量子力学第三章3.3_1
量子力学第三章作业及答案

第三章3.1 设ˆˆ,AB 均为厄米算符,试证: ()ˆˆˆˆ1 AB-BA是否为厄米算符; ()()ˆˆˆˆ2 i AB-BA 是否为厄米算符. 解: ()†††††ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ AB-BA =B A -A B =BA-AB所以不是厄米算符()()()()()††††††ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆi AB-BA =-i AB-BA =-i B A -A B ˆˆˆˆˆˆˆˆ=-i BA-AB=i AB-BA ⎡⎤⎣⎦所以是厄米算符3.2 设体系的波函数为球谐函数(),lm Y θϕ,求其角动量矢量与z 轴的夹角 解: 由于z L cos L θ=,因为()()()22ˆ,1,lmlm L Y l l Y θϕθϕ=+ ()()ˆ,,z lm lm L Y m Y θϕθϕ=故可取)L =,z L m =,所以,cos z L mL θ==3.3 已知 ˆ[sin cot cos ]x L i φθφθφ∂∂=+∂∂,ˆ[cos cot sin ]y L i φθφθφ∂∂=--∂∂ 问(),1lm Y θϕ=是否为ˆx L ,ˆy L 的本征态;如果是,求其本征值.解: 由于()ˆ,0x lm L Y θϕ=, ()ˆ,0y lm L Y θϕ=所以为ˆx L ,ˆy L 的本征态, 其本征值为03.4 在经典情形,对称陀螺的能量算符为()22211ˆˆˆˆ22x y z x zH L L L I I =++ 1. 问(),lm Y θϕ是否为ˆH的本征态; 2. 如果是,求其本征值.解:()()2222222211ˆˆˆˆ2211ˆˆˆ22111ˆˆ222x y zx zz z x zz x z x H L L L I I L L L I I L L I I I =++=-+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭所以, 其本征值为()2221111222xz x E l l m I I I ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭3.5设粒子处于范围在[0,]a 的一维无限深势阱中,状态用波函数113()sin sinx xx a a ππψ=+描述,(1)该波函数是否归一,如不归一,请写出归一化波函数 (2)求粒子能量的可能值及相应概率。
第3章_量子力学中的角动量

U = −M ⋅ B = −MB cosθ
θ 为外磁场与原子磁矩之间的夹角。按错误!未找到引用源。式,原子在 z 方向所受的力是
Fz
= − ∂U ∂z
=
M
∂B cosθ ∂z
实验证明,这时分裂出来的两条谱线分别对应于 cosθ =+1 和-1 两个值。
为了解释旋特恩一格拉赫实验,乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)提出了电
36
电子具有自旋,这个新的自由度具有下述特色: (a) 它是个内禀的物理量,不能用坐标、动量、时间等变量表示。 (b) 它完全是一种量子效应,没有经典的对应量。也可以说,当 → 0 时,自旋效应消失 这可以从错误!未找到引用源。式看出。 (c) 它是角动量,满足角动量算符的最一般的对易关系.而且电子自旋在空间中任何方向 的投影只取± / 2 两个值。 (1)、自旋算符 自旋既然是个物理量,在量子力学中,它应该用线性厄米算符表示。自旋既然是角动量, 自旋算符必须满足
40
χ (1) = χ1/ 2 (s1z )χ1/ 2 (s2z ) χ (2) = χ−1/ 2 (s1z )χ−1/ 2 (s2z ) χ (3) = χ1/ 2 (s1z )χ−1/ 2 (s2z ) χ (4) = χ−1/ 2 (s1z )χ1/ 2 (s2z ) 3、耦合表象( S 2, Sz )的基矢 ( S 2 , Sz )的本征态可以由( S1z ,S2z )的本征态 χ1/ 2 (s1z ) ,χ−1/ 2 (s1z ) ,χ1/ 2 (s2z ) ,χ−1/ 2 (s2z ) 组合得到 χ11 = χ1/ 2 (s1z )χ1/ 2 (s2z ) χ1,−1 = χ−1/ 2 (s1z )χ−1/ 2 (s2z )
量子力学讲义第三章讲义

第三章 力学量用算符表达§3.1 算符的运算规则一、算符的定义:算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。
ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v , Â就是这种变换的算符。
为强调算符的特点,常常在算符的符号上方加一个“^”号。
但在不会引起误解的地方,也常把“^”略去。
二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â,称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数,ψ1, ψ2是任意两个波函数。
例如:动量算符ˆpi =-∇, 单位算符I 是线性算符。
2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同,即ˆˆA B ψψ=,则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。
3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有:ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=,则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。
ˆˆˆˆAB B A +=+,ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积,记为ˆˆAB ,定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= ψ是任意波函数。
一般来说算符之积不满足交换律,即ˆˆˆˆABBA ≠。
5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠,则称Â与ˆB 不对易。
若A B B Aˆˆˆˆ=,则称Â与ˆB 对易。
若算符满足ˆˆˆˆABBA =-, 则称ˆA 和ˆB 反对易。
例如:算符x , ˆx pi x∂=-∂不对易证明:(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等,所以:ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数,所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -=,ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易,各动量之间相互对易。
量子力学讲义第3章

