：1. 旋转保持形状不变。
即形状的大小、角度和边长在旋转过程中不发生变化。
2. 旋转保持顺时针或逆时针方向不变。
即旋转后的形状上任意三点按照顺时针或逆时针方向连接后的角度与原来的形状上对应三点按照同样的方向连接后的角度是相等的。
3. 旋转是以旋转中心为中心的对称变换。
即旋转前的形状上的一条线段经过旋转后仍然是直线。
在小学数学教学中，通过引入旋转的概念，可以帮助学生理解平面上的旋转对称性，如正方形的旋转对称性等，并培养学生观察和发现问题的能力。
三、形的对称形的对称是指形状围绕某个中心进行折叠，使得原来的形状的一部分与另一部分完全重合。
对称的基本性质有以下几点：1. 对称保持形状不变。
即形状的大小、角度和边长在对称过程中不发生变化。
2. 对称保持相对位置不变。
即对称后的形状上任意两点之间的距离和原来的形状上对应的两点之间的距离是相等的。
3. 对称中心可以位于形状内部或外部。
即对称可以以形状内部的点为对称中心，也可以以形状外部的点为对称中心。
小学六年数学重要知识点总结形的平移旋转与对称性
小学六年数学重要知识点总结形的平移旋转与对称性形的平移旋转与对称性是小学数学的重要知识点，它们是培养学生空间想象力和几何直观的基础。
本文将对小学六年级数学中与形的平移旋转与对称性相关的重要知识点进行总结。
一、形的平移形的平移是指将一个平面图形沿着某个方向移动一定距离，而形状大小不变的变换。
在小学六年级数学中，学生需要掌握以下几个与形的平移相关的知识点。
1. 平移的定义与表示方法：平移是指在平面上保持图形大小和形状不变的情况下，把它沿着某个方向移动一定距离。
平移可以用向量表示，也可以用坐标表示。
2. 平移的性质：（1）平移保持图形的大小和形状不变；（2）平移前后图形的对应点在同一直线上。
3. 平移的实际应用：平移在日常生活中有着广泛的应用，比如地图的制作和使用、机器人的移动等。
二、形的旋转形的旋转是指以某一点为中心，将一个图形围绕这个中心点旋转一定角度，而形状大小不变的变换。
在小学六年级数学中，学生需要了解以下与形的旋转相关的知识点。
1. 旋转的定义与表示方法：旋转是指以某一点为中心，将图形围绕这个中心点旋转一定角度，而形状大小不变。
旋转可以用角度表示，也可以用旋转中心的坐标表示。
2. 旋转的性质：（1）旋转保持图形的大小和形状不变；（2）旋转前后图形的对应点与旋转中心连成的线段相等。
3. 旋转的实际应用：旋转在日常生活中也有许多实际应用，比如车轮的旋转、地球的自转等。
三、对称性对称性是指图形能够在某条直线、点或者平面上成为自身的重合变换。
对称性也是小学六年级数学中重要的知识点。
1. 线对称：线对称是指图形能够在某条直线上成为自身的重合变换。
学生需要掌握以下与线对称相关的知识点：（1）线对称的定义与表示方法；（2）线对称的性质，如对称轴上的任意一点与对称图形上的对应点相等。
2. 点对称：点对称是指图形能够以某个点为中心，成为自身的重合变换。
学生需要了解以下与点对称相关的知识点：（1）点对称的定义与表示方法；（2）点对称的性质，如对称中心上的任意一点与对称图形上的对应点相等。
平移旋转与对称的基本概念
平移旋转与对称的基本概念平移、旋转和对称是几何学中的基本概念。
它们是描述和表达图形在平面上移动和变化的重要工具。
在本文中，我们将详细介绍平移、旋转和对称的概念，并讨论它们在几何学中的应用。
一、平移平移是指将一个图形沿着平面上的某条直线移动，同时保持其大小和形状不变。
平移可以看作是将整个图形上下左右移动一个固定的距离。
平移有以下几个基本特点：1. 平移不改变图形的大小和形状。
2. 平移是依靠向量来描述的，向量的大小和方向表示了平移的距离和方向。
在几何学中，平移被广泛用于构造对称图形、证明定理等方面。
通过平移，我们可以方便地研究和分析图形的性质。
二、旋转旋转是指将一个图形绕着一个点或轴进行转动。
在旋转过程中，图形的每个点按照一定的角度和顺序进行变化。
旋转可以改变图形的方向和位置，但不改变其大小和形状。
旋转有以下几个基本特点：1. 旋转可以通过角度来描述，通常以正值表示顺时针旋转，负值表示逆时针旋转。
2. 旋转是通过给定旋转中心和旋转角度来确定的。
旋转在几何学中有广泛的应用，例如构造对称图形、分析旋转对称性等。
旋转还可以用来证明一些几何定理，描述物体在空间中的移动等。
