高等代数课件北大版第九章欧式空间.ppt

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高等代数9-4

§9.4 正交变换
3. 欧氏空间V的正交变换是V到自身的同构映射．
因而有， 1）正交变换的逆变换是正交变换；（由同构的对称性可得之） 2）正交变换的乘积还是正交变换．（由同构的传递性可得之）
§9.4 正交变换
4. n 维欧氏空间中正交变换的分类：
设 n 维欧氏空间V中的线性变换在标准正交基 1,2, , n下的矩阵是正交矩阵A，则 A 1. 1）如果 A 1, 则称为第一类的（旋转）; 2）如果 A 1, 则称为第二类的．
§9.4 正交变换
例、在欧氏空间中任取一组标准正交基 1,2, ,n,
定义线性变换为：
1 1 i i ,
i 2,3, n.
则为第二类的正交变换，也称之为镜面反射．
§9.4 正交变换
例：设是n 维欧氏空间V 的一个单位向量，定义变换
( ) 2(, ). 证明: （1）是正交变换，这样的正交变换称为镜面
(2)
§9.4 正交变换
( ), ( ) ( , ),
(3)
把(3)展开得，
( ), ( ) 2 ( ), ( ) ( ), ( )
( , ) 2( , ) ( , )
再由(1)(2)即得，
( ), ( ) ( , )
是正交变换．
§9.4 正交变换
再证明2)与3)等价．
正交基1,2, ,n 的过渡矩阵是正交矩阵.
§9.4 正交变换
所以，A是正交矩阵．
" " 设 1,2, , n 为V的标准正交基，且
1,2, ,n 1,2, ,n A 即， 1,2, ,n 1,2, , n A
由于当A是正交矩阵时，1,2, ,n 也是V的
标准正交基，再由1即得为正交变换．

高等代数【北大版】课件

线性规划问题
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都为零，主对角线上的元素为特征值。通过相似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理解矩阵的性质和特征。

第09章欧式空间

= α s−1
−
(α s−1, ε1 ) (ε1,ε1 )
ε
1
−⋯
−
(α s−1 (ε s−2
,ε ,ε
s −2 s−2
) )
ε
s
−2
，ε s
= αs
−
s −1 k=1
(α s (εk
− εk ) ,εk )
ε
k
① L(ε1 ,⋯,ε s ) = L (α1 ,⋯,αs ) ⇔ ε1,⋯,ε s 与 α1,⋯, αs 等价
α = (ε1,⋯,ε n ) X = (η1,⋯,ηn ) X ， X = T X ， β = (ε1,⋯,ε n)Y = (η1,⋯,η n)Y ，Y = T Y
(α, β )在基 ε1,⋯,ε n ，η1,⋯,ηn下的度量矩阵分别为 G, G
(α ,
β)
=
X
'GY
=
X
'
T
'GT Y
=
X
'
GY
∴G = T 'GT 即 G~G
⎧R欧式空间
线性空间定义度量性质后 ⎪⎪C酉空间
⎨⎪思维时空空间 ⎪⎩辛空间
三维几何空间 R3
R
2
：设
� a
=
(a1
,
a2
),
� b
=
(b1,
b2)
�� a ⋅b = a1b1 + a2b2 ∈R
� a 的长度：
� a
=
a2 + a2 =
�� a⋅a
1
2
�� a,b
的夹角：
<
�� a, b
>= ar