第三章 量子体系的力学量本章讨论在量子力学中如何描述力学量的问题。
它是量子力学的重点之一,对初学者而言,开始显得比较抽象,因此,应注意习题训练。
3.1 力学量的平均值公式 力学量用算符表示~算符进入量子力学一、坐标的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<r d r r d r r d t r w r r 3*323),(ψψψ分量: ⎰∞∞->=<r d t r x t r x n n3*),(),(ψψ问题:能否用),(t rψ导出其他力学量的平均值?二、动量的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<p d t p C p t p C p d t p C p p d t p w p p3*323),(),(),(),(我们希望直接用),(t r ψ写出><p(注意r d t r p p 32),(⎰>≠<ψ~2),(t r ψ不是p的几率)。
以x 分量为例:⎰∞∞->=<p d t p C p t p C p x x3*),(),(将 r d e t r t p C r p i⎰∞∞-⋅-=323),()2(1),(ψπ 代入,有⎰⎰⎰∞∞-⋅-∞∞-⋅>=<pd r de t r p r d e t r p r p i x r p i x3/3/233*23]}),()2(1[]),()2(1[{/ψπψπ ⎰⎰⎰-⋅=])2(1)[,(),(3)(3//3*3/p d ep t r r d t r r d r r p i xπψψ计算[…]有)()()2(1[...]/33)(3/r r x i p d e x i r r p i-∂∂-=∂∂-=⎰∞∞--⋅δπ 于是 ⎰⎰∞∞-∞∞--∂∂->=<)(),())(,(/3//3*3r r t r r d x i t r r d p x δψψ),())(,(*3t r xi t r r d ψψ⎰∞∞-∂∂-=。
量子力学 第三章习题与解答

第三章习题解答3.1 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπαψ2222)(--=,求:(1)势能的平均值2221x U μω=; (2)动能的平均值μ22p T =;(3)动量的几率分布函数。
解:(1) ⎰∞∞--==dx e x x U x 2222222121απαμωμω μωμωππαμω ⋅==⋅=2222221111221ω 41= (2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ ⎰∞∞----=dx e dx d e x x 22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x xααααμπα]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=U E T (3) ⎰=dx x x p c p )()()(*ψψ 212221⎰∞∞---=dx ee Px i xαπαπ⎰∞∞---=dx eePx i x222121απαπ⎰∞∞--+-=dx ep ip x 2222)(21 21αααπαπ ⎰∞∞-+--=dx ee ip x p 222222)(212 21αααπαπ παπαπα22122p e -=22221απαp e-=动量几率分布函数为 2221)()(2απαωp ep c p -==#3.2.氢原子处在基态0/301),,(a r e a r -=πϕθψ,求:(1)r 的平均值;(2)势能re 2-的平均值;(3)最可几半径; (4)动能的平均值;(5)动量的几率分布函数。
解:(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0220/23020⎰⎰⎰⎰∞-==⎰∞-=0/233004dr a r a a r04030232!34a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2203020/232020/232202/2322214 4 sin sin 1)()2(000a e a a e drr ea e d drd r e a e d drd r e ra e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-ππππϕθθπϕθθπ(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 ⎰⎰=ππϕθθϕθψω02022 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2/23004-=2/23004)(r e a r a r -=ω 0/2030)22(4)(a r re r a a dr r d --=ω令 0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=,ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时,为几率最小位置/22203022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω08)(230220<-=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。
量子力学第三章算符

第三章 算符和力学量算符之阿布丰王创作3.1 算符概述设某种运算把函数u 变成函数v ,用算符暗示为:ˆFuv =(3.1-1) ˆF称为算符。
u 与v 中的变量可能相同,也可能分歧。
例如,11du v dx=,22xu v =,3v =,(,)x t ϕ∞-∞⎰,(,)x i p x hx edx C p t -=,则d dx,x ,dx ∞-∞⎰,x ip x he-⋅都是算符。
1.算符的一般运算(1)算符的相等:对于任意函数u ,若ˆˆFuGu =,则ˆˆG F =。
(2)算符的相加:对于任意函数u ,若ˆˆˆFuGu Mu +=,则ˆˆˆM F G =+。
算符的相加满足交换律。
(3)算符的相乘:对于任意函数u ,若ˆˆˆFFuMu =,则ˆˆˆM GF =。
算符的相乘一般不满足交换律。
如果ˆˆˆˆFGGF =,则称ˆF 与ˆG 对易。
2.几种特殊算符 (1)单位算符对于任意涵数u ,若ˆI u=u ,则称ˆI 为单位算符。
ˆI 与1是等价的。
(2)线性算符对于任意函数u 与v ,若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+,则称ˆF 为反线性算符。
(3)逆算符对于任意函数u ,若ˆˆˆˆFGuGFu u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。
即1ˆˆGF -=,111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。
并不是所有的算符都有逆算符,例如把零作为算符时,称之为零算符,零算符就没有逆算符。
对于非齐次线性微分方程:ˆ()()Fux af x =,其中ˆF 为ddx与函数构成的线性算符,a 为常数。
其解u 可暗示为对应齐次方程的通解u 。
与非齐次方程的特解υ之和,即0u u v =+。
因0ˆ0Fu =,所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。
一般说来,在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分,但如果当a=0时,υ=0,则υ中将不含对应齐次方程的通解成分,这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆF Fv FF v v --==,从而由ˆFv af =得:1ˆF af υ-=。
量子力学第三章算符

