矢量代数与张量初步精品PPT课件
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x y z
方向上，导数有无 穷多个，其中有一
d ex xey yez z d d
个值最大，这个方 向导数的最大值定 义为梯度：
dd xexd yeyd zez
d
d
el
cos
grad
梯度的意义：空间某点标量场函数的最大变化率
，刻画了标量场的空间分布特征 已知梯度即可求出沿任一方向的方向导数。
稳恒场（稳定场、静场）：场与时间无关
变化场（时变场）：场函数与时间有关
已知场函数的梯度、散度、旋度可以确定场函数，
这是电动力学求解电磁场的主要方法。 已知场函数可以了解场的各种性质：随时空的变 化关系（梯、散、旋度）。
二、标量场的梯度
在空间任意靠近两点函数的全微分 在 空 间 某 点 的 任 意
ddxdydz
i1
B1 B2 B3
矢量代数中的两个重要公式
混合积
a ( b c ) b ( c a ) c ( a b )
双重矢量积 a ( b c ) ( a c ) b ( a b ) c
矢量微分
dAAˆ dAAdAˆ dt dt dt
d(AB)AdBdAB
dt
dt dt
注意顺序 不能颠倒
d(AB)AdBdAB
r r
例2： ( ) =？
解：
()
x x x
() ()
y
y y
z
z z
() e x x e y y e z z e x x e y y e z z
()
四、高斯定理与矢量场的散度
矢量族
在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它 沿某一曲线的切线方向，这条曲线形成一条矢 量线，又叫场线（对静电场称为电力线），无
A ex A yz A zy ey A zx A xz ez A xy A yx
ex x
ey y
ez z
Ax
Ay
Az
1
例1： r =？ rr x x2 yy2 z z2 2
解： r112(xx)xx r yy,r zz
x 2r
r y r z r
r e xx r x e yy r y e zz r z r r r
绪论及数学准备
第一节
矢量代数与张量初步
§1 矢量代数与张量初步
矢量定义
A AA ˆ,
AA,
A ˆA
A
直角坐标系中 AA xiA yjA zk
3
A Ai ei i 1
AA(A12A22A32)12
3
Ai2
i1
矢量的基本运算
3
e1 e2 e3
AB AiBi ABcos ABABsinen A1 A2 A3
dt
dt dt
并矢与张量 A B （一般 ABBA）
3
3
TAB AiBjeiej Tijeiej
i,j1
i,j1
e i e j 为单位并矢，张量的基（9个分量）
矢量与张量的矩阵表示
A Aiei ,
A1
A
A2
A3
A(A1,A2,A3)
B 1
3
AB(A 1,A2,A3)B2A 1B 1A2B2A3B3 A iBi
一、场的概念
描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或 说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理 量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。 如：强度场、速度场、引力场、电磁场。
场用一个空间和时间 标量场(x,y,z,t)(x,t) 坐标的函数来描述： 矢量场A(x,y,z,t)A(x,t)
矢量场的散度
缩小到一点
AdS(A)V
S
AdS
A lim S
V0 V
A
A A
0 0 0
该点有源 该点无源 该点为负源
若空间各点处处 A0 则称 A 为无源场。
例子：
求 r
r x x e x y y e y z z e z
r x 3 x
求
r r3
1
r x x 2 y y 2 z z2 2 (r 0 )
ABCABC
CAB CAB 两并矢的一次点乘
并矢 并矢
A B C D A B C D A B C A D C D A B
两并矢的二次点乘
A B:C D B C A D
单位张量与矢量、 张量的点乘
CC C A B A B A B
:ABAB
第二节
矢量场论复习
§2 矢量场论复习
A xx A yy A zz xA x yA y zA z
A A
五、斯托克斯公式与矢量场的旋度
矢量场的环量（环流）
矢量 A 沿任一闭合曲线 L 的积分称为环量 Adl L
0 表明在区域内无涡旋状态，场线不闭合
0 表明在区域内存在涡旋状态，场线闭合
r r 3 x x r 3 x y y r 3 y z zr 3 z
r 3 3 x x r 3 4x r x y y r 3 4y ry 0
证明 A A A
证： A xA x yA y zA z
B3
i1
TAB
T11 T12 T13
T T21 T22 T23
T31
T32
T33
3
e i e j i1
1 0 0
0 0
1 0
0 1
张量的运算 TV (Tij Vij)eiej
i,j
ABCA BC A CB ACB
CB ACBA
BC ABCA
C A B C A B B C A B A C B A C
穷多条这样的曲线构成一个矢量族。
矢量场的通量
面元 d s 的通量： dAds
有限面积 S 的通量
闭合曲面的通量
S
Ads
AdS s
0 0 0
有源 无源 负源
意义：用来描述空间某一范围内场的发散或会聚，它只具
有局域性质，不能反映空间一点的情况。
高斯公式
SA d sV A d V V A x x A y y A zz d x d y d z
等值面：(x) 常数的曲面称为等值面。
梯度与等值面的关系：梯度与等值面垂直。
三、矢量微分算子
ex
xBaidu Nhomakorabeay
yez
z
exxey
yez
z
既具有矢量性质， 又具有微分性质
注意：
它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘。
