3-1平面任意力系向作用面内一点简化教案
第三章平面任意力系(授课)PPT资料126页
M A1 2q2l0.70F7 lM
2、平面平行力系的平衡方程
Fx 0 Fx 0 Fy 0
0 0 0 0
F 1 c o F 2 c s o F 3 c s o 0 s
F s i F n s i F n s i n 0
1
2
3
题例3-5
一种车载式起重机，车重P1= 26 kN，起重机伸臂重P2 = 4.5 kN，起重机的旋转与固定部分共重P3 = 31 kN。尺寸如 图所示。试求车子不致翻倒的最大起吊重量Pmax 。
1. 静定和超静定的概念
如果所考察的物体的未知约束力数目恰好等于独立平 衡方程的数目，那些未知数就可全部由平衡方程求出，这 类问题称为静定问题。
若未知约束力的数目多于独立平衡方程的数目，仅仅 用刚体静力学平衡方程不能全部求出那些未知数，这类问 题称为超静定（或静不定）问题。
F
P
图（a）
P
图（c）
P 1 2 P ( 2 .5 3 ) P 2 2 .5 0
求解得
Pmax7.5kN
§3-3 物体系的平衡·静定和超静定问题
前面讨论了平面问题中几种力系的平衡问题。对应于 每一种力系，其独立的平衡方程数目都是一定的，平面任 意力系有三个，平面汇交力系和平面平行力系各有两个， 平面力偶系只有一个。因此，对于每一种力系，能求解的 未知数的数目也是一定的。
0.76k8N
2m
所以，主矢的大小
FR FR x2FR y20.79k4N
主矢的方向：
coF sR ,iF FR R x 0.614
F R ,i5.1 2
2. 求主矩MO M O M OF
2m
y
F2
A 60
°
第三章平面任意力系
第三章 平面任意力系平面任意力系：各力的作用线在同一平面内且任意分布（既不完全平行也不完全相交于一点）。
一、 本次课研究的问题： 1、平面任意力系向平面内一点简化。
2、平面任意力系简化结果分析。
3、平面任意力系的平衡条件和平衡方程。
4、平面平行力系的平衡方程。
二、学习要求： 学习平面任意力系向平面内一点简化及简化结果分析，掌握平面任意力系的平衡条件和平衡方程。
三、教学重点、难点： 1、重点：平面任意力系的简化和平面任意力系的平衡。
2、难点：平面任意力系的简化及结果分析。
四、教学方法： 理论推导与事例相结合。
§3-1 平面内任意力系向平面内一点简1、 力线平移定理定理：可以把作用在刚体上点A 的力F平行移到任一点B ，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B 的矩。
证明：如图3-1（a ）中，力F作用于刚体A 点。
在刚体上任取一B 点，并在B 点加一队平衡力F F ''' ,，且F F F =''-=',如图3-2(b)。
则F F'',为一力偶，这样，就把作用于A 点的力平移到了另一点B 点，但同时附加了一个相应的力偶图3-1()F F'',，如图3-3（c ）,这个力偶称为附加力偶。
附加力偶之矩为()F M Fd M B==反之，此过程也可逆向使用，将平面内的一个力和一个力偶用作用在平面内另一点的力来等效替换。
例：①乒乓球、足球中的弧线球；②如图3-2,厂房柱受偏心载荷F作用，将力平移至柱轴线成为力F'和矩为M 的力偶，柱除受压缩作用外还受弯曲的作用；③如图3-3，攻丝时，要求必须用两手握扳手，且用力要相等。
为什么不许用一只受扳扳手呢?2、平面任意力系向平面内一点简化---主矢和主矩设刚体上作用着平面任意力系,,,321F F F如图3-4（a ）所示。
在平面内任取一点O ，称为简化中心；应用力线平移定理，把各力都平移到点O 。
精品教案：平面任意力系
第三章 平面任意力系教学要求：1、了解平面任意力系向一点简化的方法，掌握平面任意力系平衡方程的各种形式。
2、熟练掌握在平面任意力系作用下，物体或简单物体系平衡问题的计算方法。
3、掌握平面平行力系平衡方程及解题方法。
工程中经常遇到平面任意力系的问题，即作用在物体上的力的作用线都分布在同一平面内，并呈任意分布。
当物体所受的力都对称于某一平面，可将它视作平面任意力系问题。
