数学神奇的曲线美
数学中有很多寓意美好的曲线,在极坐标系中的应用
《数学曲线的美丽与应用》一、引言在数学领域中，曲线是一个引人入胜的主题。
数学中有很多寓意美好的曲线，其中在极坐标系中的应用更是令人着迷。
本文将从深度和广度的角度探讨数学曲线的美丽以及在极坐标系中的应用，带领读者一起领略和探索这一令人着迷的数学世界。
二、数学曲线的美丽1. 认识数学曲线数学曲线是描述一个或多个变量之间关系的图形。
通过数学的方法和技巧，我们可以绘制出各种各样的曲线，它们有着不同的形状和特点。
在数学曲线的世界里，有着许多美丽而又深刻的曲线，如正弦曲线、余弦曲线、阿基米德螺线等。
2. 曲线的几何美数学曲线的几何美是无法忽视的，它们的形态和轨迹往往具有令人赞叹的美感。
从螺线的旋转美到椭圆的优雅曲线，每一种曲线都展现着数学之美。
3. 曲线的数学美除了几何美，数学曲线还有着深刻的数学美。
通过对曲线的方程和性质进行分析，我们可以揭示出曲线背后的数学规律和原理，这些规律和原理是数学的精华所在。
三、极坐标系中的数学曲线应用1. 极坐标系简介极坐标系是一种描述平面上点的坐标系，它使用极径和极角来确定点的位置。
在极坐标系中，我们可以用极坐标方程来描述曲线，这为我们研究曲线的特性和应用提供了便利。
2. 极坐标系中的曲线方程在极坐标系中，一些常见的数学曲线可以用极坐标方程来描述，如圆、螺线、双曲线等。
极坐标方程的使用使得我们可以更加直观地理解和分析这些曲线的性质和特点。
3. 曲线在极坐标系中的运动和变换在极坐标系中，曲线的运动和变换也是一个重要的研究方向。
通过调整极坐标方程中的参数，我们可以观察到曲线的旋转、拉伸、平移等运动和变换，这为我们研究曲线的动态特性提供了便利。
四、总结与展望数学曲线作为数学中的经典主题，不仅具有几何美和数学美，还有着丰富的应用价值。
在极坐标系中，数学曲线的应用使得我们更加深入地理解和探索数学曲线的世界。
通过深入研究和探索数学曲线，我们可以发现更多的美和奥秘，也可以将其应用于更广泛的领域。
有趣的数学——摆线，几何中的“海伦”
有趣的数学——摆线，⼏何中的“海伦”摆线，⼏何学的“海伦” (The Helen of Geometry) ,是数学中⽐较独特⽽有趣的曲线之⼀，它被定义为：“在⼀个直线运动的圆上，某⼀固定点所经过的轨迹连成的曲线”，⼜叫做摆线。
最早介绍摆线的参考书，是1501年由査尔斯·鲍威尔（Charles Bouvelles)出版发⾏的。
但是，17世纪，许多著名的数学家（伽利略、帕司科、托⾥切利、笛卡⼉、符麦特、壬、沃利斯、惠更斯、乔恩·贝诺利、莱布尼兹、⽜顿）都致⼒于发现它的性质和特征。
17世纪，⼈们热衷于⽤数学来研究机械学和运动学，这也许可以解释为什么⼈们对摆线也产⽣了浓厚的兴趣。
同当时的许多数学发现⼀样，摆线也有着许多争论，争论谁最先发现了什么原理，相互指责对⽅剽窃，以及贬低对⽅的成果。
结果，摆线被贴上了 “祸根”这样的标签，叫做⼏何学的“海伦”，或者引起纷争的“⾦苹果” 。
17世纪期间，⼈们发现了摆线的很多特征：1) 长度为旋转圆直径的4倍。
尤其有趣的是，⼈们发现，它的长度是⼀个独⽴于π的有理数。
2) 拱形弧线下⽅区域的⾯积等于旋转圆⾯积的3倍。
3) 圆上⼀点的轨迹形成摆线，该点有着不同的速度——事实上，在其中⼀个位置，如点込上，它甚⾄是静⽌不动的。
4) ⼀个摆线形状的容器中，如果将⼤理⽯块从摆线上的不同点松开，使其降落，它们会同时到达底部。
有许多引⼈⼈胜的隽语都与摆线有关，下⾯这句关于⽕车的隽语就特别有趣：在任何时候，⾏进中的⽕车都不会完全朝着发动机牵引的⽅向前进，其本⾝总有⼀部分朝着相反的⽅向做运动。
这个似是⽽⾮的隽语就能够⽤摆线来解释。
这⾥是⼀条曲线，叫做长辐圆滚线——旋转轮外的某⼀固定点形成的轨迹。
这个图形表明，当⽕车朝前移动时，⽕车轮上有些部分在做着向后的运动。
优美的曲线
优美的曲线1.碟形弹簧圓柱坐标方程：r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90)) 24*t图12.葉形线.笛卡儿坐標标方程：a=10x=3*a*t/(1 (t^3))y=3*a*(t^2)/(1 (t^3))图23.螺旋线(Helical curve)圆柱坐标（cylindrical）方程：r=ttheta=10 t*(20*360)z=t*3图34.蝴蝶曲线球坐标方程：rho = 8 * t theta = 360 * t * 4 phi = -360 * t * 8图45.渐开线采用笛卡尔坐标系方程：r=1ang=360*ts=2*pi*r*tx0=s*cos(ang)y0=s*sin(ang)x=x0 s*sin(ang)y=y0-s*cos(ang) z=0图56.螺旋线.笛卡儿坐标方程：x = 4 * cos ( t *(5*360)) y = 4 * sin ( t *(5*360))z = 10*t图67.对数曲线笛卡尔坐标系方程：z=0x = 10*ty = log(10*t 0.0001)图78.球面螺旋线采用球坐标系方程：rho=4theta=t*180phi=t*360*20图89.双弧外摆线卡迪尔坐标方程：l=2.5b=2.5x=3*b*cos(t*360) l*cos(3*t*360) Y=3*b*sin(t*360) l*sin(3*t*360)图910.星行线卡迪尔坐标方程：a=5x=a*(cos(t*360))^3y=a*(sin(t*360))^3图1011.心脏线圓柱坐标方程：a=10r=a*(1 cos(theta))theta=t*360图1112.圆内螺旋线采用柱座标系方程：theta=t*360r=10 10*sin(6*theta)z=2*sin(6*theta)图1213.正弦曲线笛卡尔坐标系方程：x=50*ty=10*sin(t*360)z=0图1314.太阳线（这本来是做别的曲线的，结果做错了，就变成这样了）图1415.费马曲线（有点像螺纹线）数学方程：r＊r = a*a*theta圓柱坐标方程1: theta=360*t*5a=4r=a*sqrt(theta*180/pi)方程2: theta=360*t*5a=4r=-a*sqrt(theta*180/pi)由于Pro/e只能做连续的曲线，所以只能分两次做图1516.Talbot 曲线卡笛尔坐标方程：theta=t*360a=1.1b=0.666c=sin(theta)f=1x = (a*a f*f*c*c)*cos(theta)/ay = (a*a-2*f f*f*c*c)*sin(theta)/b图1617.4叶线（一个方程做的，没有复制）图1718.Rhodonea 曲线采用笛卡尔坐标系方程：theta=t*360*4x=25 (10-6)*cos(theta) 10*cos((10/6-1)*theta) y=25 (10-6)*sin(theta)-6*sin((10/6-1)*theta)图1819. 抛物线笛卡儿坐标方程：x =(4 * t)y =(3 * t) (5 * t ^2)z =0图1920.螺旋线圓柱坐标方程：r = 5theta = t*1800z =(cos(theta-90)) 24*t图2021.三叶线圆柱坐标方程：a=1theta=t*380b=sin(theta)r=a*cos(theta)*(4*b*b-1)图212.