曲面立体的截交线新
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《工程制图》第十章-曲面立体的截交线
三、 圆柱截交线例题
12
例题1 求圆柱截交线
1' 2'3'
4'5'
6'7'
8'
5
3
2
3" 5"
7"
1" 8"
解题步骤
2"
1 分析 截交线的水平投影为椭
圆，侧面投影为圆；
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅳ、 Ⅴ、 Ⅷ；
4" 3 求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、
Ⅵ、Ⅶ；
4 光滑且顺次地连接各点，作
6"
出截交线，并且判别可见性；
2 转向点 曲线上处于曲面投影转向线上的点，它们是区分 曲线可见与不可见部分的分界点。
3 特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端 点。
4 结合点 截交线由几部分不同线段（曲线、直线）组成时 结合处的那些点。
对于特殊点，根据现有的知识凡是能求出来的都应求出来 。
7
五、 作图步骤
1 根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别截交线的形 状和性质。
5 整理轮廓线。
Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅶ
Ⅳ
Ⅷ
Ⅵ
13
例题2 求圆柱截交线
解题步骤 1 分析 截交线的水平投影为椭 圆的一部分，侧面投影为圆的 一部分； 2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅳ 、 Ⅴ； 3 求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ ； 4 光滑且顺次地连接各点，作出 截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
14
例题6 想象出物体及其侧面投影的形状
18
§ 10-3 平面与 圆锥相交
一、平面与圆锥相交所得截交线形状 二、 圆锥截交线的求法 三、 圆锥截交线例题
第6章 曲面立体及截交线
截平面位置 立 体 图 与V面平行 与H面平行 与V面垂直
投 影 图
六、圆球体切割
例5-11 圆球被一正垂面截切，完成其水平投影和侧 例5-11 求圆球被正垂面截切的截交线 面投影。 绘图步骤： (1)截交线的投影为椭圆，投 影椭圆上短轴的两个端点Ⅰ、 Ⅱ与长轴的两个端点Ⅲ 、 Ⅳ； (2)求截交线与轮廓线的交点 Ⅴ 、Ⅵ ； (3)求截交线与轮廓线的交点 Ⅶ 、Ⅷ ； (4)依次光滑连接各点； (5)检查并加粗可见轮廓线。 点击播放视频
c
a
例5-5 圆柱表面取点
a” (c”) b”
b
二、圆锥的投影及表面取点
圆锥的形成 圆锥是由一直母线绕与它相交的轴线旋转一周形 成的，具有一个底面和一个回转面（圆锥面）。 圆锥面上所有素线相交于锥顶，所有纬圆平行。
锥顶 圆锥面 母线 底面 轴线 素线 纬圆
(a) 圆锥面的形成 点击图片播放视频
(b) 圆锥的结构特征 圆锥的特征
s’
例5-6 圆锥表面取点
s”
a”
e’
e”
s
a e
素线法
二、圆锥的投影及表面取点
2、表面取点
例5-6 圆锥表面取点
例5-6 如图所示，已知点 A在圆锥表面上，并知它 的正面投影a’，可采用下 列两种方法求出点A的水 平投影a和侧面投影a” 。
s’
s”
a”
s a
纬圆法
三、圆球的投影及表面取点
圆球的形成 一圆周绕自身的一直径旋转一周即形成圆球， 形成的回转面称为圆球面。平面与球面的交线为 一个圆，称为纬圆。
(c) 圆锥面的结构特征
二、圆锥的投影及表面取点
1、投影分析 圆锥面的轮廓素线 圆锥的轴线垂直 SA、SB将圆柱面分成可 于H面。圆锥底圆为水 见的前半部分与不可见 平面，水平投影反映实 的后半部分。 形，其正面和侧面投影 轮廓素线SC、SD将 积聚为水平直线。 圆柱面分成可见的左半 圆锥面的水平投影 部分与不可见的右半部 为圆，其正面和侧面投 分。 影为三角形。
投 影 图
六、圆球体切割
例5-11 圆球被一正垂面截切，完成其水平投影和侧 例5-11 求圆球被正垂面截切的截交线 面投影。 绘图步骤： (1)截交线的投影为椭圆，投 影椭圆上短轴的两个端点Ⅰ、 Ⅱ与长轴的两个端点Ⅲ 、 Ⅳ； (2)求截交线与轮廓线的交点 Ⅴ 、Ⅵ ； (3)求截交线与轮廓线的交点 Ⅶ 、Ⅷ ； (4)依次光滑连接各点； (5)检查并加粗可见轮廓线。 点击播放视频
c
a
例5-5 圆柱表面取点
a” (c”) b”
b
二、圆锥的投影及表面取点
圆锥的形成 圆锥是由一直母线绕与它相交的轴线旋转一周形 成的，具有一个底面和一个回转面（圆锥面）。 圆锥面上所有素线相交于锥顶，所有纬圆平行。
锥顶 圆锥面 母线 底面 轴线 素线 纬圆
(a) 圆锥面的形成 点击图片播放视频
(b) 圆锥的结构特征 圆锥的特征
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例5-6 圆锥表面取点
s”
a”
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素线法
二、圆锥的投影及表面取点
2、表面取点
例5-6 圆锥表面取点
例5-6 如图所示，已知点 A在圆锥表面上，并知它 的正面投影a’，可采用下 列两种方法求出点A的水 平投影a和侧面投影a” 。
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a”
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纬圆法
三、圆球的投影及表面取点
圆球的形成 一圆周绕自身的一直径旋转一周即形成圆球， 形成的回转面称为圆球面。平面与球面的交线为 一个圆，称为纬圆。
(c) 圆锥面的结构特征
二、圆锥的投影及表面取点
1、投影分析 圆锥面的轮廓素线 圆锥的轴线垂直 SA、SB将圆柱面分成可 于H面。圆锥底圆为水 见的前半部分与不可见 平面，水平投影反映实 的后半部分。 形，其正面和侧面投影 轮廓素线SC、SD将 积聚为水平直线。 圆柱面分成可见的左半 圆锥面的水平投影 部分与不可见的右半部 为圆，其正面和侧面投 分。 影为三角形。
曲面立体的截交线、贯穿点、相贯线.