高等代数课件(北大版)第九章欧式空间§9.1

事实上，对 V ,0，即 X 0
有 (,) X A X 0
A 为正定矩阵.
③ 由（10）知，在基 1,2, ,n下，向量的内积
由度量矩阵A完全确定.
*
第二十六页，共30页。
④ 对同一内积而言，不同基的度量矩阵是合同的.
证：设 1 ,2 , ,n ;1 ,2 , ,n为欧氏空间V的两组
基，它们的度量矩阵分别为A、B ，且
b
b
2 .( k f ,g ) a k f ( x ) g ( x ) d x k a f ( x ) g ( x ) d x
k(f,g)
*
第七页，共30页。
3 .(f g ,h ) a b f(x ) g (x ) h (x )d x
b
b
af(x )h (x )d x ag (x )h (x )d x
V为欧氏空间， ,, V , k R
1 ) ( , k ) k ( ,) , k , k k 2 ( ,)
2 )(, ) (,) (,)
s
s
推广： (,i)(,i)
i1
i1
3) (0,)0
* 第九页，共30页。
二、欧氏空间中向量的长度
1. 引入长度概念的可能性
1）在 R 3 向量的长度（模） .
* 第十六页，共30页。
2）
施瓦兹不等式
bf(x )g (x )d xbf2 (x )d xb g 2 (x )d x
a
a
a
证：在 C (a,b) 中，f(x) 与g(x) 的内积定义为
b
(f(x ),g (x ))af(x )g (x )d x
由柯西－布涅柯夫斯基不等式有
(f(x ),g (x ))f(x )g (x )

高等数学(高教版)第九章欧几里得空间第六节课件

第六节
实对称矩阵的标准形
主要内容
问题的提出正交矩阵的求法
实对称矩阵的性质
主要结论
举例
正交的线性替换
一、问题的提出
在第五章我们得到，任意一个对称矩阵都合同
于一个对角矩阵，
使
换句话说，都有一个可逆矩阵 C
CTAC
成对角形. 在这一节，我们将利用欧氏空间的理论
把第五章中关于实对称矩阵的结果进行加强，这就是这一节要解决的主要问题：
下的矩阵就是 A .
(2)
引理 2
设 A 是实对称矩阵，A 的定义如上
则对任意的 , Rn , 有 (A , ) = ( , A ) ，或 (3)
T ( A ) = TA .
证明
只要证明后一等式即可.
实际上 = ( A )T
T ( A )
= TAT = T( A ) .
1 6 1 6 2 6 0
1 12 1 12 1 12 3 12
1 2 1 2 . 1 2 1 2
TTAT = diag(1, 1, 1, -3) .
例2 设
3 A 2 0
2 2 2
0 2 1
x1 x2 x n
满足
A = 0 . 令
x1 x2 , x n
其中
xi 是 xi 的共轭复数，则
考察等式
A = 0 .
T (A )
= TAT
= (A )T
T 是一个正交矩阵，而
T-1AT = TTAT 就是对角形. 根据上面的讨论，求正交矩阵 T 的步骤如下： STEP 1 求出 A 的特征值. 设 1 , …, r 是 A

高等代数欧几里得空间课件

矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，可以表示向量之间的关系和线性变换。
VS
矩阵的性质
矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、标量乘法和乘法满足相应的运算规则，矩阵的转置、行列式、逆等也具有相应的性质和定义。
矩阵的运算规则
1 2 3
矩阵的加法矩阵的加法满足交换律和结合律，即 $A+B=B+A$和$(A+B)+C=A+(B+C)$。
运算规则二
如果 $W_1$ 和 $W_2$ 是子空间，且 $W_1 cap W_2 = {0}$，则 $W_1 + W_2$ 是子空间。
运算规则三
如果 $W$ 是子空间，且 $u in W$，则存在唯一的 $v in W$ 使得 $u + v = 0$。
欧几里得空的同
06
构与等价
同构的定义与性质
等价性质
等价的欧几里得空间具有相同的秩，且线性变换在等价下是可逆的。
THANKS.
矩阵运算对应线性变换运算
矩阵的加法、标量乘法和乘法分别对应线性变换的加法、标量乘法和复合运算。
特征与特征向量
04
特征值与特征向量的定义
特征值
对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零的数λ和相应的非零向量x，使得Ax=λx成立，则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A的对应于λ的特征向量。
特征向量
与特征值λ对应的非零向量x称为矩阵A的对应于λ的特征向量。
助于学生更好地理解和掌握这一概念。
04
复数域上的全体二维向量构成的集合是一个二维复数欧几里得空间。
向量与向量的运算
ห้องสมุดไป่ตู้02
向量的定义与表示

