3.3.1 几何概型教案教案
《3.3.1几何概型》教学设计
《3一．教材分析几何概型是人教版《一般高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修3第三章第三节的内容。
几何概型是概率必修章节的收尾篇，共有两个课时，本节为第一课时。
本节课是继古典概型之后学习的另一类等可能概型，是古典概型的拓广，起到了承上的作用。
在选修模块的系列2中还将连续学习概率的其他内容，因此，本课内容也起到了启下的作用。
教材第一以生活中的转盘游戏为例，对该问题进行抽象、建模转化为数学问题，总结归纳出几何概率模型的概念，并在此基础上得到几何概型的概率运算公式。
然后教材又给出一个例题，加深对概念和公式的明白得及应用。
这节内容中的例题既通俗易明白，又具有代表性，有利于教师的教和学生的学。
二．学情分析在知识上，差不多有初中学习过的统计概率作为基础，又有了学习古典概型的经历，这为学习几何概型在知识和方法上做好了预备。
在能力上，学生差不多具备了一定的形象思维和抽象思维能力，有一定的分析和解决问题的能力。
关于进入高中一个学期的学生来说，逻辑思维初步形成，不够严谨，容易对几何概型的概念明白得不清。
在古典概型向几何概型过渡的过程中，有些困难。
在探究问题和应用数学知识解决实际问题等方面进展不够均衡，有待加强。
但只要引导得当，明白得几何概型，是切实可行的。
三．教学目标知识与技能：通过实例，学生能够明白得几何概型的概念及其与古典概型的联系和区别；把握古典概型的概率公式并能解决实际问题。
过程与方法：学生通过对实际问题的抽象、建模的过程，体会数学知识的形成，能应用数学知识来解决实际问题。
情感、态度价值观：通过实际应用让学生体会到数学在现实生活中的价值增强学生学习数学的自信心，提高学习数学的爱好。
四．教学重点、难点重点：正确明白得几何概型的定义、特点；把握几何概型概率的运算公式，会用公式运算几何概率。
难点：将实际问题转化为几何概型并能从实际问题的背景中找几何度量。
五．教学策略教学顺序：情境引入→概念形成→实际应用→课堂反馈→归纳小结→布置作业。
《3.3.1几何概型》教学案
《3.3.1几何概型》教学案一、教材分析这部分是新增加的内容.介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，但是对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义，所以教科书中选的例题都是比较简单的.随机模拟部分是本节的重点内容.几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子.利用古典概型产生的随机数是取整数值的随机数，是离散型随机变量的一个样本；利用几何概型产生的随机数是取值在一个区间的随机数，是连续型随机变量的一个样本.比如［0，1］区间上的均匀随机数，是服从［0，1］区间上均匀分布的随机变量的一个样本.随机模拟中的统计思想是用频率估计概率.本节的教学需要一些实物模型为教具，如教科书中的转盘模型、例3中的随机撒豆子的模型等.教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果.在这个过程中，要让学生体会结果的随机性与规律性，体会随着试验次数的增加，结果的精度会越来越高. 随机数的产生与随机模拟的教学中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数，进行模拟活动.几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个.它的特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关.如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件.均匀分布是一种常用的连续型分布，它来源于几何概型.由于没有讲随机变量的定义，教科书中均匀分布的定义仅是描述性的，不是严格的数学定义，要求学生体会如果X 落到［0，1］区间内任何一点是等可能的，则称X 为［0， 1］区间上的均匀随机数.二、教学目标1、 知识与技能：(1)正确理解几何概型的概念；(2)掌握几何概型的概率公式：P (A )=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ； (3)会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；2、过程与方法：(1)发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；(2)通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯.3、情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯.三、重点难点教学重点：理解几何概型的定义、特点，会用公式计算几何概率.教学难点：等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.四、课时安排1课时五、教学设计(一)导入新课思路1复习古典概型的两个基本特点：(1)所有的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢？为此我们学习几何概型，教师板书本节课题几何概型.思路2下图中有两个转盘，甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？为解决这个问题，我们学习几何概型.思路3在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型.(二)推进新课、新知探究、提出问题(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次，求两次出现相同面的概率？(2)试验1.取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？试验2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色，黑色，蓝色，红色，靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm .运动员在70 m 外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？(3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点？两事件的本质区别是什么？(4)什么是几何概型？它有什么特点？(5)如何计算几何概型的概率？有什么样的公式？(6)古典概型和几何概型有什么区别和联系？活动：学生根据问题思考讨论，回顾古典概型的特点，把问题转化为学过的知识解决，教师引导学生比较概括.讨论结果：(1)硬币落地后会出现四种结果：分别记作(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反).每种结果出现的概率相等，P (正，正)=P (正，反)=P (反，正)=P (反，反)=1/4.两次出现相同面的概率为214141=+. (2)经分析，第一个试验，从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点.第二个试验中，射中靶面上每一点都是一个基本事件，这一点可以是靶面直径为122 cm 的大圆内的任意一点.在这两个问题中，基本事件有无限多个，虽然类似于古典概型的“等可能性”，但是显然不能用古典概型的方法求解.考虑第一个问题，如右图，记“剪得两段的长都不小于1 m ”为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的31， 于是事件A 发生的概率P (A )=31. 第二个问题，如右图，记“射中黄心”为事件B ，由于中靶心随机地落在面积为41×π×1222 cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为41×π×12.22 cm 2的黄心内时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率P (B )=22122412.1241⨯⨯⨯⨯ππ=0.01.(3)硬币落地后会出现四种结果(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)是等可能的，绳子从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点，也是等可能的，射中靶面内任何一点都是等可能的，但是硬币落地后只出现四种结果，是有限的；而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的；即一个基本事件是有限的，而另一个基本事件是无限的.(4)几何概型.对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一个点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型(geometric models of probability )，简称几何概型.几何概型的基本特点：a .试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；b .每个基本事件出现的可能性相等.(5)几何概型的概率公式：P (A )=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A . (6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的；区别是古典概型的基本事件是有限的，而几何概型的基本事件是无限的，另外两种概型的概率计算公式的含义也不同.(三)应用示例思路1例1 判断下列试验中事件A 发生的概率是古典概型，还是几何概型.(1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)如下图所示，图中有一个转盘，甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率.活动：学生紧紧抓住古典概型和几何概型的区别和联系，然后判断.解：(1)抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型.点评：本题考查的是几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性.而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关.例2某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想听电台整点报时，求他等待的时间短于10分钟的概率.活动：学生分析，教师引导，假设他在0—60之间的任一时刻，打开收音机是等可能的，但0—60之间有无数个时刻，不能用古典概型的公式来计算随机事件发生的概率，因为他在0—60之间的任一时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件，所以可用几何概型的概率计算公式计算.