A e x x e y y e z z e x A x e y A y e z A z A x x A y y A z z
方向上，导数有无 穷多个，其中有一
d ex xey yez z d d
个值最大，这个方 向导数的最大值定 义为梯度：
dd xexd yeyd zez
d
d
el
cos
grad
梯度的意义：空间某点标量场函数的最大变化率
，刻画了标量场的空间分布特征 已知梯度即可求出沿任一方向的方向导数。
稳恒场（稳定场、静场）：场与时间无关
变化场（时变场）：场函数与时间有关
已知场函数的梯度、散度、旋度可以确定场函数，
这是电动力学求解电磁场的主要方法。 已知场函数可以了解场的各种性质：随时空的变 化关系（梯、散、旋度）。
二、标量场的梯度
在空间任意靠近两点函数的全微分 在 空 间 某 点 的 任 意
ddxdydz
i1
B1 B2 B3
矢量代数中的两个重要公式
混合积
a ( b c ) b ( c a ) c ( a b )
双重矢量积 a ( b c ) ( a c ) b ( a b ) c
矢量微分
dAAˆ dAAdAˆ dt dt dt
d(AB)AdBdAB
dt
dt dt
注意顺序 不能颠倒
d(AB)AdBdAB
r r
例2： ( ) =？
解：
()
x x x
() ()
y
y y
z
z z
() e x x e y y e z z e x x e y y e z z
()
四、高斯定理与矢量场的散度
矢量族
在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它 沿某一曲线的切线方向，这条曲线形成一条矢 量线，又叫场线（对静电场称为电力线），无
A ex A yz A zy ey A zx A xz ez A xy A yx
ex x
ey y
ez z
Ax
Ay
Az
1
例1： r =？ rr x x2 yy2 z z2 2
解： r112(xx)xx r yy,r zz
x 2r
r y r z r
r e xx r x e yy r y e zz r z r r r
绪论及数学准备
第一节
矢量代数与张量初步
§1 矢量代数与张量初步
矢量定义
A AA ˆ,
AA,
A ˆA
A
直角坐标系中 AA xiA yjA zk
3
A Ai ei i 1
AA(A12A22A32)12
3
Ai2
i1
矢量的基本运算
3
e1 e2 e3
AB AiBi ABcos ABABsinen A1 A2 A3
dt
dt dt
并矢与张量 A B （一般 ABBA）
3
3
TAB AiBjeiej Tijeiej
i,j1
i,j1
e i e j 为单位并矢，张量的基（9个分量）
矢量与张量的矩阵表示
A Aiei ,
A1
A
A2
A3
A(A1,A2,A3)
B 1
3
AB(A 1,A2,A3)B2A 1B 1A2B2A3B3 A iBi
一、场的概念
描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或 说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理 量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。 如：强度场、速度场、引力场、电磁场。
场用一个空间和时间 标量场(x,y,z,t)(x,t) 坐标的函数来描述： 矢量场A(x,y,z,t)A(x,t)
矢量场的散度
缩小到一点
AdS(A)V
S
AdS
A lim S
V0 V
A
A A
0 0 0
该点有源 该点无源 该点为负源
若空间各点处处 A0 则称 A 为无源场。
例子：
求 r
r x x e x y y e y z z e z
r x 3 x
求
r r3
1
r x x 2 y y 2 z z2 2 (r 0 )
ABCABC
CAB CAB 两并矢的一次点乘
并矢 并矢
A B C D A B C D A B C A D C D A B
两并矢的二次点乘
A B:C D B C A D
单位张量与矢量、 张量的点乘
CC C A B A B A B
:ABAB
第二节
矢量场论复习
§2 矢量场论复习
A xx A yy A zz xA x yA y zA z
A A
五、斯托克斯公式与矢量场的旋度
矢量场的环量（环流）
矢量 A 沿任一闭合曲线 L 的积分称为环量 Adl L
0 表明在区域内无涡旋状态，场线不闭合
0 表明在区域内存在涡旋状态，场线闭合
r r 3 x x r 3 x y y r 3 y z zr 3 z
r 3 3 x x r 3 4x r x y y r 3 4y ry 0
证明 A A A
证： A xA x yA y zA z
B3
i1
TAB
T11 T12 T13
T T21 T22 T23
T31
T32
T33
3
e i e j i1
1 0 0
0 0
1 0
0 1
张量的运算 TV (Tij Vij)eiej
i,j
ABCA BC A CB ACB
CB ACBA
BC ABCA
C A B C A B B C A B A C B A C
穷多条这样的曲线构成一个矢量族。
矢量场的通量
面元 d s 的通量： dAds
有限面积 S 的通量
闭合曲面的通量
S
Ads
AdS s
0 0 0
有源 无源 负源
意义：用来描述空间某一范围内场的发散或会聚，它只具
有局域性质，不能反映空间一点的情况。
高斯公式
SA d sV A d V V A x x A y y A zz d x d y d z
等值面：(x) 常数的曲面称为等值面。
梯度与等值面的关系：梯度与等值面垂直。
三、矢量微分算子
ex
xBaidu Nhomakorabeay
yez
z
exxey
yez
z
既具有矢量性质， 又具有微分性质
注意：
它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘。
A e x x e y y e z z e x A x e y A y e z A z A x x A y y A z z