第三章 算符和力学量算符3.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ,用算符表示为:ˆFuv = (3.1-1) ˆF 称为算符。
u 与v 中的变量可能相同,也可能不同。
例如,11du v dx=,22xu v =3v =,(,)x t ϕ∞-∞,(,)x i p x hx edx C p t -=,则ddx,x dx ∞-∞⎰,x ip x he-⋅都是算符。
1.算符的一般运算(1)算符的相等:对于任意函数u ,若ˆˆFuGu =,则ˆˆG F =。
(2)算符的相加:对于任意函数u ,若ˆˆˆFuGu Mu +=,则ˆˆˆM F G =+。
算符的相加满足交换律。
(3)算符的相乘:对于任意函数u ,若ˆˆˆFFu Mu =,则ˆˆˆM GF =。
算符的相乘一般不满足交换律。
如果ˆˆˆˆFGGF =,则称ˆF 与ˆG 对易。
2.几种特殊算符 (1)单位算符对于任意涵数u ,若ˆIu=u ,则称ˆI 为单位算符。
ˆI 与1是等价的。
(2)线性算符对于任意函数u 与v ,若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+,则称ˆF 为反线性算符。
(3)逆算符对于任意函数u ,若ˆˆˆˆFG u G F u u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。
即1ˆˆG F -=,111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。
并非所有的算符都有逆算符,例如把零作为算符时,称之为零算符,零算符就没有逆算符。
对于非齐次线性微分方程:ˆ()()Fux af x =,其中ˆF 为ddx与函数构成的线性算符,a 为常数。
其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。
与非齐次方程的特解υ之和,即0u u v =+。
因0ˆ0Fu =,所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。
一般说来,在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分,但如果当a=0时,υ=0,则υ中将不含对应齐次方程的通解成分,这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==,从而由ˆFvaf =得:1ˆF af υ-=。
[新版]量子力学周世勋习题解答第三章
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第三章习题解答3.1 一维谐振子处在基态t ix e x ωαπαψ2222)(--=,求:(1)势能的平均值2221x U μω=;(2)动能的平均值μ22p T =;(3)动量的几率分布函数。
解:(1) ⎰∞∞--==dxe x x U x 2222222121απαμωμωμωμωππαμω ⋅==⋅=2222221111221ω 41= (2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ⎰∞∞----=dx e dx d e x x 22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x xααααμπα]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=U E T(3) ⎰=dx x x p c p )()()(*ψψ 212221⎰∞∞---=dx ee Px i xαπαπ⎰∞∞---=dx eePx i x222121απαπ⎰∞∞--+-=dx ep ip x 2222222)(21 21αααπαπ ⎰∞∞-+--=dx ee ip x p 222222)(212 21αααπαπ παπαπα2212222p e -=22221απαp e-=动量几率分布函数为2221)()(2απαωp ep c p -==#3.2.氢原子处在基态0/31),,(a r e ar -=πϕθψ,求:(1)r 的平均值;(2)势能re 2-的平均值;(3)最可几半径; (4)动能的平均值;(5)动量的几率分布函数。
解:(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0220/23020⎰⎰⎰⎰∞-==⎰∞-=0/233004dr a r a a r04030232!34a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2203020/232020/232202/2322214 4 sin sin 1)()2(000a e a a e drr e a e d drd r e a e d drd r e ra e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-ππππϕθθπϕθθπ(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为⎰⎰=ππϕθθϕθψω02022 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2/23004-=2/23004)(r e a r a r -=ω 0/2030)22(4)(a r re r a a dr r d --=ω令 0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=,ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时,为几率最小位置/22203022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω08)(230220<-=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。
量子力学 第三章 课件

可以看出,相邻两本征值的间隔 P 2 L 与 L 成 反比。当 L 足够大时,本征值间隔可任意小;当 L 时 Px 0 ,即离散谱→连续谱
(3)在自由粒子波函数 P r , t 所描写的状态中, 粒子动量有确定值,该确定值就是动量算符在这 个态中的本征值。
5
3.1 表示力学量的算符
(1)算符的定义 对一函数作用得到另一函数的运算符号
ˆ Fu v
例:
ˆ F dx ˆ Fx
ˆ d F dx
ˆ F 称为算符 d uv dx
udx v
xu v
(2)算符的本征方程 ˆ 算符 F 作用在函数 上,等于一常数 乘以 ˆ ˆ 即 F 此称为算符 F 的本征方程
17
2 角动量算符 (1)轨道角动量算符的定义
z
r
r y
ˆ r P ˆ L
ˆ ˆ zP i y z Lx yPz ˆy z y ˆ ˆ xP i z x Ly zPx ˆz x z ˆ xP yP i x y ˆ ˆ Lz y x y x
ˆ 证明动量算符的一个分量 px 是厄密算符
证明:
ˆ px dx i x dx
* *
* * ˆ i i dx ( px )* dx x
11
3.2 动量算符与角动量算符
1 动量算符
z
dz
Pz P ( z )
z
P ( z ) C3e
z
归一化系数的确定
1)若粒子处在无限空间中,则按 函数的归 一化方法确定归一化常数 A ,即
量子力学3.3一维谐振子