三、对称对称是指一个图形绕着某种中心轴进行翻折，使得图形的一部分与另一部分完全相同。
对称可以使图形左右对称、上下对称或中心对称。
对称有以下几个基本特点：1. 左右对称是指图形的左、右两边是相同的。
2. 上下对称是指图形的上、下两边是相同的。
3. 中心对称是指图形以某个点为中心，对称的两部分完全重合。
对称在几何学中起着重要的作用，它不仅被广泛应用于构造对称图形、分析对称性等方面，还被广泛运用于艺术和设计领域。
许多自然界中的事物都具有对称性，对称也是美的重要表现形式之一。
综上所述，平移、旋转和对称是几何学中的基本概念，它们描述了图形在平面上的移动和变化方式。
通过平移、旋转和对称，我们可以更好地理解和研究图形的属性、应用它们来解决几何问题。
因此，对于几何学的学习和实践中，理解和掌握平移、旋转和对称是非常重要的。
对称与平移教导孩子认识形的对称性和平移特点
对称与平移教导孩子认识形的对称性和平移特点对称与平移是几何学中重要的概念，教导孩子认识形的对称性和平移特点对于他们的认知发展和空间思维能力培养至关重要。
通过引导孩子观察、实践和实例分析，可以帮助他们理解对称和平移，并在解决实际问题中应用它们。
一、对称性对称性是指一个图形或物体能够通过某种操作与自身完全一致的特性。
常见的对称操作有镜像对称和旋转对称。
教导孩子认识对称性的方法可以从以下几个方面入手：1. 观察自然界中的对称物体：引导孩子观察花朵、昆虫、叶子等自然界中的图形，询问他们是否发现了对称性，并解释什么是对称。
2. 绘制对称图形：在纸上绘制一条中轴线，让孩子尝试绘制关于中轴线的对称图形，如翅膀、脸等。
通过绘制实例，帮助孩子理解对称性的概念。
3. 对称性的判断：给孩子展示一些图形，并让他们判断是否具有对称性。
通过与孩子的互动，帮助他们逐渐认识对称性，并能够准确判断图形的对称性。
二、平移特点平移是指一个图形在平面上沿着某个方向进行移动，移动过程中保持形状和大小不变的操作。
简单来说，就是图形在平面上的平行移动。
教导孩子认识平移特点的方法可以从以下几个方面入手：1. 观察日常中的平移：引导孩子观察日常生活中的平移现象，例如开门、走路等。
解释这些日常动作背后的平移特点，并让他们明白平移是图形的基本特征之一。
2. 制作平移图形：给孩子一些卡纸或纸板，让他们尝试制作不同形状的图形，并进行平移操作。
通过实践，让孩子感受平移的过程和特点。
3. 平移的变换：在平面上给孩子展示一些图形，并引导他们进行平移变换，观察变换后的图形有何变化。
通过这种互动体验，帮助孩子理解平移的意义和特点。
通过对称与平移的教导，孩子可以培养空间想象力和观察力，提高解决问题的能力。
同时，这种教学方法也注重实践操作和互动交流，使孩子能够在实际操作中逐渐掌握对称性和平移特点，并能够将其运用到实际生活和学习中。
在平面几何学中，对称和平移是基本的概念和操作，对孩子认识形状和空间能力的提升具有重要意义。
数学中的对称、平移和旋转现象
定义
对称现象是指一个图形或者物体 关于某一点或者某一条直线呈现 镜像状态的现象。
性质
对称现象具有不变性，即经过对 称变换后，图形的形状和大小不 变。
对称轴和对称中心的概念
对称轴
对称轴是指一条直线，它把一个图形 分成两个镜像对称的部分。
对称中心
对称中心是指一个点，它是一个图形 对称变换的不动点。
对称现象在几何图形和函数图像中的应用
ห้องสมุดไป่ตู้
物理学
在物理学中，对称性和旋转运动 是研究物理现象和理论的重要工 具，如量子力学中的对称性原理
1. 对称现象的应用
建筑设计中经常利用对称原理来增强建筑物的稳定性和美感，例如故宫的建筑布局就严格 遵循了对称原则。另外，在艺术、图案设计中也常常用到对称原理。
2. 平移现象的应用
在机械制造、印刷等行业中，经常需要利用平移原理来移动物体或者图案。例如，印刷机 在印刷过程中，就需要将纸张在水平和垂直方向上进行平移。
够更有效地找到解题思路。
图形变换
通过对称、平移和旋转等图形变换 手段，可以在几何题目中构造出具 有特殊性质的图形，从而更容易地 解决问题。
性质研究
对称、平移和旋转现象在几何图形 中引起的性质变化是研究几何问题 的重要方面，掌握这些性质有助于 深入理解几何问题本质。
利用对称、平移和旋转进行图形设计和艺术创作
旋转中心
