高中数学必修二期末测试题

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【平煤高中检测必修二】高中数学必修二期末综合测试题

【平煤高中检测必修二】高中数学必修二期末综合测试题

高一数学上学期期末综合测试题(人教版必修二)一、选择题1、下图(1)所示的圆锥的俯视图为 ( )2、直线30l y ++=的倾斜角α为 ( )A 、30 B 、60 C 、120 D 、150 3、棱长为a 正四面体的表面积是 ( )A 、343a B 、3123a C 、243a D 、23a 。

4、如图所示的直观图的平面图形ABCD 是( ) A 、任意梯形 B 、直角梯形C 、任意四边形D 、平行四边形5、已知α//a ,α⊂b ,则直线a 与直线b 的位置关系是( ) A 、平行 B 、相交或异面 C 、异面 D 、平行或异面6、已知两条直线012:1=-+ay x l ,04:2=-y x l ,且21//l l ,则满足条件a 的值为( ) A 、21- B 、21 C 、2- D 、27、在空间四边形ABCD 中,H G F E ,,,分别是DA CD BC AB ,,,的中点。

若a BD AC ==, 且AC 与BD 所成的角为60,则四边形EFGH 的面积为 ( )A 、283aB 、243aC 、223a D 、23a 8、在右图的正方体中,M 、N 分别为棱BC 和棱1CC 的中点,则异面直线AC 和MN 所成的角为( ) A 、30°B 、45°C 、90°D 、60°9、下列叙述中错误的是 ( )A 、若βα ∈P 且l =βα ,则l P ∈B 、三点C B A ,,确定一个平面;C 、若直线A b a = ,则直线a 与b 能够确定一个平面D 、若l A ∈,l B ∈且α∈A ,α∈B ,则α⊂l 10、两条不平行的直线,其平行投影不可能是 ( )A 、两条平行直线B 、一点和一条直线C 、两条相交直线D 、两个点。

11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5,且它的8个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是 ( )A 、π25B 、π50C 、π125D 、都不对。

人教版高中数学必修二期末考试试题

人教版高中数学必修二期末考试试题

人教版高中数学必修二期末考试试题一、选择题1. 若函数 $f(x)=x^3-3x^2+bx+c$ 的图像过点 $(1,5)$,则$b=$()A.$-1$ B.$-2$ C.$-3$ D.$-4$2. 函数 $y=\frac{x+1}{x-1}$ 的图象关于直线 $y=-x$ 对称。

3. 从集合 $\{1,2,3,4,5,6\}$ 中取两个不同的元素组成一个二元组,则其中不含 $3$ 的二元组的数目为()。

A.$20$ B.$10$ C.$15$ D.$18$4. 已知集合$A=\{x\mid 2x-1\in \mathbb{N}\}$,则$A=$()。

A.$\bigl\{\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2},\cdots\bigr\}$ B .$\bigl\{\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2},\cdots,b\bigr\}$C.$\bigl\{1,2,3,\cdots\bigr\}$ D.$\bigl\{\cdots,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2},\cdots\bigr\}$5. 如图所示,大三角形的三个点坐标分别为 $A(-2,0)$,$B(0,2)$,$C(2,-4)$,以 $C$ 为顶点小三角形顶点的坐标为()。

A.$(-\frac{7}{5},-\frac{14}{5})$ B.$(\frac{7}{5},\frac{6}{5})$C.$(\frac{2}{5},-\frac{18}{5})$ D.$(\frac{6}{5},-\frac{4}{5})$二、填空题6. 下列各组数中互为相反数的是()。

$${1\over3},-{1\over3};\qquad {\sqrt{10}},-\sqrt{10};\qquad -3,3\sqrt{2}$$7. 容量为 $500 \rm mL$ 的杯中盛满水,再加进糖水搅拌,这时每 $100 \rm mL$ 的液体中含糖 $10\%$。

高中数学选择性必修二 高二上学期数学期末测试卷(A卷 夯实基础)同步单元AB卷(含答案)

高中数学选择性必修二 高二上学期数学期末测试卷(A卷 夯实基础)同步单元AB卷(含答案)

班级 姓名 学号 分数高二上学期数学期末测试卷(A 卷·夯实基础)注意事项:本试卷满分150分,考试时间120分钟.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.过两点()()5,,3,1A y B -的直线的倾斜角是135°,则y 等于( ) A .2 B .2- C .3 D .3-【答案】D 【详解】因为斜率tan1351k ︒==-,所以1153y k +==--,得3y =-. 故选:D.2.40y --=,经直线10x y +-=反射,则反射光线所在直线的方程是( ) A50y ++= B.40x += C.50x += D.0x +=【答案】C 【详解】40y --=,令0x =,解得4y =-, 设()0,4A -,关于直线10x y +-=的对称点为(),B m n , 则4141022n mm n +⎧=⎪⎪⎨-⎪+-=⎪⎩,解得51m n =⎧⎨=⎩,即()5,1B ,40y --=,令x =1y =-,设)1C-,关于直线10x y +-=的对称点为(),D a b ,则11102b =--=,解得21a b =⎧⎪⎨=⎪⎩(2,1D ,BD k ==直线BD:)15y x -=-,即50x =。

故选:C3.已知异面直线,a b 的方向向量分别是()()2,1,3,1,3,2m n --==,则,a b 夹角的大小是( ) A .56πB .34π C .3π D .6π【答案】C 【详解】异面直线,a b 的方向向量分别是()()2,1,3,1,3,2m n --==∴21132371cos ,1424m n m n m n⨯+⨯-+⨯-⋅-====-, 异面直线,a b 所成角为范围为02πθ<≤,,a b ∴夹角的大小是3π故选:C4.设数列{}n a 的前n 项和S n =n 2,则a 8的值为( ) A .15 B .16C .49D .64【答案】A 【详解】878644915a S S =-=-= 故选:A5.已知在等比数列{}n a 中,3544a a a =,等差数列{}n b 的前n 项和为n S ,且74b a =,则13S =( ) A .26 B .52 C .78 D .104【答案】B 【详解】因为在等比数列{}n a 中,3544a a a =,可得2444a a =,40a ≠,解得44a =,又因为数列{}n b 是等差数列,744b a ==,则()13113711313134522S b b b =⨯+==⨯=.故选:B.6.直三棱柱111ABC A B C -中,90BCA ∠=,M 、N 分别是11A B 、11A C 的中点,1BC CA CC ==,则BM 与NA 所成的角的余弦值为( )A .BCD . 【答案】C 【详解】由题意可知1CC ⊥平面ABC ,且90BCA ∠=,以点C 为坐标原点,CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系,设12BC CA CC ===,则()2,0,0A 、()0,2,0B 、()1,0,2N 、()1,1,2M ,()1,0,2AN =-,()1,1,2BM =-,30cos ,56AN BM AN BM AN BM⋅<>===⨯⋅故BM 与NA 30故选:C.7.设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,M 为抛物线C 上一点,N (2,2),则MF MN +的最小值为( ) A .3 B .2C .1D .4【答案】A 【详解】因为抛物线C :y 2=4x 的焦点为F (1,0),准线为1x =-, 根据抛物线定义可知MF =1M x +,所以当MN 垂直抛物线准线时,MF MN +最小, 最小值为:13N x +=. 故选:A .8.已知椭圆C :2222x y a b +=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,离心率为34,点P 为椭圆上一点,若∠F 1PF 2=π2,且F 1PF 2内切圆的半径为1,则C 的方程为( ) A .22167x y +=1B .223214x y +=1C .24x +y 2=1D .22447x y +=1【答案】A 【详解】易知F 1PF 2中,内切圆半径r =1212-2PF PF F F +=a -c =1,又离心率为34c a =,解得a =4,c =3,所以椭圆C 的方程为22167x y +=1. 故选:A二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.已知等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,316a =,512a =,则( ) A .2d =- B .124a =C .2628a a +=D .n S 取得最大值时,11n =【答案】AC 【详解】解法一:由题可得11216,412a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得120,2,a d =⎧⎨=-⎩故选项A 正确,选项B 错误;易知()()2012222n a n n =+-⨯-=-+,则26181028a a +=+=,选项C 正确.因为1020a =>,110a =,1220a =-<,所以当10n =或11时,n S 取得最大值(技巧:由0d <得数列{}n a 递减,进而判断n S 最大时的临界项) 选项D 错误. 故选:AC解法二:对于A :易知53212164d a a =-=-=-,所以2d =-,选项A 正确;对于B :()132162220a a d =-=-⨯-=,选项B 错误; 对于C :263528a a a a +=+=,选项C 正确;对于D :易知()()2012222n a n n =+-⨯-=-+,1020a =>,110a =,1220a =-<(技巧:由0d <得数列递减,进而判断n S 最大时的临界项)所以当10n =或11时,n S 取得最大值,所以选项D 错误. 故选:AC10.已知直线:440l kx y k -+-=与圆22:4440M x y x y +--+=,则下列说法中正确的是( )A .直线l 与圆M 一定相交B .若0k =,则直线l 与圆M 相切C .当1k =时,直线l 被圆M 截得的弦最长D .圆心M 到直线l的距离的最大值为【答案】BCD【详解】22:4440M x y x y +--+=,即()()22224x y -+-=,是以()2,2为圆心,以2为半径的圆,A.因为直线:440l kx y k -+-=,直线l 过()4,4,2244444440+-⨯-⨯+>,则()4,4在圆外,所以直线l 与圆M 不一定相交,故A 错误;B.若0k =,则直线:4l y =,直线l 与圆M 相切,故B 正确;C.当1k =时,直线l 的方程为0x y -=,过圆M 的圆心,即直线l 是直径所在直线,故C 正确;D.由圆的性质可知当直线l 与过点()4,4的直径垂直时,圆心M 到直线l 的距离的最大,此时=故D 正确,故选:BCD.11.已知点P 在双曲线22:1169x y C -=上,1F ,2F 分别为双曲线的左、右焦点,若12PF F △的面积为20,则下列说法正确的是( ) A .点P 到x 轴的距离为4 B .12523PF PF += C .12PF F △为钝角三角形 D .1260F PF ∠=︒【答案】AC 【详解】由双曲线的方程可得4a =,3b =,则5c =,由12PF F △的面积为20,得112102022P P c y y ⨯⨯=⨯⨯=,解得4P y =,即点P 到x 轴的距离为4,故A 选项正确; 将4P y =代入双曲线方程可得203P x =,根据双曲线的对称性可设20,43P ⎛⎫⎪⎝⎭,则2133PF =,由双曲线的定义知1228PF PF a -==,则11337833PF =+=, 则12133750333PF PF +=+=,故B 选项错误; 在12PF F △中,12371321033PF c PF =>=>=, 则24012020553PF k -==>-,21PF F ∠为钝角,则12PF F △为钝角三角形,故C 选项正确;()2222121212121212122100cos 22PF PF PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF -+-+-∠==13376410021891331133713372233-+⨯⨯⨯==-≠⨯⨯⨯, 则1260F PF ∠=︒错误, 故选:AC.12.已知函数()2ln f x x x =,下列说法正确的是( )A .当1x >时,()0f x >;当01x <<时,()0f x <B .函数()f x的减区间为(,增区间为)+∞C .函数()f x 的值域1,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D .()1f x x ≥-恒成立 【答案】ACD 【详解】对于选项A ,当01x <<时,ln 0x <;当1x >时,ln 0x >,故选项A 正确; 对于选项B ,2ln 2ln 1fxx x x x x ,令()0f x '>可得2ln 10x ,有x >知函数()f x 的减区间为⎛⎝,增区间为⎫+∞⎪⎭,故选项B 错误;对于选项C ,由上可知()min 11e 2e f x f ===-,x →+∞时,()f x →+∞,故选项C 正确;对于选项D ,()22111ln 10ln 0f x x x x x x x x ≥-⇔-+≥⇔-+≥,令()211ln g x x x x=-+,有()()()22333121212x x x x x g x x x x x '-++--===+,令()0g x '>可得1x >,故函数()g x 的增区间为()1,+∞,减区间为()0,1,可得()()min 10g x g ==,故选项D 正确. 故选:ACD .三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.与直线3250x y -+=的斜率相等,且过点()4,3-的直线方程为_________ 【答案】392y x =+【详解】直线3250x y -+=的斜率为32,故所求直线方程为()3342-=+y x ,即392y x =+.故答案为:392y x =+. 14.数列{}n a 中,11a =,()*12,2nn n a a n N a +=∈+,则5a =___________ 【答案】13【详解】 122nn n a a a +=+,11a =, 则1212223a a a ==+,2322122a a a ==+,3432225a a a ==+,4542123a a a ==+. 故答案为:13.15.若函数()ln f x x x =+在x =1处的切线与直线y =kx 平行,则实数k =___________. 【答案】2 【详解】∵()ln f x x x =+, ∴1()1f x x '=+,1(1)121f '=+=,又函数()ln f x x x =+在x =1处的切线与直线y =kx 平行, ∴2k =. 故答案为:2.16.设5(4P -是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点,1(2,0)F -是C 的左焦点,Q 是C右支上的动点,则C 的离心率为______,1PQF △面积的取值范围是_______. 【答案】2)+∞ 【详解】双曲线C 的右焦点为2(2,0)F,则13||2PF =,27||2PF ,因点P 在双曲线C 上,则由双曲线定义得2122a PF PF =-=,即1a =,又2c =, 所以双曲线C 的离心率为2ce a==;因直线PF 1的斜率1PF k =ba=1PF 与双曲线C 在第一、三象限的渐近线平行,则这条渐近线与直线1PF 0y -+的距离d ==上的点Q 到直线PF 1距离h d >=,于是得11113222PQF SPF h =⋅⋅>⨯所以1PQF △面积的取值范围是)+∞.故答案为:2;)+∞ 四、解答题(本大题共6小题,共70分)17.已知圆()22:20C x y mx y m R ++-=∈,其圆心在直线0x y +=上.(1)求m 的值;(2)若过点()1,1的直线l 与C 相切,求l 的方程. 【答案】 (1)2m =(2)20x y +-=或0x y -= 【详解】 (1)圆C 的标准方程为:222(1)124m m x y ⎛⎫++-=+⎪⎝⎭, 所以,圆心为,12m ⎛⎫- ⎪⎝⎭由圆心在直线0x y +=上,得2m =. 所以,圆C 的方程为:22(1)(1) 2.x y ++-=(2)由题意可知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为:()11y k x -=-, 即10,kx y k --+=由于直线l 和圆C解得:1k =±所以,直线方程为:20x y +-=或0x y -=.18.如图,在三棱锥P -ABC 中,△ABC 是以AC 为底的等腰直角三角形,PA =PB =PC =AC =4,O 为AC 的中点.(1)证明:PO ⊥平面ABC .(2)若点M 在棱BC 上,且二面角M -PA -C 为30°,求直线PC 与平面PAM 所成角的正弦值. 【答案】 (1)证明见解析. (2【详解】 (1)证明:连接BO,AB BC ==O 是AC 的中点,BO AC ∴⊥,且 2BO =,又 2PA PC PB AC ====,,PO AC PO ∴⊥=222PB PO BO =+,则PO OB ⊥,OB AC O =,OB ⊂平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,PO ∴⊥平面ABC ,(2)解:建立以 O 为坐标原点,,,OB OC OP 分别为,,x y z 轴的空间直角坐标系如图所示,则()0,2,0A -,(0,0,P ,()0,2,0C ,()2,0,0B ,设(2,2,0)BM BC λλλ==-()01λ≤≤,则()()(2,2,0)2,2,022,22,0AM BM BA λλλλ=-=----=-+,所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为则平面PAC 的法向量为() 1,0,0m =, 设平面MPA 的法向量(,,),n x y z =则(0,2,PA =--20,n PA y ⋅=--= ()()22220n AM x y λλ⋅=-++=,令1z =,则y =(11x λλ+=-,二面角M PA C --为30︒,∴3cos302m n m n︒⋅==⋅, 即=13λ= 或 3λ=( 舍),设平面MPA的法向量(23,n =,(0,2,PC =-,设PC 与平面PAM 所成的角为θ,则|sin |cos ,|12PC n θ-=<>==+19.已知椭圆与双曲线221169x y -=具有共同的焦点1F 、2F ,点P 在椭圆上,12PF PF ⊥,____________①椭圆过点(),②椭圆的短轴长为10,③(①②③中选择一个) (1)求椭圆的标准方程; (2)求12PF F △的面积. 【答案】(1)条件选择见解析,椭圆方程为2215025x y += (2)1225PF F S=【详解】 (1)解:设椭圆方程()222222210,x y a b c a b a b+=>>=-.因为椭圆与双曲线221169x y -=具有共同的焦点,则225c =.选①:由已知可得a =225b =,椭圆方程为2215025x y +=; 选②:由已知可得5b =,则250a =,椭圆方程为2215025x y +=;选③得c a =,则250a =,椭圆方程为2215025x y +=. (2)解:由椭圆定义知122PF PF a +==, 又12PF PF ⊥,222124100PF PF c ∴+==②,由①可得2212121221002200PF PF PF PF PF PF ++⋅=+⋅=,解得1250PF PF ⋅=, 因此,12121252PF F SPF PF =⋅=. 20.设函数()322f x x x x =--++.(1)求()f x 在2x =-处的切线方程;(2)求()f x 的极大值点与极小值点;(3)求()f x 在区间[]5,0-上的最大值与最小值.【答案】(1)7100x y ++=;(2)极小值点为1x =-,极大值点为13x =; (3)()min 1f x =,()max 97f x =.【详解】(1)由题意得:()2321f x x x '=--+,则()212417f '-=-++=-,又()284224f -=--+=,()f x ∴在2x =-处的切线方程为()472y x -=-+,即7100x y ++=; (2)令()23210f x x x '=--+=,解得:1x =-或13x =, 则()(),,x f x f x '变化情况如下表:()f x ∴的极小值点为1x =-,极大值点为3x =; (3)由(2)知:()f x 在[)5,1--上单调递减,在(]1,0-上单调递增; 又()5125255297f -=--+=,()02f =,()111121f -=--+=, ()()min 11f x f ∴=-=,()()max 597f x f =-=.21.已知椭圆C 的离心率e =()1A ,)2A (1)求椭圆C 的方程;(2)设动直线:l y kx b =+与曲线C 有且只有一个公共点P ,且与直线2x =相交于点Q ,求证:以PQ 为直径的圆过定点()1,0N .【答案】(1)2212x y +=; (2)证明见解析.【详解】(1)椭圆长轴端点在x 轴上,∴可设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>,由题意可得:222a b c c e a a ⎧=+⎪⎪==⎨⎪⎪=⎩,解得:11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,∴椭圆C 的方程为:2212x y +=; (2) 由2212x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得:()222124220k x kbx b +++-=,曲线C 与直线l 只有一个公共点,()228120k b ∴=+-=,即2221b k =+,设(),P P P x y ,则()22422212P kb kb k x b b k =-=-=-+, 222221p P k b k y kx b b b b b-∴=+=-+==,21,k P b b ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭; 由2y kx b x =+⎧⎨=⎩得:22x y k b =⎧⎨=+⎩,即()2,2Q k b +; ()1,0N ,211,k NP bb ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭,()1,2NQ k b =+, 2210k k b NP NQ b b+∴⋅=--+=,即NP NQ ⊥, ∴以PQ 为直径的圆恒过定点()1,0N .22.已知函数()ln xe f x ax a x x=-+. (1)若a e =,求()f x 的极值点;(2)若()0f x ≥,求a 的取值范围.【答案】(1)极小值点为1,无极大值点(2)(,]e -∞【详解】(1)解:(1)()f x 定义域为(0,)+∞,222(1)(1)(1)()()x x x x xe e e x e e x x e ex f x e x x x x x -----'=-+=-=, 令(),(0,)x g x e ex x =-∈+∞,则()x g x e e '=-,当01x <<时,()0g x '<,当1x >时,()0g x '>,所以函数()g x 在()0,1上递减,在()1,+∞上递增,所以()()10g x g ≥=,即0x e ex -≥,当01x <<时,()0f x '<,当1x >时,()0f x '>,所以函数()f x 在()0,1上递减,在()1,+∞上递增,()f x ∴的极小值点为1,无极大值点;(2)由()0f x ≥得ln (ln )x x e a x x --≥,令ln ,(0,)t x x x =-∈+∞,则t e at ≥,111x t x x-'=-=, 当01x <<时,0t '<,当1x >时,0t '>,所以函数ln ,(0,)t x x x =-∈+∞在()0,1上递减,在()1,+∞上递增,所以当1x =时,min 1t =,[1+t ∴∈∞,),te a t∴≤, 令(),[1,)te m t t t =∈+∞,则2(1)()0t e t m t t -'=≥, 所以函数()t e m t t=在[1,)t ∈+∞上递增,所以min ()(1)m t m e ==, 所以a e ≤,所以a 的取值范围为(,]e -∞.。

高中数学选择性必修二 北京市朝阳区高二上学期期末考试数学试题(含答案)

高中数学选择性必修二 北京市朝阳区高二上学期期末考试数学试题(含答案)
由上知: ,所以 ,故④正确.
故答案为:①③④
16.把正奇数列按如下规律分组:(1),(3,5,7),(9,11,13,15,17),(19,21,23,25,27,29,31),…,则在第n(n∈N*)组里有________个数;第9组中的所有数之和为________.
【答案】①. ②.2465
【解析】
②函数 在 和 分别单调递减,故②错误;
③因为 ,则当 时, ,故 时的瞬时速度是10 m/s,故③正确;
④ , ,由 解得 ,由 解得 ,
所以当 时, 的图象更“陡峭”,当 时, 的图象更“陡峭”,故④错误.
故选:A.
8.如图,将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面,则异面直线AK和LM所成角的大小为()
点 在抛物线上,
所以 ,
则 ,又 ,
所以直线 方程为 ,
联立抛物线方程 得到 ,
解得 或 ,
因为点 在 轴下方,所以 ,
由焦半径公式得: ,
故选:D.
7.下列有四个说法:
①若直线与抛物线相切,则直线与抛物线有且只有一个公共点:
②函数 在定义域上单调递减;
③某质点沿直线运动,位移 (单位:m)与时间t(单位:s)满足关系式 则 时的瞬时速度是10 m/s;
(II)选①:当直线 斜率不存在时, 的方程为 ,恰好与圆相切,满足题意;
当直线 斜率存在时,设 的方程为 ,即 ,
则圆心到直线 的距离为 ,解得 ,
此时直线 的方程为 ,即 ,
综上,直线 的方程为 或 ;
选②,可得 在圆上,即 为切点,
则切点与圆心连线斜率为 ,则切线斜率为 ,
所以直线 的方程为 ,即 .
故选:B.
10.如图,在三棱锥O-ABC中,三条侧棱OA,OB,OC两两垂直,且OA,OB,OC的长分别为a,b,c.M为△ABC内部及其边界上的任意一点,点M到平面OBC,平面OAC,平面OAB的距离分别为a0,b0,c0,则 ()