解：记“等待的时间小于10分钟”为事件A，打开收音机的时刻位于［50，60］时间段内则事件A发生.由几何概型的求概率公式得P(A)=(60-50)/60=1/6，即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6.打开收音机的时刻X是随机的，可以是0—60之间的任何时刻，且是等可能的.我们称X 服从［0，60］上的均匀分布，X称为［0，60］上的均匀随机数.变式训练某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率(假定车到来后每人都能上).解：可以认为人在任一时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为a，则某人到站的一切可能时刻为Ω=(a，a+5)，记A g={等车时间少于3分钟}，则他到站的时刻只能为g=(a+2，a+5)中的任一时刻，故P (A g )=53=Ω的长度的长度g . 点评：通过实例初步体会几何概型的意义.思路2例1 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于20分钟的概率.活动：假设他在0—60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的，但在0到60分钟之间有无穷多个时刻，不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班，他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的，所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件.解：设A ={等待的时间不多于10分钟}，我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于［40，60］这一时间段内，因此由几何概型的概率公式，得P (A )=(60-40)/60=1/3.即此人等车时间不多于10分钟的概率为1/3.点评：在本例中，到站等车的时刻X 是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X 服从［0，60］上的均匀分布，X 为［0，60］上的均匀随机数.变式训练在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积，由几何概型公式可以求得概率.解：记“钻到油层面”为事件A ，则P (A )=0.004.答：钻到油层面的概率是0.004.例2 小明家的晚报在下午5：30—6：30之间任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午6：00—7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.则晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？活动：学生读题，设法利用几何概型公式求得概率.解：建立平面直角坐标系，如右图中x =6，x =7，y =5.5，y =6.5围成一个正方形区域G .设晚餐在x (6≤x ≤7)时开始，晚报在y (5.5≤y ≤6.5)时被送到，这个结果与平面上的点(x ，y )对应.于是试验的所有可能结果就与G 中的所有点一一对应.由题意知，每一个试验结果出现的可能性是相同的，因此，试验属于几何概型.晚报在晚餐开始之前被送到，当且仅当y <x ，因此图中的阴影区域g 就表示“晚报在晚餐开始之前被送到”.容易求得g 的面积为87，G 的面积为1.由几何概型的概率公式，“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率为P (A )=87 的面积的面积G g . 变式训练 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫升种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率.解：取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则P (A )=0.01.所以取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是0.01.(四)知能训练1.已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，求乘客到达站台立即乘上车的概率. 解：由几何概型知，所求事件A 的概率为P (A )=111.2.两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2 m 的概率.解：记“灯与两端距离都大于2 m ”为事件A ，则P (A )=62=31.3.在500 mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是( )A .0.5B .0.4C .0.004D .不能确定解析：由于取水样的随机性，所求事件A ：“在取出2 mL 的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比5002=0.004. 答案：C4.平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r <a 的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.解：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A ，为了确定硬币的位置，由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM ，垂足为M ，如右图所示，这样线段OM 长度(记作O M )的取值范围就是［0，a ］，只有当r ＜OM ≤a 时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A 的概率就是P (A )=ar a a a r -=的长度的长度],0[],(.(五)拓展提升1.约会问题两人相约8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可离去，试求这两人能会面的概率.解：因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数(甲、乙两人各自到达的时刻)组成.以8点钟作为计算时间的起点，设甲、乙各在第x 分钟和第y 分钟到达，则样本空间为Ω：{(x ，y )|0≤x ≤60，0≤y ≤60}，画成图为一正方形.以x ，y 分别表示两人的到达时刻，则两人能会面的充要条件为|x -y |≤20.这是一个几何概率问题，可能的结果全体是边长为60的正方形里的点，能会面的点的区域用阴影标出(如下图).所求概率为P =95604060222=-=的面积的面积G g .2.(蒲丰(Buffon )投针问题)平面上画很多平行线，间距为a .向此平面投掷长为l (l <a )的针，求此针与任一平行线相交的概率.解：以针的任一位置为样本点，它可以由两个数决定：针的中点与最接近的平行线之间的距离x ，针与平行线的交角φ(见下图左).样本空间为Ω:{(φ，x )，0≤φ≤π，0≤x ≤a /2}，为一矩形.针与平行线相交的充要条件是g ：x ≤2l sinφ(见下图右).所求概率是P =的面积的面积Ωg ππφφπa l a d l 22/sin )2/(0=∙∙=⎰.注：因为概率P 可以用多次重复试验的频率来近似，由此可以得到π的近似值.方法是重复投针N 次，(或一次投针若干枚，总计N 枚)，统计与平行线相交的次数n ，则P ≈n /N .又因a 与l 都可精确测量，故从2l /aπ≈n /N ，可解得π≈2lN /an .历史上有不少人做过这个试验.做得最好的一位投掷了3 408次，算得π≈3.141 592 9，其精确度已经达到小数点后第六位.设计一个随机试验，通过大量重复试验得到某种结果，以确定我们感兴趣的某个量，由此而发展的蒙特卡洛(Monte -Carlo )方法为这种计算提供了一种途径.(六)课堂小结几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例.(七)作业课本习题3.3A 组1、2、3.。
教学设计6：3.3.1 几何概型
3.3.1几何概型[课标解读]1.理解几何概型的定义及特点．(重点)2.掌握几何概型的计算方法和求解步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题．(难点)3.与长度、角度有关的几何概型问题．(易混点)知识点几何概型[提出问题]每逢节假日，各大型商场竞相出招，吸引顾客，其中某商场设立了一个可以自由转动的转盘，规定顾客消费100元以上，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准①、②或③区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券(转盘被等分成20个扇形)，一位顾客消费了120元．问题1：这位顾客获得100元购物券的概率与什么因素有关？提示：与标注①的小扇形个数多少(面积大小)有关．问题2：在该实例试验中，试验结果有多少个？其发生的概率相等吗？提示：试验结果有无穷多个，但每个试验结果发生的概率相等．问题3：如可计算该顾客获得100元购物券的概率？提示：用标注①的扇形面积除以圆的面积．[导入新知]1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．3．几何概型概率公式在几何概型中，事件A的概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).[化解疑难]理解几何概型应关注三点(1)几何概型中，每个基本事件在一个区域内均匀分布，所以随机事件概率的大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与区域的大小有关．(2)如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但不是不可能事件．(3)如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但不是必然事件．题型一与长度有关的几何概型[例1] (1)在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________．【解析】∵区间[－1,2]的长度为3，由|x |≤1得x ∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x 取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x ，|x |≤1的概率P ＝23.【答案】23(2)某汽车站每隔15 min 有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min 的概率．