高等代数课件北大版第九章 欧式空间.ppt
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
(4)
2)在一般欧氏空间中推广(4)的形式,首先
应证明不等式:
此即,
§9.1 定义与基本性质
( , ) 1
数学与计算科学学院
2. 柯西-布涅柯夫斯基不等式
且若 f ( x) 0, 则 f 2( x) 0, 从而 ( f , f ) 0.
故 ( f , f ) 0 f (x) 0.
因此,( f , g) 为内积, C(a,b)为欧氏空间.
§9.1 定义与基本性质
数学与计算科学学院
2. 内积的简单性质
V为欧氏空间, , , V , k R
b
b
1 . ( f , g) a f ( x)g( x) dx a g( x) f ( x) dx ( g, f )
b
b
2 . (k f , g) a k f ( x)g( x) dx ka f ( x)g( x) dx
k( f , g)
§9.1 定义与基本性质
数学与计算科学学院
3
.
(f
g,
h)
b
a
f (x)
g( x) h( x) dx
b
b
a f ( x)h( x) dx a g( x)h( x) dx
( f ,h) (g,h)
4 . ( f , f ) b f 2( x) dx a f 2(x) 0, ( f , f ) 0.
二、欧氏空间中向量的长度
1. 引入长度概念的可能性
1)在 R3向量 的长度(模) . 2) 欧氏空间V中, ,V , (, ) 0
使得 有意义.
2. 向量长度的定义
,V , ( , ) 称为向量 的长度.
特别地,当 1时,称 为单位向量.
§9.1 定义与基本性质
数学与计算科学学院
3. 向量长度的简单性质
1) 0; 0 0
2) k k
3)非零向量 的单位化:
1.
(3)
§9.1 定义与基本性质
数学与计算科学学院
三、欧氏空间中向量的夹角
1. 引入夹角概念的可能性与困难
1)在 R3中向量 与 的夹角 , arccos
第九章 欧氏空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间
§6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的
距离─最小二乘法 §8酉空间介绍 小结与习题
2019/12/29
数学与计算科学学院
§9.1 定义与基本性质
一、欧氏空间的定义 二、欧氏空间中向量的长度 三、欧氏空间中向量的夹角 四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示 五、欧氏子空间
1) ( ,k ) k( , ), k ,k k2( , )
2) (, ) (, ) (, )
s
s
推广: ( , i ) ( , i )
i 1
i 1
3) (0, ) 0
§9.1 定义与基本性质
wk.baidu.com
数学与计算科学学院
则称 ( , )为和 的内积,并称这种定义了内积的
实数域 R上的线性空间V为欧氏空间.
注: 欧氏空间 V是特殊的线性空间
① V为实数域 R上的线性空间; ② V除向量的线性运算外,还有“内积”运算;
③ ( , ) R.
§9.1 定义与基本性质
数学与计算科学学院
例1.在 Rn 中,对于向量
3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质.
§9.1 定义与基本性质
数学与计算科学学院
一、欧氏空间的定义
1. 定义 设V是实数域 R上的线性空间,对V中任意两个向量
、 , 定义一个二元实函数,记作 ( , ) ,若 ( , ) 满足性质: , , V , k R
§9.1 定义与基本性质
数学与计算科学学院
问题的引入
1、线性空间中,向量之间的基本运算为线性运算, 其具体模型为几何空间 R2、R3, 但几何空间的度量 性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及.
2、在解析几何中,向量的长度,夹角等度量性质 都可以通过内积反映出来:
长度:
夹角 , : cos ,
所以 ( , ) 也为内积. 从而Rn 对于内积 ( , )也构成一个欧氏空间.
注意:由于对 V , 未必有 (, ) (, )
所以1),2)是两种不同的内积.
从而 Rn 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间.
§9.1 定义与基本性质
数学与计算科学学院
1 (, ) ( , )
(对称性)
2 (k, ) k(, )
3 ( , ) , ( , )
(数乘) (可加性)
4 ( , ) 0, 当且仅当 0 时 ( , ) 0. (正定性)
§9.1 定义与基本性质
数学与计算科学学院
a1,a2, ,an , b1,b2, ,bn
1)定义 ( , ) a1b1 a2b2 anbn 易证 ( , ) 满足定义中的性质 1 ~ 4 .
(1)
所以, ( , ) 为内积. 这样Rn 对于内积 ( , ) 就成为一个欧氏空间.
例2.C(a,b) 为闭区间 [a,b] 上的所有实连续函数
所成线性空间,对于函数 f ( x), g( x) ,定义
b
( f , g) a f ( x)g( x) dx
则 C(a,b) 对于(2)作成一个欧氏空间.
(2)
证: f ( x), g( x), h( x) C(a,b), k R
当 n 3 时,1)即为几何空间 R3中内积在直角
坐标系下的表达式 . ( , )即 .
§9.1 定义与基本性质
数学与计算科学学院
2)定义
( , ) a1b1 2a2b2 kakbk nanbn 易证( , )满足定义中的性质 1 ~ 4 .