【易错题】高中必修二数学下期末试卷及答案

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【易错题】高中必修二数学下期末试卷及答案一、选择题1.如图,在ABC ∆中,已知5AB =,6AC =,12BD DC =u u u v u u u v ,4AD AC ⋅=u u u v u u u v ,则AB BC ⋅=u u u v u u u vA .-45B .13C .-13D .-372.已知()()()sin cos ,02f x x x πωϕωϕωϕ=+++>,<,()f x 是奇函数,直线2y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π,则( ) A .()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B .()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C .()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D .()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 3.在ABC V 中,已知,2,60a x b B ===o,如果ABC V 有两组解,则x 的取值范围是( )A .432⎛ ⎝⎭,B .432⎡⎢⎣⎦,C .432⎡⎢⎣⎭,D .43⎛ ⎝⎦4.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入N 的值为20,则输出T 的值为A .1B .2C .3D .45.已知两个正数a ,b 满足321a b +=,则32a b+的最小值是( ) A .23B .24C .25D .266.设正项等差数列的前n 项和为,若,则的最小值为 A .1B .C .D .7.已知函数21(1)()2(1)ax x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增,则实数a 的取值范围是 A .[]0,1B .(]0,1C .[]1,1-D .(]1,1-8.设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+-+0,||2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的最小正周期为π,且f x f x -=()(),则( )A .()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B .()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C .()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D .()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增9.函数()lg ||f x x x =的图象可能是( )A .B .C .D .10.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-,且当[]0,1x ∈时,()2cos x f x x =-,则下列结论正确的是( )A .()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B .()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C .()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D .()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时,()32f x x =-,则不等式()0f x >的解集为( )A .33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UB .33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C .33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D .33,0,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.在ABC ∆中,2cos (,b,22A b ca c c+=分别为角,,A B C 的对边),则ABC ∆的形状是( ) A .直角三角形 B .等腰三角形或直角三角形 C .等腰直角三角形D .正三角形二、填空题13.在直角ABC ∆中,三条边恰好为三个连续的自然数,以三个顶点为圆心的扇形的半径为1,若在ABC ∆中随机地选取m 个点,其中有n 个点正好在扇形里面,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为__________.(答案用m ,n 表示) 14.设a >0,b >0,若3是3a 与3b的等比中项,则11a b+的最小值是__. 15.已知函数32()21f x x x ax =+-+在区间上恰有一个极值点,则实数a 的取值范围是____________16.已知2a b ==r r ,()()22a b a b +⋅-=-r r r r ,则a r 与b r的夹角为 .17.函数()2sin sin 3f x x x =+-的最小值为________.18.已知数列{}n a 满足1121,2n n a a a n +==+,则na n的最小值为_______.19.已知l ,m 是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断: ①l ⊥m ;②m ∥α;③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:__________.20.已知点G 是ABC ∆的重心,内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ,且0578a b c GA GB GC ++=u u ur u u u r u u u r r ,则角B 的大小是__________. 三、解答题21.已知函数()()sin 0,03f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,且该函数图象上的最低点的纵坐标为3-. (1)求函数()f x 的解析式;(2)求函数()f x 的单调递增区间及对称轴方程.22.已知2()sin cos f x x x x =+ (1)求函数()f x 的对称轴方程;(2)求函数()f x 在[0,]π上的单调递增区间.23.将函数()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<≤⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象.(1)若()f x 为偶函数,求()fϕ的值;(2)若()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数,求ϕ的取值范围.24.记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和,已知2219a a =,618S =.(1)求{}n a 的通项公式; (2)求n S 的最大值及对应n 的大小.25.已知二次函数()f x 满足()(1)2f x f x x -+=-且(0)1f =. (1)求()f x 的解析式;(2)当[1,1]x ∈-时,不等式()2x m f x >+恒成立,求实数m 的取值范围. 26.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且28S =,38522a a a +=+. (1)求n a ; (2)设数列1{}n S 的前n 项和为n T ,求证:34n T <.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【解析】 【分析】先用AB u u u v 和AC uuu v表示出2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ,再根据,12BD DC =u u u v u u u v 用用AB u u u v 和AC uuu v 表示出AD u u u v,再根据4AD AC ⋅=u u u v u u u v 求出A AB C ⋅u u u v u u u v 的值,最后将A AB C ⋅u u u v u u u v 的值代入2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ,,从而得出答案. 【详解】()2 A =A AB BC AB C AB AB C AB ⋅=⋅-⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ,∵12BD DC =u u u v u u u v ,∴111B C ?C B 222AD A A AD AD A AD A -=-=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v(),整理可得:12 AB 33AD AC +u u u v u u u v u u u v =,221A A 433AD AC AB C C ∴⋅⋅+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v =∴ A =-12AB C ⋅u u u v u u u v , ∴2 =A =122537AB BC AB C AB ⋅⋅---=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v .,故选:D . 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算,注意运用平面向量的基本定理,以及向量的数量积的性质,考查了运算能力,属于中档题.2.A解析:A 【解析】 【分析】首先整理函数的解析式为()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,由函数为奇函数可得4πϕ=-,由最小正周期公式可得4ω=,结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可. 【详解】由函数的解析式可得:()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,函数为奇函数,则当0x =时:()4k k Z πϕπ+=∈.令0k =可得4πϕ=-.因为直线y =与函数()f x 的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π结合最小正周期公式可得:22ππω=,解得:4ω=.故函数的解析式为:()4f x x =. 当3,88x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,34,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,函数在所给区间内单调递减; 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()40,x π∈,函数在所给区间内不具有单调性; 据此可知,只有选项A 的说法正确. 故选A . 【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用,考查了三角函数的周期性、单调性,三角函数解析式的求解等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.A解析:A 【解析】 【分析】已知,,a b B ,若ABC V 有两组解,则sin a B b a <<,可解得x 的取值范围. 【详解】由已知可得sin a B b a <<,则sin602x x ︒<<,解得2x <<故选A. 【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角,用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC V 中,已知,,a b B 且B 为锐角,若0sin b a B <<,则无解;若sin b a B =或b a ≥,则有一解;若sin a B b a <<,则有两解. 4.B 解析:B 【解析】分析:由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值. 详解:结合流程图运行程序如下: 首先初始化数据:20,2,0N i T ===,20102N i ==,结果为整数,执行11T T =+=,13i i =+=,此时不满足5i ≥;203N i =,结果不为整数,执行14i i =+=,此时不满足5i ≥; 2054N i ==,结果为整数,执行12T T =+=,15i i =+=,此时满足5i ≥; 跳出循环,输出2T =. 本题选择B 选项.点睛:识别、运行程序框图和完善程序框图的思路: (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构. (2)要识别、运行程序框图,理解框图所解决的实际问题. (3)按照题目的要求完成解答并验证.5.C解析:C 【解析】 【分析】根据题意,分析可得()323232a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭,对其变形可得326613a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭,由基本不等式分析可得答案. 【详解】根据题意,正数a ,b 满足321a b +=, 则()323266663213132?25a b a b a b a b a b ba b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 当且仅当15a b ==时等号成立. 即32a b+的最小值是25. 本题选择C 选项. 【点睛】在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误.6.D解析:D 【解析】 【分析】先利用等差数列的求和公式得出,再利用等差数列的基本性质得出,再将代数式和相乘,展开后利用基本不等式可求出的最小值.【详解】由等差数列的前项和公式可得,所以,,由等差数列的基本性质可得,, 所以,,当且仅当,即当时,等号成立,因此,的最小值为,故选:D.【点睛】本题考查的等差数列求和公式以及等差数列下标性质的应用,考查利用基本不等式求最值,解题时要充分利用定值条件,并对所求代数式进行配凑,考查计算能力,属于中等题。

【易错题】高中必修二数学下期末试题(含答案)

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2
故选 D. 【点睛】 本题考查三视图求几何体的表面积,由三视图正确复原几何体是解题的关键,考查空间想 象能力.
6.D
解析:D 【解析】
试题分析: AB 2a, AC 2a b , AC AB b ,b AC AB BC .
由题意知 b
2, a b
a b cos120
1
2
1 2
棱 CC1 的中点,则异面直线 AB1 和 BM 所成的角为( )
A.
B.
C.
D.
2
3
11.已知 f x 是定义在 R 上的奇函数,当 x 0 时, f x 3 2x ,则不等式
f x 0 的解集为( )
A.
,
3 2
0,
3 2
B.
,
3 2
3 2
,
C.
3 2
,
3 2
【详解】
因为 b 在 a 上的投影(正射影的数量)为 2 ,
所以| b | cos a, b 2 ,

|
b
|
cos
2 a,
b
,而
1
cos
a,
b
0

所以| b | 2 ,
因为
a
2b
2
(a
2b)2
2
a
4a b
2
4b
|
a
|2
4
|
a
||
b|
cos
a, b
4
| b|2
=16 4 4 (2) 4 | b |2 48 4 | b |2
16.在四面体 ABCD中, AB=AD 2, BAD 60,BCD 90,二面角 A BD C 的大小为150 ,则四面体 ABCD 外接球的半径为__________.

【压轴题】高中必修二数学下期末试题(含答案)

【压轴题】高中必修二数学下期末试题(含答案)

【压轴题】⾼中必修⼆数学下期末试题(含答案)【压轴题】⾼中必修⼆数学下期末试题(含答案)⼀、选择题1.△ABC 的内⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =,2c =,2cos 3A =,则b= A .2B .3C .2D .32.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S = A .5B .7C .9D .113.已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈,则满⾜条件A CB ??的集合C 的个数为()A .1B .2C .3D .44.已知集合{}22(,)1A x y x y =+=,{}(,)B x y y x ==,则A B I 中元素的个数为() A .3B .2C .1D .05.某三棱锥的三视图如图所⽰,则该三棱锥的体积为()A .20B .10C .30D .606.设正项等差数列的前n 项和为,若,则的最⼩值为 A .1 B .C .D .7.已知1sin 34πα??-= ,则cos 23πα??+= ()A .58-B .58C .78-D .788.已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ?++>?=?-+≤在R 上单调递增,则实数a 的取值范围是 A .[]0,1B .(]0,1C .[]1,1-D .(]1,1-9.函数()lg ||f x x x =的图象可能是()A .B .C .D .10.已知0.6log 0.5a =,ln0.5b =,0.50.6c =,则() A .a c b >> B .a b c >>C .c a b >>D .c b a >>11.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若3243S S S =+,12a =,则5a = A .12-B .10-C .10D .1212.如图,在△ABC 中, 13AN NC =u u u v u u u v ,P 是BN 上的⼀点,若29AP m AB AC ??→??→??→=+,则实数m 的值为( )A .B .C .19D .⼆、填空题13.在ABC △中,若223a b bc -= ,sin 23sin C B = ,则A 等于__________. 14.已知函数()3sin(2)cos(2)(||)2 f x x x π=---<的图象关于y 轴对称,则()f x 在区[6π-,5]12π上的最⼤值为__. 15.已知ABC V ,135B o∠=,22,4AB BC ==,求AB AC ?=u u u r u u u r______.16.函数()12x f x =-的定义域是__________. 17.如图,在矩形中,为边的中点,1AB =,2BC =,分别以A 、D 为圆⼼,1为半径作圆弧EB 、EC (在线段AD 上).由两圆弧EB 、EC 及边所围成的平⾯图形绕直线旋转⼀周,则所形成的⼏何体的体积为 .18.若圆x 2+y 2=4和圆x 2+y 2+4x -4y +4=0关于直线l 对称,则直线l 的⽅程为____________.19.若()1,x ∈+∞,则131y x x =+-的最⼩值是_____. 20.在△ABC 中,85a b ==,,⾯积为12,则cos 2C =______.三、解答题21.设ABC ?的内⾓A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且4cos ,25B b ==. (1)当π6A =时,求a 的值;(2)当ABC ?的⾯积为3时,求a+c 的值. 22.已知x ,y ,()0,z ∈+∞,3x y z ++=.(1)求111x y z++的最⼩值(2)证明:2223x y z ≤++.23.已知数列{}n a 是等⽐数列,24a =,32a +是2a 和4a 的等差中项. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设22log 1n n b a =-,求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 24.已知数列{}n a 满⾜11a =,()121n n na n a +=+,设nn a b n=.(1)求123b b b ,,;(2)判断数列{}n b 是否为等⽐数列,并说明理由;(3)求{}n a 的通项公式.25.以原点为圆⼼,半径为r 的圆O 222:()0O x y r r +=>与直线380x --=相切. (1)直线l 过点(6)-且l 截圆O 所得弦长为43l l 的⽅程;(2)设圆O 与x 轴的正半轴的交点为M ,过点M 作两条斜率分别为12,k k 12,k k 的直线交圆O 于,A B 两点,且123k k ?=-,证明:直线AB 恒过⼀个定点,并求出该定点坐标.26.如图,平⾏四边形ABCD 中,E ,F 分别是BC ,DC 的中点,G 为BF 与DE 的交点,若AB a =u u u v v ,AD b =u u u v v ,试以a v ,b v 为基底表⽰DE u u u v 、BF u u uv 、CG u u u v .【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除⼀、选择题 1.D 解析:D 【解析】【分析】【详解】由余弦定理得,解得(舍去),故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单⼀,根据余弦定理整理出关于b 的⼀元⼆次⽅程,再通过解⽅程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考⽣切记!2.A解析:A【解析】1353333,1a a a a a ++===,5153355()25522S a a a a =+=?==,选A. 3.D解析:D 【解析】【分析】【详解】求解⼀元⼆次⽅程,得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=,易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ??,所以根据⼦集的定义,集合C 必须含有元素1,2,且可能含有元素3,4,原题即求集合{}3,4的⼦集个数,即有224=个,故选D. 【点评】本题考查⼦集的概念,不等式,解⼀元⼆次⽅程.本题在求集合个数时,也可采⽤列举法.列出集合C 的所有可能情况,再数个数即可.来年要注意集合的交集运算,考查频度极⾼.4.B解析:B 【解析】试题分析:集合中的元素为点集,由题意,可知集合A 表⽰以()0,0为圆⼼,1为半径的单位圆上所有点组成的集合,集合B 表⽰直线y x =上所有的点组成的集合,⼜圆221x y +=与直线y x =相交于两点,22? ??,22??-- ? ???,则A B I 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时,要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合,这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较⼤,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满⾜互异性.5.B解析:B 【解析】【分析】根据三视图还原⼏何体,根据棱锥体积公式可求得结果. 【详解】由三视图可得⼏何体直观图如下图所⽰:可知三棱锥⾼:4h =;底⾯⾯积:1155322S == ∴三棱锥体积:1115410332V Sh ==??=本题正确选项:B 【点睛】本题考查棱锥体积的求解,关键是能够通过三视图还原⼏何体,从⽽准确求解出三棱锥的⾼和底⾯⾯积. 6.D解析:D 【解析】【分析】先利⽤等差数列的求和公式得出,再利⽤等差数列的基本性质得出,再将代数式和相乘,展开后利⽤基本不等式可求出的最⼩值.【详解】由等差数列的前项和公式可得,所以,,由等差数列的基本性质可得,,所以,,当且仅当,即当时,等号成⽴,因此,的最⼩值为,故选:D.【点睛】本题考查的等差数列求和公式以及等差数列下标性质的应⽤,考查利⽤基本不等式求最值,解题时要充分利⽤定值条件,并对所求代数式进⾏配凑,考查计算能⼒,属于中等题。

高中数学必修二:各章章末检测(含解析)