例：行驶中的汽车，受重力，地面对轮子的支承力、摩擦力等作用，所受力对称于纵向对称面，作用线任意分布。
§3-1 平面任意力系向作用面内一点简化力系向一点简化是一种较为简便并具有普遍性的力系简化方法。
此方法的理论基础是力的平移定理。
一、力的平移定理定理：可以把作用在刚体上点A 的力F 平移到任一点B ，但必须同时附加一力偶，该力偶的矩等于原来的力F 对新作用点B 点的矩。
证：图中F ’=F ’’=F ，M =M B (F )反过来，根据力的平移定理，也可以将平面内的一个力和一个力偶用作用在平面内另一点的力来等效替换。
力的平移定理可解释一些实际问题，例：攻丝时，要求两手握扳手，而且用力要相等，不允许用一只手扳动扳手。
因为作用在扳手一端的力F 与作用在中点的力F’和力偶矩为M 的力偶等效，这个力偶使丝锥转动，这个力F’往往使攻丝不正，甚至折断丝锥。
二、平面任意力系向作用面内一点简化·主矢和主矩有一平面任意力系：F 1、F 2、F 3，向作用面内任一简化中心O 点简化。
先将各力平移至点O ，得：F’1、F’2、F’3、M 1、M 2、M 3，M 1= M O (F 1)，M 2= M O (F 2)，M 3= M O (F 3)合成得主矢： F’R = F’1+ F’2+ F’3= F 1+ F 2+ F 3=∑F i 主矩： M O = M 1+ M 2+ M 3=∑M O (F i )一般情况下，平面任意力系向作用面内任一点简化，可得一个主矢和一个主矩，主矢等于各力的矢量和，它与简化中心的选择无关；主矩等于各力对简化中心之矩的矩的代数和，它与简化中心的位置有关。
论力学第三章课件
FAx
MA
FAy
解：取ABD为对象，受力图如图示。 其中Fq=1/2×q×3l=30kN
∑X=0： FAx+Fq–Fsin600=0
∑Y=0: FAy–P–Fcos600=0
MA–M–Fql+Fcos600l+Fsin6003l=0
解得：FAx=316.4kN； FAy=300kN MA=–1188kN.m (与图示转向相反）
静力学/第三章：平面任意力系
■ 平衡方程的其它形式
1 二矩式： X = 0
B
A
x
C
A
A、B 连线不垂直 于x 轴
A、B、C 三点不 在同一条直线上
附加条件：
附加条件：
B
2 三矩式：
静力学/第三章：平面任意力系
■二矩式的证明：
必要性
即
力系平衡
二矩式成立
由力系平衡→
F1
F2
F3
Fn
二、 平面任意力系向一点简化，主矢和主矩
1、 简化 思路：用力的平移定理将各力移至同一点,然后再合成。
将每个力向简化中心O平移
任选一个 简化中心O
其中：
O
因此：
平面任意力系
平面汇交力系
+ 平面力偶系
O
F1’
M1
F2’
M2
F3’
M3
Fn’
Mn
静力学/第三章：平面任意力系
向O点简化
F1
静力学/第三章：平面任意力系
几点讨论： 根据题意选择研究对象 分析研究对象的受力情况，正确地画出其受力图 研究对象与其他物体相互连接处的约束，按约束的性质表示约束反力 正确地运用二力杆的性质和三力平衡定理来确定约束反力的方位
平面任意力系的简化及重心
F
当钉子打偏的时候， 会发生什么现象？ 使钉子弯曲的作 用来自哪里呢？
F (a) (b)
F
两圆盘运动形式是否一 样？二者之间有什么联系呢？
两个问题的相同之处在于：
如何将一个力等效地平移到另外一点？
§3-1
平面任意力系向作用面内一点的简化
1.力的平移定理
F′
F B d A F′′ M F′
B
M O M O ( Fi ) ( xi Fyi yi Fxi )
i 1 i 1
n
n
实例 分析
平面固定端约束（插入端）
约束特点： 既不能移动，又不 能转动。
固定端约束简图
=
=
≠
=
§3-2
平面任意力系的简化结果分析
● F′ R≠ 0，MO=0 ● F′R=0，MO=0
● F′ R=0，MO≠0
xdV ,
V
V
yC
V
ydV V
, zC
zdV
V
V
曲面：
xC xdA ,
A
A
yC
A
ydA A
, zC
zdA
A
A
曲线：
