有限元第二章课后题答案

2 弹性力学问题的有限单元法

思考题

2.1 有限元法离散结构时为什么要在应力变化复杂的地方采用较密网格，而在其他地方采用较稀疏网格？

答：在应力变化复杂的地方每一结点与相邻结点的应力都变化较大，若网格划分较稀疏，则在应力突变处没有设置结点，而使得所求解的误差很大，若网格划分较密时，则应力变化复杂的地方可以设置更多的结点，从而使得所求解的精度更高一些。

2.2 因为应力边界条件就是边界上的平衡方程，所以引用虚功原理必然满足应力边界条件，对吗？

答：对。

2.3 为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题？弹性力学中受内压和外压作用的圆环能用有限元方法求解吗？为什么？答：有限元法是一种位移解法，故只能求解位移边值问题和混合边值问题。而应力边值问题没有确定的位移约束，不能用位移法求解，所以也不能用有限元法求解。

2.4 矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗？

答：能。矩形单元的插值函数满足单元内部和单元边界上的连续性要求，是一个协调元。矩形的插值函数只与坐标差有关，旋转一个角度后各个结点的坐标差保持不变，所以插值函数保持不变。因此矩形单

元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调。

2.5 总体刚度矩阵呈带状分布，与哪些因素有关？如何计算半带宽？ 答：因素：总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最大结点号与最小结点号的差有关。

计算：设半带宽为B ，每个结点的自由度为n ，各单元中结点整体码的最大差值为D ，则B=n(D+1)，在平面问题中n=2。 2.6 为什么单元尺寸不要相差太大，如果这样，会导致什么结果？ 答：由于实际工程是一个二维或三维的连续体，将其分为具有简单而规则的几何单元，这样便于网格计算，还可以通过增加结点数提高单元精度。在几何形状上等于或近似与原来形状，减小由于形状差异过大带来的误差。若形状相差过大，使结构应力分析困难加大，误差同时也加大。

2.7 剖分网格时，在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点或单元边界，试说明理由。

答：有限元处于弹性力学问题的方法是离散法。它将一个受外力作用的连续弹性体离散成一定数量的有限小的单元集合体，单元之间只在结点上相互联系，即只有结点才能传递力。所以在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点和单元边界。

2.8 为什么说三角形三结点单元是常应变单元，如果在每边中点增加一个结点，那么单元内应力如何分布？

答：(1)应变矩阵[B]中的参数m j i m j i c c c b b b 、、、、、由坐标变量x 、y 之差确定。当单元的坐标差确定之后，这些参数与坐标变量x 、y 无关，

因此[B]为常量阵。当单元的结点位移{a}确定后，由[B]转换求得的单元应变都是常量，也就是说在荷载作用下单元中各点具有统一的

xy y x γεε、

、

值。因此三结点三角形单元称为常应变单元。

(2)如果在每边中点增加一个结点，单元内的应力为线性分布。

习 题

2.1试证明x 、y 与面积坐标的关系 证明:设P 点坐标为（x,y ）

j j

pij

y x y

x

y x A i

i

1

11

21=

()()()()[]()y c x b a y x x x y y y x y x xy y x y x y x x y y x m m m i j j i i j j i j i j i j i j i ++=-+-+-=---++=2

1

21

21

同理可求得：

由面积坐标定义得：

()y c x b a A

A A L i i i ijm

Pjm i ++==21

()

()y c x b a y x y x y x A y c x b a y x y x y

x

A j j j i

i

m m pmi

i i i m

m j j

pjm

++==++==2

1

1

11

2121

1112

1

()y c x b a A

A A L j j j ijm Pmi j ++=

=

21

()y c x b a A

A A L m m m ijm

Pij m ++==

21

由此推出坐标y x 、与面积坐标的函数关系：

()()22j i i j j i i j i j j i m j j m m j m j m j j m A c L c L a c a c x b c b c A b L b L a b b a y b c b c ⎧-+-=

⎪-⎪

⎨

-+-⎪=⎪-⎩

式（2.1）

面积：

m i i m j m m j i j j i m j i c b c b c b c b c b c b a a a A -=-=-=++=2

代入式（2.1）有：

m

j j m m j j m j m m j i j j i j i i j j i i j c b c b b a b a L b L b y c b c b c a c a L c L c x --+

-=--+

-=

其中形状参数由下式确定：

m

j m

j

i m j m

j

i j m m j m

m j

j

i x x x x c y y y y b y x y x y x y x a +-==-=-

=-==

111

1

代入上式（2.1）可转化为：

m m j j i i m m j j i i L y L y L y y L x L x L x x ++=++=

再加上 m j i L L L ++=

1 所以用面积坐标表示直角坐标矩阵形式如下：

⎪⎭

⎪⎬

⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧m j i m j

i

m j i L L L y y y x x x y x 111

1 2.

2 试证明两相似三角形的单元刚度矩阵相同。

证明：由于两个三角形相似，故设h A A =2

1

， h 为一常数。 三角形：()11112

1

i j ji i c b c b A -=

111111i m j m j i y y b y y b -=-=

1111

11i m j m j i x x c x x c +-=+-=

参数 j i j i c c b b 、、、，只与坐标差有关，所以