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章末检测一、选择题1.如图所示的长方体,将其左侧面作为上底面,右侧面作为下底面,水平放置,所得的几何体是( ) A.棱柱B.棱台C.棱柱与棱锥组合体D.无法确定1 题图2 题图2.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图不.可.能.为:①长方形;②正方形;③圆.其中正确的是( ) A.①②B.②③C.①③D.①②3.如图所示的正方体中,M、N分别是AA1、CC1的中点,作四边形D1MBN则四边形D1MBN 在正方体各个面上的正投影图形中,不可能出现的是( )4.如图所示的是水平放置的三角形直观图,D′是△A′B′C′中B′C′边上的一点,且D′离C′比D′离B′近,又A′D′∥y′轴,那么原△ABC 的AB、AD、AC 三条线段中( )A.最长的是AB,最短的是ACB.最长的是AC,最短的是ABC.最长的是AB,最短的是ADD.最长的是AD,最短的是AC4 题图5 题图5.具有如图所示直观图的平面图形ABCD 是( ) A.等腰梯形B.直角梯形C.任意四边形D.平行四边形6.如图是一个几何体的三视图,则在此几何体中,直角三角形的个数是( )A .1B .2C .3D .47. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为()A .6B .9C .12D .188. 平面α截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面α的距离为 2,则此球的体积为() B .4 3πC .4 6πD .6 3π9. 如图所示,则这个几何体的体积等于()A .4B .6C .8D .1210. 将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示,A ,B ,C 分别是△GHI 三边的中点)得到几何体如图 2,则该几何体按图 2 所示方向的侧视图为选项图中的()11. 圆锥的表面积是底面积的 3 倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )A .120°B .150°C .180°D .240°12. 已知三棱锥 S -ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC =2,则此棱锥的体积为()A. 6πA.26二、填空题B.36 C.23 D.2213.一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的(填入所有可能的几何体前的编号).①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱14.已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积等于cm3.15.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是.16.一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示),桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的1,则油桶直立时,油的高度与桶的高度的比值是.4三、解答题17.某个几何体的三视图如图所示(单位:m),(1)求该几何体的表面积(结果保留π);(2)求该几何体的体积(结果保留π).18.如图是一个空间几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是边长为2 的正三角形,俯视图如图.(1)在给定的直角坐标系中作出这个几何体的直观图(不写作法);(2)求这个几何体的体积.19.如图所示,在四边形ABCD 中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2 2,AD=2,求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.20.如图所示,有一块扇形铁皮OAB,∠AOB=60°,OA=72 cm,要剪下来一个扇形环ABCD,作圆台形容器的侧面,并且余下的扇形OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面).试求:(1)AD 的长;(2)容器的容积.= 答案1.A 2.B 3.D 4.C 5.B 6.D 7.B 8.B 9.A 10.A 11.C 12.A 13.①②③⑤ 14.1 15.24π 16.1- 1 4 2π17.解 由三视图可知:该几何体的下半部分是棱长为 2 m 的正方体,上半部分是半径为 1 m 的半球.(1) 几何体的表面积为 S 1× 24π×12+6×22-π×12=24+π(m 2).(2)几何体的体积为 V =23+1×4×π×13=8+2π(m 3).2 3 318.解 (1)直观图如图.(2) 这个几何体是一个四棱锥. 它的底面边长为 2,高为 3,所以体积 V =1×22× 3=4 3.3 319.解 S 表面=S 圆台底面+S 圆台侧面+S 圆锥侧面=π×52+π×(2+5)×5+π×2×2 2=(4 2+60)π.V =V 圆台-V 圆锥 =1π(r 2+r r +r 2)h -12 ′1 12 2 3πr 1h3 =1π(25+10+4)×4-1π×4×2 3 3 148 π. 320.解 (1)设圆台上、下底面半径分别为 r 、R ,AD =x ,则 OD =72-x ,由题意得2πR =60·π×72 180 72-x =3R即 AD 应取 36 cm.R =12,∴ .x =36 (2)∵2πr =π·OD =π·36,3 3 ∴r =6 cm ,圆台的高 h = x 2-(R -r )2= 362-(12-6)2=6 35. ∴V =1 2+Rr +r 2)=1π·6 35·(122+12×6+62)=504 35π(cm 3).πh (R 3 3=章末检测一、选择题1.下列推理错误的是( ) A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂αB.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=ABC.l⊄α,A∈l⇒A∉α D.A∈l,l⊂α⇒A∈α2.长方体ABCD-A1B1C1D1 中,异面直线AB,A1D1 所成的角等于( ) A.30°B.45°C.60°D.90°3.下列命题正确的是( )A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行4.在空间四边形ABCD 的边AB,BC,CD,DA 上分别取E、F、G、H 四点,如果EF,GH 交于一点P,则( )A.P 一定在直线BD 上B.P 一定在直线AC 上C.P 一定在直线AC 或BD 上D.P 既不在直线AC 上,也不在直线BD 上5.给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是( )A.①和②B.②和③C.③和④D.② 和④ 6.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A∉l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( )A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥βD.AC⊥β7.如图(1)所示,在正方形SG1G2G3 中,E,F 分别是G1G2 及G2G3 的中点,D 是EF 的中点,现在沿SE,SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3 三点重合,重合后的点记为G,如图(2)所示,那么,在四面体S-EFG 中必有( )A.SG⊥△EFG 所在平面B.SD⊥△EFG 所在平面C.GF⊥△SEF 所在平面D.GD⊥△SEF 所在平面8.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1 中,若E 是A1C1 的中点,则直线CE 垂直于( )A.AC B.BD C.A1D D.A1D18 题图9 题图9.如图所示,将等腰直角△ABC 沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角,此时∠B′AC=60°,那么这个二面角大小是( ) A.90°B.60°C.45°D.30°10.如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误的是( )A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AD 与CB1 所成的角为60°10 题图11 题图11.如图所示,在长方体ABCD—A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1 与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )A. 63B.2 65C. 155D. 10512.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,CC1=2 2,E 为CC1 的中点,则直线AC1与平面BED 的距离为( )A.2二、填空题D.113.设平面α∥平面β,A、C∈α,B、D∈β,直线AB 与CD 交于点S,且点S 位于平面α,β之间,AS=8,BS=6,CS=12,则SD=.14.下列四个命题:①若a∥b,a∥α,则b∥α;②若a∥α,b⊂α,则a∥b;③若a∥α,则B. 3C. 2a 平行于α内所有的直线;④若a∥α,a∥b,b⊄α,则b∥α.其中正确命题的序号是.15.如图所示,在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1 中,当底面四边形A1B1C1D1 满足条件时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况).15 题图16 题图16.如图所示,已知矩形ABCD 中,AB=3,BC=a,若PA⊥平面AC,在BC 边上取点E,使PE⊥DE,则满足条件的E 点有两个时,a 的取值范围是.三、解答题17.如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为AB、A1D1 的中点,判断MN 与平面A1BC1 的位置关系,为什么?18.ABCD 与ABEF 是两个全等正方形,AM=FN,其中M∈AC,N∈BF.求证:MN∥平面BCE.19.如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是矩形,PA⊥底面ABCD,E 是PC 的中点.已知AB=2,AD=2 2,PA=2.求:(1)三角形PCD 的面积;(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小.20.如图所示,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,底面边长为a,E 是PC 的中点.(1)求证:PA∥面BDE;(2)求证:平面PAC⊥平面BDE;(3)若二面角E-BD-C 为30°,求四棱锥P-ABCD 的体积.21.如图,四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为菱形,PA⊥底面ABCDAC=2 2,PA=2,E 是PC 上的一点,PE=2EC.(1)证明:PC⊥平面BED;(2)设二面角A-PB-C 为90°,求PD 与平面PBC 所成角的大小.答案1.C 2.D 3.C 4.B 5.D 6.D 7.A 8.B 9.A 10.D 11.D 12.D 13.914.④15.B1D1⊥A1C1(答案不唯一)16.a>617.解直线MN∥平面A1BC1,M 为AB 的中点,证明如下:∵MD/∈平面A1BC1,ND/∈平面A1BC1.∴MN⊄平面A1BC1.如图,取A1C1 的中点O1,连接NO1、BO1.∵NO1 綊1D1C1,MB 綊1D1C1,2 2∴NO1 綊MB.∴四边形NO1BM 为平行四边形.∴MN∥BO1.又∵BO1⊂平面A1BC1,∴MN∥平面A1BC1.18.证明如图所示,连接AN,延长交BE 的延长线于P,连接CP.∵BE∥AF,∴FN=AN,NB NP由AC=BF,AM=FN 得MC=NB.∴FN=AM. NB MC∴AM=AN,MC NP∴MN∥PC,又PC⊂平面BCE.AC ∴MN ∥平面 BCE .19. 解 (1)因为 PA ⊥底面 ABCD ,所以 PA ⊥CD .又 AD ⊥CD ,所以 CD ⊥平面 PAD ,从而 CD ⊥PD . 因 为 PD = 22+(2 2)2=2 3,CD =2,所以三角形 PCD 的面积为1×2×2 3=2 3.2(2)如图,取 PB 中点 F ,连接 EF 、AF ,则 EF ∥BC ,从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与 AE 所成的角.在△AEF 中,由 EF = 2,AF = 2,AE =2 知△AEF 是等腰直角三角形, 所以∠AEF =45°.因此,异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 45°. 20.(1)证明 连接 OE ,如图所示.∵O 、E 分别为 AC 、PC 的中点,∴OE ∥P A. ∵OE ⊂面 BDE ,PA ⊄面 BDE , ∴PA ∥面 BDE .(2) 证明 ∵PO ⊥面 ABCD ,∴PO ⊥BD .在正方形 ABCD 中,BD ⊥AC , 又∵PO ∩AC =O , ∴BD ⊥面 PAC . 又∵BD ⊂面 BDE , ∴面 PAC ⊥面 BDE .(3) 解 取 OC 中点 F ,连接 EF .∵E 为 PC 中点,∴EF 为△POC 的中位线,∴EF ∥PO . 又∵PO ⊥面 ABCD ,∴EF ⊥面 ABCD . ∵OF ⊥BD ,∴OE ⊥BD .∴∠EOF 为二面角 E -BD -C 的平面角,∴∠EOF =30°.在 Rt △OEF 中,OF =1OC =1 = 2a ,∴EF =OF ·tan 30°= 6a ,2 4 4 12 ∴OP =2EF = 6a .62 3 ∴V P1 6 6-ABCD= ×a × = . 361821.(1)证明 因为底面 ABCD 为菱形, 所以 BD ⊥AC .又 PA ⊥底面 ABCD ,所以 PC ⊥BD . 如图,设 AC ∩BD =F ,连接 EF .因为 AC =2 2,PA =2,PE =2EC ,故 PC =2 3,EC =2 3,FC = 2,3从而PC= 6,FC AC= 6. EC因为PC =AC,∠FCE =∠PCA ,FC EC所以△FCE ∽△PCA ,∠FEC =∠PAC =90°.由此知 PC ⊥EF . 因为 PC 与平面 BED 内两条相交直线 BD ,EF 都垂直, 所以 PC ⊥平面 BED .(2)解 在平面 PAB 内过点 A 作 AG ⊥PB ,G 为垂足. 因为二面角 A -PB -C 为 90°, 所以平面 PAB ⊥平面 PBC . 又平面 PAB ∩平面 PBC =PB , 故 AG ⊥平面 PBC ,AG ⊥BC .因为 BC 与平面 PAB 内两条相交直线 PA ,AG 都垂直, 故 BC ⊥平面 PAB ,于是 BC ⊥AB , 所以底面 ABCD 为正方形,AD =2, PD = PA 2+AD 2=2 2. 设 D 到平面 PBC 的距离为 d .因为 AD ∥BC ,且 AD ⊄平面 PBC ,BC ⊂平面 PBC ,故 AD ∥平面 PBC ,A 、D 两点到平面 PBC 的距离相等,即 d =AG = 2. 设 PD 与平面 PBC 所成的角为α,则 sin α= d =1.PD 2 所以 PD 与平面 PBC 所成的角为 30°.章末检测一、选择题1.若直线过点(1,2),(4,2+ 3),则此直线的倾斜角是()A .30°B .45°C .60°D .90°2.如果直线 ax +2y +2=0 与直线 3x -y -2=0 平行,则系数 a 为 ( )A .-3B .-6C .-3 2 3.若经过点(3,a )、(-2,0)的直线与经过点(3,-4) 1D.2 3 a 的值为( )且斜率为 的直线垂直,则 2A.5 2B.2 5 C .10 D .-104.过点(1,0)且与直线 x -2y -2=0 平行的直线方程是 ( )A .x -2y -1=0B .x -2y +1=0C .2x +y -2=0D .x +2y -1=05.实数 x ,y 满足方程 x +y -4=0,则 x 2+y 2 的最小值为 A .4 B .6 C .8 ()D .126.点 M (1,2)与直线 l :2x -4y +3=0 的位置关系是 () A .M ∈l B .M ∉l C .重合 D .不确定7.直线 mx +ny -1=0 同时过第一、三、四象限的条件是()A .mn >0B .mn <0C .m >0,n <0D .m <0,n <08. 若点 A (-2,-3),B (-3,-2),直线 l 过点 P (1,1)且与线段 AB 相交,则 l 的斜率 k 的取值范围是() A .k ≤3或 k ≥4B .k ≤-4或 k ≥-34 3 C.3≤k ≤4 3 4 D .-4≤k ≤-34 33 49.已知直线 l 1:ax +4y -2=0 与直线 l 2:2x -5y +b =0 互相垂直,垂足为(1,c ),则 a +b +c 的值为 ()A .-4B .20C .0D .2410.过点 P (0,1)且和 A (3,3),B (5,-1)距离相等的直线的方程是() A .y =1B .2x +y -1=0C .y =1 或 2x +y -1=0D .2x +y -1=0 或 2x +y +1=011. 直线 mx +ny +3=0 在 y 轴上的截距为-3,而且它的倾斜角是直线 3x -y =3 3倾斜角的 2 倍,则 ()A .m =- 3,n =1B .m =- 3,n =-3C .m = 3,n =-3D .m = 3,n =10,7 12. 过点A 3 与B (7,0)的直线 l 1 与过点(2,1),(3,k +1)的直线 l 2 和两坐标轴围成的四边 形内接于一个圆,则实数 k 等于 ()A .-3B .3C .-6D .6二、填空题13.若 O (0,0),A (4,-1)两点到直线 ax +a 2y +6=0 的距离相等,则实数 a =.14. 甲船在某港口的东 50 km ,北 30 km 处,乙船在同一港口的东 14 km ,南 18 km 处,那么甲、乙两船的距离是 .15. 已知直线 l 与直线 y =1,x -y -7=0 分别相交于 P 、Q 两点,线段 PQ 的中点坐标为(1, -1),那么直线 l 的斜率为.16. 已知实数 x ,y 满足 y =-2x +8,当 2≤x ≤3 时,则y的最大值为.x三、解答题17. 已知点 M 是直线 l : 3x -y +3=0 与 x 轴的交点,将直线 l 绕点 M 旋转 30°,求所得到的直线 l ′的方程.18. 求直线 l 1:2x +y -4=0 关于直线 l :3x +4y -1=0 对称的直线 l 2 的方程.19. 在△ABC 中,已知 A (5,-2)、B (7,3),且 AC 边的中点 M 在 y 轴上,BC 边的中点 N 在x 轴上,求:(1) 顶点 C 的坐标; (2) 直线 MN 的方程.20. 如图,已知△ABC 中 A (-8,2),AB 边上的中线 CE 所在直线的方程为x +2y -5=0,AC 边上的中线 BD 所在直线的方程为 2x -5y +8=0, 求直线 BC 的方程.21. 光线沿直线 l 1:x -2y +5=0 射入,遇直线 l :3x -2y +7=0 后反射,求反射光线所在的直线方程.22. 某房地产公司要在荒地 ABCDE (如图)上划出一块长方形地面(不改变方位)建一幢公寓,问如何设计才能使公寓占地面积最大?并求出最大面积(精确到 1 m 2).-5=0 答案1.A 2.B 3.D 4.A 5.C 6.B 7.C 8.C 9.A 10.C 11.D 12.B 13.-2 或 4 或 6 14.60 km15.-23 16.217.解 在 3x -y +3=0 中,令 y =0,得 x =- 3,即 M (- 3,0).∵直线 l 的斜率 k = 3,∴其倾斜角θ=60°.若直线 l 绕点 M 逆时针方向旋转 30°,则直线 l ′的倾斜角为 60°+30° =90°,此时斜率不存在,故其方程为 x =- 3.若直线 l 绕点 M 顺时针方向旋转 30°,则直线 l ′的倾斜角为 60°-30°=30°,此时斜率为 tan 30°= 3,故其方程为 y = 3(x + 3),3 3 即 x - 3y + 3=0.综上所述,所求直线方程为 x + 3=0 或 x - 3y + 3=0.18.解 设直线 l 2 上的动点 P (x ,y ),直线 l 1 上的点 Q (x 0,4-2x 0),且 P 、Q 两点关于直线 l :3x +4y -1=0 对称,则有|3x +4y -1| |3x 0+4(4-2x 0)-1|= , 5 5 y -(4-2x 0)=4.x -x 03 消去 x 0,得 2x +11y +16=0 或 2x +y -4=0(舍). ∴直线 l 2 的方程为 2x +11y +16=0.5+x 0,y 0-219.解 (1)设 C (x 0,y 0),则 AC 中点 M 2 2 ,7+x 0 y 0+3,BC 中点 N 2 2 .∵M 在 y 轴上,∴5+x 0=0,x 0=-5.2 ∵N 在 x 轴上,∴y 0+3=0,y 0=-3,即 C (-5,-3).2 (2)∵M 0,-52 ,N (1,0).∴直线 MN x y 的方程为 + 15=1. - 2 即 5x -2y -5=0.x 0-8y 0+2 ,20. 解 设 B (x 0,y 0),则 AB 中点 E 的坐标为 2 2 ,由条件可得:2x 0-5y 0+8=0x 0-8+2·y 0+2 , 2 2205y 0+8=0 得 , x 0+2y 0-14=0x 2 x 0=6 y 0=4,即 B (6,4),同理可求得 C 点的坐标为(5,0).故所求直线 BC 的方程为y -0=x -5,即 4x -y -20=0.4-0 6-521. 解 设直线 x -2y +5=0 上任意一点 P (x ,y )关于直线 l 的对称点为 P ′(x ,y ),则y 0-y=-2,30 0x +x 0,y +y 0x 0-x又 PP ′的中点 Q 2 2 在l 上, ∴3 x +x 0 y +y 0× -2× 2 2 +7=0,y 0-y =-2,x 0-x3 由 3×x +x 0-(y +y )+7=0.2 可得 P 点的坐标为x 0=-5x +12y -42,y 0=12x +5y +28,13 13代入方程 x -2y +5=0 中,化简得 29x -2y +33=0, ∴所求反射光线所在的直线方程为 29x -2y +33=0.22. 解 在线段 AB 上任取一点 P ,分别向 CD 、DE 作垂线划出一块长方形土地,以 BC ,EA的交点为原点,以 BC ,EA 所在的直线为 x 轴,y 轴,建立直角坐标系,则 AB 的方程为 x + y=1,30 20 x ,20-2x设 P 3 ,则长方形的面积20-2xS =(100-x ) 80- 3 (0≤x ≤30).化简得 S =-2x 2+20+6 000(0≤x ≤30).3 3 当 x =5,y 50= 时,S 最大,其最大值为 6 017 m .3章末检测一、选择题1.方程x2+y2+2ax+2by+a2+b2=0 表示的图形是( )A.以(a,b)为圆心的圆B.以(-a,-b)为圆心的圆C.点(a,b)D.点(-a,-b)2.点P(m,3)与圆(x-2)2+(y-1)2=2 的位置关系为( ) A.点在圆外B.点在圆内C.点在圆上D.与m 的值有关3.空间直角坐标系中,点A(-3,4,0)和B(x,-1,6)的距离为86,则x 的值为( )A.2 B.-8C.2 或-8 D.8 或-24.若直线x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共点,则实数a 的取值范围是( )A.[-3,-1] B.[-1,3]C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)5.设A、B 是直线3x+4y+2=0 与圆x2+y2+4y=0 的两个交点,则线段AB 的垂直平分线的方程是( ) A.4x-3y-2=0 B.4x-3y-6=0C.3x+4y+6=0 D.3x+4y+8=06.圆x2+y2-4x=0 过点P(1,3)的切线方程为( ) A.x+3y-2=0 B.x+3y-4=0C.x-3y+4=0 D.x-3y+2=07.对任意的实数k,直线y=kx+1 与圆x2+y2=2 的位置关系一定是( )A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心8.已知圆O:x2+y2=5 和点A(1,2),则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A.5 B.10 C.252D.2549.将直线2x-y+λ=0 沿x 轴向左平移1 个单位,所得直线与圆x2+y2+2x-4y=0 相切,则实数λ的值为( )A.-3 或7 B.-2 或8 C.0 或10 D.1 或1110.已知圆C:x2+y2-4x=0,l 是过点P(3,0)的直线,则( ) A.l 与C 相交B.l 与C 相切C.l 与C 相离D.以上三个选项均有可能11.若直线mx+2ny-4=0(m、n∈R,n≠m)始终平分圆x2+y2-4x-2y-4=0 的周长,则mn 的取值范围是( )A.(0,1) B.(0,-1)C.(-∞,1) D.(-∞,-1)12.过点P(-2,4)作圆O:(x-2)2+(y-1)2=25 的切线l,直线m:ax-3y=0 与直线l 平行,则直线l 与m 的距离为( )A.4 B.2 C.85D.125二、填空题13.与直线2x+3y-6=0 关于点(1,-1)对称的直线方程为.14.过点P(-2,0)作直线l 交圆x2+y2=1 于A、B 两点,则|PA|·|PB|=.15.若垂直于直线2x+y=0,且与圆x2+y2=5 相切的切线方程为ax+2y+c=0,则ac 的值为.16.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是.三、解答题17.自点A(-3,3)发出的光线l 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0 相切,求光线l 所在直线的方程.18.已知圆x2+y2+x-6y+m=0 与直线x+2y-3=0 相交于P,Q 两点,O 为原点,若OP⊥OQ,求实数m 的值.19.已知圆x2+y2-6mx-2(m-1)y+10m2-2m-24=0(m∈R).(1)求证:不论m 为何值,圆心在同一直线l 上;(2)与l 平行的直线中,哪些与圆相交、相切、相离;(3)求证:任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.20.如图,已知圆O:x2+y2=1 和定点A(2,1),由圆O 外一点P(a,b向圆O 引切线PQ,切点为Q,且有|PQ|=|PA|.(1)求a、b 间关系;(2)求|PQ|的最小值;(3)以P 为圆心作圆,使它与圆O 有公共点,试在其中求出半径最小的圆的方程.1+k 2答案章末检测1.D 2.A 3.C 4.C 5.B 6.D 7.C 8.D 9.A 10.A 11.C 12.A 13.2x +3y +8=0 14.3 15.±5 16.4 317. 解 如图所示,已知圆 C :x 2+y 2-4x -4y +7=0 关于 x 轴对称的圆为 C 1:(x -2)2+(y +2)2=1,其圆心 C 1 的坐标为(2,-2),半径为 1,由光的反射定律知,入射光线所在直线方程与圆 C 1 相切.设l 的方程为 y -3=k (x +3),即 kx -y +3+3k =0. 则|5k +5|=1,即 12k 2+25k +12=0.∴k 1=-4,k 2=-3.3 4则 l 的方程为 4x +3y +3=0 或 3x +4y -3=0.18. 解 设P ,Q 两点坐标为(x 1,y 1)和(x 2,y 2),由 OP ⊥OQ 可得 x 1x 2+y 1y 2=0, x 2+y 2+x -6y +m =0, 由x +2y -3=0, 可得 5y 2-20y +12+m =0.①所以 y 1y 2=12+m,y 1+y 2=4.5 又 x 1x 2=(3-2y 1)(3-2y 2)=9-6(y 1+y 2)+4y 1y 2=9-24+4(12+m ),5所以 x 1x 2+y 1y 2=9-24+4(12+m )+12+m =0,5 5 解得 m =3.将 m =3 代入方程①,可得Δ=202-4×5×15=100>0,可知 m =3 满足题意,即 3 为所求 m 的值.19.(1)证明 配方得:(x -3m )2+[y -(m -1)]2=25,设圆心为(x ,y ),x =3m 则 , y =m -1消去 m 得 x -3y -3=0,则圆心恒在直线 l :x -3y -3=0 上.10 22+12( (2) 解 设与 l 平行的直线是 l 1:x -3y +b =0,则圆心到直线 l 1 的距离为 d =|3m -3(m -1)+b | |3+b |∵圆的半径为 r =5,∴当 d <r ,即-5 10-3<b <5 10-3 时,直线与圆相交; 当 d =r ,即 b =±5 10-3 时,直线与圆相切;当 d >r ,即 b <-5 10-3 或 b >5 10-3 时,直线与圆相离.(3) 证明 对于任一条平行于 l 且与圆相交的直线 l 1:x -3y +b =0,由于圆心到直线 l 1 的距离 d |3+b |弦长=2 r 2-d 2且 r 和 d 均为常量.∴任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等. 20.解 (1)连接 OQ 、OP ,则△OQP 为直角三角形,又|PQ |=|PA |,所以|OP |2=|OQ |2+|PQ |2=1+|PA |2,所以 a 2+b 2=1+(a -2)2+(b -1)2,故 2a +b -3=0.(2)由|PQ |2=|OP |2-1=a 2+b 2-1=a 2+9-12a +4a 2-1=5a 2- 12a +8=5(a -1.2)2+0.8,得|PQ |min =2 5.5 (3)以 P 为圆心的圆与圆 O 有公共点,半径最小时为与圆 O 相切的情形,而这些半径的最小值为圆 O 到直线 l 的距离减去圆 O 的半径,圆心 P 为过原点且与 l 垂直的直线 l ′与 l 的交点 P 0,所以 r = 3 -1=3 5-1,5 又 l ′:x -2y =0,联立 l :2x +y -3=0 得 P 0(6,3).5 5 所以所求圆的方程为(x -6)2+(y -3)2= 3 5-1)2.5 5 510 10= .= ,。

高中数学必修二 北京市丰台区 — 学年度 高一下学期期末练习数学试题(含答案)

高中数学必修二  北京市丰台区 — 学年度 高一下学期期末练习数学试题(含答案)
12.某中学共有教师300名,其中男教师有180名.现要用分层抽样的方法从教师中抽取一个容量为50的样本,应抽取的男教师人数为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求解出分层抽样的抽样比,然后根据每一层入样的个体数等于该层个体数乘以抽样比,由此可计算出结果 .
【详解】因为分层抽样的抽样比为 ,
9.如图所示,在复平面内,复数 , 所对应的点分别为A,B,则 ()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 并结合复数的几何意义得到 的表示.
【详解】因为 , 与 对应, 与 对应,
所以 ,
故选:C.
【点睛】本题考查复数的几何意义的简单运用,难度较易.复数 和复平面内的点 一一对应,同时复数 和平面向量 也一一对应.
丰台区2019~2020学年度第二学期期末练习
高一数学
注意事项:
1.答题前,考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚,并认真核对条形码上的准考证号、姓名,在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码.
2.本次考试所有答题均在答题卡上完成.选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑,如需改动,用橡皮擦除干净后再选涂其它选项.非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写,要求字体工整、字迹清楚.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据球与正方体位置关系,分析出球 半径,由此球的体积可求.
【详解】因为球内切于正方体,所以球的半径等于正方体棱长的 ,
所以球的半径为 ,所以球的体积为 ,
故选:D.
【点睛】本题考查根据正方体与球的相切关系求球的体积,难度较易.当球内切于正方体时,球的半径为正方体棱长的 ;当球外接于正方体时,球的半径为正方体棱长的 .

高中数学必修二期末试卷及答案

高中数学必修二期末试卷及答案

一、选择题:本大题共14小题,每小题4分,共56分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1.在直角坐标系中,已知A(-1,2),B(3,0),那么线段AB中点的坐标为中点的坐标为(().A.(2,2)B.(1,1)C.(-2,-2)D.(-1,-1) 2.右面三视图所表示的几何体是.右面三视图所表示的几何体是(().A.三棱锥.三棱锥B.四棱锥.四棱锥C.五棱锥.五棱锥D.六棱锥.六棱锥3.如果直线x+2y-1=0和y=kx互相平行,则实数k的值为的值为(().A.2 B.21C.-2 D.-214.一个球的体积和表面积在数值上相等,则该球半径的数值为.一个球的体积和表面积在数值上相等,则该球半径的数值为(().A.1 B.2 C.3 D.4 5.下面图形中是正方体展开图的是.下面图形中是正方体展开图的是(().6.圆x2+y2-2x-4y-4=0的圆心坐标是的圆心坐标是(().A.(-2,4) B.(2,-4) C.(-1,2) D.(1,2)7.直线y=2x+1关于y轴对称的直线方程为轴对称的直线方程为(().A.y=-2x+1 B.y=2x-1 C.y=-2x-1 D.y=-x-1 8.已知两条相交直线a,b,a∥平面 a,则b与a 的位置关系是的位置关系是(().A.bÌ平面a B.b⊥平面aC.b∥平面a D.b与平面a相交,或b∥平面a9.在空间中,a,b是不重合的直线,a,b是不重合的平面,则下列条件中可推出是不重合的平面,则下列条件中可推出a∥b的是的是(().A.aÌa,bÌb,a∥b B.a∥a,bÌbC.a⊥a,b⊥a D.a⊥a,bÌa10.圆x2+y2=1和圆x2+y2-6y+5=0的位置关系是的位置关系是(().正视图正视图 侧视图侧视图俯视图俯视图(第2题)11.如图,正方体ABCD —A'B'C'D'中,直线D'A 与DB 所成的角可以表示为所成的角可以表示为(( ). A .∠D'DB B .∠AD' C' C .∠ADBD .∠DBC'12. 圆(x -1)2+(y -1)2=2被x 轴截得的弦长等于轴截得的弦长等于(( ). A . 1 B .23C . 2 D . 3 13.如图,三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中,侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1,底面三角形A 1B 1C 1是正三角形,E 是BC 中点,则下列叙述正确的是中点,则下列叙述正确的是(( ).A .CC 1与B 1E 是异面直线是异面直线 B .AC ⊥平面A 1B 1BAC .AE ,B 1C 1为异面直线,且AE ⊥B 1C 1D .A 1C 1∥平面AB 1E14.有一种圆柱体形状的笔筒,底面半径为4 4 cm cm ,高为12 12 cm cm .现要为100个这种相同规格的笔筒涂色个这种相同规格的笔筒涂色((笔筒内外均要涂色,笔筒厚度忽略不计要涂色,笔筒厚度忽略不计)). 如果每0.5 kg 涂料可以涂1 m 2,那么为这批笔筒涂色约需涂料.,那么为这批笔筒涂色约需涂料.A .1.23 kg B .1.76 kg C .2.46 kg D .3.52 kg 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.分.把答案填在题中横线上. 15.坐标原点到直线4x +3y -12=0的距离为的距离为 .16.以点A (2,0)为圆心,且经过点B (-1,1)的圆的方程是 .17.如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,棱锥A 1——ABCD 的体积与长方体的体积之比为_______________.18.在平面几何中,有如下结论:三边相等的三角形内任意一点到三边的距离之和为定值.拓展到空间,类比平面几何的上述结论,可得:四个面均为等边三角形的四面体内任意一点_______________________________________.三、解答题:本大题共3小题,共28分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 19.已知直线l 经过点经过点((0,-2),其倾斜角是60°. (1)求直线l 的方程;的方程;(2)求直线l 与两坐标轴围成三角形的面积.与两坐标轴围成三角形的面积. 20.如图,在三棱锥P —ABC 中,PC ⊥底面ABC , AB ⊥BC ,D ,E 分别是AB ,PB 的中点.的中点.(1)求证:DE ∥平面P AC ;CBAD A ¢ B ¢C ¢D ¢(第11题)A 1 B 1 C 1 ABEC(第13题)ABC DD1 C 1 B 1 A 1 (第17题)ACPE(2)求证:AB ⊥PB ;21.已知半径为5的圆C 的圆心在x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线4x +3y -29=0相切.相切. (1)求圆C 的方程;的方程;(2)设直线ax -y +5=0与圆C 相交于A ,B 两点,求实数a 的取值范围;的取值范围;(3) 在(2)的条件下,是否存在实数a ,使得过点P (-2,4)的直线l 垂直平分弦AB ?若存在,求出实数a 的值;若不存在,请说明理由.存在,请说明理由.22.为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)且圆心C 在直线L:x-y+1=0上,求圆心为C 的圆的标准方程 23.知圆22:68210C x y x y +--+=和直线:430l kx y k --+=.⑴ 证明:不论证明:不论k 取何值,直线l 和圆C 总相交;总相交;⑵ 当当k 取何值时,圆C 被直线l 截得的弦长最短?并求最短的弦的长度截得的弦长最短?并求最短的弦的长度24知圆C 同时满足下列三个条件:①与y 轴相切;②在直线y =x 上截得弦长为27;③圆心在直线x -3y =0上. 求圆C 的方程. 25,已知△ABC 是正三角形,EA 、CD 都垂直于平面ABC ,且EA=AB=2a,DC=a,F 是BE 的中点,求证:(1) FD ∥平面ABC; (2) AF ⊥平面EDB.26.图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 、G 分别是CB 、CD 、CC 1的中点,的中点, (1) 求证:平面A B 1D 1∥平面EFG; (2) 求证:平面AA 1C ⊥面EFG.F EDCBAM FGE C1D1A1B1DC ABPD 1B 1D B。

高中数学选择性必修二 高二数学上学期期末测试卷01()(含答案)

高中数学选择性必修二 高二数学上学期期末测试卷01()(含答案)