xC xdl ,
l
l
yC
ydl ,
l
l
zC
zdl
l
l
均质物体的重心就是几何中心，通常称——形心
3. 确定物体重心的方法 （1）简单几何形状物体的重心 例题9
xi Ai x1 A1 x2 A2 x3 A3 xc 19.65mm Ai A1 A2 A3
（3）用实验方法测定重心的位置 (a) 悬挂法
工程力学-平面任意力系的简化教案
工程力学-平面任意力系的简化教案第一篇：工程力学-平面任意力系的简化教案一、导入1、平面任意力系引论2、特殊力系二、新授2.1平面任意力系的简化2.1.1平面任意力系向一点简化1.主矢(平面汇交力系各力的矢量和)：F=F+F+⋅⋅⋅+F'''R12'12'n=∑F=F+F+⋅⋅⋅+F=∑F n在平面直角坐标系oxy中，根据合力投影定理F=F+F+⋅⋅⋅+F'''Rx1x2x'xx12x'nx =∑F=F+F+⋅⋅⋅+F=∑F nxxF=F+F+⋅⋅⋅+F'''Ry1y2y'y1y2y'ny =∑F=F+F+⋅⋅⋅+F=∑Fnyy '2'2主矢大小：FR'=(FRx)+(FRy)=(Fx)2+(Fy)2Fy∑主矢方向：tanα=∑FX2.主矩(附加平面力偶系的合力偶):M=M+M+⋅⋅⋅+Mo12o1o2n =M(F)+M(F)+⋅⋅⋅+M(F)on =∑M(F)=∑Mo注意：(1)一般情况下主矩与简化中心O位置的选择有关(2)原力系与主矢和主矩的联合作用等效。
3.结论：平面力系向一点（简化中心）简化的一般结果是一个力和一个力偶；这个力作用于简化中心，称为原力系的主矢，它等于原力系中所有各力的矢量和；这个力偶称为原力系对简化中心的主矩，它等于原力系中所有各力对于简化中心力矩的代数和。
2.1.2 简化结果的讨论1．主矢F，主矩 M(一般情况)合力的大小 F、方向与主矢 F 相同；合力F 的作用线与简化中心O点的垂直距离D=M/F 2.主矢F 不等于0，主矩 M=0 3.主矢F =0，主矩 M不等于0 4.主矢F =0，主矩 M=0平面任意力系平衡的必要和充分条件为：主矢F =0 主矩M=0 例2.1 一端固定于墙内的管线上受力情况及尺寸如图2.3a所示，已知F1=600N，F2=100N，F3=400N。
理论力学3平面任意力系的简化与求解
4.2.2 平行分布线荷载的简化
1、均布荷载 Q ql 2、三角形荷载 Q 1 ql
2
3、梯形荷载
可以看作一个三角形荷载和一 个均布荷载的叠加 结论：
1、合力的大小等于线荷载所组成几何 图形的面积。
2、合力的方向与线荷载的方向相同。 3、合力的作用线通过荷载图的形心。
Q q
l/2 l/2 Q q
代入(2)式解出 F A y Q P F Tsin 2 .1 k N
例3 F A x F T c o s 0
( 1 ) C
F A y F Tsin P Q 0(2 )
FTsinlP2 lQ a0 (3) FAx
FAy
如果再分别取B和C为矩心列平衡方程得
FCx
FBy
l/2
M B (F ) 0 :M F C yl 0
q0
A
FCy
M2kN l
求得结果为负说明与假设方向相反。
(例2) 取1C2D分析
FDy D FDx
CF
F'Cx
F'Cy
q0
M D (F )0: F C xlF2 3 l0
FCx
2F4kN 3
FAx
FAy
B
FBx
FBy
a
例5
再以AC为研究对象，受力如图。
M C (F ) 0 :F A x a F A y a 0
解得：
FAx FAy 1 4qa1 2F
F
C
FCx
A
FAx
FCy
FAy
FBx 12F14qa
q F
C
a
A
B
a
a
例6 例6 求图示多跨静定梁的支座反力。
哈工大理论力学教案 第三章
求: A,B处的约束力.
解: 取整体,画受力图.
M 0 12FBy 10P 6P1 4P2 2P 5F 0 F 0 FAy FBy 2P P1 P2 0 F 0 FAx F FBx 0
A
y
x
FAy 72.5kN
FBy 77.5kN
3
P （2） 3 180kN，轨道 AB给起重机轮子的约束力。
解： 取起重机，画受力图.