量子隧道效应实验
总结词
量子隧道效应实验是用来验证量子力学中隧 道效应的实验方法,通过观察粒子穿越障碍 物的现象,可以证明粒子具有穿越障碍物的 能力。
详细描述
在量子隧道效应实验中,粒子在一定能量下 可以穿越高于其自身能量的势垒,这种现象 被称为量子隧道效应。实验中可以通过测量 穿越势垒的粒子数量和能量分布,来验证量 子力学中隧道效应的预测。
子不同。
干涉实验
总结词
干涉实验是用来验证量子力学中波动性 质的另一种实验方法,通过观察粒子在 通过两个相距较近的障碍物后产生的干 涉现象,可以进一步验证量子力学的正 确性。
VS
详细描述
在干涉实验中,粒子通过两个相距较近的 障碍物后,会在屏幕上产生类似于水波通 过两个相距较近的小孔后产生的干涉条纹 。这进一步证明了粒子具有波动性质,并 且其行为方式与经典物理中的粒子不同。
05
CATALOGUE
一维谐振子的实验验证
双缝实验
总结词
双缝实验是用来验证量子力学中波动性质的经典实验,通过观察电子通过双缝后的干涉 现象,可以证明电子具有波动性。
详细描述
在双缝实验中,电子通过双缝后会在屏幕上产生干涉条纹,类似于水波通过两个相距较 近的小孔后产生的干涉现象。这表明电子具有波动性质,其行为方式与经典物理中的粒
经典力学中的一维谐振子
1
在经典力学中,一维谐振子通常由弹簧和质点组 成,其运动方程为 Hooke定律。
2
一维谐振子的能量与其振幅的平方成正比,当能 量增加时,振幅也会增加,导致系统的不稳定性 。
3
在经典力学中,一维谐振子的运动轨迹是确定的 ,可以用经典力学方程进行描述。
02
CATALOGUE
量子力学 第三章3.3电子在库仑场中的运动

<4> 能级:
由于 2Zes Zes ( )1 / 2 、 n n r 1 ,考虑 2
2 2
2E
到 E 0 ,则有:
Z e s En 2n 2 2
2
4
, n 1,2,3,
(21)
即束缚态的能量是量子化的,它来源于粒子的波 动性及波函数的有限性。
ˆ 而角向方程 L2 Y L2 Y 的解与辏力场的具体形式无关,即:
L2 ( 1) 2 ,Y Ym (, )
o 所以径向 Schrdinger 方程可以表述为:
1 2 2 ˆ Tr [ 2 (r )] 2 r r r
( 1) 2 ˆ [Tr U(r) E]R 0 2 2r 2 2 ( 1) 2 (r ) U(r ) ]R (r ) ER (r ) 即:[ 2 2 r 2r r 2r
ˆ ˆ 即:[Tr T U(r )] E
球坐标系下的拉 普拉斯算符形式
ˆ 2 pr 1 ˆ T 其中: r [ 2 (r 2 )] 2 r r r 2 ˆ ˆ 1 r r ˆ ˆ ˆ pr ( p p ) 2 r r
2
为径向动能算符
有限性相矛盾,应否定它(不能是无穷级数)。
b.若 f () 级数是有限项,即 f () b s 为多项式,
nr
其最高次幂项为
bnr ,
n r s
0
nr 2 s 1 0。 于是 R e f () e 2 b 0 s b 由 b 1 (s )(s 1) ( 1)
量子力学(周世勋)习题答案 第3章

12
2
(
x
ip 2
)2
p2 2 2
2
p2
e e dx 2 22
12
2
(
x
ip 2
)2
p2
e 2 22
2
1
p2
e 2 22
动量几率分布函数为
( p) c( p) 2
1
p2
e 22
#
3.2.氢原子处在基态 (r, ,)
1 e r / a0 ,求: a03
(1)r 的平均值;
24a2*p04(r(2)a4(02r,a,402
) )d
2
2a
2 0
c(
p)
1 (2)3/ 2
0
1
e r / a0 r 2 dr
e
i
pr cos
sin
d
2 d
a03
0
0
2
r 2e r / a0 dr
e
i pr cos
d ( cos )
(2)3/ 2 a03 0
0
2
(2)3/ 2
a2 n
x
cos
n a
x
a3 n2 2
sin
n a
x
a n
x 2 cos n a
x
2a 2 n2 2
x
sin
n a
x
2a 3 n3 3
cos
n a
a
x]
0
4 15 n3 3
[1 (1)n ]
∴
(E)
Cn
2
240 n6 6
[1 (1)n ]2
960
2
5k 2 2 8
量子力学导论第3章答案

第三章一维定态问题3.1)设粒子处在二维无限深势阱中,⎩⎨⎧∞<<<<=其余区域,0,0 ,0),(by a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。
如b a = ,能级的简并度如何? 解:能量的本征值和本征函数为m E y x n n 222π =)(2222bn an y x +,2,1, ,sinsin2==y x y x nn n n byn axn abyx ππψ若b a =,则 )(222222y x n nn n ma E yx +=πayn axn ay x nn yx ππψsinsin2=这时,若y x n n =,则能级不简并;若y x n n ≠,则能级一般是二度简并的(有偶然简并情况,如5,10==y x n n 与2,11''==y x n n )3.2)设粒子限制在矩形匣子中运动,即⎩⎨⎧∞<<<<<<=其余区域 ,0,0,0 ,0),,(cz b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。
如c b a ==,讨论能级的简并度。
解:能量本征值和本征波函数为)(222222222cn bn an mnn n Ez y x zyx++=π ,,3,2,1,, ,sinsinsin8==z y x z y x n n n czn byn axn abcn n n zy x πππψ当c b a ==时,)(2222222z y x n n n mann n Ezyx++=πayn ayn axn a n n n z y x zy x πππψsinsinsin223⎪⎭⎫⎝⎛=z y x n n n ==时,能级不简并;z y x n n n ,,三者中有二者相等,而第三者不等时,能级一般为三重简并的。
z y x n n n ,,三者皆不相等时,能级一般为6度简并的。
如 ⎩⎨⎧→++=++→++=++)9,6,3()10,5,1(2086161210)11,3,1()9,7,1(10438652222222222223.3)设粒子处在一维无限深方势阱中,⎩⎨⎧><∞<<=ax 0, ,0 ,0),(x ax y x V 证明处于定态)(x n ψ的粒子)61(12)x -(x ,22222πn aa x -==讨论∞→ n 的情况,并于经典力学计算结果相比较。
量子力学3