旋转中心是指物体绕之旋转的点，通常用字母“O”表示。
旋转角
旋转角是指物体绕旋转中心旋转的角度，通常用希腊字母“θ”表示。在平面直角坐标系中，逆时针 方向为正方向，顺时针方向为负方向。
旋转现象在几何变换和物理运动中的应用
几何变换
在平面几何中，旋转现象是一种重要的 几何变换，通过对平面上的点、线、面 等元素进行旋转操作，可以得到新的图 形。例如，将一个三角形绕其重心旋转 180度，可以得到与原三角形对称的图形 。
二次函数的平移与对称性
二次函数的平移与对称性二次函数是一个非常重要的数学概念，它在数学和实际问题中有着广泛的应用。
在本篇文章中，我们将探讨二次函数的平移与对称性。
1. 平移的概念平移是指改变函数图像的位置而不改变其形状。
对于二次函数来说，平移可以分为水平平移和垂直平移两种情况。
1.1 水平平移水平平移是指在横轴方向上移动函数图像的位置。
当二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c时，水平平移的公式为f(x-h) = a(x-h)^2 + b(x-h) + c，其中h为平移的距离。
1.2 垂直平移垂直平移是指在纵轴方向上移动函数图像的位置。
当二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c时，垂直平移的公式为f(x) = ax^2 + bx + c + k，其中k为平移的距离。
2. 平移的影响平移会改变二次函数图像的位置，进而对函数的性质和方程产生影响。
2.1 平移对顶点的影响顶点是二次函数图像的最低点（极小值）或最高点（极大值）。
当进行平移时，顶点的坐标会发生改变。
对于水平平移，顶点的横坐标会加上平移的距离；而对于垂直平移，顶点的纵坐标会加上平移的距离。
2.2 平移对对称轴的影响对称轴是二次函数图像的对称线，对称轴的方程是x = -b/(2a)。
当进行平移时，对称轴的位置会发生改变。
对于水平平移，对称轴的方程中的b会减去平移的距离；而对于垂直平移，对称轴的方程不会受到平移的影响。
2.3 平移对图像形状的影响平移不会改变二次函数图像的形状，只会改变其位置。
二次函数的形状由参数a的正负确定，正数的a使得图像开口向上，负数的a使得图像开口向下。
平移只会改变图像在坐标系中的位置，不会改变其形状。
3. 对称性的概念对称性是指图像在某种变换下仍旧保持原样。
对于二次函数来说，有两种类型的对称性：轴对称和中心对称。
3.1 轴对称轴对称是指图像相对于某一条直线对称。
对于二次函数来说，其图像关于对称轴对称。
对称轴的方程是x = -b/(2a)，这条直线将图像分为左右两部分，两部分关于该直线对称。
三重积分对称性总结
三重积分对称性总结在数学中，积分是一种重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在多变量积分中，三重积分是一种常见的积分形式，用于求解三维物体的体积、质心、质量等问题。
而在三重积分的计算过程中，对称性是一种非常重要的性质。
本文将对三重积分中的对称性进行总结。
一. 旋转对称性旋转对称性是指在三维空间中，物体相对于某一点或某一轴进行旋转后，与原来的物体完全一致。
对于具有旋转对称性的物体，三重积分的计算可以通过利用旋转对称轴降低积分的难度。
例如，考虑一个旋转对称的圆柱体，以其对称轴为z轴。
在积分计算中，可以将圆柱体旋转到z轴上，然后进行积分。
由于旋转后与原来的圆柱体是完全一致的，因此积分结果也相同。
二. 平移对称性平移对称性是指在三维空间中，物体相对于一个矢量进行平移后，与原来的物体完全一致。
对于具有平移对称性的物体，三重积分的计算可以通过利用平移对称性简化。
例如，考虑一个平移对称的长方体，以其一个顶点为原点。
在积分计算中，可以将长方体平移到原点，然后进行积分。
由于平移后与原来的长方体是完全一致的，因此积分结果也相同。
三. 反射对称性反射对称性是指在三维空间中，物体相对于某一个平面进行反射后，与原来的物体完全一致。
对于具有反射对称性的物体，三重积分的计算可以通过利用反射对称性简化。
例如，考虑一个反射对称的立方体，以其一个面为反射面。
在积分计算中，可以将立方体沿反射面折叠，然后进行积分。
由于折叠后与原来的立方体是完全一致的，因此积分结果也相同。