2021-2022学年上学期期末卷01高二数学·全解全析【解析由214y x =化为24x y =,抛物线焦点在y 轴正半轴,且2p =, 则准线方程为1y =-. 故选:A .2.【答案】D【解析】当4k =时,直线1l 的斜率不存在,直线2l 的斜率存在,两直线不平行;当4k ≠时,两直线平行的一个必要条件是334kk k-=--,解得3k =或5k =,但必须满足截距不相等,经检验知3k =或5k =时两直线的截距都不相等. 故选:D . 3.【答案】C【解析】联立2010x y x y -=⎧⎨--=⎩得12x y =-⎧⎨=-⎩. 把12x y =-⎧⎨=-⎩代入280x ky ++=得3k =.故选:C4.【答案】B【解析】①当0b =时,a 与c 不一定共线,故①错误;②当a ,b ,c 共面时,它们所在的直线平行于同一平面,或在同一平面内, 故②错误;由空间向量基本定理知③正确;④当a ,b 不共线且c a b λμ=+时,a ,b ,c 共面,故④错误. 故选:B . 5.【答案】B【解析】在等差数列{}n a 中573a a =,所以7723a d a -=,所以()72+0a d =,即80a =, 又等差数列{}n a 中10a >,公差0d <,所以等差数列{}n a 是单调递减数列,所以1278910...0...a a a a a a >>>>=>>,所以等差数列{}n a 的前n 项和为n S 取得最大值,则n 的值为7或8. 故选:B .6.【答案】D【解析】设该高阶等差数列的第8项为x , 根据所给定义,用数列的后一项减去前一项得到一个数列,得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列,即得到了一个等差数列,如图:由图可得341295y x y -=⎧⎨-=⎩,则14146x y =⎧⎨=⎩. 故选:D 7.【答案】B【解析】设P 为第一象限的交点,1||PF m =、2||PF n =, 则12m n a +=、22m n a -=,解得12m a a =+、12n a a =-,在12PF F ∆中,由余弦定理得:2221241cos 22m n mn F c F P +-∠==,∴2224m n mn c +-=,∴22212121212()()()()4a a a a a a a a c ++--+-=,∴2221234a a c +=,∴22122234a a c c+=,∴2221314e e +=,设112sin e α=,21e α,则12112sin )6e e πααα+==+,当3πα=时,1211e e +,此时1e =2e,12e e +=故选:B8.【答案】D【解析】在①中,∵1111AC B D ⊥,111A C BB ⊥,1111B D BB B ⋂=, 且111,B D BB ⊂平面11BB D ,∴11A C ⊥平面11BB D ,1BD ⊂平面11BB D , ∴111AC BD ⊥, 同理,11DC BD ⊥, ∵1111AC DC C ⋂=,且111,A C DC ⊂平面11AC D , ∴直线1BD ⊥平面11AC D ,正确; 在②中,∵11//A D B C ,1A D ⊂平面11AC D ,1B C ⊄平面11AC D ,∴1//B C 平面11AC D ,∵点P 在线段1B C 上运动,∴P 到平面11AC D 的距离为定值,又11A C D 的面积是定值, ∴三棱锥11P AC D -的体积为定值,正确; 在③中,∵11//A D B C ,∴异面直线AP 与1A D 所成角为直线AP 与直线1B C 的夹角. 易知1AB C 为等边三角形, 当P 为1B C 的中点时,1AP B C ⊥;当P 与点1B 或C 重合时,直线AP 与直线1B C 的夹角为3π.故异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,错误;在④中,以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,1DD 为z 轴,建立空间直角坐标系,设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则(),1,P a a ,()10,1,1C ,()1,1,0B ,()10,0,1D , 所以()1,0,1C P a a =-,()11,1,1D B =-.由①正确:可知()11,1,1D B =-是平面11AC D 的一个法向量,∴直线1C P 与平面11AC D所成角的正弦值为:1111C P D B C P D Ba ⋅==⋅, ∴当12a =时,直线1C P 与平面11AC D ,正确. 故选:D9.【答案】CD【解析】对于A :在平行六面体1111ABCD A B C D -中,有11B B BC BC +=,()11//B B BC A D ∴+,故A 错误;对于B :111111A A A D A B A D A B BD +-=-=,1AB AD ==,60BAD ︒∠=,21BD =,又2111A B =,∴()22111111A A A D A BA B +-=,故B 错误;对于C :11A B AD AB AD DB -=-=,()111AC A B AD ⋅-=()11()()()()AB AD AA AB AD AB AD AB AD AA AB AD ++⋅-=+⋅-+⋅-,由题知,1AB AD ==,12AA =,1145BAA DAA ∠=∠=︒,60BAD ∠=︒,所以,()221111AC A B AD AB AD AA ⋅-=-+10AB AA AD ⋅-⋅=,故C 正确; 对于D:AC AB AD =+,111AC AC AA AB AD AA =+=++,21AC =()21AB AD AA ++222111||||222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅112211cos6021cos 45︒︒+⨯⨯⨯+⨯21cos 459︒+⨯=.所以13AC =.故D 正确,故选:CD. 10.【答案】ABC【解析】由圆22:4O x y +=可得圆心()0,0O ,半径2r ,对于A :因为2PQ OP OQ ===,所以POQ △是边长为2的等边三角形, 若PQ 中点为M ,则OM PQ ⊥,且OM =所以点M 的轨迹是以()0,0O所以点M 的轨迹方程为223x y +=,故选项A 正确;对于B :设()00,P x y ,BP 中点为(),x y ,则00222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以00222x x y y =-⎧⎨=⎩,因为()00,P x y 在圆22:4O x y +=上,所以22004x y +=,所以()()222224x y -+=,所以()2211x y -+=即BP 中点轨迹方程为()2211x y -+=,故选项B 正确; 对于C :设()00,P x y ,CP 的中点(),x y ,则00322x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以00232x x y y =-⎧⎨=⎩,因为()00,P x y 在圆22:4O x y +=上,所以22004x y +=,所以()()222324x y -+=,即22312x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,所以CP 的中点轨迹方程为22312x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,故选项C 正确;对于D :设AP 的中垂线与OP 的交点为M ,由垂直平分线的性质可得MA MP =,所以21MO MA MO MP OP OA +=+==>=,所以点M 的轨迹是以O ,A 为焦点,长轴长为2的椭圆,故选项D 不正确; 故选:ABC .11.【答案】ACD 【解析】对于选项A ,令2y t x+=,则2y tx =-, 因为点(),P x y 在圆22:(1)(1)2C x y -+-=上,所以直线2y tx =-与圆22:(1)(1)2C x y -+-=有交点,因此圆心到直线的距离d =≤7k ≤-或1k ,故A 正确; 对于选项B ,由10kx y k ---=,得()()110k x y --+=,因此直线10kx y k ---=过定点()1,1P -,因为213312PM k +==-,111312PN k +==---,且313-<<,所以12k ≤-或32k ≥,故B 错误;对于选项C ,圆222(0)x y r r +=>的圆心直线l的距离2d =因为点(),P a b 是圆222(0)x y r r +=>外一点,所以222a b r +>,因此2d r =<,即直线与圆相交,故C 正确;对于选项D ,到点()1,0N 的距离为1点在圆()2211x y -+=上, 由题意可知,圆()2211x y -+=与圆222:(4)(4)(0)M x y r r -+-=>相交, 故圆心距5d MN ==,且11r d r -<<+,解得46r <<,故D 正确. 故选:ACD .12.【答案】BCD【解析】22:21n n C x y a n +=++的圆心为()0,0,半径为r =所以圆心到直线:n l y x =d ==则()()2224421n n n A B r d a =-=+,所以121n n a a +=+,则()1121n n a a ++=+所以()111122n n n a a -+=+=,得21n n a =- ,故A 错,B 正确;前n 项和为()12122212n n n S n n +-=-=---,故C 正确;由()()11111111122111221212121212121ii n nnni i n n i i i i i i i a a +++++===+-⎛⎫==-=-= ⎪------⎝⎭∑∑∑,故D 正确. 故选:BCD13.【答案】1【解析】圆C :()()22211x k y k -++-=的圆心为()21,k k -因为圆C 与x 轴和y 轴均相切,所以211k k -== 解得1k = 故答案为:114.【答案】14【解析】因为四面体ABCD 的每条棱长都等于1,点G 是棱CD 的中点,所以AG AC CG =+,且12CG =,1AC =,1BC =,所以()AC CG A BC AG BC BC BC C CG ⋅=⋅⋅+=+⋅ 111cos60cos120244AC BC G BC C ⋅=-⋅⋅+⋅==, 故答案为:1. 15.-【解析】如图,取1PF 的中点A ,连接OA ,12OA OF OP ∴=+,212OA F P =, ∴12OFOP F P +=,11()0PF OF OP +=,∴120PF F P =,∴12PF F P ⊥,12||2||PF PF =,不妨设2||PF m =,则1||PF , 21||||2PF PF a m +==,1)ma ∴==,12||2F F c =,2222242334(3cm m m a∴=+==⨯-,∴2229c a=-=,e ∴=-16.【答案】20202021-【解析】由题意可知,对任意的n *∈N ,0n a >且22n n n S a a =+.当1n =时,则21112a a a =+,解得11a =.当2n ≥时,由22n n n S a a =+可得21112n n n S a a ---=+,上述两式作差得22112n n n n n a a a a a --=-+-,可得()()1110n n n n a a a a --+--=, 所以,11n n a a --=,所以,数列{}n a 是等差数列,且首项和公差均为1,则11n a n n =+-=,()12n n n S +=, 则()()()()211211111112nn n n n n a c n n n n n S +⎛⎫=+ ⎪++=--⎝+=⎭-, 因此,数列{}n c 的前2020项之和为202011111111202011223342020202120212021T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++++=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为:20202021-. 17.【解析】(1)因为11n n n S S a +=++,所以11n n n S S a +-=+,即11n n a a +=+, 所以数列{}n a 是首项为1a ,公差为1的等差数列.选①.由4713a a +=,得113613a d a d +++=,即12139a d =-, 所以1213914a =-⨯=,解得12a =.所以()()112111n a a n d n n =+-=+-⨯=+, 即数列{}n a 的通项公式为1n a n =+.选②.由1a ,3a ,7a 成等比数列,得()()211126a d a a d +=+,则2221111446a a d d a a d ++=+,所以12a =.所以()()112111n a a n d n n =+-=+-⨯=+.选③.因为10111091010452S a d a d ⨯=+⨯=+, 所以11045165a +⨯=,所以12a =.所以()()112111n a a n d n n =+-=+-=+.(2)由题可知122n n na n +=,所以2323412222n n n T +=+++⋅⋅⋅+, 所以234112*********n n n n n T ++=+++⋅⋅⋅++,两式相减,得23411111111222222n n n n T ++=++++⋅⋅⋅+-2311111111112222222n n n -++⎛⎫=+⨯++++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 111111133212222212nn n n n ++-++=+⨯-=--, 所以332n n n T +=-.18.【解析】(1)在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD ,则,,AB AD AP 两两垂直,以A 为原点,射线,,AB AD AP 分别为x ,y ,z 轴非负半轴建立空间直角坐标系,如图:则(0,0,0)A ,()2,0,0B ,()0,0,4P ,()2,4,0C ,()0,4,0D ,连BD,则BD =BP =BD BP ,PBD △是等腰三角形,而M 是PD 上一点,且BM PD ⊥,于是得M 是PD 的中点,即()0,2,2M , 因此,()2,4,0AC =,()0,2,2AM =,()2,0,0AB =,设平面ACM 的一个法向量为(,,)n x y z =,则240220n AC x y n AM y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩,令1z =,得()2,1,1n =-,所以点B 到平面ACM的距离为46AB n h n⋅===. (2)由(1)知,()2,2,2BM =-,()2,4,4PC =-,则4cos ,||||12BMPC BM PC BM PC ⋅-〈〉===所以异面直线BM 与PC 19.【解析】(1)证明:因为直线()():2129120l k x k y k ++-+-=,所以()()292120k x y x y -+++-=.令2902120x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得36x y =⎧⎨=⎩,所以不论k 取何值,直线l 必过定点()3,6P .(2)由(1)知:直线l 经过圆C 内一定点()3,6P ,圆心()2,3C , 设圆心C 到直线l 的距离为d ,则12ABCSAB d=== 因为(0,d∈,所以d =ABC 面积的最大值为4. 20.【解析】(1)证明:连接BO ,AB BC ==O 是AC 的中点,BO AC ∴⊥,且 2BO =, 又 2PA PC PB AC ====,,PO AC PO ∴⊥=222PB PO BO =+,则PO OB ⊥, OB AC O =,OB ⊂平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,PO ∴⊥平面ABC, (2)解:建立以 O 为坐标原点,,,OB OC OP 分别为,,x y z 轴的空间直角坐标系如图所示,则()0,2,0A -,(0,0,P ,()0,2,0C ,()2,0,0B ,设(2,2,0)BM BC λλλ==-()01λ≤≤,则()()(2,2,0)2,2,022,22,0AM BM BA λλλλ=-=----=-+, 则平面PAC 的法向量为()1,0,0m =, 设平面MPA的法向量(,,),n x y z = 则(0,2,PA =-- 20,n PA y ⋅=--= ()()22220n AM xy λλ⋅=-++=,令1z =,则y =(11x λλ+=-,二面角M PA C --为30︒,∴3cos302m n m n︒⋅==⋅, 即31=+⨯13λ= 或 3λ=( 舍 ),设平面MPA 的法向量(23,n =,(0,2,PC =-, 设PC 与平面PAM 所成的角为θ,则|sin |cos ,|12PC n θ-=<>===+所以PC 与平面P AM21.【解析】(1)由题意,从今年起每年生活垃圾的总量(单位:万吨)构成数列{}n a ,每年以环保方式处理的垃圾量(单位:万吨)构成数列{}n b ,∴{}n a 是以20(1+5%)为首项,1+5%为公比的等比数列;{}n b 是以6 1.57.5+=为首项,1.5为公差的等差数列,∴()2015%nn a =+,6 1.5n b n =+.(2)设今年起n 年内通过填埋方式处理的垃圾总量为n S , ∴()()11n n n S a b a b =-++-()()1212n n a a a b b b =+++-+++()()220 1.0520 1.0520 1.057.596 1.5n n =⨯+⨯++⨯-++++()()()20 1.051 1.057.56 1.51 1.052n n n +⨯-=-++-2327420 1.0542044n n n =⨯---, 当5n =时,63.5n S ≈.∴今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.22.【解析】(1)12c e a ==,1AF a c =-=,∴2a =,1c =,2223b a c =-=,∴22143x y +=; (2)设()11,C x y ,()22,D x y ,则()11,B x y --,CF :1x my =-联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ∴()234690m y my +--=,∴122122934634y y m m y y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩()()()()()()22121211212212121212121121232321212y y x y my y my k x my y y y k y x y my y my my y y x ----+-=====+-+++-1221211229627333434343993434m m m y y m m m m my y m m -⎛⎫---+ ⎪++⎝⎭+===--++++。

高中数学必修二期末考试试卷(三)(含答案解析)

高中数学必修二期末考试试卷(三)(含答案解析)

高中数学必修二期末考试试卷(三)(含答案解析)(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.直线l 经过原点和(1,-1),则l 的倾斜角是( ) A.45° B.-45° C.135° D.45°和135° 答案 C解析 ∵直线l 经过坐标原点和点(1,-1),∴直线l 的斜率k =-11=-1,∴直线l 的倾斜角α=135°,故选C.2.已知过点M (-2,a ),N (a,4)的直线的斜率为-12,则|MN |等于( )A.10B.180C.6 3D.6 5考点 两点间的距离公式 题点 求两点间的距离 答案 D 解析 k MN =a -4-2-a=-12,解得a =10,即M (-2,10),N (10,4),所以|MN |=(-2-10)2+(10-4)2=65,故选D.3.设点A (2,-3),B (-3,-2),直线过P (1,1)且与线段AB 相交,则l 的斜率k 的取值范围是( )A.k ≥34或k ≤-4B.-4≤k ≤34C.-34≤k ≤4D.以上都不对考点 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 题点 倾斜角和斜率关系的其他应用 答案 A解析 建立如图所示的直角坐标系.由图可得k ≥k PB 或k ≤k P A .∵k PB =34,k P A =-4,∴k ≥34或k ≤-4.4.若光线从点P (-3,3)射到y 轴上,经y 轴反射后经过点Q (-1,-5),则光线从点P 到点Q 走过的路程为( ) A.10 B.5+17 C.4 5D.217考点 对称问题的求法 题点 光路可逆问题 答案 C解析 Q (-1,-5)关于y 轴的对称点为Q 1(1,-5),易知光线从点P 到点Q 走过的路程为|PQ 1|=42+(-8)2=4 5.5.到直线3x -4y -1=0的距离为2的直线方程是( ) A.3x -4y -11=0B.3x -4y -11=0或3x -4y +9=0C.3x -4y +9=0D.3x -4y +11=0或3x -4y -9=0 答案 B解析 直线3x -4y -11=0与3x -4y +9=0到直线3x -4y -1=0的距离均为2, 又因为直线3x -4y +11=0到直线3x -4y -1=0的距离为125,故不能选择A ,C ,D ,所以答案为B.6.过两点(-1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( ) A.-32 B.-23 C.25 D.2考点 直线的两点式方程 题点 利用两点式求直线方程 答案 A解析 由两点式y -19-1=x +13+1,得y =2x +3,令y =0,得x =-32,即为在x 轴上的截距.7.若直线mx +ny +2=0平行于直线x -2y +5=0,且在y 轴上的截距为1,则m ,n 的值分别为( ) A.1和2 B.-1和2 C.1和-2D.-1和-2 考点 直线的一般式方程与直线的平行关系 题点 根据平行求参数的值答案 C解析 由已知得直线mx +ny +2=0过点(0,1),则n =-2,又因为两直线平行,所以-m n =12,解得m =1.8.若直线(2m -3)x -(m -2)y +m +1=0恒过某个点P ,则点P 的坐标为( ) A.(3,5) B.(-3,5) C.(-3,-5) D.(3,-5)答案 C解析 方程(2m -3)x -(m -2)y +m +1=0可整理得m (2x -y +1)-(3x -2y -1)=0,联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x -y +1=0,3x -2y -1=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =-3,y =-5.故P (-3,-5).9.若直线l 1:y =k (x -4)与直线l 2关于点(2,1)对称,则直线l 2过定点( ) A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4)D.(4,-2)考点 对称问题的求法 题点 直线关于点的对称问题 答案 B解析 ∵l 1:y =k (x -4)过定点M (4,0), 而点M 关于点(2,1)的对称点为N (0,2), 故直线l 2过定点(0,2).10.直线y =ax +1a的图象可能是( )考点 直线的斜截式方程 题点 直线斜截式方程的应用 答案 B解析 根据斜截式方程知,斜率与直线在y 轴上的纵截距同正负.11.若直线x -2y +5=0与直线2x +my -6=0互相垂直,则实数m 等于( ) A.-1 B.1 C.12 D.-12考点 直线的一般式方程与直线的垂直关系 题点 根据垂直求参数的值 答案 B解析 由两直线垂直,得12×⎝⎛⎭⎫-2m =-1,解得m =1. 12.已知直线x -2y +m =0(m >0)与直线x +ny -3=0互相平行,且两者之间的距离是5,则m +n 等于( ) A.-1 B.0 C.1 D.2考点 两条平行直线间的距离公式及应用 题点 利用两条平行直线间的距离求参数的值 答案 B解析 由题意知,所给两条直线平行,∴n =-2. 由两条平行直线间的距离公式,得d =|m +3|12+(-2)2=|m +3|5=5,解得m =2或m =-8(舍去),∴m +n =0.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.过点(-2,-3)且在x 轴,y 轴上的截距相等的直线方程为____________. 考点 直线的截距式方程 题点 利用截距式求直线方程 答案 x +y +5=0或3x -2y =0解析 当直线过原点时,所求直线的方程为3x -2y =0;当直线不过原点时,所求直线的方程为x +y +5=0.14.过两直线x -3y +1=0和3x +y -3=0的交点,并且与原点的最短距离为12的直线的方程为________.答案 x =12或x -3y +1=0解析 易求得两直线交点的坐标为⎝⎛⎭⎫12,32,当斜率不存在时,显然直线x =12满足条件.当斜率存在时,设过该点的直线方程为y -32=k ⎝⎛⎭⎫x -12, 化为一般式得2kx -2y +3-k =0, 因为直线与原点的最短距离为12,所以|3-k |4+4k 2=12,解得k =33,所以所求直线的方程为x -3y +1=0.15.已知直线x -2y -2k =0与两坐标轴围成的三角形的面积不大于1,则实数k 的取值范围是________________. 答案 [-1,0)∪(0,1]解析 令x =0,得y =-k ,令y =0,得x =2k , ∴三角形的面积S =12|xy |=k 2.又S ≤1,即k 2≤1.∴-1≤k ≤1.又当k =0时,直线过原点,与两坐标轴构不成三角形,故应舍去. ∴实数k 的取值范围是[-1,0)∪(0,1].16.已知直线l 与直线y =1,x -y -7=0分别相交于P ,Q 两点,线段PQ 的中点坐标为(1,-1),那么直线l 的斜率为________. 考点 中点坐标公式 题点 求过中点的直线方程 答案 -23解析 设P (x,1),则Q (2-x ,-3),将点Q 的坐标代入x -y -7=0,得2-x +3-7=0. ∴x =-2,∴P (-2,1),∴k l =-23.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知点M 是直线l :3x -y +3=0与x 轴的交点,将直线l 绕点M 旋转30°,求所得直线l ′的方程. 考点 直线的一般式方程题点 求直线的一般式方程及各种方程的互化 解 在3x -y +3=0中,令y =0,得x =-3, 即M (-3,0).∵直线l 的斜率k =3,∴其倾斜角θ=60°. 若直线l 绕点M 逆时针方向旋转30°, 则直线l ′的倾斜角为60°+30°=90°, 此时斜率不存在,故其方程为x =- 3.若直线l 绕点M 顺时针方向旋转30°,则直线l ′的倾斜角为60°-30°=30°,此时斜率为tan 30°=33, 故其方程为y =33(x +3),即x -3y +3=0. 综上所述,所求直线方程为x +3=0或x -3y +3=0.18.(12分)已知直线l 经过点(0,-2),其倾斜角的大小是60°. (1)求直线l 的方程;(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积.解 (1)由直线的点斜式方程得直线l 的方程为y +2=tan 60°·x ,即3x -y -2=0. (2)设直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为A ,B , 令y =0得x =233;令x =0得y =-2.所以S △AOB =12|OA |·|OB |=12×233×2=233,故所求三角形的面积为233.19.(12分)已知直线l 1的方程为x +2y -4=0,若l 2在x 轴上的截距为32,且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标;(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点,且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍,求l 3的方程. 解 (1)设l 2的方程为2x -y +m =0, 因为l 2在x 轴上的截距为32,所以3-0+m =0,m =-3, 即l 2:2x -y -3=0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x +2y -4=0,2x -y -3=0得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =1.直线l 1与l 2的交点坐标为(2,1). (2)当l 3过原点时,l 3的方程为y =12x .当l 3不过原点时,设l 3的方程为x a +y2a =1(a ≠0),又直线l 3经过l 1与l 2的交点, 所以2a +12a =1,得a =52,l 3的方程为2x +y -5=0.综上,l 3的方程为x -2y =0或2x +y -5=0.20.(12分)已知点A (5,1)关于x 轴的对称点为B (x 1,y 1),关于原点的对称点为C (x 2,y 2). (1)求△ABC 中过AB ,BC 边上中点的直线方程; (2)求△ABC 的面积. 考点 中点坐标公式 题点 与中位线有关的问题解 (1)∵点A (5,1)关于x 轴的对称点为B (x 1,y 1),∴B (5,-1), 又∵点A (5,1)关于原点的对称点为C (x 2,y 2), ∴C (-5,-1),∴AB 的中点坐标是(5,0),BC 的中点坐标是(0,-1).过(5,0),(0,-1)的直线方程是y -0-1-0=x -50-5, 整理得x -5y -5=0.(2)易知|AB |=|-1-1|=2,|BC |=|-5-5|=10,AB ⊥BC , ∴△ABC 的面积S =12|AB |·|BC |=12×2×10=10.21.(12分)已知直线l 1:y =-k (x -a )和直线l 2在x 轴上的截距相等,且它们的倾斜角互补,又知直线l 1过点P (-3,3).如果点Q (2,2)到直线l 2的距离为1,求l 2的方程. 考点 直线的一般式方程题点 求直线的一般式方程及各种方程的互化 解 由题意,可设直线l 2的方程为y =k (x -a ), 即kx -y -ak =0,∵点Q (2,2)到直线l 2的距离为1,∴|2k -2-ak |k 2+1=1,①又∵直线l 1的方程为y =-k (x -a ), 且直线l 1过点P (-3,3),∴ak =3-3k .② 由①②得|5k -5|k 2+1=1,两边平方整理得12k 2-25k +12=0,解得k =43或k =34.∴当k =43时,代入②得a =-34,此时直线l 2的方程为4x -3y +3=0;当k =34时,代入②得a =1,此时直线l 2的方程为3x -4y -3=0.综上所述,直线l 2的方程为4x -3y +3=0或3x -4y -3=0.22.(12分)已知直线l :y =4x 和点P (6,4),点A 为第一象限内的点且在直线l 上,直线P A 交x 轴的正半轴于点B ,(1)当OP ⊥AB 时,求AB 所在直线的方程;(2)求△OAB 面积的最小值,并求当△OAB 面积取最小值时点B 的坐标. 考点 点到直线的距离题点 与点到直线的距离有关的最值问题解 (1)∵点P (6,4),∴k OP =23.又∵OP ⊥AB ,∴k AB =-32.∵AB 过点P (6,4),∴直线AB 的方程为y -4=-32(x -6),化为一般式可得3x +2y -26=0.(2)设点A (a,4a ),a >0,点B 的坐标为(b,0),b >0,当直线AB 的斜率不存在时,a =b =6,此时△OAB 的面积S =12×6×24=72.当直线AB 的斜率存在时,有4a -4a -6=0-4b -6,解得b =5aa -1, 故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫5a a -1,0,故△OAB 的面积S =12·5a a -1·4a =10a 2a -1,即10a 2-Sa +S =0.①由题意可得方程10a 2-Sa +S =0有解, 故判别式Δ=S 2-40S ≥0,∴S ≥40,故S 的最小值为40,此时①为a 2-4a +4=0,解得a =2. 综上可得,△OAB 面积的最小值为40, 当△OAB 面积取最小值时,点B 的坐标为(10,0).。