量子力学3第三章力学量算符§3.1 算符及其运算规则§3.2 厄米算符及其性质§3.3 连续谱本征函数的归一化§3.4 力学量算符随时间演化§3.5 守恒量与对称性§3.6 全同粒子体系§3.1 算符及其运算规则一、算符的基本运算规则二、算符的函数三、对易关系和对易子四、厄米算符和幺正算符五、量子力学向经典力学的过渡六、角动量算符一、算符的基本运算规则一、算符的基本运算规则量子力学第二公设—算符公设1)线性算符:A ( c1ψ 1 + c 2ψ 2 ) = c1 A ψ 1 + c 2 A ψ 2二、算符的函数二、算符的函数例子一般地,算符的函数可以表为? ? f ( A) = ∑ cn A nn2)单位算符:I?ψ = ψ3)算符之和:( A + B )ψ = A ψ + B ψ ?? ? ? 4)算符之积: ( A B )ψ = A ( B ψ )一个常用的公式:eA = ∑∞ n=0An n!其它的例子例题:若G为算符,t为参数,证明:Gt e = Ge Gt ?t算符之积满足结合律,但不满足交换律(不对易)。
5)算符之逆: A A ?1 = A ?1 A = I?三、对易关系与对易子三、对易关系与对易子对易子的定义: [ A, B ] = A B ? B A例:坐标与动量的对易关系。
解:考虑x p xψ = ? ih x ? p x xψ = ? ih ? ψ ?x对易关系的几个恒等式: [ A, B ] = ?[ B , A ][ A, B + C ] = [ A, B ] + [ A, C ] [ A, BC ] = B[ A, C ] + [ A, B ]C [ AB , C ] = A[ B , C ] + [ A, C ] B [ A, [ B , C ]] + [ B , [C , A ]] + [C , [ A, B ]] = 0(Jacobi恒等式)( xψ ) = ? ih ψ ? ih x ψ ?x ?xx p xψ ? p x x ψ = ih ψ ? [ x , p x ] = ih这样,对任意波函数,均有所以类似可证: [ y , p y ] = ih但[ z , p z ] = ih[ x , p y ] = [ x , p z ] = [ y , p x ] = ...... = 0 ? [ xα , p β ] = ih δ αβ综合式四、厄米算符和幺正算符四、厄米算符和幺正算符进一步的例算1、计算对易子: [ f ( x ), p x ] = ?2、设λ是一个小量,算符 A 之逆 A ?1 存在,求证:~ ? ? 1)算符的转置:∫ ψ * A ? d τ = ∫ ? A ψ * d τ~ ? ? 即(ψ , A ? ) = (? * , A ψ * )注意算符乘积的转置用法 ?* ? * * 2)算符的复共轭:A ψ = ( A ψ )+ ? 3)算符的厄米共轭:(ψ , A ? ) = ( A ψ , ? ) ~ ? ? ? ? 由 ( A ψ , ? ) = (? , A ψ ) * = (? * , A *ψ * ) = (ψ , A *? )~ ? ? 可得 A + = A *( A ? λ B ) ?1 = A ?1 + λ A ?1 B A ?1 + λ 2 A ?1 B A ?1 B A ?1 + ...3、算符A与B不对易,但它们的对易子C与B对易,求证:[ A, B n ] = nCB n ?1 , [ A, f ( B )] = C f ' ( B ), [ A, e B ] = Ce B 算符乘积的厄米共轭4)厄米算符:若算符A满足 A + = A ,则A称为厄米算符。
北京大学量子力学教材 第三章

第三章一维定态问题第三章 目 录§3.1一般性质 (3)(1)定理1:一维运动的分立能级(束缚态),一般是不简并的 (3)(2)不同的分立能级的波函数是正交的。
(4)(3)振荡定理 (5)(4)在无穷大位势处的边条件 (5)§3.2阶梯位势 (6)§3.3位垒穿透 (9)(1) E<V 0 (9)(2) 0V E > (11)(3)结果讨论 (11)§3.4方位阱穿透 (11)§3.5一维无限深方位阱 (12)(1)能量本征值和本征函数 (12)(2)结果讨论 .................................. 13 §3.6宇称,一维有限深方势阱,双 δ位势 .. (14)(1)宇称 (14)(2)有限对称方位阱 (15)(3) 求粒子在双δ位阱中运动 (18)§3.7束缚能级与反射振幅极点的关系 (21)(1) 半壁δ位阱的散射 (21)(2)有限深方位阱 (23)§3.8 一维谐振子的代数解法 (23)(1)能量本征值 (24)(2) 能量本征函数 (26)(3)讨论和结论 (28)§3.9 相干态 (30)(1) 湮灭算符 aˆ 的本征态 .................... 30 (2) 相干态的性质 .. (31)第三章 一维定态问题现将所学得的原理和方程应用于最简单的问题:一维、不显含时间的位势,即一维定态问题。
当 )r (V )t ,r (V =则薛定谔方程 )t ,r ()p ˆ,r (H ˆ)t ,r (ti ψ=ψ∂∂ 有特解 /iEt E E e )r (u )t ,r (-=ϕ而 )r (u E 满足 )r (Eu )r (u )p ˆ,r (HˆE E = 事实上,当)r (V 有一定性质时,如)Z (V )y (V )x (V )r (V ++=或)r (V )r (V =时,三维问题可化为一维问题处理,所以一维问题是解决三维问题的基础。
量子力学第三章算符