高等代数-9第九章欧几里得空间

, yn ' ,
(2)当 A=E 时写出内积的具体表达式.
称A =E 时定义的内积
, ' x1 y1 x2 y2
为普通内积或按通常定义的内积.
xn yn
§1 定义与基本性质
注1 同一线性空间V 上可以定义多个内积. 线性空间V 在不同的内积定义下构成不同的欧氏空间.
因此欧氏空间V的定义是和线性空间V以及V的内积的定义紧密联系的.
§1 定义与基本性质(P363)
注 (1) 零向量与任意向量正交,即 o .
(2) 若 , 则 o.
(3) 若 , 非零, 则 , .
2
(4) 勾股定理 , V | |2 | |2 | |2
证明
2 ,
, 2, ,
了解欧几里得空间的内积的矩阵表示, 掌握度量矩阵
§1 定义与基本性质(P359)
一. 欧几里得空间的定义 1. 定义设V是实数域 R上的线性空间,在V上定义二
元实函数( , ) , 满足性质: , , V , k R
1) ( , ) ( , ) （对称性）
2) (k , ) k( , )
f (x)为开口向上且与x轴最多只有一个交点的抛物线.
则判别式 4(, )2 4(, )( , ) 0, 即 ( , )2 ( , )( , ), 结论成立.
§1 定义与基本性质(P362)
下证 | (, ) || || | 当且仅当、线性相关. " " 若、线性相关,不妨设 k ,
第九章欧几里得空间(P359)
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间 §6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的距离─最小二乘法

高等代数第九章 3第三节同构

α = x1ε 1 + x 2ε 2 + L + x nε n
令
返回
σ(α)= ( x1 , x 2 , L , x n ) ∈ R，这是V到的一个双射双射，我们知道，这是到Rn的一个双射，并且适合定义条件1), 2)(第六章§ 上一节(3)式说明, (3)式说明中条件1), 2)(第六章§8). 上一节(3)式说明, σ 也适合条件3) 因而σ是到一个同构映射，也适合条件3)，因而是V到Rn的一个同构映射，条件3)，由此可知结论每个n维的欧氏空间都与R 同构. 每个维的欧氏空间都与 n同构维的欧氏空间都与下面来证明，同构作为欧氏空间之间的关系下面来证明，同构作为欧氏空间之间的关系作为欧氏空间反身性、具有反身性对称性与传递性. 具有反身性、对称性与传递性证明首先，每个欧氏空间到自身的恒等映射显首先，每个欧氏空间到自身的恒等映射显欧氏空间同构映射. 关系是然是同构映射这就是说，同构关系反身的然是同构映射这就是说，同构关系是反身的.
返回
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返回上页下页
其次，一个同构映射，其次，设σ是V到V′的一个同构映射，我们知是到逆映射σ 也适合定义中条件条件1), 2)( 道，逆映射 -1也适合定义中条件1), 2)(第六章而且对于α, ∈ §8). 而且对于 ,β∈V′ ，有 (α,β)=(σ(σ-1(α)),σ(σ-1(β)))=(σ-1(α),σ-1(β)) . , , , 这就是说，这就是说，σ-1是V′到V的一个同构映射，因而同构的一个同构映射，因而同构关系是对称的. 关系是对称的第三，分别是V到第三，设σ,τ分别是到V′ ，V′到V′′的同构映 , 分别是不难证明τσ是到证明留给大射. 不难证明是V到V′′的同构映射 (证明留给大家作练习) 因而同构关系是传递的. 同构关系家作练习，因而同构关系是传递的