四. 偶函数对称性偶函数对称性是指在三维空间中，函数在x轴、y轴、z轴上分别满足偶函数的性质。
对于具有偶函数对称性的函数，三重积分的计算可以通过利用偶函数对称性简化。
例如，考虑一个具有偶函数对称性的函数f(x, y, z)，在积分计算中可以将整个积分区域沿着x轴、y 轴、z轴分别进行镜像，然后进行积分。
由于镜像后与原来的函数是完全一致的，因此积分结果也相同。
综上所述，三重积分对称性在计算中起到了重要的作用。
平面形的平移对称性
平面形的平移对称性平移对称性是几何学中一个重要的概念，它描述了物体在平面上进行平移变换时所具有的不变性。
在本文中，我们将讨论平面形的平移对称性，并探究其性质和应用。
一、平面形的定义与基本性质平面形是指平面上的一种图形或形状，可以是简单的几何图形如圆、矩形、三角形，也可以是更为复杂的曲线或封闭图形。
平面形可以通过平移变换得到一个新的具有相同形状的图形，这种性质称为平移对称性。
平面形的平移对称性具有以下基本性质：1. 平移对称性是一种等距变换，即原图形和平移后的图形之间的所有相对距离保持不变。
2. 平移对称性是一种直观的运动形式，物体在平移变换中只是整体平移，而不发生任何形状或大小的改变。
3. 平移对称性是一种保持不变性，即经过平移变换后的图形与原图形是全等的，它们具有相同的尺寸和形状。
二、平移对称性的图形表示平移对称性的图形表示可以通过向量的概念进行描述。
设平面上有一个平面形，它的每一个点都可以表示为一个向量，向量的起点为坐标原点，终点为该点的坐标位置。
对于平移对称性而言，平移变换可以看作是将平面形上的每一个点向某一特定方向平移一定距离得到新的坐标位置，这一平移向量可以表示为一个箭头，箭头的起点为坐标原点，终点则表示了平移的方向和距离。
三、平移对称性的应用平移对称性在几何学中有广泛的应用。
下面我们将介绍一些平移对称性在实际问题中的具体应用。
1. 图案设计：平移对称性可以用来设计各种美观的图案和装饰，例如瓷砖、地毯、壁纸等。
通过利用平移对称性，设计师可以将图案进行平移变换，从而得到连续而有序的重复结构，使整体效果更加协调美观。
2. 集合构造：平移对称性可以用来构造各种数学集合，如等边三角形的集合、正方形的集合等。
通过平移不同的基本单元，可以得到无限多个全等的图形，这种集合构造在数学中有着重要的应用和研究价值。
3. 动画制作：平移对称性在计算机图形学中也有很多应用。
通过对平面形进行平移变换，可以实现图形的移动和动画效果。
函数的对称与平移
函数的对称与平移函数在数学中起着重要的作用，它描述了数值之间的关系。
函数的对称性和平移性是函数的两个重要概念，从而帮助我们更好地理解和分析函数的性质。
在本文中，我们将探讨函数的对称性和平移性的概念及其应用。
一、函数的对称性函数的对称性是指函数关于某个轴线或点的性质。
常见的函数对称性有奇函数和偶函数。
1. 奇函数奇函数是指对任意的x，满足f(-x) = -f(x)的函数。
即函数的图像关于原点对称。
例如，f(x) = x^3是一个奇函数。
当x取正值时，函数值与相应的负值相等但符号相反。
2. 偶函数偶函数是指对任意的x，满足f(-x) = f(x)的函数。
即函数的图像关于y轴对称。
例如，f(x) = x^2是一个偶函数。
无论x取正值还是负值，函数值相等。
函数的对称性在实际问题中有广泛的应用。
例如，电路中的交流电信号是奇函数，而直流电信号是偶函数。
对称性的研究可更好地理解函数的性质和简化问题的求解。
二、函数的平移性函数的平移是指通过改变函数的方程使得函数图像在坐标平面上沿着某个方向移动。
常见的平移包括横向平移和纵向平移。
1. 横向平移横向平移是指通过改变函数的自变量使得函数图像在x轴方向上移动。
当横向平移的量为正时，图像向左平移；当横向平移的量为负时，图像向右平移。
以函数f(x)为例，横向平移的一般形式为f(x-h)，其中h代表平移的量。
例如，图像y = sin(x)经过横向平移h个单位，可以表示为y = sin(x-h)。
2. 纵向平移纵向平移是指通过改变函数的因变量使得函数图像在y轴方向上移动。
当纵向平移的量为正时，图像向上平移；当纵向平移的量为负时，图像向下平移。
以函数f(x)为例，纵向平移的一般形式为f(x) + k，其中k代表平移的量。
