《运筹学》第6章 整数规划
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整数规划（Integer Programming，简称IP），是 要求全部或部分决策变量为整数的规划。整数规 划分为线性整数规划和非线性整数规划。本章只 介绍线性整数规划，简称为整数规划。
整数规划分为两大类：一般整数规划与0-1整数规 划（Binary Integer Programming，简称BIP）。
6.3 0-1整数规划
例6.2 分公司选址问题。某销售公司打算通过在武汉 或长春设立分公司（也可以在两个城市都设分公司） 以增加市场份额，管理层同时也在考虑建立一个配送 中心（也可以不建配送中心），但配送中心地点限制 在新设分公司的城市。
经过计算，每种选择使公司收益的净现值和所需费 用如表6-2所示。总的预算费用不得超过1000万元。目 标是在满足以上约束的条件下使总的净现值最大。
100万元 500万元
2
大型飞机
500万元 5000万元 没有限制
可获得的总资金 1亿元
6.1 整数规划基本概念、分类与解的特点
解：
(1)决策变量
设小型飞机与大型飞机的购买 数量分别为x1、x2(架)。 (2)目标函数
目标是年总净利润最大。
M ax z x1 5 x2
(3) 约束条件 ① 资金限制 ② 小型飞机数量限制（最多
在长春设立分公司 在武汉设立分公司 在长春建配送中心 在武汉建配送中心
净现值（万元） 800 500 600 400
所需资金（万元） 600 300 500 200
6.3 0-1整数规划
解：
（1）决策变量
本题的决策变量是是非决策的0-1决策变量，每一个决策只有 两种选择，是或者否，1表示对于这个决策选择“是”，0表 示对于这个决策选择“否” 。
是非决策问题
决策变量
可能取值
在长春设立分公司？
x1
在武汉设立分公司？
x2
在长春建配送中心？
x3
在武汉建配送中心？
x4
0或1 0或1 0或1 0或1
6.3 0-1整数规划
(2)目标函数
总的净现值最大。
(3) 约束条件 ① 总预算支出
M ax z= 8 0 0 x1 + 5 0 0 x2 + 6 0 0 x3 + 4 0 0 x4
0-1整数规划模型的建立和求解方法与一般线性规 划模型相同，只是增加了一个“决策变量必须为0或 1”的约束条件。为反映这一约束条件，在求解时应在 Excel规划求解的“添加约束”对话框中添加关于决 策变量取值为1或0的约束条件。“添加约束”对话框 中，用“bin”（Binary）表示0和1两者取一。因此， 只要在约束条件左边输入要求取0或1的决策变量的单 元格地址，然后选择“bin”即可。
6.3 0-1整数规划
例6.2的电子表格模型
6.3 0-1整数规划
由于可用资金没有使用完（只使用了可用资金1000万元中 的900万元），并且没有建配送中心，所以可以对可用资金 进行敏感性分析。
② 公司最多只建一
6 0 0 x1 + 3 0 0 x2 + 5 0 0 x3 + 2 0 0 x4 1 0 0 0
个新配送中心（互斥）
x3 +x4 1
③ 公司只在新设分
s. t.