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§9.7 向量到子空间的距离数学与计算科学学院
2.向量到子空间的距离
(1) 设为一固定向量，如果与子空间 W 中每个向量垂直，称垂直于子空间W , 记作 W.
注:
如果 W L(1,2 , ,k ), 则 W i , i 1,2, ,k.
§9.7 向量到子空间的距离数学与计算科学学院
§9.7 向量到子空间的距离
一、向量到子空间的距离二、最小二乘法
§9.7 向量到子空间的距离数学与计算科学学院
一、向量到子空间的距离
1. 向量间的距离
定义长度称为向量和的距离，
记为 d , .
基本性质
（i）d , d , （ii）d , 0, 并且仅当的等号才成立；（iii）(三角形不等式) d , d , d , .
§9.7 向量到子空间的距离数学与计算科学学院
实际上是不可能的．任何a,b 代入上面各式都发生些误差.于是想找到 a,b 使得上面各式的误差的平方和最小，即找 a,b 使 (3.6a b 1.00)2 (3.7a b 0.9)2 (3.8a b 0.9)2 (3.9a b 0.81)2 (4.0a b 0.60)2 (4.1a b 0.56)2 (4.2a b 0.35)2 最小.
§9.7 向量到子空间的距离数学与计算科学学院
解：把表中数值画出图来看，发现它的变化趋势近于一条直线．因此我们决定选取 x 的一次式 ax b 来表达．当然最好能选到适当的 a,b, 使得下面的等式
3.6a b 1.00 0, 3.7a b 0.9 0 3.8a b 0.9 0, 3.9a b 0.81 0, 4.0a b 0.60 0, 4.1a b 0.56 0, 4.2a b 0.35 0 都成立.

高等代数考研复习[欧氏空间]

d) n维欧空间中任意一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基.
3) 标准正交基的求法：施密特(Schmidt)正交化方法
题型分析：
例1 设 1,2, ,n 是欧氏空间V的基，证明：
1) 若 V 使得 ( ,i ) 0, 则 0.
2) 若 1, 2 V , 对任意的 V 有 (1, ) ( 2, )
个子空间，如果对任意 V1, V2 恒有 (, ) 0, 则称 V1 与 V2 是正交的，记为 V1 V2.
如果 V , 且对任意 V1, 有 (, ) 0, 则称与子空间 V1 正交，记为 V1. 2) 正交子空间的有关结论：
a) L(1,2, ,m ) i ( ,i ) 0.
b) 设 , V , 1,2, ,n 是V的标准正交基，如果 ( 1,2, ,n ) X , ( 1,2, ,n )Y , 则( , ) X Y.
c) 设 1,2, ,n 是V的一组标准正交基，1,2, ,n
且 (1,2, ,n ) ( 1,2, ,n )T , 则 1,2, ,n 也是 V的标准正交基 T是正交矩阵.
| 1 2 n || 1 | | 2 | | n | .
c) 如果 , 则 | |2 | |2 | |2 .
1.2 度量矩阵
1)定义：设V是n维欧氏空间，1,2, ,n 是V
的一组基，称矩阵
(1,1)
A

V , | A || |;
(3) 如果 1,2, ,n 是标准正交基，则 A 1,A 2, ,A n 也是标准正交基； (4) A 在任何一组标准正交基下的矩阵是正
交矩阵.

高等代数课件(北大版)第九章-欧式空间9.5

Vi Vj , i j
(i ,0) (i ,1 2 s ) (i ,i ) 0 由内积的正定性，可知 i 0, i 1,2, , s.
§9.5 子空间
二、子空间的正交补
1．定义：
如果欧氏空间V的子空间 V1,V2 满足 V1 V2 , 并且 V1 V2 V , 则称 V2 为 V1 的正交补.
但一般地，子空间W的余子空间未必是其正交补.
§9.5 子空间
3．内射影
设W是欧氏空间V的子空间，由 V W W ,
对 V , 有唯一的 1 W , 2 W , 使 1 2
称 1 为在子空间W上的内射影.
§9.5 子空间
(1,1 ) 0 由此可得 1 0, 即有 V3
同理可证 V3 V2 , V2 V3 .
§9.5 子空间
V2 V3 . 唯一性得证.
注：① 子空间W的正交补记为 W . 即
W V W
② n 维欧氏空间V的子空间W满足: i) (W ) W ii) dimW dimW dimV n iii) W W V ⅳ) W的正交补 W 必是W的余子空间.
V1 V2 ( , ) 0 0.
③ 当 V1 且 V1 时，必有 0.
§9.5 子空间
2．两两正交的子空间的和必是直和．
证明：设子空间 V1,V2 , ,Vs 两两正交，要证明 V1 V2 Vs , 只须证：
V1 V2 Vs 中零向量分解式唯一．
设 1 2 s 0, i Vi , i 1, 2, , s
2．n 维欧氏空间V的每个子空间 V1 都有唯一正交补.
证明：当 V1 {0} 时，V就是 V1 的唯一正交补．当 V1 {0} 时，V1 也是有限维欧氏空间.
取 V1 的一组正交基 1, 2 , , m ,