解 设上一辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，则线段T 1T 2的长度为15，设T 是线段T 1T 2上的点，且T 1T ＝5，T 2T ＝10，如图所示．记“等车时间超过10 min”为事件A ，则当乘客到达车站的时刻t 落在线段T 1T 上(不含端点)时，事件A 发生．∴P (A )＝T 1T 的长度T 1T 2的长度＝515＝13，即该乘客等车时间超过10 min 的概率是13.[类题通法]1．几何概型概率问题的一般步骤(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)； (2)把基本事件转化为与之对应的区域D ； (3)把所求随机事件A 转化为与之对应的区域I ； (4)利用概率公式计算．2．与长度有关的几何概型问题的计算公式如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为： P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.[活学活用]一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮； (2)黄灯亮；(3)不是红灯亮．解 在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型．(1)P ＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25.(2)P ＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝115.(3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯亮或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35，或P ＝1－P (红灯亮)＝1－25＝35.题型二与面积有关的几何概型[例2] (1)有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应 当选择的游戏盘为( )(2)ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A ．π4B ．1－π4C ．π8D ．1－π8【解析】(1)根据几何概型的面积比，A 中中奖概率为38，B 游戏盘的中奖概率为13，C 游戏盘的中奖概率为(2r )2－πr 2(2r )2＝4－π4，D 游戏盘的中奖概率为r 2πr 2＝1π，故A 游戏盘的中奖概率最大．(2)长方形面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为π2，因此取到的点到O 的距离小于1的概率为π2÷2＝π4，取到的点到O 的距离大于1的概率为1－π4.【答案】(1)A (2)B[类题通法]1．与面积有关的几何概型的概率公式如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：试验的全部结果所构成的区域面积2．解与面积相关的几何概型问题的三个关键点(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积； (3)套用公式，从而求得随机事件的概率． [活学活用]在平面直角坐标系xOy 中，设M 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向M 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是________．【解析】如图，区域M 表示边长为4的正方形ABCD 的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此P ＝π×124×4＝π16.【答案】π16题型三与角度有关的几何概率[例3] 在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M .求AM ＜AC 的概率．解 如图，在AB 上取AC ′＝AC ，连接CC ′，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫在∠ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM ＜AC ，则所有可能结果的区域角度为90°，事件A 的区域角度为67.5°，∴P (A )＝67.5°90°＝34.[类题通法]与角度有关的几何概型概率的求法(1)如果试验的所有结果构成的区域的几何度量可用角度表示，则其概率的计算公式为试验的全部结果构成的区域角度(2)解决此类问题的关键是事件A 在区域角度内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的． [活学活用]如图，在平面直角坐标系中，射线OT 为60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内的概率是( )A.16B.23C.13D.160【解析】如图，∵在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内对应的角度为60度，而整个角集合对应的角度为圆周角，∴该角终边落在∠xOT 内的概率P ＝60360＝16，故选A.【答案】A题型四与体积有关的几何概型[例4] (1)在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )A.6πB.32πC.3πD.233π【解析】由题意可得正方体的体积为V 1＝1.又球的直径是正方体的对角线，故球的半径R ＝32.球的体积V 2＝43πR 3＝32π.这是一个几何概型，则此点落在正方体内的概率为P ＝V 1V 2＝132π＝233π. 【答案】D(2)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是________．【解析】设正方体的棱长为2.正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的内切球O 的半径是其棱长的一半，其体积为V 1＝43π×13＝4π3.则点M 在球O 内的概率是4π323＝π6.【答案】π6[类题通法]与体积有关的几何概型概率的求法如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为 P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.[活学活用]有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，求点P 到点O 的距离大于1的概率．解 圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π是试验的全部结果构成的区域体积．以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×4π3×13＝2π3，则构成事件A “P到点O 的距离大于1”的区域体积为2π－2π3＝4π3，由几何概型的概率公式得P (A )＝4π32π＝23.多维探究 几何概型中的交汇性问题[典例] 设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，若a 是从区间[0,3]上任取的一个数， b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．[解题指导] 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0”有实根． 则Δ＝4a 2－4b 2≥0，即a 2≥b 2. 又∵a ≥0，b ≥0. ∴a ≥b .试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2}，而构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，即如图所示的阴影部分．所以，P (A )＝3×2－12×223×2＝23.[多维探究]几何概型与其他知识的交汇问题，以其新颖性、综合性而渐成为命题者的一个重要着眼点，本题是以方程的根为依托考查了与面积有关的几何概型的求法，另外，几何概型还常与集合、解析几何等问题相交汇命题，出现在试卷中． [角度一] 几何概型与集合的交汇问题已知集合M ＝{}x ，y |x ＋y ≤8，x ≥0，y ≥0，N ＝{}x ，y |x －3y ≥0，x ≤6，y ≥0，若向区域M 随机投一点，则点P 落入区域N 的概率为( )A.13 B.12C.38D.316【解析】根据题设中的集合的意义，在平面直角坐标系中分别画出区域M 和N ，可分别计算区域M 和N 的面积，进而求解．将集合M 和N 所表示的区域在直角坐标系中画出，如图，则区域M 的面积S ＝12×8×8＝32，区域N 的面积S ′＝12×6×2＝6，所以点P 落入区域N 的概率为P ＝632＝316，故选D.【答案】D[角度二] 几何概型与解析几何的交汇问题已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)求圆C 的圆心到直线l 的距离．(2)求圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率． 解 (1)由点到直线l 的距离公式可得d ＝2542＋32＝5. (2)由(1)可知圆心到直线l 的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，设与圆相交且与直线l 平行的直线为l 1，其方程为4x ＋3y ＝15.则符合题意的点应在l 1：4x ＋3y ＝15与圆相交所得劣弧上，由半径为23，圆心到直线l 1的距离为3可知劣弧所对圆心角为π3.故所求概率为P ＝π32π＝16.[随堂即时演练]1．下列概率模型中，几何概型的个数为( )①从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到1的概率；②从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率； ③从区间[－10,10]内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；④向一个边长为4 cm 的正方形ABCD 内投一点P ，求点P 离中心不超过1 cm 的概率． A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】①不是几何概型，虽然区间[－10,10]有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；②是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；③不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；④是几何概型，因为在边长为4 cm 的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有相等可能被投到，故满足无限性和等可能性． 