外摆线迪卡尔坐标方程：theta=t*720*5b=8a=5x=(a b)*cos(theta)-b*cos((a/b 1)*theta) y=(a b)*sin(theta)-b*sin((a/b 1)*theta) z=0图2223. Lissajous 曲线theta=t*360a=1b=1c=100n=3x=a*sin(n*theta c)y=b*sin(theta)图2324.长短幅圆内旋轮线卡笛尔坐标方程：a=5b=7c=2.2theta=360*t*10x=(a-b)*cos(theta) c*cos((a/b-1)*theta) y=(a-b)*sin(theta)-c*sin((a/b-1)*theta)图2425.长短幅圆外旋轮线卡笛尔坐标方程：theta=t*360*10a=5b=3c=5x=(a b)*cos(theta)-c*cos((a/b 1)*theta) y=(a b)*sin(theta)-c*sin((a/b 1)*theta)图2526. 三尖瓣线a=10x = a*(2*cos(t*360) cos(2*t*360)) y = a*(2*sin(t*360)-sin(2*t*360))图2627.概率曲线！方程：笛卡儿坐标x = t*10-5y = exp(0-x^2)图2728.箕舌线笛卡儿坐标系a = 1x = -5 t*10y = 8*a^3/(x^2 4*a^2)图2829.阿基米德螺线柱坐标a=100theta = t*400r = a*theta图2930.对数螺线柱坐标theta = t*360*2.2 a = 0.005r = exp(a*theta)图3031.蔓叶线笛卡儿坐标系a=10y=t*100-50 solvex^3 = y^2*(2*a-x) for x图3132.tan曲线笛卡儿坐标系x = t*8.5 -4.25y = tan(x*20)图3233.双曲余弦x = 6*t-3y = (exp(x) exp(0-x))/2图3334.双曲正弦x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/2图3435.双曲正切x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/(exp(x) exp(0-x))图3536.一峰三驻点曲线x = 3*t-1.5y=(x^2-1)^3 1图3637.八字曲线x = 2 * cos ( t *(2*180)) y = 2 * sin ( t *(5*360)) z = 0图3738.螺旋曲线r=t*(10*180) 1theta=10 t*(20*180)z=t图3839.圆x = cos ( t *(5*180))y = sin ( t *(5*180))z = 0 图3940.封闭球形环绕曲线rho=2theta=360*tphi=t*360*10图4041.柱坐标螺旋曲线x = 100*t * cos ( t *(5*180)) y = 100*t * sin ( t *(5*180)) z = 0图4142.蛇形曲线x = 2 * cos ( (t 1) *(2*180)) y = 2 * sin ( t *(5*360))z = t*(t 1)图4243.8字形曲线柱坐标theta = t*360r=10 (8*sin(theta))^2图4344.椭圆曲线笛卡尔坐标系a = 10b = 20theta = t*360x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)图4445.梅花曲线柱坐标theta = t*360r=10 (3*sin(theta*2.5))^2图4546.另一个花曲线theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2z=4*sin(theta*3)^2图4647.改一下就成为空间感更强的花曲线了;)theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2 z=(r*sin(theta*3))^2图4748.螺旋上升的椭圆线a = 10b = 20theta = t*360*3x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)z=t*12图4849.甚至这种螺旋花曲线theta = t*360*4r=10 (3*sin(theta*2.5))^2 z = t*16图4950 鼓形线笛卡尔方程r=5 3.3*sin(t*180) ttheta=t*360*10z=t*10图5051 长命锁曲线笛卡尔方程：a=1*t*359.5b=q2*t*360c=q3*t*360rr1=w1rr2=w2rr3=w3x=rr1*cos(a)+rr2*cos(b)+rr3*cos(c) y=rr1*sin(a)+rr2*sin(b)+rr3*sin(c)图5152 簪形线球坐标方程：rho=200*ttheta=900*tphi=t*90*10图5253.螺旋上升曲线r=t^10theta=t^3*360*6*3+t^3*360*3*3 z=t^3*(t+1)图5354.蘑菇曲线rho=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*20*20图5455. 8字曲线a=1b=1x=3*b*cos(t*360)+a*cos(3*t*360) Y=b*sin(t*360)+a*sin(3*t*360)图5556.梅花曲线theta=t*360r=100+50*cos(5*theta) z=2*cos(5*theta)图5657.桃形曲线rho=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*10*10图5758.名稱:碟形弹簧建立環境:pro/e圓柱坐r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+24图5859.环形二次曲线笛卡儿方程：x=50*cos(t*360)y=50*sin(t*360)z=10*cos(t*360*8)图5960 蝶线球坐标：rho=4*sin(t*360)+6*cos(t*360^2) theta=t*360phi=log(1+t*360)*t*360图6061.正弦周弹簧笛卡尔：ang1=t*360ang2=t*360*20x=ang1*2*pi/360y=sin(ang1)*5+cos(ang2)z=sin(ang2)图6162.环形螺旋线x=（50+10*sin(t*360*15))*cos(t*360) y=(50+10*sin(t*360*15))*sin(t*360) z=10*cos(t*360*5)图6263.内接弹簧x=2*cos(t*360*10)+cos(t*180*10)y=2*sin(t*360*10)+sin(t*180*10)z=t*6图6364.多变内接式弹簧x=3*cos(t*360*8)-1.5*cos(t*480*8)y=3*sin(t*360*8)-1.5*sin(t*480*8)z=t*8图6465.柱面正弦波线柱坐标：方程theta=t*360z=5*sin(5*theta-90)图6566. ufo （漩涡线）球坐标：rho=t*20^2theta=t*log(30)*60 phi=t*7200图6667. 手把曲线thta0=t*360thta1=t*360*6r0=400r1=40r=r0+r1*cos(thta1) x=r*cos(thta0)y=r1*sin(thta1)z=068.篮子圆柱坐标r=5+0.3*sin(t*180)+ttheta=t*360*30z=t*5图6869. 圆柱齿轮齿廓的渐开线方程：afa=60*tx=10*cos(afa)+pi*10*afa/180*sin(afa)x=10*sin(afa)-pi*10*afa/180*cos(afa)z=0注：afa为压力角，取值范围是0到60，10为基圆半径。