满载时， FA 0,
为不安全状况
MB
0
P3min 8 2P 10P2 0 1
解得
P3 min 75kN
空载时， FB 0, 为不安全状况
M
A
0
4 P3 max 2 P 0 1
q 20 kN m , F 400kN , l 1m
求： 固定端 A 处约束力. 解： 取 T 型刚架，画受力图. 1 F1 q 3l 30kN 其中 2
Fx 0 FAx F1 F sin 60 0
Fy 0 FAy P F cos 60 0
M A 0 M B 0 M 0 C
三矩式 三个取矩点，不得共线
2.平面平行力系的平衡方程
Fx 0
Fx 0
Fy 0
0 0 0 0
F1 cos θ F2 cos θ F3 cos θ 0
F1 sin θ F2 sin θ F3 sin θ 0
自重与摩擦,系统在图示位置平衡; 力偶矩 M 的大小，轴承 O 处的约 束力，连杆 AB受力，冲头给导 轨的侧压力. 取冲头 B ,画受力图.
平面任意力系(工程力学课件)
解：① 选AB梁为研究对象
qF
② 画受力图
FAy
qF
A
B
M
2a
a
FAx A
M
B FB
列平衡方程
M A(F)
0
F
2a q 2a a M
FB
3a
0
FB
5qa 3
Fx 0
Fy 0
FAx 0
FB FAy F 2qa 0,
FAy
4 qa 3
均布载荷
课堂练习 图示为悬臂梁的平面力学简图。已知梁长为2l，作用均布载荷q，
(2)建立直角坐标系，矩心选在A点，列平衡方程得：
MA (F ) 0
l FT sin 30l G1 2 G2 x 0
FT
G1
2G2 x l
34kN
Fx 0 FAx FT cos 30 0
FAx FT cos 30 29.4kN
平面任意力系的
平衡方程及其应用
Fy 0 FAy G1 G2 FT sin 30 0
FAy F ql 2ql
物体系统的平衡
物体系统的平衡
一、静定与静不定(超静定)问题的概念
平面汇交力系
Fx Fy
0 0
两个独立方程，只能求解两个未知数。
平面力偶系 M 0 一个独立方程，只能求解一个未知数。
平面平行力系
Fy 0
M o F
0
两个独立方程，只能求解两个未知数。
平面任意力系
ab
Gb cos
ab
平面任意力系的 平衡方程及其应用
三、平面平行力系的平衡方程
平面平行力系：各力的作用线共面且相互平行的力系。
平面平行力系是平面任意力系的特例，
第三章平面力系
(3)若FR‘≠0，MO‘≠0，这时根据力的平移定理的 逆过程，可以进一步简化成一个作用于另一点 的合力。
(4) FR‘=0，MO‘=0，则力系是平衡力系 。 综上所述，平面一般力系简化的最后结果 (即合成结果)可能是一个力偶，或者是一个合 力，或者是平衡。 3-1-3合力矩定理 当FR‘=0，MO‘≠0 时，还可进一步简化为一 M o ( FR ) FR d 合力，合力对点的矩是 / / 而 Mo mo ( F ) FR d M o 所以 Mo (FR ) mO (F )
3-1-2简化结果的分析 平面一般力系向一点简化，一般可得到一 个力和一个力偶，但这并不是最后简化结果。 根据主矢与主矩是否存在，可能出现下列几种 情况： (1)若FR‘=0，MO‘≠0，说明原力系与一个力偶等 效，而这个力偶的力偶矩就是主矩。 (2)若FR‘≠0，MO‘=0 ，则作用于简化中心的主 矢FR'就是原力系FR的合力，作用线通过简化中 心。
228 .9kN m
计算结果为正值表示是逆时针转向。
因为主矢
≠0，主矩 FR
/ Mo ，如图 0 (b)所示，
所以还可进一步合成为一个合力FR。 FR的大小、 方向与FR‘相同，它的作用线与点的距离为
M O 228.9 d 0.375m FR 612.9
因为MO正，故m0(FR)也应为正，即合力FR 应在点O左侧，
X
F F
0
二力矩形式的平衡方程 (简称二矩式)
在力系作用面内任取两点A、B及X轴，平 面一般力系的平衡方程可改写成两个力矩方程 和一个投影方程的形式，即
F m m
X
0 0 0
A
B
式中轴不与A、B两点的连线垂直。
平面任意力系简化
静力学研究的两个基本问题
1.作用于物体上的力系的简化 2.力系的平衡条件
平面任意力系：力系中各力的作用线处于同一 平面内,但即不平行也不汇交
第三章 平面任意力系
§3.1 平面任意力系的简化