【答案】B2．如图所示，在一个边长为a ，b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为a 3与a2，高为b .向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )A.112B.14C.512D.712【解析】S 矩形＝ab ，S 梯形＝12(13a ＋12a )b ＝512ab .故所投的点在梯形内部的概率为P ＝S 梯形S 矩形＝512abab ＝512.【答案】C3．方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根的概率为________【解析】由于方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根，∴Δ≥0，即1－4n ≥0，∴n ≤14，又n ∈(0,1)，∴有实根的概率为P ＝141－0＝14.【答案】144．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．【解析】大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P (A )＝2400＝0.005.【答案】0.0055．已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，求此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率．解 设正三角形ABC 的边长为4，其面积为4 3.分别以A ，B ，C 为圆心，1为半径在△ABC 中作扇形，除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的区域，其面积为43－3×12×π3×12＝43－π2，故所求概率P ＝43－π243＝1－ 3 π24.。
3.3.1几何概型教案
《3.3.1几何概型》教学设计一、教学目标1.知识与技能（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式并能进行简单的计算与应用：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ； （3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型.2.过程与方法（1）通过经历提出问题、收集、处理数据和预测的过程，使学生将实际生活中的概率模型转化为应用数学来解决问题，发展学生的抽象思维和应用意识；（2）通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用几何概型来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力.3.情感态度与价值观（1）通过活动参与，使学生积极参与数学学习活动，让学生在数学活动中获得成功的体验，建立自信心；（2）通过对实例和习题的学习，使学生体验数学活动充满着探索与创造，激发学生学习数学的兴趣，并能从中感受数学的严谨性，形成实事求是的态度.二、教学重难点1.重点：几何概型概念的形成及其公式的应用.2.难点：几何概型的应用，如何把实际问题转化为几何概型.三、教材分析学习几何概型之前学生学习了概率的统计定义以及古典概型的定义和计算公式，这些内容虽然可以帮助学生解决一些实际生活中的概率问题，可是古典概型的使用是有限的，它只能解决等可能事件只有有限个时的概率，而对于生活中同样也比较常见的无限个等可能事件的情况却束手无策.几何概型正是古典概型的拓展和延伸，这样才能使学生形成完整的知识网络体系，使数学学习更加紧密结合学生的实际生活，体现了学习数学的价值，同时又可以培养学生学习数学的兴趣和积极性.几何概型是将古典概型从点到线、面、体的拓展，是从有限到无限的延伸，这体现了知识的连续性和层次性，同时也为后续内容做好铺垫，因此本节内容在单元中起到了承上启下的作用. 例题的选择采用长度、面积、体积的三维梯度设计，便于学生对常见题型的归纳总结.四、教学过程1.创设情境，引入新课情境1：（幻灯片）“双旦节”活动细则：从12月20日起，凡在本超市当天购物累计满100元的顾客可以按照以下方案抽奖.方案1：同时掷两枚骰子一次，两枚骰子的点数之和等于7，即可获得价值50元的精美礼品一个.问题1：方案1中获得精美礼品的概率是多少？师生互动：教师以生活中的实例来创设情境，让学生去选择自己认为适合的方法. 学生通过独立思考、自主学习，计算方案获得奖品的概率. 引导学生复习古典概型的计算公式和两个特征.情境2：将抽奖方式换成转盘游戏，如图1所示，按照以下方式抽奖：方案2：随意转动转盘甲，转到蓝色区域，即可获得价值50元的精美礼品一个.问：如果让你来玩这个游戏，你获得奖品的概率？甲问题2：这个游戏中可不可以像上一个游戏一样，用古典概型的计算方法算出赢的概率呢？为什么？【设计意图】这两个情境不仅使学生复习了古典概型，更使学生加深对随机现象的理解，消除日常生活中的一些错误认识，体会用科学的方法去观察世界和认识世界，同时也为几何概型的引入做好铺垫. 采用启发式学习法，让学生自己去发现问题所在，这样可以激发学生学习数学的求知欲.2．初步探索，展示内涵探究1：（幻灯片）将一根长度为20 cm 的线绳AB ，从中任取一点剪断，求使剪开的两段线绳长度都不小于5 cm 的概率.问题1：同学们将用怎样的几何量来描述这个事件的基本事件空间呢？分析：可以用线段长度的比值来求这个概率，即记“剪开的两段线绳长度都不小于5 cm ”为事件W ，C 、D 分别为AB 的四等分点，如图2所示，虽然剪刀于每一个位置都是等可能的，可是基本事件是无限个，所以这个例子不属于古典概型.A C D B图2所以P （W ）=212010==的长度的线段长度AB CD 【设计意图】教师提出问题，使学生通过合作交流的学习方式动手实践，在实践中探索解题的方法. 虽然学生没学过几何概型的计算公式，但是可以用与之相关的几何量—线段长度的比值来描述所求事件的概率. 借此为几何概型定义和特点的引出作铺垫.这与古典概型的解题思路是相同的. 只不过在古典概型中概率的比是个数的比，而对于这类题型，可以把线段看成是无限个点组成的集合，学生就更容易理解了.探究2：在情境2的转盘游戏中，指针落在蓝色区域的概率是如何计算的？你将用怎样的几何量来描述这个事件的基本事件空间呢？法1：利用红色区域所占的弧长的比值求解， P=21=整个圆的弧长红色区域的弧长 法2：利用红色区域所占的角度的比值求解，P=21=整个圆的圆周角红色区域的圆周角. 【设计意图】教师组织学生分组讨论，提高学生自主探究问题、解决问题的能力，使学生积极参与数学学习活动，在数学活动中获得成功的体验，建立自信心. 使学生体会几何概型与古典概型“比例解法”的相同之处，为归纳出几何概型的概念作铺垫. 通过学生的求解，发现指针落在红色区域的概率是相等的.变式探究：若将同样的圆像（图3）一样八等分，那么请同学们计算一下，转动转盘而指针落在在深色区域的概率.图3根据前面的比例关系，不难求出图2中，指针落在深色区域的概率同样也是21. 【设计意图】 这个例子说明利用比例关系求解概率的方法与几何图形的形状无关，只与几何度量的大小有关.探究3：四边形ABCD 为长方形，AB=2，BC=1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为多少？ 记“取到的点到O 的距离大于1”为事件A ，则该事件发生的概率等于半圆面积与长方形总面积的比值，即422A )(ππ===的面积试验的全部结果所构成的区域面积构成事件A P 探究4：在一个器皿中装有500 ml 的水，水中有一只草履虫，现在从中随即取出2 ml 水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率.分析：草履虫在水中的位置是任意的，因此虽然是等可能事件，可是草履虫的位置有无限多个，故也不属于古典概型.记“在取出的2 ml 水样中有草履虫”为事件E ，则该事件发生的概率等于取出水的体积与器皿中水的总体积的比值，即P(E)=004.05002=. 探究3中设计了三维空间的体积的实例让学生观察和分析，使学生体会事件的概率只与水这个几何量的体积比例有关，而与几何量的位置和形状无关. 变式探究：若将题设中的“器皿”改为“正方体器皿”或是“圆柱体水杯”，那么发现草履虫的概率是多少？为什么？概率仍然0.004．只要体积不变，概率就不变.（1）几何概型的定义：事件A 理解为区域的某一子区间A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型.（2）几何概型的概率公式：P(A)=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ； （3）几何概型的特点：（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）每个基本事件出现的可能性相等． BD C3．循序渐进，延伸拓展例1 一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒。
高中人教A版数学(必修3)3.3.1《几何概型》教案
高中人教A版数学（必修3）3.3.1《几何概型》教案一、教学目标知识与技能1.初步体会几何概型的概念；2.会区别古典概型与几何概型；3.会使用几何概型的概率公式计算简单的几何概率.过程与方法1.运用启发式和发现法教学，通过一系列的试验和问题，师生共同探究，让学生体会探索新知的过程，培养其逻辑推理能力；通过实际例子，让学生学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系.2.通过游戏转盘的制作和两次模拟试验，让学生自己动手，培养学生自主学习的能力和创新能力.情感态度与价值观1.通过源于生活的丰富实例和多媒体教学培养学生的学习兴趣；2.通过类题对比与变式练习培养学生严密的逻辑思维习惯.二、教学重点、难点教学重点几何概型的概念教学难点简单的几何概率的计算三、教具与学具准备教具准备用来做游戏的两个转盘、多媒体学具准备两人一枚用来做游戏的同规格的钢针和一张画了一些等距平行线的大纸（钢针的长度等于两平行线间距离的一半）、两人一个用来做游戏的转盘（提前布置，让学生自己制作，为培养学生的创新能力转盘可随意制作）四、教学过程（一）课程引入（通过学生做“布丰投针试验”引入课题）让学生动手把钢针投到纸上，并记录投针的总次数N和针落到纸上与平行线中的某一条相交的次数n，计算针落到纸上与平行线中的某一条相交的频率及频率的倒数，师生共同（把学生分成8组，每做1分钟，每一小组先对实验总次数和针落到纸上与平行线中的某一条相交的总次数n作以汇总并把数据上报给老师，由老师利用多媒体现场完成全班数据的汇总）引导学生去发现问题—针落到纸上与平行线中的某一条相交的频率的倒数越来越接近于圆周率π.告诉学生，这就是简单化了的著名的“布丰投针试验”.向学生简单介绍一下“布丰投针试验”以及历史上几次有名的“布丰投针试验”（见下表），利用学生的好奇心激“布丰投针实验”是第一个用几何形式表达概率问题的例子，它所反映的一种概率模型我们称之为几何概型.“布丰投针试验”为什么能算出圆周率π的近似值呢？它的原理是什么？为了弄清这一问题，我们就来研究一下几何概型，请同学们阅读教材第129页和130页的内容，并拿出转盘，实际操作一下，验证你所得的频率与通过计算得到的概率是否相差不大. （二）新知讲解１.