高等代数课件讲解
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( f ( x ) g( x )) ( f ( x )) ( g( x ))
f ( x ) g( x ) 的首项系数 f ( x ) 的首项系数× g ( x ) 的首项系数.
3) 运算律
f ( x ) g( x ) g( x ) f ( x ) ( f ( x ) g( x )) h( x ) f ( x ) ( g( x ) h( x )) f ( x ) g( x ) g( x ) f ( x ) ( f ( x ) g( x ))h( x ) f ( x )( g( x )h( x )) f ( x )( g( x ) h( x )) f ( x ) g( x ) f ( x )h( x ) f ( x ) g( x ) f ( x )h( x ), f ( x ) 0 g ( x ) h( x )
j 0
加法： 若 n m, 在 g ( x ) 中令
bn bn1 bm 1 0
则
f ( x ) g( x ) (a i bi ) x i .
i 0 n i 0 n
减法： f ( x ) g( x ) (a i bi ) x i
乘法：
注： 多项式 f ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0 中，
i a x ① i 称为i次项，ai 称为i次项系数． n a x an 为首项 ② 若 an 0, 则称 n 为 f ( x )的首项，
系数，n 称为多项式 f ( x ) 的次数，记作 ( f ( x ))=n . ③ 若 a0 a1 an 0 ，即 f ( x ) 0，则称之 为零多项式．零多项式不定义次数．
高等代数课件
第一章 多项式
§1.2 一元多项式
代数与几何教研室
一、一元多项式的概念
1．定义 设 x是一个符号（或称文字），n 是一
个非负整数，形式表达式
an x n an1 x n1 a1 x a0
其中 a0 , a1 , an P , 称为数域P上的一元多项式． 常用 f ( x ), g ( x ), h( x ) 等表示．
3．多项式的运算：加法（减法）、乘法
f ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0 a i x i ,
n i 0 m
g( x ) bm x m bm 1 x m 1 b1 x b0 b j x j ,
n n1 即， f ( x ) an x an1 x a1 x a0 ,
g( x ) bm x m bn1 x m 1 b1 x b0 ,
f ( x ) g( x ) m n, ai bi , i 0,1,2, , n .
这与已知矛盾.
故 f ( x ) 0,
2 2 g ( x ) h ( x ) 0. 从而
又 f ( x ), g( x ) 均为实系数多项式 ，
从而必有 g( x ) h( x ) 0.
f ( x ) g( x ) h( x ) 0.
(2) 在 C上不成立．如取
x( g 2 ( x ) h2 ( x )) f 2 ( x ) 0,
2 2 g ( x ) h ( x ) 0. 于是 从而
( xg 2 ( x ) xh2 ( x )) ( x( g 2 ( x ) h2 ( x ))) 为奇数.
2 2 2 2 ( f ( x )) x ( g ( x ) h ( x )) f ( x ), 但 为偶数.
f ( x ) g ( x ) anbm x n m (anbm 1 an1bm ) x n m 1
(a1b0 aob1 ) x a0b0
n m
s 1 i j s
( ai b j ) x i
注:
f ( x ) g( x ) 中s 次项的系数为
as bo as 1b1 a1bs 1 a0bs
ai b j . i js
4．多项式运算性质
1) f ( x ) g( x ) 为数域 P上任意两个多项式，则
f ( x ) g( x ), f ( x ) g( x ) 仍为数域 P上的多项式．
2) f ( x ), g( x ) P[ x ] ①f ( x ) g( x ) 0, ( f g ) max( ( f ), ( g )) ② 若 f ( x ) 0, g( x ) 0, 则 f ( x ) g( x ) 0, 且
例1
设 f ( x ), g( x ), h( x ) R( x )
2 2 2 f ( x ) wenku.baidu.comg ( x ) xh ( x ), 则 (1) 证明: 若
f ( x )=g( x ) h( x ) 0
(2) 在复数域上(1)是否成立？
(1) 证：若 f ( x ) 0, 则
f ( x ) 0, g( x ) ix , h( x ) x
二、多项式环
定义 所有数域 P中的一元多项式的全体称为数域
P上的一元多项式环，记作 P[ x ] . P称为 P[ x ] 的系数域．
零多项式 f ( x ) 0 区别： 零次多项式 f ( x ) a , a 0 , ( f ( x ))=0.