数学延展出的线条美学
数学延展出的线条美学
首先，数学中的曲线和线条可以展现出优美的几何形态。
例如，圆形、椭圆、双曲线等曲线都有独特的美感，它们的数学性质和几
何特征使它们成为了艺术和设计中常用的元素。
这些曲线不仅在数
学上具有美学意义，还在艺术作品和建筑设计中被广泛运用，展现
出了数学美学的魅力。
其次，数学中的线条和曲线还可以通过函数的图像展现出丰富
的变化和对称美。
例如，正弦曲线、余弦曲线等具有周期性变化的
函数图像，展现出了优美的波动和对称美。
这些图像不仅在数学分
析中有重要的应用，还在艺术创作和设计中被广泛地运用，成为了
抽象艺术和现代设计中的灵感之源。
此外，数学中的线条美学还可以通过拓扑学和复变函数等抽象
数学理论展现出来。
拓扑学中的结点、连通性和曲面的特性，以及
复变函数中的解析性和全纯性等概念都可以被看作是线条美学的抽
象表现。
这些抽象概念的美学意义不仅体现在数学理论的深刻内涵中，也在现代艺术和设计中找到了具体的表现。
总的来说，数学延展出的线条美学是一个多维度的概念，既包
括了几何图形的美感，也包括了函数图像的变化美和抽象数学理论的深刻美。
这些美学意义不仅在数学研究中具有重要价值，也在艺术、设计和人类审美活动中产生了深远的影响。
因此，我们可以说数学延展出的线条美学是数学的一大魅力所在，也是人类文明中不可或缺的一部分。
数学的美感从形到公式的美丽之旅
数学的美感从形到公式的美丽之旅数学是一门独特而美妙的学科，它以其深邃的逻辑和精确的推理能力吸引无数学者的心灵。
从形到公式的美丽之旅，让我们一同领悟数学的美感。
一、形的美感形是数学中最基本的概念之一，它在数学中扮演着重要的角色。
让我们先来探索形的美感。
1. 几何之美几何学是研究形和空间关系的学科，从线段、角、三角形到圆、椭圆，每一种几何形状都蕴含着独特的美感。
例如，圆形代表着完美与和谐，它的对称性使得我们欣赏到了几何之美。
2. 对称的魅力对称是形美的重要特征之一。
无论是镜面对称还是轴对称，对称性都给人以美的享受。
对称性不仅仅存在于几何形状中，它也存在于许多数学问题中，如函数的对称性、方程的对称性等。
对称的魅力使我们在数学的世界中感受到了和谐与平衡。
3. 多面体的奇妙多面体是由多个平面围成的立体图形，它们的平整外表和规则的几何结构令人惊叹。
正多面体，如正方体、正六面体等，不仅在实际生活中经常出现，而且它们的对称性和完美的形状使人沉醉其中。
二、公式的美感公式是数学中用于表示关系和规律的一种形式化语言。
让我们继续我们的旅程，来领略公式的美感。
1. Euler公式的魔力欧拉公式是数学中最著名的公式之一，它连接了数学的五个最基本的数：0、1、e、π和i。
它的形式简洁而优美，具有深刻的数学内涵。
许多数学家都被这个公式的美感所吸引，把它当作最具代表性的数学公式之一。
2. 黄金分割的神奇黄金分割是指将一个线段分为两个部分，使得整体与较长部分之间的比等于较长部分与较短部分之间的比。
黄金分割具有神奇的美感，它被广泛应用于建筑、艺术和设计中，给人以和谐与美丽的感受。
3. 级数的魅力级数是数学中一个重要的概念，它是无穷个数的和。
级数的收敛与发散是数学中的重要问题之一，而级数的公式和特殊性质也展现出了独特的美感。
例如，调和级数、等比级数等都是数学中美丽的存在。
三、公式与形的结合在数学的世界中，公式和形相互交织，相互依存，共同构成了数学的美感。
奇妙的数学曲线1.碟形弹簧圆柱坐标,方程r=5,theta=t3600,z
奇妙的数学曲线1.碟形弹簧：圓柱坐标，方程：r = 5，theta = t*3600 ，z =(sin(3.5*theta-90))+24*t图12.葉形线：笛卡儿坐標标，方程：a=10，x=3*a*t/(1+(t^3))，y=3*a*(t^2)/(1+(t^3))图23.螺旋线(Helical curve)：圆柱坐标（cylindrical），方程： r=t，theta=10+t*(20*360)，z=t*3图34.蝴蝶曲线：球坐标，方程：rho = 8 * t ，theta = 360 * t * 4 ，phi = -360 * t * 8图45.渐开线：采用笛卡尔坐标系，方程：r=1，ang=360*t，s=2*pi*r*t，x0=s*cos(ang) ，y0=s*sin(ang) ，x=x0+s*sin(ang) ，y=y0-s*cos(ang) ，z=0图56.螺旋线：笛卡儿坐标，方程：x = 4 * cos ( t *(5*360)) ，y = 4 * sin ( t *(5*360)) ，z = 10*t图67.对数曲线：笛卡尔坐标系，方程：z=0，x = 10*t ，y = log(10*t+0.0001)图78.球面螺旋线：采用球坐标系，方程：rho=4 ，theta=t*180 ，phi=t*360*20图89.双弧外摆线：卡迪尔坐标，方程： l=2.5，b=2.5，x=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360)，Y=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360)图910.星行线：卡迪尔坐标，方程：a=5，x=a*(cos(t*360))^3，y=a*(sin(t*360))^3图1011.心脏线圓柱坐标方程：a=10r=a*(1+cos(theta))theta=t*36012.圆内螺旋线采用柱座标系方程：theta=t*360r=10+10*sin(6*theta)z=2*sin(6*theta)图1213.正弦曲线笛卡尔坐标系方程：x=50*ty=10*sin(t*360)z=014.太阳线（这本来是做别的曲线的，结果做错了，就变成这样了）图1415.费马曲线（有点像螺纹线）数学方程：r＊r = a*a*theta圓柱坐标方程1: theta=360*t*5a=4r=a*sqrt(theta*180/pi)方程2: theta=360*t*5a=4r=-a*sqrt(theta*180/pi)由于Pro/e只能做连续的曲线，所以只能分两次做图1516.Talbot 曲线卡笛尔坐标方程：theta=t*360a=1.1b=0.666c=sin(theta)f=1x = (a*a+f*f*c*c)*cos(theta)/ay = (a*a-2*f+f*f*c*c)*sin(theta)/b图16 17.4叶线（一个方程做的，没有复制）图1718.Rhodonea 曲线采用笛卡尔坐标系方程：theta=t*360*4x=25+(10-6)*cos(theta)+10*cos((10/6-1)*theta)y=25+(10-6)*sin(theta)-6*sin((10/6-1)*theta)图1819. 