高中数学必修二期末测习题二及答案

高中数学必修二期末测习题二及答案

有德教育高中数学必修二期末测试题二一、选择题。

1.倾斜角为135,在y轴上的截距为1的直线方程是〔A.x y10 B .x y10 C .x y10D.2.原点在直线l上的射影是P(-2,1),那么直线l的方程是〔A.x2y 0B.x2y4 0C.2x y50D.2xy33.如果直线l是平面的斜线,那么在平面内()A.不存在与l平行的直线B.不存在与l垂直的直C.与l垂直的直线只有一条D.与l平行的直线有无4.过空间一点作平面,使其同时与两条异面直线平行,这样的平面〔A.只有一个B.至多有两个C.不一定有D.有无数个5.直线ax3y90与直线x3yb0关于原点对称,那么a,b的A.a=1,b=9B.a=-1,b=9C.a=1,b=-9D.a=-1,b=-96.直线y kx b上两点P、Q的横坐标分别为x1,x2,那么|PQ|为A.122.12x1k B x kx1x2Dx1x2C.2.17.直线l通过点(1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为有德教育A .100cm B.208cm C.500cm D.33 33310.在体积为15的斜三棱柱ABC-A1B1C1中,S是C1C上的一点,S-ABC的体积为3,那么三棱锥S-A1B1C1的体积为〔〕A.1B.3C.2D.3211.点A(2,3)、B(3,2)直线l过点P(1,1),且与线段AB相交,那么直线l的斜率的取值k范围是〔〕A.k3或k4B.k3或k1444C.4k3D.3k44412.过点〔1,2〕,且与原点距离最大的直线方程是〔〕A.x2y50B.2xy40C.x3y70二、填空题。

13.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是14.过点(-6,4),且与直线x2y30垂直的直线方程是15.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,BC1与平面BB1D1D所成是.16.两点A(1,2),B(2,1),直线x2ym0与线段AB相那么m的取值范围是.17.如图,△ABC为正三角形,且直线BC的倾斜角是45°,那么有德教育20.正三棱台的上、下底边长为3和6.〔Ⅰ〕假设侧面与底面所成的角是60°,求此三棱台的体积;〔Ⅱ〕假设侧棱与底面所成的角是60°,求此三棱台的侧面积;21.在△ABC中,BC边上的高所在的直线的方程为x2y10,为y 0,假设点B的坐标为〔1,2〕,求点A和点C的坐标..22. 如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M为棱AB的中点.〔Ⅰ〕AC1//平面B1MC;〔Ⅱ〕求证:平面D1B1C⊥平面B1MC.有德教育22.如图,射线OA、OB分别与x轴成45角和30角,过点P(1,交于A、B.〔Ⅰ〕当AB的中点为P时,求直线AB的方程;〔Ⅱ〕当AB的中点在直线y1x上时,求直线AB的方程.2必修2复习训练题二参考答案题号12345678答案D C A C D A A B 13.xy50,3x2y014.2xy16015.30°16.[4,5]17.105°;165°1819.x y 7 0和3x y 22 0.有德教育解得 a 5,b 6,即C的坐标为 (5,6).22.〔Ⅰ〕MO//AC1;〔Ⅱ〕MO∥AC1,AC1⊥平面D1B1C,MO⊥平面D1B1C,平面D1B1C⊥23.解:〔Ⅰ〕由题意得,OA的方程为y x,OB的方程为y3B(3b,b)。

高中数学必修二 期末模拟卷03(无答案)

高中数学必修二  期末模拟卷03(无答案)

期末模拟卷3一.选择题(共8小题)1.复数z满足z(1+i)=1﹣i,则z的虚部等于()A.﹣i B.﹣1C.0D.12.在一个随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D发生的概率分别为0.1,0.1,0.4,0.4,则下列说法正确的是()A.A与B+C是互斥事件,也是对立事件B.B+C与D是互斥事件,也是对立事件C.A+B与C+D是互斥事件,但不是对立事件D.A+C与B+D是互斥事件,也是对立事件3.已知△ABC中,AB=2,BC=3,AC=,则cos B=()A.B.C.D.4.如图,非零向量,,且BC⊥OA,C为垂足,若,则λ=()A.B.C.D.5.某班统计一次数学测验的平均分与方差,计算完毕以后才发现有位同学的卷子还未登分,只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为、s2,新平均分和新方差分别为、s12,若此同学的得分恰好为,则()A.=,s2=s12B.=,s2<s12C.=,s2>s12D.<,s2=s126.如图所示,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形OA'B'C',且直观图OA'B'C'的面积为2,则该平面图形的面积为()A.2B.4C.4D.27.某实验单次成功的概率为0.8,记事件A为“在实验条件相同的情况下,重复3次实验,各次实验互不影响,则3次实验中至少成功2次”,现采用随机模拟的方法估计事件A的概率:先由计算机给出0~9十个整数值的随机数,指定0,1表示单次实验失败,2,3,4,5,6,7,8,9表示单次实验成功,以3个随机数为组,代表3次实验的结果经随机模拟产生了20组随机数,如表:752029714985034437863694141469037623804601366959742761428261根据以上方法及数据,估计事件A的概率为()A.0.384B.0.65C.0.9D.0.9048.已知三棱锥P﹣ABC的各顶点都在同一球面上,且P A⊥平面ABC,AB=2,AC=1,∠ACB=90°,若该棱锥的体积为,则此球的表面积为()A.16πB.20πC.8πD.5π二.多选题(共4小题)9.某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1500辆,6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量,公司质监部要抽取57辆进行检验,则下列说法正确的是()A.应采用分层随机抽样抽取B.应采用抽签法抽取C.三种型号的轿车依次应抽取9辆,36辆,12辆D.这三种型号的轿车,每一辆被抽到的概率都是相等的10.下列叙述中,正确的是()A.若||=0,则=0B.若||=0,则∥C.若∥,∥,则∥D.若=,=,则=11.雷达图是以从同一点开始的轴上表示的三个或更多个定量变量的二维图表的形式显示多变量数据的图形方法.为比较甲,乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分,分值高者为优),绘制了如图所示的六维能力雷达图,例如图中甲的数学抽象指标值为4,乙的数学抽象指标值为5,则下面叙述正确的是()A.甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值B.甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C.乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D.甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值12.如图,棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P在线段BC1(含端点)上运动,则下列判断正确的是()A.A1P⊥B1DB.三棱锥D1﹣APC的体积不变,为C.A1P∥平面ACD1D.A1P与D1C所成角的范围是三.填空题(共4小题)13.如表为武汉市2018年月平均降水量:月份123456789101112月平均降水量/cm5.8 4.8 5.3 4.6 5.6 5.6 5.17.1 5.6 5.36.4 6.6则武汉市2018年月平均降水量的三个四分位数分别为cm,cm,cm .14.已知i是虚数单位,则=.15.已知等边△ABC,D 为BC中点,若点M是△ABC 所在平面上一点,且满足,则=.16.某广场设置了一些石凳供大家休息,这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的(如图).则该几何体共有个面;如果被截正方体的棱长是50cm,那么石凳的表面积是cm2.四.解答题(共6小题)17.设=(2,0),=(1,).(1)若(﹣λ)⊥,求实数λ的值;(2)若=x+y(x,y∈R),且||=2,与的夹角为,求x,y的值.18.甲,乙,丙三名射击运动员分别对一目标射击1次,甲射中的概率为0.90,乙射中的概率为0.95,丙射中的概率为0.95.求:(1)三人中恰有一人没有射中的概率;(2)三人中至少有两人没有射中的概率.(精确到0.001)19.如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB∥平面MOC;(2)求证:平面MOC⊥平面VAB.20.请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并作答.①=;②2c cos C=a cos B+b cos A;③△ABC的面积为c(a sin A+b sin B﹣c sin C).已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且_____.(1)求C;(2)若D为AB中点,且c=2,CD=,求a,b.21.“肥桃”因产于山东省泰安市肥城市境内而得名,已有1100多年的栽培历史.明代万历十一年(1583年)的《肥城县志》载:“果亦多品,惟桃最著名”.2016年3月31日,原中华人民共和国农业部批准对“肥桃”实施国家农产品地理标志登记保护.某超市在旅游旺季销售一款肥桃,进价为每个10元,售价为每个15元销售的方案是当天进货,当天销售,未售出的全部由厂家以每个5元的价格回购处理.根据该超市以往的销售情况,得到如图所示的频率分布直方图:(1)估算该超市肥桃日需求量的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);(2)已知该超市某天购进了150个肥桃,假设当天的需求量为x个(x∈N,0≤x≤240),销售利润为y元.(ⅰ)求y关于x的函数关系式;(ⅱ)结合上述频率分布直方图,以频率估计概率的思想,估计当天利润y不小于650元的概率.22.《九章算术》是中国古代的一部数学专著,是《算经十书》中最重要的一部,成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作,是当时世界上最简练有效的应用数学,它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”,已知在三棱锥P﹣ABC中,P A⊥平面ABC.(1)从三棱锥P﹣ABC中选择合适的两条棱填空:⊥,则三棱锥P﹣ABC 为“鳖臑”;(2)如图,已知AD⊥PB,垂足为D,AE⊥PC,垂足为E,∠ABC=90°.(ⅰ)证明:平面ADE⊥平面P AC;(ⅱ)设平面ADE与平面ABC的交线为l,若P A=2,AC=2,求二面角E﹣l﹣C的大小.。

高中数学必修二 期末考测试(提升)(含答案)

高中数学必修二   期末考测试(提升)(含答案)

期末考测试(提升)一、单选题(每题只有一个选项为正确答案,每题5分,8题共40分)1.(2021·浙江)如图,正方形O A B C ''''的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是( )A .2+B .8C .6D .2+【答案】B【解析】由题意O B ''OABC 中,1OA BC ==,OB =OB OA ⊥,所以3OC AB ==, 所以四边形的周长为:2(13)8⨯+=. 故选:B .2.(2021·全国· 专题练习 )复数21i-(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A .1i + B .1i -C .1i -+D .1i --【答案】B【解析】化简可得21z i =-()()()21111i i i i +==+-+,∴21i-的共轭复数1z i =-,故选:B . 3.(2021·黑龙江·哈尔滨三中高一月考)如图,向量AB a =,AC b =,CD c =,则向量BD 可以表示为( )A .a b c +-B .a b c -+C .b a c -+D .b a c --【答案】C【解析】依题意BD AD AB AC CD AB =-=+-,即BD b a c =-+,故选:C.4.(2021·全国·专题练习)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,始与岸齐,问水深、葭长各几何?”意思是说:“有一个边长为1丈的正方形水池,在池的正中央长着一根芦苇,芦苇露出水面1尺.若将芦苇拉到池边中点处,芦苇的顶端恰好到达水面.问水有多深?芦苇多长?”该题所求的水深为( ) A .12尺 B .10尺 C .9尺 D .14尺【答案】A【解析】设水深为x 尺,依题意得()22215x x +-=,解得12x =.因此,水深为12尺.故选:A.5.(2021·内蒙古·集宁一中)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=,a =2,cC =A .π12 B .π6C .π4D .π3【答案】B【解析】sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC ,∵sinB+sinA(sinC ﹣cosC)=0,∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC ﹣sinAcosC=0,∴cosAsinC+sinAsinC=0, ∵sinC ≠0,∴cosA=﹣sinA ,∴tanA=﹣1, ∵π2<A <π,∴A= 3π4,由正弦定理可得c sin sin aC A=,∵a=2,sinC=sin c A a=12=22 , ∵a >c ,∴C=π6,故选B .6.(2021·浙江·高一期末)设非零向量a ,b 满足a b a b +=-,则 A .a ⊥bB .=a bC .a ∥bD .a b >【答案】A【解析】由a b a b +=-平方得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+,即0a b ⋅=,则a b ⊥,故选A.7.(2021·上海市金山中学高一期末)设锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若,3A a π==则2b 2c bc ++的取值范围为( ) A .(1,9] B .(3,9] C .(5,9] D .(7,9]【答案】D 【解析】因为,3A a π==由正弦定理可得22sin sin sin 3ab c AB B π===⎛⎫- ⎪⎝⎭, 则有22sin ,2sin 3b B c B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭, 由ABC 的内角,,A B C 为锐角,可得0,220,32B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩,512sin 2124sin 2462666266B B B B πππππππ⎛⎫⎛⎫∴<<⇒<-<⇒<-≤⇒<-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 由余弦定理可得222222cos 3,a b c bc A b c bc =+-⇒=+- 因此有2223b c bc bc ++=+ 28sin sin 33B B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2cos 4sin 3BB B =++ 22cos 25B B =-+(]54sin 27,96B π⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭故选:D.8.(2021·北京·清华附中 )如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -满足12AB AA =,点E 在线段1DD 上移动,F 点在线段1BB 上移动,并且满足1DE FB =.则下列结论中正确的是( )A .直线1AC 与直线EF 可能异面B .直线EF 与直线AC 所成角随着E 点位置的变化而变化 C .三角形AEF 可能是钝角三角形D .四棱锥A CEF -的体积保持不变 【答案】D【解析】如图所示,连接有关线段.设M ,N 为AC ,A 1C 1的中点,即为上下底面的中心,MN 的中点为O ,则AC 1的中点也是O ,又∵DE =B 1F ,由对称性可得O 也是EF 的中点,所以AC 1与EF 交于点O ,故不是异面直线,故A 错误;由正四棱柱的性质结合线面垂直的判定定理易得AC ⊥平面11BB D D , 因为EF ⊂平面11BB D D ,∴,AC EF ⊥故B 错误; 设AB a ,则12AA a =,设1,02DE B F x x a ==<<, 易得()22222222,254,AE a x AF a a x a ax x =+=+-=-+ ()22222222684,EF a a x a ax x =+-=-+因为()222242220,AE AF EF ax x x a x +-=-=->EAF ∴∠为锐角;因为()22222224220,AE EF AF a ax x a x +-=-+=->AEF ∴∠为锐角,因为2222210124,AF EF AE a ax x +-=-+ 当3x 2a =时取得最小值为2222101890,a a a a -+=> AFE ∴∠为锐角,故△AEF 为锐角三角形,故C 错误; 三棱锥A -EFC 也可以看做F -AOC 和E -AOC 的组合体, 由于△AOB 是固定的,E ,F 到平面AOC 的距离是不变的 (∵易知BB 1,DD 1平行与平面ACC 1A 1),故体积不变, 故D 正确. 故选:D.二、多选题(每题至少有2个选项为正确答案,每题5分,4题共20分)9.(2021·湖南·临澧县第一中学高一期末)设i 为虚数单位,复数()(12)z a i i =++,则下列命题正确的是( )A .若z 为纯虚数,则实数a 的值为2B .若z 在复平面内对应的点在第三象限,则实数a 的取值范围是(,)122- C .实数12a =-是z z =(z 为z 的共轭复数)的充要条件D .若||5()z z x i x R +=+∈,则实数a 的值为2 【答案】ACD【解析】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A :z 为纯虚数,有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =,故正确选项B :z 在复平面内对应的点在第三象限,有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-,故错误选项C :12a =-时,52z z ==-;z z =时,120a +=即12a =-,它们互为充要条件,故正确选项D :||5()z z x i x R +=+∈时,有125a +=,即2a =,故正确 故选:ACD10.(2021·江苏南京·高一期末)在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b =3c =,3A C π+=,则下列结论正确的是( )A .cos C =B .sin B =C .3a =D .ABCS=【答案】AD【解析】3A C π+=,故2B C =,根据正弦定理:sin sin b cB C=,即32sin cos C C C =⨯,sin 0C ≠,故cos C =,sin C =sin sin 22sin cos 3B C C C ===2222cos c a b ab C =+-,化简得到2430a a -+=,解得3a =或1a =,若3a =,故4A C π==,故2B π=,不满足,故1a =.11sin 122ABC S ab C ==⨯⨯△故选:AD .11.(2021·安徽黄山·高一期末)在发生公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7天,每天新增疑似病例不超过5人”.过去7日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下,则一定符合该标志的是( ) 甲地:总体平均数3x ≤,且中位数为0; 乙地:总体平均数为2,且标准差2s ≤; 丙地:总体平均数3x ≤,且极差2≤c ; 丁地:众数为1,且极差4c ≤. A .甲地 B .乙地C .丙地D .丁地【答案】CD【解析】甲地:满足总体平均数3x ≤,且中位数为0,举例7天的新增疑似病例为0,0,0,0,5,6,7,则不符合该标志;乙地:若7天新增疑似病例为1,1,1,1,2,2,6,满足平均数为2,标准差2s =,但不符合该标志;丙地:由极差2≤c 可知,若新增疑似病例最多超过5人,比如6人,那么最小值不低于4人, 那么总体平均数3x ≤就不正确,故每天新增疑似病例低于5人,故丙地符合该标志; 丁地:因为众数为1,且极差4c ≤,所以新增疑似病例的最大值5≤,所以丁地符合该标志. 故选:CD12.(2021·河北易县中学高一月考)已知ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,则以下四个命题正确的有( ) A .当5,7,60a b A ===︒时,满足条件的三角形共有1个B.若sin :sin :sin 3:5:7A B C =则这个三角形的最大角是120 C .若222a b c +>,则ABC 为锐角三角形 D .若4Cπ,22a c bc -=,则ABC 为等腰直角三角形【答案】BD【解析】对于A,7sin 2sin 15b AB a===>,无解,故A 错误; 对于B,根据已知条件,由正弦定理得:::3:5:7a b c =,不妨令3a =,则5,7b c ==,最大角C 的余弦值为:222925491cos 2302a b c C ab +-+-===-,∴120C =︒,故B 正确;对于C ,由条件,结合余弦定理只能得到cos 0C >,即角C 为锐角,无法保证其它角也为锐角,故C 错误;对于D,2222 cos cos 2224a b c b bc b c C ab ab a π+-++=====,得到b c+=, 又()2222,,a c bc a bc c c b c -=∴=+=+=a∴=,sin 1,42A C A ππ∴===∴=,ABC ∴为等腰直角三角形,故D 正确.故选:BD.三、填空题(每题5分,4题共20分)13.(2021·甘肃省会宁县第一中学高一期末)2020年年初,新冠肺炎疫情袭击全国.口罩成为重要的抗疫物资,为了确保口罩供应,某工厂口罩生产线高速运转,工人加班加点生产.设该工厂连续5天生产的口罩数依次为1x ,2x ,3x ,4x ,5x (单位:十万只),若这组数据1x ,2x ,3x ,4x ,5x 的方差为1.44,且21x ,22x ,23x ,24x ,25x 的平均数为4,则该工厂这5天平均每天生产口罩__________十万只.【答案】1.6【解析】依题意,得22212520x x x +++=.设1x ,2x ,3x ,4x ,5x 的平均数为x , 根据方差的计算公式有()()()2221251 1.445x x x x x x ⎡⎤-+-++-=⎢⎥⎣⎦.()()2222125125257.2x x x x x x x x ∴+++-++++=,即22201057.2x x -+=, 1.6x ∴=.故答案为:1.614.(2021·江苏省海头高级中学高二月考)设复数z 满足341z i --=,则z 的最大值是_______. 【答案】6【解析】设复数(,)z x yi x y R =+∈,则22341,(3)(4)1x yi i x y +--=∴-+-=,所以复数对应的点的轨迹为(3,4)为圆心半径为1的圆,所以z 1516=+=.故答案为615.(2021·全国·高一单元测试)口袋里装有1红,2白,3黄共6个形状相同的小球,从中取出2球,事件A =“取出的两球同色”,B =“取出的2球中至少有一个黄球”,C =“取出的2球至少有一个白球”,D “取出的两球不同色”,E =“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________. ①A 与D 为对立事件;②B 与C 是互斥事件;③C 与E 是对立事件:④()1P C E =;⑤()()P B P C =.【答案】①④【解析】口袋里装有1红,2白,3黄共6个形状相同小球,从中取出2球, 事件A = “取出的两球同色”, B = “取出的2球中至少有一个黄球”,C = “取出的2球至少有一个白球”,D “取出的两球不同色”,E = “取出的2球中至多有一个白球”,①,由对立事件定义得A 与D 为对立事件,故①正确;②,B 与C 有可能同时发生,故B 与C 不是互斥事件,故②错误; ③,C 与E 有可能同时发生,不是对立事件,故③错误; ④,P (C)631=155=-,P (E)1415=,8()15P CE =,从而()P C E P =(C)P +(E)()1P CE -=,故④正确; ⑤,C B ≠,从而P (B)P ≠(C),故⑤错误. 故答案为:①④.16.(2021·江苏省如皋中学高一月考)已知三棱锥O ABC -中,,,A B C 三点在以O 为球心的球面上,若2AB BC ==,120ABC ︒∠=,且三棱锥O ABC -O 的表面积为________.【答案】52π【解析】ABC 的面积122sin12032ABCS=⨯⨯= 设球心O 到平面ABC 的距离为h ,则1133O ABC ABCV Sh -===3h =, 在ABC 中,由余弦定理2222cos1208412AC AB BC AB BC =+-⋅=+=,∴=AC 设ABC 的外接圆半径为r ,由正弦定理 则2sin120ACr =,解得2r,设球的半径为R ,则22213R r h =+=, 所以球O 的表面积为2452S R ππ==. 故答案为:52π四、解答题(17题10分,其余每题12分,共70分)17.(2021·山西·长治市潞城区第一中学校高一月考)已知复数z 使得2z i R +∈,2zR i∈-,其中i 是虚数单位.(1)求复数z 的共轭复数z ;(2)若复数()2z mi +在复平面上对应的点在第四象限,求实数m 的取值范围.【答案】(1)42i +;(2)()2,2-.【解析】(1)设(),z x yi x y R =+∈,则()22z i x y i +=++ ∵2z i R +∈∴2y =- 又22242255z x i x x i R i i -+-==+∈--,∴4x =综上,有42z i =-∴42z i =+ (2)∵m 为实数,且()()()()2224212482z mi m i m m m i +=+-=+-+-⎡⎤⎣⎦∴由题意得()21240820m m m ⎧+->⎪⎨-<⎪⎩,解得22m -<<故,实数m 的取值范围是()2,2-18.(2021·江西省靖安中学)某校在一次期末数学测试中,为统计学生的考试情况,从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩,被测学生成绩全部介于65分到145分之间(满分150分),将统计结果按如下方式分成八组:第一组[65,75),第二组[75,85),第八组[135,145],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.(1)根据图表,计算第七组的频率,并估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值);(2)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名,求他们的分差的绝对值小于10分的概率.【答案】(1)频率为:0.08;平均分为102;(2)25.【解析】(1)由频率分布直方图得第七组的频率为:()10.0040.0120.0160.0300.0200.0060.004100.08-++++++⨯=.用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为: 700.04800.12900.161000.31100.21200.06x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 1300.081400.04102+⨯+⨯=.(2)样本成绩属于第六组的有0.00610503⨯⨯=人,设为,,A B C ,样本成绩属于第八组的有0.00410502⨯⨯=人,设为,a b ,从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名,基本事件有: AB ,AC ,Aa ,Ab ,BC ,Ba ,Bb ,Ca ,Cb ,ab 共10个他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数AB ,AC ,BC ,ab 共 4个 ∴他们的分差的绝对值小于10分的概率42105p ==. 19.(2021·河南·辉县市第一高级中学高一月考)已知三棱柱111ABC A B C -(如图所示),底面ABC 是边长为2的正三角形,侧棱1CC ⊥底面ABC ,14CC =,E 为11B C 的中点.(1)若G 为11A B 的中点,求证:1C G ⊥平面11A B BA ;(2)证明:1//AC 平面1A EB ;(3)求三棱锥1A EBA -的体积.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;【解析】(1)连接1C G ,由1CC ⊥底面ABC ,且11//CC BB ,可得1BB ⊥底面111A B C , 又由1C G ⊂底面111A B C ,所以11C G B B ⊥,又因为G 为正111A B C △边11A B 的中点,所以111C G A B ⊥,因为1111A B BB B =,且111,A B BB ⊂平面11A B BA ,所以1C G ⊥平面11A B BA .(2)连接1B A 交1A B 与G ,则O 为1A B 的中点,连接EO ,则1//EO AC .因为EO ⊂平面1EA B ,1AC ⊄平面1EA B ,所以1//AC 平面1EA B .(2)因为11A A BE E ABA V V --=,11142ABA S AB AA =⨯⨯=△.取1GB 的中点F ,连接EF ,则1//EF C G ,可得EF ⊥平面11A B BA ,即EF 为三棱锥1E ABA -的高,112EF C G ===,三棱锥1A EBA -的体积11111433A A BE E ABA ABA V V S EF --==⨯=⨯=△20.(2021·重庆第二外国语学校高一月考)已知1e ,2e 是平面内两个不共线的非零向量,122AB e e =+,12e e BE λ=-+,122EC e e =-+,且A ,E ,C 三点共线.(1)求实数λ的值;(2)若()12,1e =,()22,2e =-,求BC 的坐标;(3)已知()3,5D ,在(2)的条件下,若A ,B ,C ,D 四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点A 的坐标.【答案】(1)32λ=-(2)(7,2)--(3)()10,7. 【解析】(1)()()()12121221AE AB BE e e e e e e λλ=+=++-+=++.因为A ,E ,C 三点共线,所以存在实数k ,使得AE k EC =,即()()121212e e k e e λ++=-+,得()1212(1)k e k e λ+=--.因为1e ,2e 是平面内两个不共线的非零向量, 所以12010k k λ+=⎧⎨--=⎩解得12k =-,32λ=-. (2)()()()121212136,31,17222,32B e BE EC e C e e e e ++=--=-+=--=--=---. (3)因为A ,B ,C ,D 四点按逆时针顺序构成平行四边形,所以AD BC =.设(),A x y ,则()3,5AD x y =--,因为()7,2BC =--,所以3752x x -=-⎧⎨-=-⎩解得107x y =⎧⎨=⎩ 即点A 的坐标为()10,7.21.(2021·安徽师大附属外国语学校高一月考)在锐角ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知sin2sin .a B b A =(1)若3,a b ==c ;(2)求cos cos a C c A b-的取值范围. 【答案】(1)2c =;(2)()1,1-.【解析】(1)由sin 2sin a B b A =,得sin sin2sin sin A B B A =,得2sin sin cos sin sin A B A B A =,得1cos 2B =, 在ABC ,3B π∴=, 由余弦定理2222cos b c a ac B =+-, 得27923cos 3c c π=+-⨯,即2320c c -+=,解得1c =或2c =.当1c =时,22220,cos 0b c a A +-=-<< 即A 为钝角(舍),故2c =符合.(2)由(1)得3B π=, 所以23C A π=-,cos cos sin cos cos sin 22sin 3a C c A A C A C A b B π--⎛⎫∴===- ⎪⎝⎭, ABC 为锐角三角形,62A ππ∴<<,22333A πππ∴-<-<,2sin 23A π⎛⎫-< ⎪⎝⎭, cos cos 11a C c A b-∴-<<,故cos cos a C c A b-的取值范围是()1,1-. 22.(2021·全国·高一课时练习)如图在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,PAD △为正三角形,平面PAD ⊥平面ABCD E F ,、分别是AD CD 、的中点.(1)证明:BD PF ⊥;(2)若M 是棱PB 上一点,三棱锥M PAD -与三棱锥P DEF -的体积相等,求M 点的位置.【答案】(1)证明见解析;(2)M 点在PB 上靠近P 点的四等分点处.【解析】(1)连接AC PA PD =,且E 是AD 的中点,PE AD ⊥∴.又平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD 平面ABCD AD PE =⊂,平面PAD .PE ∴⊥平面ABCD BD ⊂,平面ABCD BD PE ∴⊥,. 又ABCD 为菱形,且E F 、分别为棱AD CD 、的中点,//EF AC ∴.BD AC BD EF ⊥∴⊥,,又BD PE PE EF E BD ⊥⋂=∴⊥,,平面PEF ;PF ∴⊂平面PEF BD PF ∴⊥,. (2)如图,连接MA MD 、, 设PM MBλ=,则1PM PB λλ=+, 11M PAD B PAD P ABD V V V λλλλ---∴==++, 14DEF DAC S S =△△,则1144P DEF P ACD P ABD V V V ---==,又M PAD P DEF V V --=. 114λλ∴=+. 解得13λ=,即M 点在PB 上靠近P 点的四等分点处.。