例如，图像y = x^2经过纵向平移k个单位，可以表示为y = (x+k)^2。
函数的平移性对于函数的图像以及问题的解决具有重要意义。
通过平移函数，我们可以调整曲线的位置，从而更好地理解函数的性质和规律。
平移变换和对称变换
平移变换和对称变换平移变换和对称变换是数学中常见的两种几何变换方式。
它们在图形的移动和对称性研究中扮演着重要角色。
本文将介绍平移变换和对称变换的概念、性质以及在实际应用中的意义。
一、平移变换平移变换是指将一个图形沿着同一方向移动一定的距离，移动前后保持图形的大小、形状和相对位置不变。
平移变换可以用向量来表示，即将所有点的坐标都加上一个相同的位移向量。
设图形上任一点的坐标为(x, y)，位移向量为(a, b)，则平移变换后该点的新坐标为(x+a, y+b)。
平移变换具有以下性质：1. 保持图形的大小和形状不变；2. 保持图形内部的点仍然属于图形本身；3. 保持图形上任意两点之间的距离和夹角不变。
平移变换在几何学中的应用十分广泛。
例如，在计算机图形学中，平移变换用于移动、平移图形对象；在地理学中，平移变换用于研究地壳板块的相对运动等。
二、对称变换对称变换是指将一个图形围绕着某个中心轴进行镜像反转，使得图形的左右两侧完全对称。
对称变换可以分为对称轴为直线的对称变换和对称轴为点的对称变换两种形式。
1. 对称轴为直线的对称变换：对称轴为直线的对称变换就是常见的镜像变换。
其图形在对称轴两侧完全一致，对称轴上的点不发生变化。
例如，以x轴为对称轴进行对称变换，任一点(x, y)变换后的坐标为(x, -y)。
2. 对称轴为点的对称变换：对称轴为点的对称变换是将图形围绕着某个点进行反转，使得图形的每个点与该点的连线关于该点对称。
例如，以原点(0, 0)为对称中心进行对称变换，任一点(x, y)变换后的坐标为(-x, -y)。
对称变换的性质如下：1. 保持图形上的任意两点与对称轴的距离相等；2. 保持图形上的任意两点与对称轴的夹角不变。
对称变换在数学、物理和工程等领域都有广泛应用。
例如，在建筑设计中，对称变换可以用于设计具有对称美感的建筑物；在密码学中，对称加密算法利用对称变换实现数据加密和解密等。
三、平移变换与对称变换的关系平移变换和对称变换都是几何变换的重要内容，它们有一定的联系和区别。
数字的平移对称性
数字的平移对称性数字的平移对称性是指在数学运算中，当一个数字平移时，它与原数字保持对称关系。
平移对称性是一种基本的数学性质，被广泛应用于代数、图形和几何等领域。
本文将探讨数字的平移对称性的概念、性质和应用。
一、平移对称性的概念平移对称性是指在坐标系中，将图形或数字沿着某一个方向移动后，移动后的图形或数字与原来的图形或数字保持相同形状和大小的性质。
在数学中，平移对称性是一种保持形状和大小不变的几何变换，也是一种特殊的变换性质。
二、数字的平移对称性性质1. 平移对称性是一种保持形状和大小不变的变换性质。
无论是整数、小数还是分数，当它们在数轴上进行平移时，它们与原数字保持相同的数值。
2. 平移对称性满足交换律。
即两个数字进行平移后，交换平移的次序不会改变平移后的结果。
例如，对于数字3和数字5，将数字3平移到数字5的左边或者将数字5平移到数字3的右边，结果都是相同的。
3. 平移对称性可以进行多次重复操作。
无论是将数字向左平移还是向右平移，多次平移后，数字与原数字仍保持相同的数值。
这一性质在数学运算和代数表达式中具有重要作用。
三、数字的平移对称性应用1. 代数表达式中的平移对称性：在代数表达式中，常常利用平移对称性进行运算的简化。
例如，在求解方程时，可以通过将方程两边进行平移，从而得到简化的等式。
2. 图形中的平移对称性：在几何学中，平移对称性被广泛应用于图形的变换和构造中。
通过将图形进行平移，可以得到与原图形相似的新图形。
平移对称性也是许多几何定理和证明中的重要工具。
3. 数论中的平移对称性：在数论研究中，平移对称性是一种重要的性质。
通过对数字进行平移，可以发现数字之间的特殊关系和规律。
数论中的平移对称性也与素数和整除性质等相关。
四、结语数字的平移对称性是数学中的一种重要性质，具有广泛的应用。
在代数、图形和几何等领域，利用平移对称性可以进行运算的简化和问题的求解。
对于学习数学和进行数学研究的人来说，掌握数字的平移对称性的概念和性质是非常重要的。