抛物线笛卡儿坐标方程：x =(4 * t)y =(3 * t) + (5 * t ^2)z =0图1920.螺旋线圓柱坐标方程：r = 5theta = t*1800z =(cos(theta-90))+24*t图2021.三叶线圆柱坐标方程：a=1theta=t*380b=sin(theta)r=a*cos(theta)*(4*b*b-1)图2122.外摆线迪卡尔坐标方程：theta=t*720*5b=8a=5x=(a+b)*cos(theta)-b*cos((a/b+1)*theta)y=(a+b)*sin(theta)-b*sin((a/b+1)*theta)z=0图2223. Lissajous 曲线theta=t*360a=1b=1c=100n=3x=a*sin(n*theta+c)y=b*sin(theta)图2324.长短幅圆内旋轮线卡笛尔坐标方程：a=5b=7c=2.2theta=360*t*10x=(a-b)*cos(theta)+c*cos((a/b-1)*theta)y=(a-b)*sin(theta)-c*sin((a/b-1)*theta)图2425.长短幅圆外旋轮线卡笛尔坐标方程：theta=t*360*10a=5b=3c=5x=(a+b)*cos(theta)-c*cos((a/b+1)*theta)y=(a+b)*sin(theta)-c*sin((a/b+1)*theta)图2526. 三尖瓣线a=10x = a*(2*cos(t*360)+cos(2*t*360))y = a*(2*sin(t*360)-sin(2*t*360))图26 27.概率曲线！方程：笛卡儿坐标x = t*10-5y = exp(0-x^2)图2728.箕舌线笛卡儿坐标系a = 1x = -5 + t*10y = 8*a^3/(x^2+4*a^2)图2829.阿基米德螺线柱坐标a=100theta = t*400r = a*theta图2930.对数螺线柱坐标theta = t*360*2.2a = 0.005r = exp(a*theta)图3031.蔓叶线笛卡儿坐标系a=10y=t*100-50solvex^3 = y^2*(2*a-x)for x图3132.tan曲线笛卡儿坐标系x = t*8.5 -4.25y = tan(x*20)图3233.双曲余弦x = 6*t-3y = (exp(x)+exp(0-x))/2图3334.双曲正弦x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/2图3435.双曲正切x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/(exp(x)+exp(0-x))图3536.一峰三驻点曲线x = 3*t-1.5y=(x^2-1)^3+1图3637.八字曲线x = 2 * cos ( t *(2*180))y = 2 * sin ( t *(5*360))z = 0图3738.螺旋曲线r=t*(10*180)+1theta=10+t*(20*180)z=t图3839.圆x = cos ( t *(5*180))y = sin ( t *(5*180))z = 0图3940.封闭球形环绕曲线rho=2theta=360*tphi=t*360*10图4041.柱坐标螺旋曲线x = 100*t * cos ( t *(5*180))y = 100*t * sin ( t *(5*180))z = 082 小蜜蜂笛卡尔坐标系：x=cos(t*360)+cos(3*t*360)Y=sin(t*360)+sin(5*t*360)图8283 弯月x=cos(t*360)+cos(2*t*360)Y=sin(t*360)*2+sin(t*360)*2图8384 热带鱼a=5x=(a*(cos(t*360*3))^4)*ty=(a*(sin(t*360*3))^4)*t图8485 燕尾剪x=3*cos(t*360*4)y=3*sin(t*360*3)z=t图8586 天蚕丝theta=t*3600r=(cos(360*t*20)*.5*t+1)*t图86 87 心电图圆柱坐标系：r=sin(t*360*2)+.2theta=10+t*(6*360)z=t*3图87 88 变化后的星形线迪卡尔坐标系theta=t*360x=10*cos(theta)^3y=10*sin(theta)^3z=cos(theta)89 小白兔theta=t*360-90r=cos(360*(t/(1+t^(6.5)))*6*t)*3.5+5图89 90 大家好theta=t*360+180r=cos(360*t^3*6)*2+5图9091 蛇形线笛卡尔坐标系：x=2*cos(t*360*3)*ty=2*sin(t*360*3)*tz=(sqrt(sqrt(sqrt(t))))^3*5图91 92 五环柱坐标：theta=t*360*4r=cos(t*360*5)+1图92 93 蜘蛛网柱坐标：theta=t*360*5r=t*sin(t*360*25)*5+8图93 94 次声波笛卡尔:x=t*5y=t*cos(t*360*8)图94 95 十字渐开线柱坐标：theta=t*360*4r=(cos(t*360*16)*0.5*t+1)*t图95 96 内五环笛卡尔theta=t*360*4x=2+(10-5)*cos(theta)+6*cos((10/6-1)*theta)y=2+(10-5)*sin(theta)-6*sin((10/6-1)*theta)图96 97 蜗轨线柱坐标;theta=t*360*2r=cos(t*360*30)*t*0.5+t*2。
十大最美函数曲线
十大最美函数曲线随着数学发展的不断深入，函数曲线也受到了广泛的重视。
人们发现，处理数学问题时，函数曲线会产生一种美丽的艺术效果，从而被称为函数曲线的美学。
以下就是十大最美函数曲线。
一、椭圆曲线椭圆曲线是一种非常美丽的函数曲线，它可以用来表示圆形或椭圆形。
它是一个广为人知的数学曲线，也是古希腊和罗马文化的象征。
人们发现，它的美丽和优雅也可以被用来解决复杂的数学问题。
二、牛顿-拉斯维加斯曲线牛顿-拉斯维加斯曲线是由英国数学家牛顿和瑞典数学家拉斯维加斯发现的数学曲线。
它以非常有趣的方式表示出来，可以用来描述复杂的函数行为。
它在把握事物的本质上发挥了重要作用，同时也给人们带来了艺术效果。
三、三角形曲线三角形曲线是一种把一个正三角形投影到二维空间的曲线，它可以用来描述三角形的半径，从而产生一种视觉效果。
它的美丽可以用来表示宇宙的可能性，也可以用来解决复杂的函数问题。
四、帕累托曲线帕累托曲线是由西班牙数学家帕累托发现的数学曲线，它是一个关于几何以及统计学的概念。
它表示出了一组特定的函数线，可以用来描述物体表面的形状和流动，也可以用来解决许多复杂的函数问题。
五、哈贝马尔曲线哈贝马尔曲线是由德国数学家哈贝马尔发现的一种函数曲线，它可以用来描述一个物体的运动轨迹。
它表示了宇宙中的复杂性，用来解决许多复杂的数学问题，例如三角函数，物理学，化学等。
六、弗洛伊德曲线弗洛伊德曲线是一种由德国数学家弗洛伊德发现的函数曲线，它可以用来表示一个物体的旋转轨迹。