第三章 算符和力学量算符3.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ,用算符表示为:ˆFuv =(3.1-1)ˆF 称为算符。
u与v 中的变量可能相同,也可能不同。
例如,11du v dx =,22xu v =3v =,(,)x t ϕ∞-∞,(,)x i p x hx edx C p t -=,则ddx dx ∞-∞⎰,x ip x he-⋅都是算符。
1.算符的一般运算(1)算符的相等:对于任意函数u ,若ˆˆFuGu =,则ˆˆG F =。
(2)算符的相加:对于任意函数u,若ˆˆˆFuGu Mu +=,则ˆˆˆM F G =+。
算符的相加满足交换律。
(3)算符的相乘:对于任意函数u ,若ˆˆˆFFu Mu =,则ˆˆˆM GF =。
算符的相乘一般不满足交换律。
如果ˆˆˆˆFGGF =,则称ˆF 与ˆG 对易。
2.几种特殊算符 (1)单位算符对于任意涵数u,若ˆIu=u ,则称ˆI 为单位算符。
ˆI 与1是等价的。
(2)线性算符对于任意函数u与v ,若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+,则称ˆF 为反线性算符。
(3)逆算符对于任意函数u ,若ˆˆˆˆFGu GFu u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。
即1ˆˆGF -=,111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。
并非所有的算符都有逆算符,例如把零作为算符时,称之为零算符,零算符就没有逆算符。
对于非齐次线性微分方程:ˆ()()Fu x af x =,其中ˆF为ddx与函数构成的线性算符,a 为常数。
其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。
与非齐次方程的特解υ之和,即0u u v =+。
因0ˆ0Fu =,所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。
一般说来,在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分,但如果当a=0时,υ=0,则υ中将不含对应齐次方程的通解成分,这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==,从而由ˆFvaf =得:1ˆF af υ-=。
周世勋量子力学教程第二版课件量子力学第三章

*
x
ih
d dx
x
dx
*
x
ih
d
dx
x
dx
*
x
pˆ x
x 7
同 理:
py dy * y pˆ x y
pz dz * z pˆ z z
推广至三维情况
1 2πh
dx
i p(xx)
dpe h
*
x
-ih
d dx
x dx
dx
1
dx
2πh
i
eh
p( xx)
dp
*
x
-ih
d
dx
x
dx
dxδ(x
x)
加法结合律 Fˆ Gˆ Kˆ Fˆ Gˆ Kˆ
(4)算符乘积
两算符与之积定义为
FˆGˆ Fˆ Gˆ
若 [Fˆ ,Gˆ ] (FˆGˆ GˆFˆ ) 0 , 为任意函数,即
FˆGˆ GˆFˆ
则称两算符对易。
一般 FˆGˆ ,则GˆF称ˆ 二者不对易。
14
若 Fˆ ,Gˆ (FˆGˆ GˆFˆ ) 0 ,为任意函数,即
FˆGˆ GˆFˆ
则称两算符反对易。
(5)逆算符
设 Fˆ 能唯一的解出,则定义 的逆Fˆ算符为
Fˆ 1
量子力学课件第三章(2020年7月整理).pdf

但是我估计它并非是一个你可以很快熟悉的形式。在 N 维空间中,可以简单地用对应
于 N 个正交归一基矢的分量,an ,的一个 N 行列矩阵表示一个矢量 ,即:
的定值态。(实际上,我们已经知道一个例子:哈密顿的定态是定值态;测量一个粒子处于定态
n 时的总能量,必定得到相应的“允许的”能量 En 。) Q 的标准差,在定值态下应该是 0,即:
2 = (Qˆ − Q )2 = (Qˆ − q)2 = (Qˆ − q) (Qˆ − q) = 0.
[3.21]
[3.20]
3.2.2 定值态(Determinate States) 通常的,当你对全同体系组成的系综测量一个可观测量 Q ,每个体系都处于相同的状态 ,每
次测量并不能得到相同的结果 — 这就是量子力学中的不确定性。9 问题:是否能够制备一个态
使得每一次观测 Q 都一定得到同样的值(记作 q )?如果你喜欢,可以称这样的态为可观测量 Q
它们在 必定趋于零。8 注意到在分部积分时 i 的复共轭伴随着一个负号的产生 ⎯ 算符
d dx (没有 i )不是厄密的,它不能表示可能的可观测量。
*习题 3.3 证明如果对于所有(希耳伯特空间中)的函数 h 都有 h Qˆh = Qˆh h ,那么,对
于所有的 f 和 g 就有 f Qˆg = Qˆf g (即,两种对于厄密算符的定义 — 等式 3.16 和 3.17 — 是等价的)。提示:首先设 h = f + g ,然后令 h = f + ig 。
量子力学 第三章

