高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教(精)

都是本原多项式
f x g x c0 c1x ci j xi j cmn xmn .
若 f x g x 不是本原多项式，则存在素数p，使
p ck , k 1,2,, m n, 由于 f x , g x 都是本原多
项式，故 f x 的系数不能都被p整除，g x 的系数 也不能被p整除，
f x 在Z上可约，
g x b0 b1x bk xk ,
使 f x g x h x.
h x c0 c1x cl xl Z x ,
其中 k l n, 0 k , l n.
a0 b0c0 , p a0 故 p b0 或 p c0
除了ai b j 这一项外，p能整除其余各项， 因此
ci j , 这是一个矛盾， 故 f x g x 是本原多项式。
p
定理 1： 一个整系数n（n>0）次多项式 f x 在有理数域上可约的充要条件是它在整数环上可约。
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证：充分性显然。 下证必要性。 设 f x 可分解成 Q x 中两个次数都小于n的 多项式 g x 与h x 的乘积，即有 f x g x h x . 设 g x 的系数的公分母为m，则 mg x 是 一个整系数多项式，把 mg x 系数的公因式n
n 即 g x g1 x r g1 x . m
提出来， mg x ng1 x , g1 x 是本原多项式，
同理，存在有理数S，使 h x sh1 x , h1 x 也是本原多项式，
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引理（高斯定理）： 两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。 证： 设 f x a0 a1x ai xi an xn , an 0
g x b0 b1x bj x j bm xm , bm 0
n f x a a x a x 设 0 1 是整系数多项式， n
若存在素数p，使
① p ③ p2
an ;
② p a0 , a1,, an1,
则 f x 在Q上不可约。
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a0 ,
证（反证法）：
若 f x 在Q上可约 即存在：
2 p 但两者不能同时成立。
a0
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不妨设 p b0 但 p 由于 an bk cl ， 由 p
c0 。
an 知 g x 的系数不能都被p
整除， 假设 bs 是第一个不能被p整除的系数， 即 p b0 ,, p bs1, 但 p bs 现考虑
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q 由于 g1 x h1 x 是整系数多项式， p
问题 C上不可约多项式只能是一次，R上不可约多项 式只能是一次和含非实共轭复根的二次多项式，Q上 不可约多项式的特征是什么？下面的Eisenstein的判 别法回答了这个问题。 定理 2（Eisenstein判别法）：
由Eisenstein判别法知，Q上存在任意次不 可约多项式。 例1
xn p 是Q上不可约多项式，p是素数。
判断 f x x 10x 2,
6 3
解：取素数p即知。 例2
g x 5x4 6x3 12x 6
在Q上是否可约？ 解：分别取p=2, p=3即知。
第七章 多项式环
§7.8 有理数域上的不可约多项式
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本节讨论有理数域上多项式的可约性，以及如 何求Q上多项式的有理根，由于 f x 与 cf x 在 Q x 上的可约性相同。因此讨论 f x 在Q上的可约
性可转化为求整系数多项式在Q上的可约性。 一、整系数多项式的可约性 定义1（本原多项式）： 若整系数多项式 f x 的系数互素，则称 f x 是一个本原多项式。 例如：f x 3x2 6x 4, g x 5x2 1 是本原多项式。 本原多项式的加、减运算所得的未必是 本原多项式，但相乘之后必是本原多项式。
于是 f x g x h x r sg1 x h1 x
下证 r s 是一个整数， q 设 r s （p,q互素且p>0）， p
故p能整除q与 g1 x h1 x 的每一系数的乘积， 而p,q互素，故p能整除 g1 x h1 x 的每一系数， 但由引理1知，g1 x h1 x 是本原多项式， 故p=1，从而rs是一个整数。
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可设 p ar , r 0,1,, i 1, 现考虑
但p
ai ,
bj ,
p bs , s 0,1,, j 1, 但 p
ci j a0bi j ai1bj 1 aibj ai 1bj 1 ai jb0 .
as bs c0 bs 1c1 ห้องสมุดไป่ตู้b0cs , s n.
p bs , p c0 p bsc0 ,
但p能整除其它项，故 p as 与已知矛盾。 f x 在 Z x 中不可约 f x 在 Q x 中不可约。
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