它是一个非常精确的函数曲线，可以帮助人们理解未知的物理现象，从而有助于解决许多复杂的函数问题。
七、双曲线双曲线是一种由法国数学家德洛比发现的函数曲线，它可以用来表示一个物体的运动轨迹，同时也可以用来描述宇宙中的关系。
人们发现，它可以用来解决复杂的数学问题，例如三角函数、圆形函数以及多元函数等。
八、三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线是一种由法国数学家贝塞尔发现的函数曲线，它可以用来描述一个物体的运动轨迹。
神奇的分形艺术（二）：一条连续的曲线可以填满整个平面
神奇的分形艺术（二）：一条连续的曲线可以填满整个平面虽然有些东西似乎是显然的，但一个完整的定义仍然很有必要。
比如，大多数人并不知道函数的连续性是怎么定义的，虽然大家一直在用。
有人可能会说，函数是不是连续的一看就知道了嘛，需要定义么。
事实上，如果没有严格的定义，你很难把下面两个问题说清楚。
你知道吗，除了常函数之外还存在其它没有最小正周期的周期函数。
考虑一个这样的函数：它的定义域为全体实数，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0。
显然，任何有理数都是这个函数的一个周期，因为一个有理数加有理数还是有理数，而一个无理数加有理数仍然是无理数。
因此，该函数的最小正周期可以任意小。
如果非要画出它的图象，大致看上去就是两根直线。
请问这个函数是连续函数吗？如果把这个函数改一下，当x为无理数时f(x)=0，当x为有理数时f(x)=x，那新的函数是连续函数吗？Cauchy定义专门用来解决这一类问题，它严格地定义了函数的连续性。
Cauchy定义是说，函数f在x=c处连续当且仅当对于一个任意小的正数ε，你总能找到一个正数δ使得对于定义域上的所有满足c-δ< x <c+δ的x都有f(c)-ε<f(x)<f(c)+ε。
直观地说，如果函数上有一点P，对于任意小的ε，P点左右一定范围内的点与P的纵坐标之差均小于ε，那么函数在P点处连续。
这样就保证了P点两旁的点与P无限接近，也就是我们常说的“连续”。
这又被称作为Epsil on-Delta定义，可以写成“ε-δ定义”。
有了Cauc hy定义，回过头来看前面的问题，我们可以推出：第一个函数在任何一点都不连续，因为当ε< 1时，δ范围内总存在至少一个点跳出了ε的范围；第二个函数只在x=0处是连续的，因为此时不管ε是多少，只需要δ比ε小一点就可以满足ε-δ定义了。
数学的美
鹦鹉螺的贝壳菊的种子排列植物的生长蜘蛛网的构造旋涡星系4.方程极坐标的形式为：r=a*e^(kθ), a,k是常数.r是极径,θ是极角。
用几何画板作图如下：二、雪花曲线1.定义设想一个边长为1的等边三角形，取每边中间的三分之一，接上去一个形状完全相似的但边长为其三分之一的三角形，结果是一个六角形。
现在取六角形的每个边做同样的变换，即在中间三分之一接上更小的三角形，以此重复，直至无穷。
外界的变得原来越细微曲折，形状接近理想化的雪花。
他的名字叫科克曲线，因为瑞典数学家科克在1904年第一次描述了这种不论由直段还是由曲段组成的始终保持连通的线。
2.科克曲线的一些性质：a.它是一条连续的回线，永远不会自我相交。
b.它是一个无限构造的有限表达，每次变化面积都会增加，但是总面积是有限的，不会超过初始三角形的外接圆。
c.曲线是无限长的，即在有限空间里的无限长度。
d.它拥有自相似性，即将它放大之后会看到一个小的科克雪花。
作图步骤：美丽的雪花用几何画板做出的雪花图形三、蜂巢1.历史蜂巢，蜂群生活和繁殖后代的处所，由巢脾构成。
蜂巢是严格的六角柱形体。
它的一端是六角形开口，另一端则是封闭的六角棱锥体的底，由三个相同的菱形组成。
18世纪初，法国学者马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸，令他感到十分惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是109°28′，所有的锐角都是70°32′。
后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度。
从这个意义上说，蜜蜂称得上是“天才的数学家兼设计师”。
蜂巢具有节约材料体积大、体轻、容量大、易出入的特点。
自然界的蜂蜂巢用几何画板做出的蜂巢2.生活中的应用a.蜂窝网络被广泛采用的原因是源于一个数学结论，即以相同半径的圆形覆盖平面, 当圆心处于正六边形网格的各正六边形中心，也就是当圆心处于正三角网格的格点时所用圆的数量最少。
从数从数学的角度浅谈建筑设计中曲线之美
题目：建筑与数学从数从数学的角度浅谈建筑设计中曲线之美【摘要】数学美是一种客观存在，是自然美在数学中的反映。
建筑在数学思维的启发下不断发展为生活创造和谐美。
建筑体块表现出来的几何形体组合各种几何形体在建筑设计中都可以被运用，在这方面并无任何限制。
仅仅是它们各处具有不同的特性。
矩形、圆形、三角形等被运用得最多，建筑的内部空间和外部形象体现出来的三维几何体以长方形、圆柱、菱柱等为为常见。
至于各种几何体的组合运用，包括重复、并列，譬如，相交、相切、切割、贯穿等等，更是变幻无穷，没有一定之规。
例如我国北京的奥林匹克运动会的主场馆鸟巢与水立方的遥相辉映等美丽的建筑将几何的曲面之美体现的淋漓尽致，下面我就以玉溪师范学院的训练馆为例，浅谈建筑设计中的几何问题之曲线美。
【关键词】建筑设计几何曲线美一、引言：建筑物的设计与数学息息相关建筑馆隐含着大量的几何问题，我主要研究的是其中的曲线和曲面问题，是中学课本里的重点，我可以从好多方面来探讨这个问题，如扇形，圆与椭圆等方面，这些知识是中高考中不可缺少的一类问题。
理解这类圆问题更有助于我们提高思维模式，以便为以后学习的几何知识打好基础，因此曲线面的学习是至关重要的。
这里我仅结合建筑设计中的曲线等来讨论数学的美丽与魅力所在，并讨论曲线曲面在几何里的一些应用。
二、曲线美在建筑中的体现罗素说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且具有至高的美，是一种冷而严格的美，这种美不是投合我们天性微弱的方面；它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格仍只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。
”当抽象的数学与现实的建筑融为一体，它们就成了不可分割的完美组合，互相渗透、交相辉映。
从一座建筑的立体造型，到一个构件，都有曲线艺术在其中的变化。
尤其是在那些部位的装饰艺术，都是由那些弯弯曲曲的线条交织在一起，构成了妙不可言的曲线美。
屋顶曲线，是建筑造型曲线中最突出的，它是我国古代建筑中运用得最普遍，以后在亚洲各地流传起来，影响很大。
艺术 数学曲线
艺术和数学曲线之间存在着密切的联系。
数学曲线在艺术中的应用非常广泛，能够产生出特殊的艺术效果，有助于人们
更好地理解宇宙的复杂性。
在艺术作品中，数学曲线常被用于描述几何图形，如罗马曲线和三角形曲线。
罗马曲线由中世纪时期的数学家所发现，主要用于描述几何图形，被广泛用于艺术作品之中。
三角形曲线则是将正三角形投影到三维空间得到的，用于描述三角形的形状和大小。