高中数学必修二 期末测试卷02-新教材-2021学年下学期期末考试全真模拟卷(人教A2019)

高中数学必修二  期末测试卷02-新教材-2021学年下学期期末考试全真模拟卷(人教A2019)

2020-2021学年高一数学下学期期末考试全真模拟卷(二)测试时间:120分钟 测试范围:人教A2019必修第一册+第二册满分:150分注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1、若集合{}21A x x =-≤≤,{}2log 1B x x =≤,则A B =( )A .12x xB .{}01x x <≤C .{}22x x -≤≤D .{2x x <-或}2x >【答案】C 【详解】由{}2log 1B x x =≤,得{}02B x x =<≤. 又{}21A x x =-≤≤, 所以{}22AB x x =-≤≤.故选:C . 2、复数113i-的虚部是( )A .310-B .110-C .110D .310【答案】D 【详解】 因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+, 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选:D.3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:则下面结论中不正确的是( ) A .新农村建设后,种植收入减少B .新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C .新农村建设后,养殖收入增加了一倍D .新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A 【详解】设新农村建设前的收入为M ,而新农村建设后的收入为2M ,则新农村建设前种植收入为0.6M ,而新农村建设后的种植收入为0.74M ,所以种植收入增加了,所以A 项不正确;新农村建设前其他收入我0.04M ,新农村建设后其他收入为0.1M ,故增加了一倍以上,所以B 项正确; 新农村建设前,养殖收入为0.3M ,新农村建设后为0.6M ,所以增加了一倍,所以C 项正确;新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%28%58%50%+=>,所以超过了经济收入的一半,所以D 正确;4、已知向量a ,b 满足||5a =,||6b =,6a b ⋅=-,则cos ,=a a b +( )A .3135-B .1935-C .1735D .1935【答案】D 【详解】5a =,6b =,6a b ⋅=-,()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-=,因此,()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选:D.5、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A .514- B .512- C .514+ D .512+ 【答案】C 【详解】如图,设,CD a PE b ==,则22224a PO PE OEb =-=-,由题意212PO ab =,即22142a b ab -=,化简得24()210b b a a -⋅-=,解得154b a +=(负值舍去). 故选:C.6、已知π2tan tan()74θθ-+=,则tan θ=( )A .–2B .–1C .1D .2【答案】D 【详解】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-,令tan ,1t t θ=≠,则1271tt t+-=-,整理得2440t t -+=,解得2t =,即tan 2θ=. 故选:D.7、如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它由四个全等的直角三角形围成,其中3sin 5BAC ∠=,现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍,得到如图的数学风车,若在该数学风车内随机取一点,则该点恰好取自“赵爽弦图”外面(图中阴影部分)的概率为( )A .2543B .1843C .2549D .2449【答案】D 【详解】在Rt ABC ∆中,3sin 5BAC ∠=不妨设3BC =,则5AB =,4AC =则阴影部分的面积为1434242⨯⨯⨯=;数学风车的面积为224549+=∴所求概率2449P =本题正确选项:D 8、已知ABC ∆是面积为934的等边三角形,且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π,则O 平面ABC 的距离为( )A .3B .32C .1D .32【答案】C 【详解】设球O 的半径为R ,则2416R ππ=,解得:2R =. 设ABC 外接圆半径为r ,边长为a ,ABC212a ∴=,解得:3a =,2233r ∴===,∴球心O 到平面ABC 的距离1d ==.故选:C.二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共16分,在每小题给出的四个选项中,不止有一项是符合题目要求的)9、下列说法正确的是( ) A .随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率B .连续10次掷一枚骰子,结果都是出现1点,可以认为这枚骰子质地不均匀C .某种福利彩票的中奖概率为11000,那么买1000张这种彩票一定能中奖D .某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”,指的是:该市气象台专家中,有70%认为明天会降水,30%认为不降水 【答案】AB 【详解】对于A ,试验次数越多,频率就会稳定在概率的附近,故A 正确对于B ,如果骰子均匀,则各点数应该均匀出现,所以根据结果都是出现1点可以认定这枚骰子质地不均匀,故B 正确. 对于C ,中奖概率为11000是指买一次彩票,可能中奖的概率为11000,不是指1000张这种彩票一定能中奖,故C 错误.对于D ,“明天本市降水概率为70%”指下雨的可能性为0.7,故D 错. 故选:AB .10、有以下四种说法,其中正确的有( ) A .“2x >且3y >”是“5x y +>”的充要条件B .直线l ,m ,平面α,若m α⊂,则“l α⊥”是“l m ⊥”的充分不必要条件C .“3x =”是“2230x x --=”的必要不充分条件D .设,a b ∈R ,则“0a ≠”是“0ab =”的既不充分也不必要条件【答案】BD 【详解】对于A ,由“2x >且3y >”,根据不等式的性质可得5x y +>,充分性满足;反之,5x y +>推不出“2x >且3y >”,必要性不满足,故A 不正确; 对于B ,根据线面垂直的定义:“l α⊥”可推出“l m ⊥”,反之,由线面垂直的判定定理可知:仅“l m ⊥”,不一定得出“l α⊥”,故B 正确; 对于C ,“3x =”可得“2230x x --=”,充分性满足;反之,“2230x x --=”可得“3x =”或“1x =-”,必要性不满足, 所以“3x =”是“2230x x --=”的充分不必要条件,故C 不正确; 对于D ,若“0a ≠且0b =”可推出“0ab =”; 反之,若“0ab =”,可得“0a =”或“0b =”,所以“0a ≠”是“0ab =”的既不充分也不必要条件,故D 正确; 故选:BD11、已知函数()sin()f x x ωϕ=-(0,||2πωϕ><)的部分图象如图所示,则下列选项正确的是( )A .函数()f x 的最小正周期为3πB .5(,0)4π为函数()f x 的一个对称中心 C .1(0)2f =-D .函数()f x 向右平移2π个单位后所得函数为偶函数【答案】ACD 【分析】根据图象,先由144T ππ=-得,求ω,判断A 正确,再利用五点法定位确定ϕ得到解析式,结合利用正弦函数性质逐一判断BCD 的正误即可. 【详解】根据函数()sin(),0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=-><⎪⎝⎭的部分图象,由144T ππ=-,所以3T π=,故A 正确; 由23ππω=,可得23ω=, 由点,04π⎛⎫⎪⎝⎭在函数图像上,可得2sin 034πϕ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭,可得2,34k k πϕπ⨯-=∈Z ,解得,6k k πϕπ=-∈Z , 因为||2ϕπ<,可得6π=ϕ,可得2()sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,因为52523sin sin 0434632f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故B 错误; 由于1(0)sin 62f π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,故C 正确; 将函数()f x 向右平移2π个单位后所得函数为2f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭22sin cos 3263x x ππ⎡⎤⎛⎫=--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为偶函数,故D正确. 故选:ACD.12、如图,棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点E 为11A B 的中点,则下列说法正确的是( )A .DE 与1CC 为异面直线B .DE 与平面11BCC B 所成角的正切值为24C .过,,D CE 三点的平面截正方体所得两部分的体积相等D .线段DE 在底面ABCD 的射影长为2【答案】ABC 【详解】由图可知:DE 与CC1为异面直线,∴A 正确;因为平面11//BCC B 平面11ADD A ,所以DE 与平面11BCC B 所成角即DE 与平面11ADD A 所成角,连接A1D ,显然,1A DE ∠是DE 与平面11ADD A 所成角.在直角三角形EA1D 中:111122tan 42A E A DE A D ∠===,∴B 正确;过D 、C 、E 三点的平面截正方体所得两部分的体积关系即为平面A1B1CD 截正方体所得两部分的体积关系,由正方体的对称性可知截得两部分几何体的体积相等,∴C 正确; 取AB 中点F ,连接EF 、DF ,∵EF //B1B 且B1B ⊥底面ABCD ,∴EF ⊥底面ABCD ,∴DF 的长为线段DE 在底面ABCD 的射影长,在直角三角形DFE 中:EF=1,DE=32,∴DF=2235122⎛⎫-= ⎪⎝⎭,∴D 错. 故选:ABC.三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13、已知不等式220ax bx ++>的解集为{|12}x x -<<,则不等式220x bx a ++<的解集为__________________. 【答案】1{|1}?2x x -<< 【分析】 【详解】不等式220ax bx ++>的解集为{|12}x x -<<,220ax bx ∴++=的两根为1-,2,且0a <,即12b a-+=-,()212a -⨯=,解得1a =-,1b =,则不等式可化为2210x x +-<,解得112x -<<,则不等式220x bx a ++<的解集为1{|1}2x x -<<.14、在ABC ∆中,2cos ,4,33C AC BC ===,则tan B =____________.【答案】45【详解】设,,AB c BC a CA b ===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴= 22221145cos sin 1()tan 452999a cb B B B ac +-==∴=-=∴=15、在四边形ABCD 中,AD BC ∥,23AB =,5AD =,30A ∠=︒,点E 在线段CB 的延长线上,且AE BE =,则BD AE ⋅=__________.【答案】1-. 【详解】建立如图所示的直角坐标系,则(23,0)B ,535(,)22D . 因为AD ∥BC ,30BAD ∠=︒,所以150CBA ∠=︒, 因为AE BE =,所以30BAE ABE ∠=∠=︒, 所以直线BE 的斜率为33,其方程为3(23)3y x =-,直线AE 的斜率为33-,其方程为33y x =-. 由3(23),333y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x =,1y =-, 所以(3,1)E -.所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-. 16、设函数()()21ln 11f x x x =+-+,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是____________. 【答案】1(,1)3【详解】试题分析:()()21ln 11f x x x =+-+,定义域为,∵,∴函数为偶函数,当时,函数单调递增,根据偶函数性质可知:得()()21f x f x >-成立,∴,∴,∴的范围为1,13⎛⎫⎪⎝⎭故答案为A.四、解答题(17题10分,其余每题12分,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,考生根据要求作答)17、成年人收缩压的正常范围是(90,140)(单位:mmHg ),未在此范围的献血志愿者不适合献血,某血站对志愿者的收缩压进行统计,随机抽取男志愿者100名、女志愿者100名,根据统计数据分别得到如下直方图:(1)根据直方图计算这200名志愿者中不适合献血的总人数; (2)估计男志愿者收缩压的中位数;(3)估计女志愿者收缩压的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). 【答案】(1)20人;(2)115mmHg ;(3)125mmHg . 【详解】解:(1)由(0.0100.01520.0200.030)101m +++⨯+⨯=得0.005m =, 故这些男志愿者中有5人不适合献血;由(0.0050.01020.0200.035)101n ++++⨯=得0.015n =, 故这些女志愿者中有15人不适合献血. 综上所述,这些志愿者中共有20人不适合献血.(2)设男志愿者收缩压的中位数为(mmHg)x ,则110120x <<.由0.015100.02010(110)0.0300.5x ⨯+⨯+-⨯=得115x =, 因此,可以估计男志愿者收缩压的中位数为115(mmHg).(3)950.051050.101150.151250.351350.201450.15125⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=, 因此,可以估计女志愿者收缩压的平均值为125(mmHg).18、在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c.已知5,a b c === (Ⅰ)求角C 的大小; (Ⅰ)求sin A 的值; (Ⅰ)求πsin(2)4A +的值. 【答案】(Ⅰ)4C π;(Ⅰ)sin A =(Ⅰ)sin 2426A π⎛⎫+=⎪⎝⎭. 【详解】(Ⅰ)在ABC中,由5,a b c ===222cos 22a b c C ab +-===, 又因为(0,)C π∈,所以4Cπ;(Ⅰ)在ABC 中,由4Cπ,a c ==可得sin sin a CA c===13; (Ⅰ)由a c <知角A为锐角,由sin A =,可得cos A ==进而2125sin 22sin cos ,cos22cos 11313A A A A A ===-=,所以125sin(2)sin 2coscos2sin444132132A A A πππ+=+=⨯+⨯=26.19、如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,点E ,F 分别在棱1DD ,1BB 上,且12DE ED =,12BF FB =.证明:(1)当AB BC =时,EF AC ⊥; (2)点1C 在平面AEF 内.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【详解】(1)因为长方体1111ABCD A B C D -,所以1BB ⊥平面ABCD ∴1AC BB ⊥,因为长方体1111,ABCD A B C D AB BC -=,所以四边形ABCD 为正方形AC BD ∴⊥ 因为11,BB BD B BB BD =⊂、平面11BB D D ,因此AC ⊥平面11BB D D ,因为EF ⊂平面11BB D D ,所以AC EF ⊥;(2)在1CC 上取点M 使得12CM MC =,连,DM MF ,因为111112,//,=D E ED DD CC DD CC =,所以11,//,ED MC ED MC = 所以四边形1DMC E 为平行四边形,1//DM EC ∴因为//,=,MF DA MF DA 所以M F A D 、、、四点共面,所以四边形MFAD 为平行四边形,1//,//DM AF EC AF ∴∴,所以1E C A F 、、、四点共面,因此1C 在平面AEF 内20、已知()22sin ,cos ,(3cos ,2),()a x x b x f x a b ===⋅. (1)求()f x 的最小正周期及单调递减区间; (2)求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值.【答案】(1)T π=,单调递减区间为2,,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ;(2)见解析【详解】(1)2()23sin cos 2cos f x a b x x x =⋅=+2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭,∴()f x 的最小正周期22T ππ==. 由3222,262k x k k Z πππππ+++∈,得2,63k x k k Z ππππ++∈, ∴()f x 的单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.(2)∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, ∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, 当7266x ππ+=,即2x π=时,函数()f x 取得最小值,为72sin106π+=; 当262x ππ+=,即6x π=时,函数()f x 取得最大值,为2sin 132π+=.故函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3,最小值为0.21、在锐角ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2sin 0b A =. (I )求角B 的大小;(II )求cos cos cos A B C ++的取值范围. 【答案】(I )3B π=;(II)3]2【详解】(I)由2sin b A =结合正弦定理可得:2sin sin ,sin B A A B =∴= △ABC 为锐角三角形,故3B π=.(II )结合(1)的结论有:12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-+11cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得:62A ππ<<,2363A πππ<+<,则sin 32A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦,113sin ,2232A π⎛⎤⎛⎫++∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.22、有一种鱼的身体吸收汞,当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的1.00ppm (即百万分之一)时,人食用它,就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出30条鱼,检验鱼体中的汞含量与其体重的比值(单位:ppm ),数据统计如下:0.07 0.24 0.39 0.54 0.61 0.66 0.73 0.82 0.82 0.820.87 0.91 0.95 0.98 0.98 1.02 1.02 1.08 1.14 1.201.20 1.26 1.29 1.31 1.37 1.40 1.44 1.58 1.62 1.68(1)求上述数据的中位数、众数、极差,并估计这批鱼该项数据的80%分位数;(2)有A ,B 两个水池,两水池之间有10个完全相同的小孔联通,所有的小孔均在水下,且可以同时通过2条鱼.(Ⅰ)将其中汞的含量最低的2条鱼分别放入A 水池和B 水池中,若这2条鱼的游动相互独立,均有13的概率进入另一水池且不再游回,求这两条鱼最终在同一水池的概率;(Ⅰ)将其中汞的含量最低的2条鱼都先放入A 水池中,若这2条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由A 水池进入B 水池且不再游回A 水池,求这两条鱼由不同小孔进入B 水池的概率.【答案】(1)中位数为1;众数为0.82;极差为1.61;估计这批鱼该项数据的80百分位数约为1.34;(2)(Ⅰ)49;(Ⅰ)910. 【详解】解:(1)由题意知,数据的中位数为0.98 1.0212+=数据的众数为0.82数据的极差为1.680.07 1.61-=估计这批鱼该项数据的80百分位数约为1.31 1.371.342+= (2)(Ⅰ)记“两鱼最终均在A 水池”为事件A ,则212()339P A =⨯=记“两鱼最终均在B 水池”为事件B ,则212()339P B =⨯=∵事件A 与事件B 互斥,∴两条鱼最终在同一水池的概率为224()()()999P AB P A P B =+=+= (Ⅰ)记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件1C ,“两鱼同时从第二个小孔通过”为 事件2C ,依次类推;而两鱼的游动独立∴12111()()1010100P C P C ===⨯=记“两条鱼由不同小孔进入B 水池”为事件C ,则C 与1210...C C C 对立,又由事件1C ,事件2C ,10C 互斥∴121011()(...)1010010P C P C C C ==⨯=即12109()1(...)10P C P C C C =-=。

北师大版高中数学必修第二册期末质量检测试卷(含答案)

北师大版高中数学必修第二册期末质量检测试卷(含答案)