1
d
f
e
29
平面体与曲面立体相交 交线 （相贯线）
共性
交线为二表面所共有线 求交线的本质 求二表面的共有点
本节重点讨论：求交线的基本方法
30
求交线的基本方法
作图步骤看动画演示
31
求交线的基本方法
例
此段外形轮廓线消失
（直线）构成的封 交线投影分析 实质是求平面体 闭的空间折线 交线的投影作图 各表面与回转体 H、 W投影已知 求V投影 求截交 的交线
特殊点 外形轮廓线 中间点 终止点 光滑连接曲线 截交线投影 虚实分界点 交线可见性
11
例 圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个投影。
3’
2’ 1’5”4” (4’)(5’)
3” 2” 1”
具体步骤如下： （1）先求特殊点。 （2）再求一般点。 （3）依次光滑连接各点。
5 4 3 2 1 4 5
内、外交线分别求解 注意检查 孔的外形轮廓线投影 截平面与孔的交线
7
4、平面与圆锥体相交 平面P与圆锥面的交线
P
P
P轴线 交线为圆
P∠轴线 > 交线为椭圆
8
平面P与圆锥面的交线
P
P
P ∠轴线 = 交线为抛物线
P ∠轴线 0 < 交线为双曲线
9
平面P与圆锥面的交线
P
归纳
P轴线 交线为圆 P∠轴线 > 交线为椭圆 P∠ 轴线 = 交线为抛物线 P∠轴线 0< 交线为双曲线 P过锥顶 交线为直线
10
P过锥顶 交线为直线
例 求截交线
椭圆短轴的投影 是什么点？
P
P
椭圆画法
4-2 曲面立体-截交线
例3 完成圆柱切口的水平投影和侧面投影。
1'(4') 4” 1” 2”
2'(3')
3”
圆弧侧 面投影 可见 最前、最后的 素线被截切到， 已不完整 作图：
Ⅳ Ⅲ Ⅰ Ⅱ
4(3)
(1)标记截交线的顶点； (2)求侧平面的水平投影； (3)求ⅠⅡ、ⅢⅣ的侧面投影； (4)求圆弧及水平面的侧面投影；
1(2)
1、平面切割圆柱体
例5 完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。
Ⅷ 1'(4')(5')(8') 8” 5” 4” 1” 2” Ⅶ Ⅴ Ⅵ Ⅳ Ⅰ Ⅲ Ⅱ
6” 2'(3') (6')(7')
7” 3”
作图：
8(7) 5(6) 4(3) 1(2)
§4-2 截交线
(1)标记截交线的顶点； (2)求侧平面的水平投影； (3)求直线ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ和 ⅦⅧ 的侧面投影； (4)求圆弧及水平面的侧面投影； (5)完成作图。
短轴
a'b' e'(f')
中点
a' PV f” d”
a” e” c” b” F D
A E C B
c'(d')
b'
作图：
d f a c e
§4-2 截交线
长轴
b
(1)特殊点：最高点A、最低点B、最 前点C、最后点D ； (2)特殊点：转向轮廓线上的点E、F ； (3)一般点；
2、平面切割圆锥体
例6 求正垂面与直立正圆锥体的截交线。
2、平面切割圆锥体
平面与圆锥体表面的交线，因平面与圆锥轴线的相对位置 不同而有不同的形状，可能的情况有五种。
1'(4') 4” 1” 2”
2'(3')
3”
圆弧侧 面投影 可见 最前、最后的 素线被截切到， 已不完整 作图：
Ⅳ Ⅲ Ⅰ Ⅱ
4(3)
(1)标记截交线的顶点； (2)求侧平面的水平投影； (3)求ⅠⅡ、ⅢⅣ的侧面投影； (4)求圆弧及水平面的侧面投影；
1(2)
1、平面切割圆柱体
例5 完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。
Ⅷ 1'(4')(5')(8') 8” 5” 4” 1” 2” Ⅶ Ⅴ Ⅵ Ⅳ Ⅰ Ⅲ Ⅱ
6” 2'(3') (6')(7')
7” 3”
作图：
8(7) 5(6) 4(3) 1(2)
§4-2 截交线
(1)标记截交线的顶点； (2)求侧平面的水平投影； (3)求直线ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ和 ⅦⅧ 的侧面投影； (4)求圆弧及水平面的侧面投影； (5)完成作图。
短轴
a'b' e'(f')
中点
a' PV f” d”
a” e” c” b” F D
A E C B
c'(d')
b'
作图：
d f a c e
§4-2 截交线
长轴
b
(1)特殊点：最高点A、最低点B、最 前点C、最后点D ； (2)特殊点：转向轮廓线上的点E、F ； (3)一般点；
2、平面切割圆锥体
例6 求正垂面与直立正圆锥体的截交线。
2、平面切割圆锥体
平面与圆锥体表面的交线，因平面与圆锥轴线的相对位置 不同而有不同的形状，可能的情况有五种。
§4.2 平面与立体相交求截交线
1
s 2
3
(3)连接各点同面投影即等截交 线的三个投影
(4)补全棱线投影
求作四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
分析：截平面为正垂面 截交线的正面投影积聚 为直线。截平面与四条 棱线相交，从正面可直 接找出交点。 作出各对应点的投影， 4• 1 2
•
1'
(4') 2'
3'
4"
3"
2"
1"
依次连接各点。 3 补全棱锥体的外形投影。
3 1
2
a
3
2
[例题5]
分析并想象出圆锥穿孔后的投影
主要内容
4.2.1 圆柱截交线 4.2.2 圆锥截交线
4.2.3 圆球截交线