此外，一些特殊的数学曲线在立交桥的布局中有非常广泛的应用，如“四叶玫瑰线”和“内旋轮线”。
“四叶玫瑰线”是由极坐标方程生成的，可以用于立交桥的设计，使得车辆转向更加顺畅。
“内旋轮线”则是追踪附着在围绕半径为R的固定的圆内侧滚转的半径为r的圆上的一个点得到的转迹线，这种曲线在立交桥设计中也有应用。
总之，数学曲线在艺术中的应用非常广泛，能够产生出特殊的艺术效果，有助于人们更好地理解宇宙的复杂性。
为什么鹦鹉螺这么美？数学对鹦鹉螺做了些什么？
为什么鹦鹉螺这么美？数学对鹦鹉螺做了些什么？你看下图中的鹦鹉螺，是不是越看越觉得漂亮，感觉螺旋的曲线不论是比例还是曲度都很自然。
这是为什么？科学家们经过研究惊奇地发现：鹦鹉螺的曲线符合黄金分割比例。
不知你是否还记得，黄金分割比例是中学时学过的一个数学概念。
黄金分割线是一种古老的数学方法，黄金分割的创始人是古希腊的毕达哥拉斯，他在当时十分有限的科学条件下大胆断言：一条线段的某一部分与另一部分之比，如果正好等于另一部分同整个线段的比即0.618，那么这样的比例会给人一种美感。
后来，这一神奇的比例关系被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为"黄金分割律"。
学过尺规做图的同学，下面这张图很容易看明白，用直尺和圆规就可以找到一条直线的黄金分割点。
如上图所示，AE：AB=0.618，请记住这个看上去不起眼的小数0.618，鹦鹉螺的曲线跟它有关系。
自然界的很多生物的数字都与这个数字有关，生活中有很多与美相关的事都跟它吻合。
这个数字还有一个神奇的地方，那就是黄金比例0.618≈1：1.618，也就是说1.618的倒数约等于0.618。
Amazing！这也太巧了吧。
无论怎样，先记住0.618这个神奇的比例。
到这里，鹦鹉螺的曲线之美与黄金分割比例似乎还看不出来，那我们再看一条曲线，如下图，你是否觉得这条由几段1/4圆构成的曲线与鹦鹉螺的外形很接近？仔细数一数图中网格里方块的数量：1，1，2，3，5，8……，然后以每个方格向中心部位的点为圆心画半圆，构成了图中的一条与鹦鹉螺非常接近的曲线，这条由N个1/4圆构成的曲线，居然非常平滑。
不知你有没有发现，上面的这一组数字是一个数列，如果你愿意，你可以继续写下去这个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55， 89， 144， 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946……从第3个数字起，后一个数字等于前两个数字的和。
《奇妙的曲线》【课件设计】.ppt 小学 信息技术优质课
任务五：
打开素材文件夹，利用曲线工具给小 动物添加食物。（选择一种小动物进 行补充） 1 、给小狗画上骨头。 2 、给小兔画上萝卜。 3 、给小仓鼠画上瓜子。 4 、给金鱼装饰上鱼缸和水草。
山情水韵
水果 总 动 员
春光 无 限
画点 拖点 拖拖
奇妙的“曲线 ”
任务一：
打开画图软件，找到曲线工具， 利用曲线工具尝试画出两条“ 一弯” 曲 线。
任务二：利用曲线工具，画出下图所来自的“ 小鱼” 。任务三：
利用曲线工具，给小鱼画上漂亮的鱼身花纹。
封闭曲线的画法
任务四：
观看“封闭曲线画法” 的微视频，利用曲线工具画出 小鱼吐出的泡泡，并填充上自己喜欢的颜色！
数学之美数学是美丽的，哪里有数哪里就有美
数学之美数学是美丽的，哪里有数哪里就有美数学是美丽的，哪里有数哪里就有美。
数学的定义是：研究数量关系和空间形式的一门科学。
但有句名言说：数学比科学大得多，因为它是科学的语言。
数学不仅用来写科学，而且可用来写人生。
所以说数学是一切学科的基础，是核心学科，就像人们知识金字塔的底部垫基石，所以数学被誉为科学的皇后。
数学分基础和应用两部分组成的，前者追求真和美，后者是把这种真和美应用到现实生活。
一切美的事物都有两条衡量标准：一是绝妙的美都显示出奇异的均衡关系（培根）；二是美是各部分之间以及各部分与整体之间都有一种协调一致的和谐（海森保）。
而数学的外在美和内在美无一不把上述的两种美感体现的淋漓尽致，而且它还另赋有真理美和一种冷峭、严峻的美。
一、数学外在美：形象美、对称美、和谐美1形象美黑格尔说：“美只能在形象中出现。
”谈到形象美，一些人便只联想到影视、雕塑或绘画等，而数学离形象美是遥不可及的。
其实数学的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面。
从幼儿时代伊伊学语的“1像小棒、2像小鸭、3像耳朵……”的直观形象，再到小学二、三年级所学的平均数的应用的宏观形象之美——商场货架货物平均间距摆放以及道路植树的平均间距……由平均数的应用给人们带来的美感不胜玫举。
再到初中所学的“⊥”（垂直符号），看到这样的符号，就让我们联想起矗立在城市中的高楼大厦或一座屹然峻俏、拔地而起的山峰，给人以挺拔巍峨之美。
“—”（水平线条），我们想起静谧的湖面，给人以平静心情的安然之美；看到“~”（曲线线条），我们又有小溪流水、随波逐流的流动乐章之美。
到了高中的“∈”（属于符号），更是形象的表现了一种归属关系的美感。
还有现在最新研究的数学分形几何图形，简直就是数学上帝造物主的完美之作。
美得让人晕撅的数学分形几何图形▼2对称美对称是美学的基本法则之一，数学中许多轴对称、中心对称图形，都赋予了平衡、协调的对称美。
就连一些数学概念本身都呈现了对称的意境——“整—分、奇—偶、和—差、曲—直、方—圆、分解—组合、平行—交叉、正比例—反比例”。
奇妙的“雪花曲线”
奇妙的“雪花曲线”
作者：丁学明
来源：《学与玩》2015年第01期
冬季里雪花漫天飞舞，你知道吗，雪不仅是文学艺术领域常常描绘的，也是数学的研究对象。
数学在不断更新和发展，其中，分形数学就是最近发展起来的一门新的数学分支，它第一次引起公众注意是1985年在《科学美国人》上发表的一篇文章，自那以后，分形数学的研究有了许多进展。
在分形数学中，最典型的当数“雪花曲线”了。
雪花曲线因其形状类似雪花而得名，雪花曲线又名科克曲线，它是在1906年由瑞典数学家赫尔奇·冯·科克第一次作出的。
雪花曲线是这样的：由图1那样的等边三角形开始，把三角形的每条边三等分，并在每条边三分后的中段向外作新的等边三角形，但要像图2那样去掉与原三角形叠合的边。
接着对每个等边三角形尖出的部分继续上述过程，即在每条边三分后的中段，像图3那样向外画新的尖形。
不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线。
雪花曲线令人惊异的性质是：它具有有限的面积，但却有着无限的周长！我们可以这样想，在一张纸上画雪花曲线，不管“生长”多少次，它都不会超过一张纸的，所以说它的面积是有限的。
经过研究，其面积等于原三角形面积的1.6倍。
而雪花的边长可以无限地增加下去，所以说它的周长是无限的。
上面我们作的雪花曲线是向外作正三角形，如果我们向内作正三角形，则相应地得到如下图所示的另一系列的雪花曲线，称之为反雪花曲线。
下面就是应用分形数学原理画出的两个美丽的分形图形，你能设计出什么样的图形？请你也试着画一下。
数学无处不在 数学美得可爱
数学无处不在数学美得可爱
一、单叶旋转双曲面
1、定义：在直角坐标系下，由方程()0
c
a所表示的曲面
b
,>
,
叫做单叶双曲面。
而当b
a=时就是单叶旋转双曲面，它也可以由直角坐标系里