高等代数(第9章)

第9章欧几里得空间
定义与简单性质标准正交基

* 同构
正交变换子空间对称矩阵的标准形 * 向量到子空间的距离最小二乘法

§9.1 定义与基本性质
几何空间R3中向量与的内积是指实数 (, )=||| |cos= a1b1+ a2b2+a3b3 ||,| |分别为向量与的模(长度),为与的夹角. 利用内积概念也可以表示向量的长度及两个非零向量的夹角： ( , ) | | (, )=0, 且具有以下性质： (, )= (, ) (k , )=k (, ) (+ ,)= (, )+ (, ) (, )0,当且仅当=0时,(, )=0.
3.度量矩阵定义设V是n维欧氏空间, 1, 2,…,n为V的一组基.称 ( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , n ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 1 2 2 2 n A ( n , 1 ) ( n , 2 ) ( n , n ) 为基1, 2,…,n的度量矩阵.
性质 (i) AT=A (ii) 对V中任意向量
基的度量矩阵完全确定了内积！
x1 y1 = x11+x22+…+xnn , x 2 , Y y 2 . = y11+y22+…+ynn , 其中X x y 有 ( ,) =XTAY. n n
知 [2( , )]2 4( , )( , ) 0 即( , ) 2 ( , )( , ) 0
|( , ) |<|| | |.
(ii)若 , 线性相关,则当 , 至少有一为零向量时, 等号显然成立，否则可设 =k.由 |( ,)|=|(k ,)|= |k( , )| = |k|| |2 = |k|| || |= ||| | 即等号成立；反之若等号成立，则为零向量时,,线性相关，

高等代数§9.3 同构

( , ) (

1
是

1
( )), (
1
( ))

1
( ),
1
( )

1
为欧氏空间V'到V的同构映射.
§9.3 同构
③ 若 , 分别是欧氏空间V到V'、V'到V"的同构映射，则是欧氏空间V到V"的同构映射. 事实上，首先，是线性空间V到V"的同构映射. 其次，对 , V , 有
( k ) k ( ),
, V ,
k R
3)
( ), ( )
( , ),
这样的映射称为欧氏空间V到V'的同构映射.
§9.3 同构
二、同构的基本性质
1、若是欧氏空间V到V'的同构映射，则也是
线性空间V到V'同构映射. 2、如果是有限维欧氏空间V到V'的同构映射，则
( ), ( )
( ( )), ( ( )) ( ), ( )
( 4;的同构映射.
§9.3 同构
5、两个有限维欧氏空间V与V'同构
d im V d im V .
'
§9.3 同构
d im V d im V .
'
3、任一 n 维欧氏空间V必与 R n同构.
§9.3 同构
n 设V为2,1 , , n 维欧氏空间，标准正交基，在这组基下，V中每个向量可表成为V的一组
证：
x 1 1 x 2 2 x n n ,