刚体上平面力系 F1、F2、…、Fn O Mn F2′ F1′ M2 M1 Fn 将各力平移到O点（简化中心） 得到汇交于O点的一 个平面汇交力系 F1′=F1 F2′=F2 … Fn′=Fn
第三章 平面任意力系
§3.2 平面任意力系的简化结果分析
三、FR′≠ 0，MO≠0 此时可进一步简化为一个合力 O d O′ FR
平移 FR′到O′点
FR = FR′= ∑F MO′ = FR′.d 如果 MO′ = MO d = MO /FR′
则FR 称为原力系的合力
此时 MO（FR） = FR.d = MO = ∑MO（Fi）
Fn′
F1 F2
和一个平面力偶系 M1=MO（F1）
M2=MO（F2） … Mn=MO（Fn）
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第三章 平面任意力系
平面汇交力系 F1′=F1
F2′=F2 … Fn′=Fn O
Mn
M2
M1 FR′
—可合成为一个力FR′ （主矢量） FR′= F1′+ F2′+ …+ Fn′=∑F ′ = F1+ F2+ …+ Fn=∑F
= ∑MO（Fi）
平面任意力系向一平面内任一点简化，一般 可得到一个力和一个力偶。力通过简化中心， 为力系中各力的矢量和，力偶的矩等于力系 中各力对简化中心之矩的代数和。
第三章 平面任意力系
§3.2 平面任意力系的简化结果分析
第三章：平面任意力系
第三章平面任意力系一、要求1、掌握平面任意力系向一点简化的方法。
会应用解析法求主矢和主矩。
熟知平面任意力系简化的结果。
2、深入理解平面任意力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。
3、能熟练地计算在平面任意力系作用下物体和物体系的平衡问题。
4、理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法。
二、重点、难点1、本章重点：平面任意力系向作用面内任一点的简化，力系的简化结果。
平面任意力系平衡的解析条件，平衡方程的各种形式。
物体及物体系平衡问题的解法。
2、本章难点：主矢与主矩的概念。
物体系的平衡问题。
三、学习指导1、力的平移定理，是力系向一点简化的理论基础。
一个力平移后，它对物体的作用效果发生了改变，要想保持原来力的作用效果，必须附加一个力偶。
2、平面任意力系向一点简化的方法：平面任意力系向一点简化，是依据力的平移定理，将作用在物体上的各力向任一点（称为简化中心）平移，得到作用在简化中心的一个平面汇交力系和平面力偶系（附加力偶系）。
两个力系合在一起与原力系等效。
这样，一个复杂的力系就分解成了两个简单的力系。
然后，分别求平面汇交力系的合力和平面力偶系的合力偶，则原力系由作用在简化中心的一个力和一个力偶所代替，该力的大小和方向等于力系的主矢，该力偶的力偶矩等于力系的主矩。
于是，平面任意力系的简化就成了计算力系的主矢和主矩的问题。
3、主矢和主矩：平面任意力系中，各力的矢量和称为力系的主矢，即平面任意力系中，各力对于简化中心的力矩的代数和称为力系的主矩，即关于主矢和主矩，需要弄清楚以下几点：（1）主矢不是力，主矩不是力偶。
主矢和主矩是描述平面任意力系对物体作用效果的量。
（2）主矢是自由矢量，只有大小和方向，描述平面任意力系使物体平动的作用效果。
平面任意力系的主矩是代数量，只有大小和正负，描述平面任意力系使物体绕点转动的作用效果。
（3）主矢与简化中心的选择无关。
从这个意义上讲，主矢是力系的一个不变量。
主矩与简化中心的选择有关。
工程力学-平面任意力系的简化教案
一、 导入1、平面任意力系引论2、特殊力系二、 新授2.1 平面任意力系的简化2.1.1 平面任意力系向一点简化1.主矢 (平面汇交力系各力的矢量和)：∑∑=+⋅⋅⋅++==+⋅⋅⋅++=F F F F F FF F F nnR21'''2'1'在平面直角坐标系oxy 中，根据合力投影定理∑∑=+⋅⋅⋅++==+⋅⋅⋅++=xnxxx xnxx xRxF F F F F FF F F 21'''2'1'∑∑=+⋅⋅⋅++==+⋅⋅⋅++=ynyyyynyy yRyFF F F F FF F F 21'''2'1')主矢大小：222'2'')(()()(y x Ry Rx R F F F F F +=+=∑主矢方向：∑=Xy F F αtan2.主矩 (附加平面力偶系的合力偶):∑∑==+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++=MM M M M MM M M onooono)()()()(2121F F F F 注意：(1)一般情况下主矩与简化中心O 位置的选择有关(2)原力系与主矢和主矩的联合作用等效。