的双曲线绕虚轴（即z轴）旋转一周后得到。
2、图形：单叶双曲面在直角坐标系中表示如图所示：
3、性质：①对称性：单叶旋转双曲面关于三坐标轴，三坐标面及原点对称，视觉上给人以强烈的美感；②无界性：它在直角坐标系中是可以无限延伸的。
4、实例：冷却塔发电站
二、旋转抛物面
1、定义：在直角坐标系下，由方程
()0,>b a 所表示的曲面叫做椭圆抛物面。
而当b a =时就是旋转抛物面，它也可以由直角坐标系里的抛物线
绕其对称轴旋转一周得到。
2、图形：旋转抛物面在直角坐标系中表示如图所示：
3、性质：①对称性：旋转抛物面对称于两个坐标平面，对称于一条坐标轴，却没有对称中心；②无界性：它在直角坐标系中是可以无限延伸的。
4、实例：悉尼歌剧院
三、环面
1、定义：将直角坐标系中的圆 ⎩⎨⎧==+-0
)(2
22z a y b x )0(>>a b 绕y 轴旋转一周所
得的即为环面，其方程为)(4)(222222222z x b a b z y x +=-+++。
2、图形：环面在直角坐标系中的表示如图所示：
3、性质：①对称性：环面关于三个坐标平面、三条坐标轴和坐标原点对称；②有界性：环面在直角坐标系里是有界的。
4、实例：救生圈 手镯。
数学的奇异美
数学的奇异美数学的奇异美00审美趣味和数学趣味是一致或相同的(贝尔)．美在于奇特而令人惊异．培根说过：“没有一个极美的东西不是在匀称中有着某种奇特．”他又说：“美在于奇特而令人惊异．”数学中有许多变异现象，它们往往与人们预期的结果相反(有些则是人们没有认清而作出的错误判断，有些则是有悖于通常认识的结论)，令人失望之余，也给了人们探索它的动力．奇异中蕴含着奥妙与魅力，奇异中也隐藏着道理与规律．俗话说“黄山归来不看岳”，看来黄山之美，可谓众名山之冠了．黄山的美在哪里？在其奇峰怪石、悬崖峭壁、深谷幽壑、古松苍柏、清泉碧潭，更令人赞叹、感慨的是：登山路径的险峻，危阶千级，形同壁立，可谓“半山悬古刹，云端挂天梯”．数学之美有如黄山，它既有奇例妙题，又有深境幽域，探索它的一片艰辛，胜利后的一丝幸悦，犹如攀登黄山的情趣．让我们来看看数学中的这些奇异，领略一下其中的奥妙看上去它们似乎是“叛经离道”，有悖于人们期待的规律．奇异性是数学美的一个重要特性．奇异性包括两个方面内容：一是奇妙，二是变异．数学中不少结论令人赞叹，因为其巧妙无比，正是因为这一点数学才有无穷的魅力．变异是指数学理论拓广或统一性遭到破坏后，产生新方法、新思想、新概念、新理论的起点．变异有悖于人们的想象与期望，因此就更引起人们的关注与好奇．凡是新的不平常的东西都能在想象中引起一种乐趣，因为这种东西会使人的心灵感到一种愉快的新奇，满足它(心灵)的好奇心，将会使之得到原来不曾有过的一种观念．数学中许多新的分支的诞生，都是人们对于数学奇异性探讨的结果．在数学发展史上，往往正是数学自身的奇异性的魅力，吸引着数学家向更新、更深的层次探索，弄它个水落石出！在平面几何的“尺规作图”中，把圆周等分成2、3、4、5、6等份均可作出，可是七等分圆周利用尺规却无法实现．然而若N为费尔马质数，则利用尺规可将圆周N等分(高斯定理)．勾股定理(国外又称毕达哥拉斯定理)是欧氏几何中一个重要的定理，这个定理用代数式可简单地表示为：c^2=a^2+b^2．(*),人们又把满足上面(*)式的正整数a、b、c称为勾股数组，比如3、4、5便是其中的一组．勾股数组有无穷多，它们的一般表达式为：a=2mn，b=m^2-n^2，c=m^2+n^2(m、n为正整数)．然而有无正整数满足a^3+b^3=c^3(这一点人们自然容易想到)？或者更一般地有无正整数a、b、c满足a^n+b^n=c^n？1640年前后，法国数学家费尔马在丢番图(古希腊数学家)的一本著作《整数论》的空白处写道：“n≥3时，方程x^n+y^n=z^n没有非零的整数解(据原意用今日的数学语言所描述)．我找到了这个定理的奇妙的证明，可惜这儿太窄，无法把它写下．”这段迷人的话语吸引了无数著名的数学家．然而三百年过去了，人们至今未能找到它的公认的证明(这一点详见后文叙述)，虽然数学大师欧拉于1730年对n=3、4的情形，给出了猜想的证明；狄利赫莱给出了n=5时的证明；德国数学家库默1848年对某些更高次幂的情形下，对猜想进行了证明．利用库默的方法，借助于大型高速电子计算机，人们已证得n＜105(包括它们的倍数)结论是成立的．法国科学院曾于1816和1850年两度以3000法朗悬赏，德国也于1908年设了十万马克的奖金(这笔基金是Wolfskoel博士于1908年遗赠的)，但时至今日，仍无人问津(据说，当年的数论专家朗道，为了应付“解答者”，曾印了不少明信片，上面写道：“亲爱的先生或女士，你对费尔马猜想的证明已收到，现予退回，第一个错误出现在第＿页第＿行．”)人们也曾怀疑当年的费尔马是否真的找到了问题的证明．1983年，西德一位年仅29岁的大学讲师法尔丁斯(Falting)，在证明这个猜想上取得了突破性的进展．他证明了：n≥4时，x^n+y^n=z^n至多只有有限组正整数解．说的详细些，他证明了与费尔马大定理有关的Mordell猜想：(u，v)平面上任一亏格大于等于2的有理系数曲线F(u，v)=0(即该曲线至少有两个“洞”)最多只有有限个有理点．而n≥4时，费尔马曲线u4+v4=1的亏格≥2．这一结果引起了国际数学界的震动．人们认为这可能是“本世纪解决的最重要的数学问题，至少对数论来讲，这个结果已达到本世纪的顶峰．”(为此他获得1986年度数学最高荣誉菲尔兹奖)它的结果也证明了1922年英国数学家莫德尔提出的“关于二元有理系数多项式解的个数的猜想．”当然，这距离费尔马猜想的完全解决，还有一段不小的距离，然而这个突破也许可能导致问题的最后解决，这正是人们所期待的．(几年前报载，费尔马大定理已为日本东京大学38岁的宫冈誉市教授证得，然而他的证明后来发现了漏洞．1993年夏，Wiles在剑桥大学的学术报告会上也宣布他已证得费尔马猜想，人们在研究他的报告中同样发现了漏洞，后来Taylor和Wiles再次撰文试图补救，但实际上他未能做到这一点．直至1994年9月经不少数学家的努力终于补上了这个漏洞，据信问题获解)复数域上的 n(≥1)次方程在复数范围内至少有一个根．这便是著名的“代数基本定理”．关于这个定理，早在1629年法国学者日拉尔便有猜想，1746年法国的达朗贝尔给出定理的一个不太严格的证明，直到1799年，德国数学家高斯给出这个定理的严格证明，后来他又给出了三种其他证法．一元三次方程解法较复杂，公元四世纪，希腊人已知道某些特殊三次方程的解法；公元十一世纪阿拉伯学者卡牙姆也系统地研究过三次方程解法，但一般三次方程求根公式则是1545年意大利的卡丹在他的《大法》一书中给出的．尔后，卡丹的学生弗拉里给出了一元四次方程的求根公式．人们希望能循着二次、三次、四次方程的成果去寻找n(n≥5)次方程的公式解(这是据代数学逻辑发展的必然和其内在美完整性探求的需要)．然而事与愿违，经过许多数学家近三百余年的努力，结果仍然是渺茫．年青的挪威数学家阿贝尔总结了前人的教训．在拉格朗日、鲁菲等人的成果基础上证明了：一般五次和五次以上代数方程的解不能用公式给出．这儿所讲系“一般”代数方程，对于某些特殊的方程如x^n-p=0，它的解可用公式给出．法国的青年数学家阿贝尔彻底解决了这个问题，他给出了n次方程可用公式解的充要条件(且由此而创立了“群论”这个数学分支)．为了克服或解释数学中的“奇异性”寻求“和谐”，常使数学概念得以拓广，从而数学本身也得以发展．