北京大学数学系《高等代数》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】第9章欧式空间【圣才出品】

第9章欧式空间[视频讲解]9.1本章要点详解本章要点■欧式空间的定义■标准正交基■同构■正交变换■子空间■对称矩阵的标准型重难点导学一、定义与基本性质1．欧式空间的定义设V 是实数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，记作（α，β），若（α，β）满足（1）（α，β）＝（β，α）；（2）（k α，β）＝k （α，β）；（3）（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）；（4）（α，α）≥0，当且仅当α＝0时（α，α）＝0．这里α，β，r 是V 中任意的向量，k 是任意实数，则称（α，β）为α和β的内积，并称线性空间V 为欧几里得空间．2．内积的简单性质V 为欧氏空间，∀α，β，γ，∀k ∈R ，则（1）(,)(,)k k =αβαβ；（2）(,)(,)(,)+=+αβγαβαγ；（3）(0,)=0β．2．欧氏空间中向量的长度（1）向量长度的定义非负实数称为向量α的长度，记为|α|．（2）关于长度的性质①零向量的长度是零；②|kα|＝|k||α|；③长度为1的向量称为单位向量.如果α≠0，向量1αα就是一个单位向量，称此过程为把α单位化．3．欧氏空间中向量的夹角（1）柯西-布涅柯夫斯基不等式，即对于任意的向量α，β有|（α，β）|≤|α||β|当且仅当α，β线性相关时，等号才成立．（2）非零向量α，β的夹角<α，β>定义为（3）如果向量α，β的内积为零，即（α，β）＝0，则称α，β为正交或互相垂直，记为α⊥β．注：零向量才与自己正交．（4）勾股定理：当α，β正交时，|α＋β|2＝|α|2＋|β|2．4．有限维空间的讨论（1）度量矩阵设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意两个向量α＝x1ε1＋x2ε2＋…＋x nεn，β＝y1ε1＋y2ε2＋…＋y nεn，由内积的性质得a ij＝（εi，εj）（i，j＝1，2，…，n）有a ij＝a ji，则（α，β）还可写成（α，β）＝X'AY，其中分别是α，β的坐标，而矩阵A＝（a ij）nn称为基ε1，ε2，…，εn的度量矩阵．（2）性质①设η1，η2，…，ηn是空间V的另外一组基，而由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为C，即（η1，η2，…，ηn）＝（ε1，ε2，…，εn）C，于是基η1，η2，…，ηn的度量矩阵B＝（b ij）＝（ηi，ηj）＝C'AC，则不同基的度量矩阵是合同的．②对于非零向量α，即有（α，α）＝X'AX＞0．因此，度量矩阵是正定的．二、标准正交基1．正交向量组欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，称为正交向量组．按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组．2．标准正交基（1）定义在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基．注：①对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基．②一组基为标准正交基的充分必要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵．（2）标准正交基的求法①n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基．②对于n维欧氏空间中任意一组基ε1，ε2，…，εn，存在一组标准正交基η1，η2，…，η，使L（ε1，ε2，…，εi）＝L（η1，η2，…，ηi），i＝1，2，…，n．n把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法称为施密特正交化过程．3．标准正交基间的基变换设ε1，ε2，…，εn与η1，η2，…，ηn是欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是A＝（a ij），即因为η1，η2，…，ηn是标准正交基，所以矩阵A的各列就是η1，η2，…，ηn在标准正交基ε1，ε2，…，εn下的坐标．4．正交矩阵n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A＝E．由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，则第二组基一定也是标准正交基．三、同构。

高等代数课件(北大版)第九章欧式空间§9.2

使
1 , 2 ,, m , 1 , 2 ,, k
成为一组正交基. 现在来看 n m k 1 ( 1) 的情形. 因为 m n ,
所以必有向量不能被 1 , 2 ,, m 线性表出，
作向量
m1 k11 k2 2 km m ( 0)
1
1
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 3 3 1 2 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 )
2 ( 3 , 1 ) x dx , 1 3
1 2
( 1 , 1 ) dx 2,
1
1
( 3 , 2 ) x dx 0,
数学与计算科学学院
一、正交向量组
定义：
设Ｖ为欧氏空间，非零向量 1 , 2 ,, m V , 如果它们两两正交，则称之为正交向量组.
注：
① 若 0, 则是正交向量组. ② 正交向量组必是线性无关向量组.
§9.2 标准正交基
数学与计算科学学院
证：设非零向量 1 , 2 ,, m V 两两正交.
tii 0, i 1,2,, n
§9.2 标准正交基
数学与计算科学学院
② Schmidt正交化过程:
1 先把线性无关的向量组 1 ,, m
化成正交向量组 1 , 2 ,, m .
( 2 , 1 ) 1 1 , 2 2 1 , ( 1 , 1 ) j 1 ( j , i ) j j i , j 2,3,, m; i 1 ( i , i )
( 4 , 1 ) x dx 0,
变成单位正交的向量组. 解：令
1 1 (1,1,0,0) ( 2 , 1 ) 1 1 2 2 1 ( , ,1,0) ( 1 , 1 ) 2 2 1 1 1 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 3 3 1 2 ( , , ,1) 3 3 3 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 4 , 3 ) ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) 4 4 1 2 3 ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) (3 , 3 )

