概率论第一章 随机事件及其概率
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B
A S
性质2 (减法公式)
特别地
P( B A) P( B) P( AB)
A B P( B A) P( B) P( A) P( B) P( A)
A
B S
概率统计B
宁波工程学院
性质 3 P( A) 1 ;
性质 4 P( A ) 1 P( A) ;
性质 5 (加法公式)
在大量重复试验中，随机事件的频率具有稳定性．
概率统计B
宁波工程学院
概率的公理化定义
定义 设 E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为 P( A) ,
称为事件 A 的概率，要求 P()满足下列条件：
1
0
(非负性)
(规范性)
0 P( A) ;
P( S ) 1 ;
A1 “ : 至少有一人命中目标” : A2 “ : 恰有一人命中目标” : A3 “ : 恰有两人命中目标 ” : A4 “ : 最多有一人命中目标 ” : A5 “ : 三人均命中目标” : A6 “ : 三人均未命中目标” :
A
B
C
ABC ABC BC
ABC ABC AC
ABC ABC
AB
ABC
A
差化积
A B AB A ( AB)
概率统计B
宁波工程学院
随机事件的运算规律
交换律: A B B A, 结合律: 分配律:
A B B A
A B C A B C A B C A B C
A B C A B A C A B C A B A C De Morgan定律:
20
3
0
,则 (可列可加性) 若A1 , A2 , 是两两互不相容事件
P( A1 A2 ) P( A1) P( A2)
概率统计B
宁波工程学院
概率的性质与推广
性质1(有限可加性) 若A1 , A2 ,, An 是两两互不相容事件 则
P ( A1 A2 An ) P ( A1) P ( A2) P ( An )
E2 ：将一枚硬币抛掷三次，观察正、反面出现的情况。 E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。 E5：观察一个网站一天内受到的点击次数。
E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
E7：记录某地一昼夜的最低温度和最高温度。
概率统计B
宁波工程学院
S1 : { H , T }
概率统计B
宁波工程学院
17世纪—博弈、机会游戏引发概率启蒙研究 18世纪—注意到天文观测、误差理论、产品检查等问题与机会游 戏相似之处，导致用频率（统计）研究概率 19世纪—引入数学分析方法推动概率深入研究 20世纪—用集合论（测度论）创建概率公理化，开创统计学 21世纪—统计方法成为随机建模的基本工具 应用遍及所有科技领域、工农业生产和国民经济的各个部门
比如： 明天降水 概率为 30% ，
某强队对弱队 赢球 的概率为 80%
概率是随机事件发生可能性大小的度量
1、了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额 2、了解顾客人数的各种可能性大小，合理配臵服务人员 3、了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤 坝高度.
概率统计B
宁波工程学院
一: 频率的定义和性质
Байду номын сангаас
概率统计B
宁波工程学院
课程教学组织及考核
1、课堂主讲----构建知识框架 2、课程自主学习(自修)----理解巩固 3、课程研讨项目----“学以致用”
注：①期中、期末考试 ②课程项目研讨 ③作业 出勤--抽查
概率统计B
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第一讲
第一章 随机事件与概率
一、随机事件 二、频率及概率
概率统计B
概率统计B
宁波工程学院
记号
S φ AB AB=φ AB AB AB
概率论
样本空间, 必然事件 不可能事件 样本点（基本事件） A发生必然导致B发生 A与B不能同时发生 A与B至少有一发生 A与B同时发生 A发生且B不发生 A不发生、对立事件发生
集合论
空间（全集） 空集 元素 A是B的子集 A与B无相同元素 A与B的并集 A与B的交集 A与B的差集 A的余集
概率统计B
宁波工程学院
研究方法：
观察、试验、调查；收集、整理、处理数 据并进行统计推断。
调查是概率统计研究方法的基石。
3 ．某食品厂用自动装罐机生产净重为 345 克的午餐肉罐头， 由于随机性每个罐头的净重都有差别，现在从生产线上随 机抽取 10 个，称其净重数据如下： 344 ， 346 ， 345 ， 342 ， 340 ， 338 ， 344 ， 343 ， 344 ， 343 ，通过样本推断生产是否 正常？
和专业联系：国贸专业属于经济学学科范畴 1.核心必修课，考研必修课 2.作为后续课程的基础（如统计学、证券投资、计量经济学等） 3.贸易工作中有大量的数据需要分析，指导决策
概率统计B
写在前面
宁波工程学院
