扬州大学高等代数课件(北大三版)--第四章-矩阵教学提纲

a11 a12 L
a
21
a 22
L
M M
a s1 a s 2 L
a1n b11 b12 L a 2n b21 b22 L
M MM a sn b s1 b s 2 L
b1m
b2m
M
bsm
m)
性质5 max{r(A), r(B)}≤r(A, B)≤r(A)＋r(B).
高 等 特别： r(A)≤r(A,β)≤r(A)＋1，β为非零列向量.
A 和 B 的和，记为C A B
矩 矩阵加法： 阵 1. 具有相同行、列数的矩阵(即同型矩阵)方可相加；
2. 同型矩阵A, B的对应元素相加组成同型矩阵A＋B.
高 等
性质 1. 2.
A(BC) (AB)C； AB BA；
代
3. 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为Osn (0)sn,简记为O
数
A0 A；
n
➢ 矩阵乘法的意义： cij aikbkj ai1b1 j ai2b2 j L ainbnj ； k 1
a11 a12 L L L L
AB
i
ai1
ai 2
L
L L L
as1 as2 L
a1n L ain
b11
b21
M
L asn
bs1
M b1 j M b2 j MM M bsj
4. 矩阵(aij )sn 称为矩阵A(aij )sn 的负矩阵，记为A
A(A) 0；
* 由此引入矩阵减法运算：AB A(B)
4
例. 由产地A1，A2调运大米和面粉到销地B1，B2，B3
矩 的数量（吨）分别如 A，B 矩阵所示，则调运粮食总 阵 量可以由矩阵如下 A＋B 给出.（见下页）
高
等
B1 B2 B3
M b1n
M M
b2n M
L
M bsn
L
M M cij L M M
L i .
j
j
高 等 代
例1
1
A
1
0
0 1 5
1 3
1
2
0
,
4
0
B
1
3
1
3 2 1 2
4
1
,
1
1
数
1
C
AB
1
0
0 1 5
1 3
1
2 0 4
0 1 3 1
3 2 1 2
4
1
1
1
B1 B2 B3
代 数
A
3
2
7 1
2 A1
3
A2
B
1
3
2 1
4 A1
2
A2
4
3 7 2 1 2 4
A
B
2
1
3
3
1
2
B1 B2 B3
矩 阵
3 2
1 3
72 11
2 3
4 2
4 5
9 2
6 A1
5
A2
高 等 代 数
4
矩 阵
补充： 设 矩 阵
a11 a12 L
A sn ( 1 ,
2,
L
,
n)
a 21 M
a 22 M
L
a s1 a s 2 L
a1n
a2n M
,
a sn
b11 b12 L
B sm
( 1, 2 , L
,L
m
)
b
2
1
M
b22 M
L
b s1 b s 2 L
b1m
b2m M
,
bsm
定 义 矩 阵 C s(m n) ( Asn , B sm ) ( 1 , 2 , L , n , 1 , 2 , L ,L
作列变换： (－1)×cn+i＋ci上，则将矩阵(A＋B, B) 化
成矩阵 (A, B), 于是据性质6，就有
r(A＋B)≤r(A＋B, B) = r(A, B)≤r(A)＋r(B). 4
➢ 矩阵加法满足结合律，交换律；减法作为加法的逆
矩
运算，不是一个独立的运算；矩阵加(减)法中有关秩的 性质5，6是不同于我们以往所学代数运算性质研究的
4 A→A = (α1,···,αr,0, ···, 0)；B→B = (β1, ···,βt, 0, ···, 0), 即矩阵(A, B)经过列变换化成为(A ，B)，而(A ，B)中
只含有r + t个非零列 → r(A ，B)≤ r + t → r(A, B) =
矩 r(A ，B)≤ r + t，即 r(A,B) ≤ r + t . 阵
1 0 0 1 ( 1) 3 2 ( 1) 6
7
4
( 1) 0 1 1 3 3 0 1
0 0 5 1 ( 1 ) 3 4 1
2
6ห้องสมุดไป่ตู้
.
1 7 1 0
矩阵乘法： 两矩阵A = (aik)，B = (bkj)相乘为AB = (cij)
矩 阵
1. A的列数 = B的行数，两矩阵A，B方可相乘； 2. AB的第 i 行、第 j 列元素cij等于A的第 i 行与B的 第 j 列对应元素乘积的和 .
L
b2n
，则
M
as1 as2 L asn
bs1 bs2 L bsn
a11 b11 a12 b12 L a1n b1n
4
矩阵 C
（cij）sn
(aij
bij )sn
a21
b21 M
a22 b22 M
L
a2n
b2n
称为矩阵
M
as1 bs1 as2 bs2 L asn bsn
高 实例： 设
等
x1 a11 y1 a12 y2 a13 y3
高
性质6 r(A ＋ B)≤r(A) ＋ r(B)
等 证明： 设A，B均为 s×n 矩阵，且
代
A = (α1, α2, ···, αn), B = (β1, β2, ···, βn).
数 对矩阵 (A＋B, B) =
(α1 +β1, α2+ β2, ···, αn+ βn, β1, β2, ···, βn)
高 等 代
数 扬州大学高等代数课件(北大三 版)--第四章-矩阵
4
矩 阵
高
一、 矩阵的加法
等 定义1 设数域 P 上的 sn 矩阵 A, B 为
代
a11 a12 L a1n
b11 b12 L b1n
数
A (aij )nn
a21 M
a22 M
L
a2n
M
,
B
(bij )sn
b21
M
b22 M
代 证明：矩阵A的最高阶非零子式总是(A, B)的非零子式 →
数
r(A)≤r(A, B). 同理可以推出 r(B)≤r(A, B) →
max(r(A), r(B))≤r(A, B).
设r(A) = r, r(B) = t, 把A，B分别作列变换化成列阶
梯形矩阵A，B , 则A，B分别含r个和t个非零列，可设
阵 两个独特的性质，应特别予以重视.
高 等 代 数
4
矩 阵
二 矩阵乘法
定义 2 前提： A (aik )sn , B (bkj )nm ；
n
法则： AB = C (cij )sm ，其中 cij ai1b1 j ai2b2 j L ainbnj aikbkj k 1
称 C 为 A，B 的乘积.