几何概型的概念对于一个随机试验，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.例如：模型1. 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，求取出的种子中含有麦诱病的种子的概率.模型2.取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断.求剪得两段的长都不小于1m 的概率.上面这两个模型都属于几何概型.２.几何概型的基本特点（1）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；（2）每个基本事件出现的可能性相等（实验结果在一个区域内均匀分布）.3.几何概型与古典概型的联系与区别（1）联系：几何概型与古典概型中基本事件发生的可能性都是相等的，即满足等可能性.（2）区别：①古典概型中的基本事件有有限个，而几何概型则要求基本事件有无限个；②判断一个试验是否是古典概型即看它是否满足古典概型的两个特征，而对于几何概型，关键是看它是否具有几何概型的本质特征—能进行几何度量.思考1.随机事件A“从正整数中任取两个数，其和是偶数”是否是几何概型？（尽管这里事件A满足几何概型的两个特点：有无限多个基本事件且每个基本事件的出现是等可能的，但它不满足几何概型的本质特征—能进行几何度量.故事件A不是几何概型.）4.几何概型的概率公式在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：()AP A构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.思考2.通过对几何概型的学习，不难发现：概率为0的事件不一定是不可能事件；概率为1的事件也不一定是必然事件.试举例说明.（在几何概型中，如果随机事件所在区域的是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件.）（三）例与练例1某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待时间不多于10分钟的概率.（分析及解答见教材第130~131页）练习1 在Rt △ABC 中，∠A =30°，在斜边AB 上等可能地取点M ，则AM AC <的概率为（ ）A．2 B ．56 C ．34 D ．16解析：如图，在斜边AB 上取一点D 使得AD AC =.当点M 落在线段AD 上时，有AM AC <.故所求概率为cos302AD AC P AB AB ===︒=故选A. 点评：此处基本事件所“占据”的区域为线段，所求概率即为对应线段的长度之比.值得注意的是若将原题换一种说法则结论迥异.变式1 在Rt △ABC 中，∠A =30°，若过直角顶点C 作射线CM ，交线段AB 于M ，则AM AC <的概率为多少？解析：此时的概率应转化为ACD ∠与ACB ∠的度数之比，即为56.其原因是问题变为射线CM 在内等可能地选取.变式2 在长为10 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25与49之间的概率是多少？解析：此题有一个典型错解，即把把所求概率转化成面积比，得出错解4925610025-=. 实则不然，此变式实质应为“长度型”几何概型.在线段AB 上取两点12,P P ，使得125,7.AP AP ==所以122PP =.由于点P 等可能地在线段AB 上取得，当点P 落在线段12PP 上时，所作正方形的面积即介于25与49之间.故所求概率为21105=. （四）作业教材第137页 习题3.3 A 组 1，2，3MAB CD思考题：“布丰投针试验”为什么能算出圆周率π的近似值？拓展题：什么是“贝特朗奇论”（可利用工具书以及电脑等多种手段查找）？通过思考题和拓展题培养学生自己动手解决问题的能力.五、课后反思总体效果不错，基本完成了教学目标.需要注意的是引入时应更简洁些，时间占用的稍多了点.。
3.3.1几何概型优秀教案
3.3.1几何概型教学目标：1. 知识与能力（1）正确理解几何概型的概念，会判别某种概型是古典概型还是几何概型；（2）理解、掌握几何概型的概率公式．2. 过程与方法（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯．3. 情感、态度、价值观本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯． 教学重点：几何概型的概念、公式及应用．教学难点：（1）几何概型的概念、公式及应用；（2）利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．教学过程：一、创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。
例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点上……这些试验可能出现的结果都是无限多个．二、新课：（一）基本概念：阅读136第一到第六行：思考：1、什么是几何概率模型？2、几何概型的特点是什么？3、几何概型的概率如何计算？小结：公式：P （A ）= A 构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）． （二）例题分析：例1：判断下列试验中事件A 发生的概率是古典概型，还是几何概型．（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；（2）如课本P135图3.3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率．分析：本题考查的几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性．而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关． 例2：某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻，不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率. 可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班，他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的，所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件.小结：在本例中，到站等车的时刻X 是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X 服从[0，60]上的均匀分布，X 为[0，60]上的均匀随机数．（三）巩固练习：1．下列关于几何概型的说法错误的是（ ）A ．几何概型也是古典概型中的一种B ．几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关C ．几何概型中每一个结果的发生具有等可能性D ．几何概型中在一次试验中出现的结果有无限个2．在区间[0，3]内任取一点，则此点所对应的实数大于1的概率为（ ）A ．34B ．23C ．12D ．133．面积为S 的ABC ∆，D 是BC 的中点，向ABC ∆内部投一点，那么点落在ABD ∆内的概率是（ ）A ．13B ．12C ．14D ．164．某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求乘客候车时间不超过6分钟的概率．（四）课堂小结：几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例．（五）课后习题：P142 习题3.3 A 组1，2，3 B 组1，2（六）教学反思：几何概型的教学可采取对比教学，让学生弄清它与古典概型的区别与联系．。
第三章概率3.3.1几何概型教案新人教A版必修3
331 几何概型、教学内容解析本节课是人教A版《普通高目中课程标准实验教科书•数学》必修3中的第三章第三节第一课时的内容。
本课主要学习几何概型的相关内容，包括几何概型的概念及概率计算公式。
本节内容紧接古典概型之后，是第二类概率模型，也是对古典概型内容的进一步拓展。
因而本课的重点把握在几何概型的判断，古典概型及几何概型的区别，以及如何利用几何概型的概率公式解题。
因此本课开始以回顾古典概型的概念及特点作为课前导入，结合一个概型判断的选择题，引导学生发现几何概型及古典概型的区别，进而对比引出几何概型的概念。
紧接着结合生活中的几个案例加深学生对几何概型的理解。
接着对比案例，引导学生通过古典概型的概率计算公式推出几何概型概率计算公式，然后通过例题分别从长度、面积、体积三个方面解决对应的生活中的几何概型问题。
（一）知识与技能：（1）体会几何概型的意义。
（2）了解几何概型的基本特点与古典概型的异同点、会进行简单的几何概型计算。
（二）过程与方法：学生通过自主探究，讨论交流，经历概念产生与发展的过程，进一步培养学生观察、分析、类比等逻辑推理能力，通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，渗透化归、数形结合等思想方法。
（三）情感、态度与价值观：本节课选材取例均来源于生活，学生积极参与探究，进一步树立数学是来源于生活而又服务于生活的意识，让学生感受生活中处处有数学，体会数学对自然与社会所产生的作用，使学生充分认识数学的价值，习惯用数学的眼光解决生活中的问题。
为了达到上面的教学目标和根据课程标准的要求，因此把学生能够正确区分几何概型及古典概型两者的区别和学生初步掌握并运用几何概型解决有关概率的基本问题作为教学重点。
教学难点是在几何概型中把实验的基本事件和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，确定适当的几何测度。
2.学情分析：从学生的思维特点看，很容易把本节内容与古典概型的特点，计算方法等方面进行类比因此两者有联系这是积极因素，应因势利导，但是几何概型的计算方法与古典概型有本质的区别，这对学生的思维是一个突破。
人教B版高中数学必修三教案3.3.1几何概型
《几何概型》教课方案一、教课目的1.知识与技术目标：（1）经过本部分内容的学习，理解几何概型的意义、特色，掌握几何概型的概率公式；（2）会依据古典概型与几何概型的差别与联系来鉴别某种概型是古典概型仍是几何概型；（3）经过解决详细问题的实例感觉理解几何概型的观点，掌握基本领件等可能性的判断方法，逐渐学会依照详细问题的本质背景剖析问题、解决问题的能力。
感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法。
2.过程与方法目标：（1）情境引入，经过师生共同对“问题链”的研究，运用察看、类比、思虑、研究、归纳、归纳的方法领会数学知识的形成的过程，学会应用数学知识来解决问题，领会数学知识与现实世界的联系，培育逻辑推理能力。
（2）经过小组的研究议论，让学生学会分享自己的看法，培育学生的团队合作精神。
3.感情态度与价值观目标：本节课的主要特色是切近生活，领会概率在生活中的重要作用，同时随机试验多，学习时养成好学谨慎的思想习惯。