一.面与圆球相交所得截交线
圆
二.求圆球截交线上点
平行圆画法:在圆球表面上取若干个平行于投
影面的平行圆,求这些平行圆与截平面的交点;
三.圆球截交线
[例题1]求圆球截交线
ο
截平面与圆锥轴线
倾斜，倾角θ>α 截交线为椭圆。
Pv
Pv
Pv
截平面与圆锥轴线 倾斜面，倾角θ=α 截交线为抛物线。
截平面与圆锥轴线 平行或倾角θ<α， 截交线为双曲线。
截平面过锥顶截 交线为三角形。
特殊点 一般点 b'
a'
a''
c'
b''
c''
整理加深
S
由点连线
P
b
c
a
Ⅰ
解题步骤 1 分析 截交线的水 平投影和侧面投影已 知，正面投影为双曲 线并反映实形； 2 求出截交线上的特 殊点A、C； 3 求出一般点B ； 4 光滑且顺次地连接 各点，作出截交线， 并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
第10章 曲面立体的截交线
第十章曲面立体的截交线基本要求§10-1 概述§10-2 平面与圆柱相交§10-3 平面与圆锥相交§10-4 平面与圆球相交§10-5 综合题基本要求§10-1 概述一、截交线的性质二、截交线的类型及形状三、求作截交线的方法四、截交线上的特殊点五、作图步骤一、曲面立体截交线的性质二、截交线的类型及形状三、求作截交线的方法四、特殊点五、作图步骤§10-2 平面与圆柱相交一、平面与圆柱相交所得截交线形状二、求圆柱截交线上点的方法三、例题一、平面与圆柱相交所得截交线形状圆矩形椭圆二、求圆柱截交线上点的方法三、例题11'1"5"4" 8' 8"83254ⅦⅢⅡ ⅣⅤⅠ4'5' 2'3' 2" 3" 解题步骤1．分析 截平面为正垂面，截交线的侧面投影为圆，水平投影为椭圆；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅳ、 Ⅴ、 Ⅷ；3．求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、 Ⅵ、Ⅶ；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5．整理轮廓线。
7 66'7'6"7"解题步骤1．分析侧面投影为圆的一部分，截交线的水平投影为椭圆的一部分； 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ ；3．求出若干个一般点Ⅳ、 Ⅴ ； 4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
3453'3"4'5'5' 4'1'2'2"1"122' 1'4'3'[例题3] 求圆柱截交线解题步骤1．分析 截交线的水平投影为直线和部分圆，侧面投影为矩形；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ； 3．顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性； 4．整理轮廓线。
4-1 立体的截交线
平面与曲面立体的交线一般为封闭的平面曲线。 平面与曲面立体的交线一般为封闭的平面曲线 。 截交线上的点是曲面上的素线与截平面的交点。 截交线上的点是曲面上的素线与截平面的交点 。 曲面体截交线的性质： 曲面体截交线的性质： 截交线的性质 1、封闭的平面图形（曲、平线围成）。 封闭的平面图形（ 封闭的平面图形 平线围成）。 2、截交线为立体表面和截平面的共有线。 截交线为立体表面和截平面的共有线。 截交线为立体表面和截平面的共有线 3、截交线上的点为立体表面和截平面的共有点。 截交线上的点为立体表面和截平面的共有点。 截交线上的点为立体表面和截平面的共有点 求曲面体的截交线的方法： 求曲面体的截交线的方法： 截交线的方法 依 找出立体表面和平面上的若干共有点， 找出立体表面和平面上的若干共有点，然后 次连线。 次连线。
例4-1 ：求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。 求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。
截交线投影分析 截交线投影分析: 投影分析
截平面
例4-1 ：求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。 求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。
截交线空间及投 截交线空间及投 影分析: 影分析
截交线的正面投影
水平投影和侧面 投影是小于原形 的类似形
截平面是正垂面， 截平面是正垂面， 截交线在正立面内 积聚为一线 截平面
截交线空间是三边形
例4-1 ：求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。 求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。 s' s" 3' 2´ 1' a' a b' 1 Ⅲ s 2 b 3 c A Ⅰ Ⅱ B c' a" S
1. 找出有积聚性的投影 2. 从已知投影开始， 从已知投影开始， 确定各棱线的交点1` 确定各棱线的交点 2`3`。 3. 用线上取点的方法求 C 得其余各投影。 得其余各投影。 4. 连接棱面上的交线并 判断可见性。 判断可见性。