生活中最重要的问题,其中占大多数实际上只是 概率的问题。 ——拉普拉斯 “ 概率论是生活真正的领路人, 如果没有对概率 的某种估计, 那么我们就寸步难行, 无所作为. ——英国的逻辑学家和经济学家杰文斯 在终极的分析中，一切知识都是历史。 在抽象的意义下，一切科学都是数学。 在理性的世界里，所有的判断都是统计学。 ——C.R劳
频率的稳定性:当试验次数充分大时，事件的频率常在某 个确定的数字附近摆动
概率统计B
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频率的稳定性
历史上不少著名学者做过抛掷硬币试验，数据如下： 试验者 德· 莫根 蒲 丰 K· 皮尔逊 K· 皮尔逊 实践证明： n 2048 4040 12000 24000 nA 1061 2048 6019 12012 fn(A) 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
（1）第三次未中奖 （2）第三次才中奖 （3）恰有一次中奖 （4）至少有一次中奖 （5）不止一次中奖
C
A BC
ABC ABC ABC
ABC
AB AC BC ABC ABC ABC ABC
（6）至多中奖二次
ABC
概率统计B
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§ 1.2随机事件的概率 在生活当中，经常接触到事件的概率，
A B C
概率统计B
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第二讲
一、古 典 概 型 二、条件概率及乘法公式 三、事件的独立性
概率统计B
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一. 等可能概型（古典概型）
生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：
样本空间的元素只有有限个；
每个基本事件发生的可能性相同。 设 S ={e1, e2, …en }, 由古典概型的等可能性， 若事件 A 包含 k 个基本事件，即 A ={e1, e2, …ek }, 则有：
定义： 在相同的条件下，进行了n 次试验， 在这 n 次 nA 试验中，事件 A 发生的次数 nA （频数），比值 称 n 为事件A 发生的频率，记成 fn(A) 。 性质: 1.
0 f n ( A) 1 ; 2.
f n() 1;
3. 若事件A1, A2 互不相容，则 f n( A1 A2 ) f n( A1) f n ( A2 )
宁波工程学院
如何研究和揭示随机现象的统计规律性？
随机试验（Experiment ）
有如下特点: 1. （可重复性）可在相同的条件下重复进行； 2. （可观察性）试验结果不止一个,但能明确所 有的结果； 3.（不确定性）试验前不能确定出现哪种结果。
概率统计B
宁波工程学院
E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T （Tails）出现的情况。
事件 B3={t|t1500}
表示“灯泡是一级品”
概率统计B
宁波工程学院
事件间的关系与运算（对应于集合）
10 包含关系
20 和事件 30 积事件 40 差事件
A B
A B A B A B A B
A
B
S
50 互不相容
60 对立事件
A B 用事件发生观点解释 A B S
A B A B, A B A B
A ,B ,C 都不发生— A B C
A B C
A ,B ,C 不都发生— ABC A B C
概率统计B
宁波工程学院
例：某人连续购买体育彩票，令事件 A、B、C 分别 表示其第一、二、三次所买的彩票中奖，试用 A，B， C 及其运算表示下列事件：
概率统计B
宁波工程学院
学科简介
概率统计是研究什么的？
随机现象：不确定性与统计规律性
一.确定性数学--- 初等数学、微积分、线性代数等 二.随机数学---以概率统计为代表 1.赌博 人口统计 出生率 性别等 2.非确定性现象: 抛硬币 掷骰子 发大水等 3.研究和揭示随机现象的统计规律性---概率论 4.研究怎样有效地收集整理和分析带有随机性的数据， 对所考察的问题作出推断或预测，为决策和行动提供
概率统计B
宁波工程学院
课程：概率论与数理统计
主讲教师: 李春华
e-mail:1530405308@qq.com
电话：563216 办公室:西2(110)
教材：《概率论与数理统计》（第三版） 韩明等编 同济大学出版社
参考书：《概率论与数理统计》教材及习题解答（第四版） 盛骤等编 高等教育出版社
概率统计B 宁波工程学院 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规 律性的一门学科。 在一定条件下必然发生的现象 向空中抛一物体必然落向地面； 水加热到100℃必然沸腾； 异性电荷相吸引； 放射性元素发生蜕变； 在试验或观察前无法预知出现什么结果 抛一枚硬币,结果可能正面(或反面)朝上； 向同一目标射击,各次弹着点都不相同； 某地区的日平均气温； 掷一颗骰子，可能出现的点数；
依据和建议---数理统计学
概率统计B
宁波工程学院
概率统计是一门“将不定性数量化”的课程.