3. 结论：平面力系向一点（简化中心）简化的一般结果是一个力和一个力偶；这个力作用于简化中心，称为原力系的主矢，它等于原力系中所有各力的矢量和；这个力偶称为原力系对简化中心的主矩，它等于原力系中所有各力对于简化中心力矩的代数和。
2.1.2 简化结果的讨论 1．主矢F ，主矩 M (一般情况)合力的大小 F 、方向与主矢 F 相同；合力F 的作用线与简化中心O 点的垂直距离D=M/F2. 主矢F 不等于0，主矩 M=03. 主矢F =0，主矩 M 不等于04. 主矢F =0，主矩 M=0平面任意力系平衡的必要和充分条件为：主矢F =0 主矩M=0例2.1 一端固定于墙内的管线上受力情况及尺寸如图2.3a 所示，已知F 1=600N ，F 2=100N ，F 3=400N 。
第3章 平面任意力系
,i
FRx FR
0.614,
FR , i 52.1
A
cosFR
,
j
FRy FR
0.789,
2. 求主矩MO
FR , j 37.9
MO O
FRF R
MO MO F
2F2 cos 60 2F3 3F4 sin 30 0.5 kN m
由于主矢和主矩都不为零，所以最后合
成结果是一个合力FR。如右图所示。
M
F
q
45
B
A
l
24
例题3-6
A
y
FAx
A
MA FAy
解： 取梁为研究对象，受力分析如图
由平衡方程
M
F
Fx 0, FAx F cos 45 0
q
45
B
Fy 0, FAy ql F sin 45 0
l
M AF 0,
MA
ql 2 2
Fl cos
45
M
0
解方程得
q
M 45 F FAx F cos 45 0.707 F
FR FR
合力FR到O点的距离
d MO 0.51 m FR
B x
C
12
例题3-2
水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。
载荷的最大集度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。
A l
解：
q
在梁上距A端为x的微段dx
B x 上，作用力的大小为q'dx，其
中q'为该处的载荷集度 ，由相
似三角形关系可知
F
A
B
C
D
20
例题3-4
A
平面力系向一点简化
Ø平面力系向一点简化Ø平衡条件和平衡方程Ø超静定问题的基本概念重点: 物体系的平衡1. 力线平移定理()F B M M=加减平衡力系，两者等效F 和F'组成了力偶n作用在刚体上力可平行移到任一点，平移时需附加一个力偶，附加力偶矩等于力对平移点的矩。
力线平移定理2．平面一般力系向一点简化∑=′++′+′=′i n RF F F F F L 21()∑=+++=i O n O F M M M M M L 21（1）主矢力系中各力的矢量和。
F ’R =∑F i =∑X i ＋∑Y j 对于给定的力系，主矢唯一.（2）主矩力系中各力对简化中心之矩的代数和。
M O =∑M O (F i ) 力系主矩与简化点位置有关.力系的主矢和主矩：n结论: 平面力系向作用面内任一点简化，得到一个合力和一个合力偶。
合力的大小和方向等于力系的主矢，合力偶的矩等于力系对简化中心的主矩。
平面力系向一点简化的三种结果（1）主矢、主矩均为零——平衡（2）仅主矢为零——表示不管向哪一点简化结果均为一个力偶（3）仅主矩为零——简化为一个力（该点通过力系的力心线）主矢为零注意：主矢的唯一性；主矩的相对性！①平衡（主矢、主矩均为零）②简化为一个力偶（主矢为零）③简化为一个力（该点为力心）3.平面力系简化三种结果主矢为零思考题：如果某力系向某点简化的结果为：主矢、主矩均不为零，则该力系等效于上述三种简化结果中的哪一种？第二节平面力系的平衡条件和平衡方程平面力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和主矩都等于零。