高等代数--第九章欧几里得空间

在欧几里得空间中同样有勾股定理,即当 , 正交时， 2 2 2
| | | | | | .
不难把勾股定理推广到多个向量的情形，即如果向量1 , 2 ,, m两两正交，那么
| 1 2 m |2 | 1 |2 | 2 |2 | m |2 .
定义1 设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作， ( , ) 它具有以下性质： 1)( , ) ( , ); 2)(k , ) k ( , ); 3)( , ) ( , ) ( , ); 4)( , ) 0,当且仅当 0时( , ) 0.
( i , j ) xi y j .
i 1 j 1
n
n
令 aij ( i , j ) 显然 aij a ji .
(i, j 1,2,, n),
(8)
于是
( , ) aij xi y j .
i 1 j 1
n
n
( , ) 还可以写成利用矩阵，
定义2 非负实数 ( , ) 称为向量的长度，记为| | 。显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零。且 | k || k || |, (3)
k R, V . 事实上，这里，
| k | (k , k ) k 2 ( , ) | k || | .
这里 , , 是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间。
几何空间中向量的内积显然适合定义中列举
的性质，所以几何空间中向量的全体构成一个欧几里得空间。
例1 在线性空间Rn中，对于向量 (a1 , a2 ,, an ), (b1 , b2 ,, bn ), 定义内积 ( , ) a1b1 a2b2 anbn . (1) 显然，内积(1)适合定义中的条件，这样，Rn就成为一个欧几里得空间。以后仍用Rn来表示这个欧几里得空间。在n=3时，(1)式就是几何空间中向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式。

《欧氏空间的同构》课件

01
根据映射的性质，同构可以分为线性同构和非线性同构。
02
线性同构是指两个线性空间之间的同构映射，保持了线性运算的性质。
03
非线性同构是指两个非线性空间之间的同构映射，不保持线性运算的性质。
02
欧氏空间的同构
欧氏空间的基本概念
1 2
欧氏空间
由实数构成的二维空间，其中每个点由两个实数表示，即平面直角坐标系中的(x, y)。
向量空间同构
向量空间之间的线性映射是同构的，如果这个映射是双射且保持加法和标量乘法的运算。
解析几何中的同构实例
平面解析几何中的相似三角形同构
相似三角形保持角度不变，因此是同构的。
立体解析几何中的多面体同构
两个多面体可以通过旋转、平移或对称变换实现同构。
拓扑学中的同构实例
拓扑学中的同胚同构
两个拓扑空间如果可以通过连续变换相互转化，则它们是同胚的，也就是同构的。
在计算机科学中的应用
计算机科学中的同构概念
01
在计算机科学中，同构是指两个或多个计算机程序或算法之间
的等价关系，即它们具有相同的输入输出和功能。
欧氏空间中的同构
02
在计算机科学中，欧氏空间中的同构是指两个空间在功能上完
全相同，即它们具有相同的输入输出和算法过程等。
同构在计算机科学中的应用
03
在计算机科学中，同构的概念被广泛应用于软件工程、算法设
代数拓扑中的同调群同构
两个拓扑空间的同调群在同构的意义下是相同的，这反映了它们在代数和几何结构上的内在联系。
感谢您的观看
THANKS
具体来说，设两个欧氏空间E和F，如果存在一个一一映射T
E→F，使得对于任意两点x, y∈E，有dE(x, y)=dF(T(x), T(y))，则称E和F同构。