ˆ ˆ ˆ ˆ (∆A) (∆B) ≥ (∆Aψ , ∆Bψ ) = (ψ , ∆A∆Bψ )
2
ˆ, ˆ ˆ, ˆ [∆A ∆B]+ [A B] ψ ) + i(ψ , ψ) = (ψ , 2 2i
2
2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆψ = (ψ ,[∆A, ∆B]+ψ ) + (ψ ,[A, B] ) 4 4
1 2 1 2 2 1 2 1
ˆ ˆ ˆ ˆ c =1, (ψ1, Aψ2 ) − (Aψ1,ψ2 ) = (Aψ2 ,ψ1) − (ψ2 , Aψ1) ˆ ˆ ˆ ˆ c = i, (ψ1, Aψ2 ) − (Aψ1,ψ2 ) = −(Aψ2 ,ψ1) + (ψ2 , Aψ1) ˆ ˆ ˆ ˆ + : (ψ , Aψ ) = (Aψ ,ψ ), − : (Aψ ,ψ ) = (ψ , Aψ )
± lm
ˆ 因为 lz 的本征值 (m ±1)h非简并,所以 ˆ λ l±Y (θ,ϕ) = λ±Y,m±1(θ,ϕ), ± 是常数 lm l
物理上认为: 描述同一方位, ϕ 物理上认为:ϕ与 + 2π 描述同一方位,
ψ (ϕ +2π ) =ψ (ϕ),
lz = mh, m = 0, ±1, ± 2,L
周期性边界条件 或自然边界条件
满足 (ψm,ψn ) = δmn
1 imϕ ψm (ϕ) = e 2π
ˆ 也是保证 lz 厄米的要求
例2 平面自由转子的本征能量和定态
ˆ ˆ (A− A)ψ = 0 或Aψn= Anψn
即算符的本征态时, 学量有确定测值。 学量有确定测值。
3.2.2 力学量假定
Postulate 3
v v 1. 经典力学中的任一力学量F(r , p) ,对应量 v v ˆ (r , p) = F(r ,−ih∇) ; ˆ v ˆ 子力学中的线性厄密算符 F ˆ的本征值为力学量F的测量值(称可测值); 2. F
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一、粒子在辏力场(中心对称或球形对称场)中的运动
r 特点:U ( r ) = U ( r ) 与 θ, ϕ 无关,中心对称。
辏力场在经典物理及量子力学中都是一类重要问 题。原子中电子在核电场中的运动,核中单个核子在 其余核子产生的平均场中运动都属于这类问题。
变系数 二阶微 分方程
(14)
α 2 αβ l (l + 1) d 2u + [− + − ]u = 0 则方程化为: 2 2 4 r dr r
d 2u β 1 l (l + 1) α 得: +[ − − ]u = 0 , 两边除以 2 2 αr 4 (αr ) d (αr )
2
作变数代换 ρ = α r ,则方程可写为:
2 Ze s l(l + 1)h 2 h2 ∂ 2 ∂ + ]R (r ) = ER (r ) [− (r )− 2 2 ∂r r 2μr 2μr ∂r
(9)
o 2. 径向 Schr&&dinger 方程及其解:
o <1> 径向 Schr&&dinger 方程的变形:
1 d 2 dR 1 dR d2R 2 dR d 2 R 由于 2 (r + r2 2 ] = + 2 ) = 2 [ 2r dr dr r dr dr r dr r dr 1 d2 1 d dR 1 dR d 2 R 1 dR 2 dR d 2 R ( rR ) = + 2 + = + 2 [R + r ]= 2 r dr r dr dr r dr r dr r dr dr dr 1 d 2 dR 1 d2 即: 2 (r )= (rR ) 2 dr r dr r dr (10)
β l(l + 1) d 2 f df ]f = 0 的级数解 <3> 2 − + [ − 2 dρ ρ dρ ρ
f (ρ) = ∑ b ν ρ s + ν , 令
ν =0
∞
( b0 ≠ 0 )
ρ
(18)
u 1 −2 其中 s ≥ 1(因当 r → 0 时,要求R = = e f (ρ)有限) r r
R(r) = u(r) / r , R(r)不是有限的
+
ρ 2
→ ∞,
不符合有限性的要求,弃之。
d 2 u β 1 l(l + 1) ]u = 0 的解为: 于是可设方程(15) 2 + [ − − 2 ρ 4 dρ ρ
u (ρ) = e f (ρ)
而 u (ρ) = e f (ρ) 二阶导数为:
(5)
采用分离变量法,设 Ψ ( r , θ, ϕ) = R ( r ) Y (θ, ϕ) ,代入上式后两 RY ˆ ˆ 2 μr 2 [Tr + U (r ) − E ]RY L2 RY 边同除以 ,得 =− 2μr 2 RY RY
2μr 2 ˆ 1 ˆ2 [Tr + U(r ) − E]R = − L Y = −L2 R Y L2 [ˆ + U(r ) − E]R = 0 (径向 Schr&&dinger方程) (6) o 于是 :Tr + 2 2μr ˆ (角向方程) (7) L2 Y = L2 Y
(11)
o 令 R ( r ) = u ( r ) / r ,则径向 Schr&&dinger 方程变形为:
2 Ze s l(l + 1)h 2 h 2 d 2 u (r ) − + [− + ]u (r ) = Eu (r ) 2 2 2μ dr r 2μr
(12)