经过学习，让学生领会生活和学习中与几何概型有关的实例，加强学生解决本质问题的能力；同时，适合地增添学生合作学习沟通的时机，培育学生的合作能力.二、要点、难点1.教课要点：领会几何概型的意义，几何概型的观点和公式的应用，注意理解几何概型与古典概型的差别与联系2.教课难点：在几何概型中把试验的基本领件和随机事件与某一特定的几何地区及其子地区对应，而且从中理解怎样利用几何概型的知识把本质问题转变为各样几何概率问题，从而娴熟应用几何概型的概率公式计算有关事件发生的概率。
三、教课方案情境引入设计企图问题１ : 若A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},则从 A 中任拿出一个数,这个数不大于3问题 1、2 设计意图：复习稳固古的概率是多少？典概型的特色及其概率公式，为变式 1：若 A=(0,9], 则从 A 中任意拿出一个数 , 则这个数不大于 3 的概率是几何概型的引入做好铺垫。
多少？变式 1、2 设计意问题 2:2008 年奥运会时期，某厂商为销售其生产的福娃产品，特举办了一图：次有奖活动 : 顾客任意掷两颗骰子，假如点数之和大于10，可获取一套福娃1．以本质问题引玩具。
高中数学新人教版A版精品教案《3.3.1 几何概型》
几何概型教学设计【教材分析】1、“几何概型”这一节内容是安排在“古典概型”之后的第二类概率模型，是对古典概型内容的进一步拓展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。
几何概型概念的引入过程就是问题解决的过程，以此为载体，提升学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
2．学习几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要。
这充分体现了数学与实际生活的紧密关系：来源于生活，而又高于生活；同时说明了它在概率论中的重要作用，为高校的进一步学习奠定了基础。
【教学目标】知识与技能：1、初步体会几何概型的意义；2、会运用几何概型的概率计算公式，求简单的几何概型的概率问题；3、让学生初步学会把一些实际问题化为几何概型，并进行分析、解决。
过程和方法：1、问题和设问，体会几何概型与古典概型的区别；会用类比的方法学习新知识，并理解几何概型的概念。
2、通过将一些实际问题转化为几何概型的解题过程，学会应用几何概型的概率计算公式解决问题，增强几何概型在解决实际问题中的应用意识。
情感态度与价值观：1、通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用；2、培养严谨的思维习惯。
【教学重点】理解几何概型的特点，利用几何概型的计算公式解决问题。
【教学难点】几何概型的判断和具有实际背景的随机事件与几何区域联系的建立；解题中准确确定几何区域D 和与事件A 对应的区域d ，并求出它们的测度【教学过程】一、回顾复习1、古典概型的特征（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等2、公式基本事件的总数包含的基本事件的个数A A P )(二、提出问题： 问题1：取1根长为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长都不小于1m 的概率有多大？（1）试验中的基本事件是什么？从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3m 的绳子上的任意一点.（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？（3）符合古典概型的特点吗？问题2：下面是运动会射箭比赛的靶面，靶面半径为10cm ，黑心半径为1cm,现一人随机射箭，假设每靶都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，请问射中黑心的概率是多少？(1)试验中的基本事件是什么？射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为10cm 的大圆内的任意一点.（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？（3）符合古典概型的特点吗？问题3：在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是多少？(1)试验中的基本事件是什么？微生物出现的每一个位置都是一个基本事件,微生物出现位置可以是500ml水中的任意一点.（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？（3）符合古典概型的特点吗？设计意图：1、引导学生发现试验的结果是等可能的和无限的，归纳几何概型的特征；2、激励学生寻求解决问题的方法.三、几何概型1、归纳共同特征：(1)一次试验可能出现的结果有无限多个；(2) 每个结果的发生都具有等可能性．老师：对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一个点被取到的机会都一样;这里的区域可以是线段,平面图形,立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.老师：如何求解上述三个问题？同学们有好的解决方吗？问题1：1m1m3m学生分析：从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3m 的绳子上的任意一点，机会是均等的，基本事件形成的集合是一线段，设事件A:剪得的两段长都不小于1m.则31)(=A P )(长度全部结果所构成的区域的区域长度构成事件A设计意图：让学生体会解决问题的实质就是将原来具有无限性的基本事件集合进行了度量，即一维空间时用长度度量．问题2：学生分析：射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为10cm 的大圆内的任意一点，基本事件发生的可能性相等，基本事件形成的集合是整个靶面，设事件B ：射中黑心01.0101)(22=⨯⨯=ππB P)(面积全部结果所构成的区域的区域面积构成事件B问题3:学生分析：草履虫出现的每一个位置都是一个基本事件,草履虫出现位置可以是500ml水中的任意一点，基本事件发生的可能性相等，基本事件形成的集合为500ml 的水，设事件C:2ml 的水样中发现草履虫25015002)(==C P)(体积全部结果所构成的区域的区域体积构成事件C设计意图：让学生意识到试验的结果均匀分布在几何区域内的任意一点，事件A 的概率只与事件A 构成的区域的面积或体积有关，与所在区域的位置、形状无关.让学生明确具有无限性基本事件集合,二维时用面积度量,三维时用体积度量.2、建构概念（1）定义如果每个事件发生的概率只与构成该区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。
高中数学 3.3.1几何概型教案 新人教A版必修3
3. 3.1几何概型教材分析：和古典概型一样，在特定情形下，我们可以用几何概型来计算事件发生的概率．它也是一种等可能概型．教材首先通过实例对比概念给予描述，然后通过均匀随机数随机模拟的方法的介绍，给出了几何概型的一种常用计算方法．与本课开始介绍的P（A）的公式计算方法前后对应，使几何概型这一知识板块更加系统和完整．这节内容中的例题既通俗易懂，又具有代表性，有利于我们的教与学生的学．教学重点是几何概型的计算方法，尤其是设计模型运用随机模拟方法估计未知量；教学难点是突出用样本估计总体的统计思想，把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题．教学目标：1. 通过这节内容学习，让学生了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用．2. 通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力．3. 通过学习，让学生体会试验结果的随机性与规律性，培养学生的科学思维方法，提高学生对自然界的认知水平．教学重点与难点：是随机模拟部分．这节内容的教学需要一些实物模型作为教具，如教科书中的转盘模型、例2中的随机撒豆子的模型等．教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果．随机模拟的教学中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数，进行模拟活动．教学过程：一、问题情境如图，有两个转盘．甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向Ｂ区域时，甲获胜，否则乙获胜．问题：在下列两种情况下分别求甲获胜的概率．二、建立模型1. 提出问题首先引导学生分析几何图形和甲获胜是否有关系，若有关系，和几何体图形的什么表面特征有关系？学生凭直觉，可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积有关．即：字母B所在扇形弧长（或面积）与整个圆弧长（或面积）的比．接着提出这样的问题：变换图中B 与N的顺序，结果是否发生变化？（教师还可做出其他变换后的图形，以示决定几何概率的因素的确定性）．题中甲获胜的概率只与图中几何因素有关，我们就说它是几何概型．注意：（1）这里“只”非常重要，如果没有“只”字，那么就意味着几何概型的概率可能还与其他因素有关，这是错误的．（2）正确理解“几何因素”，一般说来指区域长度（或面积或体积）．2. 引导学生讨论归纳几何概型定义，教师明晰———抽象概括如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：3. 再次提出问题，并组织学生讨论（1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？（2）在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率．（3）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10min的概率．通过以上问题的研讨，进一步明确几何概型的意义及基本计算方法．三、典型例题1. 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少．分析：我们有两种方法计算事件的概率．（1）利用几何概型的公式．（2）利用随机模拟的方法．解法1：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间，纵坐标表示父亲离开家去工作的时间．假设随机试验落在方形内任一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以解法2：设X，Y是0～1之间的均匀随机数．X＋6.5表示送报人送到报纸的时间，Y＋7表示父亲离开家去工作的时间．如果Y＋7＞X＋6.5，即Y＞X－0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸．用计算机做多次试验，即可得到P（A）．教师引导学生独立解答，充分调动学生自主设计随机模拟方法，并组织学生展示自己的解答过程，要求学生说明解答的依据．教师总结，并明晰用计算机（或计算器）产生随机数的模拟试验．