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二、欧氏空间中向量的长度
1. 引入长度概念的可能性
1）在 R3向量的长度（模） . 2) 欧氏空间V中， ,V , (, ) 0
使得有意义.
2. 向量长度的定义
,V , ( , ) 称为向量的长度.
特别地，当 1时，称为单位向量.
§9.1 定义与基本性质
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问题的引入
1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算，其具体模型为几何空间 R2、R3, 但几何空间的度量性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及.
2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质都可以通过内积反映出来：
长度：
夹角 , ： cos ,
b
b
1 . ( f , g) a f ( x)g( x) dx a g( x) f ( x) dx ( g, f )
b
b
2 . (k f , g) a k f ( x)g( x) dx ka f ( x)g( x) dx
k( f , g)
§9.1 定义与基本性质
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（4）
2）在一般欧氏空间中推广（4）的形式，首先
应证明不等式：
此即,
§9.1 定义与基本性质
( , ) 1
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2. 柯西－布涅柯夫斯基不等式
1) ( ,k ) k( , ), k ,k k2( , )
2) (, ) (, ) (, )
s
s
推广： ( , i ) ( , i )
i 1
i 1
3) (0, ) 0
§9.1 定义与基本性质
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3
.
(f

g,
h)
b
a

f (x)
g( x) h( x) dx
b
b
a f ( x)h( x) dx a g( x)h( x) dx
( f ,h) (g,h)
4 . ( f , f ) b f 2( x) dx a f 2(x) 0, ( f , f ) 0.
1 (, ) ( , )
（对称性）
2 (k, ) k(, )
3 ( , ) , ( , )
（数乘）（可加性）
4 ( , ) 0, 当且仅当 0 时 ( , ) 0. （正定性）
§9.1 定义与基本性质
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§9.1 定义与基本性质
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3. 向量长度的简单性质
1) 0; 0 0
2) k k
3）非零向量的单位化：
1.
（3）
§9.1 定义与基本性质
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三、欧氏空间中向量的夹角
1. 引பைடு நூலகம்夹角概念的可能性与困难
1）在 R3中向量与的夹角 , arccos
第九章欧氏空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间
§6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的
距离─最小二乘法 §8酉空间介绍小结与习题
2019/12/29
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§9.1 定义与基本性质
一、欧氏空间的定义二、欧氏空间中向量的长度三、欧氏空间中向量的夹角四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示五、欧氏子空间
3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质.
§9.1 定义与基本性质
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一、欧氏空间的定义
1. 定义设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量
、 , 定义一个二元实函数，记作 ( , ) ，若 ( , ) 满足性质： , , V , k R
且若 f ( x) 0, 则 f 2( x) 0, 从而 ( f , f ) 0.
故 ( f , f ) 0 f (x) 0.
因此，( f , g) 为内积， C(a,b)为欧氏空间.
§9.1 定义与基本性质
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2. 内积的简单性质
V为欧氏空间， , , V , k R
例2．C(a,b) 为闭区间 [a,b] 上的所有实连续函数
所成线性空间，对于函数 f ( x), g( x) ，定义
b
( f , g) a f ( x)g( x) dx
则 C(a,b) 对于（2）作成一个欧氏空间.
（2）
证： f ( x), g( x), h( x) C(a,b), k R
a1,a2, ,an , b1,b2, ,bn
1）定义 ( , ) a1b1 a2b2 anbn 易证 ( , ) 满足定义中的性质 1 ～ 4 .
（1）
所以, ( , ) 为内积. 这样Rn 对于内积 ( , ) 就成为一个欧氏空间.
则称 ( , )为和的内积，并称这种定义了内积的
实数域 R上的线性空间V为欧氏空间.
注：欧氏空间 V是特殊的线性空间
① V为实数域 R上的线性空间; ② V除向量的线性运算外，还有“内积”运算;
③ ( , ) R.
§9.1 定义与基本性质
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例1．在 Rn 中，对于向量
所以 ( , ) 也为内积. 从而Rn 对于内积 ( , )也构成一个欧氏空间.
注意：由于对 V , 未必有 (, ) (, )
所以1），2）是两种不同的内积.
从而 Rn 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间.
§9.1 定义与基本性质
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当 n 3 时，1）即为几何空间 R3中内积在直角
坐标系下的表达式 . ( , )即 .
§9.1 定义与基本性质
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2）定义
( , ) a1b1 2a2b2 kakbk nanbn 易证( , )满足定义中的性质 1 ～ 4 .