1．两人各出100元赌博，掷一枚硬币若干次，（正面 朝上甲赢，背面朝上乙赢）先赢五次者胜 . 若目前 四比一，因故停止，问如何分配200元？
2．某商场计划“五一”在户外搞一次促销活动，统计资料表 明，如果在商场内搞促销活动，可获经济效益3万元；在商 场外搞促销活动，如果不遇雨天可获经济效益 12 万元，遇 到雨天则带来经济损失5万元；若前一天的天气预报称当日 有雨的概率为40%，商场应如何选择促销方式？
S2 : { HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT }
S3 : { 0, 1, 2, 3 }
S4 : { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } S5 : {0,1,2,3……} S6 : { t | t 0 } S7 : { ( x , y ) | T 0 x y T1 }
特别地 P() 0 ;
P( A B) P( A) P( B) P( AB) 。
P( A B) P( A) P( B)
A A B S
S
BA
概率统计B
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若当公式 :
P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC ) P( BC ) P( ABC )
对应于集合
我们称一个随机事件发生当且仅当它所包 含的一个样本点在试验中出现．
概率统计B
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例如：S2 中事件 A={HHH,HHT,HTH,HTT}
表示 “第一次出现的是正面”
S6 中事件 B1={t|t1000} 表示 “灯泡是次品” 事件 B2={t|t 1000}
表示 “灯泡是合格品”
例1 : 事件A, B, A B的概率分别是 0.4 ,0.3 和0.6 , 求P A B
例2：事件A，B同时发生的概率和同时 不发生的概率相等， P A a, 求PB
概率统计B
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练习:甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C
分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表 示下列事件
概率统计B 样本空间(Space)和随机事件
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样本空间（S ）随机试验 E 的所有可能结果组成的集合；
样本点：样本空间的元素，即 E 的每个结果；
随机事件 : 样本空间 S 的子集称为 E 的随机事件；
基本事件 : 有一个样本点组成的单点集；
必然事件 : 样本空间 S 本身；
不可能事件 : 空集。
A S
性质2 (减法公式)
特别地
P( B A) P( B) P( AB)
A B P( B A) P( B) P( A) P( B) P( A)
A
B S
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性质 3 P( A) 1 ;
性质 4 P( A ) 1 P( A) ;
性质 5 (加法公式)
在大量重复试验中，随机事件的频率具有稳定性．
概率统计B
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概率的公理化定义
定义 设 E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为 P( A) ,
称为事件 A 的概率，要求 P()满足下列条件：
1
0
(非负性)
(规范性)
0 P( A) ;
P( S ) 1 ;
A1 “ : 至少有一人命中目标” : A2 “ : 恰有一人命中目标” : A3 “ : 恰有两人命中目标 ” : A4 “ : 最多有一人命中目标 ” : A5 “ : 三人均命中目标” : A6 “ : 三人均未命中目标” :
A
B
C
ABC ABC BC
ABC ABC AC
ABC ABC
AB
ABC
A
差化积
A B AB A ( AB)
概率统计B
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随机事件的运算规律
交换律: A B B A, 结合律: 分配律:
A B B A
A B C A B C A B C A B C
A B C A B A C A B C A B A C De Morgan定律:
20
3
0
,则 (可列可加性) 若A1 , A2 , 是两两互不相容事件
P( A1 A2 ) P( A1) P( A2)
概率统计B
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概率的性质与推广
性质1(有限可加性) 若A1 , A2 ,, An 是两两互不相容事件 则
P ( A1 A2 An ) P ( A1) P ( A2) P ( An )
E2 ：将一枚硬币抛掷三次，观察正、反面出现的情况。 E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。 E5：观察一个网站一天内受到的点击次数。
E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
E7：记录某地一昼夜的最低温度和最高温度。
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S1 : { H , T }
概率统计B
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17世纪—博弈、机会游戏引发概率启蒙研究 18世纪—注意到天文观测、误差理论、产品检查等问题与机会游 戏相似之处，导致用频率（统计）研究概率 19世纪—引入数学分析方法推动概率深入研究 20世纪—用集合论（测度论）创建概率公理化，开创统计学 21世纪—统计方法成为随机建模的基本工具 应用遍及所有科技领域、工农业生产和国民经济的各个部门
比如： 明天降水 概率为 30% ，
某强队对弱队 赢球 的概率为 80%
概率是随机事件发生可能性大小的度量
1、了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额 2、了解顾客人数的各种可能性大小，合理配臵服务人员 3、了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤 坝高度.
