二次函数与直角三角形

我们先看三个问题：

1.已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？

2.已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？

3.已知点A（4,0），如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标。

如图1，点C在垂线上，垂足除外。如图2，点C在以AB为直径的圆上，A,B两点除外

如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B 共6个。

解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。

一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或者勾股定理列方程。

有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简单。

解直角三角形的问题，常常和相似三角形和相似比的问题联系在一起。

如果直角边和坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个相似直角三角形，这样列比例方程比较简单。（K字形）

1.(潍坊倒一)如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（-1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点F．点P在直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；

（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

第（2）题表面上是抛物线问题，但认真审题后发现，抛物线只是作为背景，实际上就是有关直角三角形的动点问题。遇直角三角形要养成分三种情况讨论的习惯，包括①，我们必须要讨论后给予排除。

3.（永州倒一）如图，已知抛物线y=ax2+bx+1经过A(-1，0)，B(1，1)两点．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)阅读理解：

在同一平面直角坐标系中，直线l1：y=k1x+b1(k1，b1为常数，且k1≠0)，直线l2：y=k2x+b2(k2，b2为常数，且k

≠0)，若l1⊥l2，则k1〃k2=-1．

2

解决问题：

①若直线y=3x-1与直线y=mx+2互相垂直，求m的值；

②是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方(不与A，B重合)，求点M到直线AB的距离的最大值．

4.（孝感倒一）在平面直角坐标系xoy中，规定：抛物线y=a(x-h)2+k的伴随直线为y=a(x-h)+k.例如：抛物线y=2(x+1)2-3的伴随直线为y=2(x+1)-3，即y=2x-1.

（1）在上面规定下，抛物线y=(x+1)2-4的顶点为 .伴随直线为；抛物线y=(x+1)2-4与其伴随直线的交点坐标为和；

（2）如图，顶点在第一象限的抛物线y=m(x-1)2-4m与其伴随直线相交于点A,B (点A在点B的左侧)与x轴交于点C,D.

①若∠CAB=90°，求m的值；

②如果点是直线BC上方抛物线的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值27/4时，求m的值.

5.（徐州倒一）如图，已知二次函数y=4/9x2﹣4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为根号5，P为⊙C上一动点．

（1）点B，C的坐标分别为B（，），C（，）；

（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值=_____．

6.（内江倒一）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，关系，并求S的最大值；

（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

7.如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．

（1）分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；

（2）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；

（3）我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）．

8.（贵州黔南州倒一）如图，已知直角坐标系中，A、B、D三点的坐标分别为A（8，0），B（0，4），D（﹣1，0），点C与点B关于x轴对称，连接AB、AC．

（1）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；

（2）有一动点E从原点O出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点P，交线段CA于点M，连接PA、PB，设点E运动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；

（3）抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得△ABH是直角三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．