点的对称与平移
点的对称与平移对称是几何学中的基本概念之一，是指在某个中心或某条线上的两个点的位置互换后，两个点的位置仍然完全一样。
而平移则是指将一个图形整体按照一定的方向和距离移动，使得每个点的位置保持不变。
点的对称和平移是几何学中常用的操作，对于分析和解决问题具有重要作用。
一、点的对称点的对称可以分为关于点的对称和关于直线的对称。
1. 关于点的对称关于点的对称是指将一个点关于某个固定点进行映射，使得两个点的位置互换且距离相等。
设A和B是平面上的两个点，O为固定点，如果OA = OB，并且两个点在直线AB的同侧，那么点A关于点O的对称点为B，点B关于点O的对称点为A。
2. 关于直线的对称关于直线的对称是指将一个点关于某条固定直线进行映射，使得点的位置在直线上对称。
设A和B是平面上的两个点，L为固定直线，如果点A在直线L上，点B在直线L的同侧，并且AB与直线L垂直，那么点A关于直线L的对称点为B，点B关于直线L的对称点为A。
二、平移平移是指将一个图形整体按照一定的方向和距离移动，使得每个点的位置保持不变。
平移是一种刚体运动，即保持图形的大小和形状不变。
平移操作可以理解为在平面上沿着某个向量进行移动，向量的起点和终点分别对应图形的某个点在平移前后的位置。
如果一个向量V可以从点A移动到点B，那么图形中的任意点P经过平移后的位置为P'，满足向量AP' = V。
平移操作可以将图形平移到不同的位置，同时保持图形的形状和大小不变。
它在几何学中有广泛的应用，如图形的平移对称性以及向量的加法和减法等。
三、点的对称与平移的关系点的对称和平移是密切相关的，它们可以相互转化和结合使用。
1. 点的对称可以看作是平移的特殊情况。
当平移的向量为零向量时，即不发生实际的移动，点的位置与自身重合，可看作是关于该点的对称。
2. 点的对称可以通过平移来实现。
以关于点的对称为例，设点A关于点O的对称点为B，如果将向量OA平移到向量OB，那么A经过平移后的位置即为B。
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10.107.0.68/~jgche/原子位置描写和常见晶体结构1上讲回顾：平移对称性及有关概念•数学R l =l 1a 1+ l 2a 2+ l 3a 3R l =R m +R n•晶体=晶格(格子, 点阵)+基元(原胞, 晶胞)本讲目的：如何确定原胞及其基矢•如何描写原胞内原子的位置?•如何确定原胞和基矢？10.107.0.68/~jgche/原子位置描写和常见晶体结构2第7讲、原子位置描写和常见晶体结构1.原胞内原子位置矢量2.常见晶体结构3.如何确定原胞及其基矢4.原胞和晶胞5.原子半径与堆积结构的关系10.107.0.68/~jgche/原子位置描写和常见晶体结构310.107.0.68/~jgche/原子位置描写和常见晶体结构41、原胞内原子位置矢量•原胞内可以有多个原子，原子的排列结构也可以很复杂*这种结构，我国很多固体教科书都称之为复式格子#它有自己的定义，难说有错，但这容易引起混乱#因为很容易习惯成自然地把原子当作格点，我们说格子总是指布拉维格子的简称†Bravais 格子、空间点阵、点阵、晶格都是它的同义概念()()r R R r R r 核电子核电子核电子---=---=-∑H ˆ)(21H ˆ,0'00'Ji J J i J V10.107.0.68/~jgche/原子位置描写和常见晶体结构5原胞内原子位矢τl 遍及晶体中所有的原胞，即l =1，2，…，NN 为晶体内原胞总数。
对于理想晶体，是无限的τ称为原胞内原子位置矢量m 为原胞内原子的总数，最简单的，m =1•晶体中任何一个原子的位置，都可以用格矢和原胞内原子位置矢量表示*格矢指向某个原胞的位置R l ，在用原胞内原子位置的相对坐标（基元内原子位矢）指出原子坐标ml ,...3,2,1 ,=+κκτR 为整数321332211,, ,l l l l l l l a a a R ++=a 1a 3a 2()()()()r HτR r τR R r R r H ˆ~~ˆ,,,,''∑∑--=-+-+--κκκκl i l i l i l l i l V V 核电子核电子()()()∑∑--=----κκ,,,0~ˆl i l i Ji J i V V τR r R r r