x3
x 1
公司的城市建配送中心 （相依）
x
4
x2
④ 0－1变量
x1 , x 2 , x 3 , x 4 0 , 1
6.2 整数规划电子表格模型
例 6.1 的 电 子 表 格 模 型
6.3 0-1整数规划
0-1整数规划（BIP）是整数规划的特殊情况，也是 应用最广泛的一类整数规划。在0-1整数规划中，其 整数变量只能取0或1，通常用这些0－1变量表示某种 逻辑关系。例如用“1”表示“是”，用“0”表示“非 ”。
6.2 整数规划电子表格模型
用Excel求解整数规划的基本步骤与求解一般线 性规划问题相同，只是在约束条件中添加一个 “整数”约束。在Excel规划求解的“添加约束 ”对话框中，用“int”表示整数。因此，只要 在该对话框中添加一个约束条件，在左边输入 要求取整的决策变量的单元格地址，然后选择 “int”。
整数规划
本章内容要点
整数规划的基本概念 整数规划问题的建模与应用
本章节内容
6.1 整数规划基本概念、分类与解的特点 6.2 整数规划电子表格模型 6.3 0-1整数规划 6.4 整数规划应用举例
本章主要内容框架图
一 般 整 数 规 划
分
类
0-1规
划
0-1决 策 变 量
固 定 成 本 问 题
整 数 规 划 0-1规 划
辅 助 0-1变 量 产 品 互 斥 问 题
两
个
约
束
中
选
一
个
约
束
问
题
应 用 举 例
6.1 整数规划基本概念、分类与解的特点
在许多实际问题中，决策变量必须为整数。例如 当决策变量是分配的人数、购买的设备数、投入 的车辆数、是否投资等的时候，它们一般必须为 非负整数才有意义。在这种情况下，常需要应用 整数规划进行优化。
表6-1提供了购买每一种飞机的年净利润期望（包括资本回收成 本）；给出了每架飞机的采购成本，以及可用于飞机采购的总可用 资金1亿元；并表明了管理层希望小型飞机的采购不超过两架。
需要的决策是：小型飞机和大型飞机各需要采购多少才能够获 得最大的年总净利润？
每架飞机年利润 每架飞机采购成本
最多购买数量
小型飞机
购买2架）
5
x 1
50 x 2
100
Hale Waihona Puke s.t. x1 2x 1
,
x
2
0且 为
整数
③ 非负且均为整数
6.1 整数规划基本概念、分类与解的特点
求解：
(1)先去掉整数约束，作为一般线性规划问题， 用图解法求出的最优解x1＝2，x2＝1.8。 如何进行“取、舍”？
(2)由于离散问题比连续问题更难以处理，整数 规划要比一般线性规划难解得多，而且至今尚无 一种像求解线性规划那样较成熟的算法。目前常 用的基本算法有分支定界法、割平面法等。 Excel“规划求解”工具求解整数规划问题采用 分支定界法。
整数规划与一般规划相比，其可行解不是连续的 ，而是离散的。
6.1 整数规划基本概念、分类与解的特点
例6.1 某航空公司是一家使用小型飞机经营短途航线的小型区域性 企业。该公司已经经营得不错，其管理层决定拓展其经营领域。
管理层面临的基本问题是：是采购更多的小型飞机来开辟一些新 的短途航线，还是开始通过为一些跨地区航线购买大型的飞机来进 军全国市场（或双管齐下）？哪一种战略最有可能获得最高收益？
整数规划分为两大类：一般整数规划与0-1整数规 划（Binary Integer Programming，简称BIP）。
6.3 0-1整数规划
例6.2 分公司选址问题。某销售公司打算通过在武汉 或长春设立分公司（也可以在两个城市都设分公司） 以增加市场份额，管理层同时也在考虑建立一个配送 中心（也可以不建配送中心），但配送中心地点限制 在新设分公司的城市。
经过计算，每种选择使公司收益的净现值和所需费 用如表6-2所示。总的预算费用不得超过1000万元。目 标是在满足以上约束的条件下使总的净现值最大。
100万元 500万元
2
大型飞机
500万元 5000万元 没有限制
可获得的总资金 1亿元
6.1 整数规划基本概念、分类与解的特点
解：
(1)决策变量
设小型飞机与大型飞机的购买 数量分别为x1、x2(架)。 (2)目标函数
目标是年总净利润最大。
M ax z x1 5 x2
(3) 约束条件 ① 资金限制 ② 小型飞机数量限制（最多
在长春设立分公司 在武汉设立分公司 在长春建配送中心 在武汉建配送中心
净现值（万元） 800 500 600 400
所需资金（万元） 600 300 500 200
6.3 0-1整数规划
解：
（1）决策变量
本题的决策变量是是非决策的0-1决策变量，每一个决策只有 两种选择，是或者否，1表示对于这个决策选择“是”，0表 示对于这个决策选择“否” 。
是非决策问题
决策变量
可能取值
在长春设立分公司？
x1
在武汉设立分公司？
x2
在长春建配送中心？
x3
在武汉建配送中心？
x4
0或1 0或1 0或1 0或1
6.3 0-1整数规划
(2)目标函数
总的净现值最大。
(3) 约束条件 ① 总预算支出
M ax z= 8 0 0 x1 + 5 0 0 x2 + 6 0 0 x3 + 4 0 0 x4
0-1整数规划模型的建立和求解方法与一般线性规 划模型相同，只是增加了一个“决策变量必须为0或 1”的约束条件。为反映这一约束条件，在求解时应在 Excel规划求解的“添加约束”对话框中添加关于决 策变量取值为1或0的约束条件。“添加约束”对话框 中，用“bin”（Binary）表示0和1两者取一。因此， 只要在约束条件左边输入要求取0或1的决策变量的单 元格地址，然后选择“bin”即可。
6.3 0-1整数规划
例6.2的电子表格模型
6.3 0-1整数规划
由于可用资金没有使用完（只使用了可用资金1000万元中 的900万元），并且没有建配送中心，所以可以对可用资金 进行敏感性分析。
② 公司最多只建一
6 0 0 x1 + 3 0 0 x2 + 5 0 0 x3 + 2 0 0 x4 1 0 0 0
个新配送中心（互斥）
x3 +x4 1
③ 公司只在新设分
s. t.