强调：这里采用随机数模拟方法，是用频率去估计概率，因此，试验次数越多，频率越接近概率．2. 如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率的值．解：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即假设正方形的边长为2，则由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以这样就得到了π的近似值．另外，我们也可以用计算器或计算机模拟，步骤如下：（1）产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；（2）经平移和伸缩变换，a＝（a1－0.5）*2，b＝（b1－0.5）*2；（3）数出落在圆内a2＋b2＜1的豆子数N1，计算（N代表落在正方形中的豆子数）．可以发现，随着试验次数的增加，得到π的近似值的精度会越来越高．本例启发我们，利用几何概型，并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积．［练习］1. 如图30-4，如果你向靶子上射200镖，你期望多少镖落在黑色区域．2. 利用随机模拟方法计算图30-5中阴影部分（y＝1和y＝x2围成的部分）的面积．3. 画一椭圆，让学生设计方案，求此椭圆的面积．作业：课本3.3.1几何概型课前预习学案一、预习目标1. 了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用．2. 通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力．二、预习内容1.，简称为几何概型．2.在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：3. 讨论：（1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？（ 2）在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率．三、提出疑惑课内探究学案一、学习目标：了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用．学习重点与难点：几何概型的计算方法．二、学习过程：例1. 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少．分析：我们有两种方法计算事件的概率．（1）利用几何概型的公式．（2）利用随机模拟的方法．解法1：解法2：例2. 如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率的值．解：用计算器或计算机模拟，步骤如下：（1） （2） （3） 三、反思总结 1、数学知识： 2、数学思想方法： 四、当堂检测 一、选择题1. 取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长 都不小于1 m 的概率是.A.21 B.31 C.41D.不确定 2. 已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min.则乘客到达站台立即乘上 车的概率是A.101 B.91 C.111 D.81 3. 在1万 km 2的海域中有40 km 2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意 一点钻探，钻到油层面的概率是.A.2511 B.2491 C.2501 D.2521二、填空题1. 如下图，在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2 cm 的正方形， 向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是________.2. 如下图，在一个边长为a 、b （a ＞b ＞0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为31a 与21a ，高为b ，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为________.aa a b1123三解答题1在等腰Rt △ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率. 答案一、选择题1. B2. A3. C 二、填空题1. 942. 125三、解答题 解：在AB 上截取AC ′=AC ，于是P （AM ＜AC ）=P （AM ＜C A '）=答：AM 的长小于AC 的长的概率为22. 22=='AB AC AB C A 课后练习与提高1．两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率是________.2. 如下图，在直角坐标系内，射线OT 落在60°的终边上，任作一条射线OA ，则射线落在∠xOT 内的概率是________.3. 如下图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为21的正方形ABCD ，向半圆内任投一点，该点落在正方形内的概率为_________.4. 在1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL ，含有麦锈病种子的概率是多少？。
3.3.1几何概型教案
§3.3.1几何概型 （第一课时） （人教A 版〃必修3）教学目标1、 知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ；（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型； 2、 过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力（2）通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法3、情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。
教学重点几何概型的概念、公式教学难点几何概型的应用教辅手段投灯片，计算机及多媒体教学．教学过程一、情景设置——温故知新处理方式借助课件，提出问题，引导学生回顾1、现实生活中有的古典概型的问题2、古典概型的特点二、新知探究（一）创设情境：处理方式1、 引导学生独立思考，解决问题：如课本P132图3．3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。
（1） 回顾已学的计算随机事件的概率的方法，引导学生选择解决此问题的方法。
（2） 引导学生思考讨论得出结果。
2、 几何概型的概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）利用类比的方法引导学生总结几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．（3）引导学生由几何概型的概念、特点及转盘问题总结出几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A三、即时体验处理方式1、 以问题探究的形式引导学生区分古典概型和几何概型。
3.3.1几何概型教案
人教B版必修三“3.3.1几何概型”教案《几何概型》教案一．课题：几何概型二．课型：新授课三．课时：一课时四．教学内容分析：几何概型是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。
几何概型的基本特点是：在每次随机试验中，不同的试验结果有无限多个，即基本事件有无限个；在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件是等可能的。
几何概型与古典概型的区别在于，几何概型是无限个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限个。
课本从两者的比较入手，通过分析两个简单的几何概型的例子入手引出几何概型的计算方法。
五．学情分析：学生学习了概率的含义以及古典概型的计算方式，对概率有了一定的了解，对概率的求法也有了一定的方法。
现在进行几何概型的学习，可以通过对比进行学习，通过分辨两种概型的区别与联系，可以达到学习几何概型。
六．教学目标：1．知识与技能：（1）通过本节课的学习使学生掌握几何概型的特点，明确几何概型与古典概型的区别。
（2）通过学生玩转盘游戏，分析得出几何概型概率计算公式。
（3）通过例题教学，使学生能掌握几何概型概率计算公式的应用。
2．过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3．情感、态度与价值观：通过对几何概型的教学，帮助学生树立科学的世界观和辩证的思想，养成合作交流的习惯，初步形成建立数学模型的能力。
七．教学重点与难点：重点：（1）几何概型概率计算公式及应用。
（ 2）如何利用几何图形，把问题转化为几何概型问题。
难点：正确判断几何概型并求出概率。
八．教学策略与方法1教学方法：“学生为主体，教师为主导”的探究性学习模式。
九．教学资源与教学手段：1．教学资源：计算机及多媒体教学．2．教学手段： （1） 发现教学法，通过师生共同研究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系。
高中数学新人教版B版精品教案《3.3.1 几何概型》
几何概型教学设计一、教学内容分析1教材的内容及地位“几何概型”是继“古典概型”之后的第二类等可能概率模型，在概率论中占有相当重要的地位，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸，是为更广泛的满足随机模拟的需要而新增加的内容，这充分体现了数学与实际生活的紧密关系。
《几何概型》共安排2课时,本节课是第1课时，注重概念的建构和公式的应用，为第二课时的几何概型的应用以及体会随机模拟中的统计思想打下基础。
2教学重点1理解几何概型的定义、特点。
2会用公式计算几何概型概率。
3理解几何概型和古典概型的区别。
3教学难点在几何概型中把实验的基本事件和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，确定适当的几何测度，通过数学建模解决实际问题。
二、教学目标分析1通过师生共同试验探究,体会数学知识的形成,正确理解几何概型的概念，会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别概率模型。
2会利用公式求简单的几何概型的概率问题，体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理。
3会用类比的方法学习新知识，提高学生的解题分析能力，培养学生从有限向无限探究的意识。
三、学生学情分析学生通过古典概型的学习初步形成了解决概率问题的思维模式，但不会很成熟，学生在学习本节课时容易对几何概型概念理解不清，与古典概型相混淆。
另外，在解决几何概型问题时，几何概型的判别问题应该不大，但几何度量的选择需要特别重视，在教学中，应引导学生发现其中的规律特征，找出正确的几何测度方式去分析解决问题。