例4-1 ：求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。 求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。
截交线投影分析 截交线投影分析: 投影分析
截平面
例4-1 ：求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。 求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。
截交线空间及投 截交线空间及投 影分析: 影分析
截交线的正面投影
水平投影和侧面 投影是小于原形 的类似形
截平面是正垂面， 截平面是正垂面， 截交线在正立面内 积聚为一线 截平面
截交线空间是三边形
例4-1 ：求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。 求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。 s' s" 3' 2´ 1' a' a b' 1 Ⅲ s 2 b 3 c A Ⅰ Ⅱ B c' a" S
1. 找出有积聚性的投影 2. 从已知投影开始， 从已知投影开始， 确定各棱线的交点1` 确定各棱线的交点 2`3`。 3. 用线上取点的方法求 C 得其余各投影。 得其余各投影。 4. 连接棱面上的交线并 判断可见性。 判断可见性。
第4章 平面与曲面立体相交、两曲面立体相交
图4-7 辅助平面法作图原理
例：求作如图所示部分球体与圆锥台的相贯线。
(1) 空间分析及投影分析：
部分球体为 1／4 球前后对称地切去两块而成，圆锥台的轴 线垂直于水平面但不通过球心，其相贯线为前后对称的封闭空 间曲线。因为球与锥台的各投影都没有积聚性 , 故需用辅助平 面法求作相贯线。
(2) 作图：
② 作一般位置点。 在点I、III的高度范围 内 , 选取水平面 R 为辅助平 面,平面R与球及圆锥台的截 交线分别是以r2、r3为半径 的圆弧, 它们的交点Ⅴ、Ⅵ 就是相贯线上的点。先求出 水 平 投 影 5 、 6, 然 后 找 到 5′、 6′和 5" 、 6", 如图 (d)所示。
③ 依次光滑连接各点的 投影, 并判别可见性, 完 成相贯线的投影。最后 注意，圆锥台左视轮廓 素线画到2"、4"两点， 球体左视轮廓素线上有 一段虚线, 如图 (e)所示。
① 辅助平面法的实质， 是求辅助平面分别截两立 体所得截交线的交点。
② 辅助平面位置选取的原则，是使辅助平面分别 截两立体所得截交线的形状最简单(直线和圆)，以便用 工具作图。
例：求轴线正交的水平圆柱与直立圆锥的相贯线。
解题步骤：
1'
4' 3'
1"
PV1 PV2
PV3
2" y y
4" PW1
PW2
g"(h")
c"
y
d e a g c h f b
y
2、利用辅助平面法求相贯线
作图原理 ：
如图，为了求作部分球 体与圆锥台相交的表面共有 点，假想用一平面P （称为 辅助平面）截切两立体。平 面P 与部分球体的截交线为 一个圆LA，平面P 与圆锥台 的截交线也为一个圆LB。 LA 与LB的交点K1和K2 即为辅助 平面P、球体和圆锥台三个表 面的共有点，因此也是相贯 线上的点。 这种利用三面共点的原 理求相贯线上的点的方法叫 做辅助平面法。
第三章截交线和相贯线ppt课件
组成。如图6.27是建筑上
常见构件柱梁楼板连接 的直观图 。
图6.27 方梁与圆柱相贯 直观图
[例6.12] 求方梁与圆柱的相贯线。如图6.28所示。 [解] 具体作图步聚，如图6.29所示
图6.28 方梁与圆柱相 贯已知条件
图6.29 方梁与圆柱相贯投影图
[例6.13]已知坡屋顶上装有一圆柱形烟囱，求其交线， 如图6.30所示。
图6.21 求四棱柱体与四棱锥体相贯线已知条件
图6.22 四棱柱体与四棱锥体的相贯线作法一
图6.23 四棱柱体与四棱锥体的相贯线作法二
6.4 同坡屋面交线
坡屋面的交线是两平面立体相贯在房屋建筑中 常见的一种实例。在一般情况下，屋顶檐口的 高度在同一水平面上，各个坡面与水平面的倾 角相等，所以称为同坡屋面，如图6.24所示。
作同坡屋面的投影图，可根据同坡屋面的投影 特点，直接求得水平投影，再根据各坡面与水 平面的倾角求得V面投影以及W面投影。
图6.24 同坡屋面的投影
[例6.10] 已知同坡屋面的倾角α=30°檐口线的H面投影， 求屋面交线的H面投影及V面投影，如图6.25(a) 所示。
[解] 如图6.25所示
图6.25 同坡屋面的交线
圆锥与圆球同轴相贯， 相贯线为圆
直观图
6.5.2.4 贯通孔
凡是一立体被另一立体贯穿后的空洞部分称为 贯通孔。
贯通孔线的作图，可归结为相贯线的作图，与 相贯体不同的是贯通孔应画出其孔内不可见的 虚线投影。
图6.44所示为一个正四棱锥被一个正四棱柱贯 穿后所形成的贯通孔。
图6.45所示为一个水平圆柱被一个垂直圆柱体 贯穿后所形成的贯通孔 。
图6.6 三棱锥被两平面截断已知条件
图6.7 截头三棱锥的截交线
10.曲面立体截切详解
• b
A、B的中C、D是截交线的水平投影椭圆的长轴 端点，也是水平投影的最前、最后点。 2.求一般点 ：选择适当位置的G、H点。
ec
• •• g
青
岛 理 工 大
例8:求圆球被截切后的水平投影和侧面投影
轮廓线怎样处理?