概率统计B
宁波工程学院
一: 频率的定义和性质
Байду номын сангаас
概率统计B
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课程教学组织及考核
1、课堂主讲----构建知识框架 2、课程自主学习(自修)----理解巩固 3、课程研讨项目----“学以致用”
注：①期中、期末考试 ②课程项目研讨 ③作业 出勤--抽查
概率统计B
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第一讲
第一章 随机事件与概率
一、随机事件 二、频率及概率
概率统计B
概率统计B
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记号
S φ AB AB=φ AB AB AB
概率论
样本空间, 必然事件 不可能事件 样本点（基本事件） A发生必然导致B发生 A与B不能同时发生 A与B至少有一发生 A与B同时发生 A发生且B不发生 A不发生、对立事件发生
集合论
空间（全集） 空集 元素 A是B的子集 A与B无相同元素 A与B的并集 A与B的交集 A与B的差集 A的余集
概率统计B
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研究方法：
观察、试验、调查；收集、整理、处理数 据并进行统计推断。
调查是概率统计研究方法的基石。
3 ．某食品厂用自动装罐机生产净重为 345 克的午餐肉罐头， 由于随机性每个罐头的净重都有差别，现在从生产线上随 机抽取 10 个，称其净重数据如下： 344 ， 346 ， 345 ， 342 ， 340 ， 338 ， 344 ， 343 ， 344 ， 343 ，通过样本推断生产是否 正常？
和专业联系：国贸专业属于经济学学科范畴 1.核心必修课，考研必修课 2.作为后续课程的基础（如统计学、证券投资、计量经济学等） 3.贸易工作中有大量的数据需要分析，指导决策
概率统计B
写在前面
宁波工程学院
生活中最重要的问题,其中占大多数实际上只是 概率的问题。 ——拉普拉斯 “ 概率论是生活真正的领路人, 如果没有对概率 的某种估计, 那么我们就寸步难行, 无所作为. ——英国的逻辑学家和经济学家杰文斯 在终极的分析中，一切知识都是历史。 在抽象的意义下，一切科学都是数学。 在理性的世界里，所有的判断都是统计学。 ——C.R劳
频率的稳定性:当试验次数充分大时，事件的频率常在某 个确定的数字附近摆动
概率统计B
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频率的稳定性
历史上不少著名学者做过抛掷硬币试验，数据如下： 试验者 德· 莫根 蒲 丰 K· 皮尔逊 K· 皮尔逊 实践证明： n 2048 4040 12000 24000 nA 1061 2048 6019 12012 fn(A) 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
（1）第三次未中奖 （2）第三次才中奖 （3）恰有一次中奖 （4）至少有一次中奖 （5）不止一次中奖
C
A BC
ABC ABC ABC
ABC
AB AC BC ABC ABC ABC ABC
（6）至多中奖二次
ABC
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§ 1.2随机事件的概率 在生活当中，经常接触到事件的概率，
A B C
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第二讲
一、古 典 概 型 二、条件概率及乘法公式 三、事件的独立性
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一. 等可能概型（古典概型）
生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：
样本空间的元素只有有限个；
每个基本事件发生的可能性相同。 设 S ={e1, e2, …en }, 由古典概型的等可能性， 若事件 A 包含 k 个基本事件，即 A ={e1, e2, …ek }, 则有：
定义： 在相同的条件下，进行了n 次试验， 在这 n 次 nA 试验中，事件 A 发生的次数 nA （频数），比值 称 n 为事件A 发生的频率，记成 fn(A) 。 性质: 1.