•F’R =0 ，MO=02．平面力系的平衡方程（多形式）1．平面力系的平衡条件p力系中各力在坐标轴上投影的代数和分别等于零，各力对任意点之矩的代数和等于零。
p 三个独立的平衡方程，可解三个未知量。
Ø∑X =0Ø∑Y =0Ø∑M O (F )=02．平面力系的平衡方程（多形式）…（一矩式）_平衡方程的其它形式1）二矩式Ø∑M A(F)=0Ø∑M B(F)=0Ø∑X=0Ø式中A，B连线不能与x轴垂直。
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河南省中等职业学校
省级优质课参赛教案
学校名称：南阳建筑工程学校
课程名称：建筑力学（少学时）
授课题目：平面任意力系的简化
授课班级：11级4班
授课时间：2012年3月
授课教师：徐宠尧
2012年5月
南阳建筑工程学校《建筑力学（少学时）》课程授课教案
任课教师：徐宠尧 授课班级：11级4班 授课时数：1学时
教学课题：第三章 平面力系 第一节 平面任意力系的简化 教学目的、要求： 掌握平面任意力系向一点简化的方法 会应用解析法求主矢和主矩 熟知平面任意力系简化的结果 教学重、难点：
重点：1、平面任意力系向作用面内任一点的简化 2、力系的简化结果 难点：主矢和主矩的概念
教学过程及内容： 复旧导新：通过课堂提问及举例,对力的平移定理,加减力系平衡原理等静力学公理加以回顾,从而引入本节讲授内容的理论基础。
讲授新课：§3-1 平面任意力系向作用面内一点简化及其结果分析
一、概述：
各力的作用线分布在同一平面内的任意力系称为平面任意力系，简称平面力系。
平面力系的研究不仅在理论上而且在工程实际应用上都具有重要意义。
首先，
平面力系是工程中常见的一种力系。
另外许多工程结构和构件受力作用时，虽然力的作用线不都在同一平面内，但其作用力系往往具有一对称平面，可将其简化为作用在对称平面内的力系。
下面介绍的方法是力系向一点简化的方法。
这种方法不但简便，易于分析简化结果，而且可以扩展到空间力系中去，力的平移定理是力系向一点简化的理论基础。
1、力的平移定理
' F ⇔
⇔
'
（3） (2) (1)
定理：可以把作用在刚体上点O ′的力平移到任一点O ，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的力偶矩等于原力对新作用点O 的力矩.
证明：设一个力F ' 作用于刚体上的O ′点，如图（1）所示在刚体上任取一点O ，此点到力F '
作用线的距离为d ，在O 点加上大小相等、方向相反而且与力F ' 平行的两力F F ''
,，并使F F F ''-='= ，根据加减平衡力系公理，显然力系),,()(F F F F '''≡。
但在力系
),,(F F F '''
中力F ' 与F '' 构成了力偶，于是原作用在O ′点的力F ' ，被一个作用在O 点的力F 和一个力偶),(F F '''
所代替。
而且F 的大小和方向与原力F ' 相同，因此可以把作用于
O ′的力平移到O 点，但必须同时附加一个力偶。
因此力F ' 对O 点的力矩d F F M o '='
)(。
所以附加力偶的力偶矩d F F M M o '='=
)(，又注意到O 点的任意性，于是定理得证。
2.平面力系向平面内一点简化
2
n
n
设在刚体上作用一平面力系),,(21n F F F
，各力的作用点如图所示。
O 称简化中心()
i O i F M M
=
主矢∑=i F F
()()2
2
∑∑+=
iy
ix
F F F F
F ix
∑=αcos F
F iy
∑=
βcos
主矩()
i O O F M M
∑=
结论：平面力系向作用面内任一点简化，一般可得到一个力和一个力偶，该力通过简化中心，其大小和方向等于力系的主矢，主矢的大小和方向与简化中心无关；该力偶的力偶矩等于力系对简化中心的主矩，主矩的大小和转向与简化中心相关。
3．固定端约束（插入端约束）
概念；物体的一部分固嵌于另一物体中所构成的约束。
实例：阳台板,电线杆。
(b)
(c)
(d)
A
M
当主动力为一平面力系时，物体在固嵌部分所受的力系也是一个平面力系，一般比较复杂，
但可向点简化为一力和一力偶，力的大小和方向都是未知的，用如图d 所示表示。
4．平面力系简化的最后结果 1）简化结果
（1）0,0==O M F
平面力系平衡