x3
x 1
公司的城市建配送中心 （相依）
x
4
x2
④ 0－1变量
x1 , x 2 , x 3 , x 4 0 , 1
6.2 整数规划电子表格模型
例 6.1 的 电 子 表 格 模 型
6.3 0-1整数规划
0-1整数规划（BIP）是整数规划的特殊情况，也是 应用最广泛的一类整数规划。在0-1整数规划中，其 整数变量只能取0或1，通常用这些0－1变量表示某种 逻辑关系。例如用“1”表示“是”，用“0”表示“非 ”。
6.2 整数规划电子表格模型
用Excel求解整数规划的基本步骤与求解一般线 性规划问题相同，只是在约束条件中添加一个 “整数”约束。在Excel规划求解的“添加约束 ”对话框中，用“int”表示整数。因此，只要 在该对话框中添加一个约束条件，在左边输入 要求取整的决策变量的单元格地址，然后选择 “int”。
整数规划
本章内容要点
整数规划的基本概念 整数规划问题的建模与应用
本章节内容
6.1 整数规划基本概念、分类与解的特点 6.2 整数规划电子表格模型 6.3 0-1整数规划 6.4 整数规划应用举例
本章主要内容框架图
一 般 整 数 规 划
分
类
0-1规
划
0-1决 策 变 量
固 定 成 本 问 题
整 数 规 划 0-1规 划
辅 助 0-1变 量 产 品 互 斥 问 题
两
个
约
束
中
选
一
个
约
束
问
题
应 用 举 例
6.1 整数规划基本概念、分类与解的特点
在许多实际问题中，决策变量必须为整数。例如 当决策变量是分配的人数、购买的设备数、投入 的车辆数、是否投资等的时候，它们一般必须为 非负整数才有意义。在这种情况下，常需要应用 整数规划进行优化。
表6-1提供了购买每一种飞机的年净利润期望（包括资本回收成 本）；给出了每架飞机的采购成本，以及可用于飞机采购的总可用 资金1亿元；并表明了管理层希望小型飞机的采购不超过两架。
需要的决策是：小型飞机和大型飞机各需要采购多少才能够获 得最大的年总净利润？
每架飞机年利润 每架飞机采购成本
最多购买数量
小型飞机
购买2架）
5
x 1
50 x 2
100
Hale Waihona Puke s.t. x1 2x 1
,
x
2
0且 为
整数
③ 非负且均为整数
6.1 整数规划基本概念、分类与解的特点
求解：
(1)先去掉整数约束，作为一般线性规划问题， 用图解法求出的最优解x1＝2，x2＝1.8。 如何进行“取、舍”？
(2)由于离散问题比连续问题更难以处理，整数 规划要比一般线性规划难解得多，而且至今尚无 一种像求解线性规划那样较成熟的算法。目前常 用的基本算法有分支定界法、割平面法等。 Excel“规划求解”工具求解整数规划问题采用 分支定界法。
整数规划与一般规划相比，其可行解不是连续的 ，而是离散的。
6.1 整数规划基本概念、分类与解的特点
例6.1 某航空公司是一家使用小型飞机经营短途航线的小型区域性 企业。该公司已经经营得不错，其管理层决定拓展其经营领域。
管理层面临的基本问题是：是采购更多的小型飞机来开辟一些新 的短途航线，还是开始通过为一些跨地区航线购买大型的飞机来进 军全国市场（或双管齐下）？哪一种战略最有可能获得最高收益？