分析:球面被侧平 面截切，侧面投影 为圆；球面被水平 面截切，水平面投 影为圆。
学
理 学 院
青
岛 理 工 大
二、平面与圆锥体相交
学
理 学 院
青
岛 理 工 大
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不 同，截交线有五种形状。 PV
PV θ PV PV α
θ
α
θ PV
α
学
理
过锥顶 学 θ = 90° 两相交直线 院 圆
θ ＞α 椭圆
θ =α 抛物线
θ = 0°＜α 双曲线
青
岛 理
例4.求正垂面与圆锥的截交线。
学
理 学 院
1
2
青
岛 理 工 大
总结曲面体截交线的求解：
1. 截交线形状：是由几个平面曲线或 平面直线组成，每一段平面曲线或直 线都是截平面和曲面体表面的交线， 每个转折点都是两个截平面的交线与 曲面体表面的贯穿点。
学
理 学 院
2. 求法： 青
岛 理 工 大
学
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（1）分析基本形体（圆柱、圆锥、球体） （2）根据截平面的位置分析各段截交线的形状。 圆柱体——截交线有三种情况（圆、椭圆、矩形） 圆锥体——截交线有五种情况（圆、椭圆、直线、 双曲线、抛物线） 球——截交线只有一种情况（圆） （3）在截平面的积聚投影面上找出所有的特殊点和转 折点及必要的一般点，并用数字标注。 （4）求出这些点的另外两面投影。 （5）连接：同一面上相邻两点依次用光滑的曲线或直 线连接，并正确判断截交线的可见性。 （6）整理：加深形体余下的轮廓线，并正确判断轮廓 线的可见性。
A、B的中C、D是截交线的水平投影椭圆的长轴 端点，也是水平投影的最前、最后点。 2.求一般点 ：选择适当位置的G、H点。
ec
• •• g
青
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例8:求圆球被截切后的水平投影和侧面投影
轮廓线怎样处理?
分析:球面被侧平 面截切，侧面投影 为圆；球面被水平 面截切，水平面投 影为圆。
学
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青
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二、平面与圆锥体相交
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根据截平面与圆锥轴线的相对位置不 同，截交线有五种形状。 PV
PV θ PV PV α
θ
α
θ PV
α
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过锥顶 学 θ = 90° 两相交直线 院 圆
θ ＞α 椭圆
θ =α 抛物线
θ = 0°＜α 双曲线
青
岛 理
例4.求正垂面与圆锥的截交线。
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1
2
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总结曲面体截交线的求解：
1. 截交线形状：是由几个平面曲线或 平面直线组成，每一段平面曲线或直 线都是截平面和曲面体表面的交线， 每个转折点都是两个截平面的交线与 曲面体表面的贯穿点。
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2. 求法： 青
岛 理 工 大
学
理 学 院
（1）分析基本形体（圆柱、圆锥、球体） （2）根据截平面的位置分析各段截交线的形状。 圆柱体——截交线有三种情况（圆、椭圆、矩形） 圆锥体——截交线有五种情况（圆、椭圆、直线、 双曲线、抛物线） 球——截交线只有一种情况（圆） （3）在截平面的积聚投影面上找出所有的特殊点和转 折点及必要的一般点，并用数字标注。 （4）求出这些点的另外两面投影。 （5）连接：同一面上相邻两点依次用光滑的曲线或直 线连接，并正确判断截交线的可见性。 （6）整理：加深形体余下的轮廓线，并正确判断轮廓 线的可见性。
截交线与相贯线
二、辅助平面法；
三、相贯线的特殊情况；
四、相贯线的简化画法。
相贯线的性质
由于相交的两回转曲面的几何形状或相对 位置不同，其相贯线形状位置也不同，但都具 有下列性质： 共有性：相贯线是两曲面立体表面的共有 线，也是两立体表面的分界线，相贯线上的点 是两立体表面的共有点，这里我们定义它为相 贯点。 封闭性：两回转体的相贯线，一般是一条 封闭的空间曲线，特殊情况下是平面曲线或直 线。
一、表面取点法
求作轴线垂直相交两圆柱的相贯线
1’ 4’ 3’
2’
4”
1” （2”） y y 3”
分析: 已知相贯线的 水平投影和侧面投影 求作：正面投影 作图步骤：
4 1 3 2 y
1、作特殊点 2、作一般位置点 3、光滑连接