（2）0,0≠=O M F
平面力系简化为一合力偶，力偶矩的大小和转向由主矩决定，与简化
中心无关。
（3）0,0=≠O M F
平面力系简化为一合力，此合力过简化中心，大小和方向由主矢确定。
（4）0,0≠≠O M F 平面力系简化为一合力，合力F ' 的作用线在点O 的哪一侧，应使得F '
对O 之矩与主矩O M 的转向相同。
图中F
M d O =
' F
⇔
⇔
'
2）合力矩定理
()()
i O O O F M M Fd d F F M
∑=
=='='
即平面力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点矩的代数和，称为平面力系的合力矩定理。
3）合力作用线方程
y
M '
由平面内力对点之矩的解析表达式可知()
O x y O M y F x F F M =-='
其中是()y x ,合力作用
线上任一点。
二、例题:
例1． 已知：矩形板的四个顶点上分别作用四个力及一个力偶如图()a 所示。
其中
KN F 21=,KN F 32=,KN F 43=,KN F 24=力偶矩m KM M ⋅=10，
转向如图所示，图中长度单位为m 。
试分别求:1)力系向点B 简化结果2)力系向点C 简化结果3)力系简化
的最后结果
45
F y
F
解：1 计算力系的主矢F
：KN F F F F ix x 245cos 24-=-︒==∑
KN F F F F F iy y 145sin 431-=︒+-==∑
所以 KN F F F y x 52
2=+=
55252cos -=-==
F F x α 55
5
1cos -
=-==F F y β F 的解析式 j i F
12--=
2 向B 点简化的主矩
m KN F M F F M B ⋅=⨯-+⨯︒+⨯︒-=32245sin 145cos 344
即平面力系向点B 简化得到一力和一力偶，该力过点B ，其大小和方向与力系的主矢F
相
同。
该力偶的力偶矩等于主矩B M ，如图()b 3、向C 点简化的主矩
利用两点之矩的关系计算 ()
F M M M C B C
+=KN F y 523=⋅+=
平面力系向点C 简化仍得到一力和一力偶，该力过点C ，其大小和方向仍与力系的主矢相同，该力偶的力偶矩等于主矩c M ，如图()c 4力系简化的最后结果
因为主矢0≠F ，所以力系简化的最后结果为一合力F '，其大小和方向与主矢F
相同，作
用线方程为：32=+-y x 合力F
'为轴x 的交点坐标为（-3，0）。
例 2（备选）. 求如图()a ，()b 所示的作用在AB 梁上的分布载荷的合力的大小和作
用线位置。
1）梁上作用一均布载荷，载荷集度为()m N
q
2）梁上作用一线形分布载荷，左端的载荷集度为零，右端的载荷集度为()m N
q 0
解：1）“均布载荷”的合力可当作均质杆的重力处理，所以合力的大小为ql F =，作用在AB 梁的中心，如图()a
3）当载荷不均匀分布时，可以通过积分来 计算合力的大小和作用线位置。
在梁上离A 端
x 处取微元dx ，由于载荷线性分布，在x 处的集度l x q q 01=，于是在dx 上作用力的
大小为：l
dx x q dx q dF 01==
∴合力的大小为2
0000
l q dx l x q dF F l
l
===⎰
⎰ 利用合力矩定理计算合力作用线的位置。
设合力F
的作用线离A 端的距离为c x ，有
⎰
-=-L
c xdF Fx 0
3
2
1
020==
⎰dx l x q F
x l
c
三、总结答疑：
关于主矢和主矩，需弄清楚以下几点：
1、主矢不是力，主矩不是力偶。
主矢和主矩是描述平面任意力系对物体作用效果的量。
2、主矢是自由矢量，只有大小和方向，描述平面任意力系使物体平动的作用效果；
3、平面任意力系的主矩是代数量，只有大小和正负，描述平面任意力系使物体绕某点转动的作用效果。
4、主矢与简化中心的选择无关。
从这个意义上讲，主矢是力系的一个不变量。
而主矩与简化中心的选择有关。
四、复习思考题、作业题：
1、 思考题3-1 某平面力系向A 、B 两点简化的主矩皆为零，此力系简化的最终结果可能是
一个力吗？可能是一个力偶吗？可能平衡吗？ 2、 课本习题3-1，3-2，3-3。
五、下次课预习要点：平面任意力系的平衡条件和平衡方程
附：本节PPT 课件。