2．多项式的相等
若多项式 f ( x ) 与 g ( x ) 的同次项系数全相等，则 称 f ( x )与 g ( x )相等，记作 f ( x ) g ( x ).
f ( x ) g( x ) 的首项系数 f ( x ) 的首项系数× g ( x ) 的首项系数.
3) 运算律
f ( x ) g( x ) g( x ) f ( x ) ( f ( x ) g( x )) h( x ) f ( x ) ( g( x ) h( x )) f ( x ) g( x ) g( x ) f ( x ) ( f ( x ) g( x ))h( x ) f ( x )( g( x )h( x )) f ( x )( g( x ) h( x )) f ( x ) g( x ) f ( x )h( x ) f ( x ) g( x ) f ( x )h( x ), f ( x ) 0 g ( x ) h( x )
j 0
加法： 若 n m, 在 g ( x ) 中令
bn bn1 bm 1 0
则
f ( x ) g( x ) (a i bi ) x i .
i 0 n i 0 n
减法： f ( x ) g( x ) (a i bi ) x i
乘法：
注： 多项式 f ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0 中，
i a x ① i 称为i次项，ai 称为i次项系数． n a x an 为首项 ② 若 an 0, 则称 n 为 f ( x )的首项，
系数，n 称为多项式 f ( x ) 的次数，记作 ( f ( x ))=n . ③ 若 a0 a1 an 0 ，即 f ( x ) 0，则称之 为零多项式．零多项式不定义次数．
高等代数课件
第一章 多项式
§1.2 一元多项式
代数与几何教研室
一、一元多项式的概念
1．定义 设 x是一个符号（或称文字），n 是一
个非负整数，形式表达式
an x n an1 x n1 a1 x a0
其中 a0 , a1 , an P , 称为数域P上的一元多项式． 常用 f ( x ), g ( x ), h( x ) 等表示．
3．多项式的运算：加法（减法）、乘法
f ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0 a i x i ,
n i 0 m
g( x ) bm x m bm 1 x m 1 b1 x b0 b j x j ,
n n1 即， f ( x ) an x an1 x a1 x a0 ,
g( x ) bm x m bn1 x m 1 b1 x b0 ,
f ( x ) g( x ) m n, ai bi , i 0,1,2, , n .
这与已知矛盾.
故 f ( x ) 0,
2 2 g ( x ) h ( x ) 0. 从而
又 f ( x ), g( x ) 均为实系数多项式 ，
从而必有 g( x ) h( x ) 0.
f ( x ) g( x ) h( x ) 0.
(2) 在 C上不成立．如取
x( g 2 ( x ) h2 ( x )) f 2 ( x ) 0,
2 2 g ( x ) h ( x ) 0. 于是 从而
( xg 2 ( x ) xh2 ( x )) ( x( g 2 ( x ) h2 ( x ))) 为奇数.
2 2 2 2 ( f ( x )) x ( g ( x ) h ( x )) f ( x ), 但 为偶数.
f ( x ) g ( x ) anbm x n m (anbm 1 an1bm ) x n m 1
(a1b0 aob1 ) x a0b0
n m
s 1 i j s
( ai b j ) x i
注:
f ( x ) g( x ) 中s 次项的系数为
as bo as 1b1 a1bs 1 a0bs
ai b j . i js
4．多项式运算性质
1) f ( x ) g( x ) 为数域 P上任意两个多项式，则
f ( x ) g( x ), f ( x ) g( x ) 仍为数域 P上的多项式．
2) f ( x ), g( x ) P[ x ] ①f ( x ) g( x ) 0, ( f g ) max( ( f ), ( g )) ② 若 f ( x ) 0, g( x ) 0, 则 f ( x ) g( x ) 0, 且
例1
设 f ( x ), g( x ), h( x ) R( x )
2 2 2 f ( x ) wenku.baidu.comg ( x ) xh ( x ), 则 (1) 证明: 若
f ( x )=g( x ) h( x ) 0
(2) 在复数域上(1)是否成立？
(1) 证：若 f ( x ) 0, 则
f ( x ) 0, g( x ) ix , h( x ) x
二、多项式环
定义 所有数域 P中的一元多项式的全体称为数域
P上的一元多项式环，记作 P[ x ] . P称为 P[ x ] 的系数域．
零多项式 f ( x ) 0 区别： 零次多项式 f ( x ) a , a 0 , ( f ( x ))=0.
2．多项式的相等
若多项式 f ( x ) 与 g ( x ) 的同次项系数全相等，则 称 f ( x )与 g ( x )相等，记作 f ( x ) g ( x ).