注意：相贯线始终弯向大圆柱的轴线方向。
y
二、利用辅助平面法求相贯线
为了能简便地作出相贯线上的点，应选取特殊位 置平面作为辅助平面，并使辅助平面与两回转体的截 交线的投影为最简图形（直线或圆）。 利用辅助平面法求相贯线的作图步骤：
4. 圆 环
1.圆 柱
根据截平面与圆柱轴 线的相对位置不同，圆柱 截交线共有三种不同形状， 分别为：
圆
矩形
椭圆
平面与圆柱相交所得截交线形状
平面的位置
与轴线平行
与轴线垂直
与轴线倾斜
立体图
投影图
截交线
圆
两平行直线
椭圆
[例题] 求圆柱切割后的投影
y1
⑴ ⑵ ⑶
求特殊点 求一般位置点 光滑连线
y2 y1 y2
[例题１] 求三棱锥切割后的投影
b’ (c’) c” b”
a’
a”
a
机械制图课件-曲面立体的截交线
b ca
[例題3] 求圓錐截交線
2' 3'
a'
3"
4'5'
5"
1'
3 5
1
a
解題步驟
1．分析 截平面為正垂
面側平面，截交線為部
分橢圓和梯形的組合；
其水準投影為部分橢圓
2" 和直線的組合，側面投
4"
影為部分橢圓和梯形的
組合；
1"
2．求出截交線上的特殊
點Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ ；
3．出一般點Ⅳ、Ⅴ ；
4．光滑且順次地連接各 點，作出截交線，並且 判別可見性；
5．整理輪廓線。
[例題2] 求圓錐截交線
a' c' b'
a"
c" b"
解題步驟
1．分析 截平面為正平面，截交線 為雙曲線；截交線的水準投影和側 面投影已知，正面投影為雙曲線並 反映實形；
2．求出截交線上的特殊點A、C；
3．求出一般點B ；
4．光滑且順次地連接各點，作出截 交線，並且判別可見性；
5．整理輪廓線。
[例題3] 求圓柱截交線
1'2'
2'
3'4'
4'
24
1' 3'
解題步驟
1．分析 截交線的水準投 影為直線和部分圓，側面 投影為矩形；
2．求出截交線上的特殊點 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；
3．順次地連接各點，作出 截交線並判別可見性；
4．整理輪廓線。
13
[例題4 ] 求圓柱截交線
1'2'
2"
《机械制图》课件——第3章-2 截交线
目录
截交线空间形状为椭圆时的水平投影的变化：
设截平面与圆柱轴线的倾角为β，当β的大小变化时 ，其交线的H 投影分别为： 1）β〈 45°时，椭圆长 轴水平；2）β=45°时,水平投影为圆；3）β〉45° 长轴椭垂圆直。
目录
[例3] 求圆柱与正垂面的截交线。
(c’)d’ a’
b’ c”
e”
c
a
b
b”
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： * 先找特殊点，补充中间点。
* 光滑连接各点，并判断截交线的可见性。 截交线的形状为圆、椭圆或直线段时，可求出特 殊点后直接画出。同时注意判断截交线的可见性。
目录
1. 圆柱的截交线
目录
1. 圆柱的截交线
平面与圆柱面相交时，根据平面与圆柱轴线 的相对位置不同，其截交线有三种情况：矩 形、 圆和椭圆。
目录
[例9]求P平面与圆锥截交线的投影。
分析
P平面为正平面 且平行于圆锥的
轴线，与圆锥面
的交线为双曲线
，其H投影积聚
H
在P 上，W投
影
W
积聚在P
出交线的上V，投求影
即可。
目录
[例10]圆锥被正垂面P和侧平面Q作俯视图 和左视图。
目录
3. 圆球的截交线
（1） 圆球截交线的形状
圆球的截交线总是圆。 由于截平面相对于投影面的位置不同，截交线的 投影可能是圆、椭圆或直线。
d” a” e”
解题步骤：
1．分析：截交线的 正面投影积聚在正垂 截面上，水平投影落 在圆柱的投影圆上； 侧面投影为椭圆。只 有侧面投影未知。 2．求侧面投影：先求 出截交线上的四个特 殊点a、b、c、d； 3．求出若干个一般点 e、e1等；
截交线空间形状为椭圆时的水平投影的变化：
设截平面与圆柱轴线的倾角为β，当β的大小变化时 ，其交线的H 投影分别为： 1）β〈 45°时，椭圆长 轴水平；2）β=45°时,水平投影为圆；3）β〉45° 长轴椭垂圆直。
目录
[例3] 求圆柱与正垂面的截交线。
(c’)d’ a’
b’ c”
e”
c
a
b
b”
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： * 先找特殊点，补充中间点。
* 光滑连接各点，并判断截交线的可见性。 截交线的形状为圆、椭圆或直线段时，可求出特 殊点后直接画出。同时注意判断截交线的可见性。
目录
1. 圆柱的截交线
目录
1. 圆柱的截交线
平面与圆柱面相交时，根据平面与圆柱轴线 的相对位置不同，其截交线有三种情况：矩 形、 圆和椭圆。
目录
[例9]求P平面与圆锥截交线的投影。
分析
P平面为正平面 且平行于圆锥的
轴线，与圆锥面
的交线为双曲线
