圆知识点总结(史上最全)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
图1
圆的总结
集合：
圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹：
1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；
2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；
3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 点与圆的位置关系:
点在圆内 d
直线与圆相离 d>r 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点 直线与圆相交 d 推论1（2（3 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O 中，∵AB ∥CD 即：∵∠∴∠推论1即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D BC BD =AC AD = A B O M P D A 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在⊙O中，∵AB是直径或∵∠C=90° ∴∠C=90°∴AB是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角 形 即：在△ABC中，∵OC=OA=OB ∴△ABC是直角三角形或∠C=90° 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线 等于斜边的一半的逆定理。 弦切角定理:弦切角等于所夹弧所对的圆周角 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。 即：∵MN是切线，AB是弦 ∴∠BAM=∠BCA 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙O中，∵四边形ABCD是内接四边形 ∴∠C+∠BAD=180°B+∠D=180° ∠DAE=∠C 切线的性质与判定定理 （1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN⊥OA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件 ∵MN是切线 ∴MN⊥OA 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连 线平分两条切线的夹角。 即：∵PA、PB是的两条切线 ∴PA=PB PO平分∠BPA 圆内相交弦定理及其推论： （1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等 即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P ∴PA·PB=PC·PA （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 即：在⊙O中，∵直径AB⊥CD ∴ （3 段长的比例中项 即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线 ∴ （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点 22 CE DE EA EB == 2 PA PC PB = l O 的两条线段长的积相等（如上图） 即：在⊙O中，∵PB、PE是割线 ∴ 圆公共弦定理：连心线垂直平分公共弦 即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点 ∴O1O2垂直平分AB 两圆公切线长的计算公式： （1）公切线长：在Rt△O1O2C中， （2）外公切线长：CO2 内公切线长：CO2是半径之和 圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在Rt△BOD中进行，OD:BD:OB= （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在Rt△OAE中进行，OE :AE:OA= （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在Rt△OAB中进行，AB:OB:OA= 总结归纳：《圆》的知识考点 圆与三角形、四边形一样都是研究相关图形中的线、角、周长、 面积等知识。包括性质定理 ．．．．与判定定理 ．．．．及公式 ．．。 一、圆的有关概念 1、圆。 ⎩ ⎨ ⎧ •• •••••••••• ••• •••••••••• •••••••••• ••• •• 静（集合） 动 →封闭曲线围成的图形 2、弦、直径、切线。→直线 3、弧、半圆。→曲线 4、圆心角、圆周角。 5、三角形的外接圆、外心。→用到：线段的垂直平分线及性质 6、三角形的内切圆、内心。→用到：角的平分线及性质 二、圆的有关性质（涉及线段相等、角相等，求线、角） 1、圆的对称性。→ ⎩ ⎨ ⎧ 中心对称 轴对称 2、垂径定理及其推论。 3、弧、弦、圆心角之间的关系定理 PC PB PD PE = 22 1 AB CO == 1::2 1:1: 1::2 l= 1 2