另外，授课班级为理科宏志班，但了解到本班数学成绩偏差，因此选题均为中档题，适宜学生自己分析解决，实现学生主体地位。
四、教学策略分析1、教学方法：本节课采用贯穿类比思想，以引导发现为主的教学方法，以归纳启发式作为教学模式2、学法指导：通过小组合作试验、交流，类比归纳，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题。
3、板书设计（一）知识回顾：问题1：古典概型的两个特点是什么？问题2：计算公式是什么？古典概型的特点及其概率公式：(1)1 (2) 2A () A P A ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎩试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；、古典概型的特点每个基本事件出现的可能性相等。
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3.3.1《几何概型》教学目标知识与技能目标：（1）通过对本节内容的学习，正确理解几何概型的意义、特点；掌握几何概型的概率公式：，会用公式计算几何概型。
（2）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；（3）通过解决具体问题的实例感受理解几何概型的概念，掌握基本事件等可能性的判断方法，逐步学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的能力。
感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法。
过程与方法目标：（1）通过古典概型的例子，稍加变化后成为几何概型，从有限个等可能结果推广到无限个等可能结果，让学生经历概念的建造这一过程，感受数学的拓展过程。
（2）发现法教学，通过师生共同对“问题链”的探究，运用观察、类比、思考、探究、概括、归纳的方法和动手尝试相结合体会数学知识的形成的过程，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力。
（3）通过试验，感知应用数学解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
情感态度与价值观目标：本节课的主要特点是贴近生活，体会概率在生活中的重要作用，感知生活中的数学，激发学生提出问题和解决问题的勇气，培养积极探究的精神。
同时，随机试验多，学习时养成勤学严谨的思维习惯。
教学重点：理解几何概型的意义、特点，会用公式计算几何概率。
教学难点：等可能性的判断几何概型与古典概型的联系和区别。
教学过程师生活动设计意图（一）知识链接，复习提问老师：前面，我们共同研究了古典概型，请大家回忆：古典概型有哪些特点？学生：1.基本事件的个数为有限个；2.每一个基本事件发生的可能性都相等。
老师：古典概型的概率计算公式是什么形式？学生：。
老师：可见，求古典概型中事件A的概率，实际上就是要数清A所含的基本事件的个数与全部基本事件的个数，它们的比值就是这个事件的概率。
接下来，我们共同研究几个问题，看看它们还是不是古典概型。
温故而知新，通过复习旧知加强学生对以往知识的掌握，为后面总结古典概型与几何概型之间的区别与联系做好铺垫。
（二）创设情境，引入课题问题一在数轴上，从区间[0,1]随机取一个数，记“这个数大于0.5”为事件A，求事件A的概率。
（利用幻灯片展示）老师：这个问题中的基本事件是什么？学生：应该是“区间[0,1]上的任意一个数”。
老师：既然这样，它的个数是怎样的？是不是等可能的？学生：个数是无限个，是等可能的。
老师：那还是不是“古典概型”呢？学生：不是。
老师：如何求解？学生：我觉得可以把全部的基本事件构造成数轴上从0到1的这条线段，把事件A的基本事件构造成这条线段上从0.5到1之间的线段，那么事件A的概率就可以用这两条线段的长度之比来计算。
结果应该是老师：非常好，请坐。
他的想法对于我们解决此类问题非常重要。
虽然，基本事件的个数为无限个，无法一一数清。
但是，我们可以把事件A的基本事件和全部的基本事件分别构造成两个可以度量的几何图形。
然后用它们的几何度量之比来求概率。
问题二甲、乙两人玩转盘游戏.旋转转盘，当转盘停止时，指针可以指向转盘上的任意位置。
规定当转盘停止时指针指向红色区域，甲胜；否则乙胜。
求甲胜的概率。
（转盘被六等分）（利用幻灯片展示）老师：这个问题中的基本事件是什么？学生：转盘停止时，指针的位置。
老师：个数怎样？是不是等可能的？学生：无限个，等可能。
1.以实际问题引发学生的学习兴趣和求知欲望；2．以此为铺垫，通过具体问题情境引入课题；3.反复强化解决概率问题的一般方法和步骤，增强解题能力；4.丰富感性认知，呈现长度、面积、体积度量；5．简单直观，符合学生的思维习惯和认知规律.老师：如何求解？学生：把全部基本事件构造成一个圆，把“甲胜”这个事件的基本事件构造成两个红色的扇形，然后用它们的面积之比来求概率。
结果应该是。
老师：回答正确，请坐。
还是刚才的思想，不同的是，在这里我们构造成了扇形与圆。
利用它们的面积之比来求概率。
如果把转盘换成这样的，那概率是多少呢？（利用幻灯片展示）学生：还是。
老师：如果是这样的呢？（利用幻灯片展示）学生：老师：以上现象说明什么？学生：“甲胜”的概率与红色区域的位置无关；只与红色区域的面积所占的比例有关。
老师：很好。
看问题三问题三一只海豚在一个长40m，宽30m，深20m的水池中自由游弋，求它距离池底与池壁均不小于5m的概率。
（利用幻灯片展示）老师：这个问题中的基本事件是什么？学生：海豚在水池中的位置。
老师：个数怎样？是不是等可能的？学生：无限个，等可能。
老师：如何求解？学生：把海豚的任意位置抽象为一个点，这样全部基本事件可构造成一个长为40m，宽为30m，高为20m的长方体。
而把事件A的基本事件构造成一个长为30m，宽为20m，高为15m的长方体。
用它们的体积之比来求概率。
即老师：仍是这样思想。
只不过这里构造成了立体图形。
用体积之比来求概率了。
下面，我们回过头来总结一下以上三个问题的共同点。
学生：（1）基本事件的个数都是无限个；（2）每个基本事件发生的可能性都相等；（3）都是利用几何图形来求概率。
老师：大家说得都很好。
下面我来整合一下大家的发言。
以上三个问题的共同点主要有以下三点：（写板书）（1）无限性：基本事件的个数都是无限个；（三）探求新知，形成概念老师：（板书标题）下面我们来明确一下几何概型的概念：（书写板书）一、几何概型的概念：（1）无限性：基本事件的个数都是无限个；（2）等可能：每个基本事件发生的可能性都相等；（3）成比例：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例。
二、概率计算公式：公式中的长度、面积或体积如何选择，取决于问题中的基本事件所构成的几何图形。
到这里，我们已经掌握了两种概率模型——古典概型和几何概型。
二者之间有怎样的区别与联系呢？学生：它们的共同之处在于：①等可能；②公式都是比的形式；它们的不同点在于：古典概型中基本事件的个数是有限个；而几何概型中基本事件的个数是无限个。
（利用幻灯片展示）老师：很好。
再熟悉了古典概型和几何概型之后，我们来判断以下的概率问题的基本事件是什么，属于哪种概率模型？（利用幻灯片展示）判断下列概率问题的基本事件是什么，属于哪种概率模型?1．某人在一串10把不同的钥匙中随意取一把，求一次就将门锁打开的概率。
2．取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，求得到的两段长度都不小于10cm的概率。
3．在边长为2的正方形中随机撒一粒豆子，求这粒豆子落在正方形的内切圆内的概率。
学生：第一题中，基本事件是一串10把钥匙的任意一把．因为基本事件的个数是有限个，且等可能。
所以属于古典概型。
第二题中，基本事件是任意一个剪断绳子的位置。
因为基本事件的个数是无限个，且等可能。
所以属于几何概型。
第三题中，基本事件是豆子落在正方形中的任意一个位置。
因为基本事件的个数是无限个，且等可能。
所以属于几何概型。
老师：很好，请坐。
今后当我们遇到概率问题时，首先要像这样去判断这属于哪种概率模型，然后再用相应的概率公式去求解。
看一道例题：（利用幻灯片展示）1.通过学生探究发现，教师归纳总结形成概念，符合以学生为主体，教师为主导的课堂模式；2.明确古典概型与几何概型的区别与联系，梳理知识体系；3. 解决概率问题的关键是分析随机试验的基本事件。
引导学生自主探究分析问题中的基本事件，形成能力，加强学生处理概率问题的能力。
（四）应用举例，巩固概念例1某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。
下面我们采用“分组讨论”的方式来解决这个问题。
开始！学生：（按照事先分好的小组展开讨论，并将讨论结果在展台上展示）变式1 已知某公交车每隔5分钟有一辆到站，某人到达该站的时间是任意的，求他候车时间不超过3分钟的概率。
（利用幻灯片展示，由学生自行解决。
最后老师指出问题的实质，与例1模型完全相同）变式2 假设你家订了一份报纸，送报人每天早上7:30准时把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7:00-8:00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？（利用幻灯片展示，由学生自行解决。
老师进行讲评）例2 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30-7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7:00-8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？（利用幻灯片展示）老师：请大家分析，这个问题中的基本事件是什么？个数怎样？是不是等可能的？学生：基本事件应该是送报人送报时间与父亲离家去工作时间的一种组合情况。
个数为无限个且是等可能的。
老师：很好，分析得很透彻。
与前面的问题不同的是这里出现了两个随机事件。
基本事件是由这两个随机事件的结果共同决定的。
遇到这种问题时，我们可以将这两个随机事件的结果分别设为两个变量。
即：（板书）设送报人送报的时间为x，父亲离开家的时间为y。
这样（x，y）就可以看成平面中的点。
那么基本事件就可以构造成坐标系中的平面区域。
试验的全部结果所构成的区域为（板书）这是一个正方形区域（利用幻灯片展示），它的面积。
事件A所构成的区域（板书）也就是图中的红色区域（利用幻灯片展示），它的面积。
所以。
今后，大家如果遇到基本事件是由两个随机事件的结果共同决定的情况，就可以像这样把问题转化到坐标平面中去解决。
看一个变式。
变式 3 甲、乙两人约定在某咖啡厅见面,假定他们都在中午1.将实际问题转化为几何概型来求解，充分体现概率知识的现实意义；2.例1采用分组讨论的探究形式，培养学生的团队合作意识；3.在例1的讲解过程中，引导学生将预设的四种解法一一说出，拓展学生的解题思路，体现了数学的灵活性；4.通过教师的精炼点评，引导学生发现变式1中问题的实质；5.变式2的作用在于分散难点、建立例1与例2之间的联系，用循序渐进的方式，引领学生突破难点；6.通过例2的讲解，使学生学会处理含两个随机事件的概率问题的方法；7.通过变式3巩固例2的学习成果，产生学生学习上的成就感。