0 f n ( A) 1 ; 2.
f n() 1;
3. 若事件A1, A2 互不相容，则 f n( A1 A2 ) f n( A1) f n ( A2 )
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如何研究和揭示随机现象的统计规律性？
随机试验（Experiment ）
有如下特点: 1. （可重复性）可在相同的条件下重复进行； 2. （可观察性）试验结果不止一个,但能明确所 有的结果； 3.（不确定性）试验前不能确定出现哪种结果。
概率统计B
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E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T （Tails）出现的情况。
事件 B3={t|t1500}
表示“灯泡是一级品”
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事件间的关系与运算（对应于集合）
10 包含关系
20 和事件 30 积事件 40 差事件
A B
A B A B A B A B
A
B
S
50 互不相容
60 对立事件
A B 用事件发生观点解释 A B S
A B A B, A B A B
A ,B ,C 都不发生— A B C
A B C
A ,B ,C 不都发生— ABC A B C
概率统计B
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例：某人连续购买体育彩票，令事件 A、B、C 分别 表示其第一、二、三次所买的彩票中奖，试用 A，B， C 及其运算表示下列事件：
概率统计B
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学科简介
概率统计是研究什么的？
随机现象：不确定性与统计规律性
一.确定性数学--- 初等数学、微积分、线性代数等 二.随机数学---以概率统计为代表 1.赌博 人口统计 出生率 性别等 2.非确定性现象: 抛硬币 掷骰子 发大水等 3.研究和揭示随机现象的统计规律性---概率论 4.研究怎样有效地收集整理和分析带有随机性的数据， 对所考察的问题作出推断或预测，为决策和行动提供
概率统计B
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课程：概率论与数理统计
主讲教师: 李春华
e-mail:1530405308@qq.com
电话：563216 办公室:西2(110)
教材：《概率论与数理统计》（第三版） 韩明等编 同济大学出版社
参考书：《概率论与数理统计》教材及习题解答（第四版） 盛骤等编 高等教育出版社
概率统计B 宁波工程学院 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规 律性的一门学科。 在一定条件下必然发生的现象 向空中抛一物体必然落向地面； 水加热到100℃必然沸腾； 异性电荷相吸引； 放射性元素发生蜕变； 在试验或观察前无法预知出现什么结果 抛一枚硬币,结果可能正面(或反面)朝上； 向同一目标射击,各次弹着点都不相同； 某地区的日平均气温； 掷一颗骰子，可能出现的点数；
依据和建议---数理统计学
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概率统计是一门“将不定性数量化”的课程.
1．两人各出100元赌博，掷一枚硬币若干次，（正面 朝上甲赢，背面朝上乙赢）先赢五次者胜 . 若目前 四比一，因故停止，问如何分配200元？
2．某商场计划“五一”在户外搞一次促销活动，统计资料表 明，如果在商场内搞促销活动，可获经济效益3万元；在商 场外搞促销活动，如果不遇雨天可获经济效益 12 万元，遇 到雨天则带来经济损失5万元；若前一天的天气预报称当日 有雨的概率为40%，商场应如何选择促销方式？
S2 : { HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT }
S3 : { 0, 1, 2, 3 }
S4 : { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } S5 : {0,1,2,3……} S6 : { t | t 0 } S7 : { ( x , y ) | T 0 x y T1 }
特别地 P() 0 ;
P( A B) P( A) P( B) P( AB) 。
P( A B) P( A) P( B)
A A B S
S
BA
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若当公式 :
P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC ) P( BC ) P( ABC )
对应于集合
我们称一个随机事件发生当且仅当它所包 含的一个样本点在试验中出现．
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例如：S2 中事件 A={HHH,HHT,HTH,HTT}
表示 “第一次出现的是正面”
S6 中事件 B1={t|t1000} 表示 “灯泡是次品” 事件 B2={t|t 1000}
表示 “灯泡是合格品”
例1 : 事件A, B, A B的概率分别是 0.4 ,0.3 和0.6 , 求P A B
例2：事件A，B同时发生的概率和同时 不发生的概率相等， P A a, 求PB
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练习:甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C
分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表 示下列事件
概率统计B 样本空间(Space)和随机事件
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样本空间（S ）随机试验 E 的所有可能结果组成的集合；
样本点：样本空间的元素，即 E 的每个结果；
随机事件 : 样本空间 S 的子集称为 E 的随机事件；
基本事件 : 有一个样本点组成的单点集；
必然事件 : 样本空间 S 本身；
不可能事件 : 空集。