，其H投影积聚
H
在P 上，W投
影
W
积聚在P
出交线的上V，投求影
即可。
目录
[例10]圆锥被正垂面P和侧平面Q作俯视图 和左视图。
目录
3. 圆球的截交线
（1） 圆球截交线的形状
圆球的截交线总是圆。 由于截平面相对于投影面的位置不同，截交线的 投影可能是圆、椭圆或直线。
d” a” e”
解题步骤：
1．分析：截交线的 正面投影积聚在正垂 截面上，水平投影落 在圆柱的投影圆上； 侧面投影为椭圆。只 有侧面投影未知。 2．求侧面投影：先求 出截交线上的四个特 殊点a、b、c、d； 3．求出若干个一般点 e、e1等；
曲面立体截交线
第一节、平面与圆柱体相交平面与圆柱体相交，截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。
平面截切圆柱体截交线的形式有三种。
例：已知斜切圆柱体的主视图和俯视图，求左视图。
解：分析——圆柱的轴线是铅垂线，截平面为正垂面且与圆柱轴线倾斜，斜切圆柱体的截交线为椭圆。
截交线的正面投影积聚为直线，水平投影积聚在圆周上，侧面投影为椭圆。
作图步骤：（1）求特殊点截交线最左素线上的点Ⅰ和最右素线上的点Ⅱ分别是截交线的最低点和最高点。
截交线最前点Ⅲ和最后点Ⅳ分别是最前素线和最后素线与截平面的交点。
作出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的正面投影1'、2'、3'、4'和水平投影1、2、3、4，根据从属关系求出1"、2"、3"、4"。
（2）求一般点从正面投影上选取a'、b'、c'、d'四点，然后作OX轴的垂线求得a、b、c、d，根据点的投影规律求出侧面投影a"、b"、c"、d"。
（3）按截交线的顺序，光滑地连接各点的侧面投影。
已知条件求特殊点求一般点例：求开槽圆柱的左视图。
解：分析——圆柱体上部的槽是由三个截平面形成的，左右对称的两个截平面是平行于圆柱轴线的侧平面，它们与圆柱面的截交线均为两条直素线，与上底面的截交线为正垂线。
另一个截平面是垂直于圆柱轴线的水平面，它与圆柱面的截交线为两段圆弧。
三个截平面间产生了两条交线，均为正垂线。
作图——在水平投影上和正面投影上找出特殊点1、2、3、4、5、6和1'、2'、3'、4'、5'、6'根据点的投影规律作出1"、2"、3"、4"、5"、6"，按顺序依次连接各点。
判别可见性：截平面交线的侧面投影为不可见，应画成虚线。
已知条件作图过程例：已知圆柱截断体的正面和侧面投影，求水平投影。
立体的截交线
1
4
9
9 3
5 7
求圆柱截交线
1'2' 3'4' 2' 4' 1'
解题步骤
3'
1．分析 截交线的水平投 影为直线和部分圆，侧面 投影为矩形； 2．求出截交线上的特殊点 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ； 3．顺次地连接各点，作出 截交线并判别可见性； 4．整理轮廓线。
24
13
求圆柱截交线
1'2' 2" 1"
解题步骤 1 分析 截交线的水平投影为 直线和部分圆，侧面投影为矩 形；
3'4'
4"
3"
2 求出截交线上的特殊点 Ⅰ 、 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ； 3 顺次地连接各点，作出截交 线并判别可见性； 4 整理轮廓线。
24
13
求圆柱截交线
1' 4' 5' 3' 2' 2"
解题步骤
4" 1" 5" 3"
1．分析 截交线为矩形、椭圆 及圆和直线的组合；截交线的 水平投影为已知，侧面投影为 矩形、椭圆和直线的组合； 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ 、 Ⅲ 、Ⅳ； 3．求一般点Ⅴ； 4． 顺次地连接各点，作出截 交线，并且判别可见性； 5．整理轮廓线。
侧平面 8 正垂面 4 2 1 6 5 3 7
9
水平面
圆柱截交线
9` (8``) 7` （8`） 6`` 2`` Y。 9`` 作图: (7``) 5`` 1``
1.求特殊点
5' （6`） 3` （4`） 1` （2`）
2.求一般点 3 判断可见性
4.检查
4
9
9 3
5 7
求圆柱截交线
1'2' 3'4' 2' 4' 1'
解题步骤
3'
1．分析 截交线的水平投 影为直线和部分圆，侧面 投影为矩形； 2．求出截交线上的特殊点 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ； 3．顺次地连接各点，作出 截交线并判别可见性； 4．整理轮廓线。
24
13
求圆柱截交线
1'2' 2" 1"
解题步骤 1 分析 截交线的水平投影为 直线和部分圆，侧面投影为矩 形；
3'4'
4"
3"
2 求出截交线上的特殊点 Ⅰ 、 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ； 3 顺次地连接各点，作出截交 线并判别可见性； 4 整理轮廓线。