o 讨论:径向 Schr&&dinger 方程与一维方程相比较,形式上相
d u (ρ ) β 1 l(l + 1) +[ − − ]u (ρ ) = 0 2 2 dρ ρ 4 ρ
2
变系数二阶 微分方程
(15)
当 ρ → ∞时(即 r → ∞ ) ,方程(15) 的渐进方程为:
d2u 1 − u=0 2 4 dρ
u 它的解有两个,即: (ρ) ∝ e
±
ρ 2
e 。但 ρ → ∞ 时,
o <2> 径向Schr&&dinger 方程的渐进解( E < 0 ) o 径向 Schr&&dinger方程
2 Ze s l(l + 1)h 2 h 2 d 2 u (r ) − + [− + ]u (r ) = Eu (r ) 2 2 2μ dr r 2μr
2 Zes d 2 u(r) 2μ l(l + 1) 可写为: 2 + [ 2 (E + )− ]u(r) = 0 2 r dr h r 8μ E 1 为计算方便,令 α = ( 2 ) 2 ; h 2 2 2μZe s Ze s μ 1/ 2 β= = ( ) 2 h 2E αh
b 则: n +1
r
即:β = n r + s 。
考察 s 取值: 因 f (ρ) = ∑ b ν ρ ν +s ,即 b −1 = 0 ,且 b 0 ≠ 0 ,则由
ν =0 nr
b ν +1 =
s −1− β b −1 可得:b 0 = (s − 1)(s − 1 + 1) − l(l + 1)
ˆ 而角向方程 L2 Y = L2 Y 的解与辏力场的具体形式无关,即:
L2 = l(l + 1)h 2 , Y = Ylm (θ, ϕ)
o 所以径向 Schr&&dinger 方程可以表述为:
Hale Waihona Puke h2 ∂ 2 ∂ 1 ˆ Tr = [− 2 (r )] ∂r 2 μ r ∂r
l(l + 1)h 2 ˆ [Tr + U(r ) + − E]R = 0 2 2μr h2 ∂ 2 ∂ l(l + 1)h 2 即:[− (r ) + U(r ) + ]R (r ) = ER (r ) 2 2 ∂r 2μr 2μr ∂r 二、电子在库仑场中的运动(辏力场的一种形式) 1. 定态方程:
似,但有两点区别:
R (r ) = u (r ) / r
2 Ze s l(l + 1)h 2 h 2 d 2 u (r ) ]u ( r ) = Eu (r ) − + [− + 2 2 r 2μ dr 2μr
a.独立变量r是从 0 → ∞ ,而不是从 − ∞ → +∞ ,且为了保证波 函数满足标准条件,必须附加边界条件:
2 Zes l(l + 1)h 2 h2 ∂ 2 ∂ 于是 [− ]R (r ) = ER (r ) 可以改写为: + (r )− 2 2 ∂r r 2μr 2μr ∂r
2 Zes l(l + 1)h 2 h2 1 d2 − (rR ) + [− + ]R (r ) = ER (r ) 2 2 2μ r dr r 2μr
把 f (ρ) = ∑ b ν ρ s +ν 代入方程(17)
ν =0
∞
β l(l + 1) d f df − +[ − ]f = 0 2 2 dρ ρ dρ ρ
2
中,则要求 ρ 的各幂次前的系数应为0。
d 2 f df β l(l + 1) ρ s+ν −1 次项: 考察方程(17): ]f = 0 中 − +[ − 2 2 dρ ρ dρ ρ
于是: b ν +1 即 f (ρ) =
∞
s+ν −β = bν (s + ν)(s + ν + 1) − l(l + 1)
(19)
b ν ρ s + ν 中系数满足的递推公式。 ∑
ν =0
考察当 ρ → ∞ 时级数 f (ρ)的值,看是否能保证 R (r ) 的有限性。
b 1 f (ρ) 是无穷级数,则当 ν → ∞ 时有: ν +1 → a.若 b ν ν →∞ ν ∞ 2 ρν ν ρ ρ + L = ∑ a νρ 中 +L + eρ = 1 + + 而在级数 ν! 1! 2! ν =0
a ν +1 1 /(ν + 1)! 1 1 = = → ν →∞ ν aν 1 / ν! ν +1
且 ρ → ∞ 时主要是 ρ 的高次项起作用,
s+ν 于是 f (ρ) = ∑ b ν ρ 和 ν =0 ∞
e 的在 ρ → ∞ 行为相同。
− ρ 2
ρ
而 R ( r ) = u ( r ) / r ; ρ = αr ; u (ρ) = e f (ρ) 所以:R =
α α α α u (ρ) = e f (ρ) → e e ρ = e → ∞ ,这与 R ρ→∞ ρ ρ ρ ρ ρ→∞
− − ρ 2 ρ 2 ρ 2
有限性相矛盾,应否定它(不能是无穷级数)。
b.若 f (ρ) 级数是有限项,即 f (ρ) = ∑ b ν ρ ν +s 为多项 式,其最高次幂项为 b n r ρ
ˆ o 定态 Schr&&dinger 方程为:HΨ = EΨ
h2 2 H 其中:ˆ = − ∇ + U(r ) 。 2μ
(1)
ˆ HΨ = EΨ 在球坐标系中可以表示为:
1 ∂ 1 ∂2 ∂ h2 ∂ 2 ∂ [ (r )+ − (sin θ ) + ]Ψ + U(r )Ψ = EΨ 2 2 2 ∂r sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ 2μr ∂r