H 核电子核电子核电子10.107.0.68/~jgche/原子位置描写和常见晶体结构6原胞（物理）几何结构（数学）晶体+=il τR +lR O1τ2τ2、常见晶体结构•简单立方结构：sc•面心立方结构：fcc•体心立方结构：bcc•简单六角结构：sh•六角密积结构：hcp•金刚石结构和闪锌矿结构•纤锌矿结构•注意区分晶胞和原胞10.107.0.68/~jgche/原子位置描写和常见晶体结构710.107.0.68/~jgche/原子位置描写和常见晶体结构8简单立方：Simple cubic (sc)ikj a 1a 2a 3ka ja ia ˆˆˆ321a a a ===•简立方格子10.107.0.68/~jgche/原子位置描写和常见晶体结构9体心立方ikj a 1a 3a 2)ˆˆˆ(2)ˆˆˆ(2)ˆˆˆ(2321k j i a k j i a k j i a -++=+-+=++-=a a a •体心立方格子10.107.0.68/~jgche/原子位置描写和常见晶体结构10面心立方kjia 1a 2a 3)ˆˆ(2)ˆˆ(2)ˆˆ(2321j i a i k a k j a +=+=+=a a a •面心立方格子简单六角: simple hexagon (sh)ijk a1a2a3cakajiajiaˆ)ˆˆ3(2)ˆˆ3(2321caa=+-=+=10.107.0.68/~jgche/原子位置描写和常见晶体结构1110.107.0.68/~jgche/原子位置描写和常见晶体结构12六角密积: Hexagonal close-packed(hcp)•格子？ca 1a 2a 3以基矢为单位以基矢为单位属于简单六角格子),21,31,32( ),0,0,0(ˆ)ˆˆ3(2)ˆˆ3(221321===+-=+=ττka j i a j i a c aai jk闪锌矿结构和金刚石结构•晶格?*Zn形成面心立方结构Array *S可由Zn沿对角线平移1/4对角线得到*相邻原子之间形成四面体结构•属于面心立方格子！•金刚石原子位置相同，但晶体只含一种原子10.107.0.68/~jgche/原子位置描写和常见晶体结构13属金刚石和闪锌矿结构化合物Diamond DiamondSiGe-SnZnSIII-V: GaAsGaPInAs II-VI: ZnSHgSeCdTeCuFAgI10.107.0.68/~jgche/原子位置描写和常见晶体结构1410.107.0.68/~jgche/原子位置描写和常见晶体结构15纤锌矿结构（六角ZnS ）•四层都是简单六角，原胞？*Zn 和S 都分别形成六角密堆积结构*注意：c 轴周期•相邻原子也是四面体结构*但连接方式与闪锌矿不同*只有在u 和c 之间的关系为理想时，才形成正四面体⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⎪⎩⎪⎨⎧+==k τk j τk j ττˆ)2(ˆˆ3:S ˆ2ˆ30:Zn 4321c uc uc a c a 3/8/,/22==ac c a u 理想：属于简单六角格子属六角ZnS化合物•Crystals a (A) c (A) ZnO 3.25 5.12ZnS 3.81 6.23 ZnSe 3.98 6.53 ZnTe 4.27 6.99•Crystals a (A) c (A) SiC 3.25 5.21 h diamond 2.52 4.12 CdS 4.13 6.75 CdSe 4.30 7.0210.107.0.68/~jgche/原子位置描写和常见晶体结构16→视野拓展→为何形成这样的四面体？•从轨道物理学观点看就是轨道杂化后，形成四个完全等价的轨道，每个轨道上占据着同样的电子数，这些电子互相排斥尽可能远离•原子互相连接方式→109.5o10.107.0.68/~jgche/原子位置描写和常见晶体结构173、如何确定原胞及其基矢？•给定一个原子排列结构，如何确定原胞和基矢？*根据原胞是最小重复单元，分析、判断*选定原胞的代表点——格点*检验：是否选基矢使格矢可以表示每个原子点，意既原子直接就是格点，没有遗漏，也没有多余10.107.0.68/~jgche/原子位置描写和常见晶体结构1810.107.0.68/~jgche/原子位置描写和常见晶体结构19问题：小球表示原子排列结构。