24
13
求圆柱截交线
1' 4' 5' 3' 2' 2"
解题步骤
4" 1" 5" 3"
1．分析 截交线为矩形、椭圆 及圆和直线的组合；截交线的 水平投影为已知，侧面投影为 矩形、椭圆和直线的组合； 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ 、 Ⅲ 、Ⅳ； 3．求一般点Ⅴ； 4． 顺次地连接各点，作出截 交线，并且判别可见性； 5．整理轮廓线。
侧平面 8 正垂面 4 2 1 6 5 3 7
9
水平面
圆柱截交线
9` (8``) 7` （8`） 6`` 2`` Y。 9`` 作图: (7``) 5`` 1``
1.求特殊点
5' （6`） 3` （4`） 1` （2`）
2.求一般点 3 判断可见性
4.检查
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3'' 5'' 7''
8
6
4
7
5
3
是什么立体？属于截切的 低点、最前点、最后点、最左点、最 那种情况？ 右点、转向轮廓线上的点（可见与不 截交线的水平投影 可见的分界点），椭圆长短轴上的点。 截交线的侧面投影 2、找一般点（至少一对） 3、将点的投影光滑连线 4、加粗可见的轮廓线
1、找截交线的特殊点：最高点、最 分析：截交线的正面投影
一、平面与圆柱相交
截交线的形状有几种？
矩形 圆 椭圆
一、平面与圆柱相交
5'
(6‘) (7‘) 4' 3' 2' 6 '' 7 '' 8 '' 5'' 4'' 3'' 1 '' 2 ''
(8‘) 1'
7 8 1
6
5
2 3
4
是什么立体？属于截切的 低点、最前点、最后点、最左点、最 那种情况？ 右点、转向轮廓线上的点（可见与不 截交线的水平投影 可见的分界点）。 截交线的侧面投影 2、找一般点（至少一对） 3、将点的投影光滑连线 4、加粗可见的轮廓线
§2-3 平面与回转体表面相交
曲面立体截交线的性质
1. 曲面立体的截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和 直线所围成的平面图形或多边形；
2. 曲面立体的截交线为曲面立体表面和截平面的共有线； 3. 曲面立体截交线上的点为立体表面和截平面的共有点。 4. 截交线的形状与立体的形状及截平面的相对位置有关。
1、找截交线的特殊点：最高点、最 分析：截交线的正面投影
一、平面与圆柱相交
1'( 2' ) 2 ''
1 ''
3 ''
3 ' (4')
4 ''
4 2
31
例1 完成立体被截切后投影
1' (2')
2 ''
1 ''
3 ' (4')
4 ''
3 ''
2 4
1 3
〔例2〕完成圆柱体左边被切凹槽，右边被切凸台后的水 平投影
a' b'
a"( b" )
A
B
a
b
例3 已知空心缺口圆柱的正面投影和水平投影， 作出 空心圆柱被切后的侧面投影。
1 ' (2') 3 ' (4')
Ⅰ Ⅲ
Ⅱ Ⅳ
4
2
31
二、平面与圆锥相交
截交线的形状有几种？
圆
三角形
椭圆
双曲线
抛物线
二、平面与圆锥相交
5 ' (4') (6') 7' (8')
3'
4'' 6'' 8''
判断 各截 平面 形状
截平 面为 圆或 者多 边形
找关 键点 用圆 规和 直尺 作图
判断 可见 性并 补全 投影
检查 结果
曲面立体截切部分结束
P
4 3 2 5 6
7 8
Q
1 10
9
〔例8 〕 完成组合立体被截切后的投影
(5')2' (3') 1' 4' 3" 5" 4" 2"
1"
3
5 1 4 2
求曲面立体截交线的步骤
求曲面立体截交线的步骤：
截平 面为 曲线 图形
找若 干特 殊点 和一 般点 光滑 连接
确定 截切 前基 本体 形状
判断 截平 面数 量及 位置
1' 2' 5' (4') 7' (6') (8') 3'
r' q '
P
8
6
4
1 7 5
2 3
〔例7 〕 求作圆锥被Q与P平面截切以后，所截交线的 四、立体组合截切 投影
有两个以上的基本体便可构成组合体，平面与组 8 8' 合体截切一般会产生几段不同的交线，相邻两段交线 9' 7" 9" 10' 1' 3' " 2' 的分界点必在组合体的分界线上。因此，作组合截切 (7' 5" 1" (4') (5')(6') ) (6") 4" 3" 2" (10") 时应先确定各立体的形状，及确定相邻立体间的分界 线，然后分别作出各自的截交线。
〔例4〕求作圆锥被Q与P平面截切以后，所截交线的投影
p
7' 6"
7"
q
5' 3' (6') (4') 1' (2')
Hale Waihona Puke 4"2"
5" 3"
1"
Q
Ⅺ
Ⅻ Ⅹ Ⅲ Ⅰ
2 4
P
6 7
Ⅳ
Ⅱ
1 3
5
三、平面与球相交
圆
〔例5〕 作出半圆球被切口以后交线的投影
〔例6〕 完成圆球被正垂面截切以后的水平投影
p '