北师大版高中数学必修第二册期末质量检测试卷本试卷共150分,考试时长120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.2-i 1+2i=()A .1B .-1C .iD .-i2.已知OA →=(-1,2),OB →=(3,m),若OA →⊥OB →,则m 的值为()A .1B .32C .2D .43.现有四个函数:①y =x·sin x ;②y =x·cos x ;③y =x·|cos x|;④y =x·2x 的图象(部分)如下,则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是()A .①④②③B .①④③②C .④①②③D .③④②①4.已知a ,b 为直线,α,β为平面,给出下列四个命题:①若a ⊥α,b ⊥α,则a ∥b ;②a ∥α,b ∥α,则a ∥b ;③若a ⊥α,a ⊥β,则α∥β;④若b ∥α,b ∥β,则α∥β.其中真命题的个数是()A .0B .1C .2D .35.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a 2+b 2=2c 2,则cos C 的最小值为()A .32B .22C .12D .-126.在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F.若AC →=a ,BD →=b ,则AF →=()A .14a +12bB .12a +14bC .23a +13bD .13a +23b 7.下列命题中正确的是()A .y =cos x 的图象向右平移π2个单位长度得到y =sin x 的图象B .y =sin x 的图象向右平移π2个单位长度得到y =cos x 的图象C.当φ<0时,y=sin x的图象向左平移|φ|个单位长度可得y=sin(x+φ)的图象D.y=sin(2x+π3)的图象是由y=sin2x的图象向左平移π3个单位长度得到的8.在三棱锥P­ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=BC=1,PA=3,则该三棱锥外接球的表面积为()A.5πB.2πC.20πD.4π二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分) 9.设a,b是两个非零向量,则下列说法不正确的是()A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥bB.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λaD.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|10.在△ABC中,下列命题正确的是()A.若A>B,则cos A>cos BB.若sin2A=sin2B,则△ABC一定为等腰三角形C.若a cos B-b cos A=c,则△ABC一定为直角三角形D.若三角形的三边的比是3∶5∶7,则此三角形的最大角为钝角11.对于函数f(x)x,sin x≤cos x,x,sin x>cos x,下列四个结论正确的是()A.f(x)是以π为周期的函数B.当且仅当x=π+kπ(k∈Z)时,f(x)取得最小值-1 C.f(x)图象的对称轴为直线x=π4+kπ(k∈Z)D.当且仅当2kπ<x<π2+2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤2 212.如图,正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为棱DD1,AB上的点.下列命题中正确的是()A.A1C⊥平面B1EFB.在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线C.△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形D.当E,F为中点时,平面B1EF截该正方体所得的截面图形是五边形三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知tanθ=2,则cos2θ=__________,tan=________.14.已知圆锥的侧面积(单位:cm2)为2π,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位:cm)是________.15.设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=2,z 1+z 2=3+i ,则|z 1-z 2|=________.16.如图,在四边形ABCD 中,∠B =60°,AB =3,BC =6,且AD →=λBC →,AD →·AB →=-32,则实数λ的值为________,若M ,N 是线段BC 上的动点,且|MN →|=1,则DM →·DN →的最小值为________.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在平面直角坐标系xOy 中,角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,它的终边过点-35,,以角α的终边为始边,逆时针旋转π4得到角β.(1)求tan α的值;(2)求cos (α+β)的值.18.(12分)在△ABC 中,a +b =11,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:(1)a 的值;(2)sin C 和△ABC 的面积.条件①:c =7,cos A =-17;条件②:cos A =18,cos B =916.注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.19.(12分)在①函数f为奇函数;②当x =π3时,f (x )=3;③2π3是函数f (x )的一个零点这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答,已知函数f (x )=2sin (ωx+φ>0,0<φ,f (x )的图象相邻两条对称轴间的距离为π,________.(1)求函数f (x )的解析式;(2)求函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.20.(12分)在①ac=3,②c sin A=3,③c=3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=3sin B,C=π6,________?注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.21.(12分)如图,已知直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是菱形,F是BB1的中点,M 是线段AC1的中点.(1)求证:直线MF∥平面ABCD;(2)求证:平面AFC1⊥平面ACC1A1.22.(12分)已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD是菱形.(1)求证:AD∥平面PBC;(2)若PB=PD,求证:BD⊥平面PAC;(3)下面两问任选一问作答.①E、F分别是AB、PD上的点,若EF∥平面PBC,AE=2EB,求PFPD的值;②若∠DAB=60°,平面PAD⊥平面ABCD,PB⊥PD,判断△PAD是不是等腰三角形,并说明理由.参考答案与解析1.解析:解法一:2-i 1+2i =(2-i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=2-2-5i5=-i ,选D.解法二:利用i 2=-1进行替换,则2-i 1+2i =-2×(-1)-i 1+2i =-2i 2-i 1+2i=-i (1+2i )1+2i =-i ,选D.答案:D2.解析:由OA →⊥OB →,得OA →·OB →=-3+2m =0,故m =32.答案:B 3.解析:①y =x ·sin x 为偶函数,y 轴对称,②y =x ·cosx 上的值为负数,故第三个图象满足;③y =x ·|cos x |为奇函数,当x >0时,f (x )≥0,故第四个图象满足;④y =x ·2x ,为非奇非偶函数,故它的图象没有对称性,故第二个图象满足,故选A.答案:A4.解析:由“垂直于同一平面的两直线平行”知①是真命题;由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②是假命题;由“垂直于同一直线的两平面平行”知③是真命题;在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中,易知A 1B 1∥平面DCC 1D 1,A 1B 1∥平面ABCD ,但以上两平面却相交,故④是假命题.答案:C5.解析:由余弦定理的推论,得cos C =a 2+b 2-c 22ab =a 2+b 24ab≥12,当且仅当a =b 时取“=”.答案:C6.解析:如图,∵AC →=a ,BD →=b ,∴AD →=AO →+OD →=12AC →+12BD →=12a +12b .∵E 是OD 的中点,∴DE EB =13.∴DF =13AB ,∴DF →=1AB →=13(OB →-OA →)=13-12→-12AC =16AC →-16BD →=16a -16b ,AF →=AD →+DF →=12a +12b +16a -16b =23a +13b ,故选C.答案:C7.解析:y =cos x 的图象向右平移π2个单位长度得到y =cos =sin x 的图象,故A 正确;y =sin x 的图象向右平移π2个单位长度得到y =sin =-cos x 的图象,故B 错误;y =sin x 的图象向左平移|φ|个单位长度得到y =sin (x +|φ|)=sin (x -φ)的图象,故C错误;y =sin 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到y =sin 2=sin x 的图象,故D 错误.答案:A 8.解析:如图,取PC 的中点O ,连接OA ,OB ,∵PA ⊥平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,BC ⊂平面ABC .∴PA ⊥AC ,PA ⊥BC .在Rt △PAC 中,∵O 为PC 的中点,∴OA =12PC ,又PA ⊥BC ,AB ⊥BC ,PA ∩AB =A ,∴BC ⊥平面PAB ,∴BC ⊥PB ,在Rt △PBC 中,可得OB =12PC ,∴OA =OB =OC =OP ,∴O 是三棱锥P ­ABC 的外接球的球心,∵Rt △PAC 中,AC =2,PA =3,∴PC =5,∴三棱锥P ­ABC 的外接球的半径R =12PC =52,∴该三棱锥外接球的表面积S =4πR 2=5π.答案:A9.解析:若|a +b |=|a |-|b |,则a ,b 反向共线,且|a |>|b |,即存在实数λ,使得b =λa ,故A 不正确,C 正确;若a ⊥b ,显然在以a ,b 对应的线段为邻边的长方形中|a +b |=|a |-|b |不成立,故B 不正确;若λ>0,则a ,b 为同向的共线向量,显然|a +b |=|a |-|b |不成立,故D 不正确.故选ABD.答案:ABD10.解析:在△ABC 中,若A >B ,则a >b ,sin A >sin B ,但cos A >cos B 不正确,A 错误;若sin 2A =sin 2B ,则2A =2B 或2A +2B =π,即A =B 或A +B =π2,所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形,B 错误;若a cos B -b cos A =c ,则sin A ·cos B -sin B cos A =sin C =sin(A +B ),所以sin B cos A =0,即cos A =0,A =π2,所以△ABC 定为直角三角形,C 正确;三角形的三边的比是3∶5∶7,设最大边所对的角为θ,则cos θ=32+52-722×3×5=-12,因为π3<θ<π,所以θ=2π3,D 正确.故选CD.答案:CD11.解析:函数f (x )x ,sin x ≤cos x ,x ,sin x >cos x的最小正周期为2π,画出f (x )在一个周期内的图象,可得当2k π+π4≤x ≤2k π+5π4,k ∈Z 时,f (x )=cos x ,当2k π+5π4<x ≤2k π+9π4,k ∈Z 时,f (x )=sin x ,可得f (x )的对称轴方程为x =π4+k π,k ∈Z ,当x =2k π+π或x =2k π+3π2,k ∈Z 时,f (x )取得最小值-1;当且仅当2k π<x <π+2k π(k ∈Z )时,f (x )>0.f (x )的最大值为=22,可得0<f (x )≤22,综上可得,正确的有CD.答案:CD 12.解析:连接AB 1,B 1D 1,AD 1,由正方体的性质可得A 1C ⊥平面AB 1D 1,而平面AB 1D 1与平面B 1EF 不可能平行,所以显然有A 1C 与平面B 1EF 不垂直,故A 错误;由题图可知,平面A 1B 1C 1D 1与平面B 1EF 相交,则一定有一条交线,所以在平面A 1B 1C 1D 1内一定存在直线与此交线平行,则此直线与平面B 1EF 平行,故B 正确;点F 在侧面BCC 1B 1上的投影为点B ,点E 在侧面BCC 1B 1上的投影在棱CC 1上,所以投影三角形的面积为S =12BB 1·BC =12,为定值,故C 正确;在D 1C 1上取点M ,使D 1M =14D 1C 1,在AD 上取点N ,使AN =23AD ,连接B 1M ,EM ,EN ,FN ,则五边形B 1MENF 即为截面,故D 正确,故选BCD.答案:BCD13.解析:解法一:因为tan θ=2,所以sin θ=2cos θ,由22θ=1可知,sin 2θ=45,cos 2θ=15,所以cos2θ=cos 2θ-sin 2θ=15-45=-35,=tan θ-11+tan θ=2-11+2=13.解法二:因为tan θ=2,所以cos 2θ=cos 2θ-sin 2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1-tan 2θ1+tan 2θ=1-41+4=-35,=tan θ-11+tan θ=2-11+2=13.答案:-351314.解析:解法一:设该圆锥的母线长为l ,因为圆锥的侧面展开图是一个半圆,其面积为2π,所以12πl 2=2π,解得l =2,所以该半圆的弧长为2π.设该圆锥的底面半径为R ,则2πR =2π,解得R =1.解法二:设该圆锥的底面半径为R ,则该圆锥侧面展开图中的圆弧的弧长为2πR .因为侧面展开图是一个半圆,设该半圆的半径为r ,则πr =2πR ,即r =2R ,所以侧面展开图的面积为12·2R ·2πR =2πR 2=2π,解得R =1.答案:115.解析:设复数z 1=a +b i ,z 2=c +d i(a ,b ,c ,d ∈R ),则a 2+b 2=4,c 2+d 2=4,又z 1+z 2=(a +c )+(b +d )i =3+i ,∴a +c =3,b +d =1,则(a +c )2+(b +d )2=a 2+c 2+b 2+d 2+2ac +2bd =4,∴8+2ac +2bd =4,即2ac +2bd =-4,∴|z 1-z 2|=(a -c )2+(b -d )2=a 2+b 2+c 2+d 2-(2ac +2bd )=8-(-4)=23.答案:2316.解析:依题意得AD ∥BC ,∠BAD =120°,由AD →·AB →=|AD →|·|AB →|·cos ∠BAD =-32|AD →|=-32,得|AD →|=1,因此λ=|AD →||BC →|=16.取MN 的中点E ,连接DE ,则DM →+DN→=2DE →,DM →·DN →=14[(DM →+DN →)2-(DM →-DN →)2]=DE →2-14NM →2=DE →2-14.注意到线段MN 在线段BC 上运动时,DE 的最小值等于点D 到直线BC 的距离,即AB ·sin ∠B =332,因此DE →2-142-14=132,即DM →·DN →的最小值为132.答案:1613217.解析:(1)∵角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,它的终边过点-35,,∴tan α=45-35=-43.(2)以角α的终边为始边,逆时针旋转π4得到角β,∴β=α+π4.由(1)利用任意角的三角函数的定义可得cos α=-35,sin α=45.∴sin 2α=2sin αcos α=-24,cos 2α=2cos 2α-1=-725.∴cos(α+β)=cos α=cos 2αcosπ4-sin 2αsin π4=22(cos 2α-sin 2α)=17250.18.解析:方案一:选条件①(1)由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,b =11-a ,c =7,得a 2=(11-a )2+49-2(11-a )×7,∴a =8.(2)∵cos A =-17,A ∈(0,π),∴sin A =437.由正弦定理a sin A =c sin C ,得sin C =c sin A a =7×4378=32,由(1)知b =11-a =3,∴S △ABC =12ab sin C =12×8×3×32=63.方案二:选条件②(1)∵cos A =18,∴A,sin A =378.∵cos B =916,∴B ,sin B =5716.由正弦定理a sin A =bsin B ,得a378=11-a 5716,∴a =6.(2)sin C =sin (π-A -B )=sin (A +B )=sin A cos B +cos A sin B =74.∵a +b =11,a =6,∴b =5.∴S △ABC =12ab sin C =12×6×5×74=1574.19.解析:∵函数f (x )的图象相邻对称轴间的距离为π,∴T =2πω=2π,∴ω=1,∴f (x )=2sin (x +φ).方案一:选条件①∵=+φ为奇函数,∴=2sin =0,解得:φ=π3+k π,k ∈Z .(1)∵0<φ<π2,∴φ=π3,∴f (x )=2sin ;(2)由-π2+2k π≤x +π3≤π2+2k π,k ∈Z ,得-56π+2k π≤x ≤π6+2k π,k ∈Z .∴令k =0,得-5π6≤x ≤π6,令k =1,得7π6≤x ≤13π6,∴函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间为[0,π6],[76π,2π];方案二:选条件②=2sin =3,∴sin =32,∴φ=2k π,k ∈Z 或φ=π3+2k π,k ∈Z ,(1)∵0<φ<π2,∴φ=π3,∴f (x )=2sin ;(2)由-π2+2k π≤x +π3≤π2+2k π,k ∈Z ,得-56π+2k π≤x ≤π6+2k π,k ∈Z .∴令k =0,得-5π6≤x ≤π6,令k =1,得7π6≤x ≤13π6,∴函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间为[0,π6],[76π,2π];方案三:选条件③∵23π是函数f (x )的一个零点,∴=2sin +=0.∴φ=k π-2π,k ∈Z .(1)∵0<φ<π2,∴φ=π3,∴f (x )=2sin ;(2)由-π2+2k π≤x +π3≤π2+2k π,k ∈Z ,得-56π+2k π≤x ≤π6+2k π,k ∈Z .∴令k =0,得-5π6≤x ≤π6,令k =1,得7π6≤x ≤13π6,∴函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间为[0,π6],[76π,2π].20.解析:方案一:选条件①.由C =π6和余弦定理得a 2+b 2-c 22ab=32.由sin A =3sin B 及正弦定理得a =3b .于是3b 2+b 2-c 223b2=32,由此可得b =c .由①ac =3,解得a =3,b =c =1.因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时c =1.方案二:选条件②.由C =π6和余弦定理得a 2+b 2-c 22ab=32.由sin A =3sin B 及正弦定理得a =3b .于是3b 2+b 2-c 223b 2=32,由此可得b =c ,B =C =π6,A =2π3.由②c sin A =3,所以c =b =23,a =6.因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时c =23.方案三:选条件③.由C =π6和余弦定理得a 2+b 2-c 22ab=32.由sin A =3sin B 及正弦定理得a =3b .于是3b 2+b 2-c 223b 2=32,由此可得b =c .由③c =3b ,与b =c 矛盾.因此,选条件③时问题中的三角形不存在.21.证明:(1)连接BD ,设AC ,BD 相交于点O ,连接MO ,因为M 是线段AC 1的中点,所以在△ACC 1中,MO 綊12CC 1.又F 是BB 1的中点,所以BF 綊12CC 1,所以BF 綊MO ,故四边形MOBF 是平行四边形,所以MF∥BO.又MF⊄平面ABCD,BO⊂平面ABCD,所以MF∥平面ABCD.(2)由(1)知OB∥MF,在菱形ABCD中,OB⊥AC,所以MF⊥AC.在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中,CC1⊥平面ABCD,BO⊂平面ABCD,所以BO⊥CC1,即MF⊥CC1.又MF⊥AC,CC1∩AC=C,AC⊂平面ACC1A1,CC1⊂平面ACC1A1,所以MF⊥平面ACC1A1.因为MF⊂平面AFC1,所以平面AFC1⊥平面ACC1A1.22.解析:(1)证明:因为四边形ABCD是菱形,所以AD∥BC.因为AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC.(2)证明:设AC、BD交于点O,连接PO.因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,DO=OB.因为PB=PD,所以PO⊥BD.因为AC∩PO=O,PO,AC⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC.(3)①过F作FG∥DC交PC于G,连接BG.在菱形ABCD中,AB=DC,AB∥DC,所以FG∥AB.所以E,F,G,B共面.因为EF∥平面PBC,平面FEBG∩平面PBC=BG,所以EF∥BG.所以四边形FEBG为平行四边形,所以EB=FG.所以AE=2EB,所以PFPD=FGDC=EBAB=13.②△PAD不是等腰三角形,理由如下:作BQ⊥AD交AD于点Q,连接PQ.因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BQ⊂平面ABCD,所以BQ⊥平面PAD.所以BQ⊥PD.因为PD⊥PB,PB∩BQ=B.所以PD⊥平面PBQ.所以PD⊥PQ.所以AD>PD,AD>PA,QD>PD,∠PQD<90°.所以∠PQA>90°.所以PA>AQ.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,所以△ABD是等边三角形.所以Q为AD的中点.所以AQ=QD.所以PA>PD.所以△PAD不可能为等腰三角形.。

(完整)人教版高中数学必修二期末测试题一及答案(20200814125816)

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高中数学必修二期末测试题一1、下图(1)所示的圆锥的俯视图为2、直线l :-、3x y 3 0的倾斜角D 、 150 o3、边长为a 正四面体的表面积是D 、 、,3a 2。

4、对于直线l:3x y 6 0的截距,下列说法正确的是距是6;C 、在x 轴上的截距是3;D 、在y 轴上的截、选择题(本大题共2道小题,每小题5分,共60分。

)A 、30;;60:; 120 ;B 、込 a 3 ;12C 、刍;4A 、在y 轴上的截距是6;B 、在x 轴上的截距是35、已知a// ,b ,则直线a与直线b的位置关系是()A、平行;B、相交或异面;C、异面;D、平行或异面。

6、已知两条直线|「x 2ay 1 0,l2:x 4y 0,且W,则满足条件a的值为()1 1A、;B、;C、2 ;2 2D、2。

7、在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB, BC, CD, DA的中点。

若AC BD a,且AC与BD所成的角为60:,贝卩四边形EFGH的面积为()3 2 3 2 3 2A、 a ;B、 a ;C、 a ;8 4 2D、■-/3a。

8已知圆C:x2 y2 2x 6y 0 ,则圆心P及半径r分别为()A、圆心P 1,3,半径r 10 ;B、圆心P 1,3 ,半径r ;C、圆心P 1, 3,半径r 10 ;D、圆心P 1, 3 ,半径r J0。

9、下列叙述中错误的是()A、若P 口且口l,则PI ;B、三点A,B,C确定一个平面;C、若直线ap|b A,则直线a与b能够确定一个平面;D、若 A I,B I 且 A ,B ,贝卩I 。

10、两条不平行的直线,其平行投影不可能是( )A、两条平行直线;B、一点和一条直线;C、两条相交直线;D、两个点。

11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为4、5,且它的8个顶3、点都在同一个球面上,则这个球的表面积是( )C 、125A、25 ;B、50 ;;D、都不对。

高中数学选择性必修二 期末模块检测(基础卷)(含答案)