选择基矢，画出原胞。
判断根据：能否用基矢表示这些小球？并且只有这些小球？回顾•基矢 代表基元移动*如果端点指向原子，必是等价原子例子：判断步骤1.如果原子可以是格点，那选择基矢平移后必须到达所有的小球，所谓没有遗漏2.检查有没有多余3.一个不行，则选择两个小球，看同样的选择能不能覆盖全部晶体；不行再选择三个小球10.107.0.68/~jgche/原子位置描写和常见晶体结构20例：确定基矢、原胞的一般步骤•判断能否用格矢表示这些小球，并且只有这些小球？1.判断小球是否就可以表示格点*比如选a-b和a-f为基矢2.看是否能表达所有点？*可以表达所有点！3.是否只有这些点？*多出六边形中点！4.所以小球不能表示格点5.基元内一定含多个原子ab cdefg hijkl10.107.0.68/~jgche/原子位置描写和常见晶体结构21确定基矢、原胞的一般步骤•基元至少含两个原子1.选基元含两个原子*比如a和b2.该基元能否覆盖晶体？*可以！3.选基元中一原子代表格点*如a，所有基元对应点4.选基矢*比如a-k和a-e5.检验程序如前6.还需给出基元内原子坐标 ab cdefg hijkl10.107.0.68/~jgche/原子位置描写和常见晶体结构2210.107.0.68/~jgche/原子位置描写和常见晶体结构23例：六角密堆积结构(密堆积含义 )•原子点是否就是格点？*中间层原子也排列成正六角形的平面•无中间层原子就是简单六角*基矢就是a 1，a 2和a 3•显然，在平面内很容易确定a 1和a 2可以是两个基矢*对底面和中间层面都有效•如原子点就是格点，需改a 3*a 3直接从原点指向中间层的某个原子(等价?)行不行？*如行，再移动一次a 3必须达到上面一层的某个原子ca 1a 2a 3ijk10.107.0.68/~jgche/原子位置描写和常见晶体结构24六角密堆积顶视：A B A B A B…重复•先在平面内确定基矢，即a 1和a 2，如何确定a 3？•如原子可代表格点*各层二维周期性由a 1和a 2定，没有问题*a 3必需从第1层某原子指向第2层某原子！*同时a 3还必需从第2层那个原子指向第3层某原子*a 3行不行？可看顶视图•六角密堆积是ABAB 重复的，无论如何取a 3，显然不能指向A 面的点绿色表A 层，黄色表B 层。
B 层和A 层二维周期一样，但有一错位，a 3在xy 方向的分量即错位矢量。
六角密堆积结构是ABAB 地重复。
如原子可代表格点，那a 1,a 2,a 3整数组合(格矢)可把所有绿黄点表示出来立方密堆积顶视图：A B C A B C …•六角密积第3层不能重复•有没有第3层满足重复条件的晶体结构？绿色表A 层，黄色表B 层，白色表C 层。
B 、C 层和A 层二维周期一样，但BA 之间有错位，而CB 有同样的错位，a 3在xy 方向的分量即错位矢量。
立方密堆积结构是ABCABC 地重复，原子可代表格点•原子可代表格点的条件*沿a 3平移后将第1层原子移到第2层原子位置！*沿a 3平移后将第2层原子移到第3层原子位置！*沿a 3平移将第3层原子移到第4层原子位置！与第1层重复•三次平移后结构重复*z 分量：a 3可取为c 轴的1/3，三次平移后可以重复*xy 分量：a 3在xy 方向平移后可重复，见图。
•因此，这种结构中每个原子可以是格点 面心立方10.107.0.68/~jgche/原子位置描写和常见晶体结构26例：面心立方：face-centred cubic(fcc)•a 1和a 2确定的平面，看a 3平移1.a1+a3和a2+a3，在(1,1/2,1/2)和(1/2,1,1/2)是格点2.a3+a3在顶角上，也是格点3.可证没有多余的点•前面是将面心立方看作与六角密堆积类似结构分析，但面心立方习惯的基矢选取如图，我们来看看这样的基矢是否满足前面提到过的要素，即平移后能不能重复a 1a 2a 3例：面心立方：face-centred cubic(fcc)•沿对角线方向看，面心立方就是A B C A B C的平面正六角结构堆积而成•黄、白色的六角容易看出，再加一个晶胞可看出绿色的六角•移出单独看就很清楚10.107.0.68/~jgche/原子位置描写和常见晶体结构274、原胞和晶胞•可以想象，若干个原胞也可组成较大的重复结构单元，*也满足平移不变条件。