这方面例子很多，我们后文还将再行讨论，这儿先来看两个例子．数学家希尔伯特说，数学的本质是什么？就是提出问题和解决问题．那么，凡是提出的数学问题都可以解决吗？希尔伯特又说：“在数学中没有不可知！”这句充满乐观主义的名言久为后人传颂．但正如前面我们说过的那样，从本世纪三十年代以来，人们却在数学中发现了一些“不可知”的问题，引起了极大轰动．著名的“希尔伯特第十问题”，正是一个“不可知”的问题．这个问题是针对丢番图方程提出来的．所谓丢番图方程，是指具有有理整系数的不定方程，这里仅研究它的整数解．例如，方程2x2-4y=3，它没有整数解；而方程4x-y=3却有许多个整数解．那末，对于许许多多的丢番图方程，究竟哪个有解，哪个无解呢？希尔伯特在第十问题中认为，可以建立一种方法来判定它们．为了得到这个方法，数学家们整整奋斗了半个多世纪，仍然莫衷一是．直至1970年，一位年方22岁的前苏联青年马蒂雅塞维惊人地证明了，希尔伯特所期望的“判定方法”是不存在的，即“希尔伯特第十问题”是不可解的．说到“不可解”，人们可能想到大概是问题太难了，解不出来；或者是因为条件限制才不可解．例如，仅用圆规和直尺三等分任意角就是不可解的．其实这是截然不同的两个概念．“问题难”，显然不影响它的可解性；而对于“三等分任意角”，只要取消对“工具”的限制就可解了．但是，像“希尔伯特第十问题”那样的问题，是用任何计算方法都解决不了的．对此，在1936年英国20岁的青年图灵曾作出了开创性的研究．他从理论上证明了“不可解问题”的存在性，并且建立了判定方法．此后人们陆续地发现了一些不可解问题，例如，不可解的字问题、停止问题，以及上述希尔伯特第十问题等等．这样，数学问题就被划分为“可知”与“不可知”的两大类了．不可解问题的出现似乎降低了数学计算的威力，其实不然．实际上是人们计算了几千年之后，刚刚明确地认识到“计算”的真实含意．另外，通过对上述问题的研究，图灵早在电子计算机产生之前．就在理论上证明了它的可能性和实用范围．即凡是可计算的问题，在理论上都可以通过计算机解决；而不可解的问题．就是计算机也无能为力．“货郎担问题”本是一则数学游戏，当人们在实际问题中发现了它的价值后，问题面貌却焕然一新了．1979年11月，美国《纽约时报》刊载一篇标题为“苏联的一项发明震惊了数学界”的报道，内容大意是：一位名叫哈奇扬的苏联青年数学家，1979年1月发表一篇论文，提出一种可以用来解决一类很困难问题的方法．这类问题与有名的“货郎担问题”有关．稍后，人们查阅了有关文献后才发现这是一篇夫实的报道．什么是货郎担问题呢？“货郎担问题”，它又称为“推销员问题”．问题是这样的：假设有一个货郎，要到若干个村庄去售货，最后仍回到出发点．问他应如何走才能使他的总行程最短？对于三、五个村庄来说，问题并不难解决，只须先列出全部可能的路线后，再逐个加以比较便不难找出这条路线来，但当村庄数目很多时，运算次数增长得很快，以至连计算机也无能为力．利用数学归纳法不难推算得：当村庄数是n时，货郎将会有(n-1)！条路好走，计算每条路的长再进行比较，这样须进行n！次运算．而n！这是一个随n增加极快的数字．仅以n=30为例，这大约要进行2．6×1032次运算，就是用10亿次／秒的电子计算机来处理，也需8千万亿年才行．而哈奇扬解决的是另一类问题(线性规划问题的多项式算法问题，这一点我们前文已经介绍过)，即线性规划“好的”算法存在与否问题，它虽与货郎担问题提法相似，但它远不如货郎担问题那么复杂．货郎担问题的具体解法，仍然是一个世界级的难题．。
几何动画与曲线的数学美
万方数据
形成三角形，若以此三角形的Ｂ为顶点，并 延长ＢＯ，ＢＡ并作其外角的平分线相交于点
Ｄ。，若以Ａ点在ｏＯ上运动时，追踪点的轨 迹是什么？为什么？
工具，以全国数学统编高中新课标的例题为切 人点，以追踪点的轨迹为方法，以类比、联想为 数学思想，得出一系列创新规律的结晶，既是 对几何动画的探索，又是对数学美的欣赏，还 是一种教学艺术．是求真求实的和谐统一；又 是教学共性与个性的有机结合；还是教学的规 律性与教师独创性的完满结合；更是熟练地掌 握数学教学原则教学方法的升华［２］．学习几何 动画，它会给你带来无穷的乐趣．
图８
３．４外心作为追踪点 例８
部运动到００的外部时，曲线ＦＳＱ（１）仍然 不变，只是Ｃ移至ＯＣ的延长线上．
００的半径为定长ｒ．Ａ是圆Ｏ上
一点，Ｂ是圆Ｏ内（外）任意一点，连结ＡＢＯ 形成三角形，若以此三角形的外心为追踪点 Ｄ，则当Ａ点在００上运动时，探求外心Ｄ 点的轨迹是什么？为什么？ 设计与演示动画时，发现外心点Ｄ的轨 迹，当Ｄ点在００内部时，是一条过Ｄ的延 长线的竖线段；而当Ｄ点在ＯＯ外部时，是 一条过Ｄ的延长线的横线段，如图９．
心理基础．
件．它的全名是《几何画板一２１世纪的动态几 何》．它是以点、线、圆为基本元素构造出的复 杂的、动态的几何图形．《几何画板》的特点是 它的形象化和动态化．几何动画与曲线美是 针对解析几何数学题，运用类比联想并用几 何画板而探讨、发现的规律性．这些优美的曲 线既有椭圆与双曲线、心脏线、线段、圆、抛物 线、椭圆、弦链线、摆线及其它美丽的曲线． １椭圆与双曲线看联想和类比才有创新美
例５ ００的半径为定长ｒ．Ａ是圆Ｏ上
点的轨迹是什么？为什么？ 设计与演示动画时，发现垂心点Ｄ的轨迹， 当Ｄ点在００内部时，是尖椭圆；而当Ｄ点在 ｏＯ外部时，是尖椭圆的一部分．如图８所示．
生活中的数学美
生活中的数学美作者：雷丽群来源：《青年与社会》2014年第17期【摘要】文章通过简单性、几何图形的对称性、曲线性、比例性、和谐性等几个方面阐述了生活中的数学美。
【关键词】生活；数学；美数学来源于生活实践，同时它又服务于生活。
随着社会的飞速发展，人们只感到我们的生活、工作、居住环境越来越美，越来越舒心。
但是，可能很少有人会认识到这些与数学有关。
数学家克莱因曾经说过：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。
音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。
”作为精神产品的数学具有对称性、比例性、和谐性、简单性、顺序性等美的特征。
一、数学的简单美日常生活中离不开数，我们无时无刻不在跟数字打交道，纷繁复杂的数是由非常简单的十个数字构成，即0到9这10个数字，构筑起一个无限真与美的王国。
这简直太神奇了。
数学，就是一个人造的宇宙。
二、几何图形的对称美蜜蜂的蜂窝构造非常精巧、适用而且节省材料。
蜂房由无数个大小相同的房孔组成，房孔都是正六角形，每个房孔都被其它房孔包围，两个房孔之间只隔着一堵蜡制的墙。
令人惊讶的是，房孔的底既不是平的，也不是圆的，而是尖的。
这个底是由三个完全相同的菱形组成。
有人测量过菱形的角度，两个钝角都是109°28′而两个锐角都是70°32′。
令人叫绝的是，世界上所有蜜蜂的蜂窝都是按照这个统一的角度和模式建造的。
蜂房的结构引起了科学家们的极大兴趣。
经过对蜂房的深入研究，科学家们惊奇地发现，相邻的房孔共用一堵墙和一个孔底，非常节省建筑材料；房孔是正六边形，蜜蜂的身体基本上是圆柱形，蜂在房孔内既不会有多余的空间又不感到拥挤。
蜂窝的结构给航天器设计师们很大启示，他们在研制时，采用了蜂窝结构：先用金属制造成蜂窝，然后再用两块金属板把它夹起来就成了蜂窝结构。
这种蜂窝结构强度很高，重量又很轻，还有益于隔音和隔热。