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选择性必修第二册 期末模块检测试卷 基础A 卷解析版学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________题型:8(单选)+4(多选)+4(填空)+6(解答),满分150分,时间:120分钟一、单选题1.已知等比数列{}n a 中,1212a a +=,3134a a -=,则4=a ( )A .18- B .18C .4-D .4【答案】A 【分析】根据题意,将条件表示为1,a q 的形式,计算出1,a q ,再计算4a 即可. 【详解】∵等比数列{}n a 中,1212a a +=,3134a a -=,∴112111234a a q a a q ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,解得111,2a q ==-, ∴341311128a a q ⎛⎫=⨯-=-⎪⎝⎭= .故选:A.2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,3a =5,则5S =( ) A .5B .25C .35D .50【答案】B 【分析】根据等差中项及等差数列求和公式即可求解. 【详解】由题意可知,{}n a 为等差数列,所以15355()5252525222a a a S +⨯⨯⨯==== 故选:B3.古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日五尺,问日织几何?”意思是:“女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这名女子每天分别织布多少?”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景,则从第一天开始,要使织布机织布的总尺数为165尺,则所需的天数为( ) A .7 B .8 C .9 D .10【答案】D 【分析】设该女子第一天织布x 尺,根据题意,求得531x =尺,结合等比数列的求和公式,列出方程,即可求解. 【详解】设该女子第一天织布x 尺,则5天共织布5(12)512x -=-,解得531x =尺,在情境模拟下,设需要n天织布总尺数达到165尺,则有5(12)3116512n -=-,整理得21024n=,解得10n =.故选:D . 4.观察下列式子:213122+<,221151233++<,222111712344+++<,…,则可归纳出()2221111231n +++⋅⋅⋅++小于( )A .1n n + B .211n n -+ C .211n n ++ D .21nn + 【答案】C 【分析】根据已知式子分子和分母的规律归纳出结论. 【详解】由已知式子可知所猜测分式的分母为1n +,分子第1n +个正奇数,即21n ,()2221112112311n n n ++++⋅⋅⋅+<++∴. 故选:C.5.设曲线1e x y ax -=-在点1x =处的切线方程为2y x =,则a =( ) A .0 B .1C .2D .3【答案】D 【分析】利用12x y ='=可求得答案. 【详解】1e x y a -'=-,∵112x y a ==-=',则3a =.故选:D6.已知数列{}n a ,{}n b 都是等差数列,记n S ,n T 分别为{}n a ,{}n b 的前n 项和,且713n n S n T n-=,则55a b =( ) A .3415B .2310C .317D .6227【答案】D 【分析】利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解. 【详解】由713n n S n T n-=, ()()19551991955199927916229239272a a a a a a Sb b b b b b T ++⨯-======++⨯. 故选:D7.已知函数()331xf x x e =++,其导函数为()f x ',则()()()()2020202020212021f f f f ''+-+--的值为( )A .1B .2C .3D .4【答案】C 【分析】求得可得()'f x 的解析式,求出()f x '-解析式,可得()f x '为偶函数,即可求出()()20212021f f ''--的值,再求()()3f x f x +-=,即可求得()()20202020f f +-的值,即可求得答案. 【详解】()()22331xxe f x x e-'=++,()()()2222333()311xxxxe ef x x x ee----'-=+-=+++,所以()f x '为偶函数,所以()()202120210f f ''--=,因为()()33333331111x x x x x e f x f x x x e e e e -+-=++-=+=++++,所以()()202020203f f +-=,所以()()()()20202020202120213f f f f ''+-+--=. 故选:C .8.已知函数()()()22210,0x ax x x f x e ax e x ⎧-+<⎪=⎨-+-≥⎪⎩有两个零点,则实数a 的取值范围是( ) A .(),e +∞ B .()2e ,+∞C .()20,eD .()0,e【答案】B 【分析】分离变量,利用导函数应用得到函数在0x <无零点,则0x >有两个零点,利用函数最值得到参数范围 【详解】当0x =时,()201e f =--,∴0x =不是函数()f x 的零点.当0x <时,由()0f x =,得221x a x -=,设()221x h x x -=,()()3210x h x x-'=<,则()h x 在(),0-∞上单调递减,且()0h x <.所以0x <时无零点当0x >时,()0f x =等价于2x e e a x +=,令()2x e e g x x +=,()22x x xe e e g x x --'=,得()g x 在()0,2上单调递减,在()2,+∞上单调递增,()2min (2)g x g e ==,()2g x e ≥.因为()f x 有2个零点,所以2a e >. 故选:B. 【点睛】分离变量法,利用导数求函数的单调性,极值是解题关键.二、多选题9.已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,57S S =,则( ) A .60a >B .6S 最大C .130S >D .110S >【答案】ABD 【分析】转化条件为670a a +=,进而可得60a >,70a <,再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】因为57S S =,所以750S S -=,即670a a +=,因为数列{}n a 递减,所以67a a >,则60a >,70a <,故A 正确; 所以6S 最大,故B 正确;所以()113137131302a a S a+⨯==<,故C 错误;所以()111116111102a a S a+⨯==>,故D 正确.故选:ABD.10.已知定义在R 上的函数()f x ,其导函数()f x '的大致图象如图所示,则下列叙述不正确的是( )A .()()()f a f e f d >>B .函数()f x 在[],a b 上递增,在[],b d 上递减C .函数()f x 的极值点为c ,eD .函数()f x 的极大值为f b 【答案】ABD 【分析】对A ,B 由导数与函数单调性的关系,即可判断()f a ,()f b ,()f c 的大小以及()f x 的单调性,对C ,D 由极值的定义即可判断. 【详解】解:由题图知可,当(),x c ∈-∞时,()0f x '>,当(),x c e ∈时,()0f x '<,当(),x e ∈+∞时,()0f x '>, 所以()f x 在(),c -∞上递增, 在(),c e 上递减,在(),e +∞上递增, 对A ,()()f d f e >,故A 错误;对B ,函数()f x )在[],a b 上递增,在[],b c 上递增,在[],c d 上递减,故B 错误;对C ,函数()f x 的极值点为c ,e ,故C 正确; 对D ,函数()f x 的极大值为()f c ,故D 错误. 故选:ABD.11.在《增减算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关”.则下列说法正确的是( ) A .此人第六天只走了5里路B .此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C .此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里 D .此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 【答案】BCD 【分析】设此人第n 天走n a 里路,则{}n a 是首项为1a ,公比为12q = 的等比数列,由6S 求出1a ,然后求出相应的项,判断各选项. 【详解】解:根据题意此人每天行走的路程成等比数列, 设此人第n 天走n a 里路,则{}n a 是首项为1a ,公比为12q =的等比数列. 所以611611()(1)23781112a a q S q ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦===--,解得1192a =.选项A :55611192()62a a q ==⨯=,故A 错误,选项B :由1192a =,则61378192186S a -=-=,又1921866-=,故B 正确.选项C :211192962a a q ==⨯=,而6194.54S =,9694.5 1.5-=,故C 正确.选项D :2123111(1)192(1)33624a a a a q q ++=++=⨯++=, 则后3天走的路程为37833642-=, 而且336428÷=,D 正确. 故选:BCD . 【点睛】关键点点睛:本题考查等比数列的应用,解题关键是引入等比数列{}n a ,n a 表示第n 天行走的路程,根据前6项的和求出首项1a ,然后可得通项公式,从而判断出结论.12.已知数列{}n a 的前n 项和为2n 33S n n =-,则下列说法正确的是( )A .342n a n =-B .16S 为n S 的最小值C .1216272a a a +++=D .1230450a a a +++=【答案】AC 【分析】利用和与项的关系,分1n =和2n ≥分别求得数列的通项公式,检验合并即可判定A; 根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到121617193300()a a a S a a a +++=+----16302S S =-可计算后否定D.【详解】1133132a S ==-=,()()()2213333113422n n n a S S n n n n n n -=-=---+-=-≥,对于1n =也成立,所以342n a n =-,故A 正确;当17n <时,0n a >,当n=17时n a 0=,当17n >时,n a 0<,n S ∴只有最大值,没有最小值,故B 错误;因为当17n <时,0n a >,∴21216163316161716272a a a S +++==⨯-=⨯=,故C 正确; 121617193300()a a a S a a a +++=+----2163022272(333030S S =-=⨯-⨯-)54490454=-=,故D 错误. 故选:AC. 【点睛】本题考查数列的和与项的关系,数列的和的最值性质,绝对值数列的求和问题,属小综合题.和与项的关系()()1112n nn S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩,若数列{}n a 的前 k 项为正值,往后都是小于等于零,则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-,若数列{}n a 的前 k 项为负值,往后都是大于或等于零,则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-+.若数列的前面一些项是非负,后面的项为负值,则前n 项和只有最大值,没有最小值,若数列的前面一些项是非正,后面的项为正值,则前n 项和只有最小值,没有最大值.三、填空题13.已知()2()21f x x xf =+',则()1f '等于__________.(用数字作答)【答案】-2【分析】求出()f x 的导函数,代入1x =即可求解.【详解】()2()21f x x xf =+',()()221f x x f ''∴=+,()()12121f f ''∴=⨯+,解得()12f '=-.故答案为:2-.14.()f x 对任意x ∈R 都有()()112f x f x +-=.数列{}n a 满足:()120n a f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11n f f n -⎛⎫++ ⎪⎝⎭,则n a =__________. 【答案】14n + 【分析】采用倒序相加法即可求得结果.【详解】由题意得:()()1012f f +=,1112n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,2212n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,……, ()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ()()12110n n n a f f f f f n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 122n n a +∴=,解得:14n n a +=.故答案为:14n +. 【点睛】本题考查利用倒序相加法求和的问题,属于基础题.15.已知32()263f x x x =-+,对任意的2][2x ∈-,都有()f x a ≤,则a 的取值范围为_______. 【答案】[3)+∞,【分析】利用导数研究函数的单调性,进而求得在给定区间上的最大值,根据不等式恒成立的意义即得实数a 的取值范围.【详解】由2()6120f x x x '=-=得0x =或2x =,在区间[-2,0)上()'0f x >,()f x 单调递增;在(0,2)内时()()'0,f x f x <单调递减. 又(2)37f -=-,(0)3f =,(2)5f =-,∴max ()3f x =,又()f x a ≤对于任意的x ∈[-2,2]恒成立,∴3a ≥,即a 的取值范围是[)3,+∞故答案为:[)3,+∞.【点睛】本题考查利用导数研究函数的在闭区间上的最值进而求不等式恒成立中的参数范围,属基础题,关键在于利用导数研究函数的单调性,求得在给定区间上的最大值.16.古代埃及数学中有一个独特现象:除23用一个单独的符号表示以外,其他分数都可写成若干个单分数和的形式.例如2115315=+,可这样理解:假定有两个面包,要平均分给5个人,如果每人12,不够,每人13,余13,再将这13分2成5份,每人得115,这样每人分得11315+.形如)*2(3,21n n N n ∈-的分数的分解:2115315=+,2117428=+,2119545=+,按此规律,则221n =-________()*3,n n N ∈. 【答案】2112n n n+- 【分析】 根据21123133(231)=+⨯-⨯⨯-,21124144(241)=+⨯-⨯⨯-,21125155(251)=+⨯-⨯⨯-,…进行归纳推理. 【详解】 由题意得,2115315=+,即21123133(231)=+⨯-⨯⨯-, 2117428=+,即21124144(241)=+⨯-⨯⨯-, 2119545=+,即21125155(251)=+⨯-⨯⨯-, 由此归纳出)*211(3,21(21)n n N n n n n =+∈⨯--. 经验证112112(21)(21)21n n n n n n n -++==---,结论成立, ∴2211212n n n n=+--. 故答案为:2112n n n +-. 【点睛】方法点睛:由数列的前n 项归纳通项公式时,首先要分析项的结构,然后再探究结构中的各部分与项的序号n 间的函数关系,进而求得通项公式.四、解答题17.已知数列{}n a 各项均为正数,其前n 项和为n S ,且满足()241n n S a =+. (1)求数列{}n a 的通项公式.(2)设11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)21n a n =-;(2)21n n T n =+. 【分析】(1)由=1n 可得11a =,再由2n ≥时,()21141n n S a --=+与条件作差可得12n n a a --=,从而利用等差数列求通项公式即可; (2)由n b 1(21)(21)n n =-+利用裂项相消求和即可. 【详解】(1)∵()241n n S a =+,∴()21141a a =+,解得11a =,当2n ≥时,由()241n n S a =+①可得, ()21141n n S a --=+②,①-②:()()1120n n n n a a a a --+--=,∵0n a >,∴10n n a a -+≠,∴120n n a a ---=,即∴12n n a a --=,∴{}n a 是以11a =为首项,以2d =为公差的等差数列,∴1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-综上所述,结论是:21n a n =-.(2)由(1)可得11n n n b a a +=1(21)(21)n n =-+11122121n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭∴2n a n T b b b =+++111111123352121n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭ 11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭, 综上所述,21n n T n =+. 18.在①133a a b +=,②254b S b +=-,③194a a +=-这三个条件中任选两个,补充在下面的问题中.若问题中的m 存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,{}n b 是各项均为正数的等比数列,设前n 项和为n T ,若 , ,且1422,5b T T ==.是否存在大于2的正整数m ,使得134,,m S S S 成等比数列?(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.)【答案】答案见解析.【分析】由等比数列的条件,求得2q ,可得等比数列的通项公式.然后分别选取条件①②,条件①③,条件②③,列出关于等差数列首项与公差的方程组,求得首项与公差,得到等差数列的通项公式及前n 项和,再由14S ,3S ,m S 成等比数列列式求解m 值即可.【详解】解:设{}n a 的 公差为d ,{}n b 的公比为(0)q q >,由题意知1q ≠,所以421142(1)(1)5511b q b q T T q q--===--, 整理得215q +=,因为0q >,所以2q ,所以2n n b =.(1)当选取的条件为①②时,有1358416a a S +=⎧⎨+=-⎩,所以1122824a d a d +=⎧⎨+=-⎩, 解得1128a d =⎧⎨=-⎩. 所以2820,416n n a n S n n =-+=-+.所以21312,12,416m S S S m m ===-+,若134,,m S S S 成等比数列,则2314m S S S =,所以241630m m -+=,解得2m = 因为m 为正整数,所以不符合题意,此时m 不存在.(2)当选取的条件为①③时,有131984a a a a +=⎧⎨+=-⎩,所以11228284a d a d +=⎧⎨+=-⎩, 解得162a d =⎧⎨=-⎩. 所以228,7n n a n S n n =-+=-+.所以2136,12,7m S S S m m ===-+,若134,,m S S S 成等比数列,则2314m S S S =,所以2760m m -+=,解得6m =或1m =(舍去)此时存在正整数6m =满足题意.(3)当选取的条件为②③时,有1954416a a S +=-⎧⎨+=-⎩,所以1128424a d a d +=-⎧⎨+=-⎩, 解得161a d =-⎧⎨=⎩. 所以2137,2n n n n a n S -=-=. 所以213136,15,2m m m S S S -=-=-=, 若134,,m S S S 成等比数列,则2314m S S S =,即22524m S =-,所以2452750m m -+=,解得132m =, 因为m 为正整数,所以不符合题意,此时m 不存在.【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题,解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用,尤其需要注意的是,在使用等比数列的前n 项和公式时,应该要分类讨论,有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.19.已知数列{}n a 中,11a =,()*13n n n a a n N a +=∈+ (1)证明:数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列 (2)若数列{}n b 满足()312n n n n n b a -=⋅,求数列{}n b 的前n 项和nT . 【答案】(1)证明见解析 ;(2)1242n n n T -+=-. 【分析】(1)由()*13n n n a a n N a +=∈+可得11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,然后可得答案; (2)由(1)可算出231n n a =-,12n n n b -=,然后用错位相减法可算出答案. 【详解】 (1)证明:由()*13n n n a a n N a +=∈+,知11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭又111322a +=,∴112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32为首项,3为公比的等比数列 (2)解:由(1)知111333222n n n a -+=⨯=,∴231n n a =-,12n n n b -= 0122111111123(1)22222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ 211111112(1)22222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯ 两式相减得012111111222222222n n n nT n n -+=++++-⨯=- ∴1242n n n T -+=- 20.已知函数()()x x f x a a R e=-∈ (1)求函数()f x 的单调区间;(2)若方程()f x =0有两个不相等的实数根,求实数a 的取值范围.【答案】(1)()f x 的单调递增区间是(,1)-∞,单调递减区间是(1,)+∞.(2)10a e <<【分析】(1)首先求出函数的导函数,再解不等式即可得到函数的单调区间;(2)由()0x x f x a e =-=得x x a e =, 将此方程的根看作函数x x y e=与y a =的图象交点的横坐标,结合(1)中相关性质得到函数的图象,数形结合即可得到参数的取值范围;【详解】解:(1)∵()()x x f x a a R e=-∈ 所以21()()x x x x e xe x f x e e--'== ∴当1x <时,()0f x '>,当1x >时,()0f x '<;即()f x 的单调递增区间是(,1)-∞,单调递减区间是(1,)+∞.(2)由()0x x f x a e =-=得xx a e =, 将此方程的根看作函数x x y e =与y a =的图象交点的横坐标, 由(1)知函数x x y e =在1x =时有极大值1e,作出其大致图象,∴实数a 的取值范围是10a e<<. 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的零点问题,属于基础题.21.设函数()21x f x e ax x =---,a R ∈. (1)0a =时,求()f x 的最小值.(2)若()0f x ≥在[)0,+∞恒成立,求a 的取值范围.【答案】(1)0;(2)1(,]2-∞.【分析】(1)当0a =时,求导可得()1xf x e '=-,令()0f x '=,解得0x =,分别讨论(),0x ∈-∞和()0,∞+时,()'f x 的正负,即可得()f x 的单调性,即可求得答案;(2)求导可得()21x f x e ax '=--,设()21(0)x h x e ax x =--≥,分别讨论12a ≤和12a >时()h x '的正负,可得()h x 的单调性,进而可得()f x 的单调性,综合分析,即可得答案.【详解】(1)当0a =时,()1x f x e x =--,则()1xf x e '=-, 令()0f x '=,解得0x =,当(),0x ∈-∞时,()0f x '<,所以()f x 在(),0-∞单调递减函数;当()0,x ∈+∞时,()0f x '>,所以()f x 在()0,∞+单调递增函数;所以()()min 00f x f ==.(2)()21x f x e ax x =---,则()21xf x e ax '=--, 设()21(0)xh x e ax x =--≥,则()2x h x e a '=-, 当12a ≤时,()0h x '≥,所以()h x 在[)0,+∞上为增函数, 又(0)0h =,所以()(0)0h x h ≥=,即()0f x '≥,所以()f x 在在[)0,+∞上为增函数,又(0)0f =,所以()(0)0f x f ≥=,满足题意; 当12a >时,令()0h x '=,解得ln2x a =, 当(0,ln 2)x a ∈时,()0h x '<,所以()h x 在(0,ln 2)a 为减函数,所以当[0,ln 2)x a ∈时,()(0)0h x h ≤=,即()0f x '≤,所以()f x 在[0,ln 2)x a ∈为减函数,又(0)0f =所以()(0)0f x f ,不满足题意,综上:a 的取值范围是1(,]2-∞【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求解函数单调性,极(最)值的方法,若处理恒成立问题时,需满足min ()0f x ≥,若处理存在性问题时,需满足max ()0f x ≥,需仔细审题,进行求解,属中档题. 22.已知2()2ln f x x x a x =-+.(1)若函数()f x 在2x =处取得极值,求实数a 的值;(2)若()()g x f x ax =-,求函数()g x 的单调递增区间;(3)若2a =,存在正实数12,x x ,使得()()1212f x f x x x +=+成立,求12x x +的取值范围.【答案】(1)4-;(2)答案见解析;(3)32⎡⎫++∞⎪⎢⎪⎣⎭. 【分析】(1)由题意结合极值的概念可得(2)0f '=,解得4a =-后,验证即可得解;(2)求导得(1)(2)()(0)x x a g x x x--'=>,按照0a ≤、02a <<、2a =、2a >分类讨论,求得()0g x '>的解集即可得解;(3)转化条件得()()()212121212322ln x x x x x x x x +-+=-,令12t x x =,()22ln (0)t t t t ϕ=->,求导确定()t ϕ的单调性和值域即可得解.【详解】(1)222()22(0)a x x a f x x x x x-+-+'==>, ∵函数()f x 在2x =处取得极值,∴84(2)0a f x -+'==,解得4a =-, 当4a =-时,()2222(1)(2)()x x x x f x x x'--+-==. ∴当02x <<时,()0f x '<,()f x 单调递减;当2x >时,()0f x '>,()f x 单调递增;∴当4a =-时,函数()f x 在2x =处取得极小值;(2)2()()(2)ln g x f x ax x a x a x =-=-++, ∴22(2)(1)(2)()2(2)(0)a x a x a x x a g x x a x x x x-++--'=-++==>, 令()0f x '=,则1x =或2a x =, ①当0a ≤时,令()0g x '>可得1x >,∴函数()g x 的单调递增区间为(1,)+∞;②当02a <<时,令()0g x '>可得02a x <<或1x >, ∴函数()g x 的单调递增区间为0,,(1,)2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭; ③当2a =时,()0g x '≥在(0,)x ∈+∞上恒成立,∴函数()g x 的单调递增区间为(0,)+∞;④当2a >时,令()0g x '>可得01x <<或2a x >,∴函数()g x 的单调递增区间为(0,1),,2a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭; (3)2a =,∴2()22ln f x x x x =-+,()()1212f x f x x x +=+,∴()()221212121222ln x x x x x x x x +-++=+,整理可得()()()212121212322ln x x x x x x x x +-+=-,令12t x x =,()22ln (0)t t t t ϕ=->, 12(1)()21t tt tϕ-⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭,令()0t ϕ'=,解得1t =, 当01t <<时,()0t ϕ'<,()t ϕ单调递减;当1t >时,()0t ϕ'>,()t ϕ单调递增; ∴当1t =时,()t ϕ取得极小值即最小值为()12ϕ=,∴()()2121232x x x x +-+≥即()()21212320x x x x +-+-≥,解得1232x x +≤(舍去)或1232x x +≥,∴12x x +的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 【点睛】本题考查了导数的综合应用,考查了运算求解能力、逻辑推理能力、分类讨论思想,属于中档题.。

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高中数学必修二期末测试题
期末测试题
考试时间:90分钟试卷满分:100分一、选择题:本大题共14小题,每小题4分,共56分(在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合要求的(
1(在直角坐标系中,已知A(,1,2),B(3,0),那么线段AB中点的坐标为( )( A((2,2) B((1,1) C((,2,,2) D((,1,,1) 2(右面三视图所表示的几何体是( )(
A(三棱锥
正视图侧视图 B(四棱锥
C(五棱锥
D(六棱锥
俯视图
(第2题)
3(如果直线x,2y,1,0和y,kx互相平行,则实数k的值为( )(
11A(2 B( C(,2 D(, 224(一个球的体积和表面积在数值上相等,则该球半径的数值为( )( A(1 B(2 C(3 D(4 5(下面图形中是正方体展开图的是( )(
A B C D
(第5题)
226(圆x,y,2x,4y,4,0的圆心坐标是( )(
A((,2,4) B((2,,4) C((,1,2) D((1,2) 7(直线y,2x,1关于y轴对称的直线方程为( )(
A(y,,2x,1 B(y,2x,1
C(y,,2x,1 D(y,,x,1
8(已知两条相交直线a,b,a?平面 ,,则b与, 的位置关系是( )(
A(b平面, B(b?平面, ,
C(b?平面, D(b与平面,相交,或b?平面, ?(在空间中,a,b是不重合的直线,,,,是不重合的平面,则下列条件中可推出
a?b的是( )(
A(a,,b,,,?, B(a?,,b, ,,,
C(a?,,b?, D(a?,,b, ,
222210( 圆x,y,1和圆x,y,6y,5,0的位置关系是( )(
A(外切 B(内切 C(外离 D(内含 11(如图,正方体ABCD—A'B'C'D'中,直线
D'A与DB,D ,C
,A ,B 所成的角可以表示为( )(
A(?D'DB B(?AD' C'
D C C(?ADB D(?DBC' A B
(第11题)
2212( 圆(x,1),(y,1),2被轴截得的弦长等于( )( x
3A( 1 B( C( 2 D( 3 2
13(如图,三棱柱ABC—ABC中,侧棱AA?底面ABC,1111111E CB
底面三角形ABC是正三角形,E是BC中点,则下列叙述正111A
确的是( )( C1 B1 A(CC与BE是异面直线 11
A1 B(AC?平面ABBA 11(第13题) C(AE,BC为异面直线,且AE?BC 1111
D(AC?平面ABE111
14(有一种圆柱体形状的笔筒,底面半径为4 cm,高为12 cm(现要为100个这种相同
2规格的笔筒涂色(笔筒内外均要涂色,笔筒厚度忽略不计)( 如果每0.5 kg涂料可以涂1 m,
那么为这批笔筒涂色约需涂料(
A(1.23 kg B(1.76 kg C(2.46 kg D(3.52 kg
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分(把答案填在题中横线上( 15(坐标原点到直线4x,3y,12,0的距离为 (
16(以点A(2,0)为圆心,且经过点B(,1,1)的圆的D1 C1
A方程是 ( 1 B1 17(如图,在长方体ABCD—ABCD中,棱锥A—11111C D —ABCD的体积与长方体的体积之比为_______________( A B
(第17题) 18(在平面几何中,有如下结论:三边相等的三角形
内任意一点到三边的距离之和为定值(拓展到空间,类比平面几何的上述结论,可得:四个面均为等边三角形的四面体内任意一点
_______________________________________( 三、解答题:本大题共3小题,共28分(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤( 19(已知直线l经过点(0,,2),其倾斜角是60?(
(1)求直线l的方程;
(2)求直线l与两坐标轴围成三角形的面积(
20(如图,在三棱锥P—ABC中,PC?底面ABC,
AB?BC,D,E分别是AB,PB的中点( P
(1)求证:DE?平面PAC;
(2)求证:AB?PB;
E
(3)若PC,BC,求二面角P—AB—C的大小( C
A
D B
(第20题)
21(已知半径为5的圆C的圆心在x轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线
4x,3y,29,0相切(
(1)求圆C的方程;
(2)设直线ax,y,5,0与圆C相交于A,B两点,求实数a的取值范围;
(3) 在(2)的条件下,是否存在实数a,使得过点P(,2,4)的直线l垂直平分弦AB,若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由(
期末测试题
参考答案
一、选择题
1(B 2(D 3(D 4(C 5(A 6(D 7(A 8(D 9(C 10(A 11(D 12(C 13(C 14(D
二、填空题
1215(( 5
2216((x,2),y,10(
17(1:3(
18(到四个面的距离之和为定值(
三、解答题
19(解:(1)因为直线l的倾斜角的大小为60?,故其斜率为tan 60?,,又直线l 经过3
点(0,,2),所以其方程为x,y,2,0( 3
2(2)由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是,,2,所以直线l与两坐标轴3
1223围成三角形的面积S,??2,( 233
20((1)证明:因为D,E分别是AB,PB的中点,
P 所以DE?PA(
因为PA平面PAC,且DE平面PAC, ,,
E 所以DE?平面PAC(
C A
D (2)因为PC?平面ABC,且AB平面ABC, ,B
所以AB?PC(又因为AB?BC,且PC?BC,C( (第20题)
所以AB?平面PBC(
又因为PB平面PBC, ,
所以AB?PB(
(3)由(2)知,PB?AB,BC?AB,
所以,?PBC为二面角P—AB—C的平面角(
因为PC,BC,?PCB,90?,
所以?PBC,45?,
所以二面角P—AB—C的大小为45?( 21(解:(1)设圆心为M(m,0)(m?Z)( 4m,29由于圆与直线4x,3y,29,0相切,且半径为5,所以,,5,
5|4m,29|,25( 即
因为m为整数,故m,1(
22故所求的圆的方程是(x,1),y,25( (2)直线ax,y,5,0即y,ax,5(代入圆的方程,消去y整理,得 22(a,1)x,2(5a,1)x,1,0(
22由于直线ax,y,5,0交圆于A,B两点,故?,4(5a,1),4(a,1),0,
52即12a,5a,0,解得a,0,或a,( 12
5所以实数a的取值范围是(,?,0)?(,,?)( 12
1(3)设符合条件的实数a存在,由(2)得a?0,则直线l的斜率为,,l的方程为y,a1(x,2),4,即x,ay,2,4a,0(由于l垂直平分弦AB,故圆心M(1,0)必在l上(所,a
3353以1,0,2,4a,0,解得a,(由于?(,,?),故存在实数a,,使得过点44124
P